2014高考数学第一轮复习 定积分

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

【2014年高考会这样考】

1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． 2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程． 【复习指导】

定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．

基础梳理

1．定积分

(1)定积分的定义及相关概念

如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

n

b －a

n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这

个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a

b f (x )d x .

在⎠⎛a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的性质

①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a

b f (x )d x (k 为常数)． ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a

b f 2(x )d x . ③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a

c f (x )

d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a

如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (

a )，

这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．

3．定积分的应用

(1)定积分与曲边梯形的面积

定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：

一种思想

定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 三条性质

设阴影部分面积为S .

①S ＝⎠

⎜

⎜⎛a

b f (x )d x ； ②S ＝－⎠⎜

⎜⎛a

b f (x )d x ； ③S ＝⎠⎜

⎜⎛a

c f (x )

d x －⎠⎜⎜⎛c

b f (x )d x ；

④S ＝⎠⎜

⎜⎛a

b f (x )d x －⎠⎜⎜⎛a

b g (x )d x ＝ ⎠⎜⎜⎛a

b

[f (x )－g (x )]d x .

(2)匀变速运动的路程公式

作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝

v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即 s ＝⎠⎜

⎜⎛a

b v(t)d t .

(1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 一个公式

由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

双基自测

2．(2011·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．

A.12 B ．1 C.3

2 D.

3 解析 S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝ |2sin x π

30＝ 3. 答案 D

4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x

双基自测

1．(2011·福建)⎠

⎜

⎜⎛0

1(e x

＋2x )d x 等于( )． A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1

解析

⎠⎜⎜⎛0

1(e x ＋2x )d x

＝ ⎪⎪⎪(e x ＋x 2)1

＝(e ＋1)－1＝e.

答案 C 3．(2011·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为

( )．

A.112

B.14

C.13

D.712 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x 2，

y ＝x 3

，

得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S ＝⎠⎜⎜⎛0

1(x 2－x 3)d x ＝

⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.

答案 A

轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．

A.1π

B.2π

C.π4

D.3π

考向一 定积分的计算

【例1】 计算下列积分

解析 阴影部分的面积S ＝

⎪

⎪⎪

⎠⎜⎜⎛0

πsin x d x ＝－cos x π

0＝－(－1－1)＝

2，矩形的面积为2π.

概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1

.故应选A.

答案 A 5．(人教A 版教材习题改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线

运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．

解析 s ＝

⎠

⎜⎜⎛1

2(3t ＋2)d t ＝⎝

⎛

⎪⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫32t 2＋2t 2

1＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭

⎪⎫32＋2＝10－72＝13

2(m)． 答案 6.5 m