【南京一轮复习】第9课函数与方程

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高考数学(文)一轮复习课件：1-9函数与方程(人教A版)

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■ ·考点梳理· ■ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
思考：上述等价关系在研究函数零点、方程的根及图象交点问题时有什么作用？
思考：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？
提示：不一定．由图(1)、(2)可知．
3．二分法 (1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且ff((aa))··ff((bb)<0 的函数y＝ f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数零点近似解的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0 ，给定精确度ε；
观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－ log3|x|有4个零点．
3. [2012·徐州模拟]根据下面表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．
x
－1 0 1 2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4
5
答案：(1，2)
3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．
4. 要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断.

高考数学复习第二章基本初等函数导数及其应用第9课时函数与方程文市赛课公开课一等奖省优质课获奖PP

由图像知，两个函数图像有两个交点，故函数f(x)有两个零点．
答案：2
27/50
2．(2016·长春一模)函数f(x)＝
1 2
x－sin
x在区间[0,2π]上的零
点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：在同一坐标系内作出函数y＝
1 2
x及y＝sin
x在[0,2π]上
的图像，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零
42/50
据特殊值等作函数g(x)＝|xcos(πx)|的示意图，可以发现有6个交点．
答案 B
43/50
阅卷点评
解答本题利用了转化与化归、数形结合的思
想，所谓转化与化归思想方法，就是在研究与解决有关数学问题
时采用某种手段将问题通过变换使之转化进而得到解决的一种方
法，一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解
的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变
5/50
3．二分法 (1)每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法． (2)将a＋2 b称为区间[a，b]的中点．
6/50
[基础自测]
1．(教材改编题)函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在
一个零点，则a的取值范围是( )
A．－1<a<15
x2，f(x)＝x.
答案：D
10/50
4．函数f(x)＝x－4x的零点个数为________．解析：法一：由x－4x＝0(x≠0)，得x2－4＝0，∴x＝±2.
∴f(x)＝x－4x有两个零点．
法二：在同一直角坐标系中画出y＝x与y＝

高考数学一轮复习函数与方程课件新课标

f (x1)
f (x2 )
小关系为
例 2. （改编）已知函数 f(x)= x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2，求 a 的值。
例 3．（2011.江西六地市联盟）已知二次函数 f (x) ax2 bx (a, b 为常
数，且 a 0) 满足条件： f (x 1) f (3 x) ，
x1、x2 有且仅有一个在
(k1,k2)内
图
象
充
要条件
0
f
(k)
0
b 2a
k
0
f
(k
)
0
b 2a
k
f (k) 0
0
f (k1 ) 0
k1
f (k2) 0
b 2a
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0或
检
f( 验
k1 ) 是否
0 其
中
只一个
检
f( 验
k2) 是否
求 m 的范围。
例 5．若关于 x 的方程 22x 2x a a 1 0 有实根，求实数 a
的取值范围．
选讲（2011.浙江名校 4 月创新）设
f(x)=ax2+bx+c
(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b 新疆源头学子小屋 /wxc/ 特级教师王新敞 wxckt@ 新疆源头学子小屋 /wxc/ 特级教师王新敞 wxckt@
间端点的位置关系
2a
（3）对应二次函数区间端点函数值的正负
设x1、x2是实系数二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两实根
,
则x1、x
的分布范围与二次方程

2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)

(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三对数函数的性质及应用【例 3－1】已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、经典例题
考点一对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.

高考数学总复习 2-9 函数与方程课件苏教版

1 1x 3． (2012· 高考北京卷)函数 f(x)＝x －2 的零点个数为_______． 2 答案：1 4．(课本改编题)用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067
故 f(x)＝lnx＋2x－6 只有一个零点法二：由于 f(1)＝－4，f(e)＝2e－5＞0，∴f(1)· f(e)＜0， ∴f(x)在(1，e)上有零点．又 f(x)＝lnx＋2x－6 在(0，＋∞)上递增， ∴f(x)有唯一的零点． (4)设 f(x)＝2x 1＋x－5，由 f(2)· f(3)＝－2＜0，故 f(x)在(2,3)上有
第 9节
函数与方程
【知识梳理】 1．函数零点的概念对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x) 的零点． 2．函数零点与方程根的关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．
3．函数零点的判断如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
5.二分法 (1)二分法的定义
f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·
过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤
f(b)＜0，给定精确度 ε；第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)·
f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得 f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值(精确到 0.01) 为________．答案：1.56

高中数学一轮复习课件：函数与方程

3
内的一个零点(精确度 0.1)．
解：依据二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤．由于 f(1)＝1－1－1＝－1<0， f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， ∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：
端(中) 点坐标
• 【例4】已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x ＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( ) • A．(0,1] B．(0,1) • C．(－∞，1) D．(－∞，1]
1 解法一：取 m＝0，有 f(x)＝－3x＋1 的零点 x＝ >0，即 m 3 ＝0 符合题设，所以排除 A、B；当 m＝1 时，f(x)＝x2－2x＋1 ＝(x－1)2，它的根是 x＝1 符合要求，排除 C.故选 D.
• ＝0化为－a＝x3－，作出f(x)＝x3－图象如右图所示．由图象特征知当－a>f(2)或－a<f(－2)时满足条件，∴a>6或a<－6即为所求．故填(－∞，－6)∪(6，＋∞)． • 答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)
【例 3】
3 用二分法求函数 f(x)＝x －x－1 在区间[1， ] 2
1.25 [－3，－2] －2.5 0.0625 [－2.5，－2] －2.25 [－2.25，－2] －2.125 －0.4844 [－2.25，－2.125] －2.1875 －0.2148 [－2.25，－－ 2.2187 －0.0771
• 根据上表计算知，区间[－2.25，－ 2.1875]的长度是0.0625<0.1，所以原方程的近似解可以是－2.1875.
解：(1)若 a＝0，则 f(x)＝－x－1，令 f(x)＝0，即－x－1＝0，得 x＝－1，故符合题意；若 a≠0，则 f(x)＝ax2－x－1 是二次函数；故有且仅有一个零点等价于 ∆＝1＋4a＝0， 1 解得 a＝－， 4 1 综上所述 a＝0 或 a＝－ . 4

高考一轮总复习函数与方程篇

高考一轮总复习函数与方程篇高考一轮总复习：函数与方程篇函数与方程是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试的重点之一。

在备战高考一轮总复习时，加强函数与方程的学习和理解，对于提升数学成绩至关重要。

本文将从函数和方程的基本概念、常见类型、解题方法以及应试技巧等方面进行论述，为广大考生提供复习的参考指导。

一、函数1.1 函数的定义函数是高中数学中的基础概念之一，通俗地说，函数就是输入一个值，通过一个规则，产生一个唯一的输出值。

在数学中，函数可以用符号语言来描述，即$f(x)$，其中$x$是自变量，$f$是函数关系。

1.2 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

了解函数的性质有助于解题和理解函数图像。

1.3 常见函数类型常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

不同类型的函数有着特定的图像和性质，需要考生熟练掌握。

1.4 函数的图像与变换了解函数的图像和变换规律，可以帮助考生更好地理解函数的性质和规律。

例如，函数的平移、翻折、伸缩等操作会对图像产生什么样的影响，考生需要牢记并运用于解题中。

二、方程2.1 方程的定义方程是含有未知数的等式，通过求解方程可以得到未知数的值。

在高中数学中，常见的方程类型有一次方程、二次方程、指数方程、对数方程等。

2.2 方程的解法不同类型的方程对应着不同的解题方法，如一次方程可用逆运算法和代入法解决，二次方程可用配方法、因式分解法、求根公式等解决。

了解各种类型方程的解法，并多做相关的习题，有助于考生在考试中灵活运用。

2.3 方程在问题中的应用方程在实际问题中的应用广泛，例如运动问题、几何问题等。

考生需要具备将实际问题转化为方程，并通过解方程得到问题的解的能力。

三、复习策略与应试技巧3.1 制定复习计划针对函数与方程篇的复习，考生可以制定合理的复习计划，合理安排每天的学习时间和内容，确保能够充分复习全面掌握。

3.2 多做习题做习题是学习函数与方程的重要环节，通过做题可以巩固知识点，熟悉解题方法。

高考数学一轮复习9 第9讲函数与方程

第9讲函数与方程最新考纲考向预测结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.命题趋势利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.核心素养直观想象、逻辑推理1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点的交点零点x1，x2x1无常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．常见误区1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．(易错题)(多选)下列说法中正确的是()A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析：选BD.根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y ＝f (x )的零点，即函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，因此B ，D 正确，A ，C 错误．3．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.4．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f 解析：依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．答案：35．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为() A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.【答案】 B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象1．已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析：选 B.因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．2．设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：选D.令f (x )＝0得13x ＝ln x . 作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．函数零点个数的判断(一题多解)函数f (x )＝⎩⎨⎧x2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】方法一(方程法)：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．方法二(图形法)：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．【答案】 B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≤0，1＋1x ，x>0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2－2x ＋3x ＝0或⎩⎨⎧x>0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.2．函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 B.由题意知f (x )单调递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝3＋1－2＝2>0，即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0，1)内连续不断，所以f (x )在区间(0，1)内有一个零点．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象．如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.故选C.函数零点的应用(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ex ， x≤0，ln x ， x>0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.【答案】 (1)D (2)[－1，＋∞)根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a<0，4－1－a>0，解得0<a <3，故选C.2．若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．(0，＋∞)C ．(3，4)D ．(3，＋∞)解析：选C.令g (x )＝|2x －4|，其图象如图所示，若f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a ∈(3，4)．思想方法系列6 破解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．类型一嵌套函数零点个数的判断(2021·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0<x≤2f （x －2）＋1，x>2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】因为当x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x >2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 C破解此类问题的主要步骤(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图象交点个数．类型二求嵌套函数零点中的参数函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （－x －1），x<－1，2x ＋1，x≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】设t ＝f (x )，令g (x )＝f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t )．在同一平面直角坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图)．当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点．设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)，则t 1<－1，t 2≥－1.当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解；当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解．综上，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点．【答案】 [－1，＋∞)(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y ＝a 与y ＝f (t )的图象，确定t 1，t 2的取值范围，进而由t ＝f (x )的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg|x －2||，x≠2，0，x ＝2.若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有( )A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个解析：选C.由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数即为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根．故选C.[A 级基础练]1．(2021·河南商丘九校联考)函数f (x )＝(x 2－1)·x2－4的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.要使函数有意义，则x 2－4≥0，解得x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去)，即x ＝2或x ＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.2．(2021·重庆模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －15x 的零点位于区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.函数f (x )在R 上为减函数，其图象为一条不间断的曲线．因为f (1)＝12－15＝310>0，f (2)＝14－25＝－320<0，所以f (1)·f (2)<0，所以由零点存在性定理可知，函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选B.3．(2021·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x2，|x|≤1，|x|，|x|>1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a >1C ．0≤a <1D ．a <0解析：选A.方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，即直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.4．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x ＝1x C ．2－x 2＝lg |x |D ．cos x ＝|x |＋1解析：选ABD.对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合题意；对于B ，设g (x )＝e x －1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x ＝1x 有唯一解，符合题意；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又h (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合题意；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时，cos x ＝x ＋1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合题意．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤0，1x ，x>0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：选D.当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－127．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x2＋2x ，x>0，4x ＋1，x≤0的零点个数是________．解析：当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14. 综上，f (x )有3个零点．答案：38．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x≤0，ln x ，x>0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0，1]．答案：(0，1]9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示．(2)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．[B 级综合练]11．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14B ．18C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C 项．12．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x2－2x ，x≤0，|log2x|，x>0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝－1B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<2D ．0<x 1x 2x 3x 4<1解析：选BCD.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－2x ，x≤0，|log2x|，x>0，作出其函数图象：由图可知，x 1＋x 2＝－2，－2<x 1<－1；当y ＝1时，|log 2x |＝1，有x ＝12，2，所以12<x 3<1<x 4<2；由f (x 3)＝f (x 4)，有|log 2x 3|＝|log 2x 4|，即log 2x 3＋log 2x 4＝0，所以x 3x 4＝1，则x 1x 2x 3x 4＝x 1x 2＝x 1(－2－x 1)＝－(x 1＋1)2＋1∈(0，1)．故选BCD. 13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （2）<0，g （4）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧5＋m>0，2－2m<0，10－4m>0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. 14．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x>0，x ＋1，x≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.[C 级创新练]15．已知a ，b ∈R ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f (x )＝2x ＋1⊗(2－4x )，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)∪(2，3)C ．(0，2)D ．(0，3－1)∪(3－1，2)解析：选A.若2x ＋1－(2－4x )≤1，则(2x )2＋2×2x －3≤0，即2x ≤1，解得x ≤0；若2x ＋1－(2－4x )>1，则(2x )2＋2×2x －3>0，解得2x >1或2x <－3(舍去)，即x >0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≤0，2－4x ，x>0.作出函数f (x )的图象和y ＝c 的图象如图所示．因为y ＝f (x )－c 有两个零点，所以f (x )＝c 有两个解，所以0<c <1.故选A.16．定义：设不等式F (x )<0的解集为M ，若M 中只有唯一整数，则称M 是最优解．若关于x 的不等式|x 2－2x －3|－mx ＋2<0有最优解，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，74B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，－2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，74 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤23，74 解析：选D.|x 2－2x －3|－mx ＋2<0可转化为|x 2－2x －3|<mx －2，在同一平面直角坐标系中分别作出函数f (x )＝|x 2－2x －3|，g (x )＝mx －2的图象，如图所示．易知m ＝0时不满足题意．当m >0时，要存在唯一的整数x 0，满足f (x 0)<g (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥g （2），f （3）<g （3），f （4）≥g （4），即⎩⎪⎨⎪⎧3≥2m －2，0<3m －2，5≥4m －2，解得23<m ≤74. 当m <0时，要存在唯一的整数x 0，满足f (x 0)<g (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≥g （0），f （－1）<g （－1），f （－2）≥g （－2），即⎩⎪⎨⎪⎧3≥－2，0<－m －2，5≥－2m －2，解得－72≤m <－2. 综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤23，74.故选D.。

人教B版高考总复习一轮数学精品课件第3章函数与基本初等函数第9节函数与方程

g(x)=log3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.
作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区
间为(1,2).故选B.
(2)(2024·北大附中模拟)已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为( B )
1
A.(0, )
4
1 1
B.( , )
4 2
1
C.( ,1)
(1)函数零点的定义
实数α 处的函数值等于零,即
一般地,如果函数y=f(x)在
称 α 为函数y=f(x)的零点.
f(α)=0 ,则
误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域,零点必须是定义域中的实

数,例如,不能说0是函数f(x)= -1 的零点,事实上该函数不存在零点.
(2)等价关系
方程f(x)=0的实数根⇔函数f(x)图象与x轴交点的横坐标⇔函数f(x)的零点.
− 1 的图象(如图所示),由图象知,函数 y=log2x 与 y=
有唯一的公共点,所以函数 f(x)=
1
(2)
1
(2)
− 1 的图象
− 1 -log2x 的零点个数为 1,故选 B.
(3)(2024·广东肇庆模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,2)时,
3 1 2
图象法
否有交点来判断
考点二判断函数零点的个数
例2(1)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个
数是( A )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析令f(x)=(x2-x)ln|2x-3|=0,得x2-x=0或ln|2x-3|=0,解得x=0或x=1或x=2,所

高考数学一轮总复习第二章函数第9讲指数与指数函数课件

[答案] (0，4]
12/13/2021
第二十五页，共四十七页。
指数函数的性质及应用例 3 (1)已知 a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当 x ＞0 时，1＜bx＜ax，则( ) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b
[解析] ∵x＞0 时，1＜bx，∴b＞1. ∵x＞0 时，bx＜ax，∴x＞0 时，bax＞1. ∴ba＞1，∴a＞b，∴1＜b＜a，故选 C.
(3)指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究．
12/13/2021
第十二页，共四十七页。
指数幂的运算
例 1 求值与化简：
2 1 1 1 1 5
(1)
2a
3b
2
6a
2
b
3
3a
6
b
6
；
(2)(1.5)
－
2
当 0<a<1 时，如图②所示，需满足12·12≤a1，即12
≤a<1；当 a＝1 时，y＝12x2 与 y＝1 在[1，2]上有交点
( 122/，13/[12答0)2，1案满] B足条件．综上第可十八页知，共四十，七页。a∈12，
2.
(3)( 多选 ) 已知函数 f(x) ＝ |2x － 1| ， a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
m
意义相仿，我们规定 a n ＝
1
m
an
(a>0，m，n∈N*，且
n>1).0 的正分数指数幂等于_0___；0 的负分数指数幂
__没__有__(m_é_i y_ǒ_u)_意_．义

2019-2020年高考数学一轮复习函数第9课时函数与方程教学案

2019-2020年高考数学一轮复习函数第9课时函数与方程教学案这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复例1.（1）若，则方程的根是( )A ．B ．－C ．2D ．－2解：A ．（2）设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（）A ．0B ．9C ．12D ．18解：由知的图象有对称轴，方程的6个根在轴上对应的点关于直线对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ．（3）已知，（、、∈R ），则有（）A ．B ．C ．D ．解法一：：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0 ∴，答案为B ．解法二：去分母，移项，两边平方得：＋＝20．∴，答案为B ．（4）关于的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根、满足，则实数m 的取值范围解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<，即：，解得：．（5）若对于任意，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则的取值范围是解：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即，解得：．变式训练1：当时，函数的值有正值也有负值，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解：D例2.设依次是方程,，的实数根，试比较的大小．解：在同一坐标内作出函数，，的图象从图中可以看出，又，故变式训练2：已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4．例3. 已知二次函数为常数，且满足条件：，且方程有等根.（1）求的解析式；（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2 ．由知此函数图象的对称轴方程为，得，故．（2），∴4n1，即而抛物线的对称轴为 ∴时，在［m ，n ］上为增函数.若满足题设条件的m ，n 存在，则，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m nn n m m m 或或即又， ∴，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.由以上知满足条件的m 、n 存在，．变式训练3：已知函数 (.（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；（3）若在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求的取值范围.解：（1）证明任取1212122112111111()()()()x x f x f x a x a x x x x x --=---=-= ∵，∴，，∴，即，故在(0,+∞)上是增函数.（2）解： ∵在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0,∴ 在（0，+∞）上恒成立，令421221121)(=⋅≤+=x x x x x g ，当且仅当即x=时取等号要使在(0,+∞)上恒成立，则故的取值范围是［,+∞)．（3）解：由（1）在定义域上是增函数.∴，即，故方程有两个不相等的正根m ，n ，注意到，故只需要(,由于，则．例4．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解：令，得：，∵ ，∴ ，即．变式训练4：对于函数，若存在∈R,使成立，则称为的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当时，求的不动点；（2）若对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）当时，由题意可知，得故当当时，的不动点．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点，∴，即恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是解得故当b ∈R ，恒有两个相异的不动点时，.本节主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题2019-2020年高考数学一轮复习函数的值域精品教案苏教版必修1一．课标要求1、教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用2、教学重点：求函数的值域二．要点精讲求函数的值域是较困难的数学问题，中学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

高考一轮复习第二章第九节函数与方程

f(1.375)＝－
0.260
f(1.437 5)＝
0.162
f(1.406 25)＝－
0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为
________．返回
[自主解答]
通过参考数据可以得到：
f(1.375)＝－0.260<0，f(1.437 5)＝0.162>0，且1.437 5－ 1.375＝0.062 5<0.1，所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4. [答案] 1.4
返回
[巧妙运用] 当x<2时，f ′ (x)＝3(x－1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域
是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞)上单调
递减，函数的值域是(0,1]．方程f(x)＝k有两个不同的实根，转化为函数y＝f(x)和y＝k有两个不同的交点，如图所示，当0<k<1时直线y＝k与函数f(x)图像有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．答案：(0,1)
1＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
解析：方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0⇒m＝cos2x－cos x－2. 12 9 2 令y＝cos x－cos x－2得，y＝(cos x－ ) － . 2 4 9 因此，ymin＝－，ymax＝0. 4 因此，方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0有实数解时，实数m的 9 取值范围是[－，0]． 4 9 答案：[－，0] 4
不同的交点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可． f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，故极值为f(－1)和f(1)，f(－1)＝a＋2，f(1)＝a－2，所以应有(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．答案： A

【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-9 一次函数

第九讲一次函数【命题点1 一次函数的图像与性质】类型一与图像有关的判定1．（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）A．B．C．D．2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（）A．B．C．D．类型二一次函数解析式与象限的关系3．（2022•凉山州）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（）A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜05．（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限类型三与一次函数增减性、最值有关的问题6．（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（）A．1 B．2 C．4 D．6 7．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2 8．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是．类型四一次函数图像的交点问题9.（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．（﹣，0）C．（，0）D．（0，1）10．（2022•辽宁）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE 的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为．11.（2014•宜宾）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+3 12．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．【命题点2 一次函数图像的平移、旋转与对称】13．（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（）A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣114．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 15．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是．16．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了个单位长度；（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）平移了个单位长度；（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n ＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式．【命题点3 一次函数与方程、不等式结合】类型一一次函数与方程（组）的关系17．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．18．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4类型二一次函数与不等式（组）的关系19．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 20．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 21．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+b＞0的不等式的解集为．22．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为．23．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．（1）绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ．x……﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……y……﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；（2）探究函数性质请写出函数y＝﹣|x|的一条性质：；（3）运用函数图象及性质①写出方程﹣|x|＝5的解；②写出不等式﹣|x|≤1的解集．【命题点4 一次函数与几何图形结合】24．（2022•黑龙江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y 轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．25．（2022•攀枝花）如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连结BE．（1）证明：＝；（用图1）（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）命题点5 一次函数的实际应用类型一行程问题26．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）小丽步行的速度为m/min；（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．27．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：（1）填空：甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．28．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A、B两地之间的距离是米，乙的步行速度是米/分；（2）图中a＝，b＝，c＝；（3）求线段MN的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）29．（2022•新疆）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：（1）填空：甲的速度为km/h；（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式；（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．30．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；（2）何时乙骑行在甲的前面？31．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？32．（2022•黑龙江）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？类型二方案问题考向1 方案设计问题33．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．34．（2022•黑龙江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）m m ﹣20 售价（元/双） 240 160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？考向2 方案选取问题35．（2022•内蒙古）某商店决定购进A 、B 两种北京冬奥会纪念品．若购进A 种纪念品10件，B 种纪念品5件，需要1000元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A 、B 两种纪念品的单价；（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．36．（2022•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：甲：所有商品按原价8.5折出售；乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；（2）两图象交于点A，求点A坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．37．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？类型三费用或利润最值问题38．（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？39．（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．其他类型40．（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是℃．41．（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112离学生公寓的距离/km0.5 0 1.6 （Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为min．（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．答案与解析【命题点1 一次函数的图像与性质】类型一与图像有关的判定1．（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，故选：C．2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，∴两直线的交点的横坐标为1，若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；故选：D．类型二一次函数解析式与象限的关系3．（2022•凉山州）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：∵函数y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，∴当b＝0时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限；当b＞0时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．则一定不经过第四象限．故选：D．4．（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（）A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜0【答案】C【解答】解：由图象得：图象过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，当k＜0时，y随x的增大而减小，故A、B错误，由图象得：与y轴的交点为（0，b），所以当x≥0时，从图象看，y≤b，故C正确，符合题意；当x＜0时，y＞b＞0，故D错误．故选：C．5．（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B【解答】解：∵在一次函数y＝﹣5ax+b中，y随x的增大而增大，∴﹣5a＞0，∴a＜0．∵ab＞0，∴a，b同号，∴b＜0．∴点A（a，b）在第三象限．故选：B．类型三与一次函数增减性、最值有关的问题6．（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，∴点P在直线y＝2上，如图所示，当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．故选：B．7．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【答案】A【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，∴y随着x的增大而增大．∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，∴y1＜y2．故选：A．8．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是．【答案】y＝﹣x+2（答案不唯一）【解答】解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0，2），∴该函数为一次函数．设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2．取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）．类型四一次函数图像的交点问题9.（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．（﹣，0）C．（，0）D．（0，1）【答案】D【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），故选：D．10．（2022•辽宁）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE 的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为．【答案】2【解答】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．∵点D为OB的中点，∴OD＝OB＝×4＝2．∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，∴DE∥x轴．当y＝2时，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴点E的坐标为（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．故答案为：2．11.（2014•宜宾）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+3【答案】D【解答】解：∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，∴y＝2×1＝2，∴B（1，2），设一次函数解析式为：y＝kx+b，∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y＝2x的图象相交于点B（1，2），∴可得出方程组，解得，则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3，故选：D．12．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣2x+6 （2）M（3，6）或（﹣1，2）【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；（2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．【命题点2 一次函数图像的平移、旋转与对称】13．（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（）A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1【答案】D【解答】解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，故选：D．14．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【答案】A【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．15．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是．【答案】y＝x+2【解答】解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）设对应的函数解析式为：y＝kx+b，将点（﹣4，0）、（0，2）代入得，解得，∴旋转后对应的函数解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2．16．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了个单位长度；（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）平移了个单位长度；（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n ＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式．【解答】解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，∴相当于将它向右平移了1个单位长度，故答案为：1；（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+）+4，∴相当于将它向左平移了个单位长度；故答案为：左；；（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．故答案为：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）【命题点3 一次函数与方程、不等式结合】类型一一次函数与方程（组）的关系17．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），∴方程组的解为．故选：B．18．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①由函数图象可知，直线y＝mx+n从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故①错误；②由函数图象可知，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象交点坐标为（﹣3，2），所以方程组的解为，故②正确；③由函数图象可知，直线y＝mx+n与x轴的交点坐标为（2，0），所以方程mx+n＝0的解为x＝2，故③正确；④由函数图象可知，直线y＝ax+b过点（0，﹣2），所以当x＝0时，ax+b＝﹣2，故④错误；故选：B．类型二一次函数与不等式（组）的关系19．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1【答案】D【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．20．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【答案】A【解答】解：由图象可得，当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，故选：A．21．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+b＞0的不等式的解集为．【答案】x＞3【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），∴2k+b＝0，∴b＝﹣2k，∴关于kx+b＞0∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，∵k＞0，∴x＞3．故答案为：x＞3．22．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为．【答案】x＜﹣1【解答】解：由图象可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．23．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．（1）绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ．x……﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……y……﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；（2）探究函数性质请写出函数y＝﹣|x|的一条性质：；（3）运用函数图象及性质①写出方程﹣|x|＝5的解；②写出不等式﹣|x|≤1的解集．【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a＝﹣|2|＝1，故答案为：1；②描点，③连线如下：（2）观察函数图象可得：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称，故答案为：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，。

专题复习第9课函数与其他代数知识的综合运用(含答案)

第9课函数与其他代数知识的综合运用◆考点分析函数与其他代数知识的综合运用仍然是中考的热点之一，有的与方程、三角函数等知识相结合，有的是传统函数题的新探究，有的是函数与新的数学知识相结合. 这类题目多安排在最后几道，主要考查综合运用知识的能力，其难度比较深，运算量比较大，对式的恒等变形、用字母表示数的代数知识及数学思想方法等要求特别高. ◆典型例题例1 (2006年长沙市中考题)如图3.3-1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点.（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式.【解题分析】本题以函数知识为框架，以方程知识为工具，将函数与方程揉和为一体. 第（1）小题把求直线与抛物线的交点问题转化为解方程组问题可求得A 、B 两点的坐标；第（2）小题把求点的坐标问题转化为三角形相似问题，由C 、D 两点坐标求出线段AB 的垂直平分线的解析式.【同类变式】如图3.3-2，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12y x =交于A 、B 两点.（1）求线段AB 的长；（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大？最大面积是多少？（2007年深圳市中考题）例2 （2005年常州市中考题）有一个直角三角形ABC ，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A在反比例函数y x=的图象上，求点C 的坐标.【解题分析】根据题目要求，直角三角形ABC 的直角顶点A要放在反比例函数y =的图象上，而函数图象有两支，直角三角形ABC 又不是等腰直角三角形，所以会出现四种情况，在每一种情况下，根据直角三角形的特殊边角关系，即可求出点C 的坐标. 这种分情况讨论求解的题目不仅要求思维灵活、严谨，而且要求具有很好的知识基础，如本题中的特殊直角三角形的边角关系的计算要达到“自动化”的程度.【同类变式】（2006年成都市中考题）如图3.3—3，已知反比例函数(0)ky k x=<的图象经过点A ()m ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且∆AOB.（1）求k 和m 的值；（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和︱A O ︱：︱A C ︱的值.例3 （2007年大连市中考题）已知抛物线22y ax x =++. （1）当1a =-时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）若代数式22x x -++的值为正整数，求x 的值；（3）当1a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)M m ，当2a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)N n ，若点M 在点N的左边，试比较1a 与2a 的大小.【解题分析】第（1）小题是把抛物线解析式的一般形式化为顶点式，必须熟练掌握，22192()24y x x x =-++=--+；第（2）小题求解必须明确，开口向下的抛物线219()24y x =--+，它的最高点是它的顶点19(,)24，即它的最大函数值为94，那么代数式22x x -++的正整数值就只有1或2，再分别求出x 的值；第（3）小题对代数式的恒等变形要求很高，要谨慎分别用,m n 的代数式表示12,a a ，用求差法就可以比较1a 与2a 的大小，但要注意题目条件“0m n <<”有效合理利用.◆当堂反馈1、（2007年成都市中考题）如图3.3—4所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 .2、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点G 为矩形对角线的交点，经过点G 的双曲线ky x=在第一象限的图象与BC 相交于点M ，则CM ：MB= . （2007年大连市中考题） 3、设抛物线212y x =与直线y x =的交点为A ，与直线y x =-的交点为B. 过点A 引与OB 平行的直线，与抛物线212y x =交点为C ，再经过点C 引与OA 平行的直线，与212y x =的交点为D. 用最简单的整数比来表示下列线段的比：OA ：AC ：CD.◆配套练习1、（2007年南京市中考题）已知点(,)P x y 位于第二象限，并且4y x ≤+，,x y 为整数，写出一个符合上述条件的点P 的坐标 .2、（2007年威海市中考题）如图3.3-6，直线y mx =与双曲线ky x=交于点A 、B ，过点A 作A M ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若1ABM S ∆=，则k 的值是（）.A .1 B. 1m - C.2 D. m3、二次函数2(0,,,y ax bx c a a b c =++≠都是常数），自变量x 与函数y 的对应值如下表：x－112- 0 12 1 32 2 52 3 y－2 14-174274114- －2（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；（2）一元二次方程20(0,,,ax bx c a a b c ++=≠都是常数）的两个根1x ，2x 的取值范围是下列选项中的哪一个？ .①12130,222x x -<<<<；②12151,222x x -<<-<<； ③12150,222x x -<<<<；④12131,222x x -<<-<<. （2007年宁夏中考题）4、若设关于x 的一次函数11y a x b =+与22y a x b =+，则称为函数1122()()y m a x b n a x b =+++（其中1m n +=）为此两个函数的生成函数.（1）当1x =时，求函数1y x =+与2y x =的生成函数的值；（2）若函数11y a x b =+与22y a x b =+的函数交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由. （2007年绍兴市中考题）答案: ◆典型例题例1 （1）由题意得216,412y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得12126,4,,32x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，∴A （6，-3）B （-4，2）；（2）如题图，作AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，交AB 与M ，∵OA OB ==，∴AB =∴122OM AB OB =-=，过点B 作B E ⊥x 轴E 于点，∵⊿BEO ∽⊿CMO ，∴OC OM OB OE =，55,42OC OD ==， ∴C 、D 两点的坐标分别为55(,0),(0,)42C D -，设过C 、D 两点的直线解析式为y kx b =+，则有50,452k b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴2,52k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即线段AB 的垂直平分线的解析式为522y x =-. 【同类变式】（1）由216,412y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得12124,6,,23x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，∴A （-4，-2）B （6，3），易求得OA OB ==，∴AB = （2）设扇形的半径为x ，扇形的面积S ，则212)2S x x x x ==-，当x =12516S =.例2 有4种情况：如图（1），过点A 作A D ⊥BC 于D ，则AD=AB ×sin600=2，即A点的纵坐标为2，将其代入y x=得2x =， ∴OD=2，在直角三角形ADC 中， DC=32，∴OC=72，∴17(,0)2C ；如图（2）过点A 作A E ⊥BC 于E ，则AE=2，OE=2，CE= 32， ∴OC= 12，∴21(,0)2C ；根据双曲线的对称性，可知3471(,0),(,0)22C C --. ∴点C 的坐标分别为：17(,0)2C 、21(,0)2C 、37(,0)2C -、41(,0)2C -.【同类变式】（1）2,m k ==-（2）∠ACO=300，︱A C ︱=4，︱A O ︱，∴ ︱A O ︱：︱A C ︱：4.例3 （1）当1a =-时，抛物线22y ax x =++可化为22192()24y x x x =-++=--+， ∴顶点坐标为19(,)24，对称轴为12x =；（2）∵代数式22x x -++的值为正整数，∴函数22y x x =-++的值为正整数，又∵22192()24y x x x =-++=--+，它的最大值为94， ∴y 的正整数值只能为1或2，图2当1y =时，21221,x x x x -++===，当2y =时，23422,0,1x x x x -++===.∴x的值有四个：11,22+-. （3）当1a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)M m ，∴2120,0,a m m m ++=≠，∴122m a m +=-，当2a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(,0)N n ，∴2220,0a n n n ++=≠，∴222n a n+=-， ∴122222()m n a a m n ++-=--- 22222222n m n m n m m n --++= 22()(22)m n mn m n m n -++=， ∵点M 、N 在x 轴的正半轴上，且点M 在点N 的左边，∴0m n <<，∴0m n -<， ∴22()(22)0m n mn m n m n -++<，∴12a a <.◆当堂反馈1、-1.2、1：3.3、如图，由21,2y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩得A 点坐标为（2，2）∴同理，， ∴OA ：AC ：CD=1：3：5.◆配套练习1、（-1，3），（-1，2），（-1，1），（-2，2），（-2，1），（-3，1）写一个即可.2、A.3、（1）开口向下，顶点坐标为（1，2）；（2）选③.4、（1）函数1y x =+与2y x =的生成函数为(1)(2)(2)y m x n x m n x m =++=++，当1x =时，此两个生成函数的值为(2)12()212y m n m m n =+⨯+=+=⨯=；（2）点P 在两个函数的生成函数图象上.设点P 的坐标为(,)a b ，∵11a a b b ⨯+=，22a a b b ⨯+=， ∴当自变量x a =时，此两个函数的生成函数的函数值y 为：1122()()y m a a b n a a b =⨯++⨯+()mb nb m n b b =+=+=，即点P 在两个函数的生成函数图象上..。

2017届高考数学(理)一轮复习同步基础训练第2章-第9课时《函数与方程》(通用版含解析)

第二章第9课时【A 级】基础训练1．(2015·山东淄博模拟)若方程xlg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z)上，则k 等于( )A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图像，如图所示，由图像可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C.答案：C2．(2015·北京海淀模拟)函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f(12)＝log 212－2＝－3＜0，f(1)＝log 21－1＝－1＜0，f(2)＝log 22－12＝12＞0，∴函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为(1,2)，故应选C. 答案：C3．(2013·高考湖南卷)函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出两个函数的图像，利用数形结合思想求解．g(x)＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x 与g(x)＝(x －2)2的图像(如图)．由图可得两个函数的图像有2个交点．答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2|x|＋12，x≤0|lgx|－1，x>0的零点个数为________．解析：作出函数f(x)的图像，从图像中可知函数f(x)的零点有4个．答案：45．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.解析：∵2<a<3<b<4，当x ＝2时，f(2)＝log a 2＋2－b<0；当x ＝3时，f(3)＝log a 3＋3－b>0，∴f(x)的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. 答案：26．(2014·高考天津卷)已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像，将方程根的个数问题转化为两图像交点的个数问题求解．设y 1＝f(x)＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像如图所示．由图可知f(x)－a|x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x|与y 2＝a|x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝－有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a)x ＋a ＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a 2－10a ＋9>0，解得a<1或a>9.又由图像得a>0，∴0<a<1或a>9. 答案：(0,1)∪(9，＋∞)7．(2015·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.8．(2015·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：－.由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝e a＋2因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a·(－a)＞－a，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 【B 级】能力提升1．(2015·沈阳四校联考)已知函数f(x)＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：依题意得，a ＞1,0＜b ＜1，则f(x)为R 上的单调递增函数，又f(－1)＝1a －1－b＜0，f(0)＝1－b ＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1，选B.答案：B2．(2015·豫西五校联考)已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x)＝1，f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x)＝0，f(x)＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x)＝－1，f(x)＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x 的零点个数为2.答案：B3．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：作出函数的图像，用数形结合思想求解．先作出函数f(x)＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx 过A 点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：B4．若函数f(x)的图像是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)间．答案：③④⑤5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．解析：∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f(x)＝x 2－x －6. ∵不等式af(－2x)>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x<1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x<16．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f(x)与y ＝a 的图像，根据图像交点个数得出a 的取值范围．作出函数y ＝f(x)在[－3,4]上的图像，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图像可得0<a<12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．已知函数f(x)＝|x|x ＋2，如果关于x 的方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．解：∵f(x)＝|x|x ＋2，∴原方程即|x|x ＋2＝kx 2.(*)①x ＝0恒为方程(*)的一个解．②当x<0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx ＋1＝0.当k ＝0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k 2－4k≥0，即k<0或k≥1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有解．设方程kx 2＋2kx ＋1＝0的两个根分别是x 1、x 2，则x 2＋x 2＝－2，x 1x 2＝1k.当k>1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个不等的负根；当k ＝1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个相等的负根；当k<0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有一个负根． ③当x>0时，若方程(*)有解，则x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx －1＝0. 当k ＝0时，方程kx 2＋2kx －1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k 2＋4k≥0，即k≤－1或k>0时，方程kx 2＋2kx －1＝0有解．设方程kx 2＋2kx －1＝0的两个根分别是x 3、x 4，则x 3＋x 4＝－2，x 3x 4＝－1k.当k>0时，方程kx 2＋2kx －1＝0有一个正根；当k≤－1时，方程kx 2＋2kx －1＝0没有正根．综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解．。

2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：第二章第9节函数与方程

主干知识自主排查核心考点互动探究真题演练高考预测课时作业知能提升首页上页下页尾页
考点一|函数零点的判定
规律方法
函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)· f(b)<0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． (3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
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2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：(0,0.5) f(0.25)
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2 4．函数f(x)＝2 －－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的 x
x
(0,3) ．取值范围是________
解析：由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.
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1．方程x＋lg x＝3的解x∈(m，m＋1)，若m是正整数，则m的

2021年江苏高考数学一轮复习讲义第2章第9节函数与方程

第九节函数与方程［最新考纲］结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断元二次方程根的存在性与根的个数.［必备知识填充J1. 函数的零点 ⑴函数零点的定义对于函数y = f(x)(x € D),把使f(x) = 0的实数x 叫做函数y = f(x)(x € D)的零占八、、・(2) 三个等价关系方程f(x) = 0有实数根？函数y = f(x)的图象与x 轴有交点?函数y =f(x)有零占八、、•(3) 函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y = f(x)在区间［a , b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) f(b)v 0，那么，函数y = f(x)在区间(a , b)内有零点，即存在c € (a , b)，使得 f(c) = 0，这个c 也就是方程f(x) = 0的根.2. 二次函数y = ax 2 + bx + c(a >0)的图象与零点的关系［常用结论］有关函数零点的3个结论(1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.护參思皎与坍打除双基方点(2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.［学情自测验收］一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ()(2) 函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a) f(b) v 0.()(3) 若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a) f(b)v0,则函数f(x)在［a，b］上有且只有一个零点. ()⑷二次函数y= ax2+ bx+ c在b2—4ac v 0时没有零点. ()［答案］(1) X (2)x (3)x ⑷V二、教材改编贝U函数y=f(x)在区间［1,6］上的零点至少有()A. 2个 B . 3个C. 4个 D . 5个B f(2) f(3)v0, f(3) f(4) v0, f(4) f(5) v0,故函数f(x)在区间［1,6］内至少有3个零点.］2. 函数f(x) = In x+ 2x—6的零点所在的区间是()A. (0,1) B . (1,2)C. (2,3)D. (3,4)C ［由题意得f(1) = ln 1 + 2—6= —4v0, f(2) = ln 2 + 4 —6= ln 2 —2v0,f(3) = ln 3 + 6 —6= ln 3 > 0,f(4) = ln 4 + 8 —6= ln 4 + 2> 0,••• f(x)的零点所在的区间为(2,3).］3 •函数f(x) = e x + 3x 的零点个数是 __________ .11 [由已知得f ' (x) = e x + 3>0,所以f(x)在R 上单调递增，又f(- 1)=--3DV 0, f(0)= 1> 0,因此函数f(x)有且只有一个零点.]11 x 、，、4.函数f(x) = x — 2的零点个数为 121 ［作函数y 1 = x 和y2 =由图象知函数f(x)有1个零点.]总结常打虽课堂考点探究破解高亦毓难•考点1 函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法(1) 解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程. (2) 零点存在性定理.(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与 x 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.旳圧逊1•函数f(x)= In x —疋的零点所在的区间为() A . (0,1) B . (1,2) C . (2,3)D . (3,4)1B ［由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1) V 0,f (2)= In 2—丁 In 2 — In . e > 0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选B.］2.若 a v b v c ，则函数 f(x)= (x — a)(x — b) + (x — b)(x — c) + (x — c)(x — a)的两2的图象如个零点分别位于区间()A• (a, b)和(b, c)内B. (―乂, a)和(a, b)内C. (b, ©和(c,+x)内D. (—’, a)和(c,+x)内A ［t a v b v c,二f(a)= (a—b)(a —c)>0, f(b) = (b—c)(b —a)v0, f(c)= (c —a)(c —b) > 0,由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a, b)(b, c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a, b), (b, c)内，故选A.］k k+13 .已知函数f(x) = In x + 2x —6的零点在2’ 〒(歩Z)内，那么k=15 ［t f (x) = - + 2>0, x€ (0,+x), f(x)在x€ (0,+)上单调递增，x5 5 5且f2 = In 2—1v0, f(3) = In 3>0, . f(x)的零点在2，3 内，则整数k= 5.］EU平⑴f(a) f(b)v0是连续函数y= f(x)在闭区间［a, b］上有零点的充分不必要条件.(2)若函数f(x)在［a, b］上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，贝U f(a) f(b)v 0?函数f(x)在区间［a, b］上只有一个零点.•考点2函数零点个数的判断観那「函数零点个数的讨论，基本解法有(1) 直接法，令f(x) = 0,在定义域范围内有多少个解则有多少个零点.(2) 定理法，禾U用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3) 图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.酸斜刃(1)(2019全国卷川)函数f(x)= 2sin x—sin 2x在［0,2 n勺零点个数为In x —x 2 + 2x , x >0,2x +1*0的零点个数为()C . 2(3) 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x) = e x +x -3,则f(x) 的零点个数为()(1) B (2)D (3)C [(1)由 f(x) = 2sin x — sin 2x =2sin x — 2sin xcos x =2sin x (1 — cos x) = 0 得 sin x = 0 或 cos x = 1,二 x = k n k € Z , 又 v x € [0,2 x = 0,n 2n 即零点有3个，故选B.(2) 依题意，在考虑x > 0时可以画出函数y = ln x 与y = x 2 — 2x 的图象(如图), 可知两个函数的图象有两个交点，当 x < 0时，函数f(x) = 2x + 1与x 轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点.故选D.(3) 因为函数f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0) = 0,即x = 0是函数f(x) 的1个零点.C . 4⑵函数f(x) ==-x + 3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点.根据对称性知，当X V 0时，函数f(x)也有1个零点•综上所述，f(x)的零点个数为3.]E5.F 平(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b) V 0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.⑵图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象.在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制.既湮1.函数f(x)= 2x |log o.5x|—1的零点个数为() A . 1B . 2C . 3D . 41 x可得 |log 0.5x|= 21 x设 g(x) = |log 0.5x|，h(x)= 2在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点.故选B.]当 x > 0 时，令 f(x) = ey = e x 和 y ［令 f(x) = 2x |log 0.5x — 1—2, x>0,2•已知函数f(x)= , u门若f(°)= —2, f(- 1)= 1,则函数—x + bx+ c, x W 0,g(x) = f(x) + x的零点个数为________ .c= —2 ,3 ［依题意得—1 —b+ c= 1,b——4,由此解得c—- 2.由g(x) —0 得f(x) + x—0,x> 0,该方程等价于①—2+ x—0,x W 0,或2②—x2—4x—2 + x—0.解①得x—2,解②得x——1或x——2.因此，函数g(x) —f(x) + x的零点个数为3.]•考点3函数零点的应用観3根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.芒自..根据函数零点个数求参数酸斜刃已知函数f(x)—|x2+ 3x|, x€ R，若方程f(x) —a|x—1| —0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_____ .(0,1)U (9,+x)[设y i = f(x) = |X2+ 3x|, y2= a|x—1|,在同一直角坐标系中作出y i= X + 3x|, y2= a|x—1|的图象如图所示.1y,-,]=ld+3!d-3 -2-10 1 亠由图可知f(x)—a|x—1|= 0有4个互异的实数根等价于y i = |x2+ 3x|与y2 = a|x —1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,2y = —x —3x,所以有两组不同解，y= a 1 —x消去y得x2+ (3 —a)x+ a= 0有两个不等实根，所以△= (3—a)? —4a>0, 即卩a—10a + 9>0,解得a v 1或a>9.又由图象得a>0, 0v a v 1或a>9.]兰评由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.考向2根据函数有无零点求参数0, x< 0,酸辭I已知函数f(x)= e x>0 则使函数g(x) = f(x) + x—m有零点的实数m的取值范围是 ________ .(—%, 0] u (1,+^)[函数g(x) = f(x) + x—m 的零点就是方程f(R + x= mx, x<0,的根，画出h(x) = f(x) + x= 的大致图象(图略).e x+ x, x>0观察它与直线y= m的交点，得知当m W0或m> 1时，有交点，即函数g(x)=f(x)+ x—m 有零点.]IS疔半函数有无零点问题？函数图象与X轴有无公共点问题.才I-, -i根据零点的范围求参数瑟斜刃若函数f(x)= (m—2)x2+ mx+ (2m + 1)的两个零点分别在区间(一1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_________ .1 14，2 [依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m^ 2,f —1 • 0 V0,f 1 f 2 V 0,m^ 2,即[m—2—m+ 2m + 1 ] 2m+ 1 V 0,[m—2+ m+ 2m + 1 ][4 m—2 + 2m+ 2m + 1 ]V0,1 1解得4< m v 2・]缶疔申此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解.|羽典题1•函数f(x)= 2x—x —a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)C [因为f(x)在(0,+^)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)= (0 —a)(3 —a)v0,解得0v a v3,故选C.]2 .方程log1 (a —2x) = 2+ x有解，则a的最小值为_________ .21 1 2+x 1 1 x1 [若方程log^a—2x) =2 + x有解，贝U 2 = a —2x有解，即42 +公=a1 1 x有解，因为111+ 2x> 1,故a的最小值为1.]3. 已知函数f(x)= ' '若关于x的方程f(x)= k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是_________ .(-1,0)[关于x的方程f(x)= k有三个不同的实根，等价于函数y i = f(x)与函数y2= k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(-1,0).]11。

高考数学一轮复习备课手册：第9课二次函数

第9课二次函数一、考纲要求1.熟练掌握二次函数的图象和性质。

2.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象和性质讨论一元二次方程根的分布3.能解决与二次函数有关的一些综合题二、基础知识回顾与梳理热身练习1.已知函数()x f 是二次函数，且(),00=f ()()11++=+x x f x f ，则()=2f【教学建议】本题主要是帮助学生复习，理解二次函数的一般式。

解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。

（1）教学时，教师可让学生分析条件，列出等式．（2）引导学生()()11++=+x x f x f 实际上是指对任意的x 恒成立．从而比较系数，得出结果．2.设0>abc ，二次函数()c bx ax x f ++=2的图象可能是【教学建议】二次函数的图象是抛物线，具有许多优美的性质，如对称性，单调性，凹凸性等，结合这些图象特征解决二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．（1）观察图象可以从哪几方面去研究？引导学生提出自己的见解．（2）特征点，特征线，特殊值，参数的几何意义，建议列个表格帮学生归纳．【解析】当0>a 时，b ，c 同号，（C ）（D ）两图中0<c ， 0<b ，02>-ab ，故选项（D ）符合.【方法技巧】根据二次函数图象开口向上或向下，分0>a 或0<a 两种情况分类考虑.另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.3. 已知函数,14)(2+-=mx x x f ，当2-≥x 时递增，当2-≤x 时递减，则)1(f 值等于．【教学建议】二次函数性质的研究要特别关注二次函数的对称轴位置．问题：2-这个数具有什么明显的几何意义？确定)1(f 的值需要确定参数m 的值，与2-有何联系？4.若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．【教学建议】三个二次的问题是本讲的重点，要揭示三者的内在联系，通过列表直观形象．（1）3-如何处理，是移项还是不移项，后续步骤如何解决？（2）解集非空的含义是指有点在x 轴的下方，画出图象，列出关系式进行求解．【解析】不等式032≤-=--a ax x 的解集非空，则应有判别式()0)3(42≥---=∆a a ，解得2≥a 或6-≤a ．三、诊断练习1．教学处理：在学生预习的基础上，教师进行有针对性的讲评。