2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (115)

2020高考数学模拟试题

（理科）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．

．） 1．已知集合A ＝{

}

2

20x x x -≤，B ＝{﹣1，1，2}，则A I B ＝ ． 2．设复数2

1i

z =+

（其中i 为虚数单位），则z ＝ ． 3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．

4．顶点在原点且以双曲线

22

1124

x y -=的右焦点为焦点的抛物 线方程是 ． 第3题

5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：20x my m -+-=，l 2：(2)10mx m y +--=，若直线l 1∥l 2，则m ＝ ．

6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．

7．若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪

--≤⎨⎪-+≥⎩

，则32z x y =+的最大值为 ．

8．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移

6

π

个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4

g π

＝ ．

9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1

上的任意一点，则三棱锥B —ECF 的体积为 ． 10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q ＝ ． 11．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈[6π-

，4

π]时，函数2

()23sin cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是 ．

12．已知函数3

31()0

()220x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪--≥⎩

，，，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式

(1)f x -≤()f x m +恒成立，则实数m 的取值范围是 ．

13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：22

1x y +=的一条切线，切点为A ，若存在

定点B(0x ，0y )，使得PA ＝PB 恒成立，则0x ﹣0y

＝

．

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(x ，y )

满足(OP OA)(OP OB)1⋅⨯⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2OP OC OP

⋅u u u r u u u r

u u u r 的最大值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB ⊥BD, PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD ．

（1）求证：PC ∥平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB ．

16．（本题满分14分）

如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA BD 66⋅=u u u r u u u r

．

（1）若C ＞B ，且cos(C ﹣B)＝

13

14

，求角C ； （2）若△ACD 的面积为S ，且1CA CD 2

S =⋅u u u

r u u u r ，求AC 的长度．

17．（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

22

22

1

x y

a b

+=(a＞b＞0)的长轴长为4，左准线l的

方程为x＝﹣4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝24

7

，求

直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G(

5

2

-，0)，求证：A1，B，G

三点共线．

18．（本题满分16分）

某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再

沿着圆弧轨道

¼MA到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．

（1）试将l表示为α的函数()

lα，并写出α的取值范围；

（2）求l最小时cosα的值．

19．（本题满分16分）

已知函数2

()ln ()f x x a x x =+-(a ∈R)． （1）当a ＝0，证明：()1f x x <-；

（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数k 的取值范围；

（3）当a ＜0时，求函数()f x 的零点个数． 20．（本题满分16分）

已知N n *

∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，

且满足1

(1)2

n n n T b n n b +=+

+，且12a b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n n n

a c

b =

，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1≤i ＜j ，i ，j N *

∈），使i c ＋j c 仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．