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函数中易混易错的十个问题函数是高中数学的主干知识，在学习中应注意理解有关概念的内涵，甄别易混易错的概念，深入分析函数的性质。

下面就几个易混易错的问题举例说明。

一、复合函数[]()f g x 的定义域与复合函数的外层函数)(x f 的定义域复合函数[]()f g x 的定义域受函数()f x 的定义域的制约，如“已知()f x 的定义域为[],a b ，求[]()f g x 的定义域”是指求满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围；而“已知复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ”就是指b x a ≤≤，则()f x 的定义域为()x g 在x ∈[]b a ,上的值域．例1.（1）设函数)(x f 的定义域为[0,2]，求函数)12(-x f 的定义域：解：由2120≤-≤x 解得21-≤x ≤23. 从而)12(-x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21. （2）设函数)12(-x f )的定义域为[0,2]，则)(x f 的定义域为____________.解：)(x f 的定义域即()|12|-=x x g 在[0,2]上的值域.由0≤x ≤2得-1≤2x-1≤3，从而0≤|2x-1|≤3.所以)(x f 的定义域为[0,3].练习：1．已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，求函数()2+x f 的定义域和值域。

答案：[-2，-1] ，[1，2]2．已知函数)2x 2(f -的定义域是[0，2]，求f （-3x ）的定义域由函数)2x 2(f -的定义域是[0，2]，可得2x 0≤≤，有22x 22≤-≤-，故f （x ）的定义域为[－2，2]二、函数的定义域为A 与函数在A 上恒有意义“函数在A 上恒有意义”中的A 是()f x 的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而“函数的定义域为A ”中的A 是使函数有意义的自变量取值范围。

例2．已知函数m x f x x ⋅++=421)((1)若此函数在]1,(-∞上有意义，求m 的取值范围.(2)若此函数的定义域为]1,(-∞ ，求m 的取值范围.解：（1）因为函数m x f x x ⋅++=421)(在]1,(-∞ 上有意义，即0421≥⋅++m x x 对]1,(-∞∈x 恒成立，xx m )21()41(--≥ 令xx x u )21()41()(--=则)(x u 在]1,(-∞上单调递增又∵43)1(-=u ∴43-≥m （2）若函数m x f x x ⋅++=421)(的定义域为]1,(-∞ ，则1240x x m ++≥的解集]1,(-∞ 从而有0)21()41(≥++m x x 的解为1≤x 易解得2411)21(m x -+-≥ 即2411log 21m x -+-≤ ∴12411log 21=-+-m 解得43-=m 练习：已知函数()212()log 23f x x ax =-+，解答下列问题：（1）若函数在[)1,-+∞内有意义，求实数a 的取值范围；（2）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；解：记222()23()3u g x x ax x a a ==-+=-+-。

初中数学：函数及其图像易错题归纳

初中数学：函数及其图像易错题归纳
函数是中考数学的重点和难点，因为函数的题型变化太多，可以和很多知识点进行糅合。

但是，我们把最基础的概念完全理解透彻，牢牢掌握。

能够把函数的三种基本形式：一般式，顶点式和交点式的特点和异同特性做到灵活运用。

我们可以通过函数图像的开口方向，对称轴，和坐标系x轴y轴的交点，或者根据抛物线上的点，就可以快速地求出函数的解析式。

考试中求解析式的题目非常常见，特别是在中考的最后一道大题，算作是数学大题中的压轴题。

而对学生来说，抛物线学不好，函数就无从下手，抛物线中的开口问题、对称轴问题、交点问题等充斥大脑，会让很多同学望而却步。

虽然话是这样说，但是学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性质画图像，正所谓数形结合，函数无敌。

高考数学出错知识点

高考数学出错知识点近年来，随着高考数学难度的增加，考生对于数学出错知识点的关注也越来越高。

本文将详细介绍高考数学中常见的出错知识点，帮助广大考生避免犯错，取得好成绩。

一、函数知识点容易出错1.函数概念混淆：有些考生经常将函数的自变量和因变量搞混，这是一个常见的错误。

函数的自变量是指函数中的变量，而因变量则是由自变量决定的变量。

2.函数运算错误：在进行函数的加、减、乘、除等运算时，考生容易出错。

在进行函数运算时，需要正确对函数进行合并、分解等操作。

3.反函数的理解不准确：有关反函数的相关概念，考生容易混淆。

反函数是指一个函数f的逆函数，记为f的倒数。

考生在使用反函数时，需要注意区分正函数和反函数之间的关系。

二、概率与统计中容易出错的知识点1.概率的计算错误：在计算概率时，考生容易犯错。

计算概率时，需要根据事件的样本空间和样本点进行确定，而不是随意计算。

2.核心概念混淆：在统计学中，考生容易混淆样本均值和总体均值、样本方差和总体方差等概念。

考生需要明确这些概念的含义和计算方法。

3.抽样调查错误：在进行抽样调查时，考生经常犯错。

抽样调查需要满足一定的条件，而不是随意进行，否则会导致结果的不准确。

三、函数与方程中容易出错的知识点1.解方程错误：在解方程时，考生容易漏项、错项或者运算错误。

在解方程的过程中，要仔细检查每一步是否正确，保证解答的准确性。

2.函数的性质混淆：在讨论函数的增减性、单调性和最值等性质时，考生容易混淆。

对于函数的性质要有清晰的理解，并运用正确的方法来推导和分析。

3.函数图像认知错误：在绘制函数图像时，考生容易出错。

对于不同函数类型，考生应该熟悉其图像特点，并正确绘制。

四、几何中常见的出错知识点1.平行线与垂直线的判断错误：在判断平行线和垂直线时，考生容易混淆。

考生需要掌握判断平行线和垂直线的准确方法。

2.图形对称性分析错误：在分析图形的对称性时，考生容易出错。

对于不同类型的对称图形，考生需要准确判断其对称轴和对称点。

易错点10函数零点定理使用不当致误

易错点16 对等差、等比数列的性质理解错误
错因分析：等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结论“若数列{an}的前N项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”；在等差数列中，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。
Байду номын сангаас
易错点8 求函数奇偶性的常见错误
错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。
三、数列
易错点14 用错基本公式致误
错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2；等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn－1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。

例析函数中十一对易混的问题

例析函数中十一对易混的问题函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误．本文针对函数中容易混淆的十二对问题加以剖析并举例说明．一、定义域与值域例1．（I ）若函数)2lg(2a x ax y ++=的定义域为R ，求实数a 的取值范围．（II ）若函数)2lg(2a x ax y ++=的值域为R ，求实数a 的取值范围．分析：（I ）若函数)2lg(2a x ax y ++=的定义域为R ，就是无论x 为何实数，022>++a x ax永远成立．令a x axx t ++=2)(2，则)(x t 的图象始终在x 轴的上方，因此，就有0>a 且0442<-=∆a ，从而，1>a ．（II ）若函数)2lg(2a x ax y ++=的值域为R ，就是a x ax x t ++=2)(2应该取遍一切正的实数，也就是集合*R 是)(x t 值域的子集．当0=a 时，x x t 2)(=，它的值域是R ，符合要求；当0>a 时，只要0442≥-=∆a 就能保证集合*R 是)(x t 值域的子集，解得10≤<a ；0<a 时不合要求．故实数a 的取值范围是]1,0[．评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合．二、定义域与有意义例2．（I ）已知函数2)(-=ax x f 的定义域为),3[+∞，求实数a 的取值范围．（II ）已知函数2)(-=ax x f 在区间),3[+∞上有意义，求实数a 的取值范围分析：（I ）因为函数2)(-=ax x f 的定义域为),3[+∞，所以不等式02≥-ax 的解集是),3[+∞，于是，3=x 是方程02=-ax 的根，代入求得32=a ．（II ）因为函数2)(-=ax x f 在区间),3[+∞上有意义，所以，不等式02≥-ax 对),3[+∞∈x 恒成立，即xa 2≥对),3[+∞∈x 恒成立，而]32,0(2∈x，即32≥a ．评注：若)(x f 在M 上有意义，则M 是函数)(x f 定义域的子集．三、值域与函数值变化范围例3．（I ）若函数a x a x x f +-+=)1(2)(2的值域为),1[+∞，求实数a 的取值范围．（II ）若函数a x a x x f +-+=)1(2)(2的值恒大于或等于1，求实数a 的取值范围．分析：（I ）因为函数a x a x x f +-+=)1(2)(2，所以81108)1(8)(22min -+-=--=a a a a x f ，即)(x f 的值域为),8110[2+∞-+-a a ，于是有181102=-+-a a ，解得1=a 或9=a ．（II ）因为函数1)(≥x f 恒成立，即0)1()1(22≥-+-+a x a x 恒成立，因此有0)1(24)1(2≤-⋅--=∆a a 恒成立，解得91≤≤a ．评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在),1[+∞内，并非要求取遍),1[+∞内的每一个值．四、主元与次元例4．（I ）对于任意的]4,0[∈x ，不等式342-+≥+a x ax x 恒成立，求实数a 的取值范围．（II ）对于任意的]4,0[∈x ，不等式342-+≥+a x ax x 恒成立，求实数x 的取值范围．分析：（I ）原来的不等式可以转化为03)4()(2≥+--+=a x a x x f 对于]4,0[∈x 恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论： i ）当024≤--a 时，即4≥a 时，只要03)0(≥+-=a f ，即3≤a ，此时矛盾． ii ）当424≥--a 时，即4-≤a 时，只要033)4(≥+=a f ，即1-≥a ，此时矛盾．iii ）当4240<--<a 时，即44<<-a 时，只要04)4()3(42≥---a a ，即2=a ．综上，实数a 的取值范围}2|{=a a ．（II ）原来的不等式可以转化为034)1()(2≥+-+-=x x a x a f 对于]4,0[∈a 恒成立；只要0)(min≥a f 即可，于是⎪⎩⎪⎨⎧≥-=≥+-=01)4(034)0(22x f x x f ，解得1-≤x 或3≥x 或1=x评注：构造函数时并不一定要以x 为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化．五、有解与恒成立例5．（I ）已知32)(+--=x x x f ，若a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围．（II ）已知32)(+--=x x x f ，若a x f >)(有解，求实数a 的取值范围．分析：（I ）因为a x f >)(恒成立，这就要求)(x f y =的图象全部在直线a y =的上方，即a x f >min )]([就可，易知5)]([min -=x f ，所以，5-<a ．（II ）要使a x f >)(有解，这就要求)(x f y =的图象上有点在直线a y =的上方即可，即a x f >max )]([，又5)]([max =x f ，所以，5<a评注：“有解”是要求某范围内存在x 使得不等式成立即可．)()(x f a g <有解max )]([)(x f a g <⇔，)()(x f a g >有解min )]([)(x f a g >⇔．“恒成立”要求对某范围内任意的x ，不等式都成立．)()(x f a g <恒成立min )]([)(x f a g <⇔，)()(x f a g >恒成立max )]([)(x f a g >⇔．六、单调区间与区间单调例6．（I ）若函数22)13()(a x a x x f +--=在区间),1[+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．（II ）若函数22)13()(a x a x x f +--=单调递增区间是),1[+∞，求实数a 的取值范围．分析：（I ）22)13()(a x a x x f +--=在区间),1[+∞上单调递增，那么，对称轴1213≤-=a x ，解得1≤a ．（II ）)(x f 图象的对称轴是213-=a x ，那么，)(x f 的单调递增区间为),213[+∞-a ，于是就有2131-=a ，解得1=a ．评注：若函数)(x f 在区间M 上具有单调性，则在M 的任一子区间上)(x f 具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间．七、某点处的切线与过某点的切线例7．（I ）求曲线32x x y -=在点)1,1(A 处的切线方程．（II ）求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程．分析：（I ）由32x x y -=得232x y -='，1|1-='=x y ，所以曲线在点)1,1(A 处的切线方程为)1(1--=-x y ，即02=-+y x ．（II ）设切点为)2,(3000x x x P -，又232x y -='，所以切线斜率为2032|0x y x x -='=，则曲线在P 点的切线方程为))(32()2(020300x x x x x y --=--．又)1,1(A 在切线上，于是就有)1)(32()2(1020300x x x x --=--，即01322030=+-x x ，解得10=x 或210-=x ；当10=x 时，切点就是)1,1(A ，切线为02=-+y x ；当210-=x 时，切点就是)87,21(--P ，切线斜率为45|21='-=x y ，切线为0145=--y x ．评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一．八、对称与周期例8．（I ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)21()23(x f x f -=+，且4)1(=-f ，求)3(f ．（II ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)21()23(-=+x f x f ，且4)1(=-f ，求)3(f ．分析：（I ）因为对于一切R x ∈，都有)21()23(x f x f -=+，即)2()(t f t f -=，Rt ∈恒成立，那么就有)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，所以，4)1()3(=-=f f ．（II ）因为函数)(x f 对一切实数x 都有)21()23(-=+x f x f ，那么就有)(x f y =是周期函数且2=T ，则 4)1()3(=-=f f ．评注：若函数)(x f 对一切实数x 都有)()(x b f a x f -=+，则有)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称．若函数)(x f 对一切实数x 都有))(()(b a b x f a x f -≠-=+，则有)(x f y =是周期函数，且其中一个周期为b a T +=．九、中心对称与轴对称例9．（I ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)2()8(x f x f --=+，且3≥x 时有47)(2+-=x x x f ．求)(x f 解析式．（II ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)2()8(x f x f ---=+，且3≥x 时有47)(2+-=x x x f ．求)(x f 解析式．分析：（I ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)2()8(x f x f --=+，则有)(x f y =的图象关于直线3=x 成轴对称；又3≥x 时有47)(2+-=x x x f ；所以3<x 时，有36>+-x ，254)6(7)6()6()(22--=+---=-=x x x x x f x f ；)(x f 解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-=).3(25),3(47)(22x x x x x x x f （II ）函数)(x f 对一切实数x 都有)2()8(x f x f ---=+，那么)(x f 的图象关于点)0,3(成中心对称；又3≥x 时有47)(2+-=x x x f ；所以3<x 时，有36>+-x ，25]4)6(7)6[()6()(22++-=+----=--=x x x x x f x f ．)(x f 解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥+-=).3(25),3(47)(22x x x x x x x f 评注：函数)(x f 对一切实数x 都有)()(x b f a x f --=+，那么)(x f 的图象关于点)0,2(b a +成中心对称．十、M x ∈时)()(x g x f ≤恒成立与Mx x ∈21,时)()(21x g x f ≤恒成立例10．（I ）已知函数a x x x f -+=168)(2，x x x x g 452)(23++=（a 为实数），若对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围．（II ）已知函数a x x x f -+=168)(2，x x x x g 452)(23++=（a 为实数），若对于任意的]3,3[,21-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围．分析：（I ）设)()()(x f x g x h -=，则a x x x x h +--=1232)(23；于是，对于任意的]3,3[-∈x 时，0)(≥x h 恒成立．即0)]([min ≥x h ；容易知道045)]([min ≥+-=a x h ，故45≥a ．（II ）对于任意的]3,3[,21-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤恒成立，等价于当]3,3[-∈x 时，min max )]([)]([x g x f ≤；容易求得21)]([min -=x g ，a x f -=120)]([max ，于是21120-≤-a ，故141≥a ．评注：M x ∈时)()(x g x f ≤恒成立，等价于M x ∈时，0)]()([min ≤-x g x f ；M x x ∈21,时)()(21x g x f ≤恒成立，等价于M x ∈时min max )]([)]([x g x f ≤．十一、函数单调与数列单调例11．（I ）若函数)1()(2≥+=x x x x f λ是单调增函数，求实数λ的取值范围．（II ）若函数x x x f λ+=2)(（1≥x 且*N x ∈）是单调增函数，求实数λ的取值范围．分析：（I ）因为函数x x x f λ+=2)(在区间),1[+∞是单调增函数，所以对称轴直线12≤-=λx ，得实数λ的取值范围是),2[+∞-．（II ）因为函数x x x f λ+=2)(在1≥x 且*N x ∈上是单调增函数，所以，对于一切*N x ∈，012)()1(≥++=-+λx x f x f 恒成立，即)12(+-≥x λ恒成立，故3)]12([max -=+-≥x λ．评注：数列是特殊的函数．若)(x f 在),1[+∞上是增函数，则数列))}(({*N n n f ∈一定是增数列，但反之未必成立．因此，函数的单调性与对应数列的单调性有时会不一致，应该慎重处理．。

数学中易错、易忘、易漏知识点

数学中易错、易混、易忘问题备忘录１．在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝A ⇔A Ｂ时，易忽略A 是空集∅的情况．２．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则．３．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称．4．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．反函数的定义域就是原函数的值域．5．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()f b a f a b -=⇔=6．原函数在区间[-a ，a ]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数1()y f x -=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如：1y x=. 7．根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)8. 求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．9. 用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正、二定、三等”这一条件．10. 你知道函数(0,0)b y ax a b x=+>>的单调区间吗？（该函数在()-∞+∞上单调递增；在[上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！11. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.12. 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．13. 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略．14. 等差数列中的重要性质：若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+;等比数列中的重要性质：若m +n =p +q ,则m n p q a a a a =.15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q ＝１的情况．16. 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况．17．等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是2n S an bn =+（a , b 为常数），其公差是2a .18．你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列，{n b }是等比数列，求{n c }的前n 项的和）19. 你还记得裂项求和吗？（如111(1)1n n n n =-++） 20．在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？21. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）22. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？1(||,2l r S lr α==扇形）23. 在三角中，你知道1等于什么吗？2222(1sin cos sec tan αααα=+=-tan cot αα=tan sin cos042ππ===（这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 24. 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是[,],[0,],(,)2222πππππ-- 25．0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定．0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直．26．若a →=0，则a →•b →=0，但是由a →•b →=0不能得到a →=0或b →=0．∵a →⊥b →时，a →•b →=0．27．若a →=c →时，则a →•b →=c →•b →，但由a →•b →=c →•b →，不能得到a →=c →．即消去律不成立．28．（a →•b →）•c →≠a →（b →•c →），这是因为（a →•b →）c →与c →平行，而a →（b →•c →）与a →平行，但a →，c →不一定平行．故不成立．29．在ABC ∆中，sin sin A B A B >⇔>30．使用正弦定理时易忘比值还等于2R ．31. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示．32. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即a ＞b ＞011a b ⇒<，a ＜b ＜011a b⇒>． 33. 分式不等式)0()()(≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分） 34. 解指、对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）35. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．36.常用放缩技巧：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--11121k k k k k k k k k+-=<<=-+++-+． 37.解析几何的主要思想：用代数的方法研究图形的性质．主要方法：坐标法．38.用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况．39.用到角公式时，易将直线ｌ1、ｌ2的斜率ｋ1、ｋ2的顺序弄颠倒．40.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是[0,),(0,),(0,]2πππ． 41.函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：（１）函数的图象的平移为“左+右－,上+下－”；如函数y ＝2x +4的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y =2（x ＋2）+4－3．即y =2x +5．（２）方程表示的图形的平移为“左+右－,上－下+”；如直线2x －y +4=0左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x ＋2)-(y ＋3)+4=0．即y =2x +5．（３）点的平移公式：点P (x ,y )按向量a →=(h ，k )平移到点P / (x /，y /)，则x /＝x + h ，y / ＝y + k ．42. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及λ值可要搞清） 43. 对不重合的两条直线，，有；．44. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.45. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．46. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.47. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.48.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？49.还记得圆锥曲线方程中的a ,b ,c ,p ,ca a c 2,的意义吗？ 50. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？51．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？52. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.53. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a ，b ，c ）54. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.55. 点P 在椭圆(或双曲线)上，椭圆中△PF 1F 2的面积2tan2b α与双曲线中△PF 1F 2的面积2cot 2b α易混(其中点F 1＼F 2是焦点).56.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点．此时两个方程联立，消元后为一次方程．57．经纬度定义易混. 经度为二面角,纬度为线面角.58.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法．59. 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大．60. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.61. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）62. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）63. 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°64．二项式()n a b +展开式的通项公式中a 与b 的顺序不变．65．二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第ｒ＋１项的二项式系数为.66. 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混．二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组112r r r r T T T T +++≥⎧⎨≥⎩来确定ｒ．67. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．68.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．69. 二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混．通项公式：（它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）．事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n nP k C p p -=-． 74. 解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等)75. 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．76. 解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．77. 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．78. 在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明，最后要进行总结．79. 在做应用题时, 运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值范围；在填写填空题中的应用题的答案时, 不要忘了单位．80．在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明。

高中数学丨函数题最容易出错的10类题型（附例题精讲），快来巩固吧！

高中数学丨函数题最容易出错的10类题型（附例题精讲），快来巩固吧！函数题是高中很难也很容易出错的地方，这10类易错题型，相信同学们都有遇见过，快来巩固练习一下吧！PS：记得文末点亮“赞”与“在看”再分享给需要的同学哦！！-易错点1-求函数定义域时条件考虑不充分。

经典例题：注意练一练参考答案:-易错点2-求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”经典例题：注意:练一练：参考答案：-易错点3-判断函数奇偶性时忽视定义域经典例题：注意：练一练：参考答案：-易错点4-求复合函数单调区间时忽视定义域经典例题：注意:练一练：参考答案：练一练:参考答案:-易错点5-解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论经典例题:注意:练一练参考答案:-易错点6-用函数图象解题时作图不准经典例题：注意：练一练：参考答案：练一练：参考答案：-易错点7-忽视分段函数各段的取值范围经典例题：注意：练一练：参考答案：练一练：参考答案：-易错点8-分段函数单调性问题，忽略分界点函数值的比较经典例题：注意：练一练：参考答案：-易错点9-误解“函数的零点”意义经典例题：注意：参考答案：-易错点10-函数零点定理使用不当经典例题：注意：练一练：参考答案：写在最后零星地变得优秀，也能拼凑出星河。

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“函数”一章中几个容易犯错的典型问题及解决对策

“函数”一章中几个容易犯错的典型问题及解决对策2007年第10期中学教研(数学)?l5?函数"一章中几个容易犯错的典型问题及解决对策●杨一丽(浙江宁波市镇海中学315200)"函数"一章的内容贯穿于高中数学的始终,历来是高考的重点.对于函数本身的内容,如定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性,对称性,反函数等有关知识,学生往往容易混淆,而且也会影响对其他各章知识的理解和综合应用.因此,笔者从学生易犯的错误出发,通过实例加以说明.1函数的定义域,值域问题例1已知函数f()的定义域为[0,1],求fC)的定义域.解由,()的定义域为[0,1],可得0≤≤1,从而0≤≤1,即一1≤≤l,因此,f()的定义域为[一1,1],易错点把自变量和原象的概念混淆,误把结果表示为[0,1].评析及解决对策对这一类问题,先要明确函数中哪一个为自变量,哪一个为原象,如本题中函数,()的自变量为,原象为,而求定义域是指求自变量的取值范围.例2已知函数,()=lg(∞+2+1).(1)若,()的定义域为R,求实数n的取值范围;(2)若,()的值域为R,求实数n的取值范围.解(1)因为对任意的ER,函数,()均有意义,所以口+2+1>0恒成立.1若口=0,则>一÷,不符合题意,故a#O,从而厶有口>0,且△=4—4a<0,因此,口>1.(2)由条件知,必须保证O,X+2+1能取到所有大于0的数,则1若口:0,则>一÷,符合题意;二若a#O,则口>0,且△=4—4a>~0,可得0<口≤1. 综上可得0≤口≤1,易错点将值域为R的问题错误地理解为定义域为R的问题,也就是将"有条件的成立问题"错误地理解为"恒成立"的问题,评析及解决对策对这一类问题,先要辨清是"有条件的成立问题"还是"恒成立"的问题,再结合二次函数的图像,性质及解不等式来解决.2函数的单调性问题例3已知函数,()=log(O,X一)在区间[2,4]上为增函数,求实数n的取值范围.解令g()=O,X一.当口>1时,g()在区间[2,4]上递增且在[2,4]上g(x)>0恒成立,则f麦≤2;Lg(2)=4a一2>0,所以口>÷.又口>1,因此口>1,当0<口<1时,g()在区间[2,4]上递减且在[2,4]上g()>0恒成立,则』寺≥4无解Lg(41=16a-4>0综上可得口>1.易错点(1)遗漏对对数函数底数n的讨论;(2)遗漏对数中真数大于零的条件.评析及解决对策复合函数的单调性,当内外函数的单调性一致时,为增函数;当内外函数的单调性相异时,为减函数.另外,复合函数的单调区间一定是定义域的子区间.而对数函数的单调性取决于底数n,因此要特别注意当对数函数中的底数为参数时的讨论及对数中真数大于零的条件.3函数的奇偶性问题例4讨论下列函数的奇偶性:(1),()=;(2)=,解(1)考察,()=的定义域,因为1+cos+sinx≠0,即COSX+sin.x≠一1,所以可以等于},但≠一},因此,定义域不关于原点对称,原函数为非奇非偶函数,?16?中学教研(数学)2007年第10期易错点化简函数得)=1-cosx+sinx2sin詈+2sin号cos手=——=tanno2c0s÷+2sin÷cos÷2就把)误认为是奇函数,原因是在化简的过程中函数的定义域发生了改变.评析及解决对策判断函数的奇偶性时,首先应考察函数的定义域是否关于原点对称.若不对称, 则函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,函数表达式能化简的,则先化简,然后再考察f(一),最后根据奇偶性定义判断.解(2)由1一>0及l一2l一2≠0,得)的定义域为(一1,0)U(0,1),则原函数可化为):一,所以原函数为偶函数.易错点有的学生会粗略一看,错误地认为一)≠),一)≠-f(),得出原函数为非奇非偶函数.评析及解决对策对这一类问题,先要考虑函数定义域,再对函数解析式进行化简后作出判断.4函数的周期性问题例5求下列函数的最小正周期:(1)Ylsinxl+lCOSX1.(2)Y=(3)Y=2一,ITj2一,ITj解(1)因为函数Y=lsinxl+lCOSXl=,/1+lsin2x1.而函数Y=lsin2xl的周期为-3--,所以所求函数的最'- 小正周期为T_.二易错点有的学生会粗略一看,根据Y=lsinxl和Y=lc0s引的周期均为叮T,错误地认为函数的最小正周期为评析及解决对策先对函数进行等价变形,此类函数的变形一般是将多个三角函数化为一个三角函数的形式,再进行求解.解(2)因为函数y=2sin2一詈)的最小正周期为叮T,所以函数y=2{sin(2一詈)l的最小正周期为要.(3)根据周期函数的定义或借助三角函数的图像可得),=2Isin2x-T)+1I的最小正周期为易错点有的学生会根据),=2Isin(2一手)I的最小正周期为而错误地认为函数Y=2Isin2x-T)+I的最小正周期也为詈,忽略了解析式中的常数1对周期的影响.(2)(3)评析及解决对策此类问题特别要关注函数是Y=Alsin()l的形式还是Y=Alsin(+)+引(k≠0)的形式,根据三角函数的图像和性质可知前者的周期是,后者的周期是I'l,Ill'5反函数问题例6已知)=+2(≤0),求f(一1)的反函数.解Y=一1)=(一1)+2=一2x+3.因为≤1,所以一1=一,/y一2,y≥2.故Y=一1)=(一1)+2的反函数为Y=1一,其中≥2.易错点有的学生错误地认为一1)的反函数为厂.(一1)=一/—x-—3.评析及解决对策对这一类问题,可直接求解(如例6)或者由Y=f(一1)知厂(Y)=一.[-一1)]=一1,所以=一.(Y)+1,即Y=f()+1,故Y=一1)的反函数为Y=厂()1,而不是Y=厂(一1).例7已知)=(≤÷),求),=)与Y=厂.()的交点坐标.解设交点坐标为(口,b),则(a,b)在Y=)上,同时(b,a)也在Y=)上,则J-=6;I=口,I●●+,l--,,l--,222007年第1O期中学教研(数学)?l7?解得或或解得{一或{或{,.16:掣刊易错点有的学生会认为原函数与其反函数图像的公共点一定在直线Y=上,于是由f一得:—,/~--3,:—,/~--3.从而产生了只解得一组解的错误解答.评析及解决对策若原函数的图像与其反函数的图像有公共点,则其公共点必在直线Y=上或者关于直线Y=对称,所以要利用反函数的概念联立方程组来求,可防止漏解.6函数的对称性问题例8已知函数f()是定义域为R的函数,且Y=2x一1)为偶函数.求函数Y=2x)的图像的对称轴.解法1令()=2x一1),则()关于直线=0对称,此时2x)=f+÷l,则,(2x)关于直线+÷=0对称,故函数Y=2x)的图像的对称轴为=一÷.解法2因为Y=2x一1)为偶函数,所以其图像关于直线=0对称.又因为函数Y=,(2x)的图像是由Y=2x一1)的图像向左平移{单位得到的,故函数Y=2x)图像的对称轴为=一÷.易错点往往由,(2一1)=f(一2x一1),即一1+2x)=一1—2),错误地得到Y=,(2x)图像的对称轴为=一1,其实=一1是Y---f()的图像的对称轴.评析及解决对策这一类问题往往可以通过先定义新函数,再利用奇(偶)函数的图像关于原点(Y轴)对称得到(如解法1),或者利用函数图像平移的思想(如解法2)求得.巧用代换法求最值●王递王复原程澄(北京交通大学电信学院通讯系100044) 代换法即变量替换法,是用一些新的变量(元)替换原来的变量(元),从而对原数学问题进行变形,达到化难为易,化繁为简的目的.求极值问题,往往是将生活中的优化问题数学化,变为求函数或变量在一定条件下的极大(小)值.这类问题有着较实用的价值,因此在中学教学以及高考中得到了越来越高的重视¨r3J.本文通过实例,给出了3种代换法:整体代换法,平均量代换法和三角代换法,以及它们在求解极值问题方面的一些应用.1整体代换法整体代换法是在一个比较复杂的式子中,把某个子式看成一个整体,用一个新变量进行代替,从而使式子简化的方法.例如,2007年浙江省高考数学理科第2O题,本题主要是考查椭圆的几何性质,椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力,实际上也可考查学生应用已知条件和方程,椭圆的知识来求AAOB面积S的最大值问题但是,不禁要问:对于可能的k,b,面积S的最大值是否存在?是多少?等等.下面把此题进行推广,并应用整体代换法给出完满的解答, 而且这个解答实际上也是完全不同于考题标准答案的另一种解答方式.2例1直线Y=kx+b与椭圆+=1交于A,叶两点,坐标原点为0,记AAOB的面积为5.(1)对于所有可能的k,b,求S的最大值;(2)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;(3)当lABI=2,S:1时,求直线AB的方程.2解(1)把Y=kx+b代入到}+y2:1,得叶(÷+k)X2+2kbx+b一1=0,(1)从而直线与椭圆相交于两点的充要条件是方程(1) 的判别式A=4k2一b+1>0,进而可知S存在的充。

易错突破：函数的概念与性质11个易错陷阱归纳(原卷版)—高一数学同步(人教A版2019必修第一册)

函数的概念与性质11个易错陷阱易错点1 混淆自变量而致错易错点拨：在求抽象函数的定义域问题中，需要明确一点，函数的定义域是函数自变量的取值范围，即若函数(())f g x 的定义域为A ，指的是x A Î，而不是()g x A Î．1．（23-24高一上·河北·月考）若函数()f x 的定义域为()3,6-，则函数()2y f x =的定义域为（）A ．()1,2-B ．3,32æö-ç÷èøC ．()6,12-D ．()9,18-2．（23-24高一上·广东佛山·月考）已知函数()f x 的定义域为[1,)+¥，则函数(1)(4)y f x f x =-+-的定义域为（）A ．(0,3)B ．[0]3,C ．(2,3)D ．[2,3]易错点2 忽略自变量的取值范围而致错易错点拨：用换元法求值域时，必须确定换元后新元的取值范围，否则会产生错解．新元的取值范围要根据已知函数的定义域来求解．3．（23-24高一上·河北邢台·月考）函数2y x =+的最大值为 .4．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数()f x x =的值域为 .易错点3 用换元法求解析式时忽略自变量的变化易错点拨：利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元前后自变量的取值范围．5．（23-24高一上·重庆南岸·期中）若函数)1fx =，则()f x 的解析式为（）A ．()()20f x x x x =+³B ．()()21f x x x x =+³C ．()()20f x x x x =-³D ．()()21f x x x x =-³6．（23-24高一上·山东烟台·月考）已知22()11x f x x =-+，则1(2f = ．7．（23-24高一上·福建福州·期中）若1=1x f x xæöç÷èø－，则f (x )＝ .易错点4 忽略对分段函数自变量范围的讨论易错点拨：在解决分段函数求值时，关键时分清楚自变量所在的取值范围，若自变量含有参数，要讨论自变量的取值，确定自变量的取值属于哪一段范围，从而选择相应的对应关系．8．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数()21,01,0x x f x x x -³ìï=í<ïî，若()14f a =-，则实数a = ；9．（23-24高一上·河南郑州·月考）设函数1,0()0x f x x ³<，若()()12f f a =-，则实数a = .10．（23-24高一上·陕西西安·期中）设())121,1x f x x x <<=->ïî，若()()1f a f a =+，则1f a æö=ç÷èø（）A ．2B ．4C ．6D ．8易错点5 忽略函数的定义域易错点拨：求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，再在定义域内求解．11．（22-23高一上·河北邢台·期中）函数()f x =的单调递减区间为（）A ．7,4æö-¥ç÷èøB ．1,2æ-¥çèC ．7,4æö+¥ç÷èøD ．(3,)+¥12．（22-23高一上·四川宜宾头·期中）函数2143y x x =+-的单调增区间为（）A ．3,2éö+¥÷êëøB ．31,2æù-çúèûC ．3,42éö÷êëø和()4,+¥D ．()3,11,2æù-¥-È-çúèû易错点6 错误理解单调区间和在区间上单调的概念易错点拨：函数在某区间上单调，则该区间为函数单调区间的子集．13．（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）若函数()()2212f x x a x =+-+的单调减区间是(],5-¥，则（）A ．5a £-B ．4a =-C ．4a £-D ．5a =-14．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数221=-+y x ax 在区间[]2,1-上为单调增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．2a <-B ．2a £-C ．1a >D ．1a ³易错点7 忽略分段函数中接点处函数值的大小而致错易错点拨：解决有关分段函数调性问题时，一定要注意比较接点处的函数值的大小．15．（23-24高一上·安徽阜阳·月考）函数()()()252,2213,2a x x f x x a x a x ì---³ï=í+--<ïî，若对任意1x ，()212R x x x Î¹，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]4,1--B ．[]4,2--C ．(]5,1--D ．[]5,4--16．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）已知函数23,1()(4)9,1m x x f x x m x x -ì+³ï=íï+-<î在R 上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,2-B ．[]3,2-C ．()3,2-D ．[]2,3-易错点8 求函数奇偶性时忽略对函数定义域的讨论易错点拨：在判断函数奇偶性时，务必坚守定义域优先的原则，在定义域关于原点对称的前提下，判断()f x -与()f x 的关系．另外，确定函数的定义域之前不要化简函数解析式，否则可能会导致定义域发生变化．17．（23-24高一上·广东佛山·期中）（多选）下列函数中为偶函数的是（）A ．()f x x =B ．()221f x x x =+C ．()12f x x =D ．()()210f x x x =-+£18．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）判断下列函数的奇偶性(1)()3f x x x =+； (2)()f x =+； (3)()2221x x f x x +=+.易错点9 对幂函数图像性质不清楚而致错易错点拨：在做有关幂函数的题时，一定要正确认识幂函数y x a =，其中a 的取值为R ．19．（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）若()2221m m y m m x -=--是幂函数，且在()0,¥+上单调递增，则m = ．20．（23-24高一上·上海嘉定·月考）如果幂函数a y x =的图像，当01x <<时在直线y x =的上方，则a 的取值范围是．易错点10 忽略对幂函数底数的分类讨论而致错易错点拨：利用幂函数解有关不等式时，需要依据幂函数的性质进行分类讨论．分类的依据是幂函数的定义域和单调性，且应把各种情况考虑周全，不能遗漏任何一种情况．21．（23-24高一上·江苏南京·月考）已知幂函数()223N m m y xm -++*=Î的图象关于y 轴对称，且在[)0+¥，上单调递增，则满足()()211m m a a --+<-的a 的取值范围为（）A ．()0,¥+B ．()11,2æö-¥-+¥ç÷èøU ，C ．()0,1D ．()10,12æö-¥-ç÷èøU ，22．（23-24高一上·河北·月考）已知幂函数()()244a f x a a x =--在(),0-¥上单调递减．(1)求a 的值；(2)求不等式()()21f x f x >-的解集．易错点11 忽略题目中的限制条件易错点拨：函数的应用问题中，我们不但要注意函数的定义域，还要注意实际意义，否则可能会得出错误的结果．23．（23-24高一上·上海·月考）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为边AB 上的一点，,(02)EB a a =<<．F 为线段ED 上的一点，FG BC ^，垂足为G ，FH CD ^，垂足为H ．(1)设FG x =，求：矩形FGCH 的面积S 关于x 的函数解析式及其定义域.(2)求：矩形FGCH 的面积S 的最大值．24．（24-25高一上·辽宁·开学考试）如图，在矩形ABCD 中，2cm AB =，4cm AD =.动点P ，Q 从A 同时出发，且速度均为2cm /s ，点P ，Q 分别沿折线AB BC -，AD DC -向终点C 运动．设点P 的运动时间为()()s 03x x <<，APQ △的面积为()2cm y .(1)当点P 与点B 重合时，x 的值为______.(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围.(3)当PQ 长度不变时，直接写出x 的取值范围及PQ 的长度.。

高中数学论文：函数中的几类易错问题

函数中的几类易错问题函数是高中数学的核心内容，也是高中数学中十分重要的概念之一。

由于它涉及映射，象与原象，函数的定义域和值域，图象和解析式等问题，因而是高考中的必考内容，然而在学习中，学生对函数的内容经常会出现某些模糊的认识甚至错误，现对常见的几种错误给予列举，希望能够给大家以启发。

1．函数的定义域容易被忽略例1：已知集合}12|{2有唯一实数解=-+=x ax a A ，若用列举法表示集合，则A 为（）}2,2,49.{}2,49.{}49.{}49.{----D C B A错解：原式转化为022=---a x x唯一的实数解，所以)2(41=++=∆a 49-=∴a 答案：A错因：忽略函数的定义域。

正解：原式等价于22-=+x a x 22-=+=x y a x y 和图象可知，集合A 有三个元素。

故选D.本题若用代数方法解，则讨论十分繁琐，而将方程的解转化为函数图象的公共点，利用数形结合的方法可简化讨论，避免繁冗的代数运算。

例2：判断函数xxx x f -+⋅-=11)1()(的奇、偶性。

错解：化简：22111)1()(x xxx x f -=-+⋅-=∴函数)(x f 为偶函数。

错因：扩大函数的定义域，以至做出错误的判断。

正解：（判断函数的奇、偶性，首先判断函数的定义域所示的区间，是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据)(x f 与)(x f -的关系作出判断。

）由011≥-+xx得定义域为[-1，1）关于原点不对称，故)(x f 为非奇非偶函数。

变式：若11)(22-+-=x x x f ，则判断其奇、偶性。

错解：)()(x f x f -= )(x f ∴偶函数。

错因：忽略函数的定义域，没有经过严密的推理而是凭主观判断，想当然的认为再证明。

正解：由⎩⎨⎧≥-≥-010122x x 得函数的定义域为{-1，1}，∴原函数为0)(=x f ，既满足)()(x f x f -=又满足)()(x f x f -=-)(x f ∴既是奇函数又是偶函数。

10.函数中易混易错的十个问题.doc

函数中易混易错的十个问题函数是高中数学的主干知识，在学习中应注意理解有关概念的内涵，甄别易混易错的概念，深入分析函数的性质。

下面就几个易混易错的问题举例说明。

一、复合函数[]()f g x 的定义域与复合函数的外层函数)(x f 的定义域复合函数[]()f g x 的定义域受函数()f x 的定义域的制约，如“已知()f x 的定义域为[],a b ，求[]()f g x 的定义域”是指求满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围；而“已知复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ”就是指b x a ≤≤，则()f x 的定义域为()x g 在x ∈[]b a ,上的值域．例1.（1）设函数)(x f 的定义域为[0,2]，求函数)12(-x f 的定义域：解：由2120≤-≤x 解得21-≤x ≤23.从而)12(-x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21. （2）设函数)12(-x f )的定义域为[0,2]，则)(x f 的定义域为____________. 解：)(x f 的定义域即()|12|-=x x g 在[0,2]上的值域. 由0≤x ≤2得-1≤2x-1≤3，从而0≤|2x-1|≤3. 所以)(x f 的定义域为[0,3]. 练习：1．已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，求函数()2+x f 的定义域和值域。

例2．已知函数m x f x x ⋅++=421)((1)若此函数在]1,(-∞上有意义，求m 的取值范围. (2)若此函数的定义域为]1,(-∞ ，求m 的取值范围.解：（1）因为函数m x f x x ⋅++=421)(在]1,(-∞ 上有意义，即0421≥⋅++m xx对]1,(-∞∈x 恒成立，xxm )21()41(--≥令x x x u )21()41()(--=则)(x u 在]1,(-∞上单调递增又∵43)1(-=u ∴43-≥m（2）若函数m x f x x ⋅++=421)(的定义域为]1,(-∞ ，则1240x xm ++≥的解集]1,(-∞从而有0)21()41(≥++m xx的解为1≤x 易解得2411)21(m x-+-≥即2411log 21mx -+-≤∴12411log 21=-+-m 解得43-=m练习：已知函数()212()log 23f x x ax =-+，解答下列问题：（1）若函数在[)1,-+∞内有意义，求实数a 的取值范围；（2）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；解：记222()23()3u g x x ax x a a ==-+=-+-。

高中数学函数题最容易出错的10类题型

高中数学函数题最容易出错的10类题
型
XX：__________
指导：__________
日期：__________
易错点1求函数定义域时条件考虑不充分。

经典例题：
注意
练一练
参考答案:
易错点2求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”经典例题：
注
意:
练一练：
参考答案：
易错点3判断函数奇偶性时忽视定义域经典例题：
注意：
练一练：
参考答案：
易错点4求复合函数单调区间时忽视定义域经典例题：
注
意:
练一练：
参考答案：
练一练:
参考答案:
易错点5解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论经典例题:
注
意:
练一练
参考答案:
易错点6用函数图象解题时作图不准经典例题：
注意：
练一练：
参考答案：
练一练：
参考答案：
易错点7忽视分段函数各段的取值X围经典例题：
注意：
练一练：
参考答案：
练一练：
参考答案：
易错点8分段函数单调性问题，忽略分界点函数值的比较经典例题：
注意：
练一练：
参考答案：
易错点9误解“函数的零点”意义经典例题：
注意：
参考答案：
易错点10函数零点定理使用不当经典例题：
注意：
练一练：
参考答案：。

例析函数中十一对易混的问题

例析函数中十一对易混的问题函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误．本文针对函数中容易混淆的十一对问题加以剖析并举例说明．一、定义域与值域例1．（I ）若函数)2lg(2a x ax y ++=的定义域为R ，求实数a 的取值范围．（II ）若函数)2lg(2a x ax y ++=的值域为R ，求实数a 的取值范围．分析：（I ）若函数)2lg(2a x ax y ++=的定义域为R ，就是无论x 为何实数，022>++a x ax 永远成立．令a x ax x t ++=2)(2，则)(x t 的图象始终在x 轴的上方，因此，就有0>a 且0442<-=∆a ，从而，1>a ．（II ）若函数)2lg(2a x ax y ++=的值域为R ，就是a x ax x t ++=2)(2应该取遍一切正的实数，也就是集合*R 是)(x t 值域的子集．当0=a 时，x x t 2)(=，它的值域是R ，符合要求；当0>a 时，只要0442≥-=∆a 就能保证集合*R 是)(x t 值域的子集，解得10≤<a ；0<a 时不合要求．故实数a 的取值范围是]1,0[．评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合．二、定义域与有意义例2．（I ）已知函数2)(-=ax x f 的定义域为),3[+∞，求实数a 的取值范围．（II ）已知函数2)(-=ax x f 在区间),3[+∞上有意义，求实数a 的取值范围分析：（I ）因为函数2)(-=ax x f 的定义域为),3[+∞，所以不等式02≥-ax 的解集是),3[+∞，于是，3=x 是方程02=-ax 的根，代入求得32=a ．（II ）因为函数2)(-=ax x f 在区间),3[+∞上有意义，所以，不等式02≥-ax 对),3[+∞∈x 恒成立，即x a 2≥对),3[+∞∈x 恒成立，而]32,0(2∈x ，即32≥a ．评注：若)(x f 在M 上有意义，则M 是函数)(x f 定义域的子集．三、值域与函数值变化范围例3．（I ）若函数a x a x x f +-+=)1(2)(2的值域为),1[+∞，求实数a 的取值范围．（II ）若函数a x a x x f +-+=)1(2)(2的值恒大于或等于1，求实数a 的取值范围．分析：（I ）因为函数a x a x x f +-+=)1(2)(2，所以81108)1(8)(22min -+-=--=a a a a x f ，即)(x f 的值域为),8110[2+∞-+-a a ，于是有181102=-+-a a ，解得1=a 或9=a ．（II ）因为函数1)(≥x f 恒成立，即0)1()1(22≥-+-+a x a x 恒成立，因此有0)1(24)1(2≤-⋅--=∆a a 恒成立，解得91≤≤a ．评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在),1[+∞内，并非要求取遍),1[+∞内的每一个值．四、主元与次元例4．（I ）对于任意的]4,0[∈x ，不等式342-+≥+a x ax x 恒成立，求实数a 的取值范围．（II ）对于任意的]4,0[∈x ，不等式342-+≥+a x ax x 恒成立，求实数x 的取值范围．分析：（I ）原来的不等式可以转化为03)4()(2≥+--+=a x a x x f 对于]4,0[∈x 恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论： i ）当024≤--a 时，即4≥a 时，只要03)0(≥+-=a f ，即3≤a ，此时矛盾． ii ）当424≥--a 时，即4-≤a 时，只要033)4(≥+=a f ，即1-≥a ，此时矛盾． iii ）当4240<--<a 时，即44<<-a 时，只要04)4()3(42≥---a a ，即2=a ．综上，实数a 的取值范围}2|{=a a ．（II ）原来的不等式可以转化为034)1()(2≥+-+-=x x a x a f 对于]4,0[∈a 恒成立；只要0)(min ≥a f 即可，于是⎪⎩⎪⎨⎧≥-=≥+-=01)4(034)0(22x f x x f ，解得1-≤x 或3≥x 或1=x 评注：构造函数时并不一定要以x 为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化．五、有解与恒成立例5．（I ）已知32)(+--=x x x f ，若a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围．（II ）已知32)(+--=x x x f ，若a x f >)(有解，求实数a 的取值范围．分析：（I ）因为a x f >)(恒成立，这就要求)(x f y =的图象全部在直线a y =的上方，即a x f >min )]([就可，易知5)]([min -=x f ，所以，5-<a ．（II ）要使a x f >)(有解，这就要求)(x f y =的图象上有点在直线a y =的上方即可，即a x f >max )]([，又5)]([max =x f ，所以，5<a评注：“有解”是要求某范围内存在x 使得不等式成立即可．)()(x f a g <有解max )]([)(x f a g <⇔，)()(x f a g >有解min )]([)(x f a g >⇔．“恒成立”要求对某范围内任意的x ，不等式都成立．)()(x f a g <恒成立min )]([)(x f a g <⇔，)()(x f a g >恒成立max )]([)(x f a g >⇔．六、单调区间与区间单调例6．（I ）若函数22)13()(a x a x x f +--=在区间),1[+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．（II ）若函数22)13()(a x a x x f +--=单调递增区间是),1[+∞，求实数a 的取值范围．分析：（I ）22)13()(a x a x x f +--=在区间),1[+∞上单调递增，那么，对称轴1213≤-=a x ，解得1≤a ．（II ）)(x f 图象的对称轴是213-=a x ，那么，)(x f 的单调递增区间为),213[+∞-a ，于是就有2131-=a ，解得1=a ．评注：若函数)(x f 在区间M 上具有单调性，则在M 的任一子区间上)(x f 具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间．七、某点处的切线与过某点的切线例7．（I ）求曲线32x x y -=在点)1,1(A 处的切线方程．（II ）求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程．分析：（I ）由32x x y -=得232x y -='，1|1-='=x y ，所以曲线在点)1,1(A 处的切线方程为)1(1--=-x y ，即02=-+y x ．（II ）设切点为)2,(3000x x x P -，又232x y -='，所以切线斜率为2032|0x y x x -='=，则曲线在P 点的切线方程为))(32()2(020300x x x x x y --=--．又)1,1(A 在切线上，于是就有)1)(32()2(1020300x x x x --=--，即01322030=+-x x ，解得10=x 或210-=x ；当10=x 时，切点就是)1,1(A ，切线为02=-+y x ；当210-=x 时，切点就是)87,21(--P ，切线斜率为45|21='-=x y ，切线为0145=--y x ．评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一．八、对称与周期例8．（I ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)21()23(x f x f -=+，且4)1(=-f ，求)3(f ．（II ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)21()23(-=+x f x f ，且4)1(=-f ，求)3(f ．分析：（I ）因为对于一切R x ∈，都有)21()23(x f x f -=+，即)2()(t f t f -=，R t ∈恒成立，那么就有)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，所以，4)1()3(=-=f f ．（II ）因为函数)(x f 对一切实数x 都有)21()23(-=+x f x f ，那么就有)(x f y =是周期函数且2=T ，则 4)1()3(=-=f f ．评注：若函数)(x f 对一切实数x 都有)()(x b f a x f -=+，则有)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称．若函数)(x f 对一切实数x 都有))(()(b a b x f a x f -≠-=+，则有)(x f y =是周期函数，且其中一个周期为b a T +=．九、中心对称与轴对称例9．（I ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)2()8(x f x f --=+，且3≥x 时有47)(2+-=x x x f ．求)(x f 解析式．（II ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)2()8(x f x f ---=+，且3≥x 时有47)(2+-=x x x f ．求)(x f 解析式．分析：（I ）若函数)(x f 对一切实数x 都有)2()8(x f x f --=+，则有)(x f y =的图象关于直线3=x 成轴对称；又3≥x 时有47)(2+-=x x x f ；所以3<x 时，有36>+-x ，254)6(7)6()6()(22--=+---=-=x x x x x f x f ；)(x f 解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-=).3(25),3(47)(22x x x x x x x f （II ）函数)(x f 对一切实数x 都有)2()8(x f x f ---=+，那么)(x f 的图象关于点)0,3(成中心对称；又3≥x 时有47)(2+-=x x x f ；所以3<x 时，有36>+-x ，25]4)6(7)6[()6()(22++-=+----=--=x x x x x f x f ．)(x f 解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥+-=).3(25),3(47)(22x x x x x x x f 评注：函数)(x f 对一切实数x 都有)()(x b f a x f --=+，那么)(x f 的图象关于点)0,2(b a +成中心对称．十、M x ∈时)()(x g x f ≤恒成立与M x x ∈21,时)()(21x g x f ≤恒成立例10．（I ）已知函数a x x x f -+=168)(2，x x x x g 452)(23++=（a 为实数），若对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围．（II ）已知函数a x x x f -+=168)(2，x x x x g 452)(23++=（a 为实数），若对于任意的]3,3[,21-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围．分析：（I ）设)()()(x f x g x h -=，则a x x x x h +--=1232)(23；于是，对于任意的]3,3[-∈x 时，0)(≥x h 恒成立．即0)]([min ≥x h ；容易知道045)]([min ≥+-=a x h ，故45≥a ．（II ）对于任意的]3,3[,21-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤恒成立，等价于当]3,3[-∈x 时，min max )]([)]([x g x f ≤；容易求得21)]([min -=x g ，a x f -=120)]([max ，于是21120-≤-a ，故141≥a ．评注：M x ∈时)()(x g x f ≤恒成立，等价于M x ∈时，0)]()([min ≤-x g x f ；M x x ∈21,时)()(21x g x f ≤恒成立，等价于M x ∈时min max )]([)]([x g x f ≤．十一、函数单调与数列单调例11．（I ）若函数)1()(2≥+=x x x x f λ是单调增函数，求实数λ的取值范围．（II ）若函数x x x f λ+=2)(（1≥x 且*N x ∈）是单调增函数，求实数λ的取值范围．分析：（I ）因为函数x x x f λ+=2)(在区间),1[+∞是单调增函数，所以对称轴直线12≤-=λx ，得实数λ的取值范围是),2[+∞-．（II ）因为函数x x x f λ+=2)(在1≥x 且*N x ∈上是单调增函数，所以，对于一切*N x ∈，012)()1(≥++=-+λx x f x f 恒成立，即)12(+-≥x λ恒成立，故3)]12([max -=+-≥x λ．评注：数列是特殊的函数．若)(x f 在),1[+∞上是增函数，则数列))}(({*N n n f ∈一定是增数列，但反之未必成立．因此，函数的单调性与对应数列的单调性有时会不一致，应该慎重处理．。

最容易出错的十道函数经典例题，快来巩固吧！（二）

最容易出错的十道函数经典例题，快来巩固吧！（二）
小数老师说
今天，小数老师为大家整理了最容易出错的十道函数经典例题，赶快来看看~~
易错点6用函数图象解题时作图不准经典例题：注意：
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易错点7忽视分段函数各段的取值范围经典例题：
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易错点8分段函数单调性问题，忽略分界点函数值的比较经典例题：
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易错点9误解“函数的零点”意义经典例题：
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易错点10函数零点定理使用不当经典例题：
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函数中的常见错误分析

函数中的常见错误分析
函数是高考数学的重要内容，高考考点多、覆盖面广，在考试中往往容易“因小失大”，在审题过程中一定要抓住题目中的关键条件，从而理清解题思路。

易错点1 忽视函数概念中的“唯一性”
易错点2 对同一函数的理解错误
易错点3 求函数的定义域时漏条件
易错点4 求函数解析式时忽视定义域
易错点6 错误理解复合函数定义域的求法步骤
易错点7 将函数的定义域与值域理解错位
易错点8 忽视函数在区间上单调的前提条件是函数在该区间上有意义
易错点9 忽视分段函数在定义域分界点附近的单调性
易错点10 混淆“在区间上单调”“单调区间是”“存在单调区
间”等词意
易错点11 在函数的奇偶性问题中未注意“定义域关于原点对称”
易错点13 复合函数奇偶性中错将含自变量的代数式当成自变量
易错点14 分段函数奇偶性在分段处理上忽视“-x”的范围
易错点15 混淆函数图象关于“点”对称与关于“轴”对称
【易错点16】不理解复合函数中含变量代数式的含义导致求错函数对称性
易错点17 “一个函数图象的对称性”与“两个函数图象的对称关系”问题分辨不清
易错点18 不能将“对称性”向“周期性”有效转化致错
易错点19 忽视对含参数的二次项系数为零时的讨论
易错点20 忽视幂函数的系数为“1”
易错点21 混淆函数中的“有解”与“恒成立”问题
易错点22 对数式的变形不等价
易错点23 忽视函数变化速度的“相对性”
易错点24 忽视指数函数的“渐近线”
易错点25 混淆“分段函数的分类标准”导致作错函数图象。

数学中易错、易忘、易漏知识点

数学中易错、易混、易忘问题备忘录１．在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝A ⇔A Ｂ时，易忽略A 是空集?的情况．２．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则．３．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称．4．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．反函数的定义域就是原函数的值域．5．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()f b a f a b -=⇔=6．原函数在区间[-a ，a ]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数1()y f x -=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如：1y x=. 7．根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)8. 求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．9. 用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正、二定、三等”这一条件．10. 你知道函数(0,0)b y ax a b x=+>>的单调区间吗？（该函数在()-∞+∞上单调递增；在[上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！11. ?解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.12. 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．13. 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略．14. 等差数列中的重要性质：若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+;等比数列中的重要性质：若m +n =p +q ,则m n p q a a a a =.15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q ＝１的情况．16. 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况．17．等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是2n S an bn =+（a , b 为常数），其公差是2a .18．你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列，{n b }是等比数列，求{n c }的前n 项的和）19.?你还记得裂项求和吗？（如111(1)1n n n n =-++） 20．?在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？21.??你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）22.?你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？1(||,2l r S lr α==扇形）23.?在三角中，你知道1等于什么吗？2222(1sin cos sec tan αααα=+=-tan cot αα=tan sin cos 042ππ===（这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．24. 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是[,],[0,],(,)2222πππππ-- 25．0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定．0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直．26．若a →=0，则a →?b →=0，但是由a →?b →=0不能得到a →=0或b →=0．∵a →⊥b →时，a →?b →=0．27．若a →=c →时，则a →?b →=c →?b →，但由a →?b →=c →?b →，不能得到a →=c →．即消去律不成立．28．（a →?b →）?c →≠a →（b →?c →），这是因为（a →?b →）c →与c →平行，而a →（b →?c →）与a →平行，但a →，c →不一定平行．故不成立．29．在ABC ∆中，sin sin A B A B >⇔>30．使用正弦定理时易忘比值还等于2R ．31. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示．32. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即a ＞b ＞011a b ⇒<，a ＜b ＜011a b⇒>． 33. 分式不等式)0()()(≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分） 34. 解指、对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）35. ?在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．36.常用放缩技巧：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++--=<<= 37.解析几何的主要思想：用代数的方法研究图形的性质．主要方法：坐标法．38.用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况．39.用到角公式时，易将直线ｌ1、ｌ2的斜率ｋ1、ｋ2的顺序弄颠倒．40.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是[0,),(0,),(0,]2πππ． 41.函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：（１）函数的图象的平移为“左+右－,上+下－”；如函数y ＝2x +4的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y =2（x ＋2）+4－3．即y =2x +5．（２）方程表示的图形的平移为“左+右－,上－下+”；如直线2x －y +4=0左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x ＋2)-(y ＋3)+4=0．即y =2x +5．（３）点的平移公式：点P (x ,y )按向量a →=(h ，k )平移到点P / (x /，y /)，则x /＝x + h ，y / ＝y +k ．42. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及λ值可要搞清）43.?? 对不重合的两条直线，，有；．44.?直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.45.?处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．46.?处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.47.?在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.48.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？49.还记得圆锥曲线方程中的a ,b ,c ,p ,ca a c 2,的意义吗？ 50.?在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？51．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？52.?在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.53.?椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a ，b ，c ）54.?通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.55. 点P 在椭圆(或双曲线)上，椭圆中△PF 1F 2的面积2tan2b α与双曲线中△PF 1F 2的面积2cot 2b α易混(其中点F 1＼F 2是焦点).56.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点．此时两个方程联立，消元后为一次方程．57．经纬度定义易混. 经度为二面角,纬度为线面角.58.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法．59. 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大．60.?作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.61.?求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）62.?求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）63. 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°64．二项式()n a b +展开式的通项公式中a 与b 的顺序不变．65．二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第ｒ＋１项的二项式系数为.66. 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混．二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组112r r r r T T T T +++≥⎧⎨≥⎩来确定ｒ．67. ?解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．68.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．69. 二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混．通项公式：（它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）．事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n nP k C p p -=-． 74.??解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等)75.?解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．76.?解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．77.?解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．78. 在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明，最后要进行总结．79. 在做应用题时, 运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值范围；在填写填空题中的应用题的答案时, 不要忘了单位．80．在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明。