有限差分法的原理与计算步骤电子教案
《有限差分方法基础》课件
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等 领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并 行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合 、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数 值计算方法，适用于各种微分方程的 求解，尤其在偏微分方程的数值求解 中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条 件，提供精确度和稳定性较高的数值 解，是科学研究、工程技术和实际应 用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方 法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以 便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换 为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式 进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的 数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真 实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择 稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判 断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛 性分析等。
有限差分法
班级：通信13-4 姓名：学号：指导教师：**成绩：电子与信息工程学院信息与通信工程系求解金属槽的电位分布1.实验原理利用有限差分法和matlab软件解决电位在金属槽中的分布。
有限差分法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解.然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题。
2.有限差分法方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
2.1有限差分法原理图1-1 有限差分法的网格划分导体槽中静电场的边值问题的拉普拉斯方程为：22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ (1-1) 为简单起见，将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h ，0h →。
有限差分法的原理与计算步骤
一、有限差分法的原理与计算步骤
1.原理
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
2. 计算步骤
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
（3）逼近求解。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程
二、有限差分法的程序流程图。
有限差分法基本原理
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
教案5__有限差分法
差分格式
(1
0
)
(3
0
)
x
0
(
h1
h3
)
1 2!
2
x2
0
(
h12
h32
)
L
二阶偏导数的差分格式
令方程右边的一阶偏导数的系数为0，得到系数间的表达
式
h3
h1
代入上式得到精度为O(h3)的二阶偏导数的差分格式
2
x2
0
2 (1
0 ) h12
(3 h32
0 )
n
b
b
n
a
aM
aN
b bM
bN
对M、N结点应用线性插值
aM
a1 a4
2
bN
b2
b3
2
aN
a2
a3
2
bM
b1 b4
2
a 2
N 30
L j+1 1 1 j
4
M
b j-1
i-1 i i+1
cem@
不同媒质分界面上的差分格式
把前面的 a1 ＋ a4 和 b2 ＋ b3 代入上式，得网格线
LL
LL
i1, j1 i, j2 4i, j1 i, j i1, j1 h2Fi, j1
前处理
差分方程组（代数方程组） 计算方程组（迭代法）
数据计算
离散解
插值计算其他值或可视化显示结果
cem@
后处理
有限差分法格式特点
仔细分析离散的差分方程组，例如泊松方程，从离散方程
式不难看出，该方程组的系数一般是有规律的，且方程都 很简单，每个方程的项数不多（待求量最多不超过5项）
有限差分法初步
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 结论与展望
01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将偏微分方程离散化为差分方程， 从而求解偏微分方程的近似解。
近似表示微 分，从而将微分方程转化为差分方程。
有限差分法。
COMSOL Multiphysics实现
COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的多物理场仿真软件，也支持有限差分法。 COMSOL提供了友好的用户界面和丰富的物理模型库，使得有限差分法的实现更加便
捷。
有限差分法的并行计算实现
MPI实现
MPI（Message Passing Interface）是一种并行计算的标准，支持多个处理 器之间的通信。通过MPI，可以实现有限差分法的并行计算，提高计算效率。
自适应网格技术
根据解的特性自适应地调整离散点间距，以 提高计算精度和效率。
并行化与优化
通过并行计算和算法优化等技术提高有限差 分法的计算效率。
与其他方法的结合
将有限差分法与其他数值方法或物理模型相 结合，以处理更复杂的问题。
06
结论与展望
结论
01
有限差分法是一种数值计算方 法，通过离散化连续问题为差 分方程，进而求解数值近似解 。
有限差分法原理简单，易于理解和实现，不需要复杂的数学工 具。
有限差分法可以方便地进行并行计算，提高计算效率。
有限差分法可以应用于各种不同类型的偏微分方程，具有广泛 的适用性。
有限差分法的缺点
精度问题
由于有限差分法是一种离散化方法，其精度受到离散点间距的限制， 可能导致计算结果不够精确。
17 偏微分方程的有限差分法
t i 1 , j t i 1 , j t x 2 2 x x i , j
属于二阶截断公式，比一阶公式精确。
4
3). 二阶导数的中心差分(Central
difference)
t i 1 , j 2 t i , j t i 1 , j 2t 2 2 x 2 x x i, j
t t i 1 2 t i t i 1 2 x x 2 i ,k
2 k k
k
ti ti t i , k
k
k 1
k
ti
k 1
ti
k
ti 1 2ti ti 1 a 2 x
k k
9
为了加快计算的进程而调整x和 的大小 k的系数 1 2 大于或 时，必须遵守使上式中ti x 2 至少等于零。即
1 2 x 2
Hale Waihona Puke 二维非稳态导热均匀网格的显式差分格式， 稳定性条件为：
1 14 0 Fo 2 x 4
12
13
3）. 隐式差分格式（The implicit method)
偏微分方程有限差分法 简介
1
一 建立离散方程的方法 (Discretization of the heat equation)
1. 有限差分法(finite-difference methods)
1)、网格划分(Nodal network/grid/mesh )
把物体分割为有限数目的网格单元，将微分方程变换为差 分方程，通过数值计算直接求取各网格单元节点的温度。
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，通过对差分方程进行数值求解，得到问题的数值解。
首先，有限差分法将求解区域划分为一个个小网格。
通常使用矩形网格（二维）或立方体网格（三维），这些小网格称为离散点。
每个离散点上的函数值表示在该点处的近似解。
然后，将偏微分方程中的导数用差商来代替。
对于一阶导数，可以使用中心差商、前向差商或后向差商等。
中心差商是最常用的一种，它使用左右两个离散点的函数值来逼近导数的值。
例如，对于一维情况下的导数，中心差商定义为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)其中，h表示网格的步长。
通过调整步长h的大小，可以控制逼近的精度。
对于高阶导数，可以使用更复杂的差分公式。
例如，对于二阶导数，可以使用中心差商的差商来逼近。
具体公式为：f''(x)≈(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2通过将导数用差商代替，将偏微分方程转化为差分方程。
例如，对于二维泊松方程：∇²u(x,y)=f(x,y)其中，∇²表示拉普拉斯算子。
u(i,j)=1/4[u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)]-h²/4*f(i,j)其中，u(i,j)表示离散点(i,j)处的近似解，f(i,j)表示离散点(i,j)处的右端项。
最后，通过求解差分方程，得到问题的数值解。
可以使用迭代方法，例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法或SOR迭代法等，来求解差分方程。
迭代过程通过更新离散点上的函数值，直到满足收敛条件或达到指定的迭代次数。
总结来说，有限差分法通过将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，然后通过数值求解差分方程，得到问题的近似解。
它是一种简单且高效的数值计算方法，广泛应用于科学计算、工程计算和物理仿真等领域。
详细版第四章偏微分方程的有限差分法.ppt
算
物 理
ui,k1 ui1,k (1 2 )ui,k ui1,k
学 ui,0 (ih)
u0,k g1(k ) ul,k g2 (k )
i=0,1, ,N k=0,1, ,M
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 显示差分递推公式的稳定性：
算
物 理
ui,k ui',k i,k k i,k
计
算 一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：
物 理 学
u 2u
t x2
0t T 0 xl
为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初 始条件。
定解条件：边界条件和初始条件。
定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 对于一维热传导问题（第一类边界条件）
计 同样，在节点（xi,tk）上
算
物
理 学
( x, t )
u xi ,tk u xi ,tk
t xxi
t tk
ui,k 1 ui,k
一阶向前差商O(h)
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 一维热传导方程可以近似为
算 物 理 学
ui,k 1 ui,k ui1,k 2ui,k ui1,k
理
学
u t0
f1(x, y, z)
u t
t0
f2 (x, y, z)
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
.精品课件.
4.1 有限差分法原理
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
计
算
u u0(r,t)
有限差分法在数值计算中的应用
有限差分法在数值计算中的应用有限差分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、金融学等。
本文将介绍有限差分法的基本原理，以及其在数值计算中的应用。
一、有限差分法的基本原理有限差分法是通过近似计算导数、积分等运算的一种方法，其基本思想是将函数在某一点处展开成一个泰勒级数，然后用有限个点处的函数值来逼近原函数。
有限差分法的核心是将连续的函数转化为离散的数据点，然后通过有限个离散点之间的差分来近似原函数的性质。
有限差分法的主要步骤包括以下几个：1. 网格划分：将计算区域划分为均匀的网格，即将连续的空间划分为一系列离散的点。
2. 逼近函数：将原函数在每个网格点处做泰勒级数展开，得到对应的近似函数。
3. 差分近似：根据泰勒级数展开的结果，利用有限个网格点之间的差分，来近似计算导数、积分等运算。
4. 求解方程：根据差分结果，可以得到离散的代数方程组，通过求解这个方程组得到数值解。
二、1. 偏微分方程求解：有限差分法可以用来求解各种类型的偏微分方程，包括抛物型、椭圆型和双曲型方程。
通过将偏微分方程离散化为代数方程组，再通过求解方程组得到数值解。
2. 数值积分：有限差分法可以用来近似计算函数的积分。
通过将积分区间划分为一系列小区间，并用离散点上的函数值来近似替代原函数，可以得到积分的数值结果。
3. 非线性方程求解：有限差分法也可以用来求解非线性方程。
通过将非线性方程转化为离散的代数方程组，并利用迭代方法求解方程组，可以得到非线性方程的数值解。
4. 边值问题求解：有限差分法可以应用于求解各类边值问题，如求解热传导方程的边值问题、求解电场分布的边值问题等。
通过将边值问题离散化为代数方程组，再通过求解方程组得到边值问题的数值解。
5. 优化问题求解：有限差分法可以用来求解各种类型的优化问题。
通过将优化问题转化为非线性方程组，并利用有限差分法求解方程组，可以得到优化问题的数值解。
总结：有限差分法作为一种常用的数值计算方法，在各个领域中有着广泛的应用。
《有限差分法初步》课件
改进方向
高阶有限差分法
通过引入高阶差分方案，可以提高有限 差分法的精度，减少数值误差。
并行算法优化
进一步优化并行算法，提高有限差分 法的计算效率。
自适应网格技术
采用自适应网格技术，根据问题求解 的需要动态地调整网格的密度和分布 ，以提高计算效率和精度。
边界条件处理技术
研究和开发更有效的边界条件处理技 术，减少有限差分法的误差累积。
离散化原理
离散化原理是有限差分法的基础，它通过将连续 的问题离散化，将连续的函数和微分转化为离散 的数值和差分，从而将原问题转化为有限差分方 程组进行求解。
离散化原理的应用范围广泛，可以用于求解微分 方程、积分方程以及偏微分方程等。
离散化原理的关键在于选择合适的离散点，以确 保离散化的结果能够近似反映原问题的真实情况 。
《有限差分法初步》ppt课件
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点01
有限差分法是一种数值计算方法，通过将偏微分方 程离散化，将其转化为差分方程进行求解。
02
它将连续的空间离散为有限个点，并使用离散点的 差分近似表示原方程中的导数。
对学习者在学习过程中可能遇到的问 题进行了详细解答，帮助解决疑惑， 提高学习效果。
展望
深入研究
鼓励学习者在掌握有限差分 法的基础上，进一步探索该 方法的理论和应用，提高自 己的学术水平。
实际应用
提倡将有限差分法应用于实 际问题中，通过实践加深对 该方法的理解和掌握，提高 解决问题的能力。
交流与合作
04
有限差分法的实现
编程语言的选择
Python
Python是一种易于学习且功能强大的 编程语言，适合初学者和科学计算。
2 有限差分法
o
一阶偏导数的差分格式（P.23）
(
h1 h3 hx
二阶精度,O(h3)
3 ) 0 1 3 O (hx ) x 2hx
二阶偏导数的差分格式（P.23-23） 20 3 2 2 ( 2 )0 1 O ( h x) 2 x hx 20 4 2 2 ( 2 )0 2 O ( h ) y 2 y hy
2) df ( x ) 1 2 d 2 f ( x ) 一阶精度 ,O(h f ( x h) f ( x ) h h 2 dx 2! dx
df ( x) 2 3 d 3 f ( x) 二阶精度,O(h3) h f ( x h) f ( x h ) 2h dx 3! dx 3
由误差的泰勒展开式，如果： （7）
则称为K阶方法。
若迭代公式中ψ（x,y,h)在定义域内连续，并且关于y 满足利普希茨（Lipschitz）条件：
| ( x, y, h) ( x, z , h) | L | y z |
（8）
若截断误差满足式（7），则单步法迭代公式的误差估计式为：
同介质分界面上的差分格式）
第三步，编程计算，迭代运算或者求解方程组
二、泊松方程的有限差分格式 泊松方程：
f
2
2 2 2 f 2 x y
（1）
第一类边界条件:已知整个边界上的位函数，
|C g ( p )
n g ( p)
C
又叫Dirichlet(狄里赫利)问题。
一、有限差分法基本概念
二阶差分
2 f ( x) 1 f ( x h) f ( x) x 2 x x
（前向差分）
第4章 有限差分法-1教材
采用双下标（i, j）的识别方法，设在这些离散节点上的待求 位函数u的近似值分别记作
参照式（4-7），二维泊松方程（4-8）可近似离散化表示为
即
此为对应于泊松方程的差分方程。
如果位函数u满足的是拉普拉斯方程（F=0），则差分离散化后所 得差分方程是
此时，节点O上的位函数值等于其周围四个相邻节点位函数值的平 均值。
4.3.1 偏微分方程的离散化 —五点差分格式
首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。
原则上，可采用任意的网格剖分方式，但它直接影响所得差 分方程的具体内容，进而影响解题的经济性与计算精度。
为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个 离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速 度，
4.2 差分与差商
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它用离散 的函数值所构成的差商来近似逼近相应的偏导数。
差商是基于差分应用的数值微分表达式。
设一函数f(x)，其自变量x有一个很小的增量Dx=h，则函数f(x)的增 量
≈df
称为函数f(x)的一阶差分。
只要增量h很小，差分Df与微分df之间的差异将很小。
4.3.2 定解条件的离散化 ——各类差分计算格式
对于场域边界上给定的三类边界条件，第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，只 需讨论第一、第三类边界条件的差分离散化处理。
(1)第一类边界条件的差分离散化
若如图4-２点M所示，划分网格时相应的网格节点 恰好落在边界L上，则只要直接把位函数 u |ML f (rM ) 的值赋给该对应的边界节点M即可。
经常采用正方形网格的剖分方式。
部分场域D的正方形网格
用分别与x, y两坐标轴平行的两簇等距（步距为h）网格线 来生成正方形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域D 就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。
有限差分法
有限差分法一、有限差分法的定义有限差分法（Finite Differential Method ）是基于差分原理的一种数值计算法。
其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数ϕ的泊松方程的问题转换为求解网格节点上ϕ的差分方程组的问题。
二、有限差分法的应用例3.7.1 有一个无限长直的金属槽，截面为正方形，两侧为正方形，两侧面及底板接地，上盖板与侧面绝缘，其上的电位为ϕ=100V, 试用有限差分法计算槽内电位。
（1）用Matlab 中的有限差分法计算槽内电位；（2）对比解析法和数值法的异同点；（3）选取一点，绘制收敛曲线；（4）总的三维电位图；1、根据有限差分公式计算出电位最终近似值为1,12,13,11,22,23,21,32,33,3=7.144=9.823=7.144=18.751=25.002=18.751=42.857=52.680=42.857ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ，，，，，，用Matlab有限差分法计算出来结果：（见附录程序一）2、解析法和数值法的异同点解析法数值法定义在分析具体问题的基础上，抽取出一个数学模型，这个数学模型能用若干个解析表达式表示出来，解决了这些表达式，问题也就得以解决。
数值法是用高性能的计算机以数值的、程序的形式解决问题，主要是指有限元法和差分法相同点都是在具体问题的基础上取一个用解析表达式表示的数学模型来解决问题；数值法是在解析法的基础上在不同尺度上进行有限元离散,离散单元尺度不同,进行有限元计算时要满足的连续性条件不同,预测结果的精确度就不同不同点解析法可以计算出精确的数值结果；可以作为近似解和数值解的检验标准；解析法过程可以观察到问题的内在和各个参数对数值结果起的作用。
但是分析过程困难又复杂使其仅能解决很少量的问题。
数值法求解过程简单，普遍性强，用户拥有的弹性大；用户不必具备高度专业化的理论知识就可以用提供的程序解决问题。
但求解结果没有解析法精确。
有限差分方法基础
2!
3!
4!
（1-14）
f (x x) f (x) f (x) f (x) x f (x) (x)2 f IV (x) (x)3 O((x)4 )
x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似替代，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点旳对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面有关逼近误差旳分析懂得，用时间向前差商替代时间导数时旳误差为 O(t) ,
用空间中心差商替代空间导数时旳误差为 O((x)2 )，因而对流方程与相应旳差分方程之间也存在一种误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi , tn t) (xi , tn ) (xi x, tn ) (xi x, tn )
0
t x
（2-1）
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
xi x0 ix, i 0,1, 2,
tn nt,
n 0,1, 2,
图2-1 差分网格
2 有限差分法
K e L (ba ) 1 L (ba ) Dh e | y (a ) y0 |, L 0 | yn 1 ( xn 1 ) yn 1 | L K | y ( a ) y | D ( b a ) h , L0 0
稳定性
在具体计算时步骤中出现的误差对结果的影响
前向差分
例题 求
2 2 [ 2 ( x, y ) 2 ( x, y )] f ( x, y ) x x
的中心差分逼近
解：令 ij ( xi , y j ) i 1, j ( xi h, y j ) i , j 1 ( xi , y j h)
四、工程应用
有限差分法求解问题的流程图
1 | iN iN ,j ,j |
| iN ,j |
1 iN ,j
四、工程应用
举例
3 2 1 4 5 6 9 8 7
4×4个网格， 9个内结点， 16个边界点
内点差分方程 点1： 点2： …… 点9：
6 2 12 26 41 h 0 5 3 13 1 42 h 2 0 20 18 4 8 49 h 2 0
1
2
0 3
4 (1 2 3 30 ) 2 3h 0
三、差分方程组求解
直接求解线性方程组
P.32
结点N<500
迭代法求解线性方程组 高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组 超松弛迭代法求解线性方程组
return
四、工程应用
有限差分法求解问题的步骤
P.34
[ i 1, j 2ij i 1, j x
2
得：
3第二章_有限差分方法基础
求解域被划分为一系列离散的时空网格点
图2.1 3. 解的离散表示
求解域的离散化
目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。
u( xk , tn )=u(k x, nt )
(k 0,1, , M ; n 0,1, , N )
n 后文中， 把 u( xk , tn ) 记为 uk 。
2.1.3 差分格式
同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的 有限差分近似。 1. FTCS (Forward difference in Time, Central difference in Space) 格式 时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。
n 1 n n n n uk uk uk 1 2uk uk 1 t x 2
4. 判断tn T 是否成立
成立 5. 输出结果
不成立
令n n 1
2. BTCS 格式
n 1 n n 1 n 1 n 1 uk uk uk uk 1 2uk 1 t x 2
(2.1.14)
可以改写为
n1 n1 n +1 n uk +1 -(1 2 )uk + uk -1 =-uk
0 uk f ( xk ) (k 0,1, , M ) n u0 a(tn ) (n 0,1, ) n uM b(tn ) (n 0,1, )
在研究数值方法时，通常把 tn 时刻的物理量视为已知量，而把 tn+1 时刻的物 理量作为待求的未知量。 因此，式 (2.1.13) 可以改写成
n n n x uk uk 1 uk n n n x uk uk uk 1
空间方向的向前差分、向后差分和中心差分记为
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有限差分法的原理与
计算步骤
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一、有限差分法的原理与计算步骤
1.原理
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
2. 计算步骤
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
（3）逼近求解。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程
二、有限差分法的程序流程图
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