有限差分法的原理与计算步骤电子教案
3第二章_有限差分方法基础
n n n u uk 1 2uk uk 2 2 x x k 2 n
n n n uk 1 2uk uk 1 称为二阶中心差分。
容易证明：
n n n n n uk 2 u u = ( u ) ( u 1 k k 1 k k)
网格点： x0 , x1 , x2 , , xM 1 , xM 显然, xk =k x
2. 时间变量的离散化
把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可
以划分为
N 1个离散时刻：t0 , t1, t2 , , tN 1, tN tn =nt (t T / N , 时间步长)
n 1 n n 1 n 1 n 1 uk uk uk 2 u u k k 1 1 2 t x
(2.1.14)
2.1.4 差分方程的求解
1. FTCS 格式
n 1 n n n n uk uk uk 1 2uk uk 1 t x 2
(2.1.9)
n 1 n 1 n +1 n uM 2 -(1 2 )u M 1 + u M =-u M 1 n +1 uM =b(tn 1 )
(边界条件)
通过求解这个线性方程组，可以得到n 1时刻求解域上各个网格点的数值解。
3. 求解线性方程组 系数矩阵
第十章有限差分法
我们在弹性体上，用相隔等 间距h而平行于坐标轴的两组平行 线织成正方形网格，Δx=Δy=h， 如图。
设f=f(x,y)为弹性体内的某一 个连续函数。该函数在平行于x 轴的一根网线上，如在３-０-１ 上,它只随x坐标的改变而变化。 在邻近结点０处，函数f可展为 泰勒级数如下：
f
f0
f x
0
(
x
5 2 7 88 29 810 2111 812 213 814 215 0
6 28 89 10 811 2112 214 815 6qh2
7 810 411 2113 1614 215 0 8 210 811 212 813 2214 815 0
d d
y s
2
y 2
d d
x s
2
xy
px
于是，式（a）可改写为：
d d
y s
2
xy
d d
x s
2
x 2
py
dy ds
2
y 2
d d
x s
2
xy
px
d d
y s
2
xy
d d
x s
2
x 2
py
由此得：
d ds
y
px
d ds
x
py
关于边界上任一点处
x y
chap4有限差分法
1 20 3 2 （6 ） ( 2 ) x x0 由式（4）+（5） 2 x h 2 2 2 0 4 同理, （7） ( 2 ) y y0 2 y h 返 回 上 页 下 页
第 一 章
静 电 场
将式(6)、式(7)代入式(1)，得到
若场域离散为矩形网格，差分格式为
1 1 1 1 (1 2 ) 2 ( 2 4 ) ( 2 2 )20 F 2 h1 h2 h1 h2
返 回
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第 一 章
静 电 场
4.2 边界条件离散化（Discrete Boundary Condition) 第一类边界条件 0 f1 对称边界条件
1 0 (21 2 4 h 2 F ) 4 第二类边界条件
图 1.6.3 对称边界 图 1.6.4 对称分界
1 0 f 2＝( ) 0 , 0 1 f 2 h n h 分界面衔接条件 1 2 2K 0 ( 1 2 3 4 ) , 4 1 K 1 K
1 2 3 4 4 0 Fh2
五点差分格式
1 2 ( Fh ) 即 0 1 2 3 4 4 当场域中 0 1 2 3 4 4 0 0
即
4.2 矩形网格剖分
1 0 (1 2 3 4 ) 4
教案5__有限差分法
x
h
cem@uestc.edu.cn
差分与差商
前向差分
df f (x) f (x h) f (x)
dx x
h
后向差分
df f (x) f (x) f (x h)
dx x
h
中心差分
df f (x) f (x h) f (x h)
dx x
2h
cem@uestc.edu.cn
cem@uestc.edu.cn
不同媒质分界面上的差分格L式
h3
h1
2 2
j+1
分界面与网格线重合的情况 h2 3
0
1
j
a1 a3 a4 a2 4a0 h2 Fa
b1 b3 b4 b2 4b0 0
h4 3
0
1
i-1
4 4
ai
b
i+1
j-1
两式中 a1和 b3 是假设“虚”电位，可以利用分界面上场
定解条件的离散化
L
3
h
y
D
o o' n
0
2
x
第二种情况，当结点不落于边界线L上时，只需要引入于 结 点 0 相 关 的 边 界 结 点 O‘ ， 点 的 外 方 向 n 作 为 结 点 0 处 的 “外方向n”，且近似地认为边界条件中给定的函数和均在 O’点上的取值。这样，此种情况下的第三类边界条件的离 散格式于式相似，
17 偏微分方程的有限差分法
14
三、 Pure Convection问题的数值计算
u u a 0 t x u f ( x at ) f ( )
• u(x,t) can be determined from initial conditions u(x,0) = f(x) at t = 0 .
t = t3
a11t1 a12t2 a1n tn b1 a21t1 a22t2 a2 n tn b2 an1t1 an 2 t2 ann tn bn
8
4、 非稳态导热问题的数值计算
t t a 2 x
2
1）. 计算格式
(1 2
2
x x k 1 k 1 k 1 k (1 2Fo)ti Fo( ti 1 ti 1 ) ti
2
) ຫໍສະໝຸດ Baidui
k 1
( ti 1
k 1
ti 1
k 1
) ti
k
Note that：The implicit formulation is unconditionally stable(隐式差分格式是无条件稳定的)
x
2
t i , j 1 2 t i , j t i , j 1 y
2
i, j
第二章有限差分法初步-1案例
0 y L2
0 x L1
T k h(T T ) x T k q y
（2.14） （2.15） （2.16） （2.17）
x L1 0 y L2
y L2 0 x L1
T 0 x
T Tw
式（2.13）~（2.17）构成定解问题。
T ( x x) T ( x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
(x) T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2 3
2
将Taylor级数写成：
(x) T ( x) O(x) 4 3!
（2.7）
Taylor级数还可写成：
O(x)
由式（2.8）可得
（2.9）
T ( x) T ( x x) x T ( x) T ( x) x 2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
T ( x x) T ( x x) (x) T ( x) T ( x) 2x 3!
n n
（2.2）
稍加整理后可写成：
T T ( x x) T ( x) dT x d T 2 x x dx 2! dx
2
(x) n! T 可见 与 x
偏差为： (x)
有限差分法原理
有限差分法原理
有限差分法（Finite Difference Method）是一种常见的数值
计算方法，广泛应用于工程、物理、地质等领域的数值模拟和求解
偏微分方程。它的原理是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，通过对网格节点上的数值进行逼近，从而求解微分方程的数值解。
在本文中，我们将介绍有限差分法的基本原理及其在实际问题中的
应用。
首先，我们来看一维热传导方程的数值求解。假设我们要求解
一个长为L的均匀材料棒上的温度分布，其热传导方程可以写为：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
其中，u(x, t)表示位置x上的温度分布，t表示时间，α为热
扩散系数。为了使用有限差分法求解这个方程，我们需要将空间和
时间进行离散化。假设我们在空间上取N个网格点，将材料棒分为
N个小区间，每个小区间的长度为Δx。在时间上也进行离散化，取
时间步长为Δt。这样，我们可以用u_i^n来表示位置为x_i的温
度在时间t_n的值。将热传导方程在离散点上进行近似，我们可以
得到如下的差分格式：
\[ \frac{u_i^{n+1} u_i^n}{\Delta t} = \alpha
\frac{u_{i+1}^n 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} \]
通过对时间和空间上的离散点进行迭代计算，我们可以逐步求解出温度在空间上的分布随时间的演化。这就是有限差分法的基本原理。
除了一维热传导方程，有限差分法还可以应用于更加复杂的偏微分方程，比如二维热传导方程、波动方程、扩散方程等。在这些情况下，我们需要在空间上取二维甚至三维的网格点，并相应地修改差分格式。有限差分法的优点在于它简单易实现，而且可以直接应用于一般的偏微分方程，因此在实际工程和科学计算中得到了广泛的应用。
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理
有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。其基本原理是将连续的偏微分方程转
化为网格上的差分方程，通过对差分方程进行数值求解，得到问题的数值解。
首先，有限差分法将求解区域划分为一个个小网格。通常使用矩形网
格（二维）或立方体网格（三维），这些小网格称为离散点。每个离散点
上的函数值表示在该点处的近似解。
然后，将偏微分方程中的导数用差商来代替。对于一阶导数，可以使
用中心差商、前向差商或后向差商等。中心差商是最常用的一种，它使用
左右两个离散点的函数值来逼近导数的值。例如，对于一维情况下的导数，中心差商定义为：
f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)
其中，h表示网格的步长。通过调整步长h的大小，可以控制逼近的
精度。
对于高阶导数，可以使用更复杂的差分公式。例如，对于二阶导数，
可以使用中心差商的差商来逼近。具体公式为：
f''(x)≈(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2
通过将导数用差商代替，将偏微分方程转化为差分方程。例如，对于
二维泊松方程：
∇²u(x,y)=f(x,y)
其中，∇²表示拉普拉斯算子。
u(i,j)=1/4[u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)]-h²/4*f(i,j)
其中，u(i,j)表示离散点(i,j)处的近似解，f(i,j)表示离散点(i,j)
处的右端项。
最后，通过求解差分方程，得到问题的数值解。可以使用迭代方法，
例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法或SOR迭代法等，来求解差分
有限差分方法基础课件
x
（1-1）
dy dx 是函数对自变量的导数，又称微商；
y 、x
分别称为函数及自变量的差分， y 为函数对自变量的差商。 x
2
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）
向前差分 y f (x x) f (x)
向后差分 y f (x) f (x x)
中心差分
y f (x 1 x) f (x 1 x)
只有方程相容，定解条件也相容，即
lim || R || 0 和 lim || r || 0
x0
x0
t 0
t 0
整个问题才相容。
（2-21）
无条件相容 条件相容 以上3种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式。
32
第三节 收敛性与稳定性/收敛性（1/6）
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似代替，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点的对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
24
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为 O(t) ,
x
详细版第四章偏微分方程的有限差分法.ppt
x
2h
.精品课件.
4.1 有限差分法原理
计 算
f (x h)
f
(x)
h
df dx
h2 2!
d2 f dx2
h3 d 3 f 3! dx3
物 理 学
f (x h)
f
(x)
h
df dx
h2 2!
d2 f dx2
h3 3!
d3 f dx3
一阶中心差商：
f f (x h) f (x h)
学
dx 2! dx2 3! dx3
f (x h)
f (x) h df dx
h2 d 2 f 2! dx2
h3 3!
d3 f dx3
f (x 2h)
f (x) 2h df
2h2
dx 2!
d2 f dx2
2h 3
3!
d3 f dx3
f (x 2h)
f (x) 2h df
2h2
d2 f
算 物 理 学
uut x, 0
2u x2
x
0 xl 0t T
u 0,t g1 t
u l,t g2 t
数值解就是在求解区域
G :0 x l 0 t T
中某些离散点（xi,ti）上求出u(xi, ti)足够近似的解。
.精品课件.
有限差分法基本原理课件
2
x2
2
y2
f
2 2
Laplace方程： x2 y2 0
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0
t x
(x,0) (x)
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x 和t ，然后在坐标平面用平行于坐标 轴的两族直线划分网格：
n i1
x i
2x
则对流方程在 (xi , t点n )对应的差分方程为
n1 n
i
i
n
i1
n i1
0
t
2x
有限差分法基本原理
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
in1 in 2tx(in1in1)
0 i
(xi)
观察上述差分格式可看出：若知道第 层n的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 层1 的 ，故称这类格式
取 1 2 0 , x 0 .1 , t 0 .5，则最终的差分方
程：
Tin1有限差12分法(T基i本 n原1理Ti n1)
显式有限差分模板：
有限差分法基本原理
t
x T
0.0
0.1
0.0 100 0
0.2 0.3 0.4
00
第4章 有限差分法-1教材
部分场域D的正方形网格
用分别与x, y两坐标轴平行的两簇等距（步距为h）网格线 来生成正方形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域D 就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。
对于场域内典型的内节点o(xi yj)， 如图4-2所示，它与周围相邻的节 点1、2、3、4构成一个所谓对称 的星形。
4.2 差分与差商
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它用离散 的函数值所构成的差商来近似逼近相应的偏导数。
差商是基于差分应用的数值微分表达式。
设一函数f(x)，其自变量x有一个很小的增量Dx=h，则函数f(x)的增 量
≈df
称为函数f(x)的一阶差分。
只要增量h很小，差分Df与微分df之间的差异将很小。
FDM主要用于静态和准静态问题的求解。
有限差分法与变分法相结合形成有限元法（FEM).
把旋度方程直接转化为差分方程形成时域有限差分法（Finite Difference Time Domain Method, 简称FDTD）
在高频电磁场的传输、辐射、散射和透入等工程问题中应用广泛。
求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型的有限 差分法的基本思想是
一阶差分仍是自变量x的函数
相类似地，按式（4-1）计算一阶差分的差分， 就得到D2f(x)，称之为原始函数f(x)的二阶差分。
3第二章_有限差分方法基础
3第二章_有限差分方法基础
有限差分方法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值近似解。它的基本思想是将求解域离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代求解差分方程的解来逼近原方程的解。
有限差分方法的基础是差分近似。差分近似是将连续函数在一组离散点上进行近似表示的方法。差分近似的基本思想是用函数的差商来近似函数的导数。例如，对于函数f(x)，在点x上的导数可以用差商表示为
f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h，其中h是一个小的正数。
有限差分方法的核心是离散化。离散化是将求解域划分为有限个网格点，然后在这些网格点上进行近似计算。通常使用均匀网格，即将求解域等分为相同大小的网格。在每个网格点上，用差分近似来代替偏微分方程中的导数项，将偏微分方程转化为离散的差分方程。
在离散的差分方程中，未知函数在每个网格点上的值可以通过迭代求解得到。迭代的过程是通过将差分方程中的未知函数值代入到方程中，然后求解得到新的未知函数值。不断迭代直到满足一定的收敛准则，得到近似解。
有限差分方法有很多的变形和扩展。其中最基础的是一维情况下的有限差分方法，它适用于求解一维偏微分方程。在一维情况下，求解域只有一个自变量x，因此只需要在x方向上进行离散化。
除了一维情况，有限差分方法还可以扩展到更高维的情况，例如二维和三维情况。在二维情况下，求解域有两个自变量x和y，需要在x和y 方向上都进行离散化。在三维情况下，求解域有三个自变量x、y和z，需要在x、y和z方向上都进行离散化。
有限差分方法的优点是简单易懂，计算效率高。它可以应用于各种偏微分方程的求解，包括椭圆方程、双曲方程和抛物方程等。然而，有限差分方法也有一些局限性，例如对于复杂的几何形状和边界条件的处理比较困难。
计算电磁学---有限差分法
第一章 有限差分法
一元函数泰勒公式：
设函数()f x 在0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域异于0x 的任意点x ，在0
x 与x 之间至少存在一点ξ，使得
()2
0000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-+
其中，(1)10()
()()(1)!
n n n f R x x x n ξ++=
-+ 二元函数的泰勒公式：
设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到1n +阶连续偏导数，
00(,)x h y k ++为此邻域内任意点，则有
00000020000100(,)(,)()(,)1()(,)2!1()(,)!1()(,)(1)!n n f x h y k f x y h k f x y x y
h k f x y x y h k f x y n x y h k f x h y k n x y
θθ+∂∂
++=++∂∂∂∂
+
++⋅⋅⋅∂∂∂∂
++∂∂∂∂+++++∂∂
式中01θ<<；
0000(,)
0(,)m
m m p p m p m x y p m p p f h k f x y c h k
x
y x y --=⎛⎫∂∂∂+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑
1.利用泰勒展开求不等间距的差分格式。
（1）2x y ϕ∂∂∂ （2）33x
ϕ
∂∂
解：(1)
26001
04001040101040010400010041()()2!11()()(,)!(1)!n n h h h h x y x y
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有限差分法的原理与
计算步骤
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一、有限差分法的原理与计算步骤
1.原理
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
2. 计算步骤
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
（3）逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程
二、有限差分法的程序流程图
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