《信号与系统分析基础》第3章习题解答
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第三章习题解答
3.2 求下列方波形的傅里叶变换。 (a) 解：
110
2
()()11()2
t
j t t
j t t
j t t
j t j a F j f t e dt
e e dt j e t tS e j ωωωωωωω
ωω-----=-=⋅=
-==⎰⎰
(b) 解：
20
02
2
()11
1()[]1
(1)
1
(1)
t
j t t
j t t t j t j t
t t
j t j t j t j t j t
j t
t
F e dt e e dt tde j j j
te
e dt j
e e e
j e ωωωωωωωωωωωτ
ω
τωτω
ω
τω
ωττω----------=-=⋅==⋅
⋅-=-=+-=+-⎰
⎰⎰⎰
(c) 解：
1
31
1
2
2
11()()2211
1
()()22
1
1
()cos
2
1
()2
1()211
12()
2()
2
2
j t j t j t j t j t j t j t j t
F t e dt
e e e dt e e dt e e
j j ωπ
π
ωππ
ωωπ
π
ωωπωππ
ωω-------+---+--=⋅=+⋅=+=-
-+⎰⎰
⎰
()()()()22221
111
[][]2222
j j j j e e e e j j ππππ
ωωωωππωω----++=⋅--⋅--+
2222sin()sin()cos ()cos ()
cos 2222()()2222
ππππ
ωωωωωωπωππππωωωω-+⋅++⋅-⋅=+==
-+--
(d)解：
242
22()()22
22()()2
2
()()()()2
2
2
2
()sin 1()21()2112()2()
sin[(22()
2()
T j t
T T j t j t j t T T j t j t
T T
T j t j t T T T
T
T
T
j j j j F t e
dt
e e e dt j e e dt j
e e T e
e e
e j j j j ωωωωωωωωωωωωωωω--Ω-Ω--Ω--Ω+-Ω--Ω+--Ω--Ω-Ω+-Ω+=Ω⋅=-=
--=-Ω-Ω+Ω---=
+
=⋅Ω-⋅Ω+⎰⎰⎰)]sin[()]
2()()
T
j j ωωωωΩ++Ω-Ω+
3.3依据上题中a,b 的结果，利用傅里叶变换的性质，求题图3.3所示各信号的傅里叶变换. (a) 解：11111()()()f t f t f t =--
11()f t 就是3.2中(a)的1()f t
如果1()()f t F ω↔，则1()()f t F ω-↔-
11111111122
2
()()()()()sin()42
(
)[]sin(
)sin ()2
2
2
2
j j a f t f t f t F F t S e
e
j
j ττω
ω
ωωωτωττωτωττωτω-∴=--↔--=⋅⋅-=
⋅
=
(b) 解：2()()()f t g t g t στ=+,而()(
)2
a g t S τωτ
τ↔
2()(3)2()a a F S S ωσωω∴=+
如利用3.2中(a)的结论来解，有：
211'()(3)(1)f t f t f t ττ=+++，其中,'2τστ==.
3211'()()()(3)2()j j a a F e F e F S S ωωττωωωσωω∴=⋅+⋅=+
(如()()f t F ω↔，则0
0()()j t f t t e
F ωω±↔)
2()f t
(c) 解：32222()2()2(),1f t f t f t τττ=++--= 由3.2(b)知，222
1
()(1)j t j t F e j te ωωωωτω
--=
+- 322222
2
2
2
2
2
22
2
()2()2(),11
1
2(1)2(1)2
222
224
4
4
cos (1cos )
j t j t j j j j j j j j F e F e F e e j e e e j e j
e j
e ωωωωωωωω
ω
ω
ωωωτωωωω
ωω
ωωω
ωωωωω
ω----∴=+-==⋅⋅+-+⋅⋅+-=+-
+
-
-
=
-
=-
(d) 解：设 ,0()0,t
t f t else
τ
τ
<<=
由3.2知，2
1
()(1)j t
j t
F e
j te
ωωωωτω
--=
+-
而本题中，4()(0.5)(0.5)f t f t f t =-- 由傅里叶变换的尺度变换特性有：
41()()()j b a
f t f at b e F a
ω
ω-=-↔⋅
在本题中，a=0.5,b=0.
422222
2
222222()2(2)2(2)2
1
(21)(21)
42()()22cos(2)sin(2)
j t j t j t j t j t j t j t j t F F F e j te e j te j e e j e e j j j ωωωωωωωωωωωωωωτωτωτωωτωτωωτ
----∴=--=
+--
---=-++=-
(e) 解：设1,01()0,t f t else
<<=
由3.2知，2
()()2
j
a F S e
ωω
ω-=
根据5()f t 的波形，将5()f t 用()f t 表示为