高考数学小题满分限时练(一)
高三数学小题综合限时练(一)
(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合A ＝{x |3＋2x －x 2＞0}，集合B ＝{x |2x ＜2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析 ∵A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C2.若复数z ＝a ＋3ii ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( ) A.－4 B.－3 C.1D.2解析 若z ＝a ＋3ii ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a ＜ －3，选A. 答案 A3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝13，则cos x 等于( )A.13 B.－13 C.223D.±223解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ＝13，即cos x ＝－13. 答案 B4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为( ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤D.12斤解析 这是一个等差数列问题，设首项为2，则第5项为4，所以中间3尺的重量为32×(2＋4)＝9斤. 答案 B5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线x ＝a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，且直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B.3 C.2D. 2解析 易得点A 坐标为(a ，b )，∵直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，∴直线AF 的斜率为－b a ，即b a －c ＝－b a ⇒ca ＝2.答案 C6.袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白.现从中有放回的随机摸球2次，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率为( ) A.59 B.23 C.1118 D.1318解析 每次摸到红球、黑球和白球的概率分别为13、16和12，则所求概率为1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1118.答案 C7.如图是一个程序框图，若输出i 的值为5，则实数m 的值可以是 ( )A.3B.4C.5D.6解析 S ＝2，i ＝2，2≤2m ；S ＝6，i ＝3，6≤3m ；S ＝13，i ＝4，13≤4m ；S ＝23，i ＝5，23＞5m ，此时程序结束，则134≤m ＜235，故选B. 答案 B8.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A.4B.4 2C.4 3D.8解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，面积最小的面为面VAB ，S △VAB ＝12×2×42＝4 2. 答案 B9.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32 B.12 C.－12D.－32解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，它的图象关于原点对称，∴π3＋φ＝k π(k ∈Z )， 即φ＝k π－π3，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为f (0)＝－32.答案 D10.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数： (ⅰ)对任意的x ∈[0，1]，恒有f (x )≥0；(ⅱ)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立. 则下列四个函数中不是M 函数的个数是( ) ①f (x )＝x 2，②f (x )＝x 2＋1，③f (x )＝ln(x 2＋1)， ④f (x )＝2x －1 A.1 B.2 C.3D.4解析(ⅰ)在[0，1]上，四个函数都满足；(ⅱ)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1；对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x21＋x22)＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[x1＋x2)2＋1]－[(x21＋1)＋(x22＋1)]＝2x1x2－1＜0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝ln[(x1＋x2)2＋1]－[ln(x21＋1)＋ln(x22＋1)]＝ln[(x1＋x2)2＋1]－ln[(x21＋1)(x22＋1)]＝ln（x1＋x2）2＋1（x21＋1）（x22＋1）＝lnx21＋x22＋2x1x2＋1x21x22＋x21＋x22＋1，而x1≥0，x2≥0，∴1≥x1＋x2≥2x1x2，∴x1x2≤14，∴x21x22≤14x1x2≤2x1x2，∴x21＋x22＋2x1x2＋1x21x22＋x21＋x22＋1≥1，∴lnx21＋x22＋2x1x2＋1x21x22＋x21＋x22＋1≥0，满足；对于④，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，满足.答案 A11.双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若又|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.32 B.54C.55 D.14解析因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2⇒2c＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|AF 2|2－|AF 1|22|F 1F 2||AF 2|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a ＝55. 答案 C12.若对∀x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2＋e x －y －2＋2恒成立，则实数a 的最大值是( ) A.14 B.1 C.2D.12解析 因为e x ＋y －2＋e x －y －2＋2＝e x －2(e y ＋e －y )＋2≥2(e x －2＋1)，再由2(e x －2＋1)≥4ax ，可有2a ≤1＋e x －2x ，令g (x )＝1＋e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2（x －1）－1x 2，可得g ′(2)＝0，且在(2，＋∞)上g ′(x )＞0，在[0，2)上g ′(x )＜0，故g (x )的最小值为g (2)＝1，于是2a ≤1，即a ≤12. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －15x 25的展开式中常数项为________. 解析 由通项公式得展开式中的常数项为(2)4C 15⎝⎛⎭⎪⎫－15＝－4. 答案 －414.已知向量e 1，e 2不共线，a ＝2e 1＋m e 2，b ＝n e 1－3e 2，若a ∥b ，则mn ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即2e 1＋m e 2＝λ(n e 1－3e 2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝2，m ＝－3λ，得mn ＝－6. 答案 －615.如果实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，则z ＝y x ＋a的最小值为12，则正数a 的值为________.解析 根据约束条件画出可行域，可判断当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值为12，即11＋a ＝12⇒a ＝1. 答案 116.在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N *，且b n ＝13＋a n .记P n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________. 解析 ∵1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），b n ＝13＋a n ，∴b n ＝a n 3a n ＋1，1a n ＋1＝1a n －1a n ＋3＝1a n －b n ，∴P n ＝a 13a 2·a 23a 3·…·a n 3a n ＋1＝13n ＋1·a n ＋1，S n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝3－1a n ＋1，则3n ＋1·P n ＋S n ＝1a n ＋1＋3－1a n ＋1＝3.答案 3。
2019高考数学(理科)小题专项限时训练8套(含答案)
二、小题专项，限时突破限时标准练(一)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝4n ，n ∈Z }，则( )A ．MPB ．P MC ．N ∩P ≠∅D ．M ∩N ≠∅[解析] M 为偶数集，N 为奇数集，因此P M .[答案] B2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2[解析] z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i ＋22＝i ＋1，则|z |＝12＋12＝2.[答案] C3．在等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( )A ．3B ．2或3C ．2D ．6 [解析]由题意可得⎩⎨⎧a 1q 2－3a 1q ＝2，2(5a 1q 3)＝12a 1q 2＋2a 1q 4，解得a 1＝－1，q ＝2.∴{a n }的公比等于2.[答案] C4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 已知约束条件可行域如图，z ＝x ＋2y 经过B (－1,2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3.[答案] D5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，上顶点为B ，若直线y ＝cb x 与FB 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.22C.32D.63[解析] 由题意，得b c ＝c b ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. [答案] B6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种 D．36种[解析] 只能是一个人完成2项工作，剩下2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得C 24·A 33＝36种．[答案] D7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．30＋4πB ．30＋3πC ．30＋9π4D ．30＋2π[解析] 由三视图，知该几何体是一长方体与圆柱的组合体，∴表面积S ＝(3×3＋3×1＋3×1)×2＋2π×12×2＝30＋2π.[答案] D8．定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1<x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )A.14 B ．－14 C ．－15 D.15 [解析] ∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴函数f (x )为周期为2的周期函数， 又∵log 232>log 220>log 216， ∴4<log 220<5.∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254，又∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x －1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－15，故f (log 220)＝15. [答案] D9．下面程序框图是为了求出满足3n －2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1000？和n ＝n ＋1B ．A >1000？和n ＝n ＋2C ．A ≤1000？和n ＝n ＋1D ．A ≤1000？和n ＝n ＋2[解析] 由题意选择3n －2n >1000，则判定框内填A ≤1000？，因为n 为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加2可保证其为偶数，所以“矩形框内”应填n ＝n ＋2.[答案] D10．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，则ω的一个可能值是( ) A.12 B.35 C.34 D.32[解析] 由函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，得5π6>π2ω，ω>35，所以35<ω≤34.[答案] C11．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94 C ．1 D ．9[解析] 动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝2.则12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．∴12a ＋2c 的最小值为94. [答案] B12．已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )对任意的x >2恒成立，则k 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m >2)，所以f ′(m )＝f (m )m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln m m －2，化为m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m .因为g (e 2)＝e 2－8<0，g (e 3)＝e 3－10>0，所以e 2<m <e 3，而k <f ′(m )＝2＋ln m ∈(4,5)，又k ∈Z ，所以k max ＝4.[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．若(1＋x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6展开式中x 4的系数是72，则实数a 为________(用数字填写答案)．[解析] 依题设，展开式中x 4的系数，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6展开式中含x 4与含x 2的系数和．因此C 16a ＋C 26a 2＝72，则(a －2)(5a ＋12)＝0，解之得a ＝2或a ＝－125. [答案] 2或－12514．已知点A (m,0)，点P 是双曲线C ：x 24－y 2＝1右支上任意一点，若|P A |的最小值为3，则m ＝________.[解析] 设P (x ，y )(x ≥2)，则|P A |2＝(x －m )2＋y 2＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x －45m 2＋15m2－1，当m >0时，x ＝45m ，|P A |的最小值为 15m 2－1＝3，∴m ＝55；当m <0时，2－m ＝3，∴m ＝－1.[答案] －1或5 515．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9,10,11,1，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．[解析] 设这组数据的最后2个分别是：10＋x ，y ， 则9＋10＋11＋(10＋x )＋y ＝50，得x ＋y ＝10，故y ＝10－x . 将s 2＝15[1＋0＋1＋x 2＋(－x )2]＝25＋25x 2， 显然x 最大取9时，s 2最大是32.8. [答案] 32.816．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．[解析] 如图，由题意可知△P AC ，△PBC ，△PDC 均为直角三角形，取PC 的中点O ，则O 到P ，A ，B ，C ，D 的距离相等，所以点O 为过P ，A ，B ，C ，D 的球的球心，由已知可得OA ＝OB ＝23，所以△AOB 是正三角形，所以S ＝12×23×23×32＝3 3. [答案] 3 3限时标准练(二)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}[解析] 1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，x ＝1代入方程得m ＝3，∴x 2－4x ＋3＝0的解为x ＝1或x ＝3，∴B ＝{1,3}．[答案] C2．设i 是虚数单位，复数a ＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[解析] 由题意得，a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2＝a ＋12＋1－a 2i ，因为复数a ＋i1＋i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＝0，1－a2≠0，解得a ＝－1.[答案] A3．设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q[解析]命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3是真命题，例如取x0＝4，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x是假命题(取x＝4时，x2＝2x)，綈q为真命题．因此p∧(綈q)为真命题．[答案] A4．在某项检测中，测量结果服从正态分布N(2,1)，若P(X<1)＝P(X>1＋λ)，则λ＝()A．0 B．2 C．3 D．5[解析]依题意，正态曲线关于x＝2对称，又P(X<1)＝P(X>1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2.[答案] B5．函数y＝x2sin x＋2x cos x在区间[－π，π]上的图象大致为()[解析] y ＝x 2sin x ＋2x cos x 在x ∈[－π，π]上是奇函数，图象关于原点对称，排除D.又y ′＝(x 2＋2)cos x ，当x ∈[0，π]时，令y ′＝0，得x ＝π2. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ′>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，y ′<0，因此函数在x ＝π2时取得极大值，只有A 满足． [答案] A6．设a ，b ∈{x ||x |＋|x ＋1|>1}，且ab ＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．2 2[解析] 由|x |＋|x ＋1|>1，得x >0或x <－1，又ab ＝1，且a ，b ∈{x |x >0或x <－1}．∴a ，b 大于0，且ab ＝1.则a ＋2b ＝1b ＋2b ≥22，当且仅当b ＝22时取等号，故a ＋2b 的最小值为2 2.[答案] D7．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1→＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －43B ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －34C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－nD ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－n[解析] 因为P n P n ＋1→＝OP n ＋1→－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，所以a n ＋1－a n ＝2.所以{a n }是公差为2的等差数列． 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13， 所以S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43. [答案] A8.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，则过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是( )A.23B.43C.52D.83[解析] 由题意，建立如图所示的坐标系，则D (2,1)，设抛物线方程为y 2＝2px ，代入D 点坐标，可得p ＝14.∴y ＝x 2，∴S ＝2⎠⎛02x2d x ＝2·23x32 |20＝83.[答案]D9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.9＋36πB.6＋36πC.3＋36πD.12＋36π[解析] 由三视图可得，直观图为圆锥的12与圆柱的34组合体，由图中数据可得几何体的体积为12·13·π·12·3＋34π·12·2＝9＋36π. [答案] A10．已知单位圆有一条长为2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得AP →·AB →≥2的概率为( )A.π－24πB.π－2πC.3π－24πD.2π[解析] 建立如图所示的直角坐标系，由题意，取A (1,0)，B (0,1)，设P (x ，y )，则(x －1，y )·(－1,1)≥2，∴x －y ＋1≤0，满足x －y ＋1≤0的点与圆围成的面积S ＝π4－12×1×1＝π－24. 又单位圆的面积S 圆＝π×12＝π， ∴所求的概率P ＝SS 圆＝π－24π.[答案] A11．函数f (x )＝2sinωx ＋2cosωx (ω>0)，若∃x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4，则当ω取最小值时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)的值为( )A ．4B ．2C ．0D ．－22[解析] f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin ωx ＋22cos ωx ＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.又∃x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴∃x 0∈R ，使f (x 0)＝－2，f (x 0＋4)＝2.则x ＝x 0与x ＝x 0＋4是函数f (x )图象的两条对称轴． 若ω取最小值，则T ＝2(x 0＋4－x 0)＝8，从而f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0.[答案] C12．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1[解析] 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m >0，n >0，故m >n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n2＝1＋1n 4＋2n2>1，∴e 1·e 2>1. [答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧15－x，x ≤0，log 4x ，x >0，则f [f (－3)]＝________.[解析] 由题意知f (－3)＝15－(－3)＝18，f [f (－3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 418＝－32.[答案] －3214．当a ＝2，b ＝6时，执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．[解析] 依据程序框图，初始值a ＝2，b ＝6，S ＝0，T ＝12. 循环执行一次：S ＝12，a ＝3，b ＝5，T ＝15. 循环执行两次：S ＝15，a ＝4，b ＝4，T ＝16.循环执行三次：S ＝16，a ＝5，b ＝3，T ＝15，此时满足S >T ，输出S ＝16.[答案] 1615．点M 是双曲线x 2－y24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________．[解析] 不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点． ∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心C (2,0)，半径R ＝1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直．因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R . 由于|MC |min ＝|4－0|22＋(－1)2＝455，故r min ＝455－1.[答案]455－116．若函数f (x )的表达式为f (x )＝ax ＋bcx ＋d (c ≠0)，则函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，a c .现已知函数f (x )＝2－2x 2x －1，数列{a n }的通项公式为a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n 2017(n ∈N *)，则此数列前2017项的和为________．[解析] ∵函数f (x )＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，a c ，∴函数f (x )＝2－2x 2x －1的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，即有f (x )＋f (1－x )＝－2.则数列前2017项的和为S 2017＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f (1)，则S 2017＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f (1)， 相加可得2S 2017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋2f(1)＝－2＋(－2)＋…＋(－2)＋0＝－2×2016，则此数列前2017项的和为－2016.[答案]－2016限时标准练(三)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．∅[解析] 集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ，B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)．[答案] B2．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3[解析] 由已知得(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，解得a ＝±1. [答案] A3．设函数f (x )＝x 2－2x －3，若从区间[－2,4]上任取一个实数x 0，则所选取的实数x 0满足f (x 0)≤0的概率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由f (x 0)≤0，得到x 20－2x 0－3≤0，且x 0∈[－2，4]，解得－1≤x 0≤3，∴P ＝3＋14＋2＝23.[答案] A4．已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12[解析] 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列．因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.[答案] A5．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] 向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7. 可得a 2－a ·b ＝4－a ·b ＝7，可得a ·b ＝－3， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－32×3＝－12，由0≤〈a ，b 〉≤π，得〈a ，b 〉＝2π3. [答案] C6．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A．9π B．18π C．36π D．144π[解析]由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2,4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形．将该三棱柱补成一个长方体，从同一顶点出发的三条棱长为4,4,2.设外接球的半径为R，则2R＝42＋42＋22，R＝3.因此外接球的表面积S＝4πR2＝36π.[答案] C7．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD＝7，AB＝2，则S△ABC＝()A．3 B．2 3 C．3 3 D．6[解析] ∵由于△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且内角和等于180°，∴B ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32＝3 3.[答案] C8．若实数x ，y 满足|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12 C.22 D.22－1[解析] x ，y 满足|x |≤y ≤1，表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是可行域内的点到D (－1,0)的距离的平方减1.显然D (－1,0)到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为12＝22，故所求表达式的最小值为12－1＝－12.[答案] B9．执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 开始S ＝0，K ＝1，a ＝－1执行循环： 第一次：S ＝0－1＝－1，a ＝1，K ＝2； 第二次：S ＝－1＋2＝1，a ＝－1，K ＝3； 第三次：S ＝1－3＝－2，a ＝1，K ＝4；第四次：S ＝－2＋4＝2，a ＝－1，K ＝5； 第五次：S ＝2－5＝－3，a ＝1，K ＝6； 第六次：S ＝－3＋6＝3，a ＝－1，K ＝7； 结束循环，输出S ＝3. [答案] B10．若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π [解析] 由f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 的对称轴方程为x＝π4ω可知，π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ⇒φ＝π4＋k π，即ba ＝tan φ＝1⇒a ＝b ，又f ′(x )＝aωcos ωx －bωsin ωx 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0⇒aω⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0⇒ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ⇒ω＝2＋8k ，k ∈Z ⇒ω＝2，即T ＝2πω＝π.[答案] C11．已知抛物线y 2＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点(A 在第一象限内)，AF →＝3FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则三角形ABG 的面积为( )A.839B.1639C.3239D.6439[解析] 如图作出抛物线的准线l ：x ＝－1，设A ，B 在l 上的射影分别是C ，D .连接AC ，BD ，过点B 作BE ⊥AC 于点E .∵AF →＝3FB →，则设|AF |＝3m ，|BF |＝m ，由点A ，B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC |＝3m ，|BD |＝m .因此，在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴直线AB 的倾斜角∠AFG ＝60°，∴直线AB 的斜率k ＝tan60°＝3，则直线l 的方程为：y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，整理得3x 2－10x ＋3＝0，则x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，则y 1＋y 2＝3(x 1－1)＋3(x 2－1)＝433，y 1＋y 22＝233，∴AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，则直线EG 的斜率为－33，则直线EG 的方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53.当y ＝0时，则x ＝113，则G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫113，0，则点G 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113×3－31＋3＝433，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163，则S △ABG ＝12×|AB |·d ＝12×163×433＝3239.故选C.[答案] C12．已知函数f (x )＝|x |＋2x－12(x <0)与g (x )＝|x |＋log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，2)C ．(－∞，22)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－22，22[解析] 依题意，存在x 0>0，使得f (－x 0)＝g (x 0)，即|x 0|＋2－x 0－12＝|x 0|＋log 2(x 0＋a )；因而2－x 0－12＝log 2(x 0＋a )，即函数y ＝2－x －12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，当a >0时，只需满足x ＝0时，log 2(0＋a )<20－12⇒log 2a <12，即0<a <2；易知当a ≤0时，函数y ＝2－x －12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上恒有交点．故a 的取值范围是(－∞，2)．[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．[解析] 由题意知，男生人数＝900－400＝500，所以抽取比例为男生∶女生＝500∶400＝5∶4，样本容量为45，所以抽取的男生人数为45×59＝25.[答案] 2514．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．[解析] 依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1， 4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1(bc >0)，4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.[答案] 915．设双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线上的一点，且F 1F 2⊥AF 2，若直线AF 1与圆x 2＋y 2＝a 2＋b29相切，则双曲线的离心率为________．[解析] 由题意，F 1(0，c )，F 2(0，－c )，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ，－c ，∴直线AF 1的方程为y －c ＝－2acb 2x ，即2acx ＋b 2y －b 2c ＝0.∵直线AF 1与圆x 2＋y 2＝a 2＋b29相切，∴b 2c4a 2c 2＋b 4＝c 3.∴2b 2＝ac ，∴2e 2－e －2＝0，∵e >1，∴e ＝ 2. [答案]216．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝19，且a cos B ＋b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 由a cos B ＋b cos A ＝2及余弦定理，得a 2＋c 2－b 22c ＋b 2＋c 2－a 22c ＝2，∴c ＝2.∴4＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥2ab －29ab ，则ab ≤94，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立．又cos C ＝19，C ∈(0，π)，得sin C ＝459.∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×94×459＝52. [答案] 52限时标准练(四)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)[解析] 由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2,2]，由1－x >0得x <1，∴B ＝(－∞，1)．∴A ∩B ＝[－2,1)．[答案] D2．已知复数z 满足z ＝2＋a i1＋i (i 为虚数单位，a ∈R )，若复数z 对应的点位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2[解析] 复数z 满足z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋a 2＋a －22i ，复数z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋a 2，a －22位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上， ∴－2＋a 2＝a －22，解得a ＝0. [答案] A3．若点P 到直线y ＝3的距离比到点F (0，－2)的距离大1，则点P 的轨迹方程为( )A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y[解析]依题意，点P到直线y＝2的距离等于点P到点F(0，－2)的距离．由抛物线定义，点P的轨迹是以F(0，－2)为焦点，y＝2为准线的抛物线，故点P的轨迹方程为x2＝－8y.[答案] D4．已知三个不同的平面α，β，γ，且α⊥γ，那么“β⊥γ”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]当α⊥γ，β⊥γ时，不一定有α∥β，如图所示，α∩β＝l.显然当α∥β，α⊥γ时，有β⊥γ，所以“β⊥γ”是“α∥β”的必要不充分条件．[答案] B5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A.17532里 B ．1050里 C.2257532里D ．2100里[解析] 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝2257532.[答案] C6．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤21?B ．i ≤11?C ．i ≥21?D ．i ≥11?[解析] ∵s ＝12＋14＋…＋120，并由程序框图中s ＝s ＋i2i ，i 的初值为1，终值为10，步长为1，即经过10次循环才能算出s ＝12＋14＋…＋120的值，所以i ≤10，应不满足条件，继续循环，∴当i ≥11才能满足条件，退出循环，因此判断框内应填入i ≥11？.故选D.[答案] D7．已知|AB →|＝3，|AC →|＝23，∠BAC ＝30°，且2AC →＋3DC →＝5BC →，则AC →·CD →等于( )A ．－2B ．3C ．4D ．－5[解析] 由2AC →＋3DC →＝5BC →得2AB →＝3BD →，即AD →＝53AB →，∴AC →·CD→＝AC →·(CA →＋AD →)＝－12＋|AC →|·|AD →|cos A ＝3.[答案] B8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则关于函数f (x )有以下四个命题：①∀x ∈R ，f [f (x )]＝1；②∃x 0，y 0∈R ，f (x 0＋y 0)＝f (x 0)＋f (y 0)；③函数f (x )是偶函数；④函数f (x )是周期函数．其中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] ①当x 为有理数时，f (x )＝1，则f [f (x )]＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝f (0)＝1，即∀x ∈R ，均有f [f (x )]＝1.因此①为真命题；②取x 0＝2，y 0＝3，则f (x 0＋y 0)＝0，且f (x 0)＋f (y 0)＝0，则②成立；③易知f (x )为偶函数，③为真命题；④对任意非零有理数T ，有f (x ＋T )＝f (x )，则④为真命题． 综上，真命题有4个． [答案] A9．为响应“精准扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3500元/箱的A ，B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为( )A ．200B ．350C ．400D ．500[解析] 设购买A 种药品x 箱，B 种药品y 箱，捐献总箱数为z .由题意⎩⎪⎨⎪⎧1500x ＋3500y ≤1000000，x ≥100，y ≥x ，x ，y ∈N*即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋7y ≤2000，x ≥100，y ≥x ，x ，y ∈N *.目标函数z ＝x ＋y ，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分，则当z ＝x ＋y 过点A 时，z 取到最大值．由⎩⎨⎧3x ＋7y ＝2000，x ＝y得A (200,200)，因此z 的最大值z max ＝200＋200＝400. [答案] C10．将函数f (x )＝2sin2x －2cos2x ＋1的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( )A ．函数y ＝g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝g (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π8D ．函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π8上单调递减[解析] 把f(x )＝2sin2x －2cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象，再向下平移1个单位，得到函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．对于A ，由于T ＝2π2＝π，故正确．对于B ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝2为最大值，∴g (x )关于x ＝π8对称，正确．对于D ，由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，得函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π8上单调递增，故错误．[答案] D11.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于( )A.5π6 B.2π3 C ．πD.7π6[解析] 球面与正方体的两个面都相交，所得的交线分为两类，一类在顶点A 所在的三个面，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上，另一类在不过顶点A 的三个面，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上．在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且弧在过球心A 的大圆上，因为AE ＝2，AA 1＝3，则∠A 1AE ＝π6.同理∠BAF ＝π6，所以∠EAF ＝π6，所以弧EF 的长为2×π6＝π3.而这样的弧共有三条，∠FBG ＝π2，所以弧FG 的长为1×π2＝π2.于是所得曲线的长为π2＋π3＝5π6.故选A.[答案] A12．已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的单调函数，且对∀x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－ln x ]＝e ＋1，设f ′(x )为f (x )的导函数，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据题意，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－ln x ]＝e ＋1，又由f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，则f (x )－ln x 为定值，设t ＝f (x )－ln x ，则f (x )＝ln x ＋t ， 又由f (t )＝e ＋1，即ln t ＋t ＝e ＋1， 解得t ＝e ，则f (x )＝ln x ＋e ，f ′(x )＝1x >0，故g (x )＝ln x ＋e －1x ，则g ′(x )＝1x ＋1x 2>0，故g (x )在(0，＋∞)上递增．又g (1)＝e －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1<0，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得g (x 0)＝0，故函数g (x )有且只有1个零点．[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为5∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为________．[解析] 由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都被抽到的概率是C 22C 2n＝128，可得n ＝8，所以总体中的个数是5×8＋8＝48.[答案] 4814．若(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3a 2＝________.[解析] 由通项公式，得T r ＋1＝C r 5(－2x )r ＝(－2)r C r 5x r，令r ＝3，则a 3＝(－2)3C 35＝－80；令r ＝2，则a 2＝(－2)2C 25＝40.因此a 3a 2＝－8040＝－2.[答案] －215．在平面直角坐标系中，直线x ＝32与双曲线x 23－y 2＝1的两条渐近线分别交于点P ，Q .其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．[解析] 由双曲线方程x 23－y 2＝1知a ＝3，b ＝1，c ＝2， 所以渐近线方程为y ＝±13x ＝±33x ，将直线x ＝32代入渐近线方程，得P ，Q 纵坐标的绝对值|y 0|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝4.所以S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3，则S四边形F 1PF 2Q ＝2S △F 1PF 2＝23.[答案] 2 316．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1，则S 6a 6的值为________．[解析] 由题意，得a 1＝2a 1－1，则a 1＝1.因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，S n ＝2a n －1，所以a n ＝2a n －1－2a n －1＋1，所以a n ＝2a n －1，故a na n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，即a n ＝2n －1，所以S n ＝2n －1.所以S 6a 6＝6332.63 [答案]32限时标准练(五)(时间：40分钟满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅[解析]A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A ∪B＝{x|x<1}．[答案] A2．已知(1－i)z＝2＋4i，则复数z－在复平面内对应的点所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵(1－i)z＝2＋4i，∴z＝2＋4i1－i＝(2＋4i)(1＋i)(1＋i)(1－i)＝－2＋6i2＝－1＋3i，则z－＝－1－3i，其在复平面内所对应的点位于第三象限．[答案] C3．已知向量a＝(1,2)，b＝(m，－4)，若|a||b|＋a·b＝0，则实数m 等于()A．－4 B．4 C．－2 D．2[解析]向量a＝(1,2)，b＝(m，－4)，且|a||b|＋a·b＝0，∴|a||b|＋|a||b|cosθ＝0，∴cosθ＝－1，∴a，b的方向相反，∴b＝－2a，∴m＝－2.[答案] C4．已知f(x)满足∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1e x ＋k(k为常数)，则f(ln5)的值为()A．4 B．－4 C．6 D．－6[解析]∵f(x)满足∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，故f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝0.∵x≤0时，f(x)＝1e x＋k，∴f(0)＝1＋k＝0，k＝－1，所以当x≤0时，f(x)＝1e x－1，则f(ln5)＝－f(－ln5)＝－4.[答案] B5．某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写()A．i≤2015? B．i≤2016?C．i≤2017? D．i≤2018?[解析] 由程序框图，初始值S ＝2，i ＝1. 循环一次后，S ＝－3，i ＝2； 循环两次后，S ＝－12，i ＝3； 循环三次后，S ＝13，i ＝4； 循环四次后，S ＝2，i ＝5； 循环五次后，S ＝－3，i ＝6； …依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.如果i ≤2015，则循环结束S ＝13；如果i ≤2016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i ≤2016？”．[答案] B6．下列命题，其中说法错误的是( )A ．双曲线x 22－y 23＝1的焦点到其渐近线距离为 3B ．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D ．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α[解析] 双曲线x 22－y 23＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|3＋2＝3，故A 正确．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2，B 正确．若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中，如图，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α，故D 正确．[答案] C7．“m >2”是“不等式|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵|x －3m |＋|x －3|≥|3m －3|，又不等式|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立，只需3m >33，则m >32.故“m >2”是“|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件．[答案] A8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －a ≥0，2x －y －4≤0，若z ＝y ＋1x ＋1的最小值为－14，则正数a 的值为( )A.76 B ．1 C.34 D.89[解析] 满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝y ＋1x ＋1表示过可行域内的点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，由题意知a >0，所以作出可行域，可知可行域内的点A 与(－1，－1)连线的斜率最小，由⎩⎨⎧2x ＋y －a ＝0，2x －y －4＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 4，a 2－2，又z ＝y ＋1x ＋1的最小值为－14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝a2－2＋1a 4＋1＋1＝2a －4a ＋8＝－14⇒a ＝89.[答案] D9．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n ＝( )A ．405B ．810C ．243D ．64[解析] (2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1，取x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n ，(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.∴a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810. [答案] B10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6[解析] 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π，故当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．[答案] C11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (c,0)．直线x ＝c 与双曲线C 在第一象限的交点为P .过F 的直线l 与双曲线C 过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP 交于点B .若△ABF 与△PBF 的面积的比值为2，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.322 C. 2 D. 3[解析] ∵△ABF 与△PBF 的面积的比值为2，∴|AB ||BP |＝2.∵A (－a,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c －a 3，2b 23a ，代入直线l 的方程y ＝－ba (x －c )得2b ＝a ＋c ，即3c 2－2ac －5a 2＝0，解得3c ＝5a 或a ＝－c (舍去)．∴双曲线C 的离心率为53.[答案] A12．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 [解析] 因为f (0)＝－1＋a <0，又x 0是唯一的使f (x )<0的整数，所以x 0＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0.则⎩⎨⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e .又因为a <1，所以32e ≤a <1.[答案] D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a 2＝3，a ＝ 3. 外接球直径为2R ＝3a ＝3.∴R ＝32，∴V ＝43πR 3＝43π×278＝92π. [答案] 92π14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是________三角形．[解析] 在△ABC 中，∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵sin B ·sin C ＝sin 2A ，∴bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴(b －c )2＝0，解得b ＝c . ∴△ABC 的形状是等边三角形． [答案] 等边15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.。
高三数学题限时练习题
高三数学题限时练习题第一题：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数，且f≠0。
已知当f=2时，f(f)=3；当f=1时，f(f)=1。
请回答以下问题：1. 根据已知条件，列出函数f(f)的方程式。
2. 求函数f(f)的导函数f′(f)。
3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。
解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=ff^2+ff+f。
由已知条件可以得到如下方程组：3 = 4f+2f+f (1)1 = f+f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=1，f=-1，f=3。
因此，函数f(f)的方程式为f(f)=f^2−f+3。
2. 函数f(f)的导函数f′(f)可以通过求函数f(f)的变化率来得到。
根据导数的定义，有：f′(f) = lim(f→0) (f(f+f)−f(f))/f对函数f(f)=f^2−f+3进行求导，得到：f′(f) = 2f−1所以，函数f(f)的导函数f′(f)为2f−1。
3. 函数f(f)的极值点为f=−1，可以通过求导数为0的点来求得。
令f′(f)=0，有：2f−1 = 0解方程得到f = 1/2。
即函数f(f)在f=−1处的极值为f=1/2。
第二题：已知函数f(f)=f^3+ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数。
请回答以下问题：1. 当f=2时，f(f)=1；当f=1时，f′(f)=2。
根据已知条件，列出函数f(f)的方程式以及函数f(f)的导函数f′(f)的方程式。
2. 求函数f(f)的导函数f′(f)的导函数f′′(f)。
3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。
解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=f^3+ff^2+ff+f。
根据已知条件可以得到如下方程组：1=8+4f+2f+f (1)2=3+2f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=-2，f=3，f=-4。
高考数学二轮复习小题限时训练1理
高考数学二轮复习小题限时训练1理一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．[2021·陕西西安期末]选集U ＝{0,1,2,4,6,8,10}，集合A ＝{2,4,6}，B ＝{1}，那么(∁U A)∪B 等于( )A ．{0,1,8,10}B ．{1,2,4,6}C ．{0,8,10}D ．∅2．[2021·江西重点协作体第二次联考]i 为虚数单位，a ，b ∈R ，假定()a －2i 3·i＝b ＋2i ，那么a －b ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．43．ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，并且y ＝2ξ＋3，那么方差D (y )＝( ) A.329 B.89 C.439 D.5994．[2021·陕西渭南质量检测]假定AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，点P 是△ABC 内一点，那么PA →·PB →的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D ．(－1,1) 5．[2021·舒城中学仿真试题]以下说法正确的选项是( ) A ．命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1的否认为∀x ∈R ，sin x >1B ．设a ，b ∈R ，那么〝log 2a >log 2b 〞是〝2a －b>1”的充要条件 C ．假定命题p ∧q 为假命题，那么p ，q 都是假命题D ．命题〝假定x 2－3x ＋2＝0，那么x ＝1”的逆否命题为〝假定x ≠1，那么x 2－3x ＋2≠0”6．[2021·福建福州质检]规则：投掷飞镖3次为一轮，假定3次中至少两次投中8环以上为优秀．依据以往阅历，某选手投掷一次命中8环以上的概率为45.现采用计算机做模拟实验来估量该选手取得优秀的概率：用计算机发生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在8环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8环以上，经随机模拟实验发生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 031 257 393 527 556 488 730 113 537 989 据此估量，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为( ) A.45 B.1820 C.112125 D.17207．[2021·天津一中月考]x >0，y >0，lg2x ＋lg8y＝lg4，那么1x ＋13y的最小值是( )A ．4B ．2 2C ．2D ．2 38．[2021·广西钦州市第三次质量检测]变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ＋y －6≤0，x －1≥0那么2x －y 的最小值是( )A ．2B ．－2C ．－3D ．－19．[2021·正源期末]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x <1－ax ，x ≥1满足对恣意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，那么a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 10．[2021·唐山统考]设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，假定S 4S 2＝3，那么S 6S 4＝( ) A ．2 B.73C.310 D ．1或2 11．[2021·合肥第三次教学质量检测]我国现代«九章算术»将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长区分为2和4，高为2，那么该刍童的外表积为( )A ．12 5B ．40C ．16＋12 3D ．16＋12 512．[2021·宁夏六盘山第三次模拟]F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支区分交于A ，B 两点．假定△ABF 2为等边三角形，那么双曲线的离心率为( )A.7B. 3 C ．2 D.13二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上． 13．[2021· 河南新乡市高三第三次模拟测试]非零向量a ＝(t,0)，b ＝(－1，3)，假定a ＋2b 与a 的夹角等于a ＋2b 与b 的夹角，那么t ＝________.14．[2021·山东日照结合考试]奇函数f (x )为R 上的减函数，假定f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，那么实数a 的取值范围是________．15．[2021·云南昆明月考]设函数f (x )＝2x 2＋6x ＋6－m ·e x(m 为非零实数)，假定函数f (x )有且仅有一个零点，那么m 的取值范围为________．16．[2021·葫芦岛第二次模拟]以下说法：①线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)；②命题〝∀x ≥1，x 2＋3≥4”的否认是〝∃x <1，x 2＋3<4”； ③相关系数r 越小，说明两个变量相关性越强；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝8.079，那么有99%的掌握以为这两个变量间有关系；其中正确的说法是________(把你以为正确的结论都写在横线上)． 附：P (K 2≥k 0) 0.100 0.050 0.010 0.001。
专题2小题提分限时训练1(原卷版)-2021年新高考数学小题限时提分训练(45分钟)
专题2新高考数学小题限时训练1（原卷版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}32M m m =∈-<<Z ，{}13N n n =∈-≤≤Z ，则MN =（ ） A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．1,0,1,2 2．若复数151i z i -+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2- 3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ） A ．0.01 B ．0.1 C ．1 D ．10 4．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．43(1)(1)x x --的展开式中2x 的系数为（A ）6- （B ）3- （C ）0 （D ）36．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=，则cos （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣ 6．设圆锥曲线τ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线τ上存在点P 满足1122::PF F F PF 4:3:2=，则曲线τ的离心率等于A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或32 7．（3分）（2011•重庆）在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=0内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A ．103 B ．4 C ．163 D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各题中，p 是q 的充要条件的有（ ）A ．p ：四边形是正方形；q ：四边形的对角线互相垂直且平分B ．p ：两个三角形相似；q ：两个三角形三边成比例C ．p ：0xy >；q ：0x >，0y >；D ．p ：1x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根；q ：()00a b c a ++=≠ 10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥E ABF -的体积为定值 11．已知曲线22:1(,)C mx ny m n +=∈R ，则下列说法正确的是（ ）．A ．若0m >，0n >，则曲线C 是椭圆B ．若0m n >>，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C ．若0m n >>，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D ．曲线C 可以是抛物线12．已知()ln x f x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- B ．单调递增区间为(),e -∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5sin α=，则tan2α=_________. 14．的二项展开式中，的系数是____________（用数字作答）. 15．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.16．已知点E F 、分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，12CF FC =，侧面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于_______.。
2018届高三理科数学小题限时专练(共8套)
算法流程图输出的结果是
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
x 2y 0
（7）变量
x，y
满足约束条件
x
y
0
，则 z 2x y
x 2 y 2 0
的最小值等于
（A） 5 （B） 2 （C） 3
2
2
（D） 2
（8）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
（A）若 K2 的观测值为 k＝6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100
D
C
M
则 SD 面ABCD .
其中正确的命题个数是
N
A
B
（A） 0
（B）1
（C） 2
（D）3
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
（13） (1 2 x )3 (1 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 .
（14）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下： 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高 y(cm) 175 175 176 177 177
2018 年 2 月
2018 届高三理科数学小题限时专练（二）
限时：30 分钟 总分：80 分
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 A x x 1 ， B x 2x 16 ，则 A B
A． (1, 4)
B． (,1)
C． (4, )
D． (,1) (4,)
8．刍薨（chú hōng），中国古代算数中的一种几何形体，《九章 算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广. 刍，草 也. 薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长 没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍
2024高中数学计算限时训练(解析版)
2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。
第01练-2020年高考数学(文)小题标准限时考练
2020年高考数学（文）小题标准限时考练 第01练（满分80分，用时45分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1.集合A={x|y=√x },B={y|y=log 2x,x>0},则A∩B 等于 ( )A.RB.∅C.[0,+∞)D.(0,+∞)1.[解析]C 集合A={x|y=√x }={x|x≥0},集合B={y|y=log 2x,x>0}=R,因为A ⊆B,所以A∩B=A={x|x≥0}.2.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪12z z i ＝－5＋5i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．－1＋3i C ．1－3i D ．－3＋i2.【解析】A 依据题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 2z z i ＝z i －2z ＝－5＋5i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则(a ＋b i)i －2(a ＋b i)＝－b －2a ＋(a －2b )i ＝－5＋5i ，∴⎩⎨⎧－b －2a ＝－5，a －2b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－1，∴z ＝3－i.3. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差3.【解析】C 由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错； 甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为s 甲2=15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2，s 乙2=15×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错.4.(2017北京)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数4.【解析】A ∵f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝3x －3－x ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )．又函数f (x )的定义域为R ，∴函数f (x )为奇函数．∵y ＝3x 为增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为减函数，∴f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为增函数．故选A. 5. 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.455.【解析】C 由题意可知a ＝b ＝2，∴c ＝a 2＋b 2＝2，∴|F 1F 2|＝2c ＝4.∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，∴|PF 1|－|PF 2|＝x ＝2a ＝22，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2.利用余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.故选C6.已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,且(b -c)(sin B+sin C)=(a -√3c)·sin A,则角B 的大小为 ( )A.30°B.45°C.60°D.120°6. [解析]A 因为由正弦定理可得,sin B=b2R,sin C=c2R,sin A=a 2R, 所以,由(b -c)(sin B+sinC)=(a -√3c)·sin A 可得, (b -c)(b+c)=a(a -√3c),即有c 2+a 2-b 2=√3ac,则cos B=a 2+c 2−b 22ac =√32,由于0<B<180°,则B=30°.7.设函数f(x)=xsin x+cos x 的图象在点(t ，f(t))处切线的斜率为k ，则函数k=g(t)的部分图象为( )7. [解析]B 因为f(x)=x sin x+cos x ，所以f′(x)=(x sin x)′+(cos x)′=x(sin x)′+(x)′sin x+(cos x)′=xcos x ，所以k=g(t)=tcos t ，可知g(t)为奇函数，答案应选B 或D ，又当t 取接近0的正数时，g(t)>0.8. 已知-2,a 1,a 2,-8成等差数列,-2,b 1,b 2,b 3,-8成等比数列,则a 2−a 1b 2等于 ( )A.14B.12C.-12D.12或-128.[解析]B 因为-2,a 1,a 2,-8成等差数列,所以a 2-a 1=−8−(−2)3=-2,又因为-2,b 1,b 2,b 3,-8成等比数列,所以b 22=(-2)×(-8)=16,解得b 2=±4,又b 12=-2b 2,所以b 2=-4,所以a 2−a 1b 2=−2−4=12.9. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为( )A.4π3 B ．3π C.3π2D ．π 9.【解析】C 由三视图可知，四面体的六条棱为棱长为1的正方体六个面的对角线，如图所示，则该四面体的外接球即为此正方体的外接球．∵正方体的棱长为1，∴外接球半径R ＝1×3×12＝32，∴此四面体的外接球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝3π2.故选C.10.已知非零向量AB →与AC →满足 (AB →|AB →|+AC →|AC →|)·BC →=0，AB→|AB →|·AC→|AC →|= 12，则△ABC 为 ( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形10.[解析]A 因为(AB→|AB →|+AC →|AC →|)·BC →=0,所以∠BAC 的平分线与BC 垂直,三角形是等腰三角形.又因为AB→|AB →|·AC→|AC →|=12,所以∠BAC=60°,所以三角形是等边三角形.11. 已知Ρ是双曲线x 2a -y 2b=1(a>0，b>0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→=0，若△ΡF 1F 2的面积为9，则a+b 的值为( ) A.5B.6C.7D.811. [解析]C. 双曲线的离心率e=c a =54，由PF 1→·PF 2→=0可得PF 1→⊥PF 2→，则△ΡF 1F 2的面积为12|PF 1→||PF 2→|=9，即|PF 1→||PF 2→|=18，又在Rt △ΡF 1F 2中，4c 2=|PF 1→|2+|PF 2→|2=(|PF 1→|-|PF 2→|)2+2|PF 1→||PF 2→|=4a 2+36， 解得a=4，c=5，b=3，所以a+b=7.12. 已知函数y=f(x -1)的图象关于点(1，0)对称，且当x ∈(-∞，0)时，f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a=(30.3)·f(30.3)，b=(log π3)·f(log π3)，c=(log 319)·f (log 319)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB. a>c>bC.c>b>aD. c>a>b12.[解析]D 因为当x ∈(-∞，0)时，不等式f(x)+xf′(x)<0成立， 即(xf(x))′<0，所以xf(x)在(-∞，0)上是减函数.又因为函数y=f(x -1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y=f(x)的图象关于点(0，0)对称， 所以函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，所以xf(x)是定义在R 上的偶函数，所以xf(x)在(0，+∞)上是增函数.又因为30.3>1>log π3>0>log 319=-2，2=-log 319>30.3>1>log π3>0，所以(−log 319)f (−log 319)>30.3·f(30.3)>(log π3)·f(log π3)，即(log 319)f (log 319)>30.3·f(30.3)>(log π3)·f(log π3)，即c>a>b.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为___________. 13.[解析] 322 ∵A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，∴AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴向量AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →||CD→＝2×5＋1×552＋52＝322. 14. 数列{a n }中，a n ＝n －2018n －2019，则该数列前100项中的最大项是第_________项．14.[解析]45 a n ＝n －2018n －2019＝n －2019＋2019－2018n －2019＝1＋2019－2018n －2019，根据函数 f (x )＝1＋2019－2018x －2019的单调性可知，a n ＝1＋2019－2018n －2019，当n ∈[1，44]时，单调递减，且a n <1；当n ∈[45，100]时，单调递减，且a n >1，则a 44＝44－201844－2019 最小，a 45＝45－201845－2019最大． 15. 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为____________．15.[解析] 15°或75° 如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG =∥12AB ，FG =∥12CD ， 由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°.由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°.故EF 与AB 所成的角为15°或75°.16. (2018全国Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是__________.16.【解析】[2，6] 因为直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，所以A (－2，0)，B (0，－2)，则||AB ＝2 2.圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C (2，0)，半径r ＝2，圆心C (2，0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|2＝2 2.设点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为h ，显然，当PC ⊥AB 时，h 取得最值．过点C 作直线AB 的垂线，垂足为F ，当点P 为线段CF 与圆C 的交点时，h 最小，h min ＝d －r ＝22－2＝2，则(S △ABP )min ＝12·||AB ·h min ＝12×22×2＝2；当点P 为线段FC 的延长线与圆C 的交点时，h 最大，h max ＝d ＋r ＝22＋2＝32，则(S △ABP )max ＝12·||AB ·h max ＝12×22×32＝6.综上，△ABP 面积的取值范围是[2，6]．。
高考数学小题综合限时练(1).docx
专题分层训练(二十四) 小题综合限时练(1)(时间：45分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D.答案 D2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本解析 5 000名居民的阅读时间的全体为总体，故选A. 答案 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5D ．20解析 由通项得T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y )r ，令r ＝3，所以T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－2C 35x 2y 3，∴x 2y 3的系数为－20.答案 A4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析 由题意，设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1.答案 D5．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B.b a<1 C ．lg(a －b )>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 解析 ∵0<13<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，又a >b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b .答案 D6．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1，∴f (0)＝0且f′(0)＝a －1＝2，解得a ＝3，故选D.答案 D7．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析 当i ＝2，k ＝1时，s ＝1×(1×2)＝2； 当i ＝4，k ＝2时，s ＝12×(2×4)＝4；当i ＝6，k ＝3时，s ＝13×(4×6)＝8；当i ＝8时，i <n 不成立，输出s ＝8. 答案 B8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线l 经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.答案 B9．已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析 由f(x)d x ＝0，得sin (x －φ)d x ＝0，即－cos (x －φ)⎪⎪⎪⎪2π3＝0，∴－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－φ＋cos φ＝0，∴32cos φ－32sin φ＝0，∴3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝0，∴φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝kπ＋π3，∴f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π3，由x －k π－π3＝k ′π＋π2，得x ＝(k ＋k ′)π＋56π(k ，k ′∈Z )，故选A.答案 A10．已知奇函数f (x )＝5x ＋sin x ＋c ，x ∈(－1,1)，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析 ∵f ′(x )＝5＋cos x >0，可得函数f (x )在(－1,1)上是增函数，又函数f (x )为奇函数，∴由f (x )＝5x ＋sin x ＋c 及f (0)＝0可得c ＝0，由f (1－x )＋f (1－x 2)<0，可得f (1－x )<－f (1－x 2)＝f (x 2－1)，从而得⎩⎪⎨⎪⎧1－x <x 2－1，1－x >－1，x 2－1<1，解得1<x < 2.故应选B.答案 B11．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10解析设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA →·OB →＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2， ∴m ＝2，即点M (2,0)． 又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2| ＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3， 当且仅当y 1＝43时，等号成立．答案 B12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋3)＝f (x ＋1)且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的图象的交点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由f (x ＋3)＝f (x ＋1)⇒f (x ＋2)＝f (x )，可知函数的最小正周期为2，故f (1)＝f (3)＝f (5)＝f (7)＝1，当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2的值域为{y |0≤y ≤1}，当x ＝7时，函数y ＝log 7x 的值为y ＝log 77＝1，故可知在区间(0,7]之间，两函数图象有6个交点．答案 D二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．解析 由已知条件，AO →＝12(AB →＋AC →)得O 为线段BC 的中点，故BC 是⊙O 的直径．∴∠BAC ＝90°，∴AB →与AC →的夹角为90°.答案 90°14．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．解析 由条件易知(1＋x )3、(1＋x )3、(1＋3x )3展开式中x 的系数分别是C 13、C 23、C 33，即所求系数是3＋3＋1＝7.答案 715．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析 由频率分布直方图可知，抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.答案2416．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析建立三角不等式，利用两点间距离公式找到x0的取值范围．如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN 与⊙O相切于点N.设∠OMN＝θ，则θ≥45°，即sinθ≥22，即ONOM≥22.而ON＝1，∴OM≤ 2.∵M为(x0,1)，∴x20＋1≤2，∴x20≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范围为[－1,1]．答案[－1,1]。
2020版考前小题练 高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练一(含答案解析)
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二、填空题
ππ
π
13
，
2α＋
13.若 tan α-
= ，α∈ 4 2 ，则 sin
4 =_______.
tan α 2
14.已知(x＋a)2(x- 1)3 的展开式中 x4 的系数为 1，则 a=________.
15.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众 A，B，C 做了一项预测： A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”. B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”. C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”. 比赛结果出来后，发现 A，B，C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还 有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________.
h＋k A.
2
nh＋mk B.
m＋n
mh＋nk C.
m＋n
h＋k D.
m＋n
9.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜
的数字记为 b，且 a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a- b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意
找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
2.答案为：D；
a－i a－i2－i 2a－1－a＋2i 2a－1 a＋2
解析： =
=
= - i，
2＋i 2＋i2－i
5
5
5
5i 3i- =3i-
5i2＋i
－5＋10i
=3i-
=1＋i，
2－i 2－i2＋i
5
a－i
5i
2a－1
a＋2
∵ 与 3i- 互为共轭复数，∴ =1，- =- 1，解得 a=3.故选 D.
高考数学客观题限时训练习题及参考答案(十一套)
高考数学客观题限时训练习题（十一套）高考数学客观题限时训练一班级 姓名 学号 记分1、已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅ 2、等比数列{}n a 中，0n a >且21431,9a a a a =-=-，则45a a +等于（ ） A ．16 B ．27 C ．36 D ．27- 3、不等式2103x x -≤的解集为（ ）A ．{|2x x ≤≤ B ．{}|25x x -≤≤ C ．{}|25x x ≤≤ D ．{}5x x ≤ 4、曲线24y x =关于直线2x =对称的曲线方程是（ ）A ．2164y x =-B ．284y x =-C ．248y x =-D ．2416y x =-5、已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的范围（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b ≤-或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤6、直线l 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l 分成弧长为21∶的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D7、空间四点A B C D 、、、，若直线,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥同时成立，则A B C D 、、、四点的位置关系是（ ）A ．一定共面B ．一定不共面C ．不一定共面D ．这样的四点不存在8、()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则2T f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．2TC ．TD ．2T-9、已知实数x y 、满足22326x y +=，则2x y +的最大值为（ ） A ．4 BC． D10、函数222x y e -=的图象大致是（ ）选择题答案栏11、直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为____________.12、在()()10211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数是_______________.13、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有____________14、函数()f x =是奇函数的充要条件是____________ABCD15、260100x y x x y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,z mx y =+取得最大值的最优解有无数个，则m 等于16、在下列四个命题中，①函数2cos sin y x x =+的最小值是1-。
高三数学限时练习题
高三数学限时练习题本文是一份高三数学限时练习题集，旨在帮助学生加强对数学知识的掌握和应用能力。
请同学们根据题目要求认真思考并完成每一道题目，以检验自己在数学方面的能力。
第一题：已知函数 f(x) = 2x^2 + bx + c，其中 b，c 为常数。
若该函数在 x = -2 处有极值，并且在 x = -1 处取得最小值 -5，则求函数 f(x) 的解析式。
第二题：给定一准直光线 AO 与反射线 BC，如图所示。
已知入射角α=60°，折射角β=30°，弯折角δ=105°。
求反射角θ。
（插入图示）第三题：已知集合 A = {x | x^2 - 5x + 6 ≤ 0}，集合 B = {x | 2x - 1 > 0}，求 A∩ B 的解集。
第四题：某市的人口数量随年份变化，已知2015 年的人口数量为100 万人，且每年增长率恒定。
设 x 为年份，y 为该年份的人口数量（单位：万人）。
试求人口数量 y 关于年份 x 的增长函数 f(x) 的解析式，函数图像的横坐标为年份 x（2015 ≤ x ≤ 2020），纵坐标为人口数量y（单位：万人）。
第五题：已知集合 U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}，集合A = {x | 2x + 1 ≠ 0}，集合 B = {x | -x^2 + 4x ≠ 0}，求集合 A ∪ B 的解集。
第六题：某公司计划购买一批电脑，设公司购买的电脑总价为 x 元（单位：万元），购买数量为 N 台。
电脑的单价为 4000 元/台。
已知公司预算为 100 万元，且购买数量 N 为整数。
求购买数量 N 的取值范围，使得购买电脑的总价 x 不超过预算。
题目描述如上，请同学们认真思考，通过合理的数学计算和推理，逐题解答。
希望这份限时练习题能够为同学们的数学学习提供一定的帮助。
如果遇到任何难题，可以向老师或同学请教，共同进步。
加油！（文章共计193字）。
高考数学复习 小题满分限时练
则 a 的取值范围是( )
[ )3
A. － ，1 2e
[ )3 3
B. － ， 2e 4
[ )3 3
C. ， 2e 4
解析 因为 f(0)＝－1＋a<0，
[ )3
D. ，1 2e
又 x0 是唯一的使 f(x)<0 的整数，所以 x0＝0.
{ ) 所以 f（－1） ≥ 0， f（1） ≥ 0.
{ ) 则
23 B.若命题 p：∃x∈R，使得 sin x＋cos x≥2，则綈 p：∀x∈R，都有 sin x＋cos x<2
C.若 p∧q 是假命题，则 p，q 都是假命题 D.设 a，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面 α，使得 a⊂α，且 b∥α 解析 双曲线x2－y2＝1 的焦点( 5，0)到其渐近线 3x－ 2y＝0 的距离为 d＝
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵ i ＝ i（1－i） ＝1＋1i，∴a＝1，
1＋i （1＋i）（1－i） 2 2
2
∵(1＋i)2＝2i，∴b＝2，
( ) 则
z＝a－bi
对应点的坐标为
1 ，－2
，位于第四象限.
2
答案 D
3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后
3π α＋
4
＝3× 5
－
2 2
－4× 5
2＝－7
2 .
2 10
答案 A
→→ 8.圆 O 的半径为 3，一条弦|AB|＝4，P 为圆 O 上任意一点，则AB·BP的取值范围
为( )
A.[－16，0]
B.[0，16]
C.[－4，20]
D.[－20，4]
第21练高考数学理小题标准限时考练
高考数学（理）小题标准限时考练高考数学（理）小题标准限时考练第 21 练4. (2019 咸·阳模拟 )已知 0＜a ＜b ，且 a ＋b ＝1，则以下不等式中正确的选项是 ()a －b 1（满分 80 分，用时 45 分钟）A ． log 2 a ＞ 0B ．2 ＜ 2一、 选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题中只有一项切合题目要求 )a b 11. 若会合，且，则会合 B 可能是 C ． log 2a ＋ log 2b ＜－ 2 D ．2b ＋a ＜24.【分析】 C 由题意知 0＜a ＜1，此时 log 2a ＜0，A 错误；由已知得 0＜a ＜1,0＜A.B. C. D. R11.【分析】 A，，且 ，a － b可能是．应选： A ．所以－ 1＜－ b ＜ 0，又 a ＜b ，所以－ 1＜ a － b ＜0，所以 2＜2 ＜ 1，B 错误；因为 0＜a b a b a b2 2. 已知，，此中 i 是虚数单位，则 的虚部为所以 ＋ ＞2·＝2，所以2＋ ＞2 ＝4，D 错误；由 a ＋b ＝1＞2 ab ，得b ab ab aA.B.C.D.2 2 2 1 ＝－ 2， C 正确．2log a ＋logb ＝ log (ab)＜log42.【分析】 B，，5. 双曲线 M 与双曲线 N ： 有共同的渐近线，且 M 经过抛物线，的虚部为 ．点，则 M 的方程为应选： B ．A.B. C.D.3. 函数的图象的大概形状是（）5.【分析】 D 双曲线 M 与双曲线 N ：有共同的渐近线，可设 M ：，A ．B ．由抛物线的极点为，可得，即有．应选： D ．6. 已知 为等比数列， ，，则A. 7B.C.D.6.【分析】 C 为等比数列， ，，C ．D ．由等比数列的性质，，或，当时， ，则，当时，，则，3【.解答】C（fx ）是分段函数，依据 x 的正负写出分段函数的分析式，（fx ）＝， 应选： C ．7. 水车在古代是进行浇灌引水的工具， 是人类的一项古老的发明， 也∴ x ＞ 0 时，图象与 y ＝ a x 在第一象限的图象同样， x ＜ 0 时，图象与 y ＝a x 的图象对于 x 轴对是人类利用自然和改造自然的象征． 如图是一个半径为 R 的水车，一 称 ,应选： C ．个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转高考数学（理）小题标准限时考练一周用时 60 秒经过 t 秒后，水斗旋转到 P 点，设 P 的坐标为，其纵坐标知足9. (2014 全·国卷Ⅰ )设 α∈0， π π 1＋sin β2 ，β∈ 0， 2 ，且 tan α＝ cos β，则 ()则以下表达错误的选项是ππA.A ． 3α－β＝2B ．2α＋β＝2ππB. 当时，函数单一递减C ． 3α＋β＝D ．2α－β＝22C. 当时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 61＋sin β sin α 1＋sin βD. 当时，9.【分析】 D [ 由 tan α＝cos β 得＝cos β ，cos α7.【分析】 B由题意得，，，解得；即 sin αcos β＝ cos α＋ cos αsin β，π∴ sin(α－ β)＝cos α＝sin 2 －α把点代入中，可得，，，则 A 正确；.π ππ π π π当 时，，函数单一递减，所以 B 错误；∵α∈ 0，2 ， β∈ 0，2 ，∴ α－β∈ － 2，2 ，2－α∈ 0， 2 ，由， 点 P 到 x 轴的距离的最大值∴由π ππ，当时，sin( α－β＝ sin － α，得 α－β＝2 －α，∴ 2α－ β＝ 2.]) 2为 6，所以 C 正确；10. (2016 全·国卷Ⅱ 从区间 [0,1] 随机抽取1，x 2， ，x n ，y 1，y 2， ， y n ，组成) 2n 个数 x数对 (x 1， y 1) ， 2 ，y 2 ， ，n ，y n，此中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机当 时，，P 的纵坐标为 6，，(x)(x)所以 D 正确．应选： B ．模拟的方法获得的圆周率 π的近似值为 ()4n2n8. 某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为A. mB. m A. B.4m2mC. nD. nC.D.8.【分析】 C由题意可知几何体的直观图如图：所以几何体的体积为： ．10.【分析】 C1 ，x 2， ，x n ，y 1，y 2， ， y n 都在区间 [0,1] 内随机抽取，所[ 因为 x成的 n 个数对 (x 1，y 1 ) ， (x2，y 2 ， ， n ，y n都在正方形OABC 内包含界限 ，如下图． 若) (x)( )两数的平方和小于 1，则对应的数对在扇形 OAC 内 (不包含扇形圆弧上的点所对应的数S m π m 故在扇形 OAC 内的数对有 m 个．用随机模拟的方法可得 扇形4＝ n ，所以 π＝正方形＝ n ，即S高考数学（理）小题标准限时考练11. 如图，已知直线y g (x)与曲线y f ( x) 相切于 A, B 两点，订交于C点， A, C, B 三点的横坐标分别为 x1, x2 , x3，记 F (x) g ( x) f ( x) ，以下判断正确的选项是（）x 为 F ( x) 的极大值点， x 为 F (x) 的极小值点，x 不是 F (x) 的极值点A． 1 3 2B．x1 为 F ( x) 的极大值点， x3为 F (x) 的极小值点， x2不是 F (x) 的极值点C．x2为F (x)的极小值点，x1, x3不是F (x)的极值点D．x1 为 F ( x) 的极大值点， x2 , x3不是 F (x) 的极值点11.【分析】 B 由题意可知F '(x)g '( x) f '( x)在 A 、B 点直线 y g x 与曲线 y f x 相切，所以F '(x1) F '( x3) 0 由图像可知当 x x1时，F '(x)0 ，为增函数当 x x邻近时，F '( x) 0 ，为减函数，所以在 x1 1处获得极大值；在 x2 左右双侧 F '( x) 0 建立，所以在 x2处没有极值；当 x x3 邻近时， F '(x) 0 ，为减函数当 x x3时， F '( x) 0 ，为增函数，所以在 x3处获得极小值所以选 B12.已知 F1，F2分别为双曲线 C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线 l与双曲线 C 的左右两支分别交于A，B 两点，若 |AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）A ．B．C． 2D．12.【解答】 A|AB|：|BF2|： |AF2|＝ 3： 4： 5，设|AF1|＝ t，|AB|＝ 3x，则 |BF2 |＝4x，|AF2|＝5x，依据双曲线的定义，得 |AF2|﹣|AF1|＝|BF1 |﹣|BF2|＝2a，即 5x﹣ t＝（ 3x+t）﹣ 4x＝2a，解得 t＝3a，x＝a，即 |AF1|＝3a， |AF2 |＝5a，∵ |AB|： |BF2|：|AF2|＝3：4：5，得△ ABF2是以 B 为直角的 Rt△，∴cos∠ BAF2＝＝，可得cos∠ F2AF1＝﹣，△ F2AF1中， |F1F2|2＝ |AF1|2+|AF2 |2﹣ 2|AF1|?|AF2|cos∠F2AF1＝9a2 +25a2﹣2×3a×5a×（﹣）＝ 52a2，可得 |F1 2 ＝，即c＝，F | 2a a所以，该双曲线的离心率e＝＝．应选：A．二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13. 我国南宋有名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△三个内角 A、 B、C 所对的边分别为 a、 b、 c，面积为 S，则“三斜求积”公式为．若 a2sinC＝4sinA，（ a+c）2＝ 12+b2，则用“”ABC的面积为_________．积公式求得△13.【分析】依据正弦定理：由 a2sinC＝4sinA，可得： ac＝ 4，因为（ a+c）2＝12+b2，可得： a2+c2﹣b2＝4，高考数学（理）小题标准限时考练即不等式的解为，即的解为，可得：＝＝．故答案为：．由，解得，即不等式的解集为，故答案为：．14. 已知，则睁开式中的常数项为______．14.【分析】，，其睁开式的通项公式为；令，解得；睁开式中常数项为．故答案为：．15. 已知一个四周体 ABCD 的每个极点都在表面积为的球 O 的表面上，且，，则______．15.【分析】由题意可知，四周体 ABCD 的对棱都相等，故该四周体能够经过补形补成一个长方体，如下图：设，，，则，又，可得，．故答案为：．16. 已知定义在实数集 R 的函数知足且导函数，则不等式的解集为 _______________．16.【分析】设，则不等式等价为，设，则，的导函数，，此时函数单一递减，，，则当时，，即，则此时，。
高考数学专题04：临考强化2021年数学(理)小题综合限时提分专练(解析版)
专题04：临考强化理科数学小题综合限时提分专练〔解析版〕一、单项选择题1．集合{}2560M x x x =--<，{}ln 0N x x =>，那么M N =〔 〕A ．{}01x x << B ．{}16x x << C ．{}13x x << D ．{}23x x <<【答案】B 【分析】求出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂. 【详解】集合{}{}256016M x x x x x =--<=-<<，{}{}ln 01N x x x x =>=>， 因此，{}16M N x x ⋂=<<. 应选：B.2．设i 为虚数单位，复数(12)1i z i +=-，那么z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求出z ，根据共轭复数的概念求出z ，再根据复数的几何意义可得结果. 【详解】1(1)(12)131312(12)(12)1455i i i i z i i i i -----====--+-++， 所以z =1355i -+，∴z 对应点为13(,)55-，在第二象限．应选：B3．“石头､剪刀､布"，又称“猜丁壳〞，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本､朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断开展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风行世界游戏规那么是：“石头"胜"剪刀〞､“剪刀〞胜“布〞､“布〞胜“石头〞，假设所出的拳相同，那么为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头､剪刀､布〞游戏比赛，那么小华经过三局获胜的概率为〔〕A．19B．29C．427D．727【答案】C【分析】由题设知小华经过三局获胜的根本领件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，概率乘法公式求概率即可.【详解】由题设知：小华经过三局获胜的根本领件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，∴小华经过三局获胜的概率为121214 33327C⋅⋅⋅=. 应选：C.4．函数2cos()e xx xf x-=的图象大致为〔〕A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和()00f>确定正确选项. 【详解】由2cos()()xx xf x f xe---=≠知，()f x的图象不关于y轴对称，排除选项A，C．()010f=>，排除选项D．应选：B5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，假设输入2x =，2n =，依次输入a 的值为1，2，3，那么输出的s =〔 〕A ．10B ．11C ．16D ．17【答案】B 【分析】根据循环结构，令1,2,3a =依次进入循环系统，计算输出结果. 【详解】解：∵ 输入的2x =，2n =，当输入的a 为1时，1S =，1k =，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a 为2时，4S =，2k =，不满足退出循环的条件； 当输入的a 为3时，11S =，3k =，满足退出循环的条件； 故输出的S 值为11． 应选：B6．中国古代制定乐律的生成方法是最早见于?管子·地员篇?的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其13，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长13，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)，商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.假设五音中的“宫〞的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽〞的律数为〔 〕 A ．72 B ．48C ．54D ．64【答案】B 【分析】按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果 【详解】依题意，将“宫〞的律数81三分损一可得“徵〞的律数为181(1)543⨯-=，将“徵〞的律数54三分益一可得“商〞的律数为154(1)723⨯+=，将“商〞的律数72三分损一可得“羽〞的律数为172(1)483⨯-=.应选：B7．假设log 2x y =-，那么x y +的最小值是〔 〕A ．B ．3C D ．3【答案】A 【分析】应用指对数互化得20yx，而222x x x y x -+=++，根据三元根本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由log 2x y =-，得20yx且(0,1)(1,)x ∈+∞，∴222x x x y x -+=++≥，当且仅当22x x -=，即x =.应选：A8．设定义在R 的函数()f x ，其图象关于直线1x =对称，且当1≥x 时，()ln 1f x x =-，那么13f ⎛⎫⎪⎝⎭，23f ⎛⎫⎪⎝⎭，32f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为〔 〕 A ．123332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．312233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】根据函数的对称性，函数的单调性进行求解即可. 【详解】当1x e ≤≤时，()ln 11ln f x x x =-=-，此时函数单调递减，而函数图象关于直线1x =对称，因此函数在[]2,1e -上单调递增，而13()=()22f f ，又因为11221323e -<<<<，所以112()()()323f f f <<，所以132()()()323f f f <<，应选：B9．函数()sin cos f x x a x ωω=+(0a >，0>ω)，假设函数()f x 的最小正周期2T π<且在6x π=处取得最大值2，那么ω的最小值为〔 〕 A ．5 B ．7C ．11D ．13【答案】D 【分析】由函数式的最大值2结合函数的特点求出a 值，再把函数式化成2sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由取最大值的条件结合周期范围得解. 【详解】()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，所以()f x ，即2=，又0a >，所以a =()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.又()f x 在6x π=处取得最大值2，所以2sin 2663f πππω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2632k k Z πππωπ+=+∈，即()112k k Z ω=+∈，又函数()f x 的最小正周期2T π<，所以22ππω<，又0>ω，所以1ω>，所以ω的最小值为13.应选：D【点睛】涉及解决sin cos a x b x)x ϕ+是关键.10．设曲线()1*n y xn +=∈N 在()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，那么220192010120102010log log log x x x ++⋅⋅⋅+的值为〔 〕A ．2010log 2009-B ．1-C ．2010log 20091-D ．1【答案】B 【分析】利用导数求出切线方程，可求得n x 的表达式，再利用对数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】 对函数()1*n y xn +=∈N 求导得()1ny n x'=+，切线斜率为1k n =+，所以，曲线()1*n y xn +=∈N 在()1,1处的切线方程为()()111y n x -=+-，即()y n 1x n =+-，由题意可得()10n n x n +-=，可得1n nx n =+，那么()2010201020102010log log log log 11n nx n n n ==-++， 因此，220192010120102010log log log x x x ++⋅⋅⋅+201020102010201020102010log 12log 2log 3log 2009log 20101log =-+-++-=-.应选：B. 【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：〔1〕()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔2〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔3〕()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；〔4(1k=. 11．设F 1，F 2为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，点P 是双曲线C 上一点，假设右焦点2(2,0)F ，124PF PF a +=，且一条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，那么12PF F △的最小内角的余弦值为〔 〕A ．B C D 【答案】C 【分析】由渐近线与圆22(2)1x y -+=相切求得b ，从而求得a ，由1PF 与2PF 的关系求出它们的值，进而判断12PF F △的最小内角，再结合余弦定理即可求解． 【详解】在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，2c =，且0bx ay -=是一条双曲线的渐近线．又0bx ay -=与圆22(2)1x y -+=相切，∴圆心〔2，0〕到直线0bx ay -=的距离1d =，1=，即|2|1b c =，1b =，从而a =124PF PF a +==不妨设点P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，122PF PF a -==，1224∴==F F c ，13PF a ==，2PF a ==12PF F △的最小内角为12PF F ∠，由余弦定理可得，2222121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠，12cos PF F ∴∠=应选：C 【点睛】关键点点睛：由渐近线与圆22(2)1x y -+=相切求得b ，进而求得1PF 与2PF 是关键点．12．函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有f (x +2)=f (x )，且当11x -<时.3,(),x x x Z f x e x Z ⎧∉=⎨∈⎩，函数log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩，假设关于x 的方程()()f x g x =在[1,)-+∞恰有5个互异的实数解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(]7,9B ．(]11,7,997⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]11,9,11119⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭D ．()(]1111,,9,1010,111110109⎡⎫⎛⎫⋃⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】D 【分析】方程()()f x g x =在[1,)-+∞恰有5个互异的实数解可转化为函数()f x 与()g x 的图象有5个交点，利用图象数形结合，建立不等式求解即可. 【详解】 因为f (x +2)=f (x )， 所以()f x 的周期2T =，作出3,(),x x x Z f x e x Z ⎧∉=⎨∈⎩与log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩的图象如下，当0x <时，()f x 与()g x 无交点， 故5个交点同在y 轴的右侧，由图象可知，()y f x =与()y g x =在(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9)这些区间中共有5个交点，故()y g x =会在(9,10)或(10,11]内与1y =相交需满足log 91log 101a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩或log 91log 111a a ⎧<⎪⎨≥⎪⎩解得11091110110a a a a ⎧><<⎪⎪⎨⎪<<<<⎪⎩或或或19091111111a a a a ⎧><<⎪⎪⎨⎪<≤≤<⎪⎩或或，即111110a ≤<或11109a <<或910a <<或1011a <≤，综上可知()(]1111,,9,1010,111110109a ⎡⎫⎛∈⎫⋃⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 应选：D 【点睛】关键点点睛：根据方程的根的个数，转化为图象交点的个数，利用数形结合的思想，根据交点个数建立不等式，是解决此题的关键所在，属于较难题目.二、填空题13．假设x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，那么z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，那么z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】此题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．262()x x+的展开式中常数项是__________〔用数字作答〕．【答案】240 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=. 故答案为：240. 【点睛】此题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()n a b +的展开通项公式1C r n r r r n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于根底题.15．圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23π 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下图， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于223122AM -=1222222S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，那么： ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()1332222r =⨯++⨯= 解得：22r ，其体积：3423V r π==. 2. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16．数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，那么1a =______________.【答案】7【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++ 135********()()a a a a a a a a =+++++++ 111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.【点睛】此题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.。
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限时练(一)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x ∈N |y ＝3－x }，则A ∩B ＝( ) A.{3} B.{1，3} C.{1，2}D.{1，2，3}解析 由x 2－6x ＋8<0得2<x <4，故A ＝{x |2<x <4}，又B ＝{x ∈N |y ＝3－x }＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，故A ∩B ＝{3}. 答案 A2.复数2＋i 1－2i 的共轭复数是( )A.－35iB.35iC.－iD.i解析 法一 ∵2＋i1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝2＋i ＋4i －25＝i ，∴2＋i1－2i 的共轭复数为－i.法二 ∵2＋i1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i （1－2i ）1－2i ＝i ，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.答案 C3.已知数列{a n }满足：对于m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12. 令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列. 因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132. 答案 A4.已知角α的终边经过点P (2，m )(m ≠0)，若sin α＝55m ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π2＝( )A.－35B.35C.45D.－45 解析 ∵角α的终边过点P (2，m )(m ≠0)， ∴sin α＝m4＋m 2＝55m ，则m 2＝1. 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－32π＝cos 2α＝1－2sin 2α＝35.答案 B5.在ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A.48B.36C.24D.12解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD→2＝24. 答案 C6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )A.8B.17C.29D.83 解析由程序框图知，循环一次后s＝2，k＝1.循环二次后s＝2×3＋2＝8，k＝2.循环三次后s＝8×3＋5＝29，k＝3.满足k>n，输出s＝29.答案 C7.如图，半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为A，B，C，D，这四个小圆都与圆O内切，且相邻两小圆外切，则在圆O内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为()A.3－2 2B.6－4 2C.9－6 2D.12－8 2解析由题意，A，O，C三点共线，且AB⊥BC.设四个小圆的半径为r，则AC＝AB2＋BC2，∴2R－2r＝22r，∴R＝(2＋1)r.所以，该点恰好取自阴影部分的概率P＝4πr2πR2＝4（2＋1）2＝12－8 2.答案 D8.已知函数f(x)＝3＋log a(7－x)(a>0，a≠1)的图象恒过点P，若双曲线C的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与3x－y－1＝0垂直，且点P在双曲线C上，则双曲线C 的方程为( ) A.x 29－y 2＝1 B.x 2－y 29＝1C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1解析 由已知可得P (6，3)，因为双曲线的一条渐近线与3x －y －1＝0垂直，故双曲线的渐近线方程为x ±3y ＝0，故可设双曲线方程为x 2－(3y )2＝λ，即x 2－9y 2＝λ，由P (6，3)在双曲线上可得62－9×(3)2＝λ，解得λ＝9.所以双曲线方程为x 29－y 2＝1. 答案 A9.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )解析 f (x )＝x 2－2ln|x |为偶函数，排除D.当x >0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，所以当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，排除B ，C ，故选A. 答案 A10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.163πB.112πC.173πD.356π解析 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则V ＝23πr 3＝16π3. 答案 A11.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，不妨设此时x 1，x 2分别是函数f (x )和g (x )的最小值点和最大值点.即f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4.则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z ).又|x 1－x 2|min ＝π6，0<φ<π2，所以φ＝π3. 答案 C12.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a <23b 在R 上是单调递增函数，则c 2b －3a的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 依题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在x ∈R 恒成立.∴a >0，且Δ＝4b 2－12ac ≤0，则b 2≤3ac ，c ≥b 23a >0.又a <23b ，知2b －3a >0，则3a (2b －3a )≤⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋2b －3a 22＝b 2，故c2b －3a ≥b 23a （2b －3a ）≥b 2b 2＝1.答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为5∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为________.解析 由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都被抽到的概率是C 22C 2n ＝128，可得n ＝8，所以总体中的个数是5×8＋8＝48.答案 4814.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中含x 的项是(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 与(1－x )4展开式中含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 的和，所以其系数为1＋2×1＝3. 答案 315.(2018·烟台模拟)已知F (2，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦的长度为6，若A (－2，2)，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________.解析 ∵过点F 的弦长为6，得2b 2a ＝6，b 2＝3a ，① 又a 2－b 2＝c 2＝4，②联立①②，解得a ＝4，b ＝2 3.过点A 作x 轴垂线交椭圆于M ，当点M 在第三象限时，|MF |＋|MA |取最大值2a＋2＝8＋ 2. 答案 8＋ 216.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ≠0)，若f (x )存在2个零点x 1，x 2，且x 1，x 2都大于0，则a 的取值范围是______.解析 f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ， 当a >0时，易知x ＝0是极大值点，x ＝2a 是极小值点. ∵f (0)＝1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a 2－4a 2<0，解得a ∈(0，2). 当a <0时，易知x ＝2a 是极小值点，x ＝0是极大值点.又f (0)＝1>0，∴函数f (x )只有一个大于零的零点，不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(0，2). 答案 (0，2)。