高考数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数课后作业理3

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【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初
等函数I 第六节 对数与对数函数课后作业 理
[全盘巩固]
一、选择题
1.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A B C D 2．已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 1<x 3 D ．x 3<x 1<x 2
3．函数f (x )＝log 12(x 2
－4)的单调递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)
4．(2016·开封模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x
，x ≤0，
|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝1
2
的解集为( )
A ．{－1，2} B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫
2，22
C ．{－1} D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
－1，2，22
5.已知函数f (x )＝log a (2x
＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )
A ．0<a －1
<b <1 B ．0<b <a －1
<1 C ．0<b －1
<a <1 D ．0<a －1
<b －1
<1 二、填空题
6．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋3，若f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12 015＝4，则f (2
015)的值为________． 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 2x ，x >0，log 1
2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是
________．
8．若f (x )＝lg(x 2
－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________． 三、解答题
9．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n
x 2＋1
的定义域为R ，值域为[0,2]，求m ，n 的值．
10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．
[冲击名校]
1．设方程10x
＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1
2．(2016·黄冈模拟)已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2
＋b 2
的最小值为( )
A ．6
B ．8
C ．9
D ．12
3．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．
4．已知函数f (x )＝ln
x ＋1
x －1
. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1
x －1>ln m
x －
－x
恒成立，求实数m 的取值范围．
答 案 [全盘巩固]
一、选择题
1.解析：选B 因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，所以y ＝3
－x
不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3
＝－x 3
不可能过点(1,1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D.
2．
解析：选A 由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一
直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
与y 2＝log 3x 的图象，如图所示，由图可知x 3>1，而x 1＝log
132<0,0<x 2＝2－1
2
<1，所以x 3>x 2>x 1.
3．解析：选D 函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2
－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在
(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．
4．解析：选D 当x ≤0时，2x
＝12，x ＝－1；当0<x <1时，|log 2x |＝－log 2x ＝12，x ＝22
；
当x >1时，log 2x ＝12，x ＝ 2.故所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
－1，2，22.
5.解析：选A 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点
坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1
a
<b <1.
二、填空题 6．解析：∵f ⎝
⎛⎭
⎪⎫12 015＝4，∴a log 212 015－b log 312 015＋3＝4，即－a log 22
015＋b log 32
015＋3＝4，∴a log 22 015－b log 32 015＝－1，∴f (2 015)＝a log 22 015－b log 32 015＋3＝－1＋3＝2.
答案：2
7．解析：由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a >0，
log 2a >－log 2a
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a <0，log 1
2
－a 2
－a ，
解得a >1或
－1<a <0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
8．解析：令函数g (x )＝x 2
－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2
＋1＋a －a 2
，对称轴为x ＝a ，要使函数在 (－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
g ，
a ≥1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2－a >0，a ≥1，
解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．
答案：[1,2) 三、解答题
9．解：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋n x 2
＋1
，即(3y －m )x 2－8x ＋3y
－n ＝0，因为x ∈R ，所以Δ＝64－4(3y
－m )(3y
－n )≥0，即32y
－(m ＋n )×3y
＋mn －16≤0，由0≤y ≤2，得1≤3y
≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨
⎪
⎧
m ＋n ＝1＋9，mn －16＝1×9，
解得m ＝n ＝5.
10．解：(1)要使函数f (x )有意义．
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1>0，
1－x >0，解得－1<x <1.
故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．
(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f (x )>0⇔x ＋11－x
>1，解得0<x <1.
所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1)．
[冲击名校]
1．解析：选D 构造函数y ＝10x
与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．
因为x 1，x 2是10x
＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1.
2．解析：选B ∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e e －x x ＝ln e 2
＝2，
∴503(a ＋b )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2 012e 2 013＋
f ⎝
⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫e 2 013＝12×[2×2 012]＝2 012，
∴a ＋b ＝4， ∴a 2
＋b 2
≥
a ＋b
2
2
＝4
2
2
＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 3．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min
＝log a (8－2a )>1，即8－2a >a ，解得1<a <83
.
当0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 即8－a <a ，且8－2a >0，∴a >4，且a <4，故不存在．
综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，83 4．解：(1)由
x ＋1
x －1
>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f (－x )＝ln
－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，
∴f (x )＝ln
x ＋1
x －1
是奇函数． (2)∵x ∈[2,6]时，f (x )＝ln
x ＋1
x －1
>ln m x －
－x
恒成立，∴
x ＋1
x －1>
m
x －
－x
>0，
∵x ∈[2,6]，
∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上成立．
令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2
＋16，x ∈[2,6]，
由二次函数的性质可知x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增， x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，
x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，
∴0<m <7.
即实数m 的取值范围是(0,7)．
敬请批评指正。