12.4 直接证明与间接证明

§12.4 直接证明与间接证明
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为_________
2．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，
且2x 2＝x 1＋x 3，则下列各式成立的有__________．(填序号)
①FP 1＋FP 2＝FP 3
②FP 21＋FP 22＝FP 23
③2FP 2＝FP 1＋FP 3
④FP 22＝FP 1·
FP 3 3．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，
n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论：
(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.
其中正确结论的个数为________．
4．设x 、y 、z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x
，则下列关于a 、b 、c 三个数的结论中，正确的是__________．
①至少有一个不大于2 ②都小于2
③至少有一个不小于2 ④都大于2
5．(2010·广东深圳高级中学一模)定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：
(ⅰ)1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1 则n *1=
6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________．
7．设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，
且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________．(填写所有正确条件的代号)
①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；
③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线．
8．(2010·常熟一检)下面有4个命题：
①当x >0时，2x ＋12x 的最小值为2； ②若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
③将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象；
④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 2
2
； 类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、
b 、
c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 2
2
. 其中错误．．
命题的序号为________(把你认为错误命题的序号都填上)． 9．(2010·张家港模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：
①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；
④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.
其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
二、解答题(本大题共3小题，共46分)
10．(14分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：a >0且－2<b a
< －1.
11.(16分)已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a
－2 12．(16分)已知a ，b ，c 是互不相等的实数．
求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有
一条与x 轴有两个不同的交点．
答案
1．a >b 2．③ 3．3 4．③ 5．n 6．a ≥0，b ≥0且a ≠b 7．①③④
8．①③ 9．③
10．证明 f (0)>0，∴c >0，
又∵f (1)>0，即3a ＋2b ＋c >0.①
而a ＋b ＋c ＝0即b ＝－a －c 代入①式，
∴3a －2a －2c ＋c >0，即a －c >0，∴a >c .
∴a >c >0.又∵a ＋b ＝－c <0，∴a ＋b <0.
∴1＋b a <0，∴b a
<－1.又c ＝－a －b ， 代入①式得，3a ＋2b －a －b >0，∴2a ＋b >0，
∴2＋b a >0，∴b a >－2.故－2<b a
<－1. 11．证明 要证
a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a
＋ 2.
∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 24≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a
2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a
2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
12．证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条
抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，
由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，
y ＝bx 2
＋2cx ＋a ，
y ＝cx 2＋2ax ＋b ，
得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，
Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.
上述三个同向不等式相加得，
4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，
∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca ≤0，
∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0，
∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．。