2013年高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试 新人教B版

2013年高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为

测试 新人教B 版

1.(2011·宁波十校联考)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )

A ．3

B ．4

C ．3 2

D ．4 2

[答案] C

[解析] 设A (x 1,3－x 21)，B (x 2,3－x 22)，由于A 、B 关于直线x ＋y ＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝x 22－33－x 2

1＝－x 2

，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝1

x 2＝－2

，设直线AB 的斜率为k AB ， ∴|AB |＝1＋k 2AB |x 1－x 2|＝3 2.故选C.

2．(2011·南昌检测(二))过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，

F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )

A.2

2

B.33

C.12

D.13

[答案] B

[解析] 记|F 1F 2|＝2c ，则|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3

，所以椭圆的离心率为|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝

2c 2c 3＋4c 3

＝

3

3

，选B. 3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x 2

－

y 2

3

＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→

的最小值为( )

A ．－2

B ．－81

16

C ．1

D ．0

[答案] A

[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→

＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在x ≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )

取最小值，即P A 1→·PF 2→

取最小值，最小值为－2.

4．(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )

A.4

5 B.3

5 C ．－35

D ．－45

[答案] D

[解析] 方法一：联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y 2＝4x

y ＝2x －4，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1y ＝－2

，不妨设A 在x 轴上方， ∴A (4,4)，B (1，－2)，

∵F 点坐标为(1,0)，∴F A →＝(3,4)，FB →

＝(0，－2)， cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|

＝－85×2＝－4

5.

方法二：同上求得A (4,4)，B (1，－2)，|AB |＝35，|AF |＝5，|BF |＝2， 由余弦定理知，

cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22·|AF |·|BF |＝－4

5

.

5．(2011·台州二模)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF |

|BF |

的值为( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

[答案] C

[解析] 由题意设直线l 的方程为y ＝3(x －p 2)，即x ＝y 3＋p

2，代入抛物线方程y 2＝2px

中，整理得3y 2－2py －3p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＝3p ，y B ＝－3

3

p ，所以|AF ||BF |＝|y A

y B

|＝3. 6．(2011·海南一模)若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一

点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM

＝( )

A ．－c 2

a 2

B ．－b 2

a 2

C ．－c 2

b 2

D ．－a 2

b

2

[答案] B

[解析] 解法一(直接法)：设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)，则B (－x 1，－y 1)，

k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 2

1

x 20－x 21

＝－b 2a 2x 20＋b 2

－－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 2

1 ＝－b 2

a

2.

解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A (a,0)，B (－a,0)，M (0，b )，可得k AM ·k BM

＝－b 2

a

2.

7．(2010·吉林省调研)已知过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右

支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．

[答案] (1，2)

[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b a <1，∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2

a 2<2，

即e 2<2，∵e >1，∴1

8．(2010·安徽安庆联考)设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x 2

＋y 2

4

＝1的交点为A 、B ，点

P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为2－1的点P 的个数为________．

[答案] 3

[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ，代入x 2

＋y 2

4

＝1中消去y 得，

8x 2＋4bx ＋b 2－4＝0，

由Δ＝16b 2－32(b 2－4)＝0得，b ＝±22，

显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A (－1,0)，B (0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25

，

∴欲使S △ABP ＝12|AB |·h ＝5

2h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与

椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个．

9．(2011·海南五校联考)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为