2018年高三最新北京市育才学校2018高三月考数学理科试题精品

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高三数学-2018年3月育才中学月考试卷数学试卷(理)附答

2018年3月育才中学月考试卷数学试卷（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（）A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅ 2．复数Bi A imi+=+-212（m 、A 、B∈R ），且A+B=0，则m 的值是（）A ．2B ．32C ．－32D ．23．已知，，不等式的解为a b a x b >>-<<001( ) A. （，）（，）-⋃a b 001 B. （，）-11b aC. （，）（，）-⋃1001baD. （，）（，）-∞-⋃+∞11a b4．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-.1,2553,034x y x y x 所表示的平面区域图形是（）A ．第一象限内的三角形B ．四边形C ．第三象限内的三角形D ．以上都不对 5．下列四个极限运算中，正确的是 ( )(A)1||lim0=→xx x (B).1)1(21lim 21=--→x x x(C)111||lim1=---→x x x(D) 1||lim=→xx x6．把函数x sin 3x cos )x (f -=的图象向左平移m 个单位, 所得图象关于y 轴对称, 则m的最小值为（）A.65π B. 32π C. 3π D. 6π 7．在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则11931a a -的值为（）A ．14B ．15C ．16D ．17 8．下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”；其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9．在数列}{n a 中，21=a ，⎩⎨⎧=+=++)(2)(211为偶数为奇数n a a n a a n n n n 则5a 等于（）A.12B.14C.20D.2210.已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若e PF PF =||||21，则e 的值为（）A ．33 B ．23 C ．22 D ．36二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上 11．若指数函数()()xf x a x R =∈的部分对应值如下表：则不等式1(1)0fx --<的解集为12．若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________。

【高三数学试题精选】北京市2018年高考理科数学试题(有答案)

北京市2018年高考理科数学试题（有答案）
5 0 （D）lnx+ln
(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）
（B）
（c）
（D）1
(7)将函数图像上的点P（，t ）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′若P′位于函数的图像上，则
（A）t= ，s的最小值为（B）t= ，s的最小值为
（c）t= ，s的最小值为（D）t= ，s的最小值为
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（c）乙盒中红球不多于丙盒中红球
（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

（10）在的展开式中，的系数为__________________（用数字作答）
（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，。

北京市北京八中2018届高三第二次月考试数学理科试题

○…………外…………○……学校:___○…………内…………○……绝密★启用前北京市北京八中2018届高三第二次月考试数学理科试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合21{|log },{|}2xA y y xB y y ⎛⎫==== ⎪⎝⎭,则A B ⋂=A ．1{|0}2y y << B ．{}0y y C ．∅ D ．R 2．在复平面内, i 是虚数单位,则3i2i-=-A ．5i3- B ．7i 3+C ．5i5- D ．7i 5+3．程序框图如图所示,其输出结果是○…………装…………○※※请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………○B．119C．125D．1274．已知关于x的方程()2623920x x a x a-+--+-=有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是A．0a>或2a=-B．0a>C．0a<或2a=-D．0a<或2a=5．按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排,则不同的排列方法为A．10102510C A B．6410151010C C A C．410C D．6464A A6．已知函数()πf x sinωx6⎛⎫=+⎪⎝⎭，()πf x f9⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x∈R恒成立，则ω可以是（）A．1B．3C．152D．127．一个四棱锥中有三对互相垂直的侧面,其主视图如右图,则四棱锥的表面积为A．5B5C．5D58．对于直角坐标平面内的任意两点()()1122,,,A x yB x y,定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y=-+-.给出下列三个命题:①若点C 在线段AB 上,则AC CB AB +=;②在ABC 中,若90C ∠=,则222||||AC CB AB +=;③在ABC 中, AC CB AB +>,其中真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知π26C b ==,则B = ______.10．在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AB BC AA ===,点M 为1AB 的中点,点P 为对角线1AC 上的动点,点Q 为底面ABCD 上的动点(点,P Q 可以重合),则MP PQ +的最小值为______.11．在极坐标系中，圆心为且过极点的圆的极坐标方程为__________.12．若关于,x y 的不等式组10{10 0x y x y ax y -+≤++≥-≥表示的平面区域为一个三角形及其内部,则a的取值范围是______. 13．已知()()314,1{log ,1m m x m x f x x x -+<=≥是(),-∞+∞是的减函数,则m 的取值范围是______.14．对于曲线12,C C ,若存在点P 和常数()0k k ≠,过点P 任引直线分别交12,C C 于12,MM (均异于点P ),若12PM k PM =,那么称曲线1C 与2C 相似,相似比为k ,点P 为相似中心.则下列各组曲线中,坐标原点O 是其相似中心的是______.(把所有正确结论的序号都填上)①22221,2x y x y +=+=; ②22221,122x y y x +=+=; ③224,2y x y x ==. 三、解答题15．已知函数()23cos 2f x x x =-, x R ∈.……○…………装………………订………学校:___________姓名：_级：___________考号：______……○…………装………………订………（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 16．某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如右茎叶图(单位: cm ),若身高在175cm 以上(包括175cm )定义为“高个子”,身高在175cm 以下(不包括175cm )定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X 的分布列,并求X 的数学期望.17．（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= ．（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ；（Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值．18．（题文）已知函数 .若曲线和曲线都过点 ,且在点处有相同的切线 . （Ⅰ）求的值;19．设分别为椭圆：的左、右焦点,点为椭圆的左顶点,点为椭圆的上顶点,且 . （Ⅰ）若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;（Ⅱ）设为椭圆上一点,且在第一象限内,直线与轴相交于点 ,若以为直径的圆经过点 ,证明: . 20．对于数集{}121,,,,n X x x x =-，其中120n x x x <<<<， 2n ≥，定义向量集(){}|,,,Y a a s t s X t X ==∈∈．若对于任意1a Y ∈，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P ．例如{}1,1,2X =-具有性质P ．（1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值．（2）若X 具有性质P ，求证： 1X ∈，且当1n x >时， 11x =．（3）若X 具有性质P ，且11x =， 2x q =（q 为常数），求有穷数列1x ， 2x ，，n x 的通项公式．参考答案1．B【解析】由题意{}21{|log },{|}02xA y y x RB y y y y ⎛⎫====== ⎪⎝⎭，所以{}0A B y y ⋂=，故选B.2．D【解析】由题意()()()()3i 2i 3i 72i 2i 2i 7i---+==--+，故选D. 3．D【解析】执行如图所示的程序框图，可得1a =，第一次循环： 3a =，不满足条件100a >；第二次循环： 7a =，不满足条件100a >；第三次循环： 15a =，不满足条件100a >；第四次循环： 31a =，不满足条件100a >；第五次循环： 63a =，不满足条件100a >；第六次循环： 127a =，满足条件100a >，输出结果127a =，故选D. 4．A【解析】当3x ≤时，方程变为()2430x a x a -+++=，解得121,3x x a ==+；当3x >时，方程变为()281550x a x a --+-=，解得125,3x x a ==-，因为原方程有两个不同的实数根，所以方程都有等跟，即20a +=，即2a =- 或方程都只有一个实数根，即33a +>且33a -<，解得0a >，所以实数a 的取值范围是0a >或2a =-，故选A. 5．C【解析】按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球，其中有红球1015625⨯=，黑球1010425⨯=，由于红球、黑球是完全相同的，则有1种抽取方法，进而将4个黑球安排在10个位置中的4个，有410C 种方法，由分步计数原理，可得共有410C 种不同方法，故选C.6．B 【解析】由题意函数π()sin()6f x x ω=+，π()()9f x f ≤对任意x R ∈恒成立，则可得当9x π=时，函数()f x 取得最大值，即π()sin()1996f ππω=⨯+=，则π2,962k k Z ππωπ⨯+=+∈，解得318,k k Z ω=+∈，当0k =时，3ω=，故选B. 7．B【解析】由题意，根据给定的三视图可知，原几何体为如图所示的一个棱锥，其中底面是边长为2的正方形，其面积1224S =⨯=；侧面PBC 是2,1BC PO ==的等腰直角三角形，其面积为212112S =⨯⨯=；侧面,PAB PCD 是2,AB CD PB ===其面积为34122S S ==⨯=侧面PAD 是2AD =5122S =⨯=，所以几何体的表面积为123455S S S S S S =++++.8．B【解析】 ①中，不妨设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+>，令101x x x >>，因为点()00,C x y 在线段AB 上，所以()()0101011AC x x y y k x x =-+-=+-同理可得()()()()102020211,1CB x x y y k x x AB k x x =-+-=+-=+-所以()()()()()01202111AC CB k x x k x x k x x AB +=+-++-=-=，所以是正确的；②中，因为ABC ∆中，若090C ∠=，取()()1,1,3,2C A ，则B 在直线3x y +=上，不妨取()0,3B ，则31213,01313,30234A CC B A B =-+-==-+-==-+-=，显然AC CB AB +≠，所以不正确；③中，取()()()0,0,1,0,0,1C A B ，则显然AC CB AB +≠，所以不正确，综上，只有①是正确的，故选B.点睛：本题考查了新定义下的命题的真假判定及应用，着重考查了学生分析问题和解答问题及构造思想和推理运算能力，对于此类问题的解答中正确把握新定义的内涵是解答的关键，同时注意利用特殊值法进行排除，也是一种重要的解题手段. 9．π3【解析】在ABC∆中，由余弦定理得2222222412cos 2cos 363c a b ab C b b b π=+-=+-=，则c =，再由余弦定理得222222411cos 22b b b a c b B ac +-+-===，又因为()0,B π∈，所以3B π=.10．34【解析】由题意，要求MP PQ +的最小值，就是P 到底面ABCD 的距离的最小值于MP 的最小值之和， Q 是P 在底面上的射影距离最小，展开1ACC ∆和11AB C ∆，在同一平面上，如图所示，易知011130,B AC C AC AM ∠=∠==，可知MQ AC ⊥时， MP PQ +034=.11．【解析】由题意可得圆心的直角坐标为，半径为，所以圆的直角坐标方程为，化为极坐标为 . 12．()1,0-【解析】画出不等式组所表示的可行域，如图所示，要使可行域为三角形，需要直线y ax =的斜率a 在1-与0之间，即10a -<<，则实数a 的取值范围是()1,0-.13．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】要使的函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数，则()310{01 3114log 1m m m m m -<<<-⨯+≥，即13{0 1 17m m m <<<≥，所以实数m 的取值范围是11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.点睛：本题考查了分段函数的单调性及其应用，其中解答中涉及到一次函数的单调性，对数函数的单调性等知识的应用，对于分段函数为单调递减函数问题，利用每段均为递减函数，且左端函数的最小值不小于右端函数的最大值即可，着重考查了推理与运算能力. 14．①③【解析】由题意，对于曲线12,C C ,若存在点P 和常数()0k k ≠,过点P 任引直线分别交12,C C 与12,M M ，若12PM k PM =，称曲线1C 与2C 相似，相似比为k ，点P 为相似中心，对于①中，圆221x y +=与222x y +=的圆心同为坐标原点O ，半径分别为121,r r ==则1122OM r OM r ==O 为其相似中心. 对于②中，椭圆2212x y +=和2212y x +=的对称中心都为坐标原点O ，设过原点的直线为y kx =，则222222222{ ,121212y kxk x y x k k y =⇒==+++=， 222222222{ ,2212y kxk x y y k k x =⇒==+++=，所以12OM OM ===O 为不是其相似中心. 对于③中，椭圆24y x =和22y x =，设过原点的直线为y kx =，则2244{,4y kx x y y xk k =⇒===， 2222{ ,2y kx x y y x k k=⇒===，所以122OMOM===，所以坐标原点O为其相似中心.综上坐标原点O为其相似中心①③.点睛：本题考查了新定义的判定与应用，解答中涉及到直线与圆，直线与椭圆，直线与抛物线的位置关系的判定及应用，着重考查了数学的转化思想方法的应用，解答此题的关键是把问题转化为判定直线与椭圆联立方程组是否有解，同时正确理解新定义是解答的基础，属于中档试题.15．（I）πT=,π5ππ,π,36k k k Z⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（II）最小为2-,最大为12-.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，化简得()πsin216f x x⎛⎫=---⎪⎝⎭，即可得到函数()f x 的最小正周期为πT=和函数单调递增区间；（Ⅱ）因为ππ,122x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,636x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即可求得函数的最值.试题解析：因为()23cos22f x x x=--1cos2322xx+=--1sin212x x=+-πsin216x⎛⎫=---⎪⎝⎭（Ⅰ）所以函数()f x的最小正周期为2ππ2T==.令ππ3π2π22π,262k x k k Z+≤-≤+∈得,2π5π2π22π,33k x k k Z+≤≤+∈所以π5πππ,36k x k k Z +≤≤+∈. 故函数()f x 的单调递增区间是π5ππ,π,36k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅱ）因为ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 所以ππ5π2,636x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 所以当ππ2,62x -=即π3x =时, ()min πsin 122f x =--=-, 当ππ2,63x -=-即π12x =-时, ()max πsin 1132f x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭. 16．（I ）710；（II ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人，利用分层抽样的方法所抽取的“高个子”的人数为2人，进而可求得“至少有一人是“高个子”的概率；（Ⅱ）依题意知,“女高个子”的人数为4人,随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算取每个值的概率，得出分布列，利用公式即可求解数学期望. 试题解析：（Ⅰ）根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人, 所以利用分层抽样的方法所抽取的“高个子”的人数为125230⨯=人, 抽取的“非高个子”的人数为185330⨯=人, 设“至少有一人是“高个子””为事件A ,则()211223251671010C C C P A C ++===, 即至少有一人是“高个子”的概率为710. （Ⅱ）依题意知,“女高个子”的人数为4人,随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3831214055C P X C ===()124831228155C C P X C ⋅===, ()214831212255C C P X C ⋅===, ()343121355C P X C ===.随机变量X 的分布列是:数学期望14281210123155555555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 17．（Ⅰ）祥见解析，（II ）祥见解析，（III ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于 ,连接，证得，再利用线面平行的判定定理，证得平面；（Ⅱ）因为为中点，得到，进而得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；（Ⅲ）以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面中, ，利用向量的夹角公式，即可求得的值. 试题解析：（Ⅰ）证明:连接交于 ,连接 ,因为且,即且所以四边形为平行四边形,且为中点, 又因为是中点,所以,因为平面,平面所以平面.（Ⅱ）因为为中点,所以四边形为平行四边形,所以.因为,所以,即.又因为平面平面,且平面平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.（Ⅲ）因为为的中点,所以.又因为平面平面,且平面平面,所以平面以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则点,,,,平面的一个法向量. 设,则,,因为所以在平面中,,因为二面角为,所以,所以.点睛：本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18．（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2）由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，，设函数，．由题设可得，即，令得, ．．（6分）①若，则，∴当时，，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而．∴当时，，即恒成立．．（8分）②若，则，∴当时，，∴在单调递增，而，∴当时，，即恒成立，③若，则，∴当时，不可能恒成立．．（10分）综上所述，的取值范围为．（12分）考点：用导数研究函数的性质．19．（I）；（II）详见解析.【解析】试题分析：（1）由题意离心率以及可以建立关于，，的方程组，求得，，的值即可求解；（2）设，根据题意将，用含的代数式表示，从而可以建立关于的函数表达式，即可得证．试题解析：（1）设，由题意，得，且，得，，，∴椭圆的方程为；（2）由题意，得，∴椭圆的方程，则，，，设，由题意知，则直线的斜率，直线的方程为，当时，，即点，直线的斜率为，∵以为直径的圆经过点，∴，∴，化简得，又∵为椭圆上一点，且在第一象限内，∴，，，由①②，解得，，∴，∵，∴，∴．考点：1．椭圆的标准方程及其性质；2．直线与椭圆的位置关系．20．（1）1；（2）见解析；（3）11211k k k x x x q x --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭， 1k =， 2， 3，， n【解析】试题分析：（Ⅰ）由于具有该性质，所以必有任意向量都存在垂直向量，可以求出值。

2018北京高考卷数学[理科]试题和答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01，（B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，， 2.在复平面内，复数i1i-的共轭复数对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）．A ．12 B ．56C ．76D ．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）．ABC ．D ．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.设a b ,均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()P cos ,sin θθ到直线20x my --=的距离.当,m θ变化时，d 的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）48. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈ ()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉ ()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉二.填空（9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为。

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北京市西城区2018年高三二模试卷数学（理科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于（A ）1（B ）0（C ）2-（D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是（A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8（C ）87（D ）477．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k（A ）有3个（B ）有2个（C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B（C ）最大值为15（D）最大值为5第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， ⋅⋅⋅=,2,1n ．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ；（Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.M18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若,,21A A …m A 为集合,2,1{=A …，n}(n ≥2且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件：②U U 21A A …A A m =U ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个,3,2,1{∈i …,m}，使}{},{x y x A i =⋂或}{y . 则称集合组,,21A A …m A 具有性质P . 如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===；集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===.（Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及++21A A …+i A 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）。

2018年北京市东城区高三一模理科数学试题及答案精品

北京市东城区2018-2018学年度第二学期综合练习（一）高三数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3} （2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2（B ）2（C ）2 （D ）2（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50（6）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（A（B（C ）2 （D1（7）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-（8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos nnk θ=，则y x -等于（A ）1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- （B ）1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n ---（C ）1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- （D ）1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n ---第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京高考数学及答案

2018年北京高考数学及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合{}2|<=x x A ，{}2,1,0,2-=B ，则=⋂B A ( ).A {}1,0 .B {}1,0,1- .C {}2,1,0,2- .D {}2,1,0,1-2. 在复平面内，复数i-11的共轭复数对应的点位于( ) .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限3. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ).A 21 .B 65 .C 67 .D 1274.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ).A f 32 .B f 322 .C f 1252 .D f 12725. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( ).A 1 .B 2 .C 3 .D 46. 设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( ).A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()θθsin ,cos P 到直线02=--my x 的距离，当m ,θ变化时，d 的最大值为( ) .A 1.B 2 .C 3.D 48. 设集合(){}2,4,1|,≤->+≥-=ay x y ax y x y x A ，则( ).A 对任意实数a ，()A ∈1,2.B 对任意实数a ，()A ∉1,2.C 当且仅当0<a 时，()A ∉1,2.D 当且仅当23≤a 时，()A ∉1,2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 设{}n a 是等差数列，且31=a ，3652=+a a ，则{}n a 的通项公式为__________．10.在极坐标系中，直线()0sin cos >=+a a θρθρ与圆θρcos 2=相切，则=a _________．11. 设函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx x f ，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πf x f 对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．12.若x ，y 满足x y x 21≤≤+，则x y -2的最小值是__________．13.能说明“若()()0f x f >对任意的]2,0(∈x 都成立，则()x f 在[]2,0上是增函数”为假命题的一个函数是__________．14. 已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x M ，双曲线1:2222=-ny m x N ，若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．三、解答题共6小题，共80分。

2018年北京高考数学(理数)精校版带答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）北京本试卷共5页，150分。

考试试卷120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共40分，每小题5分）1.已知集合{}{}|2,2,0,1,2A x x B =<=-,则A B =（） A. {0,1} B. {-1,0,1} C. {-2,0,1,2} D. {-1,0,1,2}2.在复平面内，复数11i- 的共轭复数对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A. 1 2B. 5 6C. 7 6D.7 124.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）C.D.5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设,a b 均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ 到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 3D. 4 8.设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则（）A. 对任意实数a ，()2,1A ∈B. 对任意实数a ，()2,1A ∉C. 当且仅当0a <时，()2,1A ∉D. 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设{}n a 是等差数列，且1253,36a a a =+=，则{}n a 的通项公式为______.10.在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =_____.11.设函数()()cos 06f x wx w π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ ，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为______.12.若,x y 满足12x y x +≤≤,则2y x -的最小值是________.13.能说明“若()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x f 在[]0,2 上是增函数”为假命题的一个函数是______.14.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>> ,双曲线2222:1x y N m n-=. 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率______；双曲线N 的离心率为_______.三、综合题：15.（本小题13分）在△ABC 中，17,8,cos 7a b B ===- （1）求A ∠; （2）求AC 边上的高. 16.（本小题14分）如图，在三菱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,,,,D E F G 分别1111,,,AA AC AC BB的中点，12AB BC AC AA ===。

2018年高三最新北京西城区2018高三理科数学二模试卷

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）（2018．6）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧其中c',c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。

1．)335(π-ctg 的值是（）. A ．33- B.3 C.33D. 3-2.设 {}R x x y y P ∈==,2 {}R x y y Q X∈==,2 则( ).A. Q=PB. P Q ⊂C. }{)4,2(=⋂Q PD.P ∩Q={（2，4）}3.双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ). A. 3 B.3C. 4D. 24.圆θρcos 2=上与极点距离为3的一个点的极坐标是( ). A .(3,3π) B. (3,6π) C. (-3,3π) D. (-3,6π) 5.在△ABC 中,sinA: sinB:sinC=3:2:4,则cosC 的值为( ). A.41- B.41C.32-D.32 6.某企业2001年12月份的产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2001年年度产值的月平均增长率为（）。

Ａ.1-P P B.111-P C.11P D.111-P7.学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训(每期只派1名),由于时间上的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有（）。

A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 12种8.一圆锥被平行于底面的截面截成一个小圆锥和一个圆台,若小圆锥的体积为y,圆台的体积为x,则y 关于x 的函数图象的大致形状为( ).9. 已知点M(cos α, sin α),N(cos β,sin β),若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π，则θ等于（） A ．)(21βαπ++B.)(21βα+ C.)(21πβα-+ D.)(21αβ-10.直平行六面体1111D C B A ABCD -的棱长均为2,∠BAD=60°，则对角线C A 1与侧面11D DCC 所成角的正弦值为（）。

2018届北京市西城区高三4月第一次模拟考试理科数学试题及答案精品

北京市西城区2018年高三一模试卷高三数学（理科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B =ð （A）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤<2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y =角=θ （A ）π6（B ）π6- （C ）π3（D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种（B ）72种（C ）84种（D ）96种5图是边长为2（A ）6（B ）12（C ）12+（D ）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（A ）1(0,]4（B ）1[,)4+∞（C ）1(0,]8（D ）1[,)8+∞8．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为底面上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点轨迹是（A ）线段（B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =则圆O 的半径长为______；BP =______．13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c at b c a b=⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()sin cosf x x a x=-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设()()()cosg x f x f x x x=⋅-+，求()g x的单调递增区间．16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O围．20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n nB b b b S =∈，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使AB BC λ=？说明理由；（Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2018年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230x y y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1+ 14．1，1[1,2．注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分即ππsincos 044a -==， ………………3分解得 1a =．………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- ………………7分22(cos sin )2x x x =- ………………8分cos22x x=………………9分π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ．………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为(35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528． ………………5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=所以 BC AC ⊥．又因为 AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ．（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FCCD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),,0),,1)22C A BDE --．所以 )1,21,23(-=CE ，)0,0,3(=CA ，)0,1,0(=CB ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以10,20.x y z -+=⎨= 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n 所以BC与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分（Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t CQ -=．设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0,10.2b b tc =⎧-+= 取1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分要使平面EAC ⊥平面QBC，只需0=⋅n m ， ………………13分即002110⨯+⨯+⨯=，此方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且11()ax f x a x x-'=-=． ………………2分① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a；单调增区间为1(,)a+∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R，且()e 3ax g x a '=+． ………………6分③ 当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分④ 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-．()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设(,0)F c -，则tan 60bc︒==． ………………2分将 b 代入 222a b c =+，解得2a c =．………………3分所以椭圆的离心率为12c e a ==． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c +=． ………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． ………………7分则 2122843ck x x k -+=+，，22243(,)4343ck ck G k k -++．………………8分因为 GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． ………………9分因为 △GFD ∽△OED ，所以2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ ………………11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7i i i d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由*5a ∈N ，得51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，即 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||nni i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑．………………6分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BCλ=．………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||ni i i d A B b a ==-∑，设(1,2,,)i i b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++时，0i i b a -<．所以 1(,)||ni i i d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以 11(1)(1)nni i i i a b ==-=-∑∑，整理得 11nni i i i a b ===∑∑．所以12121(,)||2[()]ni i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑．……………10分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[()]2p m m p ≤+-=．即(,)2d A B p ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|nni i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)ni i i b a =≤-+-∑11|1||1|2nni i i i a b p===-+-=∑∑．……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以(,)2d A B p ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B的最大值为2p．……………13分。

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19.（本小题 14 分）已知抛物线 C : y 2 2px 经过点 P 1,2 ．过点 Q 0,1 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的
交点 A， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ．
（Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 O 为原点， QM
QO ， QN
4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一
个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
12 2 ．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率
为(
)
14． 3 1 ；2
三、解答题
（ 15）（共 13 分）
解：（Ⅰ）在△ ABC 中，∵ cosB=–1 ，∴ B∈（ π， π），∴ sinB= 1 cos2 B
43 ．
7
2
7
由正弦定理得 a
b
sin A sin B
8
7 = 4 3 ，∴ sinA= 3 ．
sin A
2
7
π
π
π
∵ B∈（， π），∴ A∈（ 0，），∴∠ A= ．
16.（本小题 14 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC ， D ， E ， F ， G 分别为 AA1 ， AC ， A1C1 ， BB1 的中点， AB BC 5 ， AC AA1 2 ．（Ⅰ）求证： AC 平面 BEF ；（Ⅱ）求二面角 B CD C1 的余弦值；（Ⅲ）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．
（ 17）（共 12 分）

2018届北京市西城区高中高三理科数学二模试卷试题包括答案.docx

西城区高三模拟测试数学（理科）2018.5第Ⅰ卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合 A{ x | 0x1} ， B{ x | x22x 0} ，则下列结论中正确的是（A ）A I B（ B）A U B R（C）A B（ D）B A2．若复数 z 满足 (1i)z 1 ，则 z（A ）1 i（ B） 1 i（ C） 1 i（ D）1 i 222222223．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1) 上单调递减的是（A ） y1（ B） y x2（ C） y2|x|（ D）y cosx x4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是（A ）12（B ） 4 10（C）12 2（D ）8 55．向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示．若向量a b 与 c共线，则实数（A ）2（ B）1（ C）1（ D）222x y上存在点 C ，使得△ ABC 为等边三角形，6．已知点 A(0,0) ， B(2,0) ．若椭圆 W :12m则椭圆 W 的离心率是（A ）1（ B）2（ C）6（ D）3 22327．函数 f ( x) 1 2a ．则“ a ≥ 0 ”是“ x 0 [ 1,1]，使 f (x 0 ) ≥ 0”的x（A ）充分而不必要条件（ B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（ D ）既不充分也不必要条件8．在直角坐标系 xOy 中，对于点 ( x, y) ，定义变换：将点 (x, y) 变换为点 ( a, b) ，使得x tan a, π πy其中 a, b (, ) ．这样变tan b,2 2换就将坐标系 xOy 内的曲线变换为坐标系 aOb 内的曲线．则四个函数 y 1 2x (x0) ， y 2 x 2( x 0) ， y 3 e x ( x 0) ，y 4 ln x (x1) 在坐标系 xOy 内的图象，变换为坐标系 aOb 内的四条曲线（如图）依次是（A ）②，③，①，④（ B ）③，②，④，①（C ）②，③，④，①（ D ）③，②，①，④第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分．x 2 cos , 为参数），则圆 C 的面积为 ____；圆心 C 到直线9．已知圆 C 的参数方程为（ysinl :3 x 4 y 0 的距离为 ____．10． (x21 )4 的展开式中 x 2 的系数是 ____．x11．在△ ABC 中， a3 ， b 2 ，Aπ，则 cos2B ____ ．312．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ．若 a 1 1 ， S 2 S 3 ，则数列 { a n } 的通项公式可以是 ____．x≥ 1,13．设不等式组x y ≥ 3,表示的平面区域为D．若直线ax y 0 上存在区域 D 上的点，则2 x y ≤ 5实数 a 的取值范围是____．14．地铁某换乘站设有编号为 A ， B， C，D ， E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000 名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A ，B B ，C C， D D， E A ， E 疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）已知函数 f ( x) (1tan x) sin 2 x ．（Ⅰ）求 f (x) 的定义域；（Ⅱ）若(0,π)，且 f ( ) 2 ，求的值．16．（本小题满分14 分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB // CD // EF，AB AD． CD DA AF FE 2 ， AB 4 ．（Ⅰ）求证：DF // 平面 BCE ；（Ⅱ）求二面角 C BF A 的余弦值；（Ⅲ）线段 CE 上是否存在点G ，使得 AG平面BCF？请说明理由．17．（本小题满分13 分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人，求这 2 人中有患病者的概率；（ III ）某研究机构提出，可以选取常数X 0n 0.5 (n N* ) ，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X 0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．概率最小的X0的值及相应的概率（只需写出结论）．写出使得判断错误的18．（本小题满分14 分）已知直线 l : y kx 1 与抛物线 C : y24x 相切于点P ．（Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设 Q 在抛物线C上，A为 PQ 的中点．过A作y轴的垂线，分别交抛物线 C 和直线 l 于 M ，N ．记△PMN的面积为S1，△QAM的面积为S2，证明：S1S2．19．（本小题满分 13 分）已知函数ln xax ，曲线 y f (x) 在x 1处的切线经过点 (2, 1)．f (x)x（Ⅰ）求实数 a 的值；（Ⅱ）设 b 1 ，求 f (x)在区间[1,b ] 上的最大值和最小值．b20．（本小题满分13 分）数列 A n： a1 , a2 , L, a n (n ≥2)的各项均为整数，满足： a i≥ 1 (i1,2,L , n) ，且a1 2n 1a2 2n 2a3 2 n 3L a n 1 2 a n 0 ，其中 a1 0 ．（Ⅰ）若 n 3，写出所有满足条件的数列A3；（Ⅱ）求 a 1的值；（Ⅲ）证明：a1a2L a n0 ．西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.5一、：本大共 8 小，每小 5 分，共 40 分 .1．C2． A 3． D 4． B 5．D6． C7．A8． A二、填空：本大共6 小，每小 5 分，共30 分 .9． π，610． 611．15312． n2 （答案不唯一）13． [ 1 ,3]14． D2 注：第9 第一空 3 分，第二空2 分 .三、解答：本大共 6 小，共 80 分 .其他正确解答程，参照分准分.15．（本小分13 分）解：（Ⅰ）因函数 y tanx 的定域是 { x R | x k ππ, k Z } ，2所以 f (x) 的定域 { xR | xk ππ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分, k Z } ．2（Ⅱ） f ( x)(1 tan x) sin 2 x(1sin x) sin 2 x⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分cos xsin 2 x2sin 2 x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分sin2 x cos2 x 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2 sin(2 xπ 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分)4由 f ( ) 2 ，得 sin(2π2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分)．42πππ 7π10因2， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分，所以44 42π ππ 3π ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分所以 4 ，或 24． 44ππ13 分解得，或（舍去）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4216．（本小分14 分）解：（Ⅰ）因CD // EF ，且 CD EF ，所以四形 CDFE 平行四形，所以DF // CE ．⋯⋯ 2 分因DF平面 BCE ，⋯⋯ 3 分所以DF // 平面 BCE ．⋯⋯ 4 分（Ⅱ）在平面ABEF 内， A 作 Az AB ．因平面 ABCD平面 ABEF ，平面 ABCD I 平面 ABEF AB ，又 Az平面 ABEF ， Az AB ，所以Az 平面 ABCD ，所以AD AB ， AD Az ， Az AB ．如建立空直角坐系A xyz ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分由意得，A(0,0,0)， B(0,4,0)， C(2,2,0)， E (0,3,3) ， F (0,1,3) ．所以BC(2, 2,0)， BF(0,3, 3) ．平面 BCF 的法向量n( x, y, z) ，n BC0,即2 x 2 y0,3 y3z0.n BF0,令 y1， x 1 ， z 3 ，所以n (1,1,3) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分平面 ABF 的一个法向量v (1,0,0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分cos n ,v n v 5 ．| n ||v |5所以二面角 C BF A的余弦 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分5（Ⅲ）段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF ，理由如下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分解法一：平面 ACE 的法向量m ( x1, y1, z1)，m AC0,即2 x12y10,3y13z10.m AE0,令 y1 1 ， x11， z1 3 ，所以 m( 1,1,3) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分因m n 0 ，所以平面 ACE 与平面 BCF 不可能垂直，从而段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分解法二：段 CE 上不存在点 G ，使得 AG 平面 BCF ，理由如下：⋯⋯⋯⋯ 11 分假段 CE 上存在点 G ，使得 AG平面 BCF ，CG CE ，其中[0,1] ．G( x2 ,y2 , z2 ) ，有 ( x22, y22,z2 ) ( 2, , 3) ，所以x222， y22， z23，从而G(2 2 , 2, 3) ，所以AG(22,2, 3) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分因AG平面BCF，所以AG // n ．所以有2223，113因上述方程无解，所以假不成立．所以段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17．（本小分13 分）解：（Ⅰ）根据分抽原，容量100 的本中，患病者的人数1003.42 分40 人．⋯8.5a10.100.350.250.150.100.05 ，b 1 0.10 0.20 0.300.40 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）指数据 4 的本中，有患病者 400.208 人，未患病者 600.15 9 人．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分事件 A “从中随机 2 人，其中有患病者”．C929，⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分P(A)C17234所以P(A)125⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分P(A)．34（Ⅲ）使得判断的概率最小的X0 4.5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当 X0 4.5 ，判断的概率21 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分10018．（本小分 14 分）y kx 1, 得 k 2 x2(2 k 4) x 12 解：（Ⅰ）由4 x．① ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分y 2依意，有 k 0 ，且(2 k 4) 24k 2 0 ．解得 k1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以直 l 的方程 y x 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分将 k 1代入①，解得x1 ，所以点 P 的坐 (1,2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ） Q ( m, n) ，n2 4m ，所以 A(m1 ,n2 )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分22依意，将直yn2分代入抛物C 与直 l ，2得 M ((n2) 2 , n 2) ， N ( n , n2 ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分1622 2( n 2) 2n n 24n 4 4 m 4n 4 m n 1，⋯⋯⋯ 10 分因 | MN |16216164m 1 ( n 2) 2(8m8) ( n 24 n 4)| AM |21616(8m 8) (4 m 4n 4)m n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分16 4所以 | AM | | MN | ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分又 A PQ 中点，所以 P ， Q 两点到直 AN 的距离相等，所以 S 1S 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分19．（本小分 13 分）解：（Ⅰ） f ( x) 的函数 f1 ln x ax 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分(x)x2所以 f (1) 1 a ．依意，有f (1) ( 1) ，1 1 a2即a1a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分1 12解得 a 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ( x)1 x2 ln xx2．2当 0 < x <1 ， 10 ，ln x 0 ，所以 f ( x)0 ，故 f ( x) 增；x 当 x >1 ， 1 20 ，ln x 0 ，所以 f( x) 0 ，故 f ( x) 减．x所以 f ( x) 在区 (0,1) 上增，在区 (1, ) 上减．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因0 1 1 b ，所以f ( x) 最大 f (1) 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分bh(b)f (b)f ( 1) (b 1)ln b b 1，其中 b 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分b b bh (b)(112 )ln b0 ，b故 h(b ) 在区 (1, ) 上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分所以 h(b) h(1)0 ，即f (b)f (1) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分b故f ( x) 最小 f (1 bln b1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分)．bb20．（本小分 13 分）解：（Ⅰ）足条件的数列A 3 ：1, 1,6 ；1,0,4 ；1,1,2 ； 1,2,0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ） a 1 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分否，假 a 11 ，因 a 10 ，所以 a 1≥ 1 ．又 a 2 , a 3 ,L ,a n ≥ 1 ，因此有a 2n 1a 2n 2a 2 n 3L an 1 2 an123≥ 2n 1( 1) 2n 2 ( 1) 2n 3 L( 1) 2 ( 1)2n 1 2n 2 2n 3L 2 1 1，与 a 1 n 1a 2 n 2a 3 n 3La n 12 a n0 矛盾！2 22所以 a 11 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅲ）先明如下：k {1,2,L , n 1} ，必有 a 12n 1a 22 n 2La k 2n k ≤ 0 .否，令a 1 2n 1 a 2 2n2La k 2n k 0 ，注意左式是 2n k的整数倍，因此a 12n 1a 22n 2La k 2nk≥ 2 n k．所以有：a1 2n 1a2 2n 2a3 2 n 3L a n 1 2 a n≥ 2 n k( 1) 2n k 1( 1) 2 n k 2L( 1) 2 ( 1)2n k2n k 12n k 2L 2 11，与 a12n 1a22n 2a32n 3L an 1 2 a n0矛盾！所以 a12n 1a22n2L a k2 n k≤ 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分因此有：a10,a12a2≤ 0,a14a22a3≤ 0,La1 2k 1a22k 2L a k 1 2 a k ≤ 0,La1 2n 2a2 2n 3L a n 2 2 a n 1≤ 0.将上述个不等式相加得a1n1n 21) L a n 1 (2 1) 0 ，①n 1(21) a2 (2又 a12n 1a2 2n 2a3 2n 3L a n 1 2 a n0 ，②两式相减即得a1a2L a n0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分。

2018北京市西城区高三一模理科数学试题(卷)与参考答案解析

西城区高三统一测试数学（理科）2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）B（C ）6+D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=（A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有（A ）0对（B ）1对（C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A ）U →V →W （B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC ？若存在，求出11A F A C 的值；若不存在，说明理由．图1图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ；（Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7-10．6，2n n +110x ±=12．213．3014注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以 sin 2sin cosC A A =．[ 1分] 在△ABCsin 2sin cos C A A =．[ 3分]所以cos A =．[ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分] 所以 π6A =．[ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以222c c =+-⋅[ 8分] 整理得 2650c c -+=，[ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意．[11分]当1c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[12分]当5c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2．[4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[5分]所以2226C 1(0)C 15P X ===；112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===．[8分] 所以X 的分布列为：()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．[10分] （Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ．[13分] 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥．由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．所以直线1A C 和平面1A BD．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-，所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]令整理得23720λλ-+=．[13分]解得13λ=，舍去2λ=．所以线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x'=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分] （Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号．令221()ln g x a x x x=+-+，[6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==．[8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增．[9分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =．[11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()f x 在区间0(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以()f x 存在极小值0()f x ．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．[1分]所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C 的离心率c e a ==．[3分] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(．[4分] （Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下：[5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则22024x y +=，[6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=．[7分]直线l 的方程为0101()x y y x x y -=--，整理为 0140x x y y +-=．[9分] 所以圆F 的圆心F 到直线l的距离02|d ==+．[11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++．[13分]所以22||PF d =，即 ||PF d =，所以直线l 与圆F 相切．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =，[2分]所以5{2,4,5}E =．[3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以11i i k k S S +-≤. [5分]又因为 11i k a +<，所以1111i i i k k k S S a +++-=+[6分] 1.i k S <+所以11i i k k S S +-<．[8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理101k S S -<，且m n k S S ≤．所以12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为n S C >，所以n E 的元素个数1m C +≥． [11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且{1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。

2018年高三最新东城数学(理) 精品

北京市东城区2018—2018学年度综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共40分）注意事项： 1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目填写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．2)1(i i -⋅等于（）A ．i 22-B ．i 22+C ．－2D ．22．已知62)2(p x x-的展开式中，不含x 的项是2720，那么正数p 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．在△ABC 中，已知sin C =2sin （B+C ）cos B ，那么△ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 4．已知直线x y 2=上一点P 的横坐标为a ，有两个点A （－1，1）、B （3，3），那么使向量与夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（）A ．－1<a <2B ．0<a <1C ．2222<<-aD ．0< a <25x则不等式0|)(|<x f的解集为（）A ．{ x |－1< x <1}B ．{ x | x <－1或x >1}C ．{ x |0< x <1}D ．{ x |－1< x <0或0< x <1}6．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有（）A ．10B ．48C ．60D ．807．设f （x ）是定义在实数集R 上的函数，满中f （0）=1，且对任意实数a ，b 都有 )12()()(+-=--b a b b a f a f ，则f （x ）的解析式可以是（）A ．1)(2++=x x x fB ．12)(2++=x x x fC ．1)(2+-=x x x fD ．12)(2+-=x x x f8．已知}{n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，)2*,(123121>∈+++++=+n N n C a C a C a a P nn n n n n ，m nn n n n C C C C Q +++= 420，（其中m=2[2n]，[t]表示t 的最大整数，例如[2，5]=2）.如果数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n Q P 有极限，那么公比q 的取值范围是（）A ．0,11≠≤<-q q 且B ．0,11≠<<-q q 且C ．0,13≠≤<-q q 且D ．0,13≠<<-q q 且第Ⅱ卷（共110分）注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件. 那么比样本的容量n = .10．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m= .11．如果过点（0，1）斜率为k 的直线l 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x +y=0对称，那么直线l 的斜率k = ；不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0,0,01y m y kx y kx 表示的平面区域的面积是 . 12．设函数⎩⎨⎧≤++>=,)0(),0(2)(2x cbx x x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则)(x f 的解析式为)(x f = ，关于x 的方程)(x f =x 的解的个数为 .13．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于，球的表面积等于 .14．设函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ，给出以下四个结论：①它的周期为π②它的图象关于直线12π=x 对称；③它的图象关于（0,3π）对称；④在区间（)0,6π-上是增函数. 以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题： . （注：填上你认为是正确的一种答案即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P （ξ>0）=.107（1）求文娱队的人数；（2）写出ξ的概率分布列关计算E ξ. 16．（本小题满分13分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(，曲线)(x f y =在点x =1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若32=x 时，)(x f y =有极值.（1）求a 、b 、c 的值；（2）求)(x f y =在[－3，1]上的最大值和最小值.17．（本小题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB.（1）求证：AB ⊥平面PCB ；（2）求异面直线AP 与BC 所成角的大小；（3）求二面角C —PA —B 的大小.18．（本小题满分13分）设A ，B 分别是直线x y 552=和x y 552-=上的两个动点，并且20||=AB ，动点P 满足.OB OA OP +=记动点P 的轨迹为C. （1）求轨迹C 的方程；（2）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且)1(≠=λλ，求实数λ的取值范围.19．（本小题满分13分）已知),1(10)(,)1()(2-=-=x x g x x f 数列}{n a 满足)(,211n n a a a -=+ =+)()(n n a f a g).1)(2(109,0-+=n n a n b （1）求证：数列}1{-n a 是等比数列；（2）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（3）若11++<m m m m b t b t 对任意*N m ∈恒成立，求实数t 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数).0(|,11|)(>-=x xx f （1）当,0b a <<且)()(b f a f =时，求证：;1>ab（2）是否存在实数a ，b （a <b ），使得函数)(x f y =的定义域、值域都是[a ，b]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由.（3）若存在实a ，b （a <b ），使得函数)(x f y =的定义域为[a ，b]时，值域为[m a ，mb] （0≠m ），求m 的取值范围.北京东城区高三数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．72 10．23 11．1，41 12．⎩⎨⎧≤++>=)0(24)0(2)(2x x x x x f ，3 13．π54,263 14．①②⇒③④，①③⇒②④ 三、解答题（本大题6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7－x ）人，那么只会一项的人数是（7－2x ）人. （1）107)0(1)1()0(==-=≥=>ξξξP P P ，.103)0(==∴ξP …………3分即.103)6)(7()26)(27(.10327227=----∴=--x x x x C C xx2=∴x ………………5分故文娱队共有5人.……………………7分（2）ξ的概率分布列为P （ξ=1）=,52542=C ………………9分P （ξ=2）=,1012522=C C …………11分.110125311030=⨯+⨯+⨯=∴ξE …………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(，得.23)(2b ax x x f ++='………………2分当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b=0. ① 当,32时=x )(x f y =有极值，则0)32(='f ，可得4a +3b+4=0. ②由①、②解得a =2，b=－4.………………5分设切线l 的方程为y=3x +m.由原点到切线l 的距离为1010. 则101013||2=+m 解得m=±1. ∵切线l 不过第四象限，∴m=1.…6分由于切点的横坐标为x =1，∴f （1）=4. ∴1+a +b+c=4. ∴c=5. ………………7分（2）由（1）可得.443)(,542)(223-+='∴+-+=x x x f x x x x f …………8分令,0)(='x f 得x =－2，.32=x………………………………11分∴)(x f 在x =－2处取得极大值.13)2(=-f 在32=x 处取得极小值.2795)32(=f又,4)1(,8)3(==-f f ∴)(x f 在[3，1]上的最大值为13，最小值为2795.…………13分17．（本小题满分14分）解法一：（1）∵PC ⊥平 ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AB.……………………2分 ∵CD ⊥平面PAB ，AC ⊂平面PAB ， ∴CD ⊥AB.……………………4分又PC ∩CD=C ， ∴AB ⊥平面PCB.…………5分（2）过点A 作AF ∥BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF.则∠PAF 为异面直线PA 与BC 所成的角.…………6分由（1）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF.由三垂线定理，得PF ⊥AF. 则AF=CF=6,222=+=CF PC PF ，在Rt △PFA 中，326tan ===∠AFPF PAF ， ∴异面直线PA 与BC 所成的角为.3π………9分（3）取AP 的中点E ，连结CE 、DE. ∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2.∵CD ⊥平面PAB. 由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA. ∴∠CED 为二面角C —PA —B 的平面角.………11分由（1）AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得BC=2.在Rt △PCB 中，622=+=BC PC PB ，.32622=⨯=⋅=PBBC PC CD在Rt △CDE 中，.36232sin ===∠CE CD CED ∴二面角C —PA —B 的大小为arcsin 36.………14分解法二：（1）同解法一. （2）由（1）AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC=2.以B 为原点，如图建立坐标系. 则A （0，2，0），B （0，0，0）.C （2，0，0），P （2，0，2），)2,2,2(-=，)0,0,2(=BC .………………………………6分则.20022=++⨯=⋅.212222||||,cos =⨯=⋅>=<BC AP∴异面直线AP 与BC 所成的角为.3π………………9分（3）设平面PAB 的法向量为m=(x ，y ，z).)0,2,0(-=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0M AP m AB 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.0222,02z y x y 解得⎩⎨⎧-==zx y 2,0 令1-=z ，得)1,0,2(-=m设平面PAC 的法向量为n =),,(z y x '''. ).0,2,2(),2,0,0(-=-=则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0n n 即⎩⎨⎧='-'='-.022,02y x z 解得⎩⎨⎧'='='y x z ,0 令1='x ，得n =（1，1，0）.……………………12分.33232||||,cos =⨯=⋅>=<n m n m n m ∴二面角C —PA —B 的大小为.33arccos ………14分18．（本小题满分13分）解：（1）设),(y x P ，因为A 、B 分别为直线x y 552=和x y 552-=上的点，故可设).552,(),552,(2211x x B x x A - += ， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+=∴.25,).(552,21212121y x x x x x x x y x x x …………………………4分又20||=，.20)(54)(221221=++-∴x x x x ………………5分.20544522=+∴x y 即曲线C 的方程为.1162522=+y x ………………6分（2）设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DMλ=，可得 ).16,()16,(-=-t s y x λ故).16(16,-+==t y s xλλ…………………………8分M 、N 在曲线C 上， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+∴.116)1616(25,1162522222λλλt s t S ……………………9分消去s 得.116)1616(16)16(222=+-+-λλλt t由题意知0≠λ，且1≠λ，解得.21517λλ-=t ……………………11分又.4|21517|,4||≤-∴≤λλt 解得 ).1(3553≠≤≤λλ 故实数λ的取值范围是).1(3553≠≤≤λλ……………………13分 19．（本小题满分13分）解：（1）)1(10)(,)1()(,0)()()(21-=-==+-+n n n n n n n n a a g a a f a f a g a a ，.0)1()1(10)(21=-+-⨯-∴+n n n n a a a a 即.0)1910)(1(1=---+n n n a a a又21=a ，可知对任何01,≠-∈*n a N n ，所以.1011091+=+n n a a ……………2分 10911101109111=--+=--+n n n n a a a a ， }1{-∴n a 是以111=-a 为首项，公比为109的等比数列.……………………4分（2）由（1）可知).()109(11*-∈=-N n a n n.)109)(2()1)(2(109n n n n a n b +=-+=∴ ).211(109)109)(2()109)(3(11++=++=++n n n bb nn nn ………5分当n=7时，7878,1b b b b ==；当7<n 时，n n nn b b b b>>++11,1；当7>n 时，.,111n n n n b b b b <<++ ∴当n=7或n=8时，b n 取最大值，最大值为7887109==b b ………………8分（3）由11++<m m m m b t b t ，得)(0])3(91021[*<+-+m tm t m 依题意（*）式对任意*∈N m 恒成立，①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意. ……………………9分 ②当0<t时，由0)3(91021>+-+m tm ，可知).(0*∈<N m t m而当m 是偶数时0>mt ，因此0<t 不合题意.………………………………10分③当0>t时，由)(0*∈>N m t m ，0)3(91021<+-+∴m t m .)2(10)3(9++>∴m m t )(*∈N m ………………11分设)()2(10)3(9)(*∈++=N m m m m h0)3)(2(1109)2(10)3(9)3(10)4(9)()1(<++⋅-=++-++=-+m m m m m m m h m h ，.)()1()2()1( >>->>>∴m h m h h h )(m h ∴的最大值为.56)1(=h所以实数t 的取值范围是.56>t ……………………………………13分 20．（本小题满分14分）解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-=∴>.10,11,1,11)(,0x xx xx f x )(x f ∴在（0，1）上为减函数，在),1(+∞上是增函数.由b a <<0，且)()(b f a f =，可得b a <<<10和.1111ba-=- 即.211=+ba .22ab b a ab >+=∴…………3分故1>ab ，即.1>ab ………………4分（2）不存在满足条件的实数a ，b.若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数|11|)(xx f y -==的定义域、值域都是[a ，b]，则.0>a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-=.10,11,1,11)(x xx x x f ①当)1,0(,∈b a 时，11)(-=xx f 在（0，1）上为减函数.故⎩⎨⎧==.)(,)(a b f b a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11a b b a 解得a =b. 故此时不存在适合条件的实数a ，b.………6分 ②当),1[,+∞∈b a 时，xx f 11)(-=在),1(+∞上是增函数. 故⎩⎨⎧==.)(,)(b b f a a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11b ba a此时a ，b 是方程012=+-x x 的根，此方程无实根. 故此时不存在适合条件的实数a ，b ………………8分 ③当),1[),1,0(+∞∈∈b a 时，由于],[1b a ∈，而],[0)1(b a f ∉=故此时不存在适合条件的实数a ，b. 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b.…………10分（3）若存在实数)(,b a b a <，使得函数)(x f y =的定义域为[a ，b]时，值域为[m a ，mb].则.0,0>>m a①当)1,0(,∈b a 时，由于)(x f 在（0，1）上是减函数，值域为[m a ，mb]，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11m a bm b a 此时a 、b 异号，不合题意.所以a ，b 不存在. ②当)1,0(∈a 或),1(+∞∈b 时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[m a ，mb]，所以a ，b 不存在故只有).,1[,+∞∈b a|11|)(x x f -= 在),1(+∞上是增函数， ⎩⎨⎧==∴.)(,)(mb b f ma a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11m b bm a a a ，b 是方程012=+-x mx的两个根.即关于x 的方程012=+-x mx 有两个大于1的实根. ……………………12分设这两个根为.,21x x 则.1,12121mx x mx x =⋅=+ ⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->∆∴.0)1)(1(,0)1()1(,02121x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧>->-.021,041m m 解得.410<<m 故m 的取值范围是.410<<m …………………………14分。

北京市2018届高三零模数学试卷(理科)_Word版含解析

北京市2018届高三零模试卷（理科数学）一、选择题（A∪B）=（）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁UA．{3} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，4}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．圆的圆心坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种5．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．50406．若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．84 C．﹣36 D．367．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．8．如图，已知平面α∩β=l，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且DA ⊥α，CB ⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P ，使得∠APD=∠BPC ，则P ﹣ABCD 体积的最大值是（）A ．B ．16C ．48D ．144二、填空题9．设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ=______． 10．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k=______．11．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF=CF=2，AF ：FB ：BE=4：2：1，则线段CE 的长为______．12．设函数的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是______．13．如图，圆O ：x 2+y 2=π2内的正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______．14．集合U={（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R}，M={（x ，y ）||x|+|y|＜a}，P={（x ，y ）|y=f （x ）}，现给出下列函数：①y=a x ，②，③y=sin（x+a ），④y=cosax，若0＜a ＜1时，恒有P∩∁U M=P ，则所有满足条件的函数f （x ）的编号是______．三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且（2a ﹣c ）cosB=bcosC ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若，求△ABC 的面积．16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论．18．已知函数f （x ）=x 2+2alnx ．（Ⅰ）若函数f （x ）的图象在（2，f （2））处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围．19．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为，求直线AB 的方程．20．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg （2a n +1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =（2a 1+1）（2a 2+1）…（2a n +1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；（3）记b n =log T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞2012的n 的最小值．北京市2018届高三零模试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（A∪B）=（）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁UA．{3} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}，∵全集U={1，2，3，4}，（A∪B）={3}．∴∁U故选A2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．3．圆的圆心坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）【考点】圆的参数方程．【分析】把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，从而求得圆心坐标．【解答】解：∵圆，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，故圆心坐标为（0，2），故选A．4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故选：B5．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：P=1×1=1，1＜N成立，循环K=2，P=1×2=2，2＜N成立，循环K=3，P=2×3=6，3＜N成立，循环K=4，P=6×4=24，4＜N成立，循环K=5，P=24×5=120，5＜N成立，循环K=6，P=120×6=720，6＜N不成立，输出P=720，故选：B6．若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．84 C．﹣36 D．36【考点】二项式系数的性质．【分析】首先利用所有二项式系数和为512，求出n，再利用二项展开式的通项公式求二项展开式常数项．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为∴几何体的体积为故选B．8．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S==36∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积V==12=48，即四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值为48，故选C ．二、填空题9．设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ= ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由两个向量共线的性质可得cosθ•3cosθ﹣1=0，cos 2θ=，再由 cos2θ=2cos 2θ﹣1 求得结果．【解答】解：∵向量，且，则有cosθ•3cosθ﹣1=0，∴cos 2θ=，故 cos2θ=2cos 2θ﹣1=﹣，故答案为．10．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k= 10 ．【考点】等差数列的性质．【分析】先设出等差数列{a n }的首项和公差为a 1、d ，由等差数列的前n 项和代入条件得到a 1和d 关系，再由通项公式代入a k +a 4=0，求出k 的值．【解答】解：∵等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和， ∴9a 1+36d=4a 1+6d ，其中a 1为首项，d 为等差数列的公差， ∴a 1=﹣6d ，又∵a k +a 4=0∴a 1+（k ﹣1）d+a 1+3d=0，把a 1=﹣6d 代入上式得，k=10，故答案为：1011．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF=CF=2，AF ：FB ：BE=4：2：1，则线段CE 的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】设出AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF 求出k 的值，利用切割定理求出CE ．【解答】解：由题意，设AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF，得8=8k 2，∴k=1． ∴AF=4，BF=2，BE=1， ∴AE=7；由切割线定理得CE2=BE•EA=1×7=7．∴CE=．故答案为：12．设函数的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是a≥﹣．【考点】函数最值的应用．【分析】根据函数在（﹣∞，）上单调递减，求出函数的最值，根据题意建立不等式，解之即可．【解答】解：当x＜时，f（x）=﹣x+a，该函数在（﹣∞，）上单调递减则﹣x+a＞﹣+a而函数的最小值为﹣1∴﹣+a≥﹣1解之a≥﹣故答案为：a≥﹣13．如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．【考点】几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosxπ=4，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|π=4由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=故答案为：14．集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）|y=f（x）}，现给出下列函M=P，则所有满足条件数：①y=a x，②，③y=sin（x+a），④y=cosax，若0＜a＜1时，恒有P∩∁U的函数f（x）的编号是①②④．【考点】绝对值不等式的解法；对数函数的值域与最值；余弦函数的定义域和值域．【分析】利用补集的定义求出∁uM，由P∩∁uM=P，得到P⊆∁uM，故P中的函数f（x）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．【解答】解：∵∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，0＜a＜1时，P∩∁uM=P，∴P={（x，y）y=f（x）}⊆∁uM，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a（﹣a≤x≤a ）的上方．①中，x∈R，y＞0，满足|x|+|y|≥a，故①可取．x∈R，满足||x|+|y|≥a，故②可取．②中，x＞0，y=loga③中的函数不满足条件，如 x=0，a=时，y=，不满足|x|+|y|≥a．④中x∈R，﹣1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取．故答案为①②④．三、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】正弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得．又0＜B＜π，从而得到角B的大小．（Ⅱ）由正弦定理，求得b的值，再由求出sinC的值，根据△ABC的面积运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．…∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．…∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴．又∵0＜B＜π，∴．…（Ⅱ）由正弦定理，得，…由可得，由，可得，…∴． …16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率．【分析】（Ⅰ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列及数学期望Eξ；（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则A=B 1∪B 2，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． … 则；；；．ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 P… ∴． …（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为． …（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则A=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件． … 所以P （A ）=P （B 1）+P （B 2）=．所以乙恰好比甲多投中2次的概率为． …17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ，我们由三角形的中位线定理，易得OD ∥AB 1，进而由线面平行的判定定理得到AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C 1BD 和平面BDC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1，我们可以设出P 点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P 点不存在．【解答】证明：（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥AB 1．∵AB1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1∥面BDC 1．解：（II ）如图，建立空间直角坐标系，则C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0）设=（x ，y ，z ）是面BDC 1的一个法向量，则即，令x=1 则=（1，，）．易知=（0，3，0）是面ABC 的一个法向量．∴cos ＜，＞=． ∴二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值为．（III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1．18．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解，在[1，2]上的最小值即可【解答】解：（Ⅰ）…由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．…（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（2）当a＜0时．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：xf'（x）﹣0 +f（x）极小值由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是．…（III）由得，…由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．…令，在[1，2]上，所以h（x）在[1，2]为减函数.，所以．…19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得．即椭圆方程为（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．原点到直线的AB距离，所以三角形的面积．由可得k 2=2，∴，所以直线或．20．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg （2a n +1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =（2a 1+1）（2a 2+1）…（2a n +1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；（3）记b n =log T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞2012的n 的最小值．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2（2a n 2+2a n ）+1=（2a n +1）2，能证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，由此能求出数列{lg （2a n +1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）由已知得a n =（5﹣1），由此能求出T n =5．（3）由b n ===2﹣，得S n =2n ﹣2+．由此能求出使S n ＞2012的n 的最小值．【解答】（1）证明：∵a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2（2a n 2+2a n ）+1=（2a n +1）2，∴数列{2a n +1}是“平方递推数列”．由以上结论lg （2a n+1+1）=lg （2a n +1）2=2lg （2a n +1），∴数列{lg （2a n +1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）解：lg （2a n +1）=[lg （2a 1+1）]×2n ﹣1=2n ﹣1lg 5=lg5，∴2a n +1=5，∴a n =（5﹣1）． ∵lg T n =lg （2a 1+1）+…+lg （2a n +1）=（2n ﹣1）lg 5，∴T n =5．（3）解：∵b n ===2﹣， ∴S n =2n ﹣2+．∵S n ＞2 012，∴2n ﹣2+＞2 012．∴n+＞1008．∴n=1008．min。

北京市北京八中2018届高三数学理科第二次月考试卷

__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知数列{}n a ，则123a a a <<是数列{}n a 是递增数列的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2．从A 地到B 地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线。

小王想自驾从A 地到B 地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说：“1号路线堵车，2号路线不堵车。

”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是A.1号路线B.2号路线C.3号路线D.2号路线或3号路线二、填空题3．已知函数()f x kx =， ()ln x g x x =，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个实数解，则实数k 的取值范围是____．4．在复平面内，复数12i iz +=对应的点位于第_______象限． 5．某企业对4个不同的部门的个别员工的年旅游经费调查发现，员工的年旅游经费y （单位：万元）与其年薪（单位：万元）有较好的线性相关关系，通过下表中的数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为0.2529 1.4574y x =-.那么，相应于点(10,1.1)的残差为_______．三、解答题6．(12分)已知1a ≥，函数()sin()4f x x π=+，()sin cos 1()g x x x x =--+。

(1)若()f x 在[,]b b -上单调递增，求正数b 的最大值；(2)若函数()g x 在3[0,]4π内恰有一个零点，求a 的取值范围。

7．（本小题满分12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．(i)用所给编号列出所有可能的结果；(ii)设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A 发生的概率．8．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，7tan =A ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，设=CBD θ∠，其中θ是直线0542=+-y x 的倾斜角．（1）求C 的大小；（2）若]2,0[,2sin cos 2sin sin )(2π∈-=x x C x C x f ，求)(x f 的最小值及取得最小值时的x 的值．9．[选修4—5：不等式选讲] 设函数3()22(0)f x x a x a a=-++<．（1）若()(0)g a f =，解不等式()5g a ≥；（2）求证：()23f x ≥．10．如图1，矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，M 是AB 边上异于端点的动点，MN CD ⊥于点N ，将矩形AMND 沿MN 折叠至11A MND 处，使面11A MND ⊥面MBCN （如图2）．点E ，F 满足12,2BE EM A F FN==．（1）证明：//EF 面1A BC ；（2）设AM x =，当x 为何值时，四面体CMEF 的体积最大，并求出最大值．11．已知函数f （x ）＝12x 2﹣a 2lnx （a ＞0）．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若f （x ）在[1，e]上没有零点，求a 的取值范围．12．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若“a 1＜a 2＜a 3”，则“数列{a n }是递增数列”，不一定，充分性不成立，若“数列{a n }是递增数列”，则“a 1＜a 2＜a 3”成立，即必要性成立，故“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的必要条件．故选B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.2．无二、填空题3．【详解】注意到，.则.易知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得最小值. 故，且在区间上单调递增.,,.当、在区间上只有一个交点，即的图像与的图像相切时，取最大解析：211,2k e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】注意到，()ln x g x x=. 则()221ln 1ln 'x x x x g x x x ⋅--==. 易知，()g x 在区间 ()0,e 上单调递增，在区间(),e +∞上单调递减，在x e = 处取得最小值. 故min 211e k e e==，且 ()g x 在区间 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()1g e e=,()10g =. 当 ()f x 、()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上只有一个交点，即()f x 的图像与()g x 的图像相切时，k 取最大值.不妨设切点坐标为()00,x kx ，斜率为 0201ln x k x -= ① 又点()00,x kx 在 ()g x 上，于是，000ln x kx x = ②联立式①、②解得0x =，12k e=. 从而，211,2k e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 4．四【解析】【分析】先对复数进行运算化简，找出其对应的点即可判断出其所在的象限.【详解】解：因为所以复数对应的点为，位于第四象限故答案为：四.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数与复平解析：四【解析】【分析】先对复数z 进行运算化简，找出其对应的点即可判断出其所在的象限. 【详解】解：因为()21212i 22i 1i i i z i i ++-+====-- 所以复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限故答案为：四.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数与复平面中坐标的关系，属于基础题. 5．0284【解析】【分析】将x=10代入线性回归方程，求得，利用残差公式计算即可.【详解】当时，，∴残差为y-.故答案为.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，考查了残差的计算公式，解析：0284【解析】【分析】将x=10代入线性回归方程，求得ˆy，利用残差公式计算即可. 【详解】当10x =时， 1.16ˆ07y=， ∴残差为y- 1.1 1.07160.0284ˆy=-=. 故答案为0.0284.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，考查了残差的计算公式，是基础题．三、解答题6．无7．无8．解解：由题可知21tan =θ，所以34tan 1tan 22tan tan 2=-==∠θθθABC ， …………2分又tan 7A =所以13471347tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan=⨯-+-=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π ……5分所以4π=C ……6分（2）由（1）可知22)4sin()cos 1(4cos sin 4sin )(-+=--=πππx x x x f ……8分因为]2,0[π∈x ，所以]43,4[4πππ∈+x ，因为x y sin =在]2,4[ππ上单调递增，在]43,2[ππ上单调递减，且0)2()0(==πf f ……10分所以当0=x 或2π=x 时，)(x f 取得最小值为0. ……12分9．（1）3,102a a a ⎧⎫≤--≤<⎨⎬⎩⎭或;（2）详见解析. 【解析】【分析】(1)()()3 02?5g a f a a易得==--≥，可得a 的取值范围，即为()5g a ≥的解集； (2)可得()f x 的解析式，()min 3 232f x f a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭可得，可得证明. 【详解】解：（1）因为0a <，所以()()330225g a f a a a a ==-+=--≥，即3,2a ≤-或10a -≤<故不等式()5g a ≥的解集为3,102a a a 或⎧⎫≤--≤<⎨⎬⎩⎭（2）由已知得：()332,2333 222,223332,2x a x aaf x x a x x a a xa a ax a xa a⎧-+-≤⎪⎪⎪=-++=---<≤-⎨⎪⎪-+>-⎪⎩所以()f x在32a⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，上递减，在3,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭递增即()()min33322223222f x f a aa a a⎛⎫⎛⎫=-=--≥--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()23f x≥【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，及不等式的证明，求出()f x的解析式与最小值是解题的关键.10．（1）见证明；（2）当1x=时，F MECV-取得最大值154.【解析】【分析】（1）在面11A MND内，过点F作FG NM交1A M于点G，连接GE.根据线线平行得//FG面1A BC及//GE面1A BC，从而得到面//FGE面1A BC，可证得结论；（2）AM x=，则BM=2-x，ME=23x-，GM=3x，可证1A M⊥面MEC，得()112354F MECG MEC MECV V S GM x x--∆==⋅=-，()0,2x∈，由二次函数求得最值即可.【详解】（1）在面11A MND内，过点F作FG NM交1A M于点G，连接GE.NM BC，FG BC∴，又BC⊂面1A BC，FG⊄面1A BC//FG∴面1A BC.由111123A F A G BEA N A M BM===得1GE A B，同理可证得//GE面1A BC.又FG GE G⋂=，,FG GE⊂面FGE，∴面//FGE面1A BC，又EF⊂面FGE，//EF ∴面1A BC（2）AM x =，则BM=2-x ，ME=23x -，GM=3x ，面11A MND ⊥面MBCN ，面11A MND ⋂面MBCN=NM ，1A M ⊂面11A MND ，1MN A M ⊥ 则1A M ⊥面MBCN,即1A M ⊥面MEC ，又GF //面MEC ，()111112112332323354F MECG MEC MEC x x V V S GM ME GM x x --∆-==⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-，()0,2x ∈当1x =时，F MEC V -取得最大值154. 【点睛】本题考查了立体几何中的折叠问题及三棱锥的体积最值问题，其中（1）的关键是作出平面与已知面平行，（2）的关键是构造出三棱锥的体积V 的表达式，属于中档题.11．(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）0a <<【解析】【分析】 (Ⅰ)求出()f'x ，解不等式()f'x 0>，()f'x 0<，即可求出()f x 的单调区间； (Ⅱ)用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上min f (x)0>或max f (x)0<，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【详解】(Ⅰ()222a x a )f'x x (x 0)x x-=-=>，令()f'x 0>，解得x a >；令()f'x 0<，解得0x a <<，∴函数()f x 的单调增区间为()a,∞+，单调减区间为()0,a(Ⅱ)要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上min f (x)0>或max f (x)0<，又()1f 102=>，只需在区间[]1,e 上，min f (x)0>． ①当a e ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()22min 1f (x)f e e a 02==->，解得0a <<与a e ≥矛盾． ②当1a e <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(]a,e 上单调递增， ()()2min 1f (x)f a a 12lna 02==-> ，解得0a <<1a ∴<<，③当0a 1<≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增， ()min f (x)f 10=>，满足题意，综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点睛】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.12．（I ）见解析；（II ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）运用零点法，把函数()f x 的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性；（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.这样222222ln 2ln 3ln 23n n +++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭，注意到211(2,)(1)n n N n n n *>≥∈+，最后可以得出：222222ln 2ln 3ln (1)(21)232(1)n n n n n -+++⋯+<+.【详解】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x a f x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，11()1x f x x x-=-='，此时要考虑a 与1的大小. 若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n +++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++ ⎪⨯⨯+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++.【点睛】本题考查了利用导数研究分段函数的单调性，利用数列与函数的关系，判断数列的和求代数式之间的大小关系，放缩法是解题的关键.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.。

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