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高二级中期考试数学试题

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2024高二数学期中考试题及答案

2024高二数学期中考试题及答案

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

2023年上海大同中学高二下期中数学试卷及答案

2023年上海大同中学高二下期中数学试卷及答案

2022-2023学年上海市大同中学高二年级下学期期中考试数学试卷2023.4一､填空题（本大题共有12小题，每题3分，满分36分）1.过()()2,,4P m Q m -､两点的直线的倾斜角为45，那么m =__________.2.直线210ax y +-=与直线()120a x y -++=平行，则=a __________.3.过点()21A -，与()12B ，半径最小的圆的方程为___________.4.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m =__________.5.若双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.6.若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =______.7.过点()2,2P -作直线l 与圆C ：()()22112x y ++-=相切，则直线l 的一般式方程是_________.8.设1F 和2F 为椭圆22421x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足12OP =，则12F PF △的面积是__________.9.若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为__________10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上任意一点P 分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形PQOR ，则该平行四边形的面积为__________.11.直线3y x =+与曲线2194x xy -=的公共点的个数是___________．12.已知双曲线2222:1x y C a b -=的左､右焦点分别的12F F ､，过点2F 且倾斜角为60︒的直线l 交C 的右支于A B ､两点（A 在x 轴上方），且满足22(3)=>AF tF B t ，则双曲线C 的离心率是__________（结果用t 表示）二､选择题（本大题共有4题，每小题4分，满分16分）13.已知两条直线12:10,10l mx y l y +-=-+=“m =”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60 ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.平面直角坐标系上动点(),M x y 6=，则动点M 的轨迹是（）A.直线B.线段C.圆D.椭圆15.双曲线2212211:1x y C a b -=和2222222:1y x C a b -=的离心率分别为1e 和2e ，若满足12e e >，则下列说法正确是（）A.1C 的渐近线斜率的绝对值较大，1C 的开口较开阔B.1C 的渐近线斜率的绝对值较大，1C 的开口较狭窄C.2C 的渐近线斜率的绝对值较大，2C 的开口较开阔D.2C 的渐近线斜率的绝对值较大，2C 的开口较狭窄16.已知集合(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：①“水滴”图形与y 轴相交，最高点记作A ，则A 点的坐标为(；②阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记作C 和D ，则4CD =；③在阴影部分中任取一点M ，则OM 的最大距离为3；④“水滴”图形的面积是11π6+.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个三､解答题（本题满分48分）17.已知ABC 的三个顶点()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.（1）求直线BC 的方程；（2）求ABC 的面积.18.已知圆M 经过()()()1,01,23,0A B C --､､，圆222:420N x y x ay a +-++=.（1）求圆M 的标准方程；（2）若圆M 与圆N 相切，求a 的值.19.已知P 是椭圆2222:1x y C a b+=上一个动点，F 是椭圆的左焦点，若PF 的最大值和最小值分别为33-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）()0,M m 是y 轴正半轴上的一点，求PM 的最大值.20.已知等轴双曲线C 的焦点在x轴上，焦距为（1）求双曲线的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0P ，且直线l 与双曲线C 的两支分别交于A 、B 两点，①求k 的取值范围；②若D 是B 关于x 轴的对称点，证明直线AD 过定点，并求出该定点坐标.21.已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是第一象限内椭圆Γ上一点，1PF 、2PF 的延长线分别交椭圆Γ于点1Q 、2Q ，直线12Q F 与21Q F 交于点R ．（1）求12PQ F 的周长；（2）当2PF 垂直于x 轴时，求直线12Q Q 的方程；（3）记11F Q R 与22F Q R 的面积分别为1S 、2S ，求21S S 的最大值．2022-2023学年上海市大同中学高二年级下学期期中考试数学试卷2023.4一､填空题（本大题共有12小题，每题3分，满分36分）1.过()()2,,4P m Q m -､两点的直线的倾斜角为45，那么m =__________.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答.【详解】依题意，直线PQ 的斜率tan451PQ k ==，又42PQ m k m -=+，则412mm -=+，解得1m =，所以1m =.故答案为：12.直线210ax y +-=与直线()120a x y -++=平行，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.【详解】法一：两直线平行，则212112a a a -=≠⇒=-；法二：两直线平行，()()12,2,1,1n a n a ==-，则()212a a a -=⇒=,故答案为：2.3.过点()21A -，与()12B ，半径最小的圆的方程为___________.【答案】22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】由圆心到直线的距离d 、半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0,此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，可得圆的方程.【详解】设所求的圆的圆心为C ，圆的半径为R ，圆心到直线AB 的距离为d ,则2222AB R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知得AB =，要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0，此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，圆的方程是22231222x y ⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故填：22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题.4.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m =__________.【答案】8【解析】【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，焦距为4，所以242(10)(82m m m ---=∴=故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.【答案】y =±【解析】【分析】由题意知，渐近线方程是by x a =±，1223a c =⨯，再据222c ab =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可．【详解】∵双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，∴1223a c =⨯，3c a =，又222c a b =+，∴b =∴渐近线方程是by x a=±=±，故答案为y =±．【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为by x a=±属于基础题．6.若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =______.【答案】4【解析】【分析】由椭圆方程为2215x y +=，可得椭圆的右焦点坐标为(2,0)，由抛物线方程为22y px =可得其焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意有22p =，再求解即可.【详解】解：由椭圆方程为：2215x y +=，则2c =，则椭圆的右焦点坐标为(2,0)，又抛物线22y px =的焦点坐标为：,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，又抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则22p=，解得4p =，故答案为4.【点睛】本题考查了椭圆焦点坐标的求法及抛物线焦点坐标的求法，重点考查了运算能力，属基础题.7.过点()2,2P -作直线l 与圆C ：()()22112x y ++-=相切，则直线l 的一般式方程是_________.【答案】40x y -+=【解析】【分析】由题意判断直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，化为一般式，再由圆心到直线的距离等于半径，即可解得.【详解】由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，即220kx y k -++=.又直线l 与圆C ：()()22112x y ++-=相切，圆心()1,1C -，化简得2210k k -+=，1k ∴=.∴直线l 的一般式方程为40x y -+=.故答案为：40x y -+=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.8.设1F 和2F 为椭圆22421x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足12OP =，则12F PF △的面积是__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出a 、b 、c ，由12OP =，可得点P 为短轴顶点，最后由面积公式计算可得.【详解】椭圆22421x y +=，即2211124y x +=，所以22a =，12b =，12c ==，因为12OP =，所以点P 为短轴顶点，所以12111112222224F PF S c b =⨯⨯=⨯⨯⨯= .故答案为：149.若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为__________【答案】12-【解析】【详解】试题分析：设弦两端点为11(,)A x y ，22(,)B x y .因为(4,2)是A,B 的中点，所以12128,4x x y y +=+=，将A,B 两点代入椭圆方程得22111369x y +=，22221369x y +=，两式相减得222221210369x x y y --+=，整理得2121212114()2y y x x x x y y -+=-=--+，即212112AB y y k x x -==--．考点：中点弦问题10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形PQOR ，则该平行四边形的面积为__________.【答案】2ab 【解析】【分析】设00(,)P x y 和过点P 的与两条渐近线的平行线方程，联立方程组求出交点Q R ､的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解.【详解】设00(,)P x y ，过点P 分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点Q R ､，则直线PQ 和PR 的方程分别为00()b y y x x a -=-和00()by y x x a-=--，由方程组()000000,2222b y y x x x y a b aQ y x b b a y xa ⎧-=-⎪⎪⎛⎫⇒--+⎨⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩，同理可知另一个交点为0000,2222x y ab R y x ba ⎛⎫++⎪⎝⎭，则OQ ==，则OR ==，设直线OQ 倾斜角为α，则tan baα=，可得2222tan 2sin sin 21tan abQOR a b ααα∠===++，所以四边形PQOR 的面积为()222200222212sin 2+4+2PQOR x y ab abS OQ OR a b a b a b α=⋅=-⋅=.故答案为：2ab.11.直线3y x =+与曲线2194x xy -=的公共点的个数是___________．【答案】3【解析】【详解】试题分析：当x≥0时，曲线2194x x y -=的方程为22194y x -=当x ＜0时，曲线2194x x y -=的方程为22194y x +=，∴曲线219x xy -=的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．12.已知双曲线2222:1x y C a b -=的左､右焦点分别的12F F ､，过点2F 且倾斜角为60︒的直线l 交C 的右支于A B ､两点（A 在x 轴上方），且满足22(3)=>AF tF B t ，则双曲线C 的离心率是__________（结果用t 表示）【答案】221t t -+【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，根据两点间距离公式表示22,AF BF ，由直线l 倾斜角的大小得出1212x x AB -=，并结合向量共线的关系进行计算得出结果.【详解】设()()122121,,,,>>a A x y B x y x x ，()2,0F c ，由点()11,A x y 在双曲线2222:1x y C a b -=上得2211221x y a b-=，即=-2222211b y x b a .则2AF ==11c c x a x a a a==-=-，同理，22=-c BF x a a ，如图，由直线l 倾斜角为60︒可知，1212-==x x BH AB，121212c c x x x a x a a a ⎛⎫∴-=-+- ⎪⎝⎭，122222,-=∴==- cx a AF a AF tF B t c BF x a a，设12,c c x a m x a n a a -=-=，则()1212c c ax x m n x x m n a a c -=-⇒-=-，()()12a m n m n c ∴-=+，2222m c a e t n a c e ++∴===--，221t e t -∴=+.故答案为：221t t -+.二､选择题（本大题共有4题，每小题4分，满分16分）13.已知两条直线12:10,10l mx y l y +-=-+=“m =”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60 ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两条直线夹角公式可以求出当两条直线夹角为60 时m 的值,然后根据充分性、必要性的定义,选出正确答案.【详解】两条直线12:10,:10l mx y l y +-=-+=的斜率分别是m -.当两条直线的夹角为60 时,则有：tan 600m ︒=⇒=或m =.因此“m =”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60 ”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,掌握两直线夹角的计算公式是解题的关键.14.平面直角坐标系上动点(),M x y 6=，则动点M 的轨迹是（）A.直线B.线段C.圆D.椭圆【答案】B 【解析】【分析】由题意可知，动点M 到两个定点的距离的和为6,又两个定点的距离为6，即得结论.【详解】设点()()123,0,3,0F F -，动点(),M x y 满足6，∴126MF MF +=，又26FF =，1212MF MF F F ∴+=，所以动点M 的轨迹是线段.故选：B .【点睛】本题考查平面内两点间的距离公式，属于基础题.15.双曲线2212211:1x y C a b -=和2222222:1y x C a b -=的离心率分别为1e 和2e ，若满足12e e >，则下列说法正确是（）A.1C 的渐近线斜率的绝对值较大，1C 的开口较开阔B.1C 的渐近线斜率的绝对值较大，1C 的开口较狭窄C.2C 的渐近线斜率的绝对值较大，2C 的开口较开阔D.2C 的渐近线斜率的绝对值较大，2C 的开口较狭窄【答案】A【解析】【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断.【详解】因为cea===12e e==，又双曲线1C的渐近线方程为11by xa=±，双曲线2C的渐近线方程为22ay xb=±，因为12e e>>221212b aa b⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1212b aa b>，所以1C的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔.故选：A.16.已知集合(){}22,(cos)(sin)4,0πP x y x yθθθ=-+-=≤≤∣.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：①“水滴”图形与y轴相交，最高点记作A，则A点的坐标为(；②阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记作C和D，则4CD=；③在阴影部分中任取一点M，则OM的最大距离为3；④“水滴”图形的面积是11π6+.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C【解析】【分析】对于①②令0x=，可得y的范围，可以进行判断；对于③利用圆的参数方程,可得点M到原点的距离,结合三角函数求最值；对于④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成.【详解】①由于22(cos )(sin )4x y -+-=θθ，0πθ≤≤，令0x =，[]32sin 0,2y yθ=-∈，解得]1y ⎡⎤∈-⋃⎣⎦，所以“水滴”图形与y 轴相交，最高点记作A ，则A 点的坐标为(，故①正确；②由①得，阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记作C 和D ，则3CD =+，故②错误；③由于22(cos )(sin )4x y -+-=θθ，设2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩，0πθ≤≤，所以点M 到原点的距离d ==，当()cos 1αθ-=时，点M 到原点的距离取到最大值3，故③正确；④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成，半圆的半径为1，弓形半径为2，圆心角为π3.所以212π111π2π1222326弓形半圆⎛=++=⨯+⨯-+⨯⨯- ⎝ S S S S 故④错误.故选：C.三､解答题（本题满分48分）17.已知ABC 的三个顶点()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.（1）求直线BC 的方程；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）240x y +-=（2）7【解析】【分析】（1）首先求出BC 的斜率，再由点斜式求出直线方程；（2）求出点A 到直线BC 的距离，再求出BC 的长度，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】因为()2,1B ，()2,3C -，所以311222BC k -==---，所以()1:122BC l y x -=--，化简可得240x y +-=.【小问2详解】点()30A -,到直线BC的距离755d ==，==BC则11757225ABC S BC d ==⨯= .18.已知圆M 经过()()()1,01,23,0A B C --､､，圆222:420N x y x ay a +-++=.（1）求圆M 的标准方程；（2）若圆M 与圆N 相切，求a 的值.【答案】（1）22(1)4x y -+=（2）【解析】【分析】（1）设出圆的方程，代入点的坐标求解计算即可；（2）经分析两圆外切，把两圆外切转化为圆心距离等于半径之和，列式计算即可.【小问1详解】设圆2222:0,40M x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为圆M 过A B C ､､三点，则101420930D F D E F D F -+=⎧⎪++-+=⎨⎪++=⎩，所以203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以22:230M x y x +--=，即22(1)4x y -+=；【小问2详解】圆N 化为标准方程为22(2)()4x y a -++=，因为圆M 与圆N 的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且()()1,0,2,M N a -，22=+，解得a =19.已知P 是椭圆2222:1x y C a b+=上一个动点，F 是椭圆的左焦点，若PF 的最大值和最小值分别为33-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）()0,M m 是y 轴正半轴上的一点，求PM 的最大值.【答案】（1）22194x y +=（2）max 502||522m PM m m <≤=⎪+>⎪⎩【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解；（2）设(),P x y ，根据两点间距离公式和二次函数的图像与性质即可求解.【小问1详解】由题意可得33a c a c ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得22234a b a c c =⎧⎪=-=⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22194x y +=.【小问2详解】设(),P x y ，则2222222229||()2924y PM x y m x y my m y my m =+-=+-+=-+-+[]22225549299,2,24455m y my m y m y ⎛⎫=--++=-+++∈- ⎪⎝⎭当50,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，[)max 42,0,||5m PM -∈-=当5,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()4,25m ∞-∈--，max ||2PM m ===+所以max 502||522m PM m m <≤=⎪+>⎪⎩.20.已知等轴双曲线C 的焦点在x轴上，焦距为（1）求双曲线的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0P ，且直线l 与双曲线C 的两支分别交于A 、B 两点，①求k 的取值范围；②若D 是B 关于x 轴的对称点，证明直线AD 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）22144x y -=（2）①()1,1-；②证明见解析，()4,0【解析】【分析】（1）依题意可得2222a bc a b c =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得a 、b ，即可求出方程；（2）设直线()()()1122:1,,l y k x A x y B x y =-,,，()22,D x y -，联立直线与双曲线方程，消元、得到12x x 、12x x +及∆；①根据Δ0>且120x x <得到方程组，解得即可；②表示出AD 的方程，令0y =求出x ，即可得解.【小问1详解】由题意可得222222a b a c b a b c c =⎧⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩，所以双曲线的标准方程为22144x y -=；【小问2详解】设直线()()()()112222:1,,,,,,l y k x A x y B x y D x y =--，联立()221144y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 整理可得()22221240k x k x k -+--=，则()()()4222Δ4414443k k k k =+-+=-，又212241k x x k +=--，212221k x x k+=--，①因直线l 与双曲线交于两支，所以Δ0>且120x x <，即()222443011401k k k k⎧->⎪⇒-<<⎨+-<⎪-⎩；②设()121112:y y AD y x x y x x +=-+-，令0y =，则()()()12112122112112121222x x y x x x x x y x y x xy y y y x x -⨯--++=+==+++-()()2222242842221k k k k --+-===----，所以直线AD 过定点()4,0.21.已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是第一象限内椭圆Γ上一点，1PF 、2PF 的延长线分别交椭圆Γ于点1Q 、2Q ，直线12Q F 与21Q F 交于点R ．（1）求12PQ F 的周长；（2）当2PF 垂直于x 轴时，求直线12Q Q 的方程；（3）记11F Q R 与22F Q R 的面积分别为1S 、2S ，求21S S -的最大值．【答案】（1）8（2）310120x y ++=（3）435【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义直接可以得出答案；（2）根据题意可得P ，2Q 的坐标，进而得到直线1PF 的方程，与椭圆方程联立，可求得1Q 的坐标，进而得到直线12Q Q 的方程；（3）设()00,P x y ，直线1PF 的方程为1x ty +=，与椭圆方程联立，根据韦达定理可将1Q ，2Q 的纵坐标用00,x y 表示，进而可得00212012254x y S S x -=-，然后利用三角换元，结合基本不等式即可求得最值．【小问1详解】由椭圆22:143x y Γ+=的方程可得224,3a b ==，可得2221c a b =-=，可得a ＝2，c ＝1，由椭圆的定义可得：12PQ F 的周长为4a ＝8，所以12PQ F 的周长为8；【小问2详解】由（1）可得()()121,0,1,0F F -，当2PF 垂直于x 轴时，则2Q 的纵坐标为232b y a =-=-，所以2331,,1,22Q P ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()1332114PF k==--，直线1PF 的方程为：()314y x =+，联立()22314143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或137914x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1139,714Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴12393214131017Q Q k -+==-+，∴直线12Q Q 的方程为()331210y x +=--，即310120x y ++=；【小问3详解】设()()0000,0,0P x y x y >>，()()111222,,,Q x y Q x y ，设直线1PF 的方程为1x ty +=，其中001x t y +=，联立221143x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理可得，()2234690t y ty +--=，由韦达定理可得，()2001222009934314y y y t x y --==+++，又2200143x y +=，则22003412x y +=，∴()0001220000993126352314y y y y x x x y ---===+++++，同理可得020352y y x -=-.∴21211221Q F F Q F F S S S S -=- 1221211122F F y F F y =-高中210000200033125252254y y x y x x x =-=-+-，令02cos x θ=，0π,02y θθ=<<，002122012243sin cos 2542516cos x y S S x θθθ-==--22cos cos 25sin 9cos 25sin 3cos 5θθθθθθθθ=≤=+⋅⋅，当且仅当2225sin 9cos θθ=，即334534sin 3434θθ==时取等号.∴21S S -的最大值为435．【点睛】总结点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

高二下学期期中考试数学试题(解析版)

高二下学期期中考试数学试题(解析版)

莆田华侨中学2022-2023学年下学期期中考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列导数运算正确的是（）A.B.()121x x-'=11ln 222x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. D. ()cos sin x x '=()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【解析】【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【详解】因为，，，， ()121x x -'=-11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()cos sin x x '=-()1ln 1x x x '+=+所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确， 故选：D.2. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）OABC G BC OA a = OB b = OC c == AGA.B.C.D.1122a b c -- 1122a b c -++12a b c -++12a b c -- 【答案】B 【解析】【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得． AB ACAG 【详解】解：，AC OC OA c a =-=-， AB OB OA b a =-=- ．()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=-++=-++ 故选：B ．3. 函数的单调递增区间是（ ）()2ln f x x x =-A. 和B.C. D.(),0∞-()0,2()2,+∞(),2-∞()0,2【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，由确定增区间．()f x '()0f x '>【详解】，的定义域为， 22()1x f x x x'-=-=()f x (0,)+∞由，得， ()0f x '>2x >∴的单调递增区间为． ()f x ()2,+∞故选：B ．4. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作K 1A 2A K 1A 2A 时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的K 1A 2A 0.90.70.7概率为（ ）A. B. C. D.0.8640.1560.1810.819【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出该系统正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，该系统正常工作的概率为，()20.9110.70.819⎡⎤⨯--=⎣⎦因此，该系统不能正常工作的概率为.10.8190.181-=故选：C.5. 向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（ ） (1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b cx A. B. 1C. 2D. 01-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共面关系，建立等式即可得解.a mb nc =+ 【详解】向量，，，，1，，，0，，，，共面，(1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b c ，，，，，，，，∴a mb nc =+0m ≠0n ≠(1∴x 2)(n =m 2)m ，解得，． ∴122nx m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩1x m ==1x ∴=故选：B ．6. “”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（ ）5a >()3f x x ax =-A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解. 【详解】若在区间（1，2）上单调递减，()3f x x ax =-所以在区间（1，2）上恒成立， 2()30f x x a '=-≤所以在区间（1，2）上恒成立， 23x a ≤所以，()2max3xa ≤所以，23212a ≥⨯=所以“”是“”的必要不充分条件，5a >12a ≥所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，5a >()3f x x ax =-故选：C .7. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，ABCD M N 2NB AN = 2CMMD =，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）2AB =3BC =AM CNA.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用圆柱的性质、异面直线所成的角即可求解.【详解】方法一 如图（1），在上取点，使，连接，，，，． AB E 2AE EB=NE AN NB BE EA 易知四边形为矩形，则，且． ANBE NB AE ∥NB AE =连接，．因为，且，MN CM MN BC ∥MN BC =所以四边形为平行四边形，所以，且． MNBC CM NB ∥CM NB =连接，则，且，CE AE CM ∥AECM =所以四边形为平行四边形，则， AECM AM CE ∥所以或其补角是异面直线与所成的角． NCE ∠AM CN 在中，，，所以．Rt BNC △3CB=BN =CN ==在中，，，所以，Rt BCE 3CB =1BE =CE==2NE AB==所以．cos NCE ∠==故选：D ．方法二 如图（2），在上取点，使，连接，，，． AB E 2AE EB=AN NB BE EA 易知四边形为矩形，，．ANBE 1AN =NB =MN 由已知条件，得为圆柱的一条母线．MN 以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图（2）的空间直角坐标系N NB NA NM x y z ，Nxyz则，，，，()0,0,0N ()0,1,0A ()0,0,3M)C所以，，则， ()0,1,3AM =-)NC =cos ,AM NC ==所以异面直线与． AM CN 故选：D ．8. 已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()f x '0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）()()sin cosf x x f x x '<A.B. 43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C.D.64f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性处理即可. 【详解】设则，因为对于任意的，都有()(),sin f x g x x=()()()2sin cos sin f x x f x x g x x'-'=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，所以在上单调递减，所以()()sin cos f x x f x x '<()0g x '<()g x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即，所以，所以643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭643sin sin sin643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>64312f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭>>又故无法比,64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin 1sin1,33f fππ⎛⎫> ⎪⎝⎭较与，故B ，C ，D 错误. 3f π⎛⎫⎪⎝⎭()1f 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次A =B =的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） C =D =A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立 A B A D C. 与互斥且不相互独立 D. 与不互斥且相互独立B D AC 【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.【详解】对于A ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互A B 独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A 正确；A B 对于B ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独A D 立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B 正确； A D A D 对于C ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； B D 若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互B D B D 斥，故C 错误；对于D ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相A C 互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即A C A 与不互斥，故D 正确. C 故选：ABD.10. 以下命题正确的是（ ）．A. 直线l 的方向向量，直线m 的方向向量，则 ()112a ,,=-()1,2,1b = l m ⊥B. 直线l 的方向向量，平面的法向量，则或()0,1,1a =- α()1,1,1n =--l α∥l ⊂αC. 两个不同平面，的法向量分别为，，则αβ()12,1,0n =- ()24,2,0n =-αβ⊥D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则α()1,0,1A -()0,1,0B ()1,2,0C -()1,,n u t =α，1u =0=t 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，利用直线的方向向量是否垂直即可求解；对于B ，利用直线的方向向量与平面的法向量是否垂直即可求解；对于C ，利用平面的法向量是否平行即可求解；对于D ，根据法向量得到方程组，求出和的关系即可求解.u t 【详解】对于A ，因为直线的方向向量，直线的方向向量，l ()1,1,2a =- m ()1,2,1b =所以，所以与不垂直，故直线与直线不垂直，故A 错误；()11122110a b ⋅=⨯+-⨯+⨯=≠ a bl m 对于B ，因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,1,1a =- α()1,1,1n =--所以，所以，故或，故B 正确；()()()0111110a n =⨯+⨯-+-+-=⋅ a n ⊥//l αl ⊂α对于C ，因为两个不同平面的法向量分别为，,αβ()()122,1,0,4,2,0n n =-=-所以，即，所以，故C 错误；212n n =- 12//n n//αβ对于D ，因为，所以, ()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --()()1,1,1,1,1,0AB BC =-=-又向量是平面的法向量，则,即，解得，故D 正确. ()1,,=r n u t α00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩1,0u t ==故选：BD.11. 如图所示几何体，是由正方形沿直线旋转得到，是圆弧的中点，是圆弧ABCD AB 90︒G CEH 上的动点，则（ ） DFA. 存在点，使得 H //EH BDB. 存在点，使得 H EH BG ⊥C. 存在点，使得平面H //EH BDG D. 存在点，使得直线与平面的夹角为 H EH BDG 45︒【答案】BC 【解析】【分析】先将图形补全为一个正方体，对四个选项一一验证： ADMF BCNE -对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. ,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示： ADMF BCNE -对于A ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故A 错误； //BD EFMN H DF//EH BD 对于B ：因为正方体中， 面，ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.EF BG ⊥所以当重合时，有.故B 正确；,F H EH BG ⊥对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-=(),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H DF对于D ：由B 的分析可知：当重合时，直线与平面的夹角最大.,F H EH BDG 此时.()0,0,2EH =-所以与平面所成的角的正弦值为EH BDG cos ,e EH e EH e EH⋅==<⨯ 所以与平面所成的角的最大值小于45°.故D 错误. EH BDG 故选： BC12. 若两曲线与存在公切线，则正实数a 的取值可以是（ ） 21y x =-ln 1y a x =-A. 1 B. e C. e 2 D. 3e【答案】AB 【解析】【分析】设两个切点分别为，，可得两函数的切线方程，从而可得()11,A x y ()22,B x y ，令，利用导数求出，可得的取值范围，从()2224ln 1a x x =-⋅-22()44ln (0)g x x x x x =->max ()g x a 而得答案.【详解】解：设两曲线与的两个切点分别为，， 21y x =-ln 1y a x =-()11,A x y ()22,B x y 由可得；由可得， 21y x =-2y x '=ln 1y a x =-a y x'=则过两切点的切线方程分别为，， 2111(1)2()y x x x x --=-()()222ln 1ay a x x x x --=-化简得，． 21121y x x x =--22ln 1ay x a x a x =+--因为两条切线为同一条，所以，122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得．()2224ln 1a x x =-⋅-令，，22()44ln (0)g x x x x x =->()4(12ln )g x x x =-'令，得，()0g x '=x =当时，；当；0x <<()0g x '>x >()0g x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()gx )+∞则， max ()2e g x g ==所以． (0,2]a ∈e 故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在处有极值，则常数a ＝______． ()ln f x x ax =-1x =【答案】1 【解析】【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得 ()10f '=1x =1a =【详解】由可得， ()ln f x x ax =-()1f x a x'=-又在处有极值，所以可得， ()f x 1x =()10f '=即，所以.经检验满足题意， ()1011f a ='-=1a =故答案为：114. 一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为______． 【答案】67【解析】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率.【详解】若A 表示“2名中至少有1名男生”，B 表示“2名中有1名女生”， 所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为， ()(|)()P AB P B A P A =而，，故. 112325C C 3()C 5P AB ==2325C 7()1C 10P A =-=6(|)7P B A =故答案为：6715. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为-P ABC PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒8CA =6PA =D AB 中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹E PAC △PC DE ⊥E AC AE =E 的长度为________.【答案】 ①. ②.4125【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为E AC PC DE ⊥AE E 内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到PAC △AC F F FG PC ⊥PC ⊥DFG 的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度．E E 【详解】因为平面，平面，所以，又，所PA ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC ,PA AC PA BC ⊥⊥90ACB ∠=︒以，ACBC ⊥又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标,,PA AC A PA AC ⋂=⊂PAC BC ⊥PAC //Ax BC 系，则，设，所以，则()()()0,0,0,0,8,0,0,0,6A C P BC a =(),8,0B a ,4,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭①当在上时，设，因为，所以E AC ()0,,0E c PC DE ⊥，故，则()0,8,6,4,00832002a PC DE c c ⎛⎫⋅=-⋅--=+-+= ⎪⎝⎭ 4c =()0,4,0E 所以；4AE=②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为E PAC △ACF F FG PC ⊥G由①可得，又，平面，所以平面，因为PC DF ⊥FG PC ⊥,,DF FG F DF FG ⋂=⊂DFG PC ⊥DFG 平面，所以FG ⊂PAC PC FG ⊥即在线段上运动时，， E FG PC DE ⊥点的轨迹为线段．∴E FG 则． 12sin 425PA FG FC PCA PC =⋅∠=⨯==故答案为：；. 412516. 已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为__________.2ln ,0()1,0x kx x f x kx x x ->⎧=⎨-+≤⎩()f x k 【答案】 ()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用分离参数法得，，，，从而转化为直线与函数图象交ln x k x =0x >21x k x-=0x <y k =点个数问题，利用数形结合的思想即可得到答案. 【详解】当时，令，则， 0x >()ln 0f x x kx =-=ln xk x=令，，， ()ln x h x x=0x >()221ln 1ln x xx x h x x x ⋅--'==令，即，解得，此时单调递增， ()0h x '>1ln 0x ->0e x <<()h x 令，即，解得，此时单调递减， ()0h x '<1ln 0x -<e x >()h x 故在时，取得最大值，且当趋近于0时，趋近于负无穷， ()h x e x =()1e eh =x ()h x 当趋近于正无穷时，趋近于0，且大于0，x ()h x 当时，，当时，，故此时不是零点，所以，0x ≤()21f x kx x =-+0x =()01f =0x ≠令，，()201f x kx x =-+=22211111124x k x x x x -⎛⎫==-=--- ⎪⎝⎭令，， ()211x x xϕ=-0x <根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当趋近于负无穷时，趋近于0，且小于0， x ()x ϕ当趋近于0时，趋近于负无穷， x ()x ϕ在同一坐标系中作出与如下图所示，()h x ()x ϕ题目转化为与函数与在图像上有两交点，y k =()h x ()x ϕ故由图得.()1,00,e k ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为：.()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，．()1,3,4A ()1,5,4B -()1,2,1C -（1）求；,AB BC（2）求在上的投影向量．AC BC【答案】（1）2π3（2） ()0,2,2--【解析】【分析】（1）由向量夹角余弦公式,分别计算向量数量积和向量的模,再根据夹角范围,确定夹角的值. （2）根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模,再求出向量的同方向单位向量,计算即可得到BC投影向量. 【小问1详解】解：因为，，()2,2,0AB =- ()0,3,3BC =--所以，，，6AB BC⋅=-AB =BC = 所以． 1cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===-⋅因为，0,πAB BC ≤≤所以．2π,3AB BC = 【小问2详解】因为，， ()2,1,3AC =--- ()0,3,3BC =--所以．cos ,AC BC ==因为， 0,BC BC ⎛= ⎝所以在上的投影向量为AC BC．()cos ,0=0,2,2BC AC AC BC BC ⎛= ⎝⋅--18. 如图，四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，，，M 为BC P ABCD -2PD DC ==AD =的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值. 【答案】（1 （2 【解析】【分析】（1）根据点面距离的法向量求法即可求解；（2）根据面面夹角的法向量求法即可求解. 【小问1详解】因为四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，P ABCD -所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又，，M 为BC 的中点， 2PD DC ==AD =所以，，，，(0,0,0)DA 2,0)M (0,0,2)P 所以，，2)PA =-2,2)PM =-DA = 设平面的法向量为，PAM (,,)n x y z =所以， ()()()),,220,,2,2220nPA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩取，解得，， 1x=z=y =所以，n =所以D 到平面APM.==【小问2详解】易知，平面ABCD 的一个法向量为，(0,0,2)DP =. ()0,0,2·cos ,m n ⎛===平面ABCD 与平面APM . 19. 已知函数，.()sin cos f x x x x =+()0,2πx ∈（1）求函数在处的切线方程； ()f x πx =（2）求函数的极值. ()f x 【答案】（1）2ππ10x y +-+=（2）的极大值为;的极小值为. ()f x π2()f x 3π2-【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)根据导数与极值的关系即可求解. 【小问1详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=所以， (π)πcos ππf '==-而，()ππsin πcos π1f =+=-所以函数f （x ）在处的切线方程为：， πx =(1)π(π)y x --=--即， 2ππ10x y +-+=【小问2详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=令， ()cos 0f x x x '==解得或， 0x =ππ,2x k k =+∈Z 又因为， ()0,2πx ∈所以或，1π2x =3π2x =x 10,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12π 13π,π22⎛⎫ ⎪⎝⎭3π23π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x ↗极大值 ↘极小值↗函数的极大值为;()f x 1πππππsin cos 22222f ⎛⎫=+=⎪⎝⎭函数的极小值为.()f x 33π3π3π3ππsin cos 22222f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭20. 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗． （1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； （2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【答案】（1）27（2）37【解析】【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概=i A i 1,2i =()1P A ()21P A A 率的概率公式计算可得；（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全i B =i 1,2i =()1P B ()21P B B ()21P B A 概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】设事件“第次取到的是小兔盲盒”，．=i A i 1,2i =∵，，()14117C 4C 7P A ==()132116C 1C 2P A A ==∴， ()()()12121412727P A A P A P A A ==⨯=即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为．1227【小问2详解】设事件“第次取到的是小狗盲盒”，．i B =i 1,2i =∵，，，()13117C 3C 7P B ==()122116C 1C 3P B B ==()132116C 1C 2P B A ==∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为2()()()()()2121121P B P B P B B P A P B A =⨯+⨯ 31417372=⨯+⨯． 37=21. 在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，111ABC A B C -11A B BA ⊥ABC 11A B BA 1π3ABB ∠=，，E 是的中点.1A B AC ⊥2AB AC ==AC（1）求证：平面；1A B ⊥1AB C （2）点P 在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.1A E 1A E AP 1A BE π41EP EA 【答案】（1）证明见解析（2）125EP EA =【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明； (2)利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解. 【小问1详解】因为四边形为菱形，所以，11A B BA 11A B AB ⊥又因为，，平面，， 1A B AC ⊥1AB AC ⊂1AB C 1AB AC A = 所以平面. 1A B ⊥1AB C 【小问2详解】取的中点O ，连接，四边形为菱形，且， AB 1B O 11A B BA 1π3ABB ∠=所以.1B O AB ⊥因为平面平面，平面平面，11A B BA ⊥ABC 11A B BA ⋂ABC AB =平面，1B O ⊂11A B BA 所以平面，所以，又因为，与相交， 1B O ⊥ABC 1B O AC ⊥1A B AC ⊥1B O 1A B 所以平面.取中点D ，连结， AC ⊥11A B BA BC OD 以O 为原点，，，为空间基底建立直角坐标系.OB OD 1OB则，，，，()1,0,0B ()1,0,0A-(1A -()1,1,0E -所以，.(1BA =-()2,1,0BE =- 设平面的一个法向量为，1A BE (),,n x y z =所以，令，则，，13020n BA x n BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x=z =2y =所以.(1,n =设，可得点，. 1EP EA λ=()1,1P λλ---(),1AP λλ=-- 由题意πsin cos ,4AP n AP n AP n ⋅===解得或（舍），即. 2=5λ0λ=125EP EA =22. 已知函数，.()ln 1f x x mx =-+()()e 2xg x x =-（1）若的最大值是1，求的值；()f x m （2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围. x ()()f x g x ≤m 【答案】（1） 1em =（2） [)1,+∞【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，0m ≤0m >0m >1x m=取得最大值，列出方程，求出的值；()f x m （2）转化为在上恒成立问题，构造，二次求导，利用1ln 2e x x m x +-≥-()0,∞+()1ln e xx x xϕ+=-隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，0020e n 0l x x x +=01e x x =()x ϕ0x x =列出不等式，求出的取值范围. m 【小问1详解】的定义域为，. ()f x ()0,∞+()11mx f x m x x-'=-=若，，在定义域内单调递增，无最大值；0m ≤()0f x ¢>()f x若，令,解得：，令，解得：， 0m >()0f x ¢>10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故时，单调递增，时，单调递减. 10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()f x 时，取得极大值，也是最大值，故，1x m∴=()f x 11ln 1f m m ⎛⎫== ⎪⎝⎭；1em ∴=【小问2详解】原式恒成立，即在上恒成立，()ln 1e 2xx mx x -+≤-()0,∞+即在上恒成立. 1ln 2e xx m x+-≥-()0,∞+设，则. ()1ln e x x x x ϕ+=-()22e ln x x xx xϕ+'=-设，则， ()2e ln xh x x x =+()()212e 0xh x x x x'=++>在上单调递增，且，.()h x ∴()0,∞+112e e 211e 1e 10e eh -⎛⎫=⋅-=-< ⎪⎝⎭()1e 0h =>有唯一零点，且，()h x ∴01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭020e n 0l xx x +=即. 000ln ex x x x -=两边同时取对数，得，易知是增函数，()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-ln y x x =+，即. 00ln x x ∴=-01ex x =因为，所以当时，， ()()2h x x x ϕ'=-()00,x x ∈()()20h x x xϕ'=->当时，， ()0,x x ∈+∞()()20h x x xϕ'=-<故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，()x ϕ()00,x ()0,x +∞()x ϕ0x x =， ()()0000000e 11ln 11x x x x x x x x ϕϕ+-∴≤=-=-=-， 21m ∴-≥-，1m ∴≥故的取值范围是.m [)1,+∞【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。

高二级中期考试数学试题

高二级中期考试数学试题

高二级中期考试数学试题一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合p={ x |-2< x <3}，Q={ x | | x +1|>2，x ∈R}，则集合P ∪Q=（ ）A ．{ x |-2< x <1}B ．{ x |1< x <3}C ．{ x |-3< x <3|D ．{ x | x <-3 或x >-2}2．若log 3M+log 3N ≥4，则M+N 的最小值是（ ）A ．4B ．18C ．34D ．9.3．设向量=(1,－3), =(－2,4),若表示向量4、3－2,的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为 （ ）(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）4．下列四个命题中的真命题是（ ）A ．通过点)(00y x P ，的直线一定能够用方程)(00x x k y y -=-表示B ．通过任意两个不同点心)(111y x P ，、)(222y x P ，的直线都能够用方程))(())((121121y y x x x x y y --=--表示C ．不通过原点的直线都能够用方程1=+bya x 表示 D ．通过点A （0，b ）的直线都能够用方程y=kx+b 表示5．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 ( ) （A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-=（C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）22(2)(1)3x y ++-=6.动点P 到x 轴，y 轴的距离之比等于非零常数k ，则动点P 的轨迹方程是 ( )A.y=k x(x ≠0) B.y=kx(x ≠0) C.y=-kx(x ≠0)D.y=±kx(x ≠0)7.（理科做）圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是 ( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=2 7．（文科做）点A （4，0）关于直线1：5x+4y+21=0的对称点是 （ ） A ．（－6，8） B ．（－8，－6） C ．（6，8） D ．（―6，―8）8.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是 ( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞09. 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.1010．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 ( )A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7二.填空题（本大体共6小题，每小题4分，共24分）11．在△ABC 中，A （3，-1）、B （-1，1）、C （1，3）写出△ABC 区域(包含边界)所表示的二元一次不等式组 .12.不等式｜a-b ｜≤｜a ｜+｜b ｜取等号的条件是 .13.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标是 .半径为 .14.已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .15. 在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二级第二学期期中考试试题数学满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}04A x x =<<，{}42B x x =-<≤，则A B =A.()0 4，B.(]4 2-，C.(]0 2，D.()4 4-，2.若复数z 满足1i 1iz -=-，则z =3 C.2 D.53．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为A ．3-B ．13-C ．13D ．34．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为 A ．45 B ．35 C ．45-D ．35-5. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]-6．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方 式．为比较两种生产方式的效率，选取40名 工人，将他们随机分成两组，每组20人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人 用第二种生产方式．根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图： 则下列结论中表述不正确．．．的是FEDCBAA. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为 A ．643B ．52C ．1533D ．568．某班星期五上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节， 且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期五上午不同课程安排种数为 A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 9. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为 A ．51-B ．512+ C ．32D ．210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方 形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取 自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB=AC=3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD=AB ，连结CD ，则CD 的长为A ．332B ．3102C ．362D ．3612.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0，1)，(0，3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y kx =(0k >)关于y 轴对称，则k 的最小值为A.233B.3C.23D.43 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______；14.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-003302y y x y x ，则y x z +=的最小值为 ；15．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 ；16．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为43，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若427a c ==，，求ABC ∆的面积.18(本小题满分12分) 设数列｛n a ｝的前n 项和为n s ，已知344n n s a =-，*n N ∈． （1)求数列｛n a ｝的通项公式； (2）令2211log log n n n b a a +=，求数列｛n b ｝的前n 项和Tn.19.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知点P 在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上，椭圆C 的焦距为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，（其中O 为坐标原点）（i ）求k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，则k 的值以及这个常数是多少？21.（本小题满分12分）设函数1()ln f x ax x b x=-++()a b R ∈、， （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，求证：121222x x ax x ++>．22（本小题满分10分)已知()32=+.f x x(Ⅰ)求()1f x≤的解集；(Ⅱ)若()2≥恒成立，求实数a的最大值.f x a x参考答案一、选择题解析: 5. 法一：因函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数，则函数()f x 在(,0)-∞单调递增，由()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选A.法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤. 7.由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=. 8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9.将x c =代入双曲线得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a =⇒=-11e e⇒-=，解得12e =.10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b x a b -=得abx a b=+， 则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()aba b ≥+（当且仅当a b =时取等号）． 法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ． 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中，311cos 434ABC ∠=⨯=，从而1cos 4DBC ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故CD =.12.（略）二、填空题解析：15.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ∈-，得00x =，01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.16. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形，且面积为244l l =⇒=，又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 82l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故 2=1)S rl r πππ+=表.三、解答题17.(本小题满分12分) 解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1sin sin sin sin 02B C C C B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1sin 022C C +=，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………6分 (Ⅱ)∵2222cos ca b ab C =+-，∴24120b b +-=，∵0b >，∴2b =，∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=…………………………12分18(本小题满分12分)．解：（1）∵344n n s a =-， ①∴ 当n ≥2时，11344n n S a --=-．② ………………………………………2分 由①-②得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=(n ≥2)． ………………………3分 当n =1时，得11344a a =-，即14a =．∴ 数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列．……………………………5分 ∴ 数列{a n }的通项公式为4n n a =． …………………………………………6分 （2）∵ 2211log log n n n b a a +=⋅=1221log 4log 4n n +⋅=1111()2(22)41n n n n =-⋅++． …………………………………8分∴ 数列{b n }的前n 项和123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+11111111[(1)()()()]4223341n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+11(1)414(1)nn n =-=++． ………………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面ABC ∥平面EFG ，从而//BC FG .∵2CB GF =，∴//CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ………………………5分 (Ⅱ)连结AD .由ABC ∆是正三角形，且D 为中点得，AD BC ⊥. 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ，∴DF AD DF BC ⊥⊥，，∴DB DF DA ，，两两垂直.以DB DF DA ，，分别为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -. 设2BC =，则A (0 0 3，，)，E (133 22-，，)，B (1，0，0)，G (-1，3，0)，∴12AE⎛=-⎝⎭，()2 0BG=-，32BE⎛=-⎝⎭.设平面BEG的一个法向量为()n x y z=，，.由BG nBE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得，2032xx z⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，.令x21y z==-，，∴()3 21n=-，，.设AE与平面BEG所成角为θ，则6sin cos4AE nAE nAE nθ⋅=<>==⋅，.………12分20.(本小题满分12分)解：（1）由点P在椭圆上得223112a b+=，2c=2，-----------------------------1分2222322b a a b∴+=，c=1，又222a b c=+，222232(1)2(1)b b b b∴++=+，422320b b∴--=，解得22b=，得23a=，∴椭圆C的方程为22132x y+=；----------------------------------------------4分（2）（i）设直线l的方程为y kx t=+，联立22132x y+=，得222(32)6360k x ktx t+++-=，∴2121222636(1)(2)3232kt tx x x xk k-+=-=++----------------------5分又22112(1)3xy=-，22222(1)3xy=-，2222221122||||()()OA OB x y x y+=+++22121()43x x=++212121[()2]43x x x x=+-+22221636[()2]433232kt tk k-=-⨯+++222221(1812)362443(32)k t kk-++=⨯++--------------------------------8分要使22||||OA OB+为常数，只需218120k-=，得223k=，---------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+，∴k ==，这个常数为5；-------------------------------10分（ii ）b k a=±，这个常数为22a b +．----------------------------------------12分 21. 解：(本小题满分12分)（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>，----------------------------------1分 设2()1(0)g x ax x x =-->，①当0a ≤时，()0g x <，'()0f x <；----------------------------------------------2分 ②当0a >时，由()0g x =得x =或0x =<，记x =0x =则201()1()(0)2g x ax x a x x x x a =--=-->，∵102x a->∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分 ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增．-----5分 （2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =， 即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------6分 两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，----------------------------------------------7分要证121222x x ax x ++>， 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-，11 只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-， 只需证222121212ln x x x x x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------9分 设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t->，-------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >， 222221221(1)'()10t t t h t t t t t-+-=+-==>， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h ∴>=，得证．---------------12分22. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-， 所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分 (Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立.当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =)，所以a ≤a的最大值是…………………………10分。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)

高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)

高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（ ）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（ ）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

河北省高二下学期期中数学试题(解析版)

河北省高二下学期期中数学试题(解析版)

河北省承德市双滦区实验中学2022-2023学年高二第二学期期中考试数学试题一. 单选题（每个5分，共40分.）1. 二项式的展开式中第5项的系数为（ ）()1032x -A.B.C.D.410C 510C ()446103C 2⋅-()55510C 32-【答案】C 【解析】【分析】根据题意写出二项式的展开式的通项，令即可求出第5项的系数. ()1032x -4k =【详解】根据题意，二项式的展开式的通项为：()1032x -，()()10110C 32kkkk T x -+=-当时，二项式的展开式中第5项的系数为：，4k =()1032x -()446103C 2⋅-故选：C.2. 盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）A.B.C.D.351104925【答案】C 【解析】【分析】根据条件概率求解公式即可得解.【详解】设第一次摸出新球为事件A ，第二次取到新球为事件B. 则，， ()51102P A ==()5141019P B -==-则， ()()()14429192P A B P B A P A ⨯⋅===故选：C.【点睛】本题考查了条件概率公式的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.3. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（ ） 46781015C C C A. P (X ＝2) B. P (X ≤2) C. P (X ＝4)D. P (X ≤4)【解析】 【分析】根据超几何分布列式求解即可．【详解】X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝，故k ＝4， 10781015k kC C C -故选：C.4. 已知函数的导函数为，若，则（ ） ()f x ()f x '3()3(2)ln 2f x xf x x '=++(2)f '=A. B. 1C. D.1-12-12【答案】A 【解析】【分析】求出函数的导函数，再令计算可得. 2x =【详解】因为， 3()3(2)ln 2f x xf x x '=++所以， 13()3(2)2f x f x ''=++所以，解得. ()()1323222f f ''=++()21f '=-故选：A 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） ln 22a =1e b =2ln 39c =a b c A. B. a b c >>a c b >>C. D.b ac >>b c a >>【答案】C 【解析】【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，所以构造函数， ln 2ln 424a ==1ln e e e b ==ln 99c =ln ()xf x x=因为，由有：， 21ln ()x f x x -'=21ln ()0xf x x-'=>0e x <<由有：，所以在上单调递减， 21ln ()0x f x x -'=<e x >ln ()xf x x=()e,+∞因为，，, ()ln 2ln 4424a f ===()1ln e e e e b f ===()ln 999c f ==因为，所以，故A ，B ，D 错误.94e >>b a c >>6. 若多项式，则 （ ）()()()910210019101...11x x a a x a x a x +=+++++++9a =A. 9 B. 10 C. -9 D. -10【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理的系数，先求的系数，再由，可求的系数，即可得答案． 10x 99991010a C a C ⋅+⋅9x 【详解】多项式，()()()910210019101...11x xa a x a x a x +=+++++++等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是()10101a x +10x 10x 10a 10x 1， ∴;101a =又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0， 9x 9x 99991010a C a C ⋅+⋅9x ∴， ∴. 9100a +=910a =-故选：D ．【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，搞清各项系数是解决本题关键，属于中档题． 7. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数()f x R ()f x '()f x 2x =-的图象可能是（ ）()y xf x '=A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选()f x '2x =-()xf x '项．【详解】由题意可得，而且当时，，此时，排除B 、D ； ()20f '-=(),2x ∈-∞-()0f x '<()0xf x '>当时，，此时，，若，， ()2,0x ∈-()0f x ¢>()0xf x '<()0,x ∈+∞()0xf x '>所以函数的图象可能是C ．()y xf x '=8. 已知函数且，若函数有3个不同的零点，则实数122,2()66,2x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩()()g x f x a =-()g x a 的取值范围为 A. B.C.D.(1,2)(1,3)[1,2][1,3]【答案】B 【解析】【分析】函数有3个不同的零点，即函数的图象与直线有三个交点，画出函()()g x f x a =-()f x y a =数的图象，根据数形结合可得出答案.()f x 【详解】函数 122,2()66,2x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩当时，其图象可以看成是由的图象向右平移1个单位得到的.2x ≤()12x f x -=2xy =画出函数的图象如图所示.()f x 函数有3个不同的零点，即函数的图象与直线有三个交点. ()()g x f x a =-()f x y a =当时函数有极小值，当时函数有极大值， 1x =()f x (1)1f =3x =()f x (3)3f =所以实数a 的取值范围为， (1,3)故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据零点个数求参数的范围，关键是数形结合思想的应用，属于中档题.二、多选题（共20分，全部正确每题5分，只部分正确得2分.）9. 下列求导不正确的是（ ）A.B.1(ln7)7'=221x x x '⎛⎫= ⎪+⎝⎭C. D.()2sin 32cos x x '-=()cos cos sin x x x x x '=-【答案】AB 【解析】【分析】根据基本初等函数的导数，以及导数的运算法则求导，即可得出答案.【详解】对于A 项，，故A 项错误；(ln7)0'=对于B 项，，故B 项错误； ()()()22222221222212121x x x x x xx x x x '+-⎛⎫+==≠ ⎪+++⎝⎭对于C 项，，故C 项正确；()()2sin 32sin 2cos x x x ''-==对于D 项，，故D 项正确. ()()cos cos cos =cos sin x x x x x x x x x '''=+-故选：AB.10. 对任意实数x ，有则下列结论成立923901239(23)(1)(1)(1)(1).-=+-+-+-++- x a a x a x a x a x 的是（ ） A.B.01a =2144a =-C. D.20911a a a a ++++=L 9012393a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-【答案】BCD 【解析】【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD ，转化法求指定项的系数判断选项B.【详解】由，923901239(23)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- 当时，，，A 选项错误；1x =90(23)a -=01a =-当时，，即，C 选项正确；2x =90129(43)a a a a -=++++ 20911a a a a ++++=L 当时，，即，D 选项正确；0x =901239(3)a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-9012393a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-，由二项式定理，，B 选项正确.()99(23)121x x -=-+-⎡⎤⎣⎦2922292144C (1)a ---==故选：BCD11. 某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好121024有个二等品的概率为（ ）1A. B. 42210210412C C C 1C +-0413*******12C C C C C +C.D. 12412C 1C -13210412C C C 【答案】AD 【解析】【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可.【详解】从个产品中任意抽取个，基本事件总数为个； 124412C 其中恰好有个二等品的基本事件有个，113210C C恰好有个二等品的概率； ∴113210412C C C p =也可由对立事件计算可得. 42210210412C C C 1C p +=-故选：AD.12. 已知函数的定义域为R ，其导函数的图象如图所示，则对于任意（()f x ()f x '12,x x ∈R 12x x ≠），下列结论正确的是（ ）A. B. ()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C. D. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据原函数图象判断AB 选项，根据图象的凹凸性判断CD 选项.【详解】由导函数图象可知， ，且其绝对值越来越小，()0f x '<因此函数的图象在其上任一点处的切线的斜率为负，并且从左到右，切线的倾斜角是越来越大的钝()f x 角，由此可得的图象大致如图所示．()f x选项A 、B 中，由的图象可知其割线斜率恒为负数，即与异()f x ()()1212f x f x x x --12x x -()()12f x f x -号，故A 正确，B 不正确；选项C 、D 中，表示对应的函数值，即图中点B 的纵122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭122x x x +=坐标，表示和所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，显然有()()122f x f x +1x x =2x x =，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故C 不正确，D 正确． 故选：AD ．三、填空题（每小题5分，共20分）13. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆()y f x =()()22f ,_______． 【答案】34π【解析】【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案. (2)1f '=-【详解】因为 00(2)(2)(2)(2)(2)(2)lim lim x x f x f x f x f f f x x x∆→∆→+∆--∆+∆-+--∆=∆∆=， 00(2)(2)(2)(2)limlim 2(2)2x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆--∆-'+==-∆-∆所以，(2)1f '=-则曲线在点处的切线斜率为，即， ()y f x =(2,(2))f 1-tan 1α=-又[0,)απ∈所以所求切线的倾斜角为． α34π故答案为：34π14. 除以8，所得余数为_______. 5555【答案】7 【解析】【分析】由，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解. 55561=-【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+-因为56能被8整除，所以除以8，所得的余数为：. 5555187-+=故答案为：7.15. 已知随机变量X 的分布列如下表：若随机变量Y 满足，则Y 的数学期望为 _____.31Y X =- X 013P 1312a【答案】2 【解析】【分析】利用分布列的性质，求得，结合公式求得随机变量的期望，进而求得随机变量的期16a =X Y 望.【详解】由分布列的性质，可得，解得， 11132a ++=16a =则， ()1110131326E X =⨯+⨯+⨯=又因为， 31Y X =-所以. ()3()12E E Y X =-=故答案为：216. 为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有_________种．【答案】 72【解析】【分析】按先后顺序分别涂区域③④①②⑤，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】先涂区域③，有种选择，接下来涂区域④，有种选择， 43接下来涂区域①②，涂区域①有种选择，涂区域②有种选择， 21最后涂区域⑤，有种选择，3由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为种. 4321372⨯⨯⨯⨯=故答案为：.72四、（本部分六个题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，求它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率. 【答案】（1）0.0525（2）37【解析】【分析】（1）利用全概率公式即可求得任取一个零件是次品的概率；（2）利用条件概率公式即可求得如果取到的零件是次品则它是丙车床加工的概率.【小问1详解】设B =“任取一个零件是次品”，A 甲=“零件为甲车床加工”， A 乙=“零件为乙车床加工”，A 丙=“零件为丙车床加工”， 则，且A 甲，A 乙，A 丙，两两互斥， A A A Ω=甲乙丙U U 根据题意得()0.25,()0.3,()0.45,P A P A P A ===甲乙丙.()|0.06,(|)(|)0.05P B A P B A P B A ===甲乙丙由全概率公式得()()()|()(|)()((|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++甲甲乙乙丙丙0.250.060.30.050.450.050.0525.=⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率” 就是计算在B 发生的条件下事件A 丙发生的概率.()()(|)0.450.053(|).()()0.05257P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====丙丙丙丙18. 已知展开式的二项式系数和为64，且．()(12)n f x x =+2012(12)n nn x a a x a x a x +=++++ （1）求的值；2a （2）求展开式中二项式系数最大的项；(12)nx +（3）求的值． 12323n a a a na ++++ 【答案】（1）；260a =（2）；3160x （3）. 2916【解析】【分析】（1）由题可得，然后根据二项展开式的通项即得； 6n =（2）由题可知第四项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项即得；（3）由题可得，然后利用赋值法即得.()212553612()36221x a a x a x f x a x +=+++⋅=⋅⋅+'【小问1详解】∵的展开式的所有项的二项式系数和为， ()12nx +264n =∴，6n =故展开式中第三项为：，6(12)x +2622236C 1(2)60T x x -=⋅⋅=所以； 260a =【小问2详解】∵， 6621260(12)(12)nx x a a x a x a x +=+=+++⋅⋅⋅+∴第四项的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项；(12)nx +3633346C 1(2)160T x x -=⋅⋅=【小问3详解】因为，()()066621212f x x a a x a x a x =+=+++⋅⋅⋅+∴，()212553612()36221x a a x a x f x a x +=+++⋅=⋅⋅+'令，可得. 1x =531261232362916a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=19. 假定某射手每次射击命中目标的概率为.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则23就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为. X （1）求的概率分布；X （2）分别求均值和方差. ()E X ()V X 【答案】（1）见解析；（2），. 13()9E X =()3881V X =【解析】【分析】（1）由题意的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，进而可得分布列； X （2）由题意结合均值公式、方差公式直接运算即可得解. 【详解】（1）由题意得的所有可能取值为1，2，3，X，，， 2(1)3P X ==222(2)(1)339P X ==-⨯=221(3)11339P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的概率分布为：XX 1 2 3P 232919（2）由题意均值； 22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=方差. ()2222132131133812339999981V X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列、均值及方差的求解，考查了运算求解能力，属于中档题. 20. 给定函数()(1).x f x x e =+（1）判断函数的单调性，并求出的极值； ()f x ()f x （2）画出函数的大致图象；()f x （3）求出方程的解的个数()()f x a a R =∈【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为，极小值,； ()2,-+∞(),2-∞-()212f e -=-（2）答案见详解；（3）当时，解为个；当或时，解为个； 当21a e <-021a e =-0a ≥1210a e -<<时，解为个 2【解析】【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解. ()f x '（2）由函数的单调性、极值即可作出图象. （3）利用数形结合法即可求解.【详解】（1）由，定义域为()(1)xf x x e =+R ，()()(1)2x x x f x e x e e x '=++=+令，即， ()0f x ¢>2x >-令，即， ()0f x '=2x =-令，即，()0f x '<<2x -所以函数的单调递增区间为；()2,-+∞单调递减区间为，为极小值点， (),2-∞-2x =-所以函数的极小值为. ()212f e -=-（2）函数的大致图象，如图所示：()f x（3）方程解的个数等价于于的交点个数. ()y f x =y a =作出与的图象，()f x y a =由图可知当时，方程的解为个； 21a e<-()()f x a a R =∈0当或时，方程的解为个； 21a e=-0a ≥()()f x a a R =∈1当时，方程的解为个； 210a e-<<()()f x a a R =∈221. 已知函数，， ()ln f x x a x =-()1ag x x+=-()a R ∈若，求函数的极值；()11a =()f x 设函数，求函数的单调区间．()2()()()h x f x g x =-()h x 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】【分析】（1）的定义域为，当时，，利用导数研究函数的极值可知()f x ()0,∞+1a =()1x f x x-'=()f x 在处取得极小值1．函数没有极大值． 1x =（2）由函数的解析式可知，，分类讨论可得：①当()1a h x x alnx x +=+-()()()211x x a h x x ⎡⎤+-+⎣⎦='时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在1a >-()h x ()0,1a +()1,a ++∞1a ≤-()h x 上单调递增．()0,∞+【详解】（1）的定义域为， ()f x ()0,∞+当时，，， 1a =()f x x lnx =-()111x f x x x-'=-=x （0,1）1()1+¥，()f x '-0 +()f x 单调递减极小值单调递增所以在处取得极小值1,函数没有极大值． ()f x 1x =（2）， ()1ah x x alnx x+=+-， ()()()()222211111x x a x ax a a a h x x x x x⎡⎤+-+--++⎣-=='⎦=-①当时，即时，10a +>1a >-在上，在上，()0,1a +()0h x '<()1,a ++∞()0h x '>所以在上单调递减，在上单调递增； ()h x ()0,1a +()1,a ++∞②当，即时，在上， 10a +≤1a ≤-()0,∞+()0h x '>所以函数在上单调递增．()h x ()0,∞+【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．22. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时11,42还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时. 11,24（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望ξξE ξ【答案】（Ⅰ） 516（Ⅱ）见解析 【解析】【详解】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为． 516（2）的可能取值为0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：0 2 4 6 8数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8= 51651631611672考点：离散型随机变量的分布列及概率．。

2022-2023学年高二下学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年高二下学期期中数学试题(解析版)

香山中学2022-2023学年度第二学期高二级期中考试数学科试卷一、单项选择题（共40分）1. 下列式子正确的是（ ）A. B. ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭()1ln x x'=C.D.e e 22x x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x x '=【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案.【详解】A 中，因为，所以，故A 错误；π1sin 62=πsin 06'⎛⎫= ⎪⎝⎭B 中，由基本初等函数的导数公式易知，故B 正确； ()1ln x x'=C 中，因为，故C 错误； ()221e e 22e e 242xx x x x x x x x -'-⎛⎫== ⎪⎝⎭D 中，，故D 错误. ()sin sin cos x x x x x '=+故选：B.2. 曲线在处的切线的倾斜角是（ ） 2()e 25x f x x x =+--0x =A.B.C.D.56π23π4π34π【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答. ()f x ()f x '(0)f '【详解】由求导得：，则有，2()e 25x f x x x =+--()e 22xf x x '=+-(0)1f '=-因此，曲线在处的切线的斜率为， 2()e 25xf x x x =+--0x =1-所以曲线在处的切线的倾斜角是. 2()e 25xf x x x =+--0x =34π故选：D3. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则41521538既刮风又下雨的概率为（ ）A.B.C.D.3435110120【答案】C 【解析】【分析】利用条件概率的计算公式求解即可【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，A =B =AB =则， ()()()423,,15158P A P B P B A ===所以. ()()()43115810P AB P A P B A ==⨯=故选：C4. 已知函数的导函数为，且，则（ ） ()f x ()'f x ()2cos 6f x xf x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.12-126π-6π+【答案】D 【解析】【分析】将求导并代入即可得出，即可得到的具体解析式，再代入即()f x 6x π=6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭()f x 6x π=可得出答案.【详解】， ()2cos 6f x xf x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，()2sin 6f x f x π⎛⎫''∴=- ⎪⎝⎭令，则， 6x π=2sin 666f f πππ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，162f π⎛⎫'= ⎪⎭∴⎝则，()cos f x x x =+cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎭+⎝∴故选：D.5. 为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 20种 D. 24种【答案】B 【解析】【分析】根据分类计数法将甲分为第一个出场和第二个出场两种情况，然后根据分步计数原理求出这两种情况下的排列方式，即可求解. 【详解】解：由题意知：当甲第一个出场时，不同演讲的方法有（种）； 1222C A 4=当甲第二个出场时，不同演讲方法有（种）.1222C A 4=所以所求的不同演讲方法有（种） 448+=故选：B6. 若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为ξaξ 1-1P41a -23a a + A.B.C.或 D.132-132-12【答案】A 【解析】【详解】由离散型随机变量ξ的概率分布表知：. 2204110314131a a a a a a -⎧⎪+⎨⎪-++=⎩…………解得. 13a =故选A.7. 已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝a 13x （）A.B.C.D.79-7981-81【答案】A 【解析】【分析】利用已知条件求出实数的值，然后写出展开式通项，利用的指数为，求出参数的值，代入a x 3通项即可得解.【详解】因为（为常数）的展开式中各项系数之和为， 521ax x x ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝a 1所以在中令，可得，解得， 521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝1x =()()5111a --=2a =的展开式的通项， 5x ⎛ ⎝()35521552rr r r r r r T C x C x --+⎛=⋅⋅=- ⎝因为， 555221122x x x x x x x ⎛⎛⎛⎛⎫--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎝，令，可得， ()33215212r r r r T C x x-+=-3332r -=0r =，令，可得. ()36215222k kkk xT C x-+=⨯-⋅3632k -=2k =故的展开式中的系数为， 521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝3x ()30255C 2C 79+-=-故选：A.8. 已知函数，若函数在上为增函数，则正实数的取值范围为1()ln xf x x ax-=+()f x [1,)+∞a （）A. B. C.D.()0,1(01]，()1,+∞[1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据函数，求导得到，然后根据函数在上为增函数，转1()ln xf x x ax-=+()f x '()f x [1,)+∞化为在上恒成立求解. ()0f x '≥[1,)+∞【详解】函数， 1()ln xf x x ax-=+，()2211()aax f x x ax ax --'=+=因为函数在上为增函数，()f x [1,)+∞所以在上恒成立， ()0f x '≥[1,)+∞又，0a >所以 在上恒成立，10ax -≥[1,)+∞即在上恒成立， 1a x ≥[1,)+∞令，()()max 11g x g x x==，所以， 1a ≥故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题（共20分）9. 已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)： X 0 1 2 3 4 P0.10.20.40.2a 则下列计算结果正确的有（ ）A. a ＝0.1B. P (X ≥2)＝0.7C. P (X ≥3)＝0.4D. P (X ≤1)＝0.3【答案】ABD 【解析】 【分析】由概率之和为1可判断A ，根据分布列计算可判断B,C,D.【详解】因为，解得，故A 正确； 0.10.20.40.21a ++++=0.1a =由分布列知,，(2)0.40.20.10.7P X ≥=++=(3)0.20.10.3P X ≥=+=，故BD 正确，C 错误.(1)0.10.20.3P X ≤=+=故选：ABD10. 如果函数的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是（）()y f x =A. 函数在区间内单调递增B. 当时，函数有极大值 ()y f x =()3,512x =-()y f x =C. 函数在区间内单调递增 D. 当时，函数有极大值()y f x =()1,22x =()y f x =【答案】CD 【解析】 【分析】本题首先可结合函数的导函数的图像分析出函数的单调递增区间、单调递减区间以及极值点，()y f x =然后与选项对比，即可得出结果.【详解】结合函数的导函数的图像可知： ()y f x =当时，导函数值小于，函数是减函数； <2x -0()f x 当时，导函数值等于，函数取极小值； 2x =-0()f x 当时，导函数值大于，函数是增函数； 22x -<<0()f x 当时，导函数值等于，函数取极大值； 2x =0()f x 当时，导函数值小于，函数是减函数； 24x <<0()f x 当时，导函数值等于，函数取极小值； 4x =0()f x 当时，导函数值大于，函数是增函数， >4x 0()f x 结合选项易知，、错误，、正确， A B C D 故选：CD.【点睛】本题考查根据导函数图像判断函数性质，当导函数值为负数时，函数是减函数，当导函数值是正数时，函数是增函数，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题.11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中1A 2A 3A 随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） B A. B. ()25P B =()1511P B A =C. 事件与事件相互独立D. ，，是两两互斥的事件B 1A 1A 2A 3A 【答案】BD 【解析】【分析】由 可判定A 错误；由条件概率求解，可判定B 正确；由()()()()123P B P BA P BA P BA =++独立事件的概率计算公式，可判定C 错误；由互斥的事件的定义，可判定D 正确. 【详解】由题意，因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，所以D 正确；1A 2A 3A 因为，所以，所以B 正确； ()()()123523,,101010P A P A P A ===()()()111555101151110P BA P B A P A ⨯===同理可得, 3223222434()()4410111011(|),(|)23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======所以，所以A 错误； ()()()()123552434910111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=因为，所以，所以C 错误． ()()()11555959,101122221044P BA P B P A =⨯=⋅=⨯=()()()11P BA P B P A ≠⋅故选：BD.12. 若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数()()e xg x f x = 2.71828e =()f x 具有M 性质．下列函数中具有M 性质的为（ ）()f x A.B.()2xf x -=()xf x -=3C.D.()3f x x =()22f x x =+【答案】AD 【解析】【分析】根据新定义，由函数的单调性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论． 【详解】当时，的定义域为R ，函数， ()2xf x -=()f x ()()e 22e e xxxxg x f x -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭==由，则在R 上单调递增，函数具有M 性质，故A 选项正确； e12>()g x ()f x 当时，的定义域为R ，函数， ()xf x -=3()f x ()()e 33e e x xx x g x f x -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭==由，则在R 上单调递减，函数不具有M 性质，故B 选项不正确； e013<<()g x ()f x 当时，的定义域为R ，函数，()3f x x =()f x ()()3e e xxg x f x x ==，当时，，单调递减，故函数不具有()()2323e e 3e x x x g x x x x x '=+=+3x <-()0g x '<()g x ()f x M 性质，故C 选项不正确；当时，的定义域为R ，函数，()22f x x =+()f x ()()()2e 2e xxg x f x x ==+，则在R 上单调递增，函数()()()()2222e 2e 22e 11e 0x x x x g x x x x x x ⎡⎤=++=++=++>⎣⎦'()g x 具有M 性质，故D 选项正确.()f x 故选：AD三、填空题（共20分）13. 如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．l ()y f x =(4,(4))f (4)(4)f f '+【答案】##5.5 112【解析】【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜()45f =l (0,3)(4,5)l 率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可. k (4)f '()4f (4)f '【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率， ()45f =l (0,3)(4,5)l 531402k -==-又由直线是曲线在点处的切线，则， l ()y f x =(4,(4))f 1(4)2f '=所以． 111(4)(4)522f f '+=+=故答案为：11214. 设随机变量的分布列为，则常数________．X ()()1,2,,10P X k ak k ===⋅⋅⋅=a 【答案】155【解析】【分析】利用概率和为求解即可.1【详解】因为， ()()1,2,,10P X k ak k ===⋅⋅⋅因为，即，()123101a ++++= ()1011012a ⨯+=所以. 155a =故答案为：. 15515. 已知，则_______．()422380123832x x a a x a x a x a x -+=++++⋅⋅⋅+1357a a a a +++=【答案】 648-【解析】【分析】利用赋值法分别将和代入已知式子中，得到两个方程，由这两个方程化简整理，即1x ==1x -可求出的值． 1357a a a a +++【详解】因为，()422380123832x x a a x a x a x a x -+=++++⋅⋅⋅+令，可得，1x =01280a a a a ++++…=令，可得，=1x -40123861296a a a a a -+-+⋯+==两式相减，可得，则. ()135721296a a a a +++=-1357648+++=-a a a a 故答案为：．648-16. 某机场有并排的10个停机位，若有3架飞机要降落在该机场并停放在这排停机位中，每架飞机停放在任一停机位都是随机的，则3架飞机停好后每架飞机两边各至少有一个空停机位的不同停法种数为______． 【答案】120 【解析】【分析】对于不相邻问题，在求解时，可以考虑采用插空法，先排列不受限制的元素，再将不相邻的元素插在前面元素排列后形成的空位中．【详解】求3架飞机随机停在10个停机位的3个停机位中，每架飞机两边各至少有一个空停机位的方法数，可考虑先将其中的7个空停机位排成一排，这样有6个空隙，再把3架飞机安排到其中的3个空隙中，共有种不同的停法． 36120A =故答案为：120.四、解答题（共70分）17. 已知函数在时取得极值． ()()()32111,,1,032f x ax a x bx a b a a =-++∈≠>R 1x =（1）求的值；b （2）求的单调减区间． ()f x 【答案】（1）1b =（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）先对求导，利用极值的定义求得，再利用导数进行检验是否满足题意即()f x 1b =1b =可；（2）利用（1）中结论直接得解. 【小问1详解】 因为， ()()3211132f x ax a x bx =-++所以，()()21f x ax a x b '=-++由于为函数的一个极值点，则，即，得， 1x =()10f '=()10a a b -++=1b =当时，，1b =()()()()21111fx ax a x ax x '=-++=--因为，令，则或， 1,0a a ≠>()0f x '=1x a=1x =当，即时， 11a<1a >令，得；令，得当或； ()0f x '<11x a <<()0f x ¢>1x a<1x >所以在上单调递减，在，上单调递增，()f x 1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()1,+∞此时是的极小值，满足题意；1x =()f x 当，即时， 11a<01a <<令，得；令，得当或； ()0f x '<11x a <<()0f x ¢>1x <1x a>所以在上单调递减，在，上单调递增，()f x 11,a ⎛⎫⎪⎝⎭(),1-∞1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭此时是的极大值，满足题意； 1x =()f x 综上：. 1b =【小问2详解】 由（1）可知，当时，的单调减区间为； 01a <<()f x 11,a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，的单调减区间为. 1a >()f x 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭18. 从7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种?（1）其中的，必须当选；A B （2），恰有一人当选；A B （3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.【答案】（1）120；（2）420；（3）12600.【解析】【分析】（1）先选出，，再从剩下的人中选人即可.A B 103（2），之中选1人，再从剩下的人中选人即可.A B 104（3）根据题意分步，第一步计算选出一名男生担任体育委员的情况，第二步计算选出一名女生担任班3长的情况，第三步再从剩下名男生再选人，名女生再选人，担任其它个班委的情况，最后利用62413分步计数原理计数即可.【详解】（1）根据题意，先选出，，再从剩下的人中选人，共有种选法；A B 10323210120C C =（2）根据题意，先选出，中1人，再从剩下的人中选人，共有种选法；A B 10414210420C C =（3）选出一名男生担任体育委员共有种情况，选出一名女生担任班长共有种情况.17C 15C 剩下名男生再选人，名女生再选人，担任其它个班委，共有种情况，62413642133C C A 所以共有种选法. 112641375312600C C C C A =【点睛】本题主要考查排列，组合的应用，同时考查了分类，分步计数原理，属于中档题.19. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与均值．【答案】（1） 14（2）分布列见解析；期望为35【解析】【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解;（2）首先确定随机变量的取值，，再根据古典概型计算公式，列出分布列，求解数学期望.0,1,2X =【小问1详解】设事件A =“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有． ()111231053C C C 1C 4P A ==【小问2详解】X 的所有可能值为0，1，2，且，，． ()38310C 70C 15P X ===()1228310C C 71C 15P X ===()2128310C C 12C 15P X ===所以X 的分布列为 X 01 2 P 715 715 115故． ()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=20. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.(21)n x -（1）求展开式中二项式系数最大的项.（2）求的展开式中的常数项. ()1121n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）；41120x （2）.17【解析】【分析】（1）由二项式系数关系及组合数性质得，进而写出二项系数最大项即可；8n =（2）由（1）知二项式为，分别求出前后两个二项式的常数项，即可得结果. 88(21)(21)x x x ---【小问1详解】依题意，由组合数的性质得.17C C n n =8n =所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为. 8(21)x -444458C (2)(1)1120T x x =-=【小问2详解】由（1）知，， 8881(21)1(21)(21)x x x x x -⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭因为二项式的展开式的通项为，8(21)x -818C (2)(1)k k k k T x -+=-所以的常数项为，的常数项为， 8(21)x -89(1)1T =-=8(21)x x -778C 2(1)16x x -=-所以的展开式中的常数项为. 811(21)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()11617--=21. 已知函数． ln(1)()()1ax f x a x x =++∈+R （1）当时，求函数的图象在点（0，f （0））处的切线方程；1a =f x （）（2）讨论函数的极值；f x （）【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析2y x =【解析】【分析】（1）求得，即可求得切线斜率，结合及导数的几何意22()(1)x f x x +'=+02k f ='=（）00f =（）义即可求得切线方程． （2）求得，，对与的大小分类讨论即可求得函数的单调性，21(1)x a f x x ++'=+（）1x -（（（1a --1-()f x 从而求得其极值． 【详解】解：（1）当时，， 1a =()ln(1)1x f x x x =+++所以， 22112()1(1)(1)x x x f x x x x '+-+=+=+++所以．又， 02f '=（）00f =（）所以函数的图象在点（0，f （0））处的切线方程为f x （）2y x =（2）， 221(1)11(1)(1)a x ax x a f x x x x +-++'=+=+++（（1x -（（（令，得10x a ++=1x a =--若，即时，恒成立，此时无极值11a --≤-0a ≥0f x '（（（f x （）若，即时，11a ---（0a ＜则当时，，11x a ---（（0f x '（（（当时，，1x a --（0f x '（（（此时在处取得极小值，极小值为f x （）1x a =--11n a a -++（（【点睛】本题主要考查了函数的导数的应用，切线方程的求法，极值的判断，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于难题．22. 已知函数 ()()32R f x x ax x a =++∈（1）若函数存在两个极值点，求的取值范围；()f x a （2）若在恒成立，求的最小值.()ln f x x x x ≥+()0,∞+a【答案】（1）或 a <a >（2）1-【解析】【分析】（1）函数存在两个极值点，等价于有两个不同的解，利用判别式大于零()f x 23210x ax ++=求解即可；（2）在恒成立，即，转化为求()ln f x x x x ≥+()0,∞+2ln ln x x ax x a x x+≥⇒≥-()ln x g x x x =-的最大值，利用导数即可得答案.【小问1详解】因为， ()()32R f x x ax x a =++∈所以()'2321f x x ax =++因为函数存在两个极值点，()f x 所以有两个不同的解，23210x ax ++=所以，解得24120a ->a <a >【小问2详解】 在恒成立，即恒成立， ()ln f x x x x ≥+()0,∞+2ln ln x x ax x a x x +≥⇒≥-令，则 ()ln x g x x x=-()max a g x ≥因为， ()221ln x x g x x --'=设， ()()21ln 10h x x x h =--=⇒在上都递减，2ln ,1y x y x =-=-()0,∞+所以在上递减， ()21ln h x x x =--()0,∞+所以，当时，，此时，在上递增， 01x <<()0h x >()'0g x >()g x ()0,1当时，，此时，在上递减， 1x >()0h x <()'0g x <()g x ()1,+∞所以，()max ()11g x g ==-所以， 即1a ≥-min 1a =-。

高二下学期期中考试数学试卷含答案

高二下学期期中考试数学试卷含答案

高二下学期期中考试数学试卷含答案下学期期中考试数学试题一、选择题1.已知i是虚数单位，z是z的共轭复数，若z(1+i)=3+2i，则z的虚部为（）。

A。

-1B。

iC。

-iD。

12.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（）。

A。

2B。

3C。

4D。

53.曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程是（）。

A。

2x-y+1=0B。

x-y+1=0C。

x-y-1=0D。

x-2y+2=04.函数f(x)=xlnx的单调递减区间是（）。

A。

(0,1/e)B。

(1/e,0)C。

(e,+∞)D。

(-∞,0)5.二项式1+x+x2(1-x)展开式中x4的系数为（）。

A。

120B。

135C。

140D。

1006.设随机变量的分布列为P(X=k)=C(6,k)/2^6，则P(X≥3)的值为（）。

A。

1B。

7/8C。

5/8D。

3/87.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）种。

A。

10B。

12C。

9D。

88.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图像可能是（）。

A.B.C.D.9.若z∈C且z+2-2i=1，则z-1-2i的最小值是（）。

A。

3B。

2C。

4D。

510.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品任取3件，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率是（）。

A。

37/120B。

3/10C。

4/9D。

1/211.已知(1-x)^10=a+a1x+a2x^2+。

+a10x^10，则a8的值为（）。

A。

-180B。

45C。

180D。

-4812.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3的解集为（）。

A。

(0,+∞)B。

高二第二学期期中考试数学试卷

高二第二学期期中考试数学试卷

高二年级第二学期期中检测数学试题（满分:150分，考试时间:120分钟）一、选择题:本题共8小题，每小腿5分，共40分.只有一项符合题目要求.1.函数y = f （x ）位点（x 0，y o ）处的切线方形为y = 2x + 1.则x x x f x f x ∆∆--→2)2()(lim 000 等于（ ）A.4B. - 2C.2D.4 2.函数 f （x ）= 的图象大致形状是（ ）3.（x + 2y ）×（x - y ）5的展开式中x 2y 4的系数为（ ）A. - 15B.5C. - 20D.254.甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们和和两不相邻的排法共有（ ）A.36种B.72种C.144种D.246种 5.函数f （x ）= k x- lnx 在[1，e ]上单调递增，则k 的收值范围是（ ）A. [1， +∞）B.（e 1， +∞）C.[e 1， +∞）D.（1， +∞） 6.若函数f （x ）=31x 3 - 2+x 2 在（a - 4.a + 1）上有最大值，则实数a 的取值范围为（ ） A.（- 3.2] B.（- 3，2） C.（- 3.0） D.（- 3.0]7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.短道速滑和冰壶3个项目进行集训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种.A.30B60 C.90 D150 8.设a =24l 24e n ）（- ，b = e 1，c =44ln ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A.a < c < b B. c < a < b C .a < b < cD.b < a < c二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下求导运算正确的是（ ） A.)1(2x ʹ = 32x B.(ln 2x)ʹ = x 1 C .（l gx ）ʹ =10l 1n x D .（cos 2）' =-sin 210.由0.1，2，3，5，组成的无重复数字的五位数的四数，则（ ）A.若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数B.若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数C.若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数D.总共可组成48个无重复数字的五位数的偶数11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机抽出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是A.A 1，A 2两两互斥B.P （B|A 2） =75 C.事件B 与事件A 2相互独立 D.P （B ） = 149 12.已知函数f （x ） = e x - ax 2（a 为常数），则下列结论正确的有（ ）A.若f （x ）有3个零点，则a 的取值范围为（42e ，+ ）B.a = 2e 时，x = 1是f （x ）的极值点 C.a =21 时，f （x ）有唯一零点x 0且 - 1 < x 0 <- 21 D.a = 1时，f （x ）≥0恒成立三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f （x ）= 2ln x - x 2 + 1，则f （x ）的单调递增区间是 _________4.将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在（x -x1）n 的展开式中，含x 2项的系数为 _________ .15.若直线y = kx + b 是曲线y = 1nx + 1的切线，也是曲线y = ln （x + 2）的切线.则b = _________16.给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种不同的颜色可供选择，则共有_________ 种不同的染色方案.四、解答题:本题共6小圆，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算.17.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n且S n底2a n- 2（n∈N）（1）求数列{a n}的通项公式:（2）若b n =n naa 2log1+.求数列{b n}的前n项和T n18.（本小M满分12分）如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA = AB = BC = 0.5AD = 1. （1）求PB与CD所成的角:（2）求直线PD与面PAC所成的角的余弦值:（3）求点B到平面PCD的距离.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设∑表示选出的3名同学中男生的人数，求∑的分布列.20.（本小题满分12分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为4331，.（1）求第三次由乙投篮的概率:（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为∑求∑的分布列:（3）求∑的期望及标准差.已知函数f （x ）= x ln x +2 x（1）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程:（2）当x > 1时，mx - m < f （x ）恒成立，求整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = axlnx 2 - 2x .若f （x ）在x = 1处取得极值，求f （x ）的单调区间:（2）若a = 2，求f （x ）在区同[0.5，2]上的最值:（3）若函数h （x ） =xx f )( - x 2 + 2有1个零点，求a 的取值范围.（修考做据:1 m2 = 0.693）。

高二年级期中考试(数学)试卷含答案解析

高二年级期中考试(数学)试卷含答案解析

高二年级期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）1．设函数()y f x =在R 上可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A ．(1)f 'B ．3(1)f 'C ．1(1)3f 'D ．以上都不对2.（5分）2．为适应新高考改革，学校在高二年级开设若干课外实践课，甲､乙､丙三名高二学生从4个课程中各选择一个参加学习，不同的方法为（ ） A ．24B ．64C ．81D ．43.（5分）3．曲线()e x f x =上任意一点P 处的切线斜率的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．()+∞C ．(-∞D ．)⎡+∞⎣4.（5分）4．有红、黄、蓝三个小球放到7个不同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑顺序，则不同的放法数为A ．336B ．320C ．240D ．2165.（5分）5．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为（ ）A ．160B ．-160C ．60D ．-606.（5分）6．某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径(单位：mm )近似服从正态分布()()220,0N σσ>，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05mm 的占钢管总数的150，则这批钢管中，内径在19.95mm 到20mm 之间的钢管数约为（ ） A ．4200根 B ．4500根 C ．4800根D ．5200根7.（5分）7．随机变量ξ的分布列如右表：若()0E ξ=，则()D ξ=（ ） A ．12B ．13C ．14D ．168.（5分）8．曲线f(x)＝21x ax ++在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为34π，则实数a ＝( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－7二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．设()f x '是函数()y f x =的导函数，则以下求导运算中，正确的有（ ）A ．若()sin 2f x x =，则()cos2f x x '=B ．若()ln 2xf x xe =-，则()()1x f x x e '=+C ．若()21f x x '=-，则()2f x x x =-D ．若()tan f x x =，则()21cos f x x'=10.（5分）10．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（ ） A ．2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X =D ．X 的方差8()9D X =11.（5分）11．在某一季节，疾病D 1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S ，疾病D 2的发病率为5%，其中18%表现出症状S ，疾病D 3的发病率为0.5%，症状S 在病人中占60%．则（ ）A ．任意一位病人有症状S 的概率为0.02B ．病人有症状S 时患疾病D 1的概率为0.4C ．病人有症状S 时患疾病D 2的概率为0.45 D ．病人有症状S 时患疾病D 3的概率为0.2512.（5分）12．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有 A ．0.1q =B ．2EX=， 1.4DX =C ．2EX=， 1.8DX = D ．5EY =，7.2DY =三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 13.（5分）13．5(2)x 的展开式中x 的系数是_______.14.（5分）14．从1，2，3，4，5，7，9 这7个数中任取3个，则至少有一个偶数的概率为___15.（5分）16．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.四、 双空题 （本题共计1小题，总分5分）16.（5分）15．若曲线3()2f x x x =-在点P 处的切线与直线20x y --=平行，则点P 的坐标为________ ， 并写出此切线的方程 ________五、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.（12分）18．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1CF =时，求证：1EF A C ⊥；（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求cos θ的最大值．19.（12分）19．已知()322126f x x mx x =--+的一个极值点为2.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]22-,上的最值 F20.（12分）20．将4名大学生随机安排到A,B,C,D 四个公司实习．（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X 表示分到B 公司的学生的人数，求X 的分布列和数学期望E (X )．21.（12分）21．生产某种大型产品（这两个公司每天都只能固定生产10件产品），在产品发货给客户使用之前需要对产品进行质量检测，检测结果按等级分为特等品，一等品，二等品，报废品.只有特等品和一等品是合格品，且可以直接投入使用，二等品需要加以特别修改才可以投入使用，报废品直接报废，检测员统计了甲、乙两家公司某月30天的生产情况及每件产品盈利亏损情况如下表所示：（1）分别求甲、乙两个公司这30天生产的产品的合格率（用百分数表示）. （2）试问甲、乙两个公司这30天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由.（3）若从乙公司这30天生产的不合格产品中随机抽取2件产品，记抽取二等品的件数为X ，求X 的分布列及期望.22.（12分）已知a R ∈，设函数232,1()1,1x x a x f x x a nx x ⎧-+=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A .[]1,eB.[]1,e -C.[],1e --D.[],1e -答案一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）【答案】C2.（5分）【答案】B3.（5分）【答案】B4.（5分）【答案】A5.（5分）【答案】B6.（5分）【答案】C7.（5分）【答案】A8.（5分）【答案】C二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）【答案】BD10.（5分）【答案】ACD11.（5分）【答案】ABC12.（5分）【答案】ACD三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）【答案】8014.（5分）【答案】5 715.（5分）【答案】1或1 3 -四、双空题（本题共计1小题，总分5分）16.（5分）【答案】(1,1)- x-y+2=0五、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）【答案】解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 18.（12分）【答案】（Ⅰ）过E 作EN AC ⊥于N ，连接1,,EF NF AC ，由直棱柱的性质可知，底面ABC ⊥侧面1A C ∴EN ⊥侧面1A CNF 为EF 在侧面1A C 内的射影在直角三角形CNF 中，1CN =则由114CF CN CC CA ==，得1//NF AC ，又11AC AC ⊥，故1NF AC ⊥ 由三垂线定理可知1EF A C ⊥（Ⅱ）连接AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连接ME 由（1）可知EN ⊥侧面1A C ，根据三垂线定理得EM AF ⊥∴EMN ∠是二面角C AF E --的平面角即EMN θ∠= 设FAC α∠=，则045α︒<≤︒，在直角三角形CNE 中，NE =AMN 中，3sin MN α=故tan θ=，又045α︒<≤︒，∴0sin 2α<≤故当α=45°时，tan θcos θ达到最大值5，此时F 与1C 重合故cos θ的最大值为5． （本题用空间向量解较简单，此处省略。

高二级下学期期中考试数学试卷含答案

高二级下学期期中考试数学试卷含答案

高二下学期期中考试数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|14A x x =+≤，{}|2,n B x x n N ==∈，则A B =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1,2,4D. {}0,1,2,42. 6月8日岳阳县一中高二年级组织了语文和英语基础知识竞赛活动.为了研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图（x 轴、y 轴的单位长度相同），用回归直线方程y bx a =+近似地刻画其相关关系，根据图形（见下图），以下结论最有可能成立的是（ ）A. 线性相关关系较强，b 的值为1.25B. 线性相关关系较强，b 的值为0.83C. 线性相关关系较强，b 的值为-0.87D. 线性相关关系较弱，无研究价值3. 如图，A ，B 两点在双曲线3y x=上，分别经过A ，B 两点向坐标轴作垂线段，已知阴影部分的面积S 为1，则面积12S S +等于（ ）A. 6B. 5C. 4D. 34. 已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%，现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为（ ） A.518B.34C.14D.455. 若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -等于（ ） A. 5B. 6C. 7D. 86. 设函数224,4()log ,4x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若函数()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. []1,4C. [)4,+∞D. (][),14,-∞+∞7. 已知3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 17-B. -7C. 43-D. 34-8. 已知二次函数()2f x x bx c =++，若对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()126f x f x -≤，则实数b 的取值范围是（ ） A. []5,5-B. []4,4-C. []3,3-D. []2,2-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据5，4，4，3，5，2的众数是4B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根C. 数据2，3，4，5 的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率 10. 将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 5112g π⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()g x 在区间53,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 12x π=-是()g x 图象的一条对称轴D. ,08π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心 11. 如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC 固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法： 则其中正确命题的是（ ）A. 水的部分始终呈棱柱状B. 水面四边形EFGH 的面积为定值C. 棱11A D 始终与水面EFGH 平行D. 若1E AA ∈，1F BB ∈，则AE BF +是定值12. 已知a ，b 为正实数，直线0x y a ++=与圆()()2212x b y -+-=相切，则（ ） A. 直线0x y a ++=与直线0x y b +-=的距离是定值 B. 点(),a b -一定在该圆外C.22a b +22D. 21a b +的取值范围是()0,+∞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在三个数2log 0.2，0.22，0.30.2中，则最大的数为______.14. n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =______.15. 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则mn 的最大值为______.16. 如图，在ABC △中1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，152AD =，则ABC △的面积的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某皮鞋厂有一号、二号、三号三个车间进行生产，在今年5月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三号三个车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列.（1）求第二车间生产的产品数；（2）已知一号厂生产了800双，若总共抽查了9双皮鞋，从中再抽取两双，求这两双没有在同一个车间的概率.18. 已知向量m 和n ，且()()1,cos 2m x θ=+，()()sin ,n x a θ=+，()f x m n =⋅，其中a R ∈，,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. （1）当2a =，4πθ=时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值与最小值；（2）若02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()1f π=，求a ，θ的值. 19. 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）求直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值. 20. 已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且()*1(1),2,3,4,n n n n a a n N n n a +-=∈=-.（1）求3a ，4a 的值； （2）设()*111n n b n N a +=-∈，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()*1sin 3cos cos n n n c n N b b +=∈⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21. 如图，已知圆O ：224x y +=与y 轴交于A ，B 两点（A 在B 的上方），直线l ：4y =-，点C 为直线l 上一动点（不在y 轴上），直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，直线CA ，CB 与圆的另一交点分别为P ，Q .（1）是否存在实数m ，使得12k mk =成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由； （2）证明：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标. 22. 已知函数()()22114f x x ax a =-+--，a R ∈，函数()ln g x x =. （1）当5a =时，记不等式()0f x >的解集为M ，求函数3()x y g g ex e ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，x M ∈的值域（e 是自然对数的底数）；（2）当1a <时，讨论函数()()()()()2f xg x f x g xh x ++-=的零点个数.高二下期期中考试数学试卷一、单项选择题 1-5：BBCBB 6-8：DBC1. 答案：B解析：{}{}|44|53A x x x x =+≤=-≤≤，{}{}|2,1,2,4,8n B x x n N ==∈=⋅⋅⋅，{}1,2A B =.2. 答案：B解析：散点大致在一条直线附近，且从左下角到右上角排列 所以线性相关关系较强，观察b 的值小于1，故选B. 3. 答案：C解析：面积12S S +等于3324+-=. 4. 答案：B解析：代表4次射击的结果的一组数中0与1至多出现1个，共15个， 所以估计该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为153204=. 5. 答案：B解析：作出可行域2z x y =+在点()1,1--，()2,1-时分别到到最小值和最大值， 所以()22136m n -=⨯---=. 6. 答案：D解析：如图，画出()224,4log ,4x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图象，若使函数()y f x =在区间(),1a a +上单调递增， 则12a +≤或4a ≥，解得实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞.7. 答案：B解析：3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3tan 64πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan tan64tan tan 712641tan tan64ππαπππααππα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-==- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ ⎪⎝⎭.8. 答案：C解析：二次函数()2f x x bx c =++的对称轴为直线2bx =-， 当2b >时12b-<-，函数()f x 在[]1,1-递增， ()()min 11f x f b c =-=-+，()()max 11f x f b c ==++，故()()112f f b --=-，所以()()1126f f b --=≤，23b <≤. 当2b <-时12b->，函数()f x 在[]1,1-递减， 则()()1126f f b --=≤，32b -≤<-， 当22b -≤≤时112b -≤-≤，()f x 在1,2b ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递减，在,12b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，所以()162b f f ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭且()162b f f ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭解得33b -≤≤又22b -≤≤， 所以22b -≤≤. 综上33b -≤≤. 二、多项选择题9. BCD 10. ABC 11. ACD 12. ACD 9. 答案：BCD解析：A 众数4和5，A 错，其余都对. 10. 答案：ABC解析：()sin(2)3g x x π=-，55()sin()11263g πππ=-=，由3222232k x k πππππ+≤-≤+得5111212k x k ππππ+≤≤+， ()g x 在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()g x 在区间53,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 由232x k πππ-=+得5212k x ππ=+，则()g x 图象的对称轴为直线5212k x ππ=+， 所以12x π=-是()g x 图象的一条对称轴，由23x k ππ-=得26k x ππ=+，()g x 图象的对称中心为,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， ,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是()g x 图象的一个对称中心，D 错. 11. 答案：ACD【解析】选ACD.结合题设中提供的图形信息可知:当容器底面一边BC 固定时，11////BC FG A D ，故由线面平行的判定定理可知结论“棱11A D 始终与水面EFGH 平行”成立；同时由于四边形ABFE ≅四边形DCGH ，且互相平行，则由棱柱的定义可知结论“水的部分始终呈棱柱状”正确；如图，由于水平放置时，水的高度是定值，所以当一部分上升的同时，另一面下降相同的高度，因为BF h FD =-，1AE h D E =+且1FD D E =，所以12BF AE h FD h D E h +=-++=（定值），即结论“若1E AA ∈，1F BB ∈，则AE BF +是定值”是正确的；因为水面四边形EFGH 的边长在变化，因此其面积是变化的，故结论“水面四边形EFGH 的面积为定值”的说法不正确.即命题ACD 是正确的.12. 答案：ACD【解析】因为0x y a ++=与圆()()2212x b y -+-=相切，所以122b ad ++==所以12a b ++=，即1a b +=（a ，b 为正实数）， 直线0x y a ++=与直线0x y b +-=()22a b --=A 对； ()()()222211201a b b a a --+-=+<<<点(),a b -一定在该圆内，B 错；22a b +1a b +=上的点(),a b 2，C 对；22(1)4(1)40111a b b b b b -==++-≥+++，所以21a b +的取值范围是()0,+∞.D 对. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 0.22 14. 63215. 1 16. 13. 答案：0.22解析：2log 0.20<，0.221>，0.300.21<<，所以最大的数为0.22. 14. 答案：632解析：因为{}n a 为等比数列，又32a =，2106a a =，所以()27333a q a q⨯=⨯，所以32a q ==，212a q ⨯=，所以112a =，()61616312a q S q -==-.15. 答案：1解析：112222m nAO AB AC AM AN =+=+，又M ，N ，O 三点共线，所以122m n +=，而2m n+≥所以1mn ≤当且仅当m n =时取等号.16.解析：3BD DC =，1344AD AB AC =+，又2AD = 所以2222193cos 161681344AD AB AC c b bc BAC ⎛⎫=+=++∠ ⎪⎝⎭22193161632c b bc =++，221519315416163232c b bc bc =++≥，所以8bc ≤，又sin BAC ∠=ABC △的面积11sin 822bc BAC ∠≤⨯=. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解析：（1）a ，b ，c 构成等差数列所以2a c b +=，第二车间产品数为1360012003⨯=双. （2）一号车间生产了800双，由（1）知二号车间生产了1200双， 所以三号车间生产了1600双.依分层抽样总共抽查了9双皮鞋，知从一号、二号、三号车间分别抽取了2双，3双，4双皮鞋. 这两双没有在同一个车间的概率为1361313618++-=. 18. 解析：()()1,cos 2m x θ=+，()()sin ,n x a θ=+， ()()()sin cos 2f x m n x a x θθ=⋅=+++，（1）当a =4πθ=时()sin 42f x m n x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos )sin 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 因为[]0,x π∈，所以3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故函数()f x 在[]0,π时的最大值为2，最小值为-1. （2）由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1f π=，得sin cos 2022sin()cos(2)0a a ππθθπθπθ⎧⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+++=⎩， 得cos sin 20sin cos 20a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩，即2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩， 而,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭知cos 0θ≠， 所以()12sin 02sin 1sin 1a a a θθθ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 解得16a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩. 19. 证明：（1）∵ABCD 是矩形，∴//BC AD ，又∵BC ⊄平面ADE ，∴//BC 平面ADE ，∵//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，∴//CF 平面ADE ，又∵BC CF C =，∴平面//BCF 平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ，∴//BF 平面ADE .解析：（2）∵CD AD ⊥，CD DE ⊥，∴ADE ∠即为二面角A CD F --的平面角， ∴60ADE ∠=︒，又∵AD DE D =，∴CD ⊥平面ADE ，又∵CD ⊂平面CDEF ，∴平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于O ，则AO ⊥平面CDEF .连结CO ，所以直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，AC =AO =所以sin 13AO ACO AC ∠==. 直线AC 与平面CDEF20. 解析：（1）因为数列{}n a 中，11a =，214a =，()*1(1),2,3,4,n n n n a a n N n n a +-=∈=-. 所以2321(21)1412724a a a -===--，34312(31)17131037a a a ⨯-===--， 故317a =，4110a =. （2）当2n ≥时，1(1)1111(1)(1)(1)1n n n n n nn a n a n a n a n a n a +---=-==----， 所以当2n ≥时，11n n n b b n -=-，故*11()n n n b b n N n++=∈. 由累乘得1n b nb =，又13b =，所以3n b n =.（3）因为*1sin 3()cos cos n n n c n N b b +=∈⋅， 所以sin 3sin[(33)(3)]cos(33)cos(3)cos(33)cos(3)n n n c n n n n +-==+⋅+⋅*tan(33)tan 3 ()n n n N =+-∈. 所以123n n S c c c c =++++(tan 6tan3)(tan9tan 6)(tan12tan9)(tan(33)tan3)n n =-+-+-+++- ()tan 33tan3n =+-.21. 解析：（1）设0(,4)C x -，则1002(4)6k x x --==--，2002(4)2k x x ---==--， 由12k mk =可得3m =，所以存在m 的值为3；（2）证明：直线CB 方程为22y k x =-，与圆方程联立得：22224y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 所以，222(1)40k x x k x +-=，解得0x =或22241k x k =+， 所以2222222422,11k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理可得2112211422,11k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，即222222212218,9191k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以2222222222222222221822911311244911PQk k k k k k k k k k k ---++-==--++. 所以直线PQ 的方程为222222222222314141k k k y x k k k ⎛⎫---=- ⎪++⎝⎭， 即2223114k y x k -=-，所以，直线PQ 经过定点()0,1-. 22. 解析：（1）5a =时()0f x >即()2540f x x x =-+->的解集为()1,4M =， 函数23()ln 2ln 3x y g g ex x x e ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭， 当()1,4x ∈时，令()[)2ln 0,2ln 2234,3t x y t t y =∈⇒=--⇒∈--.（2）()()()()()()(),,f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩. ①因为()101g =⇒为()g x 的一个零点，因为211(1)1(1)04a f a a <⇒=---<， ∴()()110h g ==，即1为()h x 的零点.②当1x >时，()0g x >，()()0h x g x ≥>，∴()h x 在()1,+∞上无零点.③当01x <<时，()0g x <，()g x 在()0,1上无零点，∴()h x 在()0,1上的零点个数是()f x 在()0,1上的零点个数，∵()()210104f a =--<，()()2111104f a a =---<，21a ∆=-， （i ）当12102a a -<⇒<时，函数()f x 无零点，即()h x 在()0,1上无零点 （ii ）当12102a a -=⇒=时，函数()f x 的零点为14，即()h x 在()0,1上有零点14. （iii ）当121012a a ->⇒<<时，21024a a f -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，函数()f x 在()0,1上有两个零点，即函数()h x 在()0,1上有两个零点。

高二级期中考试(数学)试卷

高二级期中考试(数学)试卷
的方程是 ,即 ,故选AC.
11.（5分）【解析】以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系。
设 ，则 ,
A正确；平面 的一个法向量
平面 的一个法向量 ，B错误； C错误；
平面 的一个法向量为 D正确。故选AD。
12.（5分）【解析】对于选项A：由 可得 ，由 ，可得 ，所以直线恒过定点 ，故选项A不正确；对于选项B：圆心 到直线 的距离等于 ，圆的半径 ，平行于 且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于 ，故选项B正确；对于选项C：由 ，可得 ，圆心 ， ，由 ，可得 ，圆心 ， ，由题意可得两圆相外切，所以 ，即 ，解得 ，故选项C正确；对于选项D：设点 坐标为 ，所以 ，即 ，因为 、 分别为过点 所作的圆的两条切线，所以 ， ，所以点 在以 为直径的圆上，以 为直径的圆的方程为 ，整理可得 ，与已知圆 相减可得 ，消去 ，可得 ，即 ，由 ，可得 ，
所以以 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
……………………1分
则 ，……………………பைடு நூலகம்分
因为点M，N分别 ， 的中点，所以 ,所以 ，……3分
所以 ，所以 ，所以 ……………………4分
（2）因为 ，……………………6分
所以 ……………………8分
（3）
设平面 的法向量 ，则 即 取 ………………10分
又 为 的中点， 在 上的投影 为 的中点， 解法三：连接 ，取 中点 ，连接 ，正四面体 中棱长为1， 分别是 的中点， ， 是异面直线 ， 所成的角， ，
异面直线 ， 所成的角的余弦值为
16.（12分）【解析】∵圆C的方程可化为： ，∴圆C的圆心为 ，半径为1。∵由题意，直线 上至少存在一点 ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点；∴存在 ，使得 成立，即 。∵ 即为点 到直线 的距离 ，∴ ，解得 。

黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试(11月)数学试题(含解析)

黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试(11月)数学试题(含解析)

牡丹江二中2024-2025学年度第一学期高二学年期中考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。

考生作答时，请将答案答在答题卡上。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本试卷主要命题范围：选择性必修第一册（第二章第三章）。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，原点（0，0）到直线的距离为C.2D.32.抛物线的准线方程为A. B. C. D.3.若直线与圆交于，两点，则A. B.12C. D.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为.若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线的离心率取值范围为A.（1，2）B. C. D.5.已知椭圆，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，是椭圆上一点，是的外角平分线，过作的垂线，垂足为，则A. B. C. D.6.已知圆与圆相切，则的最小值为A.5B.3C.27.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是~20x y +-=28y x =132y =132y =-116y =116y =-34130x y --=()()222336x y -++=A B AB =()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F 2c 12F F 20ax by ac -+=C ()2,+∞(]1,2[)2,+∞()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F C 2c M C l 12F MF ∠2F l P OP =abc2a()()221:29O x m y -++=()()222:21O x n y +++=22m n +:20l kx y --=:1C x =-kA. B. C. D.8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔-蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.如过椭圆外的一点作椭圆的两为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，分别与圆交于，两点，直线与椭圆相交于，两点，则下列结论不正确的是A.椭圆的离心率为B.到椭圆C.若动点在椭圆上，记直线，的斜率分别为，，则D.面积的最大值为二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为A.4B. C.D.610.设有一组圆，下列命题正确的是A.不论如何变化，圆心始终在一条直线上B.所有圆均不经过点（3，0）C.经过点（2，2）的圆有且只有一个D.所有圆的面积均为411.在平面直角坐标系中，凸四边形的4个顶点均在抛物线上，则A.四边形不可能为平行四边形B.存在四边形，满足4,43⎛⎫⎪⎝⎭4,23⎛⎤⎥⎝⎦442,,233⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭2222:10x y D a b a b+=>>（）()22:1044x y C m m +=<<22:7E x y +=E M C E P Q PQ C A B C 12M C 1+N C AN BN 1k 2k 1234k k =-MPQ △721F 2F 22:143x y C +=P C 12PF F △()()()22:4k C x k y k k -+-=∈R k C k C k C xOy ABCD 2:2E y x =ABCD ABCD A C∠∠=C.若过抛物线的焦点，则直线，斜率之积恒为一2D.若为正三角形，则该三角形的面积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且与直线平行的直线方程为__________.13.曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为__________.14.椭圆的一个焦点是，为坐标原点，过的直线交椭圆于，两点.若恒有，则椭圆离心率的取值范围为__________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（13分）已知直线，直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.16.（15分）（1）已知双曲线的顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率，求双曲线的标准方程；（2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.求线段的长.17.（15分）已知圆与圆的公共弦所在的直线是，且圆的圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程.18.（17分）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4.（1）求抛物线的方程；（2）过点（2，0）作直线交抛物线于点，，求面积的最小值（其中为坐标原点）.19.（17分）已知椭圆的一个顶点为.（1）求椭圆的方程；AB E F OA OB OAC △()3,4P 210x y -+=221:20C x y x ++=222:480C x y x y m +--+=m ()222210x y a b a b+=>>()1,0F O F l A B 222OA OB AB +<()()1:21210l a x a y ---+=()2:1210l a x y +--=12l l ∥a 12l l ⊥a C x 54e =C l 24y x =F A B AB 22:2830M x y x y ++--=C :10l x y --=C x C m C m ()2:20C y px p =>F P P F C A B ABO △O ()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1P C（2）直线与椭圆交于、两点，且，求的值.:l y x m =+C A B PA PB ⊥m牡丹江二中2024-2025学年度第一学期高二学年期中考试・数学参考答案、提示及评分细则1.A 原点（0，0）到直线2.B 由化得，故物物线的标准方程为，所以，则，所以抛物线的准线方程为.3.C 由圆的方程为可知圆心为（2，-3），半径，则圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式可得.4.D 以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点，则圆心到直线的距离，所以双曲线的离心率.5.A 延长交的延长线于点，如图所示.平分，且，为等腰三角形，，且为的中点，又，，为的中点，为的中点，6.C 由题，圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1.若圆与圆外，即，则，即，当且仅当时等号成立.若圆与圆内切，则，即，则20x y +-==28y x =218x y =218x y =128p =116p =28y x =1232p x =-=-()()222336x y -++=6r =34130x y --=1d AB ==12F F 222x y c +=20ax by ac -+=2d a c ==≤2ce a=≥2F P 1F M N PM 2NMF ∠2MP F N ⊥2MNF ∴△2MF MN =P 2F N 122MF MF a += 112MF MN F N a ∴+==P 2F N O 12F F 11.2OP F N a ∴==1O ()1,2O m -2O ()2,2O n --1O 2O 314=+=()216m n +=222422m n m n ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭228m n +≥m n =1O 2O 312=-=()24m n +=，即，当且仅当时等号成立.综上，的最小值为2.7.B直线恒过定点，曲线即：，，曲线表示以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆，如图所示，直线与曲线有两个交点，当过点的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，此时，解得；当过点的直线也过点时有2个交点，此时，.8.D 椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，椭圆，，，则，椭圆的离心率，故A 正确；点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B 正确；根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径，与椭圆交于两点，，点，关于原点对称，设，，，，故C 正确；因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D 错误.9.BC 由椭圆，得：，，当点在椭圆上时，周长最大，为；当点在轴上时，去最小值，为.又因点为椭圆内部的动点，所以周222122m n m n ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭222m n +≥m n =22m n + :20l kx y --=()0,2M -:1C x =-()()22111x y -+-=1x ≥∴C ()1x ≥ l C ∴M 1143k =M ()1,0A ()202210k --==-423k ∴<≤ ()22:1044x y C m m+=<<22:7E x y +=47m +=3m =∴22:143x y C +=24a =23b =21c =∴12c e a ==M 22:7E x y +=()1,0F MF 1MP MQ ⊥PQ E PQ A B A B ()11,A x y ()11,B x y --()00,N x y ()2222010101012222010101013344AN BNx x y y y y y yk k x x x x x x x x ---+-⋅=⋅===--+--D PQ PQ =M PQ r =PQM △172⨯=22:143x y C +=2a =1c =P 12PF F △226a c +=P x 44c =P C 12PF F △长的取值范围为（4，6），故选BC.10.AB 由题意可知：圆的圆心，半径.对于A ，不论如何变化，圆心始终在直线上，故正确；对于，令，整理得，因为，可知方程无解，所以所有圆均不经过点（3，0），故B正确；对于C ，令，整理得，因为，可知方程有两个不同的解，所以经过点（2，2）的圆有且只有两个，故C错误；对于D ，因为半径，所以所有圆的面积均为，故D 错误.故选AB.11.ABD 对于A ，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与至多只有一个交点，因此，四边形不可能为平行四边形，故A 正确；对于B ，如图1所示，在抛物线上任取，两点（，分居轴两侧）连接，作的垂直平分线交抛物线于，两点，连接，，，，则，故B 正确；对于C ，设，，，，解得，所以，故C 错误；对于D ，设若为正三角形，如图2所示，由抛物线的对称性可知，线，则，解得，，，D 正确.故选ABD.12. 设与直线平行的直线方程为，把点的坐标代入直线方程，求得，所以所求直线方程为.13.（4，20） 圆，即，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，则必有，即，两圆圆心的距离，若两圆有4条公切线，则两圆外()()()22:4k C x k y k k -+-=∈R (),C k k 2r =k (),C k k y x =A B ()()22304k k -+-=22650k k -+=()2642540=--⨯⨯=-<△k C ()()22224k k -+-=2420k k -+=()2441280=--⨯⨯=>△k C 2r =224ππ⨯=22y x =ABCD A C A C x AC AC B D AB AD CB CD A C ∠∠=211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭12221212422OA OB y y k k y y y y ⋅=⋅=12112222121121022112222AB AF y y y y k k y y y y y y --=⇒=⇒=+---121y y =-4OA OB k k ⋅=-OAC △30AOx ∠=OA k =OA y x =：2,2,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩6A x =A y =OA ===1sin602OAC S OA OC =⋅= △220x y --=210x y -+=20x y m -+=()3,4P 2342m =-⨯+=-220x y --=221:20C x y x ++=()2211x y ++=()11,0C -11r =222:480C x y x y m +--+=()()222420x y m -+-=-()22,4C 2r =200m ->20m <125C C ==离，必有，解得，则的取值范围为（4，20）.14. 设过点的直线的直线方程为与椭圆交于，两点，设点，，，联立方程得，整理为，，，，，是钝角，，，，，整理为恒成立，，即，，解得或，，离心率.15.解：（1），， (2)分整理得，解得或，……5分当时，与重合，舍去，故. (7)分（2）解：，，……9分，或.……13分16.解：（1）①由题意，解得，，则，……4分所以双曲线的标准方程为.……6分（2）由题意，抛物线的焦点，，则直线的方程为，……8分51>+4m >m ⎛ ⎝F l 1x my =+A B ()11,A x y (2B x )2y ()2222221b my a y a b ++=()2222222220b m a y mb y b a b +++-=212222mb y y b m a ∴+=-+22212222b a b y y b m a -=+222OA OB AB +< 222cos 02OA OB ABAOB OA OB∠+-∴=<⨯AOB ∠∴12120x x y y ∴+<()()1212110my my y y ∴+++<()()21212110m y y m y y ∴++++<()2222222222222110b a b m b m b m a b m a -∴+⋅-+<++222221a b m a b ++>22221a b a b+∴<()222211a a a a +-<-42310a a ∴-+>2a >2a <a ∴>∴1c e a a ⎛==∈ ⎝12l l ∥()()()()21221a a a ∴-⋅-=-⋅+250a a -=0a =5a =0a =1l 2l 5a =12l l ⊥ ()()()()211220a a a ∴-⋅++-⋅-=22350a a ∴+-=1a ∴=52a =-28,5,4a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩4a =5c =2229b c a =-=221169x y -=24y x =()1,0F 2p =l 1y x =-设，，联立得，所以，……12分所以.……15分17.解：（1）由已知可设圆的方程为：，①圆②①一②可得：，即为的方程，……3分所以有，，所以圆的方程为.……6分（2）由（1）知圆心的坐标为（3，0），半径为2，由已知当直线不过原点时可设的方程为，……7分因为直线与圆所以直线的方程为.……10分又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等且为0，所以又可设直线的方程为所以直线的方程为.……14分综上直线的方程为或.……15分18.解：（1）由题意知，，所以.……5分（2）由（1）知，抛物线，直线过（2，0），可设直线的方程为，联立.……9分设，，不妨设，，……12分()11,A x y ()22,B x y 21,4,y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x -+=126x x +=12628AB x x p =++=+=C 220x y Dx F +++=22:2830,M x y x y ++--=()2830D x y F -+++=l 2836111D F D -+==⇒=---5F ⇒=C 22650x y x +-+=C m m 0x y a ++=m C 23a ⇒=-±m 30x y +-±=m y kx =2k =⇒=m y x =m 30x y +-±=y x =1342p +=2p ∴=24y x =2:4C y x =AB AB 2x ty =+224,4802y x y ty x ty ⎧=⇒--=⎨=+⎩()11,A x y ()22,B x y 10y >128y y ∴=-当且仅当，即时取等号，的最小值为.……17分19.解：（1）设椭圆的半焦距为.由题意得……1分解得，所以椭圆的方程为.……3分（2）由得.……4分由，解得.……5分设，，则，，所以，……8分，，.……11分因为，所以，则，则，则，解得或.……15分当时，直线过点，则不满足，所以.……17分12111118822AOB S y y y y y y -∴=⨯⨯-=-=+≥=△118y y =1y =AOB S ∴△c 2221,,b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2a =C 2214x y +=22,1,4y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2258410x mx m ++-=()()22845410m m =-⨯⨯->△m <<()11,A x y ()22,B x y 1285mx x +=-()212415m x x -⋅=1212822255m y y x x m m m +=++=-+=()()()()2222121212124184555m m m y y x m x m x x m x x m m m--⎛⎫⋅=+⋅+=+++=+-+=⎪⎝⎭()111PA x y =- ，()22,1PB x y =-PA PB ⊥0PA PB ⋅=()()1212110x x y y +--=()12121210x x y y y y +-++=()22414210555m mm --+-+=35m =-1m =1m =:1l y x =+P PA PB ⊥35m =-。

黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

牡丹江二中2023—2024学年度第二学期高二学年期中考试数 学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：必修第二册（第九、十章），选择性必修第三册.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A. 15 B. 25C. 35D. 75【答案】A 【解析】【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量.【详解】由题意得样本容量为.故选：A2. 下列说法错误的是（ ）A. 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高B. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位D. 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好【答案】B 【解析】【分析】AD 选项，根据残差分析可得AD 正确；B 选项，由卡方的定义可知B 错误；C 选项，由一元线性775015350⨯=22⨯0.212ˆyx =+x ˆy 2R回归方程可知，故C 正确.【详解】A 选项，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高，A 正确；B 选项，在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越小，B 错误；C 选项，由于，故在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位，C 正确；D 选项，越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D 正确.故选：B3. 展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可.【详解】二项系数和为，则，所以的通项为：，其中，则展开式中的有理项满足，故，共3项.故选：C .4. 从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用组合知识求出一共有的情况数，再用列举法求出这三个数作为边长可以构成三角形的情况数，从而求出概率.【详解】6个整数中取3个不同的数，共有种情况，0.2b= 22⨯0.2b= 0.212ˆy x =+x ˆy2R nx ⎛- ⎝264n =6n=6x ⎛⎝4663166C (C (1)r rrrr rr T xx--+==⋅-⋅,6r r ∈≤N 463r ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 0,3,6r r r ===75%70%65%60%36C 20=三个数作为边长可构成三角形的有，共有13种情况，所以概率为故选：C.5. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是（ ）A. 与是互斥事件，也是对立事件B. 与是互斥事件，也是对立事件C. 与是互斥事件，但不是对立事件D. 与是互斥事件，也是对立事件【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A 错；与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B 错；与是互斥事件，且，所以与也是对立事件，故C 错；与是互斥事件，且，所以与也是对立事件，故D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题.6. 某中学共有人，其中男生人，女生人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：()()()()()()()()()()2,3,4,2,4,5,2,5,6,2,6,7,3,4,5,3,4,6,3,5,6,3,5,7,3,6,7,4,5,6,()()()4,5,7,4,6,7,5,6,70000131006520⨯=A B C D ()0.2P A =()0.2P B =()0.3P C =()0.3P D =A B +C B C +D A C +B D +A B C D ++A B C D A B +C ()()()()()0.71P A B P C P A P B P C ++=++=≠A B +C B C +D ()()()()()0.81P D P B C P D P B P C ++=++=≠B C +D A C +B D +()()()()()()1P A C P B D P A P B P C P D +++=+++=A C +B D +A B C D ++()()()()()()1P A P B C D P A P B P C P D +++=+++=A B C D ++500035001500300附：，其中.已知在样本数据中，有位女生的每周平均体育锻炼时间超过小时，根据独立性检验原理，我们A. 没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”B. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”【答案】B 【解析】【分析】根据题设收集的数据，得到男生学生的人数，进而得出的列联表，利用计算公式，求解的值，对比临界值表即可作出判断.【详解】从人中，其中男生人，女生人，采用分层抽样抽取一个容量为人的样本，其中男女各抽取的人数为人，人，由频率分布直方图可知，每周体育锻炼时间超过小时的人数的频率为，在人中每周体育锻炼时间超过小时的人数为人，又在每周体育锻炼时间超过小时的人数中，女生有人，则男生有人，可得如下的的列联表：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过小时()()()()()22=n ad bc K a c b d a b c d -++++n a b c d =+++20()P K k ≥0.100.050.010.0050k 2.7063.8416.6357.87960495%95%99.5%22⨯2K 50003500150030035002105000030⨯=1500903500000⨯=40.75∴30043000.75225⨯=46022560165-=22⨯4453075每周平均体育运动时间超过小时总计结合列联表可算得，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”，故选：B.【点睛】本题主要考查了独立性检验的基础知识的应用，其中根据题设条件得到男女生的人数，得出的列联表，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）附：若，则，.A. 0.1587B. 0.1359C. 0.2718D. 0.3413【答案】B 【解析】【分析】根据函数没有零点得到的范围，然后结合正态曲线的对称性得到的值，结合正态曲线即可得到对应概率.【详解】函数没有零点,即方程无实根，，即，又函数没有零点的概率是0.5，，由正态曲线的对称性可知，即，，所以故选:B.8. 中国空间站（China Space Station ）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）A. 450种B. 72种C. 90种D. 360种4165602252109030022300(456016530) 4.762 3.8412109075225K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴95%22⨯~(,1)N ξμ2()2f x x x ξ=+-(01)P ξ<≤=()2~,N ξμσ()0.6827P μσξμσ-<≤+≈(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈ξμ2()2f x x x ξ=+-220x x ξ+-=440ξ∴∆=+<1ξ<- 2()2f x x x ξ=+-∴()10.5P ξ<-=1μ=-~(1,1)N ξ-∴1μ=-1σ=2,0,23,21μσμσμσμσ∴-=-+=-=-+=()()10.95450.6827(01)31200.135922P P P ξξξ-<≤=-<≤--<≤==⎡⎤⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.【详解】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：分人数为的三组，共有种；第二种：分人数为三组，共有种；所以不同的安排方法共有种.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 给出以下四个说法，正确的有（ ）A. 如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C. 在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好D. 设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上【答案】BCD 【解析】【分析】利用回归分析的相关定义对各个选项逐一分析判断即可得到结果.【详解】选项A ，因为经验回归方程必过样本点的中心，非样本点，故选项A 错误；选项B ，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B 正确；选项C ，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，即模型的拟合效果越好，故选项C 正确；的6123--12336533C C C A 360⋅=222--2223642333C C C A 90A ⋅=36090450+=()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ˆˆˆy bx a =+()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 2R 2R ,x y r 1r =ˆˆˆy bx a =+2R选项D ，因为两个变量之间的线性相关系数为的绝对值越大，数据就越集中在回归方程附近，当时，点就在直线上了，所以选项D 正确.故选：BCD.10. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）010.60.4A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】【分析】结合期望和方差公式，以及期望和方差的线性公式，即可求解．【详解】解：由分布列的性质可得，，故A 正确；，故B 正确，，，故C 正确，，故D 错误．故选：ABC ．11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（ ）,x y r 1r =X Y 21Y X =+XP()0.4E X =()0.24D X =() 1.8E Y =()0.48D Y =()00.610.40.4E X =⨯+⨯=()()22()00.40.610.40.40.24D X =-⨯+-⨯=21Y X =+ ()(21)2()120.41 1.8E Y E X E X ∴=+=+=⨯+=2()(21)2()40.240.96D Y D X D X ∴=+==⨯=12611,1,2,3,5,8,13,A. 由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想B. 由 “在相邻两行中， 除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 ；C. 第条斜线上各数字之和为；D. 在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少【答案】ABD 【解析】【分析】根据二项式系数与杨辉三角判断AB ；通过观察归纳出第条斜线上的数的特征，进而判断CD 选项.【详解】解：根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得，成立，故AB 选项正确；对于CD 选项，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为，第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为，第5条斜线上的数为，第6条斜线上的数为，第7条斜线上的数为，由此，归纳得到：第条斜线上的数依次为：第条斜线上的数依次为：所以，第条斜线上各数字为：，和为，故C 错误；在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设样本数据的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．m n mn nC C -=111r r r n n n C C C -+=+955()5n n ≥n m n mn n C C -=11r r r n nn C C C -+=+00C 01C 0121,C C 0132,C C 012432,,C C C 012543,,C C C 01236543,,,,C C C C *2()n n N ∈0121212223,,,,,n n n n n C C C C ---- (21)()n n N +∈01222122,,,,.nn n n n C C C C -- 94876012354,,,,C C C C C 0123476548171510134C C C C C ++++=++++=()5n n ≥122024,,,x x x ⋅⋅⋅x 2s ()121x +()221x +⋅⋅⋅()202421x +22s x -1-【详解】数据，，，的平均数为，方差为，所以，，即，则，因为，所以，因函数在上单调递减，故当时，的最大值是．故答案为：．13. 由数字组成的比1300大且没有重复数字的正整数的个数是______．【答案】22【解析】【分析】根据千位为1和不为1进行分类，由排列组合即可求解.【详解】当千位和百位分别为1，3时，则十位和个位有个符合条件的，当千位和百位分别为1，4时，则十位和个位有个符合条件的，当千位为不为1时，共有个符合条件的，故共有个.故答案为：22.14. 若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为______．【答案】1【解析】【分析】由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解．【详解】因为，所以随机变量的值只能为，()121x +()221x +L ()202221x +()21x +22224s s =()22144x s +-=21122s x =-2222111722416s x x x x ⎛⎫-=--=--- ⎪⎝⎭11022x -≥1x ≥211647y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭[)1,+∞1x =22s x -1-1-1,2,3,422A 2=22A 2=1333C A 18=182222++=X ()123P X x ==()213P X x ==()43E X =()29D X =12x x -12,x x 21133+=x 12,x x所以，解得或，∴．故答案为：1．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.（1）求取到次品的概率；（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【答案】（1） （2）甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：【解析】【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.小问1详解】记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，则,，取到次品的概率为【小问2详解】若取到的是次品，【1222122143332414233339x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩125323x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212x x =⎧⎨=⎩121x x -=25%35%40%5%4%2%0.0345256928691669A A B B C C D ()()()0.25,0.35,0.4P A P B P C ===()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.350.040.40.020.0345=⨯+⨯+⨯=此次品由甲车间生产的概率为：此次品由乙车间生产的概率为：此次品由丙车间生产的概率为：16. 某地区100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数如下：（1）列出样本的频率分布表；（2）补全频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（3）当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？【答案】（1）分布表见解析；（2）频率分布直方图见解析；平均数为2.02，中位数为2.02，众数为2.25； （3）政府的解释是正确的，原因见解析.【解析】()()()()()()()()()0.250.050.0125250.03450.034569P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C ⨯====++()()()()()()()()()0.350.040.014280.03450.034569P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C ⨯====++()()()()()()()()()0.40.020.008160.03450.034569P C P D C P C D P A P D A P B P D B P C P D C ⨯====++t [)0,0.5,4;[)0.5,1,8;[)1,1.5,15;[)1.5,2,22;[)2,2.5,25;[)2.5,3,14;[)3,3.5,6;[)3.5,4,4;[]4,4.5,23t 85%【分析】（1）根据100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数列出频率分布表.（2）根据（1）的频率分布表画出直方图，根据众数、中位数和平均数定义求解. （3）先算出人均月用水量在以上的居民所占的比例即可.【小问1详解】频率分布表如下：分组频数频率40.0480.08150.15220.2225025140.1460.0640.0420.02合计1001【小问2详解】频率分布直方图如图：平均数：.t 3t [0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)[3.5,4)[4,4.5)0.040.250.080.750.15 1.250.22 1.750.25 2.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.中位数：用水量在的频率为：，所以中位数为.众数为：.【小问3详解】因为人均月用水量在以上的居民所占的比例为，即大约有的居民月用水量在以上，的居民月用水量在以下，因此政府的解释是正确的.17. 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，某机构对近五年该农产品的年产品和价格进行统计得到的数据如下表：12345（1）求关于的回归直线方程；（2）根据（1）求得的回归直线方程，估计年产量为6吨时该农产品的价格.参考公式：.【答案】（1） （2）千元/吨【解析】【分析】（1）结合表格数据先算出，，，，然后利用公式即可求出线性回归方程..0.14 2.750.06 3.250.04 3.750.02 4.25 2.02+⨯+⨯+⨯+⨯=[0,2)0.040.080.150.220.49+++=0.50.492 2.020.5-+=2 2.52.252+=3t 6%4%2%12%++=12%3t 88%3t x y x y9.07.0 6.05.0 3.0y x ˆˆˆy a bx=+()()()1122211ˆˆˆ;n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑ˆ 1.410.2yx =-+1.8x y 51i ii x y =∑521ii x=∑5152215ˆˆˆ;5i ii ii x y xybay bx xx ==-==--∑∑（2）在第（1）问的线性回归方程中代入，解出即为预测农产品价格.【小问1详解】，，，，所以.【小问2详解】当时，，所以年产量为6吨时该产品的价格约为千元/吨.18. 某企业通过调查问卷的形式对本企业900名员工的工作满意程度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：女47363248344443474641434250433549男3735344346363840393248334034（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平局得分为 “满意”，否则为 “不满意”，请完成下列表格：“满意”的人数“不满意”的人数合计女员工16男员工14合计306x =ˆy123459.07.0 6.0 5.0 3.03,655x y ++++++++====51192736455376,i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑521149162555ii x==++++=∑5152221576536ˆ 1.455535i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑ˆˆ6( 1.4)310.2ay bx =-=--⨯=ˆ 1.410.2yx =-+6x = 1.461ˆ0.2 1.8y=-⨯+= 1.8（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：P(K 2K)0.100.0500.02500100.001K2.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）240；（2）见解析；（3）见解析【解析】【详解】分析：第一问首先从表中查找得分大于45分的人数，求得比值即为概率，应用对应的关系式求得相应的人数；第二问按照条件，将男女员工对应的分数分析比较，进行分类，从而将相应的数据填入表中，得到列联表；第三问利用公式求得观测值，判断出结果即可.详解：（1）从表中可知，30名员工有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他（她）的得分大于45分的概率是，所以估计此次调查中，该单位约有名员工的得分大于45分；（2）依题意，完成列联表如下：“满意”的人数“不满意”的人数合计女员工12416男员工31114合计151530（3）假设：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得的观测值：查表得能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满意有关.点睛：该题考查的是有关统计的问题，一是利用样本数据中满足条件的人数所占的比例估计对应的概率，.≥()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++843015=490024015⨯=22⨯0H 2κ()22301211348.571 6.63515151614κ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯()26.6350.010P κ≥=∴再用总人数乘以概率得到总体当中满足条件的人数，二是利用分数要求将对应的分类，得到列联表，三是应用公式求得观测值，再与表中的临界值比较得出结果.19. 某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．（1）根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；（2）若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．）（3）该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．【答案】（1）平均数为13.0百元，中位数为13百元 （2）14 （3）分布列见解析，1【解析】【分析】（1）由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；（2）由（1）知，，由正态分布的性质求出的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数；（3）求出Y 的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y 的分布列，再由期望公式求出Y 的数学期望.【小问1详解】[)16,18[]18,20(),6.25X N μ～μX ()2,X N μσ～()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈Y Y 13μ= 2.5σ=()18P X >由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：（百元）．∵，，∴中位数在内，设中位数为x 百元，则，解得．∴估计中位数为13百元．【小问2详解】由（1）知，∵，，∴，∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．【小问3详解】由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个），∴Y 的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．∴Y 的概率分布列为Y123P∴．[]6,8(]8,10(]10,12(]12,14(]14,16(]16,18(]18,2070.0890.10110.20130.24150.20170.12190.0612.9613.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈0.080.100.200.5++<0.080.100.200.240.5+++>(]12,14()0.080.100.200.12120.5x +++-=13x =13μ=2 6.25σ= 2.5σ=()()10.95451820.0232P X P X μσ->=>+≈≈6000.02314⨯≈500.126⨯=500.063⨯=()3639C 2050C 8421P Y ====()216339C C 45151C 8428P Y ====()126339C C 1832C 8414P Y ====()3339C 13C 84P Y ===5211528314184()515310123121281484E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=。

黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025届高三上学期期中考试(11月)数学试题

黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025届高三上学期期中考试(11月)数学试题

黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025届高三上学期期中考试（11月）数学试题一、单选题1．已知集合{}{}212,28|0|M x x N x x x =-<=+-<，则M N = （）A ．{}|43x x -<<B ．{}|12x x -<<C ．{}|23x x -<<D ．{}|13x x -<<2．已知函数133,1()log (3),1x x f x x x +⎧<=⎨+≥⎩，则()()3log 2f f =（）A ．3log 6B ．3log 8C ．2D ．33．若复数i1ia +-为纯虚数，则它的共轭复数是（）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i-4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．115．若函数2()ln 2x f x x =-在(0,)k 上不单调，则实数k 的取值范围是（）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]6．已知数列{}n a 的通项公式2910n a n n =--，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若使n S 取得最小值，则n =（）A ．5B ．5或6C ．10D ．9或107．中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°.若取30θ=︒，则下列结论不正确的是（）A ．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为C．正四棱锥的体积为3D．正四棱锥的侧面积为28．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且1cos 2ACB ∠=-，边AB 上的角平分线CD 的长度为t ，且2AD BD =，则ct=（）A ．372B ．32C ．3D ．32或3二、多选题9．设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若//m α，m β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．如图所示的曲线为函数()()cos f x A x ωϕ=-（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象，将()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32，再将所得曲线向右平移π8个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A ．函数()g x 在5π13π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 图象的一个对称中心C ．直线π4x =为()g x 图象的一条对称轴D ．函数()g x 在3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11．已知数列{}n a 满足12a =，11,2,n nn n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．524a =B ．2nn b n =⋅C ．12n n T n +=⋅D ．()122122n n S n +=-+三、填空题12．在ABC V 中，3,4AD DC P = 是直线BD 上一点，若35AP mAB AC =+，则实数m 的值为.13．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是___________.14．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于．四、解答题15．已知函数()2sin sin cos 23f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间和最值；（Ⅱ）若函数()()g x f x a =-在0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围．16．已知数列{}n a 满足111112,2n n a a a +=-=.等比数列{}n b 的公比为3，且1310b b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记22nn n a c b n =++，求数列{}n c 的前n 项和n T .17．在ΔA 中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若3B π=,且3()()7a b c a b c bc -++-=.（Ⅰ）求cos C 的值;（Ⅱ）若5a =,求ΔA 的面积.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221nn n S a +=+(1)求1a ，并证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列：(2)若222k k a S <，求正整数k 的所有取值.19．已知函数()2e xf x ax =-．(1)若函数()f x 的图象与直线1y x =-相切，求实数a 的值；(2)若函数()()1g x f x x =-+有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．。

高二第二学期期中考试数学试卷及答案(word版)

高二第二学期期中考试数学试卷及答案(word版)

高二第二学期期中考试数学试卷一、选择题1.适合3(8)x i x y i -=-的实数x ,y 的值为( ) A. 0x =且3y = B. 0x =且3y =- C. 5x =且2y = D. 3x =且0y =2.用分析法证明:欲使①A B >,只需②C D <,这里①是②的( ) A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.若()()22132x x x i -+++是纯虚数,则实数x 的值是( )A.1B.±1C.-1D.-24.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程20x ax b ++=没有实根 B.方程20x ax b ++=至多有一个实根 C.方程20x ax b ++=至多有两个实根 D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根5.用三段论推理:“任何实数的平方大于0,因为a 是实数,所以20a >”,你认为这个推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的6.用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L ”时,由n k =的假设证明1n k =+时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( )A.1111221k k k +++++L B. 1111122122k k k k +++++++L C. 1112221k k k +++++L D. 11122122k k k ++++++L7.设62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的3x 系数为A ,二项式系数为B ,则A B =( ) A. 4 B. 4- C. 62 D. 62- 8.曲线1ex y x -=在点()1,1处切线的斜率等于( )A. 2eB. eC. 2D. 19.如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )A.6,8B.6,6C.5,2D.6,2 10.如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示,给出下列判断:①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增; ②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减; ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增; ④当2x =时,函数()y f x =有极小值; ⑤当12x =-时,函数()y f x =有极大值. 则上述判断中正确的是( )A.①②B.②③C.③④⑤D.③11.设11z i i=++,则z = ( )A.12D. 212.设函数2()ln f x x x=+,则( ) A. 12x =为f ()x 的极大值点 B. 12x =为f ()x 的极小值点C. 2x =为f ()x 的极大值点D. 2x =为f ()x 的极小值点 二、填空题13.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖”,乙说“甲、丙都未获奖”,丙说”我获奖了”,丁说“是乙获奖”。

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高二级中期考试数学试题
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分），在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1．设集合p={ x |-2< x <3}，Q={ x | | x +1|>2，x ∈R}，则集合P ∪Q=
（ ）
A ．{ x |-2< x <1}
B ．{ x |1< x <3}
C ．{ x |-3< x <3|
D ．{ x | x <-3 或x >-2}
2．若log 3M+log 3N ≥4，则M+N 的最小值是 （ ）
A ．4
B ．18
C ．34
D ．9
.
3．设向量=(1,－3), =(－2,4),若表示向量4、3－2,的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为 （ ）
(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）
4．下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过点)(00y x P ，的直线一定可以用方程)(00x x k y y -=-表示
B ．经过任意两个不同点心)(111y x P ，、)(222y x P ，的直线都可以用方程
))(())((121121y y x x x x y y --=--表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程1=+b
y
a x 表示
D ．经过点A （0，b ）的直线都可以用方程y=kx+b 表示
5．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 ( ) （A ）2
2
(2)(1)3x y -++= （B ）2
2
(2)(1)3x y ++-=
（C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）22
(2)(1)3x y ++-=
6.动点P 到x 轴，y 轴的距离之比等于非零常数k ，则动点P 的轨迹方程是 ( )
A.y=
k x
(x ≠0) B.y=kx(x ≠0) C.y=-k
x
(x ≠0)
D.y=±kx(x ≠0)
7.（理科做）圆(x-3)2
+(y+4)2
=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是 ( )
A.(x+3)2+(y-4)2=2
B.(x-4)2+(y+3)2
=2
C.(x+4)2+(y-3)=2
D.(x-3)2+(y-4)2
=2
7．（文科做）点A （4，0）关于直线1：5x+4y+21=0的对称点是 （ ） A ．（－6，8） B ．（－8，－6） C ．（6，8） D ．（―6，―8） 8.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2
+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是 ( ) A.B=0，且A=C ≠0 B.B=1且D 2+E 2
-4AF ＞0
C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0
D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0
9. 椭圆
19
252
2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10
10．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 ( )
A.4,6,1,7
B.7,6,1,4
C.6,4,1,7
D.1,6,4,7
二.填空题（本大体共6小题，每小题4分，共24分）
11．在△ABC 中，A （3，-1）、B （-1，1）、C （1，3）写出△ABC 区域(包含边界)所表示的二
元一次不等式组 .
12.不等式｜a-b ｜≤｜a ｜+｜b ｜取等号的条件是 .
13.圆x 2+y 2
+ax=0(a ≠0)的圆心坐标是 .半径为 .
14.已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，
则三角形OAB 面积的最小值为 .
15. 在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。

16．设直线30ax y -+=与圆22
(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB
的长为a =____________．
三.解答题（本大题共6小题，共76分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（12分）解不等式1|55|2
<+-x x ．
18．（13分）已知函数()sin sin(),2
f x x x x R π
=++
∈.
(I)求()f x 的最小正周期；
(II)求()f x 的的最大值和最小值；
(III)若3
()4
f α=，求sin2α的值.
19．（12分）请求出过点A （1，-1）、（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程。

20.（13分）已知直线l:
4x + 3
y
=1，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 求把有向线段AB 分成的比λ=2的动点P 的轨迹方程.
21（13分）.已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围； 22．（13分） 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M 满足AD →=tAB →, BE → = t BC →, DM →=t DE →
, t ∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.。

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