X射线晶体学-第一章-1

平移只能使相等图形重合，不能使左右手重合。 7
2、螺旋旋转(旋转+平移)
首先绕一固定轴逆时针旋转一定的角 度 360 n ，然后在与此轴平行方向上进 行平移（或先平移后旋转），这种复合对 称操作称为螺旋旋转。此轴称为螺旋轴, 记为Sn ,国际记号为nm ,n表示旋转操作， 旋转 360 n ，n只能为1、2、3、4、 6次。 m表示平移量，平移 m n ， 是平行于 转轴方向的最短的晶格平移矢量。m ﹤ n。 与螺旋轴相应的对称阶次为∞ 。
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b滑移
n滑移
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镜面和滑移面
a， b， c是平行于单
胞边的滑移。
n是对角滑移，在两个 方向都滑移单胞长度 的一半。 d是类似n的对角滑移，
镜面或滑移面的符号。 (在左边： 沿镜面的边缘看。 在右边是沿垂直于镜面的方向观看。 箭头表示平移 方向。
但这里在每个方向移 动单胞边长的1/4。
晶体结构的对称性
1/2(a+b+c)
1/2(a-b+c) 1/2(a+b-c)
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金刚石滑移面：反映后沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平移 分量为对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或面心点阵中出现，这 时有关对角线的中点也有一个阵点，所以平移分量仍然是滑移方向 点阵平移点阵周期的一半。用符合d表示。 需要注意的是，在n以及d滑移操作中，滑移方向可能有一个垂 直于反映面的分量，这种情况只在四方晶系和立方晶系出现。
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对称操作分类 1.从对称操作的性质上看可分两类：
能使各个相同的部分重合复原的操作属 于第一类操作。此类操作有：旋转、平移 、螺旋旋转等。 能使等同而不全等的对映部分（如左 右手）重合复原的操作属于第二类操作。 此类操作有：反映、反演、滑移、旋转反 演等。
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第一类操作为实操作，它能具体操作 、直接实现。第二类操作为虚操作，它只 能在想象中实现。 2.从对称操作的空间性质来看，对称操作 可分为点操作和空间操作两类。 点操作是指进行对称操作时，物体中 至少有一点是不动的。点对称操作有：旋 转、反映、反演、旋转反演，相应的对称 ，也能存在有限 的晶体宏观外形中。
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Sn: 具有一个n次反轴的点群。 T: 具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点 群。 O: 具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的 八面体点群。 在有反映面情况下，反映面与主轴平 行（即穿过主轴）时，以下标v表示。当反 映面穿过主轴又平分两个2次轴间夹角时以 下标d表示。在反映面垂直于主轴时，以下 标h表示。
点 群：在晶体结构中，由旋转、反 映、反演、旋转反演宏观对 称操作所构成的对称群称为 点群。
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如上所述，描述晶体宏观对称性 的宏观对称元素主要的只有八种。一 个具体的晶体外形它所具有的宏观对 称元素不外乎是这八种对称元素中的 一种或几种的组合。例如立方体的对 称元素3C4，4C3，6C2，9σ ，1i。对称 元素的一种组合就对应一种对称类型 。那么这八个对称元素有多少种组合 方式，即晶体外形的对称类型有多少 种呢？
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综上所述： 晶体的宏观对称性是由于原子的 规则排列所致，因此描述晶体对称性 的对称操作必然受到晶格周期性的限 制，共有八种独立的对称操作元素。 即：对称中心i、反映面m、一次旋转 轴1、二次旋转轴2、三次旋转轴3、四 次旋转轴4、六次旋转轴6、四次反演 轴 4。
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三、微观对称操作
1、平移 将晶体结构（或 空间点阵）平行移动 到与原来环境完全相 同的位置，这种对称 操作称为平移。 沿 方向的格点 直线平移所凭借的对 称元素称为平移轴， 记为 T 。 与平移相应的对称阶次为∞。
4.旋转反演
晶体绕一固定轴转动后再经反演，对 观察者来说，位置、形态 与动作前一样，这种操作 称为旋转反演。 右图为立方体的Ci4 对称操作，A转到B，反演 到H；B转到C，反演到E； C转到D，反演到F；D转到 A，反演到G。同样，E反 演旋转到D ；F反演旋转到 A；G反演旋转到B；H反演 旋转到C。对观察者旋转前后完全一样。
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3、滑移（反映+平移）
先通过某一个平面 进行反映，然后在此平 面平行方向上进行平 移 ，这种对称操作称 为滑移。 滑移对称操作中的 反映面称为滑移面。 与滑移面相应的对 称性的阶次为∞。
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点阵的周期性要求,重复两次滑移后产生的 新位置,与起始位置相差一个点阵周期，所以滑 移面的平移量等于该方向点阵平移周期的一半。
Ⅱ结合律：
群中任意三个元素A，B，C均符合下列 关系， A ( B C ) ( A B) C
Ⅲ有单位元素存在：
群中必有一元素E，对于集合G中任何 一个元素A有 E A A E A
Ⅳ有逆元素A-1存在：
对于集合G中任何一个元素A，必有一 -1存在，使 A A1 A1 A E 个逆元素A
螺旋旋转只能使相等图形重合，不能使左右手重合。
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晶体结构中允许的螺旋轴如下
n=1 m=0 1次轴 n=2 m=0 2次轴 m=1 21次螺旋轴 n=3 m=0 3次轴 m=1 31次螺旋轴 m=2 32次螺旋轴 n=4 m=0 4次轴 m=1 41次螺旋轴 m=2 42次螺旋轴 m=3 43次螺旋轴 n=6 m=0 6次轴 m=1 61次螺旋轴 m=2 62次螺旋轴 m=3 63次螺旋轴 m=4 64次螺旋轴 m=5 65次螺旋轴 有11种螺旋轴。
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旋转反演的变换矩阵为
n 1 0 0 cos si n 0 1 0 si cos 0 0 0 1 0 0 cos si 0 n 0 si cos 0 n 1 0 0 1
与旋转反演轴的对称性的阶次是这样 决定的；当轴次为偶数时阶次与轴次同， 当轴次为奇数时阶次为轴次的2倍。 旋转反演只能使等同而不相等（左右 手）的图形重合，不能使相等图形重合。
‘Diagonal’ glide plane
⊥[001]; ⊥[100]; ⊥[010]
⊥[1-10]or⊥[01-1] or⊥[-101]
Glide reflection through a plane
1/2(a+b);1/2(b+c);1/2(a+c)
1/2(a+b+c)
⊥[110];
⊥[011]; ⊥[101]
滑移面的分类
根据平移的方向不同，滑移面可分三类： 轴向滑移面：反映后沿晶轴a（或b或c)方 向滑移a/2（或b/2或c/2）用 符号a（或b或c）。
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a,b or c ‘Axial’ glide plane a b ⊥[010]or ⊥ [001] ⊥[001]or ⊥ [100]
Glide reflection through a plane 1/2a 1/2b with glide vector 1/2c 1/2c
第一位
第二位 无 无 无 无 无
第三位
c c a c
a
a a b a a b c
2a b c a b a b
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每个位上的符号就是此位相应的方向上出现 的对称元素（n,m, n 其中 2 =m），在某一方向上 出现的旋转轴和反演轴是指与这个方向平行的旋 转轴和反演轴。在某一方向上出现的反映面是指 与这一方向垂直的反映面。如果在某一方向上同 时出现旋转轴及反映面时，可将旋转轴n写成分 子，反映面m写作分母，如2/m指该方向上有一个 二次旋转轴和一个与此方向垂直的反映面。
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空间操作是指进行操作时，物体中的 每一点都离开原来位置而移动了。空间操 作有平移、螺旋旋转、滑移，相应的对称 元素为点阵、螺旋轴和滑移面。他们只能 存在于无限的结构中，而不能存在于晶体 的宏观外形中。
旋转轴、螺旋轴统称为对称轴； 反映面、滑移面统称为对称面。
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§1-4
对称群
对称群：晶体结构中按一定规则组合 在一起的对称操作的集合， 称为一个对称群。对称分为 点群、平移群和空间群。
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2）点群的国际（Herman-Mauguin）符号
点群符号一般有三个位（有时为二位或一 位），每个位代表确定的方向，这个方向与各晶 a 系的基矢（点阵常数） , b , c 有关。各晶系中 三个位的方向列于下表。
晶 三斜 单斜 三方 六方 正交 四方 立方 系
a 实际为任意方向 a b
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我们把晶体宏观对称类型称为点 群（即点群和晶体宏观对称类型是等 同的），是因为在每一种对称类型中 所包含的能使对称图形复原的全部对 称操作的集合，构成一个群，即它符 合群的四项条件。又因为在对称操作 时，图形中至少有一点不动，所以把 这种群称为点群。
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1.点群的符号
1）点群的Schönflies符号 Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于 该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴 的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该 轴的二次轴的点群。
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例一：所有整数在加法运算下构 成一个群
其中单位元素是0，任一整数m的逆元 素是-m。
例二：在矢量的平行四边形的加 法规则下，空间中所有矢量构成 一个群。
其中单位元素就是0矢量，矢量 u 的逆 元素就是 u ；平面上所有矢量也构成一个 群；一条直线上所有的矢量构成一个群。
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二、点群
c
⊥[100]or ⊥ [010]
⊥[1-10]or ⊥ [110]
⊥[100]or⊥[010]or⊥[-1-10]
⊥[1-10]or⊥[120]or⊥[-2-10]
1/2c
｝ hexagonal 1/2c coordinate system
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对角滑移面：反映后沿晶胞面对角
线或体对角线方向滑移，平移分量为 对角线一半的滑移面，用符合n表示。
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就数学的观点而言，这八种对称元素可以 有很多种的组合方式。但是，从晶体学的角度来 说，它们的组合是不能任意的，而要受到晶体本 身具有有限大小和对称元素组合定理的限制。总 共可得到32种独立的组合方式，称作晶体的32种 对称类型，也叫做32点群。 无论多么复杂的晶体外形，它一定属于32种 对称型（点群）中的一个，绝不会找不到它所属 的对称类型（点群），也不会有超出32个对称类 型（点群）以外的新类型。
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4.旋转反演
旋转反演是旋转和反演两 个动作的联合，是一种复合对 称操作，对称元素为反演轴， 国际符号记为 n (Schöenflies符 号记为 Cin ）。与旋转轴一样， 6 4 晶体 中只有 1 、 2 、3 、 、 五种反演轴。
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由图可以看出： Ci1=i; Ci2=σ ;Ci3=C3;Ci4=C2≠C4, C4具有Ci4作用; Ci6=C3≠C6, C6具有 Ci6作用 ，Ci6=C3+m。
国际符号有全写及简写两种，一般采用简写 ，例如立方晶系的432简写成43；正交晶系的 2/m2/m2/m简写成mmm，等等。 有时两种符号连用，如D4-422。
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2.点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 方向 第二位 可能对称 元素 方向 第三位 可能对称 元素 方向 点群
‘Diamond’ glide plane
⊥[001]; ⊥[100]; ⊥[010] ⊥[1-10];⊥[01-1] ;⊥[-101] ⊥[110]; ⊥[011]; ⊥[101]
Glide reflection through a plane
1/4(a±b);1/4(b±c);1/4(a±c) 1/4(a+b±c); 1/4(b+c±a); 1/4(a±b+c) 1/4(-a+b±c); 1/4(-b+c±a); 1/4(a±b-c)
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§1-4
对称群
一、群的定义 符合以下四个条件的元素的集合 称为群。 Ⅰ封闭性： 在一组元素的集合 G A, B, C , 上 定义一种二元合成规则(操作、运算， 群的乘法)，则群中任何两个元素的积 必为群中的一个元素。
A B C
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即：若A，B属于G，则C也属于G。但注意 A B 和 B A 不一定相等。