第11章 全等三角形 单元测试1

第十一章全等三角形
小结与复习习题精选（一）
一、填空题
1．如图13－7，已知△ABC和△BDE，B为AD的中点，BE＝BC，∠1＝∠2，请写出其中两对全等三角形_____________。

2．如图13－8，∠C＝∠D＝90°，请你添加一个条件，使△ABC≌△BAD，并在添加条件后的括号内写出判定全等的理由。

①____________ _ （）；
②___________ __ （）；
③____________ _ （）；
④___________ __ （）。

3．如图13－9，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是_______ _或_____ __。

4．如图13－10，点F、C在线段BE上，且∠1＝∠
2，BC＝EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条
件___________。

5．在图13－11中找出全等三角形，并把它们用符号
写出来___________。

6．如图13－12，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，
∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，需要补充的一个条件
是____________。

7．如图13－13，已知∠A＝∠D，AB＝CD，若有
∠____ __ ＝∠____ __，可得△ABE≌△DCF。

8．如图13－14，AD、A D''分别是锐角△ABC和△
A B C
'''中BC、B C''边上的高，且AB＝A B''，
AD＝A D''，若使△ABC≌△A B C
'''，请你补充
条件_______________（只需填写一个你认为合适
的条件）。

9．如图13－15，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A
＝30°，将BC向BA方向折过去，使点C落在BA上的C'
点，折痕为BE，则∠AEC'的度数为_________。

10．如图13－16，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥
BC于D，且AB＋BD＝DC，那么∠C的度数是_________。

二、选择题（3分×10＝30分）
11．下列判断正确的是（）
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等
12．下列说法中，正确的是（）
A．全等三角形的角平分线相等
B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的高相等
D．全等三角形的周长相等
13．在△ABC和△A B C
'''中，①AB＝A B''；
②BC＝B C''；③AC＝A C''；④∠A＝∠A'；
⑤∠B＝∠B'；⑥∠C＝∠C'。

下列条件中，
不能保证△ABC≌△A B C
'''的是（）A．①②③B．①②⑤C．②④⑤D．①③⑤14．如图13－17，△ABC≌△DEF，BE＝8，AE＝2，则DE的长为（）
A．8 B．2 C．10 D．
6
15．下列三角形中，能全等的是（）
（1）一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形；（2）一腰和一个角分别相等的两个等腰三角形；（3）有两边分别相等的两个直角三角形；
（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形。

A．（1）（3）B．（2）（4）
C．（1）（4）D．（1）（3）（4）
16．如图13－18，△ABC≌△AFE，AB＝AF，
∠B＝∠F，则对于结论：①AC＝AF；
②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠EAC。

其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．
4
17．如图13－19，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，下面结论中不正确的是（）
A．∠DAE＝∠CBE B．△EAD与△ECB不全等
C．CE＝DE D．△EAB是等腰三角形
18．已知：如图13－20，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E、BE、CD相交于O点，∠1＝∠2，图形中全等的三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
19．具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（）
A．顶角、一腰对应相等B．底边、一腰对应相等
C．两腰对应相等D．一底角、底边对应相等
20．如图13－21，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB 的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（）
A．9 B．8 C．7 D．
6
三、解答题
21．（9分）已知，如图13－22，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB且AE＝FB。

求证：AC＝BD。

22．（9分）已知：如图13－23，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF。

求证：AF＝CE，且AB∥CD。

23．（9分）已知：如图13－24，AB⊥EF，CD⊥EF，垂足分别是B、D，AF＝CE，BE＝DF。

试问AE与CF 有什么关系？并加以说明。

24．（9分）如图13－25，已知AC＝BD，AD⊥AC 于A，BC⊥BD于B。

求证：AD＝BC。

以下是小强同学的证法，你认为对不对？若不对。

请改正。

证明：∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠DAO＝∠CBO，
在△ADO和△BCO中，
,
,
,
DAO CBO
AOD BOC
AC BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ADO≌△BCO。

∴AD＝BC。

25．（12分）如图13－26，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG 于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连结EG。

（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论。

26．（12分）如图13－27，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC。

请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。

答案
1．如△EBD ≌△CBA ，△AMB ≌△DNB 。

EBO CBA BD BA ∠=∠⎫
⇒
⎬=⎭△EBD ≌△CBA ，
由△EBD ≌△CBA ⇒∠E ＝∠C ，又∵∠1＝∠2，∴
∠A ＝∠D ，12A D AB DB ∠=∠⎫
⎪
=⇒
⎬⎪∠=∠⎭△AMB ≌△DNB 。

）
2．①AD ＝BC ，HL ②AC ＝BD ，HL ③∠DAB ＝
∠CBA ，AAS ④∠DBA ＝∠CAB ，AAS
3．∠ACB ＝∠DBC ，AB ＝CD （点拨：∠ACB ＝∠DBC ，可利用SAS ，AB ＝CD ，可利用SSS 。

） 4．AC ＝DF （或∠B ＝∠E 或∠A ＝∠D ）（点拨：已知有一边及一角对应相等，可找角的另一邻边或另一个角对应相等即可。

） 5．Ⅰ与Ⅲ，Ⅱ与Ⅴ，Ⅵ与Ⅶ，Ⅳ与Ⅷ（点拨：Ⅰ与Ⅲ利用SAS ，Ⅱ与Ⅴ利用ASA ，Ⅵ与Ⅶ利用SSS ，Ⅳ与Ⅷ利用HL 。

）
6．BC ＝EF （或∠C ＝∠F ，若∠A ＝∠D ） 7．∠ABE ＝∠DCF （点拨：利用ASA 方法。

） 8．AC ＝A C ''，答案不惟一。

9．AEC '∠＝30°
10．20°（点拨：如图，在DC 上取点E ，使DE ＝BD ，又AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BE ，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB ，又∵AB ＋BD ＝DC ，∴EC ＝AB ，∴∠C ＝∠CAE ，又∠AEB ＝∠C ＋∠CAE ＝2∠C ＝∠B ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＋∠C ＝3∠C ＝180°－120°，∴
∠C ＝20°。

）
11．D
12．D （点拨：全等三角形的对应角平分线、对应中
线、对应高分别相等。

） 13．D （点拨：D 选项是“边边角”，因此不能判定两个三角形全等。

） 14．C （点拨：△ABC ≌△DEF ，∴DE ＝AB ＝AE ＋EB ＝8＋2＝10。

）
15．C （点拨：（1）可用SAS ，（2）是“边边角”，故
不能判定全等，（3）未说明对应相等，不能判定，（4）可用SSS 。

）
16．A （点拨：③正确，①②④不正确。

）
17．B （点拨：∠1＝∠2，∴AE ＝BE ，∴△EAB 为等腰三角形，又∠C ＝∠D ，AB 为公共边，易证△DAB ≌△CBA ，∴AC ＝BD ，∴DE ＝CE ，易证△DAE ≌△CBE ，故B 不正确。

） 18．D （点拨：△ADO ≌△AEO ，△ABO ≌△ACO ，△BOD ≌△COE ，△ABE ≌△ACD 。

）
19．C （点拨：A 可用SAS ，B 可用SSS ，D 可用ASA 。

） 20．A （点拨：∵DE ∥BC ，∠DFB ＝∠FBC ，∠EFC ＝∠FCB ，而BF 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴∠DFB ＝∠DBF ，∠EFC ＝∠ECF ，∴BD ＝DF ，EF ＝EC ，DE ＝BD ＋CE ＝9。

）
21．证明：∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B 。

∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝90°，DF ⊥AB ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠AEC ＝∠BFD ， 又∵AE ＝BF ，∠A ＝∠B ， ∴△AEC ≌△BFD ，∴AC ＝BD 。

22．证明：在△ABF 和△CDE 中，
∵AB ＝CD ，DE ＝BF ，且DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°。

∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ）。

∴AF ＝CE ，∠C ＝∠A ， ∴AB ∥CD 。

23．AE
∥
CF
理由AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠ABE ＝∠ABF ＝∠CDF
＝∠CDE ＝90°，
在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，
AF ＝CE ，BF ＝BD ＋DF ＝BD ＋BE ＝DE ， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ）
∴AB ＝CD 。

在Rt △AEB 和Rt △CFD 中， ∵AB ＝CD ，BE ＝DF ， ∴AE ＝CF 。

∴Rt △AEB ≌Rt △CFD 。

∴∠AEF ＝∠CFD 。

∴AE∥CF。

24．小强的证法不正确。

证明：连结CD，在Rt△DAC和Rt△CBD中，
∵AC＝BD，DC＝CD，
∴Rt△DAC≌Rt△CBD。

∴AD＝BC。

25．（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF。

又∵BD＝CD，∠BDG＝∠CDF，
∴△BGD≌△CFD，∴BG＝CF。

（2）由△BGD≌△CFD，可得GD＝FD，BG＝CF，∵DE⊥GF，∴EG＝EF。

∴△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF。

26．答案不惟一。

例：已知：AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠A＝∠C。

∵
,
,
,
AF CE
B D
A C
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪∠=∠
⎩∴△ADF≌△CBE。

∴AD＝BC。