北师大版初二(上)数学第25讲：全等三角形的判定(1)

三角形全等的判定（1）

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1、理解全等三角形的判定方法SSS 、SAS 、ASA 、AAS ；

2、能运用判定方法判定两个三角形全等；

3、经理探索判定方法判定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.

1．SSS

____________的两个三角形全等（简称SSS ）．

这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有__________的原理． 2.利用SSS 证明三角形全等

判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．

如下图，已知：△ABC 与△DEF 的三条边对应相等，求证：△ABC ≌△DEF ．

证明：在△ABC 与△DEF 中，

,

,,AB DE AC DF BC EF =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．

3.利用SSS 作一个角等于已知角

用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，说明'''A O B =AOB ∠∠

的依据是

_________．

4．边角边定理

三角形全等判定方法2：______和它们的______分别相等的两个三角形全等．（简称SAS ） 符号语言：

在△ABC 与△DEF 中，

AB DE

B E B

C EF =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．

图示：

5．探索边边角

两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形________等． 6．ASA

_______________分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ． ▲如下图，已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．

求证：△ABD ≌△ACE ．

证明：∵∠1＝∠2（已知）

∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD （相等的角加同一个角仍相等） 即∠BAD ＝∠CAE 在△ABD 和△ACE 中，

∠D=∠E （已知） AD=AE （已知）

∠BAD ＝∠CAE （等量相加）

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

7．AAS

______________________分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．

▲如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．

求证：△ACD≌△ABE．

证明：在△ACD和△ABE中．

∠C=∠B（已知）

∠A=∠A（公共角）

DC=EB（已知）

∴△ACD≌△ABE（AAS）．

1、先证明对应边相等，再证全等（利用中点、等量相加等）

【例1】如图所示，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，BC＝ED，求证：△ABC≌△FED．

练1.如图，已知AC=BD，0是AB、CD的中点，求证△AOC≌△BOD．

2．先利用SSS证明三角形全等，继而证明边（角）相等，或求边（角）

【例2】如图所示，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2．

练2.如图是“人”字形屋梁，AB＝AC．现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人

师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直”的要求吗？为什么？

练3.如图所示，已知：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB ∥DE.

练4.已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.

练5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.

3．利用SAS直接证明三角形全等

【例3】如图所示，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：△ABC ≌△DEF．

练6．（2014秋•天元区期末）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（）

A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以练7．如下图所示，已知∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOC≌△BOC．

4．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等

【例4】（2015春•启东市校级月考）如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．

练8．（2014•房山区二模）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．

练9．（2014•永春县质检）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．

求证：△AEC≌△BDC．

5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等

【例5】（1）（2014•十堰）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=

∠C．

（2）（2015春•鼓楼区校级月考）如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE．

练10．（2014秋•涞水县期末）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）

A．50° B.30°C．80°D．100°

练11．（2014春•锦州校级期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，若∠_____=∠______，则△ABC≌△DEF，所以BC=_____，因此BE=________．

6．先用ASA证全等，再证边角相等

【例6】如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BO ＝DO．