高二数学函数极值1
高中数学极值
高中数学极值
摘要：
1.极值的概念与基本性质
2.极值存在的条件
3.求极值的方法
4.极值在高中数学中的应用
正文：
一、极值的概念与基本性质
在高中数学中，极值是函数在某一特定区间内取得的最大值或最小值。
极值是函数图像上的关键点，对于函数的性质和函数图像的形状具有重要意义。
极值有以下基本性质：
1.若函数在某区间上连续，则在该区间内至少有一点取得极值。
2.若函数在某区间上可导，则极值点必为导数为零的点。
二、极值存在的条件
求极值需要满足以下条件：
1.函数在极值点处可导；
2.函数在极值点处的导数等于零；
3.函数在极值点处满足二阶导数测试，即二阶导数大于零时为极小值，小于零时为极大值，等于零时需要结合一阶导数判断。
三、求极值的方法
求极值的方法通常分为以下几个步骤：
1.确定函数的定义域，找到可能的极值点；
2.求函数的导数，找到导数为零的点；
3.求函数的二阶导数，判断极值类型；
4.代入原函数求得极值。
四、极值在高中数学中的应用
极值在高中数学中有广泛的应用，如求解最值问题、函数的单调性、函数的凹凸性等。
学会求极值是解决这些问题的关键。
综上所述，掌握极值的概念与基本性质、极值存在的条件和求极值的方法对于高中数学的学习具有重要意义。
高中数学第一课时-函数的极值
5.3.2函数的极值与最大(小)值第一课时函数的极值课标要求素养要求1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 通过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.新知探究横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部.问题观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？提示有，应用函数的极大值和极小值来描述.1.极值点与极值的概念极值与单调性一样，都是函数的局部性质(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.拓展深化[微判断]1.导数为0的点一定是极值点.(×)提示反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.2.函数的极大值一定大于极小值.(×)提示反例：如图所示：极大值f(x1)小于极小值f(x2).3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(×)提示反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.[微训练]1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有()A.两个极大值，一个极小值B.两个极大值，无极小值C.一个极大值，一个极小值D.一个极大值，两个极小值解析由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x2<x<x3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.答案 C2.(多空题)函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3，令f′(x)<0得－1<x<3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f(x)的极大值为f(－1)＝233，极小值为f(3)＝－3.答案233－3[微思考]1.对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的什么条件？提示必要不充分条件.2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗？提示可以，如函数f(x)＝sin x，f(x)＝cos x在R上有无数多个极大值和极小值.题型一不含参数的函数求极值【例1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；(2)f(x)＝3x＋3ln x.解(1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x＝(2)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)无极大值.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 【训练1】 求函数f (x )＝x 2e －x 的极值. 解 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·e －x ·(－x )′＝2x e －x －x 2·e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x (2－x )·e －x ＝0，解得x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当当x ＝2时，f (x )取得极大值， 且极大值为f (2)＝4e －2＝4e 2.题型二 含参数的函数求极值【例2】 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值.解 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2， 由a ≠23知－2a ≠a －2. 分以下两种情况讨论： ①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a ，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. ②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .规律方法 讨论参数应从f ′(x )＝0的两根x 1，x 2是否相等入手进行. 【训练2】 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值.解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0), ∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0.①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a;∵x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a－a ln a ，无极大值.题型三 利用函数极值确定参数的值【例3】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练3】 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值.解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.一、素养落地1.通过学习极值与极值点的概念，培养数学抽象素养，通过学习求函数的极值以及利用函数的极值求参数，提升数学运算素养.2.函数的极值是函数的局部性质，可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反，所以求函数的极值时要严格按其步骤进行.3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性. 二、素养训练1.下列函数中存在极值的是( ) A.y ＝1x B.y ＝x －e x C.y ＝2D.y ＝x 3解析对于y＝x－e x，y′＝1－e x，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.故x＝0为函数y＝x－e x的极大值点.答案 B2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A.在(1，2)上函数f(x)为增函数B.在(3，4)上函数f(x)为减函数C.在(1，3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点解析根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.答案 D3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A.(－1，2)B.(－3，6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.答案 D4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝3x2－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝ 2.因为当x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )极大值＝f (－2)＝a ＋42， f (x )极小值＝f (2)＝a －4 2. 答案 a ＋42 a －4 25.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1， 所以a ＝9，经验证此时Δ>0，符合题意. 答案 9基础达标一、选择题1.(多选题)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )A.－3是f (x )的一个极小值点B.－2和－1都是f (x )的极大值点C.f (x )的单调递增区间是(－3，＋∞)D.f (x )的单调递减区间是(－∞，－3)解析 当x <－3时，f ′(x )<0，x ∈(－3，＋∞)时f ′(x )≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD. 答案 ACD2.函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A.－eB.1－eC.－1D.0解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.答案 C3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是()A.(0，4)B.[0，4)C.[1，4)D.(1，4)解析f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.答案 A4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C.x＝－2是函数的极小值点D.x＝2是函数的极小值点解析由题意，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.答案BD5.若函数f (x )＝e x －ax －b 在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，－1)D.(1，＋∞)解析 由题意知f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )在R 上单调递增，不符合题意. 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ln a ，∴当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 可知x ＝ln a 为f (x )的极值点，∴ln a <0，∴a ∈(0，1).故选B. 答案 B 二、填空题6.(多空题)函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又当x ＝1时有极值－2， ∵f ′(1)＝3a ＋b ＝0，① a ＋b ＝－2，②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，∴故答案为1，－3.答案 1 －37.函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8.函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ， 所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减少的， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.答案0 三、解答题9.求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.解函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由. 解(1)∵f(x)＝a ln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解得，a＝－23，b＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x－16x2＋x，且其定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－（x －1）（x －2）3x .当x ∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，2)时，f ′(x )>0；所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点， x ＝2是函数f (x )的极大值点.能力提升11.函数f (x )＝e x (x －a e x )恰有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵函数f (x )＝e x (x －a e x )，∴f ′(x )＝(x ＋1－2a e x )e x .∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根.令x ＋1－2a e x ＝0，可知a ≠0， ∴x ＋12a ＝e x .设y 1＝x ＋12a (a ≠0)，y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a >1，解得0<a <12，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 12.已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 因此函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数.故x ＝1是f (x )的极小值，所以f (x )在x ＝1处取得极小值12. (2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x ＝－（x －1）（2x 2＋x ＋1）x .显然由2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78及x >0可知，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )≤F (1)<0，即F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立.因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方.创新猜想13.(多选题)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是( ) A.xf (x )在(1，＋∞)单调递增 B.xf (x )在(1，＋∞)单调递减 C.xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12 D.xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12解析由x2f′(x)＋xf(x)＝ln x得x>0，则xf′(x)＋f(x)＝ln xx，即[xf(x)]′＝ln xx，设g(x)＝xf(x)，由g′(x)＝ln xx>0得x>1，由g′(x)<0得0<x<1，即xf(x)在(1，＋∞)单调递增，在(0，1)单调递减，即当x＝1时，函数g(x)＝xf(x)取得极小值g(1)＝f(1)＝1 2，故选AD.答案AD14.(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是()A.a＝－3，b＝2B.a＝－3，b＝－3C.a＝－3，b>2D.a＝1，b＝2解析记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，则b<－2或b>2，B、C项满足.故选BCD. 答案BCD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学：函数的极值与最值
a 令V' 0 解得 x 6
x
x
x
x
V 在 (0, a ) 内可导, 且只有一个驻点 x a
2
又由实际问题知:
V
在 (0, a ) 2
6
内必有最大值
x a 就是最大值点,
6
最大值 V ( a ) 2 a3 6 27
小 结：
极值的定义 极值点的必要条件 极值的判定法：第一判定法
a x1 x4 o x2
x5 x3
f ( x) 的极小值点: x1 x2 x3 f ( x) 的极大值点: x4 x5
x
b
2.极值点的必要条件
定理1
若 f ( x) 在 x0 处取得极值, 且
f ( x) 在 x0 处可导, 则 f '( x0 ) 0
证 不妨设 f ( x0 )是极大值.
按定义,
定理3(第二判别法) 设 f ( x) 在x0 处二阶可导, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 则 (1)当 f ''( x0 ) 0 时, f ( x0 )是极大值
(2)当 f ''( x0 ) 0 时, f ( x0 )是极小值
证 (1) 按定义
f ''( x0 )
解 y 2x3 3x2 12x 14 在[3,4]上连续 它在[3,4]上一定有最大值M 和最小值 m.
记 f ( x) 2x3 3x2 12x 14
f '( x) 6x2 6x 12 6( x 2)(x 1)
令 f '( x) 0 解得 x 2 , 1
计算 f (2) 34, f (1) 7,
函数的极值与最大(小)值(1)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
2
f(2)=4a+3,函数在
x=2a 处取得极小值
4 3
f(2a)=-3a +4a2+2.
综上,当 a=1 时,函数不存在极值;当 a<1
值为
2
4a+3;当
a>1 时,函数的极大值为
4 3
时,函数的极大值为- a +4a2+2,极小
3
2
4 3
4a+3,极小值为-3a +4a2+2.
令 ′ =0,解得：1 = −2, 2 = 2
当变化时， ′ ， ，的变化情况如下表
因此，当 = −2时， 有极大值，极大值为 −2 =
4
3
当 = 2时， 有极小值，极小值为 2 =- .
28
;
3
新知探究
函数 =
1 3
3
− 4 2 + 4的图像如图所示.
f
′(x)＜0
，
__________
附近的左侧
x＝a
而且在点
，
点的函数值都小，f ′(a)＝__
0
f ′(x)＞0，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，_____
f (a) 叫做函
右侧_______
数 y＝f (x)的极小值．
新知探究
(2)极大值点与极大值
若函数 y＝f (x)在点 x＝b 的函数值 f (b)比它在点 x＝b 附近其他
x
f'(x)
f(x)
(-∞,-1)
+
-1
0
(-1,3)
-
3
极值为1的函数
极值为1的函数介绍函数是数学中的一种基本概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在数学中，我们经常研究各种不同类型的函数。
本文将讨论一个特殊的函数，即极值为1的函数。
所谓极值为1的函数，是指函数的最大值和最小值都等于1。
在数学中，这样的函数有很多种形式，我们将对其进行探讨和研究。
部分示例以下是一些常见的极值为1的函数的示例：1. 三角函数三角函数是最常见的函数之一，它描述了角度和边长之间的关系。
其中，正弦函数(sin x)和余弦函数(cos x)是典型的极值为1的函数。
它们的图像在幅度为1的范围内上下波动。
2. 指数函数指数函数是由常数e（自然对数的底数）的幂所组成的函数。
例如，y = e^x 是一个极值为1的指数函数。
这个函数在自变量x逐渐增大时，其值也逐渐增大，但增长速率会逐渐减慢。
3. 对数函数对数函数是指以常数b（底数）为底，自变量x的对数。
其中，以底数为e的自然对数函数(ln x)是一个极值为1的对数函数。
这个函数在自变量x逐渐增大时，其值也逐渐增大，但增长速率会逐渐减慢。
4. 反比例函数反比例函数是指两个变量之间的关系为互为倒数的函数。
例如，y = 1/x 是一个极值为1的反比例函数。
当自变量x逐渐增大时，因变量y逐渐减小，而且二者之间的乘积始终等于1。
结论极值为1的函数在数学中扮演着重要的角色。
这些函数在各个领域有着广泛的应用，包括物理学、工程学和经济学等。
它们的性质和特点使得它们在描述事物的变化规律时非常有用。
在实际问题中，我们可以通过研究这些函数的图像、导数和性质，来更好地理解和解决问题。
对于学生而言，了解和掌握极值为1的函数对于数学学习的深入和应用都是非常重要的。
通过学习这些函数可以提高数学思维能力，培养逻辑推理和问题解决的能力。
同时，它们也是后续学习其他更复杂函数的基础，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
总结起来，极值为1的函数是一类特殊的函数，在数学中具有重要的地位和作用。
函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
函数的极值与最值(第一课时)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
Oa
h '(t) 0
h '(t) 0
h '(t) 0
t
函数的极值 如图，函数 y f (x) 在 x = a，b，c，d，e这些点与这些点附近的函数 值有什么关系？在这些点及这些点附近的导数正负性有什么规律？
y
ab
c
de
x
先以 x a 为例，如图，可以发现，函数 y f (x) 在点 x a 处的函数 值 f (a) 比它在点 x a 附近其他点处的函数值都小，f '(a) 0 ，而且在点 x a 附近的左侧 f '(x) 0 ，右侧 f '(x) 0 . 我们把点 a 叫做函数的极小 值点， f (a) 叫做函数 y f (x) 的极小值.
5.3.2 函数的极值与最值(第一课时)
1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的 关系，并会灵活应用． 2．结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条 件．(重点) 3．会用导数求函数的极大值、极小值．(难点)
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函 数的增减. 如果函数在某些点处的导数为0，那么函数在这些点处有什么 性质呢？
2
因为 f (1) 1 1 2 c 3 ，得 c 1.
2
2
所以 f (x) x 3 1 x 2 2x 1 ，则 f '(x) 3x 2x) ， f (x) 的变化情况如下表
x
，
2 3
2 3
2 3
，1
1
(1，+∞)
f '(x)
+
0
(2) f (x) ln x
x
解：(1)函数 f (x) x 3 3x 2 9x 5 的定义域为 R ，且 f '(x) 3x 2 6x 9 令 f '(x) 0 ，得 x 1 或 x 3 当 x 变化时，f '(x) ， f (x) 的变化情况如下表
2023届全国高考数学复习：专题(函数的极值)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（函数的极值）重点讲解与练习 1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．图1图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点x i是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一 根据函数图象判断极值【方法总结】(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)ꞏ(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( )A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12[例2] 给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的拐点．已知f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ．(1)求证：函数y ＝f (x )的拐点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上；(2)x ∈(0，2π)时，讨论f (x )的极值点的个数．[例3] (2021ꞏ天津高考节选)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －x ꞏe x ．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切点的方程；(2)证明f (x )存在唯一极值点．【对点训练】1．函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( )A ．1eB ．2eC ．eD ．e 22．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝03．函数f (x )＝12x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数4．函数f (x )＝(x 2－x －1)e x (其e ＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是 ；极大值为 ．5．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2的极大值和极小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．46．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．－113B ．－16C ．16D ．1737．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 28．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1e D ．f (x )在定义域内无极值9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为210．若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝________．11．已知函数f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，a ＜0．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极小值．12．已知函数f (x )＝e x ＋2x ．(1)求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围)【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． (4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞)(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．(8) (2021ꞏ全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2[例2] 已知曲线f (x )＝x e x －23ax 3－ax 2，a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数y ＝f (x )有三个极值点，求实数a 的取值范围．【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．12．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．03．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．54．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(e ，e)B ．(e ，2)C ．(2，e)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )＝x ln x －ax 在(1，＋∞)上有极值，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，14B ．⎝⎛⎭⎫－∞，14C ．⎝⎛⎦⎤0，14 D ．0，14 8．若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．9．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝x e x －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e[例1](1)函数f (x )＝x 2e －x 的极大值为__________，极小值为________． 答案 4e －2 0 解析 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝－e －x x (x －2)．当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2． (2)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D 解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x ＞0)，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．(3)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e ，则f (x )的极大值点为( )A ．1eB ．1C ．eD ．2e答案 D 解析 f ′(x )＝2e f ′(e)x －1e ，故f ′(e)＝1e ，故f (x )＝2ln x －x e ，令f ′(x )＝2x －1e >0，解得0<x <2e ，令f ′(x )<0，解得x >2e ，故f (x )在(0，2e)上递增，在(2e ，＋∞)上递减，∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值2ln 2，则f (x )的极大值点为2e ．(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)ꞏ(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C 解析 因为f ′(x )＝(x －1)k －1[e x (x －1＋k )－k ]，当k ＝1时，f ′(1)>0，故1不是函数f (x )的极值点．当k ＝2时，当x 0<x <1(x 0为f (x )的极大值点)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．故f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C ．(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1答案 A 解析 f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1．∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)e －3＝0，得a ＝－1．∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1．由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜1．∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1．(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( )A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值126．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．－113B ．－16C ．16D ．1736．答案 B 解析 由题意，得f ′(x )＝x 2－2ax －2．又x ＝－2是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(－2)＝2＋4a ＝0，解得a ＝－12．所以f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋1，所以f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)．当x ＜－2或x＞1时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0．所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)．当x ＝1时，函数y ＝f (x )取得极小值，为f (1)＝13＋12－2＋1＝－16．故选B ．7．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 27．答案 B 解析 由题意得，f ′(x )＝2x 2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52．8．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1e D ．f (x )在定义域内无极值8．答案 BC 解析 因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，令f ′(x )＝0，所以x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，x ＝1e 是极小值点，所以A 错误，B 正确；当x ∈(0，1]时，根据单调性可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，故C 正确；显然f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ，故D 错误．故选BC ．9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为29．答案 ABC 解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0，∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ꞏx ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0，x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0．当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0，所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点．当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0，所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点．又因为h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围)【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．答案 1 解析 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3．当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；当x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意，当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x－1)．当13<x <1时，f ′(x )<0；当x <13x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意，所以m＝1．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．答案 11 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意，当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意．∴a ＋b ＝11．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． 答案 1 解析 因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ，所以若k 是偶数，则x ＝k ，不是极值点，则k 是奇数，若k <52，由f ′(x )>0，解得x >52或x <k ；由f ′(x )<0，解得k <x <52，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值．因为k ∈Z ，所以k ＝1．若k >52，由f ′(x )>0，解得x >k 或x <52；由f ′(x )<0，解得52<x <k ，即当x＝k 时，函数f (x )取得极小值，不满足条件．(4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．答案 a >－1 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，所以f ′(x )＝1x－ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x．①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ．因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0．综合①②得a 的取值范围是a >－1．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 答案 C 解析 f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x (a >0，x >0)，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1内有解，且f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内先大于0，后小于0，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12>0，f ′(1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧14a －12(2a ＋1)＋212>0，a －(2a ＋1)＋2<0，解得1<a <2，故选C ．(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；答案 (－∞，－1] 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋a x，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a ≤0，所以a ∈(－∞，－1]．(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x －2ax ．由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根，即2a ＝1＋ln x x有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln x x (x >0)，∴φ′(x )＝－ln x x 2．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞，当x →＋∞时，φ(x )→0，则0<2a <1，即0<a <12．(8) (2021ꞏ全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2答案 D 解析 法一 (特殊值法)当a ＝1，b ＝2时，函数f (x )＝(x －1)2(x －2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x ＝1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝1，b ＝2可判断选项B ，C 错误；当a ＝－1，b ＝－2时，函数f (x )＝－(x ＋1)2(x ＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x ＝－1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝－1，b ＝－2可判断选项A 错误．所以当a >e 2时，在x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞． 【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．11．答案 A 解析 f ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x ．由题意知f ′(1)＝e(2＋a )＝0，∴a ＝－2．故选A ．2．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．02．答案 B 解析 由f ′(2)＝0可得c ＝2或6．当c ＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c ＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x ＝2处取得极大值．故选B ．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．53．答案 C 解析 由题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a >0，且－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ，则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98，解得a ＝2，b ＝－3，c ＝－36，故选C ．4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．4．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1 ＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞32或c ＜－32c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞． 5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．5．答案 (－∞，－1) 解析 由y ′＝e x ＋a ＝0得x ＝ln (－a )(a <0)，显然x ＝ln (－a )为函数的极小值点，又ln (－a )>0，∴－a >1，即a <－1．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(e ，e) B ．(e ，2) C ．(2，e) D ．(e ，＋∞)6．答案 B 解析 令f ′(x )＝(2－a )(x －1)(e x －a )＝0，得x ＝ln a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，解得a ∈(e ，e)，由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，ln a 时，f ′(x )>0，当x ∈(ln a ，1)时，f ′(x )<0，所以2－a >0，得a <2．综上，a ∈(e ，2)．故选11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．11．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 2 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax －1．根据题意可得f ′(x )在(0，＋∞) 上有两个不同的零点，则ln x －ax －1＝0有两个不同的正根，从而转化为a ＝ln x －1x 有两个不同的正根，所以y ＝a 与y ＝ln x －1x的图象有两个不同的交点，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝2－ln x x 2，令h ′(x )>0得0<x <e 2，令h ′(x )<0得x >e 2，所以函数h (x )在(0，e 2)为增函数，在(e 2，＋∞)为减函数，又h (e 2)＝1e 2，x →0时，h (x )→－∞，x →＋∞时，h (x )→0，所以0<a <1e 2．12．已知函数f (x )＝x e x －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e 12．答案 C 解析 f ′(x )＝1－x e x ，所以f ′(x )，f (x )的变化如下表： x(－∞，1) 1 (1，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值 若a ＝0，x ＞0时，f (x )＞0，f (x )最多只有一个零点，所以a ≠0．若f (x )有两个零点，则1e －a ＞0，即a ＜1e ，结合a ＝0时f (x )的符号知0＜a ＜1e C ．。
极值为1的函数
极值为1的函数
我们常常会遇到一些函数，它们在某些特定的输入下会取到最大值或最小值。
但是，有一类函数，它们的取值范围始终在[0,1]之间，而且在某些输入下取到最大值1，这就是极值为1的函数。
举个例子，sigmoid函数就是一种极值为1的函数。
它的数学表达式为：
$$
sigma(x)=frac{1}{1+e^{-x}}
$$
可以看出，当$x$趋近于正无穷时，$sigma(x)$趋近于1。
因此，sigmoid函数在输入足够大的时候可以取到极值1。
另一个例子是softmax函数，它常用于多分类问题。
softmax函数的数学表达式为：
$$
mathrm{softmax}(x_i)=frac{e^{x_i}}{sum_{j=1}^{n}e^{x_j}}
$$
可以发现，softmax函数的输出都在[0,1]之间，并且所有输出的和为1。
在某些情况下，softmax函数可以取到极值1，比如当输入向量中的某个分量远大于其他分量时。
极值为1的函数在机器学习和深度学习中有广泛的应用，比如用于激活函数、损失函数等方面。
它们可以让我们更好地处理概率和概
率分布，提高模型的表现力和泛化能力。
【高中数学】导数与函数的极值、最值
高中数学学科
t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列．
(1)若 t2＝0，d＝1，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
所以 f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为 f(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(2)设 h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.
2．(2018·梅州期末)函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间
高中数学学科
B．(3,5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间
C．函数 y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值
D．函数 y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
高中数学学科
导数与函数的极值、最值
一、基础知识
1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0； 而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0； 而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
北师大版数学高二课件 函数的极值
12345
4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围
为( D )
A.－1＜a＜2
B.－3＜a＜6
C.a＜－1或a＞2
D.a＜－3或a＞6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，
防范措施
解析答案
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12345
1.已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增
区间是( B )
A.(2,3)
B.(3，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.(－∞，3)
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，
且在x＝2处Βιβλιοθήκη 极值，∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，
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本课结束
解析答案
题型二 利用函数极值确定参数的取值范围(或值) 例2 已知函数f(x)＝6ln x－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个 极值点. (1)求a的值； 解 ∵f′(x)＝6x－2ax－8， ∴f′(3)＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.
解析答案
(2)求函数f(x)的单调区间； 解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 由(1)知f(x)＝6ln x＋x2－8x＋b. ∴f′(x)＝6x＋2x－8＝2x2－x4x＋3. 由f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1， 由f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去). ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3).
解析答案
(3)若y＝f(x)的图像与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.
5.3.2函数的极值与最大(小)值(第1课时函数的极值)课件高二上学期数学人教A版选择性
A.在区间(1,2)内函数f(x)单调递增
B.在区间(3,4)内函数f(x)单调递减
C.在区间(1,3)内函数f(x)有极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析 根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,当
x∈(4,5)时,f'(x)>0.∴f(x)在区间(1,2),(4,5)内单调递增,在区间(2,4)内单调递
x
f'(x)
(-∞,-1)
+
f(x)
单调递增
-1
0
14
极大值
3
(-1,3)
-
3
0
(3,+∞)
+
单调递减
极小值-6
单调递增
∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点.
14
∴f(x)极大值= 3 ,f(x)极小值=-6.
2
(2)f(x)= +ln
解
令
2
f(x)= +ln
2
f'(x)=- 2
x
(-∞,0)
0
(0,2)
f'(x)
0
+
f(x)
单调递减 极小值0
单调递增
2
(2,+∞)
0
极大值4e-2 单调递减
因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并
且极大值为
4
f(2)=e2 .
1
(2)f(x)= 2 +ln
函数的极值与最大(小)值(1) 课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
时,x1=
c 3
,x2=
c,
因为极大值点是 x=2,所以 c>0,并且 c <c,当 x∈(-∞,c )
3
3
时,f′(x)>0,
当 x∈( c ,c)时,f′(x)<0,当 x∈(c,+∞)时,f′(x)>0, 3
所以 x= c 是极大值点, c =2,
3
3
解得 c=6.故选 D.
法二 因为 f′(x)=(x-c)(3x-c). 又因为 f(x)在 x=2 处取极值,所以 f′(2)=0,即(2-c)(6-c)=0. 所以 c=2 或 c=6. 当 c=6 时,f′(x)=3(x-2)(x-6),易知 x∈(-∞,2)和 x∈(6,+∞) 时,f′(x)>0,函数 f(x)是增函数,x∈(2,6)时,f′(x)<0,函数 f(x)是减函数,此时 x=2 为极大值点.
T13. 2. 《导学》5.3.2（1）
检查f′(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
注意 1.如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根 处无极值. 2.函数的极值点还可能出现在不可导点处，如
f (x) x
练习：求
值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点处
的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有
什么规律？
y
当x0取b, d时, f '(x0 ) 0;
f (x0 )比附近其他点的函数值大;
a Ob
c
d
e
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
极值为1的函数
极值为1的函数极值为1的函数是指函数在某个点处取得最大值或最小值为1的函数。
这种函数在数学中有着重要的应用，特别是在优化问题中。
下面将介绍一些常见的极值为1的函数。
1. 反正切函数反正切函数是一种常见的极值为1的函数，它的定义域为实数集，值域为区间(-π/2,π/2)。
反正切函数在x=0处取得最小值为-1，在x=±∞处取得最大值为1。
反正切函数的图像呈现出一条对称轴为y=0的S形曲线，具有单调递增和奇函数的性质。
2. 双曲正切函数双曲正切函数是一种常见的极值为1的函数，它的定义域为实数集，值域为区间(-1,1)。
双曲正切函数在x=0处取得最小值为0，在x=±∞处取得最大值为1。
双曲正切函数的图像呈现出一条对称轴为y=0的S形曲线，具有单调递增和偶函数的性质。
3. 正切函数正切函数是一种常见的极值为1的函数，它的定义域为实数集，值域为区间(-∞,∞)。
正切函数在x=0处取得最小值为0，在x=±(π/2)处取得最大值为1。
正切函数的图像呈现出一条对称轴为x=π/2的周期性曲线，具有单调递增和奇函数的性质。
4. 余切函数余切函数是一种常见的极值为1的函数，它的定义域为实数集，值域为区间(-∞,∞)。
余切函数在x=0处取得最小值为0，在x=±π处取得最大值为1。
余切函数的图像呈现出一条对称轴为x=π的周期性曲线，具有单调递减和奇函数的性质。
总之，极值为1的函数在数学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。
以上介绍的反正切函数、双曲正切函数、正切函数和余切函数都是常见的极值为1的函数，它们的图像都呈现出一条对称轴的曲线，具有单调性和奇偶性的特点。
高二数学函数的极值教案
高二数学函数的极值教案课 题：函数的极值(1) 教学目的：1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 教学过程： 一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；；x x sin )'(cos -=； xx 1)'(ln =e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数： x u x u y y '''⋅= (理科)4. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间二、讲解新课：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x (2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 三、讲解范例：例1求y =31x 3－4x +31的极值解：y ′=(31x 3－4x +31)′=x 2－4=(x +2)(x －2) 令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=3当x =2时，y 有极小值且y 极小值=－5 例2求y =(x 2－1)3+1的极值解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表∴当x =0时，y 有极小值且y 极小值=0求极值的具体步骤：第一，求导数/()f x .第二，令/()f x =0求方程的根，第三，列表，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点四、课堂练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=72.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.∴当x=2时，y有极小值，且y极小值=－4(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54五、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点六、课后作业：。
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1 例２：求 y x 3 4 x 4 的极值 1 3' x 4 ( x 2)( x 2) 解： y ' ( x 4 x 4)
3 2
3 令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
x
(-∞,-2)
-2 0
28 极大值 3
(-2,2)
1.极值指的是函数值? 是 2.极值是不是函数值整个的定义域内最大或最小? 并不意味着它在函数的整个的定义域内
最大或最小。 3.极大值必大于极小值? 4.极值是不是唯一? 函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上 或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 未必
极大值与导数之间的关系
X X1左侧 X1 X1右侧
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
解：
x f ( x ) f ( x)
1 f ( 1 1 1
(, ) 2
2
1 极小值 f ( ) 2
0
( ,) 2
1 1 9 因此,当x 时,f(x)有极小值f( ) . 2 2 4
知识回顾
1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
王新敞
奎屯 新疆
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
２、用导数法确定函数的单调性时的 步骤是： （1）求出函数的导函数 求解不等式f′(x)>0，求得其解集， （2） 再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f′(x)<0，求得其解集， （3） 再根据解集写出单调递减区间
f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) 0 f ( x ) 0 极大植f(x1) 减 f ( x) 增
极小值与导数之间的关系
X X2左侧 X2 X2右侧
f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) 0 f ( x ) 0 极小植f(x2) 增 f ( x) 减
2 0
极小值 4 3
(2,+∞)
f ( x )
f ( x)
+ ↗
－
+
↗
↘
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 28
当x=2时，y有极小值且y极小值= 4 3
3
练习:P31.第1题
2.y=2sinx-x,
小结: 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.) (3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
作业:P34 3(1)(2)
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叩礼，在生母面前行二跪六叩礼。雅思琦作为嫡福晋可就是这么壹路大礼地走下来的。与德妃娘娘的初次见面礼行完之后，冰凝就再也没见过 自己的婆婆大人。先是因为受罚抄《女诫》，被冰凝当成了练书法，终于自己把自己累病倒了，然后又被处罚了两个月的禁足，哪儿也去不了！ 因此雅思琦每次进宫，不是带着淑清就是惜月，或是耿韵音，偶尔，宋格格、武格格也会陪同。反正冰凝是因祸得福，不用看德妃娘娘的脸色 行事；德妃娘娘也是因祸得福，不用每次壹见到年氏，就让她窝火窝得心口疼。对于今天的宫宴，冰凝必须出席。壹方面作为王爷的侧福晋， 按礼制应当参加宫宴，另壹方面，她的禁足期早已届满。对于这第壹次的宫中亮相，冰凝丝毫不敢怠慢，提早好几天就把蒋嬷嬷请了过来，壹 个不耻下问，壹个言传身教，当然冰凝也不露声色地奉上了壹枝硕大的金步摇。按照丫鬟的吩咐，今天吟雪早早起来，服侍丫鬟焚香沐浴，按 品级穿戴整齐，发式、妆容都是壹丝不苟。冰凝倒不是为了讨好谁，而是不想被人指摘年家的女儿没教养。只是壹想到德妃娘娘的那张冷脸， 冰凝壹会儿叹气，壹会儿又是叹气，愁得小脸皱巴巴的。吟雪看到丫鬟壹会儿壹个叹气，也不知道丫鬟这是为了什么而发愁呢？“丫鬟，您看 看镜子里的您有多美！打扮得这么漂漂亮亮、光光鲜鲜的，还叹什么气呢？”“唉，我是觉得，怎么壹会儿要见到的这个宫里的漂亮额娘，怎 么就是没有自己的娘亲和蔼可亲呢？”“唉呀，丫鬟就为这个发愁啊？不是奴婢多嘴，您可真是身是福中不知福呢？”“什么是身在福中不知 福？”“您想想啊！别人家的丫鬟出嫁后，在夫家都要当好小媳妇，天天要看婆婆、甚至是太婆婆，还有七大姑八大姨的脸色行事。可是丫鬟 您嫁的是王爷，王爷可是分府另过，您除了孝敬好福晋、伺候好王爷，您就不用再想其它的事情，您说说，您是不是身在福中呢？”“唉呀呀， 吟雪真是厉害！分析得头头是道呢！唉，我这书都算是白念了，怎么这么浅显的道理都不明白？”“丫鬟，您真是谦虚，您那么大的学问，奴 婢怎么敢跟丫鬟您比呢！”“哈，不管怎么说，吟雪，听了你的话，你家丫鬟我现在好开心！”第壹卷 第137章 冷落 被吟雪哄得开开心心 的冰凝，壹天的心情都好得不行。以至于午后，红莲来怡然居请侧福晋与福晋壹同启程的时候，见到年侧福晋壹脸笑意盈盈的样子，直觉得莫 名其妙。对此，红莲在心中暗自捉摸，估计是被禁足两个月，好不容易能出门了，又是去宫里，才会这么得意忘形吧。冰凝由吟雪陪着，先来 到霞光苑，李姐姐和福晋姐姐已经在等着呢，见过礼，冰凝刚要落座，只听雅思琦开口说道：“妹妹，咱们这就出发吧。”“啊？其它姐姐还 没
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大， 我们就说f(x0)是函数的一个极大值，x0是极大值点。
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数 值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值， x0是极小值点。 极大值与极小值统称为极值.