备考2020年高考物理复习攻略之方法汇总专题 极值法
物理解题方法二极值法
四、用二次函数判别式求极值
若所求物理量的表达式为二次函数“Y=ax2+bx+c”的 形式，将该表达式整理得方程“ax2+bx+(c-y)=0”，要 使方程有解，该函数判别式△=b2-4a(c-y)≥0，由此可 解极值。
[例5]一点光源从离凸透镜无限远处沿主轴移到焦点， 移动过程中，点光源和所成的像间距离的变化情况是 ： （）
六、用假设推理法求极值
通过假设法使研究对象处于临界状态，然后再利 用物理规律求得极值。（“临界”法）
[例7]如图，能承受最大拉力为10N的细OA与竖直方向成450，能 承受最大拉力为5N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力， 为使OA和OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体P最重不得超过多 少？
二、利用三角函数法求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函数求极值。 1．若所求物理量表达式可化为“y=A sinθ cosθ”形式（即y= sin2θ）,则在θ=45o时，y有极 值A/2。
[例2]如图，n个倾角不同的光滑斜面具有共同 的底边ＡＢ，当物体沿不同的倾角无初速从顶 端滑到底端，下列哪种说法正确（ ） （A）倾角为30o时,所需时间最短。 （B）倾角为45o时,所需时间最短。 （C）倾角为75o时,所需时间最短。 （D）所需时间均相等。
七、用图象法求极值
通过分析物理过程中遵循的物理规律，找到变量间 的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
[例8]两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶， 速度均为V0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止 时，后车以前车刹车时的加速度开时刹车，已知前车在刹 车过程中行驶距离为S。在上述过程中要使两车不相撞， 则两车在匀速运动时，报持的距离至少应为：（ ）
高考复习专题四—求极值的六种方法(解析版)
微讲座(四)——求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐．下面介绍极值问题的六种求解方法．一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．某高速公路同一直线车道上有同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v 1＝30 m/s ，v 2＝10 m/s ，轿车在与货车距离x 0＝25 m 时才发现前方有货车，此时轿车只是立即刹车，两车可视为质点．试通过计算分析回答下列问题：(1)若轿车刹车时货车以v 2匀速行驶，要使两车不相撞，轿车刹车的加速度大小至少为多少？(2)若该轿车刹车的最大加速度为a 1＝6 m/s 2，轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t 0＝2 s 收到信号并立即以加速度大小a 2＝2 m/s 2加速前进，两车会不会相撞？[解析] (1)两车恰好不相撞的条件是轿车追上货车时两车速度相等，即 v 1－at 1＝v 2①v 1t 1－12at 21＝v 2t 1＋x 0②联立①②代入数据解得：a ＝8 m/s 2. (2)假设经过时间t 后，两车的速度相等 即v 1－a 1t ＝v 2＋a 2(t －t 0)此时轿车前进的距离x 1＝v 1t －12a 1t 2货车前进的距离x 2＝v 2t 0＋v 2(t －t 0)＋12a 2(t －t 0)2代入数据解得：x 1＝63 m ，x 2＝31 m 因为：x 1－x 2＝32 m>x 0，两车会相撞． [答案] (1)8 m/s 2 (2)会相撞 二、二次函数极值法 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a，当a ＜0时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a.也可以采取配方法求解．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v 自＝6 m/s 的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？[解析] 设汽车在追上自行车之前经过时间t 两车相距最远，则 自行车的位移：x 自＝v 自t汽车的位移：x 汽＝12at 2则t 时刻两车的距离Δx ＝v 自t －12at 2代入数据得：Δx ＝－32t 2＋6t当t ＝－62×⎝⎛⎭⎫－32 s ＝2 s 时，Δx 有最大值Δx max ＝0－624×⎝⎛⎭⎫－32 m ＝6 m对Δx ＝－32t 2＋6t 也可以用配方法求解：Δx ＝6－32(t －2)2显然，当t ＝2 s 时，Δx 最大为6 m. (说明：此题也可用临界法求解) [答案] 见解析 三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得：L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg （sin θ＋μcos θ）＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为：F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s(2)夹角为30°时，拉力最小，为1335N四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．质量为m 的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．[解析] 由F fF N ＝μ知，不论F f 、F N 为何值，其比值恒定由图知F fF N＝μ＝tan α，即F ′的方向是确定的．由平衡条件推论可知：mg 、F ′、F 构成闭合三角形．显然，当F ⊥F ′时，F 最小．F min ＝mg sin α＝mg tan α1＋tan 2 α＝μmg1＋μ2.(说明：此题也可用三角函数法求解．) 物体受力分析如图． 由平衡条件得：F ·cos θ＝F f ①F ·sin θ＋F N ＝mg ② 又F f ＝μF N ③联立①②③得：F ＝μmgcos θ＋μsin θ令sin α＝11＋μ2，cos α＝μ1＋μ2 则F ＝μmg1＋μ2 sin （α＋θ）当sin(α＋θ)＝1时，F min ＝μmg1＋μ2.[答案] μmg1＋μ2五、均值不等式法任意两个正整数a 、b ，若a ＋b ＝恒量，当a ＝b 时，其乘积a ·b 最大；若a ·b ＝恒量，当a ＝b 时，其和a ＋b 最小．在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中．设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节(取g ＝10 m/s 2)．(1)求运动员到达B 点的速度与高度h 的关系．(2)运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离x max 为多少？(3)若图中H ＝4 m ，L ＝5 m ，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7 m ，h 值应为多少？[解析] (1)设斜面长度为L 1，斜面倾角为α，根据动能定理得mg (H －h )－μmgL 1cos α＝12m v 20①即mg (H －h )＝μmgL ＋12m v 20②v 0＝2g （H －h －μL ）.③ (2)根据平抛运动公式 x ＝v 0t ④ h ＝12gt 2⑤ 由③④⑤式得x ＝2（H －μL －h ）h ⑥由⑥式可得，当h ＝12(H －μL )时水平距离最大x max ＝L ＋H －μL .(3)在⑥式中令x ＝2 m ，H ＝4 m ，L ＝5 m ，μ＝0.2 则可得到－h 2＋3 h －1＝0 求得h 1＝3＋52m ＝2.62 m ；h 2＝3－52m ＝0.38 m.[答案] 见解析 六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，现有质量为m ，带电量为－q 的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．[解析] 小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v ，轨道半径为R . 由牛顿第二定律得：水平方向：q v B －F N cos θ＝m v 2R竖直方向：F N sin θ－mg ＝0 两式联立得：m v 2R－q v B ＋mg cot θ＝0 因为速率v 为实数，故Δ≥0 即(qB )2－4⎝⎛⎭⎫m R mg cot θ≥0 解得：R ≥4m 2g cot θq 2B 2故最小半径为：R min ＝4m 2g cot θq 2B 2.[答案] 4m 2g cot θq 2B 21.(单选)(2016·广州模拟)如图所示，船在A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( )A ．2 m/sB ．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s 解析：选B.AB 方向为合速度方向，由图可知，当v 船⊥AB 时最小，即v 船＝v 水·sin 37°＝2.4 m/s ，B 正确．2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝θ3D ．α＝2θ解析：选B.如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿木板滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2.3．(2016·宝鸡检测)如图所示，质量为m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F 的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小．解析：(1)斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，满足 mg sin 30°＝μmg cos 30° 解得μ＝33.(2)设斜面倾角为α，受力情况如图，由匀速直线运动的条件： F cos α＝mg sin α＋F f F N ＝mg cos α＋F sin α F f ＝μF N解得：F ＝mg sin α＋μmg cos αcos α－μsin α当cos α－μsin α＝0，即cot α＝μ时，F →∞ 即“不论水平恒力F 多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°. 答案：(1)33(2)60°4．如图所示，质量为m ＝0.1 kg 的小球C 和两根细绳相连，两绳分别固定在细杆的A 、B 两点，其中AC 绳长l A ＝2 m ，当两绳都拉直时，AC 、BC 两绳和细杆的夹角分别为θ1＝30°、θ2＝45°，g ＝10 m/s 2.问：细杆转动的角速度大小在什么范围内，AC 、BC 两绳始终张紧？解析：设两细绳都拉直时，AC 、BC 绳的拉力分别为F TA 、F TB ，由牛顿第二定律可知： 当BC 绳中恰无拉力时，F T A sin θ1＝mω21l A sin θ1① F TA cos θ1＝mg ②由①②解得ω1＝1033rad/s. 当AC 绳中恰无拉力时，F TB sin θ2＝mω22l A sin θ1③ F TB cos θ2＝mg ④ 由③④解得ω2＝10 rad/s.所以，两绳始终有张力时细杆转动的角速度的范围是 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s. 答案： 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s 5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h 的B 点(垂足为A )，公路上有一辆以速度v 1匀速行驶的汽车向A 点行驶，当汽车距A 点距离为L 时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．解析：法一：设人以速度v 2沿图示方向恰好在C 点拦住汽车，用时为t .则L ＋h tan α＝v 1t ① hcos α＝v 2t ② 联立①②两式得：v 2＝h v 1L cos α＋h sin α＝h v 1L 2＋h 2⎝ ⎛⎭⎪⎫L L 2＋h 2cos α＋h L 2＋h 2sin α由数学知识知：v 2min ＝h v 1L 2＋h 2 .法二：选取汽车为参照物．人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．其中一分速度大小为v 1，另一分速度为v 2，当v 2与合速度v 垂直时，v 2最小，由相似三角形知识可得：v 2v 1＝h L 2＋h2 v 2＝h v 1L 2＋h 2 .答案：h v 1L 2＋h 26．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g .忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？解析：(1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向14d ＝12gt 2，水平方向d ＝v 1t解得v 1＝2gd .由机械能守恒定律有12m v 22＝12m v 21＋mg ⎝⎛⎭⎫d －34d 得v 2＝52gd . (2)设绳能承受的最大拉力大小为F T ，这也是球受到绳的最大拉力大小，即球运动到最低点时球所受到的拉力．球做圆周运动的半径为R ＝34d由圆周运动向心力公式，有F T －mg ＝m v 21R得F T ＝113mg .(3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有F T －mg ＝m v 23l 得v 3＝83gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l ，水平位移为x ，时间为t 1，竖直方向有d －l ＝12gt 21，水平方向x ＝v 3t 1 得x ＝4l （d －l ）3当l ＝d 2时，x 有最大值，x max ＝233d .答案：见解析 7．(原创题)如图所示，电动势为E 、内阻为r 的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～R m ，且R m >r .当R 为何值时功率最大，最大功率为多少？解析：设可变电阻为R ，则I ＝ER ＋rP ＝I 2R ＝E 2（R ＋r ）2·R ①法一：(配方法)P ＝E 2（R －r ）2R ＋4r显然，当R ＝r 时，功率最大，P max ＝E 24r.法二：(判别式法)将①式整理成关于R 的二次方程 PR 2＋(2Pr －E 2)R ＋Pr 2＝0 由于R 为实数，故Δ≥0 即(2Pr －E 2)2－4P 2r 2≥0 解得：P ≤E 24r最大值为P max ＝E 24r ，代入①式得R ＝r .答案：见解析 8.质量分别为M 、m 的斜面体A 、B 叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan α)，今用水平外力F 推B ，使两者不发生滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求F 的取值范围．(已知：m ＝3 kg ，M ＝8 kg ，μ＝0.5，α＝37°.)解析：B 恰好不向下滑动时，所需F 最小，此时B 受到最大静摩擦力沿斜面向上．如图甲所示．设两者共同的加速度为a 1，对整体有： F min ＝(M ＋m )a 1 对B 有：F min ＋F f1cos α－F N1sin α＝ma 1 F f1sin α＋F N1cos α＝mg F f1＝μ·F N1联立以上各式解得：F min ＝m （M ＋m ）（sin α－μcos α）M （cos α＋μsin α）g ＝7.5 N甲乙B恰好不上滑时所需F最大，此时B受最大静摩擦力沿斜面向下．如图乙所示．设共同加速度为a2，对整体有：F max＝(M＋m)a2对B有：F max－F f2cos α－F N2sin α＝ma2F N2cos α＝mg＋F f2sin αF f2＝μF N2联立以上各式解得：F max＝m（M＋m）（sin α＋μcos α）M（cos α－μsin α）g＝82.5 N故取值范围为7.5 N≤F≤82.5 N.答案：7.5 N≤F≤82.5 N。
高考物理二轮复习讲义：解题方法专题——极值法、图像法
极值法该专题主要讲解高考物理中常见的极值问题求解方法，试题题干中出现“至少”、“最大”、“最短”、“最长”等关键词的一般就属于极值类问题。
此类问题可以使用相关数学知识、临界条件、图像等方法来解决。
极值问题是高考的热点内容之一，涉及到的知识点较多、综合性较大，考查学生的分析推理、解决物理问题的能力。
利用数学方法求极值如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（ ）A ．轻绳的合拉力大小为cos mg μθB ．轻绳的合拉力大小为cos sin mg μθμθ+C ．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小D ．轻绳的合拉力最小时，地对石墩的摩擦也最小打桩机是基建常用工具。
某种简易打桩机模型如图所示，重物A 、B 和C 通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C 与滑轮等高（图中实线位置）时，C 到两定滑轮的距离均为L 。
重物A 和B 的质量均为m ，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C 的绳与水平方向的夹角为60°。
某次打桩时，用外力将C 拉到图中实线位置，然后由静止释放。
设C 的下落速度为35gL 时，与正下方质量为2m 的静止桩D 正碰，碰撞时间极短，碰撞后C 的速度为零，D 竖直向下运动10L 距离后静止（不考虑C 、D 再次相碰）。
A 、B 、C 、D 均可视为质点。
（1）求C 的质量；（2）若D 在运动过程中受到的阻力F 可视为恒力，求F 的大小；（3）撤掉桩D ，将C 再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A 、B 、C 的总动能最大时C 的动能。
所谓利用数学方法求极值，即根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式写出需求量与自变量间的数学函数关系式，再利用函数关系式讨论出现极值的条件和极值的大小，常见的利用函数求极值的方法有：1．三角函数法：①y ＝a sin θ＋b cos θ22a b +φ＋θ)，当φ＋θ＝90°时，函数有最大值。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结（一）利用分式的性质求极值[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。
使A作匀速直线运动。
试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。
（二）利用一元二次方程求根公式求极值有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。
它的根就可能是要求的极值。
这种方法应用是很普遍的。
（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。
将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。
今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。
证明，当m>M 时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。
由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ（1）上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3）将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。
有2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。
cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。
高三物理复习中的极值求解
高三物理复习中的极值求解高三物理复习中经常遇到极值问题，多数极值问题是在某一过程中或某一状态的物理量在其变化中，由于受到物理规律和条件的限制，其取值往往只能在一定范围内才能符合物理问题的实际，而在这一范围内，该物理量可能有最大值、最小值或确定的边界值等一些特殊的值。
极值问题可分为简单的极值问题与条件极值问题，区分的依据是根据是否受附加条件的限制。
在中学物理中，条件极值更为普遍，是教学之重点，物理极值问题涉及到力学、热学、电磁学及光学、原子物理各个部分内容，是中学物理常用的解题方法之一。
极值求解物理问题，既要明确其物理意思，又要借助于数学规律求解，既能培养学生理解、推理、分析、综合能力，又能培养学生应用数学知识处理物理问题的能力，是高层次能力的培养。
解决物理极值问题的主要方法有两类：一类是物理分析方法。
这种方法就是通过物理过程的分析抓住极值的条件进行求解。
另一类就是数学方法。
这种方法是指：通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系式，或画出函数图像，用数学方法求出物理习题的极值。
下面就上述两种主要方法列举几例：一、应用数学方法求解物理习题的极值问题(1) 二次函数法利用y=ax 2+bx+c 的图像的顶点坐标)44,2(2a b ac y a b x -=-=求极值1、 二次函数法求解关于恒定电流习题的极值问题例：如图（1）所示的电路中，已知Ω=Ω=Ω=Ω==5,3,2,5.0,3.6321R R R r V ε（为滑动变阻器的最大阻值），闭合电键S ，调节滑动变阻器的触点P ，求通过电源的电流范围。
解：假设ap 段电阻为x ，则pb 段电阻为R 3-x ，102141112312++-=-+++=∴x x x R R x R R 外 可得通过的电流I 为：264632643.61022++-=++-⨯==x x x x rR I ＋外ε令y=-x 2+4x+26=-(x-2)2+30,则有：（1） 当Ω=2x 时，y 有极大值y max =30,也即此时外电路电阻最大，Ω=++-5.2102142x x R ＝外时，此时电流有最小值，最小电流I 1＝2.1A 。
(完整版)物理中求极值的常用方法
物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。
因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。
另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。
学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。
求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b 2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。
(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。
若y ≤A ，则y max ＝A 。
3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。
（2）当x ＝A 时，常数为极大值。
4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。
当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。
当a ＝b 时， (a+b) max ＝2)(2b a +。
5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。
若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=21Asin2α，在α=45º时，y 有极值2A 。
对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。
物理中求极值的常用方法
[方法四]用均值定理法求解
考虑R＝ ，设a＝2+x；b＝8-x。
当a＝b时，即2+x＝8-x，
即x＝3Ω时，Rmax(3)＝ ＝Ω。
也可以用上面公式(a+b)max＝ ＝25，
Rmax＝ ＝ ＝Ω。
以上用四种方法求出Rmax＝Ω，下边求伏特计的最大读数。
Imin＝ ＝ ＝4(A)。Umax＝ε- Iminr＝ ＝10(V)。即变阻器的滑动头P滑到R3的中点Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。
1、利用顶点坐标法求极值
对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,
若a>0,则当x=- 时,y有极小值，为ymin= ；
若a<0,则当x=- 时,y有极大值，为ymax= ；
2、利用一元二次函数判别式求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法
利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)
若y≥A，则ymin＝A。
考虑本题分母：μsinθ+cosθ与a sinθ+b cosθ用比较法，得：a＝μ；b＝1。
于是tgф＝ ，则ф＝arc tg 。所以，μsinθ+cosθ＝ sin(θ+arctg )。
要使F最小，则分母μsinθ+cosθ需最大，因此，θ+arc tg ＝ 。
所以有：θ＝ -arc tg ＝ -arcctgμ=arctgμ。
mgsinθ—μmgcosθ— =0②
②解式得：Vmax＝ 。
综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性”，运用求极值的方法时要特别注意，求出的极值不能“出界”，要注意定义域和值域的对应关系。
物理中求极值的常用方法
物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。
因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。
另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。
学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。
求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。
(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。
若y ≤A ，则y max ＝A 。
3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。
（2）当x ＝A 时，常数为极大值。
4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。
当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。
当a ＝b 时， (a+b) max ＝2)(2b a +。
5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。
若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=21Asin2α，在α=45o 时，y 有极值2A 。
对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。
高考物理考前冲刺 临界条件与极值问题专题
高考物理考前冲刺临界条件与极值问题专题【高考要求】1.解决临界与极值问题要综合运用物理知识和数学知识。
2.高考中临界与极值问题的考查往往比较复杂，通常属于中档题或是难度较大的题。
解题时必须仔细阅读题目，弄清楚已知条件，判断出现临界、极值的条件，同时结合数学知识才能解决问题。
【知识梳理】一、临界问题1.临界问题是量变、质变在物理学上的生动体现。
当物质的运动从一种形式（或性质）转变为另一种形式（或性质）时，存在的转折点常称为临界点或临界状态；发生转折所需的条件称为临界条件。
研究临界状态、临界条件的问题就称为临界问题。
2.常见的有：静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度；碰撞中的能量临界、速度临界、位移临界；电磁感应中的动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界条件；电路中电学量的临界转折等。
3.思路：找出发生临界问题的原因找准临界状态找到临界条件4.方法：一般有两种方法。
第一是以定律、定理为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件求出临界值。
在研究临界问题时，应着重于相应物理量的取值范围和有关物理现象发生或消失条件的讨论。
二、极值问题1.在物理问题中常有一些物理量随另一物理量呈现非单调性的变化，从而存在极值问题，如电源的输出功率，两体运动中的最短距离，力学中的最小拉力等问题。
另外，物理学中还有一些具有边缘特征的问题（过程），其中就包含着一个界限，超过这个界限，将有不同的物理现象和不同的结果，如临界角、极限频率、熔点等。
2.方法：求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。
物理方法包括：⑴利用临界条件求极值；⑵利用问题的边界条件求极值；⑶利用矢量图求极值。
数学方法包括：⑴用三角函数关系求极值；用二次函数的判别式求极值；用不等式的性质求极值。
一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。
备考2020年高考物理复习攻略之方法汇总专题 极限临界方法
专题05极限临界方法极限临界方法是解决物理问题经常用到的一种方法。
伽利略应用极限临界方法探究力与运动的关系。
他做了著名的斜坡实验，在这个实验中，两个光滑斜坡对接，其中一个斜坡的倾角可以调节，当从一个斜坡某一点让小球自由滚下，能看到小球滚到另一斜坡与起点等高处，这个实验最关键的问题是要使阻力足够小，使小球达到与起点等高处，只有这样，才能进行极限思维：当斜坡倾角趋近于零时，小球运动到无穷远处，小球永不停息地运动下去。
这就是伽利略的理想实验，它一方面以真实的科学实验为根据，抓住关键性的科学事实，为理想实验的进行提供可靠的基础；另一方面，又要充分发挥极限临界方法的能动作用，进行合乎逻辑的推理。
极限临界方法实际上是依据一定的实验基础，进行理想推演的思维过程，是思维由存在向虚无、或由虚无向存在推进的过程，对于我们解决一些物理问题有所启迪：一种情况是对于有些问题不容易得出通解，我们可以应用极限临界方法求其特解（特解是理想状况下的不存在的解），由特解再回溯通解的有关特性；另一种情况是先求出问题的通解，再由极限临界方法逼近其特解，得出极值。
极限临界方法是临界方法与极限方法的综合。
典例1.（19年海南卷）如图，一段半圆形粗铜线固定在绝缘水平桌面（纸面）上，铜线所在空间有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。
当铜线通有顺时针方向电流时，铜线所受安培力的方向（）A. 向前B. 向后C. 向左D. 向右【答案】A【解析】以竖直轴为对称轴，把半圆形通电铜线对称等分，每一段通电铜线长趋近于零但不为零，每一段通电铜线可以看作直线段，对称轴两边的对称直铜线受到的安培力由左手定则确定，其方向关于对称轴对称且斜向上，合力竖直向上。
由此得出半圆形通电铜线受到的合力竖直向上。
【点评与总结】本题利用极限思维方法将半圆形通电铜线化曲为直，从而有利于问题的解决。
也可以用等效法处理：半圆形铜线的受力与水平直径长的铜导线等效。
针对训练1．（19年全国3卷）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。
2020年高考备考复习攻略之物理方法汇总 专题03 极值法 含解析
专题03 极值问题目录1.二次函数极值法 (1)2.和积不等式极值法 (6)3. 三角函数极值法 (11)4. 几何极值法 (12)极值法是中学物理教学中重要的解题方法，在问题中主要表现在求物理量极大值、极小值、临界值、物理量的取值范围等方面。
在应用极值法解题时，首先要选用合适的物理模型，应用物理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关系，再利用数学方法求其极值。
极值法可分为二次函数极值法、和积不等式极值法、几何极值法等。
1.二次函数极值法函数，依的正负，可有极大值、极小值。
①若求极植可用配方法,当，。
（综合图像解）②亦可用判别式法：整理为关于的一元二次方程：，若有实解，则，。
典例 1. （19年海南卷）三个小物块分别从3条不同光滑轨道的上端由静止开始滑下。
已知轨道1、轨道2、轨道3的上端距水平地面的高度均为；它们的下端水平，距地面的高度分别为、、，如图所示。
若沿轨道1、2、3下滑的小物块的落地点到轨道下端的水平距离分别记为、、，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】小物块在轨道上下滑的高度为h ，到轨道末端速度为v 020mv 21mgh =gh 2v 0=①在轨道末端开始做平抛运动20gt 21h -h 4=② t v s 0=③①②③得()202002h 4h 2-h -2h h 4h -2s +=+= 当0h 2h =时 水平位移s 最大当0h 3h =, 0h h =时，水平位移相等。
故选择BC【总结与点评】对于极值问题，要善于找到未知物理量与某一物理量的关联性，利用物理规律建立函数关系，然后利用函数极值法求解。
针对训练1a.. 在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中。
设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节（取;g=10m/s 2）。
求： （1）运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离S M 为多少？ （3）若图中H ＝4m ，L ＝5m ，动摩擦因数＝0.2，则水平运动距离要达到7m ，h 值应为多少？【解析】（1）运动员由到，斜面长，由动能定理得：①（2）运动员在点做平抛运动②③①②③解得④令由二次函数配方法得：当运动员最大的水平位移为：（3）把数据代入④整理得：解得：【总结与点评】本题第（2）小题求运动员的水平位移，要能自觉地利用动能定理、平抛运动规律构建平抛水平位移与竖直位移函数关系，并注意其在滑道上的水平位移保持不变，这样，构建的函数关系只有两个变量，顺理成章的应用二次函数配方极值法求出极值，也可以应用判别式法求其极值。
高中物理八大解题方法之五：极值法
高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当ab x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。
第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。
碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+vm v m v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+]二次函数求极值, 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
物理中求极值的常用方法
物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。
因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。
另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。
学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。
求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。
(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。
若y ≤A ，则y max ＝A 。
3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。
（2）当x ＝A 时，常数为极大值。
4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。
当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。
当a ＝b 时， (a+b) max ＝2)(2b a +。
5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。
若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=21Asin2α，在α=45o 时，y 有极值2A 。
对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。
物理中求极值的常用方法
物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一,其中极值的计算在教学中频繁出现;因为极值问题范围广、习题多,会考、高考又经常考查,应该得到足够重视;另外很多学生数、理结合能力差,这里正是加强数理结合的“切人点”;学生求极值,方法较少,教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法;求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手,也可以从数学方法角度思考,下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明;1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b2时,y 有极小值,为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值,为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c,用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0;式中含y 若y ≥A,则y min ＝A; 若y ≤A,则y max ＝A;3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c,函数解析式经配方可变为y=x-A 2+常数：1当x ＝A 时,常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = － x －A 2+常数;2当x ＝A 时,常数为极大值;4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为≥+2ba ab ,式中a 、b 可以是单个变量,也可以是多项式; 当a ＝b 时, a+b min ＝2ab ;当a ＝b 时, a+b max ＝2)(2b a +;5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的极值求解;若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式,则y=21Asin2α,在α=45o 时,y 有极值2A ; 对于复杂的三角函数,例如y=asin θ+bcos θ,要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ,变成同名的三角函数,比如sin θ+ф ;这个工作叫做“化一”;首先应作辅助角如所示;考虑asin θ+bcos θ＝θθcos sin 2222ba b ba a +++＝22b a + cos фsin θ+sin фcos θ＝22b a +sin θ+ф 其最大值为22b a +; 6、用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律,找到变量之间的函数关系,作出其图象,由图象可求得极值;7、用分析法求极值分析物理过程,根据物理规律确定临界条件求解极值;下面针对上述7种方法φ ab图1做举例说明;例1：如图2所示的电路中;电源的电动势ε＝12伏,内阻r ＝欧,外电阻R 1＝2欧,R 2＝3欧,滑动变阻器R 3＝5欧;求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置,电路中的伏特计的示数有最大值最大值是多少分析：设aP 间电阻为x,外电路总电阻为R.则：先求出外电阻的最大值R max 再求出伏特计示数的最大值U max ;本题的关键是求R max ,下面用四种方R max ;方法一 用顶点坐标法求解抛物线方程可表示为y ＝ax 2+bx+c;考虑R ＝10)8)(2(x x -+=101662++-x x ,设y ＝-x 2+6x+16,当x ＝ab2-＝ —)1(26-＝3时,R max 3＝101636)3(2+⨯+- ＝Ω;方法二 用配方法求解考虑R ＝10)8)(2(x x -+ ＝101662++-x x =1025)3(2+--x ;即x ＝3Ω时,R max ＝5.21025=Ω; 方法三 用判别式法求解考虑R ＝101662++-x x ,则有-x 2+6x+16-10R ＝0,Δ＝b2-4ac＝36-4-116-10R＞0,即：100-40R≥0,R≤Ω,即Rmax＝Ω;方法四用均值定理法求解考虑R＝10)8)(2(xx-+,设a＝2+x；b＝8-x; 当a＝b时,即2+x＝8-x,即x＝3Ω时,Rmax 3＝10)38)(32(-+＝Ω;也可以用上面公式a+bmax ＝2)]8)(2[(2xx-+＝25,Rmax ＝10)(maxba+＝1025＝Ω;以上用四种方法求出Rmax＝Ω,下边求伏特计的最大读数;I min ＝rR+m axε＝5.05.212+＝4A;Umax＝ε- Iminr＝⨯＝10V;即变阻器的滑动头P滑到R3的中点Ω处,伏特计有最大值,最大值为10伏;例2：如图3所示;光滑轨道竖直放置,半圆部分的半径为R,在水平轨道上停着一个质量为M＝的木块,一颗质量为m＝的子弹,以V=400m/s的水平速度射入木块中,然后一起运动到轨道最高点水平抛出,试分析：当圆半径R多大时,平抛的水平位移是最大且最大值为多少解析子弹与木块发生碰撞的过程,动量守恒,设共同速度为V1,则：mV0＝m+MV1,所以：V1=VMmm+＝smsm/4/40099.001.001.0=⨯+图3设在轨道最高点平抛时物块的速度为V 2,由于轨道光滑,故机械能守恒：所以：V 2=)/(])(4)[(21M m gR m M V M m ++-+=R R Rg V 401610444221-=⨯-=-则平抛后的位移可以表示为：s =V 2t =V 2104)4016(4RR g R ⨯-=⨯＝4R R 4.02+-;因为a=-1<0,所以水平位移S 应该存在最大值;当R=)1(24.02-⨯-=-a b =时, S max ＝例3：在一平直较窄的公路上,一辆汽车正以22m/s 的速度匀速行驶,正前方有一辆自行车以4m/s 的速度同向匀速行驶,汽车刹车的最大加速度为6m ／s 2,试分析两车不相撞的条件;解析要使二者不相撞,则二者在任一时间内的位移关系应满足 V 0t-S Vt at +<221式中S 为汽车刹车时与自行车间距 代入数据整理得：3t 2-18t+S>0, 显然,当满足∆＝b 2-4ac ≥0,即∆＝182-4⨯3S ≥0得：S ≤27m,S min =27m;当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件;例4：如图4所示;一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上,质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下,且小车始终保持静止状态,试分析：当小球运动到什么位置时,地面对小车的摩擦力最大最大值是多少解析：设圆弧半径为R,当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时,速度为V,根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：解得小球对小车的压力为：N=3mgcos θ,其水平分量为：N x =3mgsin θcos θ=θ2sin 23mg根据平衡条件,地面对小车的静摩擦力水平向右,大小为：f= N x =θ2sin 23mg可以看出：当sin2θ=1,即θ=45o 时,地面对小车的静摩擦力最大,其值为：f max =mg 23;例5：如图5所示;质量为m 的物体由力F 牵引而在地面上匀速直线运动;物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F 最小时的牵引角θ;F 的方向是随θ变化的;解析：因物体匀速直线运动,所以有： Fcos θ-f ＝①f ＝μN ＝μmg-Fsin θ ②②代人①得：Fcos θ-μmg+μFsin θ＝0 即：F ＝θμθμsin cos +mg;分母为两项不同名的三角函数,需要转化成同名的三角函数,也就是需要“化一”;由前面的“化一”结论得：a sin θ+b cos θ＝22b a +sin θ+ф考虑本题分母：μsin θ+cos θ与a sin θ+b cos θ用比较法,得：a ＝μ；b ＝1; 于是tg ф＝μ1=a b ,则ф＝arc tg μ1;所以,μsin θ+cos θ＝12+μsin θ+arc 图4tgμ1; 要使F 最小,则分母μsin θ+cos θ需最大,因此,θ+arc tgμ1＝2π; 所以有：θ＝2π-arc tg μ1＝2π-arc ctg μ=arc tg μ;即：θ=arc tg μ时,F 最小;作为教师,运用“求导数”对本题验算非常简便;F ＝θμθμsin cos +mg ;考虑0=θd dF,则有μcos θ-sin θ＝0则θ＝arc tg μ,即当F 最小时,牵引角θ＝arc tg μ;例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发,甲做匀加速直线运动,加速度为4米／秒2,4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动,加速度为2米／秒2,10秒后改为匀速直线运动,求乙追上甲之前它们之间的最大距离;分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法;由题意可知,4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V 甲=a 甲t 甲＝4⨯4＝16m ／s; 乙10秒后做匀速运动的速度为：V 乙＝a 乙t 乙＝2⨯10＝20m ／s;可画出v —t 如上图6所示;点相交,这表明在t ＝8秒时,两物体的速度相等,因此．在t ＝8秒时,两者间的距离最大;此时两图线所围观积之差,就是两者间的最大距离;即S max ＝21⨯4⨯16 + 4⨯16 — 21⨯8⨯16＝32m;用分析法求极值在物理计算中较常见;经过对物理状态或过程分析后求极值,不一定要用繁难的数学,关键是确定临界状态和过程的最值;例7：如图7所示;AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨,两条导轨间的距离为L,导轨平面与平面的夹角是θ,在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为B;在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻,一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为m,从静止开始沿导轨下滑;已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ,导轨和金属棒的电阻不计;求ab棒的最大速度;即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解;所示;在下滑过程中,ab受重力mg,支持力N＝mgcosθ,摩擦力f＝μmgcosθ,安培力F＝RVLB22;沿导轨平面有：mgsinθ-μmgcosθ-RVLB22=ma ①ab由静止加速下滑会导致：当a＝0时,ab速度到达最大,即：V＝Vmax所以①式变为mgsinθ—μmgcosθ—RVLBmax22=0 ②②解式得：Vmax＝22)cos(sinLBmgθμθ-;综上所述,求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法;针对有些习题所给的条件的“有界性”,运用求极值的方法时要特别注意,求出的极值不能“出界”,a图7B要注意定义域和值域的对应关系;例8：如图8所示;已知电流表内阻忽略不计;ε＝10V,r ＝1Ω,Ro ＝R ＝4Ω,其中R 为滑动变阻器的最大值;当滑动片P 从最左端滑到最右端的过程中,电流表的最小值是多少最大值是多少电流表的示数将怎样变化解：设滑动变阻器滑片P 左端的电阻为R 左,通过电流表的电流为I A ,通过R o 的电流为I o ,由并联电路可知A I I 0=0R R 左① 由欧姆定律得：I ＝rR +总ε即：I=144410+-++=+-+左左左左并）（R R R rR R R ε②I=I 0+I A = I A）（左10+R R ③ 把③代入②式整理得I A ＝205402++-左左R R ④用配方法对④式求极值;I A ＝205402++-左左R R =25.2625402+--）（左R 当R ＝Ω时,I A 有极小值I Amin ＝=5.2640A; 当求电流表的最大值时,就需考虑R 的取值范围是“有界”的;这时的极值要与“界”的定义域对应,不能“出界”;当R 左＝0时,即由④式得I A p 在a ＝2040＝2A; 当R 左＝R ＝4Ω时,由④式得I A P 在b ＝67.120454402=+⨯+-A; 由此可得,电流表先从2A 减小到,然后再增加到;所以电流表的最大值是2A,图8其变化是先减小后增大;综上所述,求极值的七种方法是解高中物理题的常用方法;在使用中,还要注意题目中的条件及“界”的范围;。
物理中求极值的常用方法
物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一,其中极值的计算在教学中频繁出现;因为极值问题范围广、习题多,会考、高考又经常考查,应该得到足够重视;另外很多学生数、理结合能力差,这里正是加强数理结合的“切人点”;学生求极值,方法较少,教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法;求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手,也可以从数学方法角度思考,下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明;1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b2时,y 有极小值,为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值,为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c,用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0;式中含y 若y ≥A,则y min ＝A; 若y ≤A,则y max ＝A;3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c,函数解析式经配方可变为y=x-A 2+常数：1当x ＝A 时,常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = － x －A 2+常数;2当x ＝A 时,常数为极大值;4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为≥+2ba ab ,式中a 、b 可以是单个变量,也可以是多项式; 当a ＝b 时, a+b min ＝2ab ;当a ＝b 时, a+b max ＝2)(2b a +;5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的极值求解;若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式,则y=21Asin2α,在α=45o 时,y 有极值2A ; 对于复杂的三角函数,例如y=asin θ+bcos θ,要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ,变成同名的三角函数,比如sin θ+ф ;这个工作叫做“化一”;首先应作辅助角如所示;考虑asin θ+bcos θ＝θθcos sin 2222ba b ba a +++＝22b a + cos фsin θ+sin фcos θ＝22b a +sin θ+ф 其最大值为22b a +; 6、用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律,找到变量之间的函数关系,作出其图象,由图象可求得极值;7、用分析法求极值分析物理过程,根据物理规律确定临界条件求解极值;下面针对上述7种方法φ ab图1做举例说明;例1：如图2所示的电路中;电源的电动势ε＝12伏,内阻r ＝欧,外电阻R 1＝2欧,R 2＝3欧,滑动变阻器R 3＝5欧;求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置,电路中的伏特计的示数有最大值最大值是多少分析：设aP 间电阻为x,外电路总电阻为R.则：先求出外电阻的最大值R max 再求出伏特计示数的最大值U max ;本题的关键是求R max ,下面用四种方R max ;方法一 用顶点坐标法求解抛物线方程可表示为y ＝ax 2+bx+c;考虑R ＝10)8)(2(x x -+=101662++-x x ,设y ＝-x 2+6x+16,当x ＝ab2-＝ —)1(26-＝3时,R max 3＝101636)3(2+⨯+- ＝Ω;方法二 用配方法求解考虑R ＝10)8)(2(x x -+ ＝101662++-x x =1025)3(2+--x ;即x ＝3Ω时,R max ＝5.21025=Ω; 方法三 用判别式法求解考虑R ＝101662++-x x ,则有-x 2+6x+16-10R ＝0,Δ＝b2-4ac＝36-4-116-10R＞0,即：100-40R≥0,R≤Ω,即Rmax＝Ω;方法四用均值定理法求解考虑R＝10)8)(2(xx-+,设a＝2+x；b＝8-x; 当a＝b时,即2+x＝8-x,即x＝3Ω时,Rmax 3＝10)38)(32(-+＝Ω;也可以用上面公式a+bmax ＝2)]8)(2[(2xx-+＝25,Rmax ＝10)(maxba+＝1025＝Ω;以上用四种方法求出Rmax＝Ω,下边求伏特计的最大读数;I min ＝rR+m axε＝5.05.212+＝4A;Umax＝ε- Iminr＝⨯＝10V;即变阻器的滑动头P滑到R3的中点Ω处,伏特计有最大值,最大值为10伏;例2：如图3所示;光滑轨道竖直放置,半圆部分的半径为R,在水平轨道上停着一个质量为M＝的木块,一颗质量为m＝的子弹,以V=400m/s的水平速度射入木块中,然后一起运动到轨道最高点水平抛出,试分析：当圆半径R多大时,平抛的水平位移是最大且最大值为多少解析子弹与木块发生碰撞的过程,动量守恒,设共同速度为V1,则：mV0＝m+MV1,所以：V1=VMmm+＝smsm/4/40099.001.001.0=⨯+图3设在轨道最高点平抛时物块的速度为V 2,由于轨道光滑,故机械能守恒：所以：V 2=)/(])(4)[(21M m gR m M V M m ++-+=R R Rg V 401610444221-=⨯-=-则平抛后的位移可以表示为：s =V 2t =V 2104)4016(4RR g R ⨯-=⨯＝4R R 4.02+-;因为a=-1<0,所以水平位移S 应该存在最大值;当R=)1(24.02-⨯-=-a b =时, S max ＝例3：在一平直较窄的公路上,一辆汽车正以22m/s 的速度匀速行驶,正前方有一辆自行车以4m/s 的速度同向匀速行驶,汽车刹车的最大加速度为6m ／s 2,试分析两车不相撞的条件;解析要使二者不相撞,则二者在任一时间内的位移关系应满足 V 0t-S Vt at +<221式中S 为汽车刹车时与自行车间距 代入数据整理得：3t 2-18t+S>0, 显然,当满足∆＝b 2-4ac ≥0,即∆＝182-4⨯3S ≥0得：S ≤27m,S min =27m;当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件;例4：如图4所示;一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上,质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下,且小车始终保持静止状态,试分析：当小球运动到什么位置时,地面对小车的摩擦力最大最大值是多少解析：设圆弧半径为R,当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时,速度为V,根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：解得小球对小车的压力为：N=3mgcos θ,其水平分量为：N x =3mgsin θcos θ=θ2sin 23mg根据平衡条件,地面对小车的静摩擦力水平向右,大小为：f= N x =θ2sin 23mg可以看出：当sin2θ=1,即θ=45o 时,地面对小车的静摩擦力最大,其值为：f max =mg 23;例5：如图5所示;质量为m 的物体由力F 牵引而在地面上匀速直线运动;物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F 最小时的牵引角θ;F 的方向是随θ变化的;解析：因物体匀速直线运动,所以有： Fcos θ-f ＝①f ＝μN ＝μmg-Fsin θ ②②代人①得：Fcos θ-μmg+μFsin θ＝0 即：F ＝θμθμsin cos +mg;分母为两项不同名的三角函数,需要转化成同名的三角函数,也就是需要“化一”;由前面的“化一”结论得：a sin θ+b cos θ＝22b a +sin θ+ф考虑本题分母：μsin θ+cos θ与a sin θ+b cos θ用比较法,得：a ＝μ；b ＝1; 于是tg ф＝μ1=a b ,则ф＝arc tg μ1;所以,μsin θ+cos θ＝12+μsin θ+arc 图4tgμ1; 要使F 最小,则分母μsin θ+cos θ需最大,因此,θ+arc tgμ1＝2π; 所以有：θ＝2π-arc tg μ1＝2π-arc ctg μ=arc tg μ;即：θ=arc tg μ时,F 最小;作为教师,运用“求导数”对本题验算非常简便;F ＝θμθμsin cos +mg ;考虑0=θd dF,则有μcos θ-sin θ＝0则θ＝arc tg μ,即当F 最小时,牵引角θ＝arc tg μ;例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发,甲做匀加速直线运动,加速度为4米／秒2,4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动,加速度为2米／秒2,10秒后改为匀速直线运动,求乙追上甲之前它们之间的最大距离;分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法;由题意可知,4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V 甲=a 甲t 甲＝4⨯4＝16m ／s; 乙10秒后做匀速运动的速度为：V 乙＝a 乙t 乙＝2⨯10＝20m ／s;可画出v —t 如上图6所示;点相交,这表明在t ＝8秒时,两物体的速度相等,因此．在t ＝8秒时,两者间的距离最大;此时两图线所围观积之差,就是两者间的最大距离;即S max ＝21⨯4⨯16 + 4⨯16 — 21⨯8⨯16＝32m;用分析法求极值在物理计算中较常见;经过对物理状态或过程分析后求极值,不一定要用繁难的数学,关键是确定临界状态和过程的最值;例7：如图7所示;AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨,两条导轨间的距离为L,导轨平面与平面的夹角是θ,在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为B;在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻,一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为m,从静止开始沿导轨下滑;已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ,导轨和金属棒的电阻不计;求ab棒的最大速度;即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解;所示;在下滑过程中,ab受重力mg,支持力N＝mgcosθ,摩擦力f＝μmgcosθ,安培力F＝RVLB22;沿导轨平面有：mgsinθ-μmgcosθ-RVLB22=ma ①ab由静止加速下滑会导致：当a＝0时,ab速度到达最大,即：V＝Vmax所以①式变为mgsinθ—μmgcosθ—RVLBmax22=0 ②②解式得：Vmax＝22)cos(sinLBmgθμθ-;综上所述,求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法;针对有些习题所给的条件的“有界性”,运用求极值的方法时要特别注意,求出的极值不能“出界”,a图7B要注意定义域和值域的对应关系;例8：如图8所示;已知电流表内阻忽略不计;ε＝10V,r ＝1Ω,Ro ＝R ＝4Ω,其中R 为滑动变阻器的最大值;当滑动片P 从最左端滑到最右端的过程中,电流表的最小值是多少最大值是多少电流表的示数将怎样变化解：设滑动变阻器滑片P 左端的电阻为R 左,通过电流表的电流为I A ,通过R o 的电流为I o ,由并联电路可知A I I 0=0R R 左① 由欧姆定律得：I ＝rR +总ε即：I=144410+-++=+-+左左左左并）（R R R rR R R ε②I=I 0+I A = I A）（左10+R R ③ 把③代入②式整理得I A ＝205402++-左左R R ④用配方法对④式求极值;I A ＝205402++-左左R R =25.2625402+--）（左R 当R ＝Ω时,I A 有极小值I Amin ＝=5.2640A; 当求电流表的最大值时,就需考虑R 的取值范围是“有界”的;这时的极值要与“界”的定义域对应,不能“出界”;当R 左＝0时,即由④式得I A p 在a ＝2040＝2A; 当R 左＝R ＝4Ω时,由④式得I A P 在b ＝67.120454402=+⨯+-A; 由此可得,电流表先从2A 减小到,然后再增加到;所以电流表的最大值是2A,图8其变化是先减小后增大;综上所述,求极值的七种方法是解高中物理题的常用方法;在使用中,还要注意题目中的条件及“界”的范围;。
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专题03极值问题目录1. 二次函数极值法 (1)2. 和积不等式极值法 (6)3. 三角函数极值法 (11)4. 几何极值法 (13)极值法是中学物理教学中重要的解题方法，在问题中主要表现在求物理量极大值、极小值、临界值、物理量的取值范围等方面。
在应用极值法解题时，首先要选用合适的物理模型，应用物理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关系，再利用数学方法求其极值。
极值法可分为二次函数极值法、和积不等式极值法、几何极值法等。
1.二次函数极值法函数，依的正负，可有极大值、极小值。
①若求极植可用配方法, 当，。
（综合图像解）②亦可用判别式法：整理为关于的一元二次方程：，若有实解，则，。
典例1.（19年海南卷）三个小物块分别从3条不同光滑轨道的上端由静止开始滑下。
已知轨道1、轨道2、轨道3的上端距水平地面的高度均为；它们的下端水平，距地面的高度分别为、、，如图所示。
若沿轨道1、2、3下滑的小物块的落地点到轨道下端的水平距离分别记为、、，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】小物块在轨道上下滑的高度为h ，到轨道末端速度为v 020mv 21mgh =gh 2v 0=①在轨道末端开始做平抛运动20gt 21h -h 4=② t v s 0=③①②③得()202002h 4h 2-h -2h h 4h -2s +=+=当0h 2h =时水平位移s 最大当0h 3h =, 0h h =时，水平位移相等。
故选择BC【总结与点评】对于极值问题，要善于找到未知物理量与某一物理量的关联性，利用物理规律建立函数关系，然后利用函数极值法求解。
针对训练1a..在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中。
设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节（取;g=10m/s 2）。
求：（1）运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离S M 为多少？ （3）若图中H ＝4m ，L ＝5m ，动摩擦因数＝0.2，则水平运动距离要达到7m ，h 值应为多少？【解析】（1）运动员由到，斜面长，由动能定理得：①（2）运动员在点做平抛运动②③①②③解得④令由二次函数配方法得：当运动员最大的水平位移为：（3）把数据代入④整理得：解得：【总结与点评】本题第（2）小题求运动员的水平位移，要能自觉地利用动能定理、平抛运动规律构建平抛水平位移与竖直位移函数关系，并注意其在滑道上的水平位移保持不变，这样，构建的函数关系只有两个变量，顺理成章的应用二次函数配方极值法求出极值，也可以应用判别式法求其极值。
针对训练1b.如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。
质量为的小球从高位处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。
求碰撞后小球的速度大小；碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。
为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。
如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为、……的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能，从而引起各球的依次碰撞。
定义其中第个球经过依次碰撞后获得的动能与之比为第1个球对第个球的动能传递系数a) 求b) 若为确定的已知量。
求为何值时，值最大【解析】（1）设碰撞前的速度为，根据机械能守恒定律①设碰撞后与的速度分别为和，根据动量守恒定律②碰撞过程机械能守恒③①②③解得（2）a.由④式，考虑到得根据动能传递系数的定义，对于1、2两球同理对于2、3两球碰撞后，动能传递系数应为④依次类推⑤b.将，代入④为使最大，通过配方，只需使最大当，即时，最大。
【总结与点评】本题考查了机械能守恒定律、及碰撞中的动量守恒定律、动能守恒定律，数学方面考查了递推归纳法、二次函数配方极值法的应用。
把以上物理规律与数学方法综合在一起，体现了数学方法在解决物理问题中重要作用，也让学生在解题过程中体会到数学方法的美妙。
本题是一道难度较大的压轴题。
针对训练1c.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。
球飞离水平距离d后落地，如图3所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小，和球落地时的速度大小（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动。
若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？【解析】（1）设绳断后小球的飞行时间为，由平抛规律得：解得：由机械能守恒定律得：解得：（2）设绳能承受最大拉力为,小球做圆周运动的半径为解得：（3）设绳长为，绳断时小球的速度为绳断后，小球做平抛运动解得：令由判别式得此时【总结与点评】本题是圆周运动与平抛运动的结合，要综合应用圆周运动与平抛运动规律以及动能定理来解题。
要注意绳断时的速度即为平抛初速，绳断时既是圆周运动的终点，也是平抛运动的起点，以此临界点为转折，构建其水平位移与绳长的函数关系，进而用二次函数判别式法求出水平位移最大值。
2.和积不等式极值法在数学，有算术平均数与几何平均数之别，若有，算术平均数，几何平均数为，算术平均数总大于或等于几何平均数：。
由是观之，不等式两边，若为定值，则取值最大，若为定值，取最小值。
典例2（18年北京卷）如图所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。
改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。
（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U-I图像的示意图，并说明U-I 图像与两坐标轴交点的物理意义。
（2）a．请在图2画好的U-I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；b．请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。
（3）请写出电源电动势定义式，并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。
【解析】（1）U–I图象如图所示，图象与纵轴交点的坐标值为电源电动势，与横轴交点的坐标值为短路电流（2）a．如图所示b．电源输出的电功率r 2r 2r 22=≥+RR ，积定和最小，P 取最大值。
当外电路电阻RR 2r =，即R =r 时，电源输出的电功率最大，为（3）电动势定义式根据能量守恒定律，在图1所示电路中，非静电力做功W 产生的电能等于在外电路和内电路产生的电热，即【总结与点评】构建电源的输出功率与外电阻的函数关系，利用和积不等式求解，利用和积不等式和定积最大，积定和最小。
针对训练2a .在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。
如图4所示，他们将选手简化为质量m=60kg 的指点，选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角=，绳的悬挂点O 距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。
取重力加速度，，（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F ；（2）若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。
设水对选手的平均浮力，平均阻力，求选手落入水中的深度；（3）若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。
【解析】（1）由机械能守恒定律得①在最低点解得人对绳的拉力（2）由动能定理得（3）选手从最低点开始做平抛运动且有①式解得有和积不等式知当即时，有最大值【总结与点评】本题第（3）小题中，应用动能定理与平抛运动规律推导出、的函数关系式，要有意识地整理出和定积最大的不等式形式，再利用和积不等式极值法求解即可，本题要求学生对和积不等式的各种变式要了然于心。
只有这样，才能在解题过程中熟练地应用起来。
我们发现，以上几个问题，通过构建物理模型，建立的函数关系非常相似，每个问题均可用以上三个极值法求解，你如果有兴趣，可以试试。
笔者再以2012年全国高考（大纲版）理科综合能力测试物理部分试题第26题为例，赏析三种极值法在该题中的具体应用。
针对训练2b.一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。
此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。
如图5所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。
已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=x2，探险队员的质量为m。
人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
（1）求此人落到坡面时的动能；（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？【解析】（1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x ，竖直位移为H ，由平抛运动规律有：，，整个过程中，由动能定理可得：由几何关系， 坡面的抛物线方程解以上各式得：（2）探险队员落到坡面的最小动能，可用三种方法求解 方法一：配方得极小的条件为上式中的平方项等于0，由此可得此时，则最小动能为方法二：整理为关于的一元二次方程：t v x 0由判别式得: 解不等式得： 当时， 方法三：由， 令， 则 由和积不等式得： 当时时，即，探险队员的动能最小，最小值为 【总结与点评】方法一利用配方法，方法二利用判别式法，方法三利用和积不等式求探险队员落到坡面动能的最小值，三种方法异曲同工，相得益彰。
本题不仅考查了平抛运动规律、动能定理等物理知识，也考查了抛物线方程、求极值的三种求解方法，较全面地考查了学生的综合能力，是一道名符其实的压轴题。
3. 三角函数极值法 待求物理量与角度具有关联性，建立函数关系，当角度变化时，待求物理量也发生变化，此时的极值依赖于三角函数求解。
典例3.质量为的小车，在地面上用卷扬机来牵引它，它与地面动摩擦因数为，求用力最省时的牵引角。
【解析】 [模型构建小车为质点，小车做匀速直线运动 数理整合小车受力如图，建立如图直角坐标系由平衡条件得 ① ② ③ ①②③得④1=n gh v =023min mgh E k =令代入上式当时，最小【总结与点评】牵引力的极值与力的方向有关，显然要列出两者的函数关系再根据三角函数的值域来确定其极值。
针对训练3.如图2，一个质量为的圆环用细绳悬挂着，有两个质量均为的小球套在圆环上，可沿圆环无摩擦地滑动，现将两小球同时从环的顶端释放，使其沿相反方向自由滑下，欲使圆环能够升起，求小球的最小质量。