考研数学中值定理五大注意事项

来源：文都图书

中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。

1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。

2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。

3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。

4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。

5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。

其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题

目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。

上述就是值定理需要注意的事项。希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。

考研数学复习中该注意的细节

我们在进入考研数学的复习状态时，需要注意好复习的细节问题。店铺为大家精心准备了考研数学大纲解析需要注意的细节，欢迎大家前来阅读。

考研数学结合大纲高数备考必看细节

第一，大家复习阶段已经到了强化阶段。但暑假结束后，大家就应该进入到冲刺阶段。强化阶段，大家需要注意数学题型的分类和做题方法的总结。那么冲刺阶段，大家应该进入到做真题和模拟题的阶段。对前一段的复习进行总结归纳。

通过对真题，细致的讲解，精确的归纳，可以迅速帮大家加快复习进度，切中要害，迅速提高成绩。大家可以在做真题之后，结合视频来对做题过程中出现的问题进行分析和总结。发挥自己在学习中的主动性。

第二，大家在冲刺阶段，要对整套卷的综合能力有所提高。还要对证明题有所注意，中值定理的证明，不等式的证明，积分不等式的证明，级数中的题目，也应该分类总结方法。那么对于应用题，物理应用(数学一二)，几何应用，经济学应用(数学三)大家也应该多练习些题目。大家也应该注意。考试有可能考到知识点。例如形心，质心，转动惯量，函数的平均值。曲率和曲率半径，梯度(数学一)，方向导数(数学一)，散度(数学一)，旋度(数学一)，曲线的切线和法平面(数学一)，曲面的法线和切平面(数学一)。

考研数学内容会超纲吗

第一，考研数学既然是大纲公布了

大家知道这个大纲是唯一的一个法定文件，那么就是说你要不违法，你要出题，严格按照考纲出题，不超纲，不出偏题怪题，这两句话简单解释一下。不超纲，就是说接下来的时间知识不会超纲，不会出现超纲的题目。

考研数学高数有哪些中值定理的复习重点

高等数学七大中值定理是大家在学习过程中认为最难的部分，而中值定理一般是考试中必考的，得分率不高，希望考生好好把握。店铺为大家精心准备了考研数学高数7大中值定理的复习要点，欢迎大家前来阅读。

考研数学高数7大中值定理重点详解

七大定理的归属。

零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。

对使用每个定理的体会

学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。

1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。

2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。

3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：

中值定理的应用方法与技巧

中值定理的基本形式有三种：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗

尔中值定理。它们分别适用于不同的函数类型和问题背景。

首先说一下拉格朗日中值定理。对于一个在闭区间[a,b]上连续并可

微的函数f(x)，拉格朗日中值定理给出了这个函数在[a,b]上存在一个点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。也就是说，存在一个点c，这个点的导

数等于函数在整个闭区间上的平均斜率。

这个定理的应用方法和技巧如下：

1.利用导数等于0来找出函数在闭区间上的极值点。因为根据导数中

值定理，如果函数在闭区间[a,b]上连续并可微，且导数f'(x)在[a,b]的

一些内点c处等于0，那么在[a,b]上存在至少一个点c，使得f(x)在c

点取得极值。

2.利用中值定理来证明函数在一些区间上的性质。例如，如果能够证

明函数f(x)在闭区间[a,b]上的导数f'(x)始终大于0，则可以得出结论：在该区间上函数是单调递增的。

接下来讨论柯西中值定理。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于两个函数同时存在的情况。设有两个在闭区间[a,b]上连续并可微

的函数f(x)和g(x)，且g(x)≠0。柯西中值定理给出了存在一个点c，使

得[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)。

这个定理的应用方法和技巧如下：

1.利用柯西中值定理证明函数的零点存在性。例如，如果能够证明函

数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续并可微，且f(a)≠f(b)，f(x)和g(x)

在闭区间上无共同的导数零点，则可以得出结论：在[a,b]上存在一个点

中值定理的应用方法与技巧

中值定理的使用方法和技巧

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b

a -=⎰ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=b

a b

a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。一、微分中值定理的使用方法和技巧

三大微分中值定理可使用于含有中值的等式证明，也可使用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此使用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。

例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')

()(ηϕξϕ成立。证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 使用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 使用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')

中值定理知识点总结

中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。

一、中值定理的条件

中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。

1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。

2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。

二、中值定理的应用

中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。

1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。

5.5 关于积分中值定理应用及注意事项

关于积分中值定理应用及注意事项

积分中值定理是我们学过的众多定理之一，理论上非常重要，例1. 1()()d x a

F x f t t x a =-⎰证明：它有诸多应用，如：证明函数的单调性，不等式，求极限等. 现举例加以说明：

若 f (x )在 [a , )上连续且严格单调递增，证明

+∞在(a , )内也是严格单增的.

+∞显然F (x )是[a , )上的可导函数.

+∞

考虑 211()()d (),()x

a F x f t t f x x a x a

'=-+--⎰因为 f (x )在 [a , )内连续， +∞由积分中值定理可知

()d ()(),,

x

a f t t x a f a x ξξ=-<<⎰所以 1()(()()).F x f x f x a

ξ'=--又 f (x ) 单调递增，当ξ < x 时， f (ξ) < f (x ),

从而 ()0,F x '>故F (x )在(a , )内是严格单增的.

+∞

例2. 1

lim d ().n k x n n x e x k +-→∞∈⎰求极限解：由积分中值定理可知 1

d ,1n k x k n x

e x e n n ξ

ξξ+--=<<+⎰当时，

n →∞,ξ→+∞原极限 lim k e ξξξ-→+∞

=0.

=注意事项：积分中值定理点 ξ 依赖于积分区间和被积函数，不能把它看成常数，否则，在计算或证明中就会犯错误.

比如： 10lim d 0.1n

n x x x →∞=+⎰证明若由积分中值定理，得 10d ,01,11n n x x x ξξξ=<<++⎰故原极限 lim 0.1n

考研高等数学难点解读：中值定理就得这么学_毙考题

考研高等数学难点解读：中值定理就得这么学

中值定理是考研数学的难点之一，考查考生的逻辑推理能力，在考研数学中以证明题形式出现，难度相对较大。在31年考研真题中数一查过16次，数二考查过18次，数学三考过14次，考查的重点是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。虽然中值定理是一大难点，但却有规律可循，为了方便考生复习，边一老师就中值定理给考生们做出详细解读，为你们暑期正确复习本章做好铺垫。

针对高数中的这一难点，我们2018年的考生在暑期的学习过程中应注意以下：

研究真题总结出题规律

中值定理可以通过研究考研数学真题总结出解题规律，做完真题之后要总结一下，要找大量不同的题做，如果一些基本概念不懂的，一定要回去翻课本。真题至少要做三遍以上。只要做了，做错的地方一定要反复看，如果后期有时间我建议大家再看看全书，切忌没有仔细研读课本直接看复习全书的孩子们。

做过的题一定要会

对于数学，大量做题是必不可少的，但是更重的是做过的题一定要会，这就需要反复做错的题，做错题的过程很痛苦，很打击你的积极性，但是你一定要不断的提醒自己，做错题才是让自己的复习升华的王道。考生在备考时还要多做讲义例题，而不仅仅是练习题。做例题时应遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先认真做;无论做出与否都要把自己的思路详记于空白处，尤其是做不出的，一定把自己真实的思考方式记录在案，留待日后分析，而不是对了答案就万事大吉，这样做可以迅速的找到做题的感觉。

注重解题思路与技巧培养

总之，考生在做题目时，要养成良好的做题习惯，做一个有心人，认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来，平时翻看，久而久之，自己的解题能力就会有所提高。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解中值定理题的针对性，又能提高中值定理解题速度和正确率。

中值定理使用条件

（原创版）

1.中值定理的概念

2.中值定理的使用条件

3.中值定理的应用举例

正文

【1.中值定理的概念】

中值定理，是微积分学中的一个重要定理，主要用于证明函数在某一

区间内的平均变化率等于该函数在该区间内某一点（即中间值）的瞬时变

化率，即导数。该定理在数学分析、物理学、经济学等各种学科中都有着

广泛的应用。

【2.中值定理的使用条件】

中值定理的使用条件主要有以下几点：

（1）函数的连续性：中值定理要求函数在其定义域内连续，这是使

用中值定理的最基本条件。

（2）函数的导数存在：即函数在某一区间内可导，这是使用中值定

理的核心条件。

（3）拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可导，在开

区间 (a,b) 内存在连续函数 F(x)，且 F"(c)=0，则存在ξ∈(a,b)，使

得 f(b)-f(a)=f"(ξ)F(b)-f"(ξ)F(a)。

（4）罗尔定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得 f"(ξ)=0。

【3.中值定理的应用举例】

（1）证明函数的单调性：通过中值定理，可以判断函数在某一区间内的单调性，从而对函数的性质有更深入的理解。

（2）求函数的极值：利用中值定理，可以求出函数在某一区间内的极值，为函数的优化问题提供理论依据。

（3）证明不等式：中值定理也可以用于证明一些不等式，如拉格朗日中值定理可以用于证明柯西不等式。

考研数学三大纲解析之中值定理

大纲解析之中值定理：

1，理清定理内容，熟练运用理论

定理有：费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。前四个定理属于微分中值定理的部分，中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质，最后一个为积分相关定理。而这里，除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外，其余定理是要求同学们会证明的。

2，总结做题思路，具体分析问题

中值相关证明大部分情况下应从结论出发。考研中所要求的关于中值定理这块的证明百分之六十到七十都是要去用罗尔定理来证明的。

在做此类证明时，同学们要看所要证明的式子是含一个中值还是两个中值，紧接着要看所要求的中值是属于开区间还是闭区间的。（1）所要证明的式子含有一个中值

如果是在含有一个中值的前提下，再看是否含有导数。

若是含一个中值，且这个中值时属于开区间的，并且有含有导数，这时我们往往要考研罗尔定理。

在确定用罗尔定理的前提下，紧接着我们就是构造辅助函数并且找两个点的函数值相等，当然这里同学们在找两个相等点时，不一定要求是找区间的端点，也有可能是区间内部的点。

如果含有一个中值，中值所属于的区间是开区间或者是闭区间，并且不含有导数，那考虑闭区间上连续函数的性质，在第一章闭区间上连续里我们有两个常用的定理--零点定理和介值定理。

如果区间是开区间则选择零点定理，如果区间是闭区间则选择介值定理来证明。

这是一个中值的情况。

（2）所要证明的式子含有两个中值

如果需要证明的式子中含有两个中值，这个时候同学们要考虑需要用几次定理来证明。

若是要出现两个中值，一定是用了两次中值定理。当然，在用两次定理后，这时一定会得到两个式子，而最终所得到的式子含两个中值应该为前面所得到的两个式子合并后的结果。

考研中值定理 -回复

中值定理是微积分中的重要定理之一，常用于研究函数在某个区间上的性质。中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

拉格朗日中值定理是说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在这个区间内，至少存在一点c，

使得函数在a和b之间的斜率等于函数在这个点c处的导数。

柯西中值定理是说，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在

开区间(a, b)上可导，并且第二个函数在这个区间内的导数不

为零，那么在这个区间内，至少存在一点c，使得两个函数在

这个点c处的斜率相等。

这两个定理都是基于函数连续性和可导性的前提条件，并利用导数与函数斜率的关系，通过定理结论来描述函数在一个区间内的性质。在考研中，这些定理常用于证明或推导题目，也可用于求解问题等。

考研数学有哪些复习注意事项

考研数学复习注意事项

一、注重夯实基础知识

对于概念、公式、定理、推论的理解要透彻、扎实。数学最需要强调的是基础，但很多同学不重视基础的学习，反而只是忙着做题，想通过题海战术取得考研数学高分。这就像是不会走路的孩子总想着直接跑步一样，即便是投入再大的精力，当然也无法起到预期的效果。

数学试卷80%的题目都是基础题目，真正需要冥思苦想的偏题、难题只是少数。同学们回忆一下自己做题时，先不谈解题方法，题目中涉及到的知识点是否都清楚的了解?要用到的公式、定理是否提笔就能写出来?如果做不到，那我们怎么能进入下一步寻找解题方法并写出完整的解题过程呢?事实上，大部分同学经常是在遇到题目中涉及到知识点时去翻书查找，请考生明确这样一个事实——考场上没有课本。所以，要想游刃有余的拿稳那80%的基础分，我提醒2014年的考生一定要先把基础弄的扎扎实实的，进而再进行解题能力和解题速度的训练。

二、动手动脑一个都不能少

很多同学学习数学时就喜欢看例题，看别人做好的题目，看别人分析、总结好的解题方法、步骤。只这样是远远不够的，只是一味的被动的接受别人的东西，就永远也变不成自己的东西。第一遍复习时必须自己做一些题。做题时，先不看答案，完全通过自己的能力做，不管到什么程度，起码要先自己思考，只有启动自己的大脑，才会使知识得到更深入的理解和掌握，才能真正成为自己的知识，也才会具有独立的解题能力。还有在做题时不要太轻易的选择放弃，不要想一会儿没有思路就去看答案，要勇于挑战自己，不要轻易投降，一定要仔细开动脑筋想过之后，实在不行再求助于外力。

用积分中值定理求极限要注意哪些问题？

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定积分中值定理唯一的条件就是要求被积函数连续。

其实这两道题你犯了同一个错误，利用积分中值定理的确只要函数连续就可以有其某一个函数值代入，提到积分符号外面，然后乘以积分长度来计算积分值，但是你这两道题忽略了前面的函数值的可变性，比如第一题如果当ε=1时，函数值就为1/2，当ε<1就为0了，如果这道题是在开区间你的做法就对了，但是闭区间还是应该注意一点的，同样第二题ε在取1/n时整个值就不是0了。总的来说利用积分中值定理你就要保证在整个区间中被提出的函数的极限都为0才可以

回2楼(potatolyh) 的帖子谢谢，你的思路对我有点启示！

长见识了学知识了谢谢2楼

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【考研数学】中值定理总结

精心整理

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。

1、所证式仅与ξ相关

①观察法与凑方法

2③k 3理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。

一、高数解题的四种思维定势

1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积

精心整理

分中值定理对该积分式处理一下再说。

3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

1

2

3、

4

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积分中值定理使用条件

积分中值定理是微积分中的一个重要定理，用于研究函数积分与原函数之间的关系。它是基于微积分中的平均值定理的推广，能够帮助我们得到一些重要的数学结论。要使用积分中值定理，需要满足一定的条件才能保证定理的有效性。

使用积分中值定理的条件包括：

1. 函数必须在闭区间[a, b]上连续。这是积分中值定理的基本

要求，只有函数在闭区间上连续，才能保证在这个区间上存在一个具体的数值，即函数的平均值。

2. 函数在开区间(a, b)上可导。这是积分中值定理的关键条件，只有函数在开区间上可导，才能够使用微积分中的导数概念。

3. 函数在闭区间[a, b]上可积。这是积分中值定理的另一个关

键条件，只有函数在闭区间上可积，才能够计算出函数在该区间上的积分值。

根据积分中值定理，对于满足上述条件的函数，我们可以得到如下结论：

1. 函数在闭区间[a, b]上的平均值的存在性：存在一个点c∈(a,

b)，使得函数在闭区间[a, b]上的积分值等于函数在该点c上的

函数值与a、b之差的积分。即∫[a,b] f(x)dx = f(c)(b-a)。

2. 对于满足某些特定条件的函数，我们可以通过积分中值定理推导出一些重要的定理，例如平均值定理、柯西中值定理等。这些定理在微积分的应用中具有重要的意义。

3. 积分中值定理是微积分中的一个重要工具，可以用来证明一些重要的数学结论，例如牛顿-莱布尼茨公式等。

除了上述条件外，积分中值定理还有一些其他的注意事项：

1. 积分中值定理适用于单变量函数。对于多变量函数，有类似的定理，例如多重积分中值定理。

应用积分中值定理求极限应注意的问题

辅导篇

应用积分中值定理求极限应注意的问题

任晓红　李国兴　(西北轻工业学院,陕西咸阳,712081)

利用积分中值定理可以求某些特定类型数列的极限,但是在解这类极限时,普遍容易出现两个方面的错误.以下面两例来说明.

例1　求极限lim n →∞

∫

4

0sin n

x d x 解　先考虑积分∫

4

0sin n

x d x ,由于sin n

x 在[0, 4]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0,

4]上至少存在一点 ,使得

∫

4

sin n x d x =sin n 4

因此有lim n →∞

∫ 4

sin n

x d x =lim n →∞(sin n

・ 4)=0・

4=0.

例2　求极限lim n →∞

∫

4

tan n

x d x 解:由于tan n x 在[0, 4]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0, 4

]上至少存在一点 ,使得

∫

4

tan n x d x =tan n

4

因此有

lim n →∞

∫

4

0tan n x d x =lim n →∞

(tan n

4)=0

4

=0 我们来分析一下上面两例的解法.例1的解法看似正确,其实是错误的.错误原因在于积分中

值定理是肯定了的存在性,并没有指出在区间的具体确切位置.一般地说, 依赖于被积函数和积分区间.当n 不同时,被积函数也就不同,从而在[0,

4]上的位置也就不同.因此,应记为 n ,这是应用积分中值定理求极限应注意的第一个问题.

例1的正确解法应为:

lim n →∞

∫

4

sin n x d x =lim n →∞(sin n )n

4=0

例2的解法除了犯有例1同样一种错误之外,还犯了第二种错误,错误在于应用积分中值定理所得