考研数学中值定理五大注意事项

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考研数学中值定理五大注意事项

考研数学中值定理五大注意事项来源：文都图书中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。

1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。

2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。

3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。

4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。

5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。

其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。

复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。

辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。

第二就是存在两个点使之满足某表达式。

这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。

上述就是值定理需要注意的事项。

希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。

微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。

积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。

积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。

积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

一、微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。

由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。

这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。

例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。

证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ成立。

证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。

任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。

考研数学高数有哪些中值定理的复习重点

考研数学高数有哪些中值定理的复习重点考研数学高数有哪些中值定理的复习重点高等数学七大中值定理是大家在学习过程中认为最难的部分，而中值定理一般是考试中必考的，得分率不高，希望考生好好把握。

店铺为大家精心准备了考研数学高数7大中值定理的复习要点，欢迎大家前来阅读。

考研数学高数7大中值定理重点详解七大定理的归属。

零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。

三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。

积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。

对使用每个定理的体会学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。

关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。

1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。

从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。

应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。

2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。

3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。

应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。

在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。

2012考研数学之高数--考点详解之中值定理

2012考研数学之高数--考点详解之中值定理（1）充分重视考研数学考试大纲，逐条分析，潜心研究，全面复习。

“大纲”实际上就是教育部为考生所划的复习范围，考生应参照大纲，全面复习，不留遗漏，这是复习的基本对策。

通过复习比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法。

（2）基本训练要反复进行。

对于考研数学，要做一定数量的题。

提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多样，一题多变，要训练抽象思维能力。

对一些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到“熟能生巧”。

基本功扎实的人，遇到难题办法也多。

（3）注意突出复习重点，紧紧抓住考试热点。

一般地说，大纲中要求理解的内容，要求掌握的方法就是考试的重点，而近几年的考试中重复出现的内容就是考试热点。

事实证明，最新的考题与往年的考题非常雷同的占50分左右，这些考题大部分改变一种说法，但解题思路几乎一样。

一是要注意年年被考到的内容，二是注意那些多年没考到而大纲要求的内容。

（4）注意各章节之间的内在联系，注意综合性的典型考题的分析，来提高考生解决综合性问题的能力。

数学有其自身的规律，其表现的一个重要特征是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切，这种相互之间的联系给综合命题创造了条件。

尽管考试千变万化，但是知识结构基本相同，题型相对固定。

提炼题型的目的就是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题速度和准确性。

（5）加强考研前强化训练，做几套模拟试卷必不可少。

许多考生往往看得多，练得少。

有些考生在考后抱怨题太多，做不完或做错。

其原因就是平时缺少练笔的机会以及考前没有进行强化训练。

所以建议考生在限定时间里系统做几套模拟题或样题，然后对照答案自己分析总结。

考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结

考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结中值定理这一块是考研数学的重点同时也是难点，对于中值定理这一块的相关证明题，很多同学一碰到，多数是束手无措，难以找到解题的突破口，现在跨考教育数学教研室易老师就这一问题做详细的方法介绍。

这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明（介值或零点定理），若有导数则采用微分中值定理来证明（罗尔、拉格朗日、柯西定理），这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。

一、结论中无导数的情况结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。

例1 ()f x 在[]0,3上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，证明：至少存在一点[]0,3c ∈，使得() 1.f c =分析：待证结论中无导数，则用闭区间连续函数的性质来证，且待证的结论的中值在闭区间上，故应采用介值定理来证明。

证明：()f x 在[]0,2上连续，,m M ∴∃使3(0)(1)(2)3m f f f M ≤++≤1m M ⇒≤≤,∴由介值定理可得结论。

二、结论中有导数情况① 结论中有导数，无端点信息，则采用罗尔定理来证明。

用罗尔定理来证明的常见题型：● 型一：()()0n f ξ=● 型二：结论中仅有ξ的相关表达式，且导数相差一阶用罗尔定理来证明题时，难点就在找原函数上，找原函数的常用方法分为两种，一为观察法，二为积分法。

观察法：i ）待证结论若为这种形式'()g()()g'()0()()f f f x g x ξξξξ+=⇐原函数为ii ）待证结论若为这种形式()'()()()'()0()f x fg f g g x ξξξξ-=⇐原函数为积分法：i ）待证结论若为这种形式()'()()()0()()g x dx f g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为ii ）待证结论若为这种形式()"()()'()0()'()g x dxf g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为例2 ()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(1)0,f =证明：(0,1)ξ∃∈，使得 '()2()0f f ξξξ+=分析：有导数，无端点信息，采用罗尔定理。

中值定理知识点总结

中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。

接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。

一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。

这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。

1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。

一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。

2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。

可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。

这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。

二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。

1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。

平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。

中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。

2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。

通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。

这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。

3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。

通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。

中值定理使用条件

中值定理使用条件
（原创版）
目录
1.中值定理的概念
2.中值定理的使用条件
3.中值定理的应用举例
正文
【1.中值定理的概念】
中值定理，是微积分学中的一个重要定理，主要用于证明函数在某一
区间内的平均变化率等于该函数在该区间内某一点（即中间值）的瞬时变
化率，即导数。

该定理在数学分析、物理学、经济学等各种学科中都有着
广泛的应用。

【2.中值定理的使用条件】
中值定理的使用条件主要有以下几点：
（1）函数的连续性：中值定理要求函数在其定义域内连续，这是使
用中值定理的最基本条件。

（2）函数的导数存在：即函数在某一区间内可导，这是使用中值定
理的核心条件。

（3）拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可导，在开
区间 (a,b) 内存在连续函数 F(x)，且 F"(c)=0，则存在ξ∈(a,b)，使
得 f(b)-f(a)=f"(ξ)F(b)-f"(ξ)F(a)。

（4）罗尔定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得 f"(ξ)=0。

【3.中值定理的应用举例】
（1）证明函数的单调性：通过中值定理，可以判断函数在某一区间内的单调性，从而对函数的性质有更深入的理解。

（2）求函数的极值：利用中值定理，可以求出函数在某一区间内的极值，为函数的优化问题提供理论依据。

（3）证明不等式：中值定理也可以用于证明一些不等式，如拉格朗日中值定理可以用于证明柯西不等式。

考研数学三大纲解析之中值定理

大纲解析之中值定理：1，理清定理内容，熟练运用理论定理有：费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。

前四个定理属于微分中值定理的部分，中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质，最后一个为积分相关定理。

而这里，除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外，其余定理是要求同学们会证明的。

2，总结做题思路，具体分析问题中值相关证明大部分情况下应从结论出发。

考研中所要求的关于中值定理这块的证明百分之六十到七十都是要去用罗尔定理来证明的。

在做此类证明时，同学们要看所要证明的式子是含一个中值还是两个中值，紧接着要看所要求的中值是属于开区间还是闭区间的。

（1）所要证明的式子含有一个中值如果是在含有一个中值的前提下，再看是否含有导数。

若是含一个中值，且这个中值时属于开区间的，并且有含有导数，这时我们往往要考研罗尔定理。

在确定用罗尔定理的前提下，紧接着我们就是构造辅助函数并且找两个点的函数值相等，当然这里同学们在找两个相等点时，不一定要求是找区间的端点，也有可能是区间内部的点。

如果含有一个中值，中值所属于的区间是开区间或者是闭区间，并且不含有导数，那考虑闭区间上连续函数的性质，在第一章闭区间上连续里我们有两个常用的定理--零点定理和介值定理。

如果区间是开区间则选择零点定理，如果区间是闭区间则选择介值定理来证明。

这是一个中值的情况。

（2）所要证明的式子含有两个中值如果需要证明的式子中含有两个中值，这个时候同学们要考虑需要用几次定理来证明。

若是要出现两个中值，一定是用了两次中值定理。

当然，在用两次定理后，这时一定会得到两个式子，而最终所得到的式子含两个中值应该为前面所得到的两个式子合并后的结果。

根据历年真题的详细解读，含有两个中值的情况一般同学们可考虑用两次拉格朗日中值定理或一次拉格朗日中值定理和一次柯西定理。

具体怎么用这个两个定理，以及如何选择辅助函数，一般可以通过所要证明的式子来确定。

考研竞赛凯哥微分中值定理笔记

考研竞赛凯哥微分中值定理笔记【考研竞赛凯哥微分中值定理笔记】1. 导言在数学考研和竞赛中，微分中值定理是一个非常重要的概念。

它不仅在微积分学科中具有重要地位，而且在实际问题中也有广泛的应用。

本篇文章将围绕微分中值定理展开深入探讨，从概念、原理到应用，帮助读者全面了解和掌握这一重要内容。

2. 概念解析微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分学中的一个基本定理，它刻画了函数在某一区间内平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

具体来说，对于可导函数f(x)，在区间[a, b]内一定存在一点ξ，使得f'(ξ)等于f(b)-f(a)除以b-a，即f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

3. 原理探究微分中值定理的证明和理解对于深入学习微积分至关重要。

通过介绍导数的几何意义和连续函数的性质，可以辅助读者更好地理解微分中值定理成立的原因和内在含义。

也可以通过实例和图表加深理解，使读者对微分中值定理有直观的认识。

4. 应用拓展微分中值定理不仅在理论数学中有着重要作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

利用微分中值定理可以证明某些函数的性质，解决一些优化问题，甚至在物理、经济学等领域都有具体的应用。

通过具体的案例分析，我们可以看到微分中值定理在实际问题中的丰富应用。

5. 总结回顾微分中值定理作为微积分领域的重要内容，不仅有着深厚的理论基础，同时也具有广泛的应用前景。

通过本篇文章的深入剖析，相信读者已经对微分中值定理有了更加全面、深刻的理解。

在今后的学习和工作中，让我们善用微分中值定理，去探索更广阔的数学领域和解决实际问题。

6. 个人观点在我看来，微分中值定理不仅是一种数学工具，更是一种思维方式。

它教会我们从平均变化率和瞬时变化率的关系中触发思考，引导我们理解函数变化的规律，并以此解决实际问题。

这种思维方式对于数学学科的深入理解和应用能力的培养都起着重要的作用。

通过以上的分析，相信读者对考研竞赛凯哥微分中值定理已经有了更全面、深入的了解。

(完整版)【考研数学】中值定理总结

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。

1、所证式仅与ξ相关①观察法与凑方法1 ()[0,1](0)(1)(0)02()(,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ'''''ζ--='''''''=L 例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0()(1)()()f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=⇒--='=--，那么把式变一下：这时要构造的函数就看出来了②原函数法⎰-⎰-⎰===⇒=⇒+=⇒='ζζζ=ζ'∈ζ∃==⎰dxx g dx x g dxx g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )()()( )()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00③一阶线性齐次方程解法的变形法0 ()()()[,](,)()0()()(,)()()()()0[()()]pdx pdxf pf p x u x e F x f e f x a b c a b f c f f a a b f b af f a f b a f f a '+=⎰⎰==⋅'∈=ξ-'ξ∈ξ=-ξ-'ξ-=-'⇒ξ-对于所证式为型，（其中为常数或的函数）可引进函数，则可构造新函数例：设在有连续的导数，又存在，使得求证：存在，使得分析：把所证式整理一下可得：11[()()]00 () C=0()[()()]()()()0()() x xdx b a b a b a f f a f pf b a u x e e F x e f x f a f b f a f c f b f a b a ---'-ξ-=+=-⎰==--'==⇒=-－－，这样就变成了型引进函数＝（令），于是就可以设注：此题在证明时会用到这个结论2、所证式中出现两端点①凑拉格朗日ab a af b bf f f F x xf x F f f ab a af b bf b a b a b a x f --=ζ'ζ+ζ=ζ'=ζ'ζ+ζ=--∈ζ)()()()()( ),()( )()()()(),( ),(],[)( 3 下用拉格朗日定理验证一可以试一下，不妨设证的式子的特点，那么分析：很容易就找到要使得证明至少存在一点内可导上连续，在在设例②柯西定理数就很容易证明了用柯西定理设好两个函没有悬念了于是这个式子一下变得分子分母同除一下是交叉的，变换一下，发现容易看出来了这题就没上面那道那么的式子分析：先整理一下要证，使得至少存在一点可导，证明在在，设例 )()( )()( )()()()()()()()( ),(],[)( 4 1212212121212121111012121221212121x x x x x x x x x x x x x x x x e eex f e x f ex f e x f e c f c f ee xf e x f e c f c f x f x f e e e e c x x x x x f x x ---'-=--'-=-<<+ ③k 值法。

2018考研数学中值定理证明题技巧

2018考研数学中值定理证明题技巧第一篇：2018考研数学中值定理证明题技巧为学生引路，为学员服务2018考研数学中值定理证明题技巧在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面本文对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位考生参考。

一、中值定理证明题的特点中值定理证明题主要有以下一些特点：1.中值定理证明题常常需要作辅助函数；2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质（包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理），微分中值定理和积分中值定理；3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理；4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。

二、中值定理证明题的常用方法中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种：1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明；对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质；2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理；3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明：6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。

对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一，这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助。

2023考研数学复习避开的五大问题

2023考研数学复习避开的五大问题2023考研数学复习避开的五大问题考研数学学生中，每年都会有同学因为各种各样的问题而考研失败。

下面就在这把最容易出现的问题总结几点出来。

一、根底不牢。

考研数学的定理、公式等很多，而每一道题都由这些定理公式构成，定理公式的不同组合又相成新的题型，在每年的考研真题中大家就可以看出，难题怪题很少几乎没有，大局部都是根底知识，但为什么还有那么多的同学成绩不好?究其原因就是根底不牢。

为了纯熟掌握，结实记忆和理解所有的定理，公式。

一定要先复习所有的公式，定理，然后再大量的练习根底题。

做这些根底题时能作到一看便知其过程，心算就能得到其结果，这样就说明真正掌握了根底习题的内容。

这些题看起来外表简单，目的单一，但它们主要帮助我们熟悉和掌握定理，公式。

但别小看这些习题，假如把整个习题看成一座城堡，定理，公式等可比做砖瓦，而根底习题就可看成砖瓦垒起的.一堵墙，纯熟掌握一道根底习题就相当于直接拥有一堵墙，这样，构建城堡我们岂不随心所欲，是不是像搭积木一样方便。

二、过于根底。

凡事正好，过犹不及。

我们知道，打牢根底的目的是为了进步成绩，而不是停留在根底阶段。

开场复习的时候以根底为主，在充分掌握根底知识的情况下，就要进展进步练习。

三、没有方案。

因为数学科目考察内容非常多，需要同学们在复习之初有个宏观理解，并制定可行的复习方案，防止杂乱无章眉毛胡子一把抓的状态。

四、方案拖延。

方案很完美，但是没有按方案执行，那一切都是空想。

即使有的同学一开场耽误了，但只要及时醒悟，不用急时间够不够用，只要你想到了，任何时候都不算晚。

当你想到时，确定好自已的大目的，再分割成小块，分步实现。

实现这些小目的块时，一定要不折不扣，持之以恒。

我们需要合理安排时间，制定出合理的学习方案。

但最重要的也是最简单的，要“严格遵守自已的诺言”，克制贪玩，贪睡，懒惰，悲观，消极的思想与习惯。

总之，持之以恒的完成制定的方案是所有方法中最最重要的，也可以说，它是决定个人命运的关键。

考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总

目录第一部分：中值定理结论总结 (1)1、介值定理 (1)2、零点定理 (2)3、罗尔定理 (2)4、拉格朗日中值定理 (2)5、柯西中值定理 (2)6、积分中值定理 (3)第二部分：定理运用 (3)第三部分：构造函数基本方法 (9)一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系 (10)二、二阶导数与原函数之间关系 (11)第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型) (14)题型一：中值定理中关于θ的问题题型二：证明f(n)(ξ)=0题型三：证明f(n)(ξ)=C0(≠0)题型四：结论中含一个中值ξ，不含a,b，导数的差距为一阶题型五：含两个中值ξ,η的问题题型六：含a,b及中值ξ的问题题型七：杂例题型八：二阶保号性问题题型九：中值定理证明不等式问题（第一部分：中值定理结论总结1、介值定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于 A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上有最大值 M ，最小值m,若 m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得 f(ξ)=C 。

闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数 f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号，即 f(a).f(b)<0, 那么在开区间内至少存在一点ξ使得 f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为 0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a) g(b)-g(a)=f`(ξ) g`(ξ)Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

考研高数中值定理的复习方法

考研高数中值定理的复习方法我们在复习考研高数的时候，需要找到中值定理的复习方法。

店铺为大家精心准备了考研高数中值定理的复习攻略，欢迎大家前来阅读。

考研高数中值定理的复习技巧一、研究真题总结出题规律中值定理可以通过研究考研数学真题总结出解题规律，做完真题之后要总结一下，要找大量不同的题做，如果一些基本概念不懂的，一定要回去翻课本。

真题至少要做三遍以上。

只要做了，做错的地方一定要反复看，如果后期有时间我建议大家再看看全书，切忌没有仔细研读课本直接看复习全书的孩子们。

二、做过的题一定要会对于数学，大量做题是必不可少的，但是更重的是做过的题一定要会，这就需要反复做错的题，做错题的过程很痛苦，很打击你的积极性，但是你一定要不断的提醒自己，做错题才是让自己的复习升华的王道。

考生在备考时还要多做讲义例题，而不仅仅是练习题。

做例题时应遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先认真做;无论做出与否都要把自己的思路详记于空白处，尤其是做不出的，一定把自己真实的思考方式记录在案，留待日后分析，而不是对了答案就万事大吉，这样做可以迅速的找到做题的感觉。

三、注重解题思路与技巧培养总之，考生在做题目时，要养成良好的做题习惯，做一个有心人，认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来，平时翻看，久而久之，自己的解题能力就会有所提高。

对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。

数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解中值定理题的针对性，又能提高中值定理解题速度和正确率。

四、巩固基础，熟悉自己的解题体系当然，一味的靠做题来提高中值定理的数学能力也是不足取的。

曾有一个考生，平时的解题能力很高，但最后的考试成绩却不是很理想，谈到自己失利的原因时，他说，自己平时几乎全部靠做题来提高水平，而对知识点缺乏更高层次上的把握和运用，导致遇到陌生的题目时，得分率严重下降。

应用积分中值定理求极限应注意的问题

辅导篇应用积分中值定理求极限应注意的问题任晓红　李国兴　(西北轻工业学院,陕西咸阳,712081)利用积分中值定理可以求某些特定类型数列的极限,但是在解这类极限时,普遍容易出现两个方面的错误.以下面两例来说明.例1　求极限lim n →∞∫40sin nx d x 解　先考虑积分∫40sin nx d x ,由于sin nx 在[0, 4]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0,4]上至少存在一点 ,使得∫4sin n x d x =sin n 4因此有lim n →∞∫ 4sin nx d x =lim n →∞(sin n・ 4)=0・4=0.例2　求极限lim n →∞∫4tan nx d x 解:由于tan n x 在[0, 4]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0, 4]上至少存在一点 ,使得∫4tan n x d x =tan n4因此有lim n →∞∫40tan n x d x =lim n →∞(tan n4)=04=0 我们来分析一下上面两例的解法.例1的解法看似正确,其实是错误的.错误原因在于积分中值定理是肯定了的存在性,并没有指出在区间的具体确切位置.一般地说, 依赖于被积函数和积分区间.当n 不同时,被积函数也就不同,从而在[0,4]上的位置也就不同.因此,应记为 n ,这是应用积分中值定理求极限应注意的第一个问题.例1的正确解法应为:lim n →∞∫4sin n x d x =lim n →∞(sin n )n4=0例2的解法除了犯有例1同样一种错误之外,还犯了第二种错误,错误在于应用积分中值定理所得到的属于闭区间,而不是开区间.∵ n ∈[0, 4],∴　0≤tan n n ≤1由于不能排除 n = 4,即tan n n =1的情况,因此lim n →∞tan nn =0是不正确的.(下转42页)33V ol.3No.4Dec.2000 高等数学研究ST UDIES IN COLLE GE M AT HEM AT ICS 收稿日期:2000-04-11若P i ,P j ∈S ,求出M ,N 所有解,设有一组,以P i 为原点建立新坐标系,需要旋转的角度为( - i 1,( - i 2)(i =1,2,…,l )用定理1判定其余n -2个点是否满足条件,若满足则n 口旧井均可利用,否则n 口旧井不能全部利用.六、模型的推广在地质勘探、地质测量及各种观测点的设置中,都会碰到如何利用旧观测点,以减少新观测点的问题.本文问题(1)的算法时间复杂度为n 2,可以认为是简便有效的算法,因此具有广泛的应用.七、模型算法评价本文所采用的算法最大的优点是对问题(1)、(2),均能证明求出的解为最优解.1.在求解问题1时,提出并证明了一个重要的定理1.利用定理1,不使用穷举法,就可找出满足题目要求T 的最大值,从而大大简化了求解过程.2.对于问题(2)的求解与证明,对于其它问题,不一定适用,具有一定的局限性.参考书目[1]陆守一,唐小明.地理信息系统实用教程.北京:中国技术出版社.1998年[2]姜启源.数学模型.北京高等教育出版社.1993年(上接33页)这是应用积分中值定理求极限时应注意的第二个问题.事实上,例2虽然与例1形式相同,但不能用积分中值定理求解.正确的解法是利用定积分的比较性质以及夹逼准则,求解如下:令u =tan x 则当x =0时u =0;当x = 4时,u =1,d u =sec 2x d x ,∴　d x =d u 1+tan 2x =d u1+u 2故有　∫40tan nx d x =∫10u n1+u2d u由于un2≤u n 1+u 2≤u n u 2+u2=u n -22当n >1时,0≤u ≤1∫1u n2d u ≤∫10u n1+u2d u ≤∫1un -22d u即12(n +1)≤∫10u n1+u2d u ≤12(n -1)由于　lim n →∞12(n +1)=0,lim n →∞12(n -1)=0,所以lim n →∞∫4tan nx d x =lim n →∞∫1u n1+u 2d u =0 与例2类似的题目,如:lim n →∞∫1x n1+xd x ,lim n →∞∫1x n ex1+e d x 等,虽然都是以定积分的形式出现,但已不能用积分中值定理求解.42 高等数学研究 2000年12月。

5.5 关于积分中值定理应用及注意事项

关于积分中值定理应用及注意事项积分中值定理是我们学过的众多定理之一，理论上非常重要，例1. 1()()d x aF x f t t x a =-⎰证明：它有诸多应用，如：证明函数的单调性，不等式，求极限等. 现举例加以说明：若 f (x )在 [a , )上连续且严格单调递增，证明+∞在(a , )内也是严格单增的.+∞显然F (x )是[a , )上的可导函数.+∞考虑 211()()d (),()xa F x f t t f x x a x a'=-+--⎰因为 f (x )在 [a , )内连续， +∞由积分中值定理可知()d ()(),,xa f t t x a f a x ξξ=-<<⎰所以 1()(()()).F x f x f x aξ'=--又 f (x ) 单调递增，当ξ < x 时， f (ξ) < f (x ),从而 ()0,F x '>故F (x )在(a , )内是严格单增的.+∞例2. 1lim d ().n k x n n x e x k +-→∞∈⎰求极限解：由积分中值定理可知 1d ,1n k x k n xe x e n n ξξξ+--=<<+⎰当时，n →∞,ξ→+∞原极限 lim k e ξξξ-→+∞=0.=注意事项：积分中值定理点 ξ 依赖于积分区间和被积函数，不能把它看成常数，否则，在计算或证明中就会犯错误.比如： 10lim d 0.1nn x x x →∞=+⎰证明若由积分中值定理，得 10d ,01,11n n x x x ξξξ=<<++⎰故原极限 lim 0.1nn ξξ→∞==+这种解法是错误的.原因是定理中的ξ 依赖于积分区间和被积函数. 本题中，随着n 的不同，被积函数是变化的，从而ξ 在(0,1)内的位置也不同，记作 ξn .当时， 01n ξ<<lim()n n n ξ→∞未必为0，从而原极限 ()lim 1nn n n ξξ→∞=+未必为0.解法一：当时， 01x <<0,1n n x x x <<+有故 100d 1n x x x <+⎰10d n x x <⎰1,1n =+由夹逼定理， 10lim d 0.1n n x x x →∞=+⎰解法二：由推广的积分中值定理， 11001d d 11nnx x x x x ξ=++⎰⎰1,(1)(1)n ξ=++存在 01,ξ<<原极限 1lim (1)(1)n n ξ→∞=++0.=例3. 1000d 100xe x x -+⎰ 估计的值解：由推广的积分中值定理，有 100100001d =d 100100+x x e x e x x ξ--+⎰⎰1001=(1)(0100)100+e ξξ--<<111200100+100ξ<<由于所以 100100100011(1)d (1)200100100xe e x e x ----<<-+⎰注：若本题直接应用积分中值定理来估计，由于积分区间长度为100，而被积函数的最值相差也不小，则估计的范围会比较大。

考研数学考场答题五大注意关键事项

考研数学：考场答题五大注意事项有关中值定理旳证明问题是历年出题旳一种热点，将中值定理和介值定理或积分中值定理结合命题是比较常用旳命题形式。

一方面复习一下各大定理：1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上持续，且在该区间旳端点取不同旳函数值f(a)=A 及f(b)=B，那么对于A与B之间旳任意一种数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξPs:c是介于A、B之间旳，结论中旳ξ取开区间。

介值定理旳推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上持续，则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=C。

2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上持续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)。

f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间持续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：(1)、在闭区间[a,b]上持续;(2)、在开区间(a,b)内可导;(3)、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b)。

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξPS：在用罗尔定理时，核心是找出辅助函数，且结论成立前提为开区间内取值4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：(1)、在闭区间[a,b]上持续;(2)、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足(1)、在闭区间[a,b]上持续;(2)、在开区间(a,b)内可导;(3)、对任一x(a那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(ξ)/g`(ξ)Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

题设或证明结论中具有一般旳a,b,f(a)，f(b)时，常常可考虑直接用拉格朗日中值定理或运用柯西中值定理证明。