第8章.欧几里得空间doc

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第八章欧氏空间

第八章欧氏空间

第九章欧氏空间[教学目标]1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。

2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念,理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质,重点掌握施密特正交化方法。

3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。

4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系,掌握正交变换的几个等价条件。

5理解子空间的正交和正交补的概念,掌握正交补的结构和存在唯一性。

6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系,掌握实对称矩阵特征值的性质,重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。

[教学重难点]欧氏空间的定义,求向量的长度和夹角的方法,施密特正交化方法,正交变换与正交矩阵的关系,用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。

[教学方法]讲授,讨论和习题相结合。

[教学时间]18学时。

[教学内容]欧氏空间的定义和性质,标准正交基,同构,正交变换,子空间,对称矩阵的标准形,向量到子空间的矩离、最小二乘法*。

[教学过程]§1 定义、性质定义1:设V 是R 上的一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,如果它具有以下性质:(1)),(),(αββα= (2)),(),(βαβαk k = (3)),(),(),(γβγαγβα+=+(4)0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。

这里R k V ∈∈,,,γβα,则V 称为欧几里得空间(简称欧氏空间) 例1、例2。

练习:394P 1(1)。

定义2:非负实数),(αα称为α的长度,记为α 性质:ααk k =单位向量:长度为1的向量。

α单位化:αα-Cauchy Буняковский不等式:βα,∀,有βαβα≤),(等号成立当且仅当βα,线性相关。

在不同内积中,-Cauchy Буняковский不等式的具体例子:例1中,22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ例2中,2121)()()()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f 394P 1、(2)中,∑∑∑∑∑∑======≤n j ni j i ijn j ni ji ijnj ni j i ij y y ax x ay x a 111111定义3:非零向量βα,的夹角βα,为βαβαβα),(arccos,=, πβα≤≤,0。

第八章 欧氏空间

第八章 欧氏空间

例3 在R3中,向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直,记为:
注意: 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量,问:R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间?
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注: (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中,由n个向量组成的正交向量组称为 正交基,由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基,则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量,k为实数,这样的线性空间V
称为欧几里得空间,简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间

欧几里得空间

欧几里得空间

例2
在 R n 里,对于任意两个向量
( x1 , x2 ,..., xn ), ( y1 , y2 ,..., yn )
规定:
, x1 y1 2 x2 y2 ... nxn yn
R n 关于这个内积也构成一个 不难验证,
欧氏空间.
以后凡说到欧式空间 R n 均指例1中所述的空间。
k , 1 k , k 1 1 k 1 取 k k 1 , 1 k 1 , k 1
可看出 k 是 1 , 2 ,, k 的线性组合。 由 得
1, 2 ,, k 线性无关, k 0,
又因为 1 , 2 ,, k 1 两两正交。 所以
所以 1 , 2 ,, n 线性无关.
标准正交基:
定义:
设V 是一个n 维欧氏空间,如果V 中有
n 个向量 1 , 2 ,, n 构成一个正交组,那么
这个n 个向量构成V 的一个基。叫做V 的一个 正交基。 如果正交基还是一个标准正交组,那么就称 这个基是一个标准正交基。
在标准正交基下,向量的内积计算最简单。
欧氏空间的基本性质:
1. 对于任意的 V ,有 0, 0 ,特别 0,0 0 。
2.
设 为V中某一向量,若对于V中任何向量 都有
, 0 ,
则 0ຫໍສະໝຸດ 。3. 对于任意的 i , j V 及 ai , bj R (i 1, 2,l ; j 1, 2,t ) 恒有:
向量的夹角:
定义:
非零向量 α, β 的夹角规定为:
= arccos
记为:
α, β α β
.
0
, 0

高等代数欧几里得空间课件

高等代数欧几里得空间课件

矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列,可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质,如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则,矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律,即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间,且 $W_1 cap W_2 = {0}$, 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间,且 $u in W$,则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩,且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A,如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x,使得Ax=λx成立, 则称λ为矩阵A的特征值,x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示

第8章 欧氏空间

第8章 欧氏空间

例2 在欧氏空间 C[0, 2] 中, 函数组 1, cosx, sinx, … , cosnx, sinnx, … 构成 C[0, 2] 的一个正交组. 这是因为:

2 0
2
0
1dx = 2 , , m = n sin mx sin nxdx = 0, m n
2
<x, h>2 ≤ <x, x> <h, h>
当且仅当 x 与 h 线性相关时上式等号才成立.
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证明 1) 若x 与 h 线性相关,则或h = 0 或 h = ax , 都有
<x, h>2 = <x, x> <h, h>,
2) 若x 与 h 线性无关,则 t R, tx +h 0, 所以
2 n
x V, a R, 有
| ax |= < ax , ax > = a < x , x > =| a || x |
2
把长度为1的向量叫做单位向量. 所以向量 x 的 长度为: x/|x | .
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柯西施瓦兹不等式、向量的夹角
定理8.1.1 在欧氏空间里, 对任意向量x, h , 有
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例2 在Rn里对于任意两个向量 x = (x1, x2, ... , xn) , h = (y1, y2, ... , yn) , 规定 < x , h > = 1x1 y1 + 2x2 y2 + ... + nxn yn 容易验证 Rn 对此内积也构成一个欧氏空间.
内积可以构成不同的欧氏空间.
例1, 例2说明在同一向量空间中引入不同的

欧几里得空间

欧几里得空间

第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵,而12(,,,)n x x x α=,12(,,,)n y y y β=.在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1)证明:在这个定义之下,n R 成一欧氏空间; 2)求单位向量1(1,0,,0)ε=,2(0,1,,0)ε=,,(0,0,,1)n ε=的度量矩阵;3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。

解 1)只要证明按定义'(,)αβαβ=A (是数,等于其转置)的一个二元实函数是一个内积就可以了。

1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ;2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ;3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4 ',(,)ij i j i ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵,所以,ij i j i ja x x ∑是正定二次型,从而(,)0αα≥,并且仅当0α=时,(,)0αα=。

由此可见,n R 在这一定义之下成一欧式空间。

2)设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,此即 =B A .3),(,)ij i j i ja x x αβ=∑,α==β==,故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,,ij i jiji i ji ja x yay y ≤∑∑2、 在4R 中,求,αβ之间的夹角,αβ<>(内积按通常定义),设 1)(2,1,3,2)α=,(1,2,2,1)β=-; 2)(1,2,2,3)α=,(3,1,5,1)β=; 3)(1,1,1,2)α=,(3,1,1,0)β=-;解 1)(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=,所以 .2αβπ<>=. 2)(,)18αβ=,(,)18αα=,(,)36ββ=,cos ,αβ<>==,所以.4αβπ<>=.3)(,)3αβ=,(,)7αα=,(,)11ββ=,cos ,αβ<>=,所以1.arccos αβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离,证明:(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+. 证 由文献[1]P.362的三角形不等式,有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+. 4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-,(1,1,1,1)--,(2,1,1,3)正交。

欧式空间

欧式空间

欧式空间————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。

这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念,从而可以合理的定义有向量的长度和夹角,这样的向量空间称为欧氏空间,在许多领域里有广泛的应用。

学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。

§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。

我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。

我们要根据几何内积所满足的性质来定义,回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。

所以在抽象的讨论中,我们取内积作为基本的概念。

定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间,有一个V V ⨯到R 的二元实函数,记作(,)αβ,具有以卡性质:,,V αβγ∀∈,k R ∀∈1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥, 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。

在需要和其它的内积区别的时候,我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。

在欧氏空间的定义中,对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。

几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质,所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。

例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈,规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=,则n R 作成一个欧氏空间。

欧几里得空间 (小结)

欧几里得空间 (小结)

一、欧氏空间 1.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.
2.柯西—布涅可夫斯基不等式: (α, β)2≤(α, α)(β, β) 3.向量的长度: | | ( , )
( , ) , (0 ) 4.两个非零向量α与β的夹角: arccos
若(α, β)=0,则α与β正交.
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(5) 设A是实对称矩阵,则属于A的不同特征值的
特征向量是正交的.
(6) 任一个n级实对称矩阵A都可以正交对角化,
即存在正交矩阵U,使得 UTAU=U-1AU 是对角形
式,相应地有对于欧氏空间V的任一个对称变换σ,
存在V的标准正交基, σ在这个标准正交基下的矩 阵是对角形式.
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二、标准正交基 1. 标准正交基的概念.
2. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.
3. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正 交矩阵. 反过来,假如两个基之间的过渡矩阵是
正交矩阵,而且其中一个基是标准正交基,那么
另一个基也是标准正交基.
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三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.
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五、欧氏空间的同构
1. 欧氏空间同构的概念. 2. 两个有限维欧氏空间同构<=>它们的维数相同. 3. 每个n维欧氏空间都与Rn同构. 本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正 交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩 阵.
难点是正交变换、正交补、对称变换.
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2. 欧氏空间的子空间V1的正交补的概念.
3. 设V1是V的子空间,则有V=V1⊕V1⊥,且任意 α∈V可以唯一写成α=α1+α2,其中α1∈V1,α2∈V1⊥, 则称α1是α在V1上的内射影.

欧式空间的定义

欧式空间的定义

欧式空间的定义欧几里德空间编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间,它使得我们能够对其的拓扑性质,在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

简介编辑约在公元前300年,古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则,现称为欧几里得几何。

欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”,他接着分析三维物体的“立体几何”,所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度,而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。

这些数学空间还可被扩展到任意维的情形,称为实内积空间(不一定完备),希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。

为了开发更高维的欧几里得空间,空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。

尽管这样做的结果导致数学非常抽象,但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质,即平面性。

还另存在其他种类的空间,例如球面则非欧几里得空间,相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。

其一是平移,它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。

其二是关于在这个平面中固定点的旋转,其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。

欧几里得几何的一个基本原则是,如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形,平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。

(参见欧几里得群)。

欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间,而是向量空间作用于其上仿射空间。

直觉上,区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择,因为它可以到处移动。

这种技术本文中很大程度上被忽略了。

欧几里德空间(Euclidean Space),简称为欧氏空间(也可以称为平直空间),在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。

欧式空间

欧式空间

欧式空间————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:1249第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。

这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念,从而可以合理的定义有向量的长度和夹角,这样的向量空间称为欧氏空间,在许多领域里有广泛的应用。

学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。

§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。

我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。

我们要根据几何内积所满足的性质来定义,回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。

所以在抽象的讨论中,我们取内积作为基本的概念。

定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间,有一个V V ⨯到R 的二元实函数,记作(,)αβ,具有以卡性质:,,V αβγ∀∈,k R ∀∈1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥, 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。

在需要和其它的内积区别的时候,我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。

在欧氏空间的定义中,对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。

几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质,所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。

249 例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈,规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=,则n R 作成一个欧氏空间。

欧几里德空间(定稿)

欧几里德空间(定稿)

欧几里德的数学情怀――译者导言一,欧几里德生事欧几里德大约生活在约公元前330-前275年之间。

除“几何学原本”外,还有不少著作,如“已知数”、“图形的分割”、“纠错集”、“园锥典线”、“曲面轨迹”、“观测天文学”等,遗憾的是除了《几何学原本》以外,这些都没有保成下来,消失在时空的黑暗之中了。

从某个意义上说,这增加了人类的黑暗。

仅留世的《几何学原本》,已让我们震撼了2千余年。

欧几里德的生平也已失传,稀少的记载表明,早年在雅典受教育,熟知柏拉图的学说。

公元前300年左右,受托勒密王(前364-前283)之邀,到埃及统治下的亚历山大城工作,长期从事教学、研究和著述。

涉猎数学、天文、光学和音乐等诸领域方面。

后人知道的一部《几何学原本》,共有13卷,希腊文原稿也已失传,现存的是公元4世纪末西翁的修订本和18世纪在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄原本。

这部西方世界现存最古老的科学著作,为2000年来用公理法建立演绎的数学体系找到了源头。

德摩根曾说,除了《圣经》,再没有任何一种书像《原本》这样拥有如此众多的读者,被译成如此多种语言。

从1482年到19世纪末,《原本》的各种版本竟用各种语言出了1000版以上。

明朝万历年间(1607),徐光启和意大利传教士利玛窦把前6卷译成中文出版,定名为“几何学原本”。

“几何”这个数学名词就是这样来的。

《几何学原本》同时也是中国近代翻译的第一部西方数学著作。

康熙皇帝将这个仅有前6卷的版本书当成智力玩具,把玩了一生,但估计其理解也十分有限。

古籍中记记载了两则故事:托勒密国王问欧几里德,有没有学习几何学的捷径,欧几里德答道:“几何无王者之道。

”意思是,在几何学里没有专门为国王铺设的大路。

这句话成为千古传诵的箴言。

另一个故事说:一个学生才开始学习第一个命题,就问学了几何之后将得到些什么。

欧几里德对身边的奴隶说:“给他三个钱币,因为他想在学习中获取实利。

”这两则故事的,与他的光辉著作一样,别有高深的含义。

欧几里得空间课件

欧几里得空间课件
不同类型拓扑的性质
不同类型的拓扑具有不同的性质和特点,例如离散拓扑中的点是孤立的,紧凑拓扑中的点是逐渐趋近于某个点的 ,线性拓扑中的点在直线上呈线性排列等。
拓扑的应用与实例
拓扑的应用
拓扑在数学、物理学、工程学和其他学 科中都有广泛的应用,例如在计算机科 学中,拓扑排序和图论中的问题解决需 要用到拓扑的性质。

立方体
立方体是一个三维的欧几里得空 间,其中两点之间的距离可以通 过连接这两点的线段的长度来定
义。
非欧几里得空间的例子
球面
球面是一个二维的曲面,其中两点之间的距 离可以通过连接这两点的最短线段的长度来 定义。球面不同于平面,因为球面的曲率是 变化的。
双曲几何
双曲几何是一种非欧几里得空间,其中两点 之间的距离可以通过连接这两点的线段的长 度来定义。双曲几何不同于欧氏空间,因为 它的角度和距离的定义与欧氏空间不同。
05
欧几里得空间的拓扑学
拓扑的定义与性质
拓扑的定义
拓扑是研究空间结构的一种数学分支,主要关注空间中点、线、面等基本元素之间的相互关系和性质 。
拓扑的性质
拓扑研究空间中的开集、闭集、连续性、紧致性、连通性等基本性质,这些性质在欧几里得空间和非 欧几里得空间中有所不同。
拓扑的分类与性质
拓扑的分类
根据空间中基本元素的性质和相互关系,可以将拓扑分为离散拓扑、紧凑拓扑、线性拓扑和微分拓扑等不同类型 。
子空间的定义与性质
01
02
子空间的定义:设E是域 P上的线性空间,F是E的 子集,如果F对于E的加 法和数量乘法构成域P上 的线性空间,则称F为E 的子空间。
子空间的性质
03
1. F是E的子集。
04

相对论的四维时空是欧几里得空间

相对论的四维时空是欧几里得空间

相对论的四维时空是欧几里得空间四维空间是一个时空的概念。

简单来说,任何具有四维的空间都可以被称为“四维空间”。

不过,日常生活所提及的“四维空间”,大多数都是指爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。

根据爱因斯坦的概念,我们的宇宙是由时间和空间构成。

时空的关系,是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又加了一条时间轴,而这条时间的轴是一条虚数值的轴。

欧氏空间是一个特别的度量空间,它使得我们能够对其的拓扑性质,在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

简介约在公元前300年,古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则,现称为欧几里得几何。

欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的"平面几何",他接着分析三维物体的"立体几何",所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度,而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。

这些数学空间还可被扩展到任意维的情形,称为实内积空间(不一定完备),希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。

为了开发更高维的欧几里得空间,空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。

尽管这样做的结果导致数学非常抽象,但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质,即平面性。

还另存在其他种类的空间,例如球面则非欧几里得空间,相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。

其一是平移,它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。

其二是关于在这个平面中固定点的旋转,其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。

欧几里得几何的一个基本原则是,如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形,平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。

欧几里得空间三角不等式证明

欧几里得空间三角不等式证明

欧几里得空间三角不等式证明欧几里得空间三角不等式是由希腊数学家欧几里得所提出,用于描述点之间的距离关系。

该不等式可以引出三角形的一个基本性质,即任意两边之和大于第三边。

下面我们将从三个方面,详细证明欧几里得空间三角不等式。

一、欧几里得空间的定义欧几里得空间,是指具有欧几里得度量的空间,它是用勾股定理定义的空间。

欧几里得度量可以表示为两个点之间的距离公式。

二、欧几里得空间三角不等式欧几里得空间三角不等式指的是,对于给定的三个点a、b、c,它们之间的距离应该满足以下不等式:AC≤AB+BC其中,AC表示a和c之间的距离,AB表示a和b之间的距离,BC表示b和c之间的距离。

三、证明过程(一)证明AC≤AB+BC首先,假设AB+BC>AC,即AB+BC-AC>0,那么可以得到以下不等式:AB<AC+BC可以看出,这个不等式左边表示a、b两点之间的距离,右边表示a、c两点之间的距离再加上b、c两点之间的距离。

现在,将不等式两边平方:AB²<AC²+BC²+2AC·BC这里的²表示平方,·表示乘法,再将AB²表示为AC²+BC²-2AC·BC:AC²+BC²-2AC·BC<AC²+BC²+2AC·BC可以简化为:4AC·BC<0这个不等式的左边显然大于等于0,因此不能满足AB+BC>AC的条件,证毕。

(二)证明相似三角形可嵌入对于任意给定的三角形ABC,可以构造一个相似的三角形ABC',使得BC与AC'、AB与BC'相等。

如图所示,构造新三角形BC'C。

由于∠ABC与∠AC'B相等,因此通过旋转,可以使得BC'C嵌入到ABC中。

根据直角三角形ABC和BC'C,可以得到以下不等式:AB+BC'<AC+BC而BC'=BC,AC'=AB,因此可以得到AC≤AB+BC,证毕。

第8章.欧几里得空间doc

第8章.欧几里得空间doc

第八章 欧氏空间(讲授7学时)一、教学目标:1、深刻理解欧氏空间的定义及性质;掌握向量的长度,两个向量的夹角‘正交及度量矩阵等概念和基本性质,掌握各种概念之间的联系与区别。

2、正确理解正交向量组、标准正交基的概念,掌握施密特正交化过程,并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

3、正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系,掌握正交变换与向量的长度,标准正交基,正交矩阵间的关系。

4、正确理解和掌握两个子空间正交的概念,掌握正交与直和的关系,及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补性质。

5、深刻理解和掌握任一个对称矩阵均可正交相似与一个对角阵,并掌握求正交矩阵的方法。

能用正交变换化实二次型为标准形。

二、教学内容:欧几里德空间的定义与性质、标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

三、教学重点:标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

四、教学难点:标准正交基、正交变换、对称矩阵的标准形。

五、教学方法:讲授法六、教学过程(一)、欧式空间的基本概念、标准正交基1、内积:设V 是实数域R 上的线性空间,映射:f V V R ⨯→满足○1对称性:,,f f V αββααβ∀∈()=(),, ○2线性性:,,,,,f k l kf lf V k l R αβγαγβγαβγ+∀∈∀∈()=()+(),,, ○3非负性:,,0f V f αααααα≥∀∈=⇔=()0,且()0 则称f 为V 的内积。

2、欧式空间:定义了内积的线性空间V 称为欧式空间,不同的内积就是不同的欧氏空间。

3、长度与夹角:设V 是欧式空间○1称为α的长度,记作:α,显然00.= ○2夹角:非零向量αβ,,称(,)arccos αβαβ在π[0,]内的夹角为α与β的夹角,记作:,αβ<>.4、标准正交基:○1设V 是欧式空间,若(,)0αβ=,称α与β,记作:αβ⊥。

○2正交向量组:设V 是欧式空间,非零向量组12,,,,n V ααα∈ 满足(,)0i j αα=, (,,1,2,,),i j i j n ≠= 称12,,,n ααα 为正交向量组。

欧几里德空间

欧几里德空间
第八章
8.1 8.2 8.3 8.4
欧几里得空间
定义与基本性质 标准正交基 正交变换 实对称矩阵的标准形
课外学习9:实现正交化过程的新方法 课外学习9
在几何学中(编者按:在数学中),没有专门为国 在几何学中(编者按:在数学中),没有专门为国 ), 王设置的捷径。 王设置的捷径。 ---欧几里德 欧几里德(Euclid ,约前 约前325 约前265) ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
f (x), g(x),
b
有不等式
b 2
∫a f (x)g(x)dx ≤ ∫a f
(x)dx∫
g (x)dx. a
b
2
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. (7)和(8)在欧氏空间的不等式(6)里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
例8

ξ,η
为欧氏空间V 中任意两个
非零向量.证明: (1) ξ = aη(a > 0)当且仅当 (2) ξ
= aη(a < 0) 当且仅当
ξ,η 的夹角为0; ξ,η 的夹角为π;
8.1.3 向量的正交
定义4 定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的, 如果 < ξ ,η >= 0 定理8.1.2 定理8.1.2 与 在一个欧氏空间里,如果向量ξ
把(1)中每一向量除以它长度,我们就得 C[0,2π]的一个标准正交组 1 1 1 1 1 , cos x, sin x,..., cos nx, sin nx,... 2π π π π π
2.正交组的性质 正交组的性质
定理8.2.1 定理8.2.1 设 {α1,α2 ,L,αn } 是欧氏空间的 一个正交组,那么 α1,α2,L,αn 线性无关. 证: 设有 a1, a2 ,L, an ∈ R 使得

第八章 欧氏空间和酉空间

第八章  欧氏空间和酉空间

教案节选(提纲)第八章 欧几里得空间和酉空间§8.1 内积与性质设V 是实数域R 上一个向量空间。

如果对于V 中任意一对向量,,ξη有一个确定的记作,ξη的实数与它们对应,叫做向量ξ与η的内积,并且下列条件被满足:1),,;ηηξ=2),,,;ηζξζηζ+=+3),,;a aξηξη= 4)当0ξ≠时,,0;ξξ>这里,,ξηζ是V 的任意向量,a 是任意实数,那么V 叫做对这个内积来说的一个欧几里得(Euclid )空间(简称欧氏空间)。

对任意,V ∈α定义),(||ααα=为向量α的长度或模.1||=α时,称α为单位向量.命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式) 对欧氏空间V 内任意两个向量βα,,有 |||||),(|βαβα⋅≤ 当且仅当,αβ线性相关时,等号成立。

证明 (α+t β,α+t β)≥0对任意t ∈R 成立,而(α+t β,α+t β)=(β,β)t 2+2t(βα,)+),(αα0),)(,(4),(42≤-=∆ββααβα,故|||||),(|βαβα⋅≤由命题1.1可定义二向量βα与的夹角<βα,><βα,>=||||),(arccos βαβα⋅如果(βα,)=0,则称βα与正交.设n 21εεε,,,⋯是n 维欧氏空间V 的一组基.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n G εεεεεεεεεεεεεεεεεε称G 为内积(βα,)在基n 21εεε,,,⋯下的度量矩阵.§8.2 正交基命题 设欧氏空间V 内s 个非零向量s 21,,,ααα 两两正交,则它们线性无关. 证明 假如0s 2211=+++αααs k k k两边用i α作内积,得0=i k ,(i=1,2,…,s).如果n 维欧氏空间V 内有n 个两两正交的单位向量n 21εεε,,,⋯,则由命题1.2可知它们是线性无关的,从而是V 的一组基,称为V 的一组标准正交基.显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E.设n 21ηηη,,,⋯是V 的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G 正定,故存在实可逆阵T,使E GT T ='.现令(n 21εεε,,,⋯)=(n 21ηηη,,,⋯)T.易验证n 21εεε,,,⋯就是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的.设R 上n 阶方阵T 满足E T T =' 则称T 是正交矩阵.命题 n 21εεε,,,⋯是V 的一组标准正交基,令(n 21ηηη,,,⋯)=(n 21εεε,,,⋯)T 则n 21ηηη,,,⋯是一组标准正交基当且仅当T 是正交矩阵.证明 必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 E ET T =' 即E T T =',T 是正交矩阵.充分性:T 是正交阵,故可逆.于是n 21ηηη,,,⋯也是一组基.设内积在此基下的度量矩阵为G,则=G E ET T =',从而n 21ηηη,,,⋯是标准正交基. 下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。

欧几里得内积空间

欧几里得内积空间

第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件,这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在3=n 时,(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件,这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2),),(b a C 构成一个欧几里得空间.同样地,线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列+∞<=∑∞=1221),,,,(n n n x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.二、欧几里得空间的基本性质1)定义中条件1)表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度,记为α.显然,向量的长度一般是正数,只有零向量的长度才是零,这样定义的长度符合熟知的性质:αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式,向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α,得到一个与α成比例的单位向量,通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式:即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时,等式才成立.对于例1的空间n R ,(5)式就是.22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++对于例2的空间),(b a C ,(5)式就是212212)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰b a b a ba dx x g dx x f dx x g x f 定义3 非零向量βα,的夹角><βα,规定为πβαβαβαβα≤≤>=<,0,),(arccos , 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式,有三角形不等式βαβα+≤+.定义4 如果向量βα,的内积为零,即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直,记为βα⊥. 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为2π. 只有零向量才与自己正交.勾股定理:当βα,正交时, .222βαβα+=+ 推广:如果向量两m ααα,,,21 两两正交,那么22221221m m αααααα+++=+++ . 设V 是一个n 维欧几里得空间,在V 中取一组基n εεε,,,21 ,对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211,n n y y y εεεβ+++= 2211,由内积的性质得∑∑===++++++=n i n j ji j i nn n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα令),,2,1,(),(n j i a j i ij ==εε (8)显然 .ji ij a a =于是∑∑===n i nj j i ij y x a 11),(βα (9)利用矩阵,),(βα还可以写成AY X '=),(βα, (10)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标,而矩阵nn ij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.上面的讨论表明,在知道了一组基的度量矩阵之后,任意两个向量的内积就可以通过坐标按(9)或(10)来计算,因而度量矩阵完全确定了内积.设n ηηη,,,21 是空间V 的另外一组基,而由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为C ,即C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =于是不难算出,基n ηηη,,,21 的度量矩阵()()AC C b B j i ij '===ηη,. (11)这就是说,不同基的度量矩阵是合同的.根据条件(4),对于非零向量α,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠000 X 有0),(>'=AX X αα因此,度量矩阵是正定的.反之,给定一个n 级正定矩阵A 及n 维实线性空间V 的一组基n εεε,,,21 .可以规定V 上内积,使它成为欧几里得空间,并且基的n εεε,,,21 度量矩阵是A .欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间.。

数学欧氏空间Hara-bared定理

数学欧氏空间Hara-bared定理

数学欧氏空间Hara-bared定理
欧氏空间,即欧几里得空间。

这里,欧几里得这个定语起源于古希腊时期的欧几里得几何,而欧几里得几何是指满足欧几里得的5条几何公理的一维二维几何。

数学欧氏空间Hara-bared定理的五条公理(公设)是:
1、从一点向另一点可以引一条直线。

2、任意线段能无限延伸成一条直线。

3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都相等。

5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。

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第八章 欧氏空间(讲授7学时)
一、教学目标:
1、深刻理解欧氏空间的定义及性质;掌握向量的长度,两个向量的夹角‘正交及度量矩阵等概念和基本性质,掌握各种概念之间的联系与区别。

2、正确理解正交向量组、标准正交基的概念,掌握施密特正交化过程,并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

3、正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系,掌握正交变换与向量的长度,标准正交基,正交矩阵间的关系。

4、正确理解和掌握两个子空间正交的概念,掌握正交与直和的关系,及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补性质。

5、深刻理解和掌握任一个对称矩阵均可正交相似与一个对角阵,并掌握求正交矩阵的方法。

能用正交变换化实二次型为标准形。

二、教学内容:
欧几里德空间的定义与性质、标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

三、教学重点:标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

四、教学难点:标准正交基、正交变换、对称矩阵的标准形。

五、教学方法:讲授法
六、教学过程
(一)、欧式空间的基本概念、标准正交基
1、内积:设V 是实数域R 上的线性空间,映射:f V V R ⨯→满足

1对称性:,,f f V αββααβ∀∈()=(),, ○
2线性性:,,,,,f k l kf lf V k l R αβγαγβγαβγ+∀∈∀∈()=()+(),,, ○
3非负性:,,0f V f αααααα≥∀∈=⇔=()0,且()0 则称f 为V 的内积。

2、欧式空间:定义了内积的线性空间V 称为欧式空间,不同的内积就是不同的
欧氏空间。

3、长度与夹角:设V 是欧式空间

1
称为α的长度,记作:α,显然00.= ○
2夹角:非零向量αβ,,称(,)arccos αβαβ在π[0,]内的夹角为α与β的夹角,记
作:,αβ<>.
4、标准正交基:

1设V 是欧式空间,若(,)0αβ=,称α与β,记作:αβ⊥。


2正交向量组:设V 是欧式空间,非零向量组12,,,,n V ααα∈ 满足(,)0i j αα=, (,,1,2,,),i j i j n ≠= 称12,,,n ααα 为正交向量组。


3设V 是n 维欧式空间,12,,,n V ααα∈ 为一个正交向量组,称为V 的一组正交基。


4标准正交基:设V 是n 维欧式空间,12,,,n V ααα∈ 且满足1(,)0i j i j i j
αα=⎧=⎨≠⎩ ,则称12,,,n ααα 为V 的一组标准正交基。

5、度量矩阵:

1设V 是n 维欧式空间,12,,,n V ααα∈ 为一组基, 11121212221
2(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n R αααααααααααααααααα⨯⎛⎫ ⎪ ⎪∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为12,,,n ααα 的一个度量矩阵。


2度量矩阵是正定矩阵; ○
3不同的度量矩阵是合同的; ○
4正交基的度量矩阵是对角阵且主对角元素都大于0; ○
5标准基的度量矩阵是单位矩阵。

6、施密特正交化:n 维欧式空间V 的一组基都可以经过施密特正交化变为V 的
一组标准正交基。

(二)、正交变换、酉空间与酉变换
1、正交变换:

1设A 为n 维欧式空间V 的线性变换,满足,,A A V αβαβαβ∀∈()=(),,,则称A 为V 的正交变换

2正交变换的等价条件:设A 为n 维欧式空间V 的线性变换,满足下列条件之一是正交变换:□
A :A V ααα=∀∈, □
B :若12,,,n εεε 是一组标准正交基,则12,,,n A A A εεε 也是标准正交基。

□c :A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵
2、正交:

1 设1V 是n 维欧式空间V 的子空间,满足1,V αββ∀∈()=0,,则称α与1V 正交。

记作:1V α⊥

2设12,V V 是n 欧式空间V 的子空间,满足12,,V V αβαβ∀∈∈()=0,,则称1V 与2V 正交,记作12V V ⊥.
○3设12,V V 是n 欧式空间V 的子空间,满足1212
V V V V V +=⎧⎨⊥⎩,则称2V 是1V 的正交补,记作:12V V ⊥=

4n 欧式空间V 的每一个子空间,都有唯一的正交补。

3、酉空间:

1设V 是复数域C 上的线性空间,在V 定义了一个二元复函数,称为内积,记作,αβ()满足以下条件:,,,,,,,,,a V b k k V k C c V αβαβαβαβαβαβγαγβγαβγ∀∈∀∈∈+∀∈():()=(),,.
():()=(),,.():()=()+(),,.
,d αα():()是非负实数,,αα()=0当且仅当0α=
则称V 为酉空间。


2酉变换:设V 是复数域C 上的酉空间,A 是V 的线性变换满足 ,,A A V αβαβαβ∀∈ ()=(),,,则称A 是V 的酉变换。


3三类特殊矩阵: a ()埃尔米特矩阵:设n n A C ⨯∈,若T A A =,则称A 是埃尔米特矩阵。

b ()酉矩阵:设n n A C ⨯∈,若T A A E =,则称A 是酉矩阵 c ()正规矩阵:设n n A C ⨯∈,若T T A A AA =,则称A 是正规矩阵。

(三)、典型例题讲解
例题8.1:设12,,,n εεε 是欧式空间V 的一组基,且(,),(,1,2,,)i j ij a i j n εε== ,向量1n i i i k αε==∑,1
n j j j l βε==∑,试写出12,,,n εεε 的度量矩阵,α及(,)αβ。

例题8.2:设12,,,n εεε 是n 维欧式空间V 的一组基,且A 为12,,,n εεε 的度量矩阵,证明:○1度量矩阵A 可逆; ○2度量矩阵A 正定。

例题8.3:设V 是一n 维欧式空间,12,,,n εεε 是V 的一组基标准正交基,且σ为V 线性变换,()ij n n A a ⨯=是关于12,,,n εεε 的矩阵,证明:(,)ji i j a σεσε=。

例题8.4:设V 是一4维欧式空间,1234,,,εεεε是V 的一组基标准正交基,子空间12(,)W L αα=,其中1122123,αεεαεεε=+=+-,求W ⊥。

例题8.5:设12,V V 是n 维欧式空间V 的两个子空间,证明: ○
11212()V V V V ⊥⊥⊥= ;○21212()V V V V ⊥⊥⊥= 例题8.6:设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换,V α∀∈都有
(,)(,)σασατατα=,证明:Im()Im()στ≅
例题8.7:证明:n 维欧式空间V 的每个子空间1V 的正交补1V ⊥唯一。

例题8.8:设R 是实数域, 2341213[],(1,),(,)35
V R x V L x V L x x x ===--是V 的子空间,在V 定义内积1
1((),())()()f x g x f x g x dx -=⎰,证明:1V 与2V 互为正交补。

例题8.9:设T 是n 维欧式空间V 的一个线性变换且满足
(,)(,),,T T V αβαβαβ=-∀∈,

1若λ是T 的特征值,证明:0λ=。


2证明:V 内存在一组标准正交基,使2T 在此基下的矩阵为对角阵。


3设T 在V 的某组标准正交基下的矩阵为A ,证明:把A 看成复数域C 上的n 阶矩阵,其特征值必为0或纯虚数。

例题8.10:设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换,
*σ是同一空间V 的线性变换,且对,V αβ∀∈有*(,)(,)σαβασβ=

1证明:*σ是线性变换; ○
2证明:σ的核等于*σ的值域的正交补。

例题8.11:设ϕ是n 维欧式空间V 的一个线性变换,V 的线性变换*ϕ称为ϕ的伴随变换,如果*(,)(,),,V ϕαβαϕβαβ=∀∈ ○
1设ϕ在V 的一组标准正交基下的矩阵为A ,证明:*ϕ在这组标准正交基下的矩阵为T A ;
○2证明:*1(0)V ϕϕ-⊥=,其中*V ϕ为*ϕ的值域,1(0)ϕ-为ϕ的核。

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