高二数学寒假作业(人教A版选修2-1)利用空间向量求空间角word版含答案

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人教A版高中数学选修2-1练习题-及答案利用向量求空间角

第3课时利用向量求空间角课后篇巩固提升基础巩固1.若平面α的一个法向量为n 1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n 2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析因为n 1·n 2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.答案D2.已知A (0,1,1),B (2,-1,0),C (3,5,7),D (1,2,4),则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( ) A.5√2266 B.-5√2266 C.5√2222D.-5√2222解析AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2,-1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-3,-3),而cos AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3×√22=5√2266,故直线AB 和CD 所成角的余弦值为5√2266. 答案A3.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AA 1=3,AB=AC=BC=2,则AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析取AB 的中点D ,连接CD ,分别以AD ,CD ,DE 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,可得A (1,0,0),A 1(1,0,3),故AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3),而B 1(-1,0,3),C 1(0,√3,3),设平面AB 1C 1的法向量为m =(a ,b ,c ),根据m ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,解得m =(3,-√3,2),cos <m ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12. 故AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为30°,故选A. 答案A4.若二面角α-l-β的大小为120°,则平面α与平面β的法向量的夹角为( ) A.120°B.60°C.120°或60°D.30°或150°解析二面角为120°时,其法向量的夹角可能是60°,也可能是120°. 答案C5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为AD ,C 1D 1的中点,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为( ) A.16B.14C.-16D.-14解析如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M (1,0,0),N (0,1,2),O (1,2,1),D 1(0,0,2),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,1).则cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√6=16.∴异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为16,故选A.答案A6.若两个平面α,β的法向量分别是u =(1,0,1),v =(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是 .解析设这两个平面所成的锐二面角为θ,则cos θ=|u ·v ||u ||v |=|-1|√2×√2=12,所以锐二面角的度数是60°.答案60°7.已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=1,BC=2,AA 1=4,E 是侧棱CC 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为 .解析在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=1,BC=2,AA 1=4,E 是侧棱CC 1的中点,以D 为原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,A (2,0,0),E (0,1,2),A 1(2,0,4),D (0,0,0),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-2),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,4),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),设平面A 1ED 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+4z=0,n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y+2z=0,取z=1,得n =(-2,-2,1),设直线AE 与平面A 1ED 所成角为θ,则sin θ=cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=|EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||=√9×√9=49.∴直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为49.答案498.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为 .解析建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D (2,0,0),A 1(0,0,2),E (0,2,1),则A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1).设平面A 1ED 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则{2x -2z =0,2y -z =0,即{x =z ,z =2y . 令y=1,得n =(2,1,2).易知平面ABCD 的法向量为m =(0,0,1), 则cos <n ,m>=n ·m|n ||m |=23. 答案239.如图所示,四边形ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=2,AD=1. (1)求SC 与平面ASD 所成角的余弦值; (2)求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S (0,0,2),C (2,2,0),D (1,0,0),SC⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),∵AB ⊥平面SAD ,故平面ASD 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),设SC 与平面ASD 所成的角为θ,则sin θ=|cos <SC ⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SC ⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√33,故cos θ=√63,即SC 与平面ASD 所成角的余弦值为√63. (2)平面SAB 的一个法向量为m =(1,0,0),∵SC⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),设平面SCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由{SC⃗⃗⃗⃗ ·n =0,SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0⇒{x +y -z =0,x -2z =0,令z=1可得平面SCD 的一个法向量为n =(2,-1,1),显然,平面SAB 和平面SCD 所成角为锐角,不妨设为α,则cos α=m ·n |m ||n |=√63,即平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值为√63.10.(选做题)如图,在四棱锥P-ABCD 中,BC ⊥CD ,AD=CD ,PA=3√2,△ABC 和△PBC 均为边长为2√3的等边三角形.(1)求证:平面PBC ⊥平面ABCD ; (2)求二面角C-PB-D 的余弦值. 解(1)取BC 的中点O ,连接OP ,OA ,因为△ABC ,△PBC 均为边长为2√3的等边三角形, 所以AO ⊥BC ,OP ⊥BC ,且OA=OP=3.因为AP=3√2,所以OP 2+OA 2=AP 2,所以OP ⊥OA , 又因为OA ∩BC=O ,OA ⊂平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , 所以OP ⊥平面ABCD.又因为OP ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面ABCD. (2)因为BC ⊥CD ,△ABC 为等边三角形, 所以∠ACD=π6,又因为AD=CD ,所以∠CAD=π6,∠ADC=2π3, 在△ADC 中,由正弦定理,得:ACsin∠ADC =CDsin∠CAD ,所以CD=2.以O 为坐标原点,以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ,y ,z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,3),B (0,√3,0),D (2,-√3,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2√3,0), 设平面PBD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-√3y +3z =0,2x -2√3y =0,令z=1,则平面PBD 的一个法向量为n =(3,√3,1), 依题意,平面PBC 的一个法向量m =(1,0,0), 所以cos <m ,n >=m ·n|m ||n |=3√1313. 故二面角C-PB-D 的余弦值为3√1313.能力提升1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,则sin <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值为( ) A.1B.√210C.√2D.√11解析如图,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D (0,0,0),B 1(1,1,1),C (0,1,0),M (1,12,0), ∴DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-12,0),∴cos <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1-12√3×√1+14=√1515,∴sin <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√14√15=√21015.答案B2.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB ,A 1D 1的中点分别为E ,F ,则直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.√55 B.√306C.√66D.2√55解析以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则E (2,1,0),F (1,0,2),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2), 取平面AA 1D 1D 的法向量为n =(0,1,0),设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ,则sin θ=|cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||=√66, ∴直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值为√66.故选C.答案C3.二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2√17,则该二面角的大小为( ) A.150° B.45° C.60°D.120°解析由条件,知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =62+42+82+2×6×8cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=(2√17)2,所以cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=-12, 即<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°,二面角的大小为60°. 答案C4.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1A=2AB=2AD ,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15 B.25C.35D.45以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设AA 1=2AB=2AD=2,则A 1(1,0,2),B (1,1,0),A (1,0,0),D 1(0,0,2), A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2), 设异面直线A 1B 与AD 1所成角为θ,则cos θ=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√5=45.∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.答案D5.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为 .解析设三棱柱的棱长为1,以B 为原点,建立坐标系如图,则C 1(0,1,1),A (√32,12,0),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,12,1),又平面BB 1C 1C 的一个法向量n =(1,0,0),设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ.则sin θ=|cos <n ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n |=√64,故cos θ=√1-sin 2θ=√104. 答案√1046.如图,三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,且∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值.解以O 为坐标原点,OA ,OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (√3,0,0),B (0,2,0),A 1(√3,1,√3),O 1(0,1,√3), 所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√3),O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3). 设所求的角为α,则cos α=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|-3-1+3|√7×√7=17,即异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值为17. 7.如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的√2倍,P 为侧棱SD 上的点. (1)求证:AC ⊥SD ;(2)若SD ⊥平面PAC ,求二面角P-AC-S 的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC.若存在,求SC ∶SE 的值;若不存在,试说明理由.(1)证明连接BD 交AC 于O ,由题意SO ⊥AC.在正方形ABCD 中,AC ⊥BD , 所以AC ⊥平面SBD ,得AC ⊥SD.(2)解由题设知,连接BD ,设AC 交BD 于O ,由题意知SO ⊥平面ABCD.以O 为坐标原点,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OS ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标系O-xyz 如图.设底面边长为a ,则高SO=√62a.则S 0,0,√62a ,D -√22a ,0,0,C 0,√22a ,0.又SD ⊥平面PAC ,则平面PAC 的一个法向量DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =√22a ,0,√62a , 平面SAC 的一个法向量OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√22a ,0,0, 则cos <DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=DS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-12, 又二面角P-AC-D 为锐角,则二面角P-AC-D 为60°.(3)解在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC.由(2)知DS⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAC 的一个法向量, 且DS⃗⃗⃗⃗⃗ =√22a ,0,√62a ,CS ⃗⃗⃗⃗ =0,-√22a ,√62a .设CE⃗⃗⃗⃗⃗ =t CS ⃗⃗⃗⃗ ,t ∈[0,1], 则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CS ⃗⃗⃗⃗ =-√22a ,√22a (1-t ),√62at . 又BE ∥平面PAC ,所以BE⃗⃗⃗⃗⃗ ·DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则t=13. 即当SC ∶SE=3∶2时,BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DS ⃗⃗⃗⃗⃗ , 而BE 不在平面PAC 内,故BE ∥平面PAC.。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.5 Word版含答案

3.1.5 空间向量运算的坐标表示课时目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．1．空间向量的直角坐标运算律设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ＋b ＝______________； (2)a －b ＝________________； (3)λa ＝____________(λ∈R )； (4)a ·b ＝________________； (5)a ∥b ⇔________________； (6)a ⊥b ⇔________________. 2．几个重要公式(1)若A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．(2)模长公式：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a ·a ＝______________，|b |＝b ·b ＝________________.(3)夹角公式：cos 〈a ，b 〉＝________________＝________________________ (a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3))．(4)两点间的距离公式：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)．则AB u u u r＝2AB u u u r =_________.一、选择题 1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1,2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1) B .AB →＝(1,3,4) C..AB →＝(2,1,3) D .AB →＝(－2，－1，－3)2．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－13．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C.35 D.755．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( )A.65B.652C ．4D ．86．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( )A.55 B.555 C.355 D.115 二、填空题7．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x ＝______. 8．若(a ＋3b )⊥(7a －5b )，且(a －4b )⊥(7a －5b )，则a 与b 的夹角的余弦值为________．9.已知A （1，－1,2），B(5,-6,2)C(1,3-1)则AB →在AC →上的投影为______．三、解答题10．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .11．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2, 并取A 1B 1、A 1A 的中点分别为P 、Q .（1）求向量BQ →的长；（2）cos 〈BQ →，CB 1→〉，cos 〈BA 1→，CB 1→〉，并比较〈BQ →，CB 1→〉与〈BA 1→，CB 1→〉的大小； (3)求证：AB 1⊥C 1P .能力提升12．在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，E 是BC 的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?1．空间向量在几何中的应用有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．2．关于空间直角坐标系的建立建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．3．1.5空间向量运算的坐标表示知识梳理1．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (2)(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (3)(λa 1，λa 2，λa 3) (4)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (5)a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ) (6)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 2．(1)(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1) 终点起点(2)a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23(3)a ·b|a ||b | a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23 (4)()()()222212121x x y y z z ++---作业设计 1．C2．B [∵a ＋2b ＝(1＋2x,4,4－y )，2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，∴3(1＋2x )＝4(2－x )且3(4－y )＝4(－2y －2)，∴x ＝12，y ＝－4.]3．A [设a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝k ，易知a ∥b ，即条件具有充分性．又若b ＝0时，b ＝(0,0,0)，虽有a ∥b ，但条件a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]4．D [∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，∴3(k －1)＋2k －4＝0.∴k ＝75.]5．A [设向量a 、b 的夹角为θ，于是cos θ＝4－2＋23×3＝49，由此可得sin θ＝659.所以以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为S ＝2×12×3×3×659＝65.]6．C [∵|b －a |＝b －a 2＝1＋t 2＋2t －12＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥ 95＝355， ∴|b －a |的最小值是355.]7．11解析 ∵点P 在平面ABC 内，∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1. ∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7，即x ＝11. 8．1解析由题意知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2－5a·b ＋21a·b －15|b |2＝7|a |2＋16a·b －15b 2＝0，① 且(a －4b )·(7a －5b )＝7|a |2－33a·b ＋20|b |2＝0，② ①－②得49a·b ＝35|b |2.∴|a |2＝2549|b |2，∴|b||a|＝75.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝3549|b |2|a||b |＝3549·|b||a |＝1.9．－4解析 ∵AB →＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．AC →＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝()()222202005344-+++--＝－20541，AB →在AC →上的投影为|AB →|cos 〈AB →，AC →〉＝()2254+-×⎝⎛⎭⎫－20541＝－4. 10．解 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)， a －3b ＝(7，－4，－16)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.11．解以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则由已知，得C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)， C 1(0,0,2)， P ⎝⎛⎭⎫12，12，2，Q (1,0,1)， B 1(0,1,2)，A 1(1,0,2)． ∴BQ →＝(1，－1,1)，CB 1→＝(0,1,2)， BA 1→＝(1，－1,2)，AB 1→＝(－1,1,2)，C 1P →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0.(1)| BQ →|＝BQ BQ •u u u r u u u r ＝12＋－12＋12＝ 3. (2)∵BQ →·CB 1→＝0－1＋2＝1，|BQ →|＝3， |CB 1→|＝02＋12＋22＝5，∴cos 〈BQ →，CB 1→〉＝13×5＝1515.又BA 1→·CB 1→＝0－1＋4＝3， |BA 1→|＝1＋1＋4＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝330＝3010.又0<1515<3010<1，∴〈BQ →，CB 1→〉，〈BA 1→，CB 1→〉∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， ∴〈BQ →，CB 1→〉>〈BA 1→，CB 1→〉．(3)证明 ∵AB 1→·C 1P →＝(－1,1,2)·⎝⎛⎭⎫12，12，0＝0， ∴AB 1→⊥C 1P →. 12．解建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0，0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)． ∴AO 1→＝(－2,0,2)， B 1E →＝(－1,0，－2)，∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝－2210＝－1010，∴AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010. (2)由题意得O 1D →⊥AC →，AD →∥AC →， ∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)， ∴O 1D →＝(x ，y ，－2)，AD →＝(x －2，y,0)，AC →＝(－2,3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧x ＝1813，y ＝1213.∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0，∴O 1D ＝|O 1D →|＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4＝228613. 即点O 1到点D 的距离为228613.13．解如图所示，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，设M (1,1，m )，∴EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0， B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)．若D 1M ⊥平面EFB 1，则D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E . 即D 1M →·EF →＝0，D 1M →·B 1E →＝0，∴⎩⎨⎧－12＋12＋m －1×0＝00－12＋1－m ＝0，∴m ＝12，即存在点M 且为B 1B 的中点，使D 1M ⊥平面EFB 1.。

2018年高二数学寒假作业(人教A版选修2-1)空间向量及其运算word版含答案

2018年高二数学寒假作业（人教A 版选修2-1）空间向量及其运算1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直2．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →²BC →<AE →²CD → B.AE →²BC →＝AE →²CD → C.AE →²BC →>AE →²CD →D.AE →²BC →与AE →²CD →的大小不能比较3． O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．－1 B.43 C.53 D.755．在空间四边形ABCD 中，则AB →²CD →＋AC →²DB →＋AD →²BC →的值为 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216 a B.66a C.156 a D.153a7．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________．8．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a²c＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．9．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →²QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．10．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c|＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心．(1)试证：A 1，G ，C 三点共线； (2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D.12．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M 、N 、P 分别是AA 1、BC 、C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→。

人教A版高中数学选修2-1习题：3.2.3利用向量求空间角(附答案)

第3课时利用向量求空间角1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )A. B. -C. D. -3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )A. －B. C. －D.4.若二面角α-l-β的大小为120°,则平面α与平面β的法向量的夹角为( )A. 120°B. 60°C. 120°或60°D. 30°或150°5.已知四面体各棱长为1，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值（）A. B. C. D.6.若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是_____.7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是_____.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_____.9.如图,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如图,以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系. (1)求平面A1B1C的法向量;(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD的平面分别交PB,PC于M,N两点.(1)求证:MN∥BC;(2)若M,N分别为PB,PC的中点,①求证:PB⊥DN;②求二面角P-DN-A的余弦值.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<>的值为( )A. B. C. D.12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=,则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为( )A. 1B.C.D.13.二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝2，则该二面角的大小为( )A. 150°B. 45°C. 60°D. 120°14.已知a,b 是异面直线,A,B ∈a,C,D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b 且AB=2,CD=1,则a 与b 所成的角是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°15.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为_____. 16.如图,三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB,且∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO 1=2,OA=,求异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值.17.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°.(1)求该三棱柱的体积;(2)设D 是BB 1的中点,求DC 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值.第3课时利用向量求空间角1.若平面α的一个法向量为n 1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n 2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D 【解析】【分析】先求出，所以α⊥β,即得平面α与β所成的角.【详解】因为n 1·n 2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°. 故答案为:D【点睛】(1)本题主要考查利用面面垂直的向量表示，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两平面的法向量垂直，则两平面互相垂直.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( )A.B. -C.D. -【答案】A 【解析】【分析】先求出向量=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),再利用向量法求两异面直线所成的角的余弦.【详解】由题得=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos<>=,故直线AB 和CD 所成角的余弦值为.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查向量法求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( )A. －B.C. －D.【答案】B【解析】取中点，则就是直线与平面所成角的线面角，所以，故选B。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.3 含解析

第3课时用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。

人教A版数学选修2-1空间向量与空间角练习及答案

空间向量与空间角1．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( )．A ．cos θ＝μ·v |μ||v |B ．cos θ＝|μ·v ||μ||υ|C ．sin θ＝μ·v |μ||v |D ．sin θ＝|μ·v ||μ||v |2．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )． A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π63．三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A - BD - C 的大小为( ) A.π3 B.2π3 C.π3或2π3 D.π6或π34．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( )．A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C -BF -D 的正切值为( )． A.36 B.34 C.33 D.233 6．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为________．7．如图所示，三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.9．(创新拓展)如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.(1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)当AB 的长为何值时，二面角A -EF -C 的大小为60°？空间向量与空间角答案1．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( D )．A ．cos θ＝μ·v |μ||v |B ．cos θ＝|μ·v ||μ||υ|C ．sin θ＝μ·v |μ||v |D ．sin θ＝|μ·v ||μ||v |2．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( C )． A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π63．三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A - BD - C 的大小为( C )．A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6或π34．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是 ( A )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C -BF -D 的正切值为( D )．A.36B.34C.33D.233 6．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C ________．解析取BC 中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的坐标系．设BC ＝1，则A (0，0，32)，B (0，－12，0)，D (32，0，0)．所以OA →＝(0，0，32)， BA →＝(0，12，32)，BD →＝(32，12，0)．由于OA →＝(0，0，32)为平面BCD 的法向量．设平面ABD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，OA →〉＝55， sin 〈n ，OA →〉＝255. 答案 255 7．如图所示，三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．解建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，O 1(0，1，3)，A (3，0，0)，A1(3，1，3)，B (0，2，0)，∴A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)．∴cos 〈A 1B →，O 1A →〉＝A 1B →·O 1A →|A 1B →|·|O 1A →|＝（－3，1，－3）·（3，－1，－3）7·7＝－17. ∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17. 8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.解如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)则N (1，0，1)，∴BD →＝(－2，2，0)，AD →＝(0，2，0)，AN →＝(1，0，1)，设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1，∴n ＝(1，0，－1)，∵cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝12. 又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.9．(创新拓展)如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.(1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)当AB 的长为何值时，二面角A -EF -C 的大小为60°？解建系如图，设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，则C (0，0，0)，D (0，0，a )，F (0，c ，0)，A (3，0，a )，E (3，b ，0)，B (3，0，0)，(1)证明 AE →＝(3，b ，0)－(3，0，a )＝(0，b ，－a )，CD →＝(0，0，a )，CF →＝(0，c ，0)，设AE →＝λCD →＋μCF →，则(0，b ，－a )＝(0，μc ，λa )，∴μ＝b c ，λ＝－1，∴AE →＝－CD →＋b cCF →，又AE ⊄平面DCF ，∴AE ∥面DCF .(2)∵EF →＝(－3，c －b ，0)，CE →＝(3，b ，0)且EF →·CE →＝0，|EF →|＝2.所以⎩⎨⎧－3＋b （c －b ）＝0，3＋（c －b ）2＝2，解得b ＝3，c ＝4，所以E (3，3，0)，F (0，4，0)．设n ＝(1，y ，z )与平面AEF 垂直，则n ·AE →＝0，n ·EF →＝0，解得n ＝(1，3，33a)．又因为BA ⊥平面BEFC ，BA →＝(0，0，a )，所以cos 〈n ，BA →〉＝|BA →·n ||BA →|·|n |＝33a a 4a 2＋27＝12，得到a ＝92，所以当AB 为92时，二面角A - EF - C 的大小为60°.。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案

3.1.3空间向量的数量积运算课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法范围,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝______分配律a·(b＋c)＝____________(3)两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________.②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a.③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______④|a·b|≤|a|·|b|.一、选择题1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.7B.10C.13 D ．44.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE uuu r ·CF →等于( )A ．0 B.12 C ．－34 D ．－125.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．1446．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能二、填空题7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA u uu r ＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10.如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .11．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M 、N 分别是棱AB 、CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.能力提升12.平面式O,A.B 三点不共线，设OA →＝a ，OB uuu r ＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 13.如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且AB ＝7，AC ＝BD ＝24，线段BD 与α所成的角为30°，求CD 的长．1．空间向量数量积直接根据定义计算．2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：(1)利用a ⊥b ⇔a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b |a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题． 3．1.3 空间向量的数量积运算知识梳理 1．〈a ，b 〉 [0，π] 2．(2)λ(a·b ) b·a a·b ＋a·c (3)①a·b ＝0 ②|a|·|b | －|a|·|b | ③a·b |a||b | 作业设计1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a －b ，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b ·a ＝c·b ＝0时，(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．] 2．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．]3．C [|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2 ＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.]4．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·12AD AC ⎛⎫- ⎪⎝⎭u u u r u u u r＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 5．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →， ∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.]6．B [由题意m ⊥a ，m ⊥b ，则有m·a ＝0，m·b ＝0， m·n ＝m (λa ＋μb )＝λm·a ＋μm·b ＝0， ∴m ⊥n .] 7．60°解析由|a －b |＝7，得(a －b )2＝7，即|a |2－2a·b ＋|b |2＝7，∴2a·b ＝6，∴|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.即a 与b 的夹角为60°.8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7.9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形．10．证明 ∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ， ∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB . ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ⊥BC . 11．解如图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →、AC →、AD →表示，于是MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →. 又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝|AD →|2cos 60°＝12|AD →|2＝12a 2，∴MN →·MN →＝112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r · 112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN →|＝MN MN •u u u u r u u u u r ＝53a ，即|MN |＝53a .12.C [如图所示，S △OAB ＝12|a ||b |·sin 〈a ，b 〉＝12|a ||b |1－cos 〈a ，b 〉2＝12|a ||b | 1－a ·b |a ||b |2＝12|a ||b | |a |2|b |2－a ·b2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－a ·b2.]13.解由AC ⊥α，可知AC ⊥AB ，过点D 作DD 1⊥α，D 1为垂足，连结BD 1，则∠DBD 1为BD 与α所成的角，即∠DBD 1＝30°， ∴∠BDD 1＝60°，∵AC ⊥α，DD 1⊥α，∴AC ∥DD 1，∴〈CA →，DB →〉＝60°，∴〈CA →，BD →〉＝120°. 又CD →＝CA →＋AB →＋BD →， ∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2 ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ， ∴BD →·AB →＝0，AC →·AB →＝0. 故|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD → ＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625， ∴|CD →|＝25.。

高二数学人教版选修2-1(第03章空间向量与立体几何) Word版含解析

绝密★启用前人教版选修2-1 第3章空间向量与立体几何一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1,－2y ,9)，若a 与b 共线，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝12-C ．x ＝16，y ＝32-D ．x ＝16-，y ＝232．【题文】已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．33．【题文】设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．124．【题文】若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【题文】在△ABC 中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A.2133+b cB.5233-c bC.2133-b cD.1233+b c6．【题文】已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对7．【题文】已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．647D ．6578．【题文】与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是( )A ．236,,777⎛⎫⎪⎝⎭B ．236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．236,,777⎛⎫-- ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．236,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭9．【题文】已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6且a ⊥b ，则x ＋y 为( ) A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．110．【题文】已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．x >4B ．x <－4C ．0<x <4D ．－4<x <0.11．【题文】已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30° B．45° C．60° D．90°12．【题文】已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【题文】已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别是________，________.14．【题文】在△ABC 中，已知AB ＝(2,4,0)，BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.15．【题文】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所成角的大小为．16．【题文】在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，其中不正确的命题为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）【题文】如图，空间四边形OABC 中，E ，F 分别为OA ，BC 的中点，设=OA a ，OB =b ，OC =c ，试用a ，b ，c 表示EF .18．（本题满分12分）【题文】已知{},,i j k 是单位正交基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝aa 1＋ba 2＋ca 3 成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．19．（本题满分12分）【题文】四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5，AD ＝3，AA ′＝7，∠BAD ＝60°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝45°，求AC ′的长．20．（本题满分12分）【题文】如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点．求证：DM ∥平面PFB .21．（本题满分12分）【题文】如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明：A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．22．（本题满分12分）【题文】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.人教版选修2-1 第3章空间向量与立体几何答题卡注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和班级填写在答题卡上。

高二数学人教A版选修2-1(第3.2 立体几何中的向量方法) Word版含解析

绝密★启用前人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法一、选择题1．【题文】已知三条直线l 1，l 2，l 3的一个方向向量分别为a ＝(4，－1,0)，b ＝(1,4,5)，c ＝(－3,12，－9)，则 ( )A ．l 1⊥l 2，但l 1与l 3不垂直B ．l 1⊥l 3，但l 1与l 2不垂直C ．l 2⊥l 3，但l 2与l 1不垂直D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直2．【题文】已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是（） A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．13．【题文】已知(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（）A ．平行B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角4．【题文】在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（）A ．14B ．13C ．23D ．115．【题文】长方体1111ABCD A BC D -中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 ( ) A. 1010B.3010 C. 21510D.310106．【题文】在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11A C D 间的距离为（）A ．63B ．33 C ．332 D ．237．【题文】如图，在四面体OABC 中，G 是底面△ABC 的重心，则OG 等于（）GCABOA.OC OB OA ++B.111222OA OB OC ++C.111236OA OB OC ++ D.111333OA OB OC ++8．【题文】在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（）A ．32 B ．37C ．23D ．73二、填空题9．【题文】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．10．【题文】已知正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成角为60°，M 为PA 的中点，连接DM ，则DM 与平面PAC 所成角的大小是________．11．【题文】如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是______．三、解答题12．【题文】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上异于A 、B 的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A --的余弦值．13．【题文】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)若AB ＝BB 1＝2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．14．【题文】直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面A B C D为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC .设2AB =. (1)求二面角1E AC D --的大小；(2)在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，说明理由.人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法参考答案与解析一、选择题 1．【答案】A【解析】∵a ·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a ·c ＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0.b ·c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c . ∴l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题【难度】较易 2．【答案】A【解析】|a |＝2222+4+6x =，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题【难度】较易 3．【答案】B【解析】由(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以u v ⊥，又u ，分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，故选B. 考点：空间向量在解决空间垂直中的应用. 【题型】选择题【难度】较易 4．【答案】B【解析】因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,2,3)B ，22202313∴=++=OB ．故选B ．考点：空间中两点间的距离．【题型】选择题【难度】较易 5．【答案】B【解析】建立坐标系如图所示，则A (1, 0, 0)，E (0, 2, 1)，B (1, 2, 0)，C 1(0, 2, 2)，则1BC ＝(－1, 0, 2)，AE ＝(－1，2, 1)．cos 〈1BC ，AE 〉＝11AE BC AE BC ⋅⋅＝3010. 所以异面直线BC 1与AE所成角的余弦值为3010.故选B.考点：异面直线所成角的向量求法. 【题型】选择题【难度】较易 6．【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()(),,11,0,10,,,10,1,10x y x y ⋅-=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩()1,1,1,1,1,x n y =⎧⇒∴=⎨=⎩又(1,0,0)AD =-，∴平面1AB C 与平面11A C D 间的距离()()2221,0,01,1,133111AD n d n⋅-⋅===++，故选B.考点：面与面间的距离的向量求法. 【题型】选择题【难度】一般 7．【答案】D【解析】由题意知，()()11=+=+=33OG OA AG OA AC AB OA OC OA OB OA ++-+- =111333OA OB OC ++，故选D. 考点：空间向量的运算. 【题型】选择题【难度】一般 8．【答案】B【解析】以C 为坐标原点，CA 所在直线为轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则(),0,0A a ，()0,,0B a ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ，则）（1,2,2a a E ，）（31,3,3a a G ，则）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴⊥GE 平面ABD ，∴0=⋅BD GE ，解得2=a ．∴）（32,31,31=GE ，）（2,2,21-=BA ， ∵⊥GE 平面ABD ，∴GE 为平面ABD 的一个法向量．32323634||||,cos 111=⋅=⋅⋅>=<BA GE BA GE BA GE ， ∴B A 1与平面ABD 所成的角的余弦值为37，故选B.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】选择题【难度】较难二、填空题 9．【答案】66【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1, 0, 2)，B (0, 1, 0)，A (1, 0, 0)，C (0, 0, 0)，则1A B ＝(－1, 1，－2)，AC ＝(－1, 0, 0)，cos 〈1A B ，AC 〉＝11A B AC A B AC⋅⋅＝1114++＝66. 考点：异面直线夹角的向量求法. 【题型】填空题【难度】较易 10．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a ，由已知可得正四棱锥的高为62a ，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，D 2,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，P 60,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，M 260,,44a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则DM ＝226,,244a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos 〈DM ，n 〉＝n DM n DM⋅⋅＝22，所以DM 与平面PAC 所成的角为45°.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】填空题【难度】一般 11．【答案】平行【解析】分别以C 1B 1、C 1D 1、C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．∵A 1M ＝AN ＝23a ，∴M 2(,,)33a a a ，N 22(,,)33a a a ，∴MN ＝2(,0,)33a a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴11C D ＝(0，a,0)，∴MN ·11C D ＝0，∴MN ⊥11C D .∵11C D 是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .考点：向量法求线面关系. 【题型】填空题【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）见解析（2）64【解析】(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC . (2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)，故CB ＝(3，0,0)，CP ＝(0,1,1)，设平面BCP 的法向量为1n ＝(x 1，y 1，z 1)，则110,0,n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以111300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＋＝，令y 1＝1，则1n ＝(0,1，－1)．AP ＝(0,0,1)，AB ＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为2n ＝(x 2，y 2，z 2)，则220,0,n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以222300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩-＝，＝，令x 2＝1，则2n ＝(1，3，0)．于是cos 〈1n ，2n 〉＝322＝64.由题意可知二面角C PB A --的余弦值为64. 考点：空间二面角的向量求法. 【题型】解答题【难度】一般 13．【答案】（1）见解析（2）23535【解析】(1)证明：因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形A 1ACC 1是矩形．连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，则O 是A 1C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在△A 1BC 中，OD ∥A 1B ，因为A 1B ⊄平面ADC 1，OD ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1. (2)因为△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -.由已知AB ＝BB 1＝2，得D (0,0,0)，A (3，0, 0)，A 1(3，0, 2)，C 1(0，-1, 2)，则DA ＝(3，0, 0)，1DC ＝(0，-1，2)，设平面AC 1D 的法向量为＝(x ，y ，z )，则10,0,n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,20,x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z ＝1，则x ＝0，y ＝2，∴＝(0,2,1)，又1DA ＝(3，0,2)，∴cos 〈1DA ，〉＝257⋅＝23535，设A 1D 与平面ADC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1DA ，〉|＝23535，故A 1D 与平面ADC 1所成角的正弦值为23535.考点：线面角的向量求法. 【题型】解答题【难度】一般 14．【答案】（1）45︒（2）存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE = 【解析】(1)设AC 与BD 交于O ，设1B E h =，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B C D D --- (0,1,2),E h +则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥平面1D AC ，111,D E AC D E D A ∴⊥⊥,220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E .1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-，设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =，则,,m CA m AE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即230,330,x x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩令1z =-，则0,3x y ==，()0,3,1m ∴=-. 又平面1D AC 的一个法向量为()10,2,1D E =，1112cos ,==2m D E m D E m D E⋅∴⋅， ∴二面角1E AC D --大小为45.(2)设111(),D P PE D E D P λλ==-得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++ 111121(3,1,0)(0,,)(3,,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==--+=-++++，1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-⨯+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =考点：空间向量法求二面角. 【题型】解答题【难度】一般。

2020年高中数学人教A版选修2-1 空间向量与立体几何 3.1.4 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A (－1，2，1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( )A ．(－1，0，1)，(－1，2，0)B ．(－1，0，0)，(－1，2，0)C ．(－1，0，0)，(－1，0，0)D ．(－1，2，0)，(－1，2，0)【解析】点A 在x 轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy 平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.【答案】 B2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB→的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB→的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB→与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB→与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】因为A 点不一定为坐标原点，所以A ，B ，C 都不对；由于AB→＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D3．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A.12a ＋12b ＋c B.12a －12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋c【解析】由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →)＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.【答案】 D4．正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO →2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12 C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB → ＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→，由空间向量的基本定理，得x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A5．已知空间四点A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，D (x ，－1，3)共面，则x 的值为( ) 【导学号：18490096】A ．4B ．1C ．10D ．11【解析】 AB →＝(－2，2，－2)，AC →＝(－1，6，－8)，AD →＝(x －4，－2，0)，∵A ，B ，C ，D 共面， ∴AB→，AC →，AD →共面， ∴存在实数λ，μ，使AD→＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1，x ＝11. 【答案】 D 二、填空题6．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a 与b 的位置关系是________．【解析】 ∵a ·b ＝－6i 2＋8j 2－2k 2＝－6＋8－2＝0. ∴a ⊥b . 【答案】 a ⊥b7.如图3-1-32, 在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________．图3-1-32【解析】 B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c . 【答案】－12a ＋12b －c8．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2，1，3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．【解析】由题意知点A 对应的向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8，3，12)．【答案】 (8，3，12) 三、解答题9．已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，能否以OA →，OB →，OC →作为空间的一个基底？【导学号：18490097】【解】假设OA→，OB →，OC →共面，根据向量共面的充要条件有OA→＝xOB →＋yOC →，即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1，此方程组无解．∴OA→，OB→，OC→不共面．∴{OA→，OB→，OC→}可作为空间的一个基底．10．如图3-1-33，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，MA→＝－13AC→，ND→＝13A1D→，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示MN→.图3-1-33【解】连接AN，则MN→＝MA→＋AN→.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，MA→＝－13AC→＝－13(a＋b)，又A1D→＝AD→－AA1→＝b－c，故AN→＝AD→＋DN→＝AD→－ND→＝AD→－13A1D→＝b－13(b－c)，MN→＝MA→＋AN→＝－13(a＋b)＋b－13(b－c)＝13(－a ＋b ＋c )．[能力提升]1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB .M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG→等于( ) A.16OA →＋13OB →＋12OC → B.14(OA →＋OB →＋OC →) C.13(OA →＋OB →＋OC →) D.16OB →＋13OA →＋13OC → 【解析】如图，OG →＝12(OM →＋ON →) ＝12OM →＋12×12(OB →＋OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC → ＝14(OA →＋OB →＋OC →)．【答案】 B2．若向量MA→，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合无三点共线，则能使向量MA→，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B.MA→＝MB →＋MC → C.OM→＝OA →＋OB →＋OC → D.MA →＝2MB →－MC → 【答案】 C3．在空间四边形ABCD 中，AB→＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF→＝________．【解析】 EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD →＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c . 【答案】 3a －52b ＋3c4.在直三棱柱ABO -A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图3-1-34所示的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．图3-1-34【解】 ∵DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →)＝－[OO 1→＋12(OA →＋OB →)]＝－OO 1→－12OA →－12OB →. 又|OO 1→|＝|AA 1→|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO→＝(－2，－1，－4)． ∵A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→) ＝OB →－OA →－AA 1→. 又|OB →|＝2，|OA →|＝4，|AA 1→|＝4， ∴A 1B →＝(－4，2，－4)......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.1 Word版含答案

第三章空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算课时目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．2．几类特殊向量(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________．3．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________. 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝________(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.；一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A. OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C. OD→ D .2OD→4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A. AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B. 1D B u u u u rC.1B D u u u u rD. 1DB u u u u r6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF→＋GH →＋PQ →＝0 B.EF→－GH →－PQ →＝0C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B u u u u u r的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG u u u r ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算知识梳理1．大小方向 (2)大小模 (3)①有向线段 ②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同相等 (4)相等相反－a3．a ＋b a －b (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →， ∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．] 5．A[如图所示， ∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB → ＝AA 1→－AB →＝BA 1→， BA 1→＋BC →＝BD →1， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.] 7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →| ＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|. 8．重心解析如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC→＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心． 9．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC'→＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→)＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-1学业测评：3.2.3 空间向量与空间角 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均不对【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.应选A.【答案】 A2．已知A (0，1，1)，B (2，－1，0)，C (3，5，7)，D (1，2，4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( )A.52266 B ．－52266 C.52222D ．－52222【解析】 AB→＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，∴直线AB ，CD 所成角的余弦值为52266. 【答案】 A3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．于是AD→＝(0，1，0)．取PD 中点为E ，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos AD →，AE →＝22，∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B4．如图3-2-28，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )【导学号：18490121】图3-2-28A ．－33B ．－32C. 33D. 32【解析】设AD ＝1，则A 1(1，0，2)，B (1，2，0)，因为E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，所以E (0，1，2)，F (1，1，1)，所以A1E→＝(－1，1，0)，A1B →＝(0，2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧A1E →·m ＝0，A1B →·m ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝z ，取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1，1，1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →＝(1，0，0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m·DA →|m||DA →|＝13＝33，又二面角B 1A 1B E 为锐二面角，所以二面角B 1A 1B E 的余弦值为33，故选C.【答案】 C5.如图3-2-29，空间正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )图3-2-29A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建系，则A1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，cos 〈A1M →，DN →〉＝A1M →·DN →|A1M →||DN →|＝0. ∴〈A1M →，DN →〉＝π2. 【答案】 D 二、填空题6．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1，0，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，C (0，1，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，∴cos 〈AM →，CN →〉＝1252·52＝25，故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 【答案】 257．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，0)，B (2，1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t ，0)(t ≠0)，AB→＝(1，3, 6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n·AB →|n|·|AB →|＝3t 4|t|，因为〈n ，AB →〉∈[0，π]，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4|t|2＝74. 【答案】 748．已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．【解析】如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0，0，1)，平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．所以A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23，所以AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，13，则⎩⎪⎨⎪⎧n2·AE →＝0，n2·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1，3)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n1·n2|n1||n2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝23.【答案】23三、解答题9.如图3-2-30所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2. 【导学号：18490119】图3-2-30(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．【解】(1)证明：连接OC，由题意知BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝3，又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0, 3，0)，A(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， ∴BA→＝(－1，0，1)，CD →＝(－1，－3，0)， ∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →|·|CD →|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10．四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．【解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，D (0，0，0)，P (0，0，h )， (1)∵AC→＝(－a ，a ，0)，DP →＝(0，0，h )，DB →＝(a ，a ，0)， ∴AC→·DP →＝0，AC →·DB →＝0， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ， ∴AC ⊥平面PDB ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，P (0，0，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，－22a ，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO →|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.[能力提升]1．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不对【解析】以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1，0，2)，E (1，1，1)，D 1(0，0，2)，A (1，0，0)，所以A1E →＝(0，1，－1)，D1E→＝(1，1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·A1E →＝0，n·D1E →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0. 令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0，1，1)，cos 〈n ，EA →〉＝n·EA →|n||EA →|＝－22·2＝－1.所以〈n ，EA→〉＝180°. 所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )图3-2-31A.55 B.53 C.255D.35【解析】不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，则AB1→＝(－2，2，1)，C1B →＝(0，－2，1)，所以cos 〈AB1→，C1B →〉＝AB1→·C1B →|AB1→||C1B →| ＝（－2）×0＋2×（－2）＋1×19×5＝－55.因为直线BC 1与直线AB 1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55. 【答案】 A3．在空间中，已知平面α过(3，0，0)和(0，4，0)及z 轴上一点(0，0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________．【解析】平面xOy 的法向量为n ＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a29＋a216＋1＝22，又∵a ＞0，∴a ＝125. 【答案】 1254.如图3-2-32，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．图3-2-32(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值. 【导学号：18490120】【解】 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4) ，C 1(0，2，4)，所以A1B →＝(2，0，－4)，C1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A1B →，C1D →〉＝A1B →·C1D →|A1B →||C1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD→＝(1，1，0)，AC1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n1·n2|n1|·|n2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。

高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于（）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝（）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是（） A. ⋅ B. BD AB ⋅ C.DA AB ⋅ D.⋅ 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为（）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为（）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0，所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)，可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°，即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何章末总结 Word版含答案

章末总结知识点一空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．【例1】沿着正四面体O －ABC 的三条棱OA 、OB →、OC →的方向有大小等于1、2和3的三个力f 1，f 2，f 3.试求此三个力的合力f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．知识点二证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．例2如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.例3如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.例4正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.知识点三空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．例5如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.(1)cos〈1A D，AM→〉；(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．知识点四空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．例6如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，P A＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求二面角P—CD—B的大小；(2)求证：平面MND⊥平面PCD；(3)求点P到平面MND的距离．章末总结重点解读例1 解如图所示，用a ，b ，c 分别代表棱OA →、OB →、OC →上的三个单位向量，则f 1＝a ，f 2＝2b ，f 3＝3c ，则f ＝f 1＋f 2＋f 3＝a ＋2b ＋3c ，∴|f |2＝(a ＋2b ＋3c )(a ＋2b ＋3c )＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2＋4a·b ＋6a·c ＋12b·c＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12 cos 60°＝14＋2＋3＋6＝25，∴|f |＝5，即所求合力的大小为5.且cos 〈f ，a 〉＝f·a |f |·|a |＝|a |2＋2a·b ＋3a·c 5＝1＋1＋325＝710，同理可得：cos 〈f ，b 〉＝45，cos 〈f ，c 〉＝910. 例2 证明 (1)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BD →＝AD →－AB →，B 1D 1→＝A 1D 1→－A 1B 1→，又∵AD →＝A 1D 1→，AB →＝A 1B 1→，∴BD →＝B 1D 1→.∴BD ∥B 1D 1.同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1，所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2) MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋CC 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝12(a ＋b ＋c )．又BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∴MN →·BD →＝12(a ＋b ＋c )(b －a )＝12(b 2－a 2＋c·b －c·a )．又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c·b ＝0，c·a ＝0.又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2，∴b 2－a 2＝0.∴MN →·BD →＝0，∴MN ⊥BD .同理可证，MN ⊥A 1B ，又A 1B ∩BD ＝B ，∴MN ⊥平面A 1BD .例3 解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)．则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知，AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝＝22＋m 2·2. 依题意得22＋2m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝33. 故当m ＝33时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 例4 证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体棱长为1，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，12、D 1(0,0,1)、F ⎝⎛⎭⎫0，12，0、A (1,0,0)． ∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12， D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量．⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0x 1＋y 1＋12z 1＝0. 令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)．又由⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝012y 2－z 2＝0，令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)．∵m·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1.例5 解 (1)建立空间直角坐标系(如图)．则A (0,0,0)，A 1(0,0,4)，D (0,8,0)，M (5,2,4)．∴AM →＝(5,2,4)，A 1D →＝(0,8，－4)．∴AM →·A 1D →＝0＋16－16＝0，∴AM →⊥A 1D →.∴cos 〈A 1D →，AM →〉＝0.(2)∵A 1D ⊥AM ，A 1D ⊥AN ，且AM ∩AN ＝A ， ∴A 1D →⊥平面ANM ，∴A 1D →＝(0,8，－4)是平面ANM 的一个法向量．又AD →＝(0,8,0)，|A 1D →|＝45，|AD →|＝8，A 1D →·AD →＝64，∴cos 〈A 1D →，AD →〉＝6445×8＝25＝255. ∴AD 与平面ANM 所成角的余弦值为55. (3)∵平面ANM 的法向量是A 1D →＝(0,8，－4)，平面ABCD 的法向量是a ＝(0,0,1)，∴cos 〈A 1D →，a 〉＝－445＝－55. ∴平面ANM 与平面ABCD 所成角的余弦值为55. 例6 (1)解 ∵P A ⊥平面ABCD ，由ABCD 是正方形知AD ⊥CD .∴CD ⊥面P AD ，∴PD ⊥CD .∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角． ∵P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，即二面角P —CD —B 的大小为45°. (2)如图，建立空间直角坐标系，则P (0,0,2)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，M (1,0,0)，∵N 是PC 的中点，∴N (1,1,1)，∴MN →＝(0,1,1)，ND →＝(－1,1，－1)，PD →＝(0,2，－2)．设平面MND 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面PCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．∴m ·MN →＝0，m ·ND →＝0，即有⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋z 1＝0，－x 1＋y 1－z 1＝0. 令z 1＝1，得x 1＝－2，y 1＝－1.∴m ＝(－2，－1,1)．同理，由n ·ND →＝0，n ·PD →＝0，即有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋y 2－z 2＝0，2y 2－2z 2＝0. 令z 2＝1，得x 2＝0，y 2＝1，∴n ＝(0,1,1)． ∵m·n ＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，∴m ⊥n .∴平面MND ⊥平面PCD .(3)设P 到平面MND 的距离为d .由(2)知平面MND 的法向量m ＝(－2，－1,1)， ∵PD →·m ＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，∴|PD →·m |＝4，又|m |＝－2＋－2＋12＝6， ∴d ＝＝46＝263. 即点P 到平面MND 的距离为263.。

高中数学(人教A版)选修2-1教师用书3.2第2课时空间向量与空间角 Word版含答案

第课时空间向量与空间角
[核心必知]
．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材和的内容，回答下列问题．
()异面直线，的方向向量分别为和，若异面直线和所成的角为α，则α与〈，〉之间有什么关系？α与〈，〉有什么关系？
提示：相等或互补．α＝〈，〉.
()观察教材－图－()，若直线和平面α所成的角为θ，则直线的方向向量与平面的法向量的夹角〈，〉与θ有什么关系？
提示：θ＝〈，〉.
.如图()，()所示，平面α，β的法向量分别为和，若平面α与β所构成的角为θ，则θ与〈，〉有什么关系？
提示：θ＝〈，〉.
．归纳总结，核心必记
空间角及向量求法
续表
[问题思考]
()当一条直线与一个平面α的夹角为时，这条直线一定在平面内吗？
提示：不一定，这条直线可能与平面平行．
()为什么求空间角的公式中都带有绝对值？
提示：因为异面直线所成的角的范围是，斜线与平面所成的角的范围是，二面角的锐二面角的范围是，而两个向量的夹角的范围是[，π]．因此计算时加绝对值．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
()如何用向量求异面直线所成的角？
；
()如何用向量求直线与平面所成的角？
；
()如何用向量求二面角的平面角？
．
[思考] 如何利用向量求两异面直线所成的角或所成角的余弦值？
名师指津：利用公式θ＝〈，〉，其中θ为异面直线所成的角，、分别是两异面直线的方向向量．
讲一讲
．如图，三棱柱-中，平面⊥平面，且∠＝°，∠＝°，＝＝，＝，求异面直线与所成角的余弦值．
[尝试解答]以为坐标原点，。

人教版高中数学选修2-1《用向量方法求空间中的角练习

课时作业(二十二)用向量方法求空间中的角A 组基础稳固1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1 与直线AB1 夹角的余弦值为( )A.55B.532 55 C.35D.→→分析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1) ，C1(0,2,0)，B (0,0,1)，BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)．→→，AB1〉＝cos〈BC1→→→BC1·AB1＝→|BC1||AB1|3＝5×35.5答案：A2．在正方体ABCD －A1B1C1D1 中，E 是C1C 的中点，则直线BE 与平面B1BD 所成的角的正弦值为( )A．－105 B.105C．－155D.155分析：成立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1) ．→∴BD→→＝(－2，－2,0)，BB1＝(0,0,2)，BE＝(－2,0,1)．设平面B1BD 的法向量为n＝(x，y，z)．→→∵n⊥BD，n⊥BB1，∴－2x－2y＝0，2z＝0.∴x＝－y，z＝0.令y＝1，则n＝(－1,1,0)．→∴cos〈n，BE〉＝→n·BE→＝105，|n||BE |设直线BE 与平面B1BD 所成角为θ，→则sinθ＝|cos〈n，BE〉|＝10 5.答案：B3．在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )3 70A．0 B.70C．－37070 D.7070分析：成立如图坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C (0,2,0)，→→∴BD1＝(－2，－2,3)，AC＝(－2,2,0)．→→∴cos〈BD1，AC〉＝→→→BD1·AC→＝0. |BD 1||AC |→→∴〈BD 1，AC答案：A〉＝90°，其他弦值为0.4．正方形ABCD 所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD .若PA＝AB，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°分析：建系如图，设AB＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，P(0,0,1)，D (1,0,0)，C (1,1,0)．平面PAB 的法向量为n1＝(1,0,0)．设平面PCD 的法向量n2＝(x，y，z)，→则＝，n2·PD→＝0，n2·CD得x－z＝0，y＝0.令x＝1，则z＝1.∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝1＝22.2∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为答案：B22 .∴此角的大小为45°.5．在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，B1C 和C1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为( )A.64B.104C.32D.34分析：成立如图的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，CC1＝3＝DD 1.∴C1D1＝3，则有B1( 3，0,0)，C( 3，1，3)，C1( 3，1,0)，D (0,1，3)．→→∴B1C＝(0,1，3)，C1D＝(－3，0，3)．→→∴cos〈B1C，C1D 〉＝→→→B1C·C1D→＝3＝2 66.4 |B1C ||C1D|答案：A6．已知直角△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB＝13，则二面角A－CD－B 的大小为( )A．60°B．90°C．120°D．150°分析：取CD 中点E，在平面BCD 内过 B 点作BF⊥CD，交CD 延伸线于 F.据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝3，EF＝2，AB＝13.→且〈EA→，FB〉为二面角的平面角，→→→→22 得由AB ＝(AE＋EF＋FB)→→，FB〉，13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈AE→→∴cos〈EA，FB 〉＝－1 2 .→→∴〈EA，FB〉＝120°.即所求的二面角为120°.答案：C7．直线l 的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为__________．分析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a，n 所成的角为β，sinθ＝|cosβ|＝－2，3，，0，17×176＝17.答案：6 17→→8．在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱AA1 和BB1 的中点，则sin〈CM，D1N〉＝________.分析：成立如图坐标系，设正方体棱长为 2.→可知CM→＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)．→→，D1N〉＝－cos〈CM 1 9.→→∴sin〈CM，D1N〉＝4 5 9.答案：4 5 99．如图正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为1，O 是平面A1B1C1D1 的中心，则BO 与平面ABC1D1 所成角的正弦值为________．分析：成立坐标系如图，则B(1,1,0)，O 12，12，1 ，→＝(1,0,1)是平面ABC1D1 的一个法向量．DA1→又OB＝1 1，，－1 ，2 21→→∴BO 与平面ABC1D1 所成角的正弦值为|OB·DA 1|→→|OB |·|DA1|＝2＝62 × 23.6答案：3 610．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是3，212，0 ，点D 在平面yOz 上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.→(1)求向量OD的坐标；→→和BC的夹角为θ，求cosθ的值．(2)设向量AD解：(1)过D 作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC 中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝3，∴DE＝CD·sin30 °＝3 . 2OE＝OB－BE＝OB－BD·cos60 ＝°1－12＝12.∴D 点的坐标为0，－12，32，→即向量OD ＝0，－12，32.→(2)依题意，OA＝3，2→→12，0 ，OB＝(0，－1,0)，OC＝(0,1,0)，→所以AD→＝OD→－OA＝－3，－1，232→，BC＝(0,2,0)．→→则cosθ＝A D→·BC→＝－105.|AD ||BC |B 组能力提高11．如下图，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD ＝AC，点 F 为PC 中点，则二面角C－BF－D 的正切值为( )A.36B.34C.33D.2 33分析：设AC∩BD＝O，连结OF，以O 为原点，OB，OC，OF 所在直线分别为x，y，z 轴，成立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝3，∴B3，0，0 ，F 0，0，212，C 0，12，0 ，D －3，0，0 .2→∴OC＝0，→12，0 ，且OC为平面BDF 的一个法向量．→由BC＝－3，2→12，0 ，FB＝3，0，－212可得平面BCF 的一个法向量n＝(1，3，3)．→∴cos〈n，OC〉＝→217，sin〈n，OC〉＝277 .→∴tan〈n，OC〉＝答案：D 2 3. 312．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1 的各条棱长都相等，M 是侧棱CC1 的中点，则异面直线AB1和BM 所成的角的大小是________．分析：不如设棱长为2，→→→→→→1则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，2→→，BM〉＝cos〈AB1→→→→1－BABB1BC＋2BB12 2· 50－2＋2＋0＝＝0.2 2· 5故AB1 与BM 的夹角为90°.答案：90°13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N 分别是A1B、B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1 和平面A1BC 所成角的大小．分析：(1) 证明：依据题意CA、CB、CC1 两两垂直，以 C 为原点，CA、CB、CC1 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴成立如下图的空间直角坐标系，设 AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则 B(0，a,0)，B 1(0，a ，a)，C (0,0,0)， C 1(0,0，a)，A 1( a ,0，a)，M a 2 ， a a ， 2 2 ，N 0，a 2，a .→ →所以BA 1＝( a ，－a ，a)，CA 1＝( a ,0，a)，→ MN ＝－a 2 ，0，a2 .→ 于是MN → → ＝0，MN ·BA 1 →＝0，·CA 1即 MN ⊥BA 1，MN ⊥CA 1.又 BA 1∩CA 1＝A 1，故 MN ⊥平面 A 1BC.(2)由于 MN ⊥平面 A 1BC ，→ 则MN为平面 A 1BC 的法向量，→ 又BC 1＝(0，－ a ，a)， → → 则 cos 〈BC 1 ，MN 〉＝ → → →BC 1·MN→|BC 1||MN |＝2 a 22a ·＝ 2 2 a 12，→ →所以〈 BC 1，MN〉＝ 60°. 故直线 BC 1 和平面 A 1BC 所成的角为 30°.14．如图，在五面体 ABCDEF 中， FA ⊥平面 ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为 EC 的中点， AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝ 1AD.2(1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(2)证明平面 AMD ⊥平面 CDE ；(3)求二面角 A －CD －E 的余弦值．分析：如下图，成立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点．设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F (0,0,1)，M 1，1，1 2 2.→→＝(－1,0,1)，DE＝(0，－1,1)，(1)BF→→于是cos〈BF，DE〉＝→→BF·DE 0＋0＋1＝＝→→2× 2|BF||DE|1.2所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.→(2)证明：由AM ＝12，1，12→→→→，CE＝(－1,0,1)，AD＝(0,2,0)，可得CE·AM→＝0，CE→·AD＝0.所以，CE⊥AM，CE⊥AD.15．如下图，已知在四周体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB ＝AD＝ 2.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：(1)证明：由于BO＝DO ，AB＝AD，所以AO⊥BD.由于BO＝DO ，BC＝CD，所以CO⊥BD.2 2在△AOC 中，由已知可得AO＝1，CO＝3，而AC＝2，所以AO ＋CO ＝AC 所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.由于BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD . 2 ，(2)以O 为坐标原点，成立如下图的空间直角坐标系，→→则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，3，0)，A (0,0,1)，BA＝(－1,0,1)，CD＝(－1，－3，0)，→→所以cos〈BA，CD〉＝→→→BA·CD→＝2，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为42.4 |BA||CD|。

2016-2017学年上学期高二数学寒假作业07(人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何)Word版含解析

作业范围:选修2-1第三章空间向量与立体几何姓名:_______ 学校:_______ 班级:_________ 时间: 100分钟分值:120分第Ⅰ卷一、选择题(本题共14小题，每小题4分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值为（） A ． B ．15 C ．35 D ．75】2015-2016学年广西桂林市一中高二下期中数学试卷【答案】D考点：空间向量垂直的充要条件．【题型】选择题【难度】较易2．若()()2,3,,2,6,8a m b n ==且,a b 为共线向量，则m n +的值为（）A ．7B ．52C ．6D ．】2015-2016学年广西桂林市一中高二下期中数学试卷【答案】C【解析】由,a b 为共线向量得23268mn ==，解得4,2m n ==，则6m n +=．故选C ．考点：空间向量平行的充要条件．【题型】选择题【难度】较易3．向量＝（2,4,x ）,＝（2,y ,2），若||＝6，且⊥，则x ＋y 的值为（） A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．3或1 】2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高二下学前考试理科数学试卷【答案】C考点：空间向量的坐标运算及垂直的性质. 【题型】选择题【难度】较易4．已知A （2，－5，1），B （2，－2，4），C （1，－4，1），则AC 与AB 的夹角为（） A ．30° B．45° C．60° D．90° 】2015-2016学年福建省晋江市季延中学高二上学期期末理科数学试卷【答案】C【解析】设AC 与AB 的夹角为θ，()1,1,0AC =-，()0,3,3AB =，cos θ∴2AC AB AC AB⋅=，60θ∴=︒.考点：向量夹角. 【题型】选择题【难度】较易5．已知()1,2,1A -，()5,6,7B ，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是（） A ．()0,1,1B ．()0,1,3-C ．()1,0,3-D ．()1,0,5--】2015-2016学年福建省三明市A 片高二上学期期末理科数学试卷【答案】D【解析】直线AB 与平面xOz 交点的坐标是()0,M x z ，，则()1,2,1A z M x -=-+，又AB =（4，4，8），AM 与AB 共线，∴AM AB λ=，即14,24,18,x z λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩解得1x =-，5z =-，∴点()1,0,5M --. 考点：空间中的点的坐标. 【题型】选择题【难度】较易6．若平面α的一个法向量为()()()1,2,2,1,0,2,0,1,4,,n A B A α=-∉B α∈，则点A 到平面α的距离为（）A ．1B ．2C ．13D ．23】【百强校】2016-2017学年黑吉两省八校高二上期中数学（理）试卷【答案】C【解析】因为()()1,0,2,0,1,4A B -，所以(1,1,2)AB =--，所以点A 到平面α的距离为21131AB n d n⋅-===，故选C ．考点：空间向量的应用．【题型】选择题【难度】较易7．在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，设,,OA a OB b OC c ===，则OD 可表示为（）A ．a c b +-B ．2a b c +-C ．b c a +-D ．2a c b +-】【百强校】2016-2017学年黑吉两省八校高二上期中数学（理）试卷【答案】A考点：空间向量的线性运算．【题型】选择题【难度】较易8】 9的法向量的是（） A.】 ,,n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩那么220,4530,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩那么:x 10c 三向量共面，则实数λ等A 】考点：空间向量共面的性质及方程思想. 【题型】选择题【难度】较易11．已知)2,0,4(A ，)2,6,2(-B ，点M 在轴上，且到B A ,的距离相等，则M 的坐标为（） A ．)0,0,6(- B ．)0,6,0(- C ．)6,0,0(- D ．)0,0,6( 】【百强校】2015-2016学年福建省厦门一中高一6月月考数学试卷【答案】A【解析】因为点M 在轴上，所以可设(),0,0M x ，又M A M B=，所以，解得6x =-，所以(6,0,0M -. 考点：空间两点间距离公式. 【题型】选择题【难度】一般12．在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若z y x ++=，则x ＋y ＋z ＝（）A ．31B ．21C ．1D ．2 】2015-2016学年山西省孝义市高二上学期期末考试理科数学试卷【解析】AG AB BG =+= ()AC AD AB ⎤+-⎥,所以21=x ，41==z y ，所以1=++z y x ，故选C. 考点：空间向量的运算. 【题型】选择题【难度】一般13．若平面α、β4)，则( ) A ．α∥β B C ．α，β相交但不垂直】【百强校】2015-2016 【答案】C【题型】选择题【难度】一般14．如图，在平行六面体11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =MA.1122a b c-++ 1122a b c ++ C.1122a b c --+ 112a b c -+】2015-2016【解析】根据向量加法的运算法则，可得111=2BM BB B M c BD c +=+=()11B A B C a b c+=-++. 考点：空间向量的表示. 【题型】选择题【难度】一般第II 卷二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）15．已知向量()()(),12,1,4,5,1,,10,1OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则=k ________．】【百强校】2015-2016学年山西太原五中高二上学期期末理科数学试卷【答案】32-【解析】因为()()(),12,1,4,5,1,,10,1OA k OB OC k ===-，所以(4,7,0),(2,2,0)AB k AC k =--=--，又因为A 、B 、C 三点共线，所以存在实数λ使得AB AC λ=，所以42,72,k k λλ-=-⎧⎨-=-⎩解得=k 32-．考点：向量的坐标运算和向量共线定理．【题型】填空题【难度】较易16．设点B是A (2，－3, 5)关于平面xOy 对称的点，则线段AB 的长为 . 】2012-2013学年广东省广州六中高一上学期期末考试数学试题【答案】10考点：空间中点的坐标和两点之间的距离. 【题型】填空题【难度】较易17．在如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，||8DA =，||6DC =，1||3DD =，则11D B 的中点M 的坐标为__________，||DM =_______．】2015-2016学年福建省八县一中高一上学期期末考试数学试卷【答案】(4,3,3)考点：中点坐标公式，空间中两点的距离公式. 【题型】填空题【难度】较易18．若空间向量123x y z =++m e e e 满足：14⋅=m e ，233,5⋅=⋅=m e m e ，则x y z ++=________．】【百强校】2015-2016学年浙江省金华十校高二上学期调研数学试卷【答案】，空间向量123x y z =++m e e e 满足：14⋅=m e ，233,5⋅=⋅=m e m e ，所以123112321233()4,()3,()5,x y z x y z x y z ++⋅=⎧⎪++⋅=⎨⎪++⋅=⎩e e e e e e e e e e e e解得0,3,5,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以8x y z ++=考点：向量的数量积的运算及向量的模的计算．【题型】填空题【难度】一般19．若直线的方向向量()1,1,1a =，平面α的一个法向量()2,1,1n =-，则直线与平面α所成角的正弦值等于_________。

2019-2020学年人教A版数学选修2-1课时分层作业20 空间向量与空间角 Word版含解析

姓名，年级：时间：课时分层作业（二十) 空间向量与空间角(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°,则l 1与l 2所成的角为( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均不对A ［l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为错误!。

应选A.]2．已知二面角αl .β的两个半平面α与β的法向量分别为a ，b ，若〈a ，b 〉＝错误!，则二面角αl .β的大小为( ）A 。

错误! B.错误! C.错误!或错误!D 。

错误!或错误!C ［由于二面角的范围是［0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α.l .β的大小为错误!或错误!，故选C 。

］3.如图，空间正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ,N 分别是CD ,CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( ）A.π6 B 。

错误! C.错误!D 。

错误!D ［以D 为原点，DA ,DC ，DD 1所在直线为坐标轴建系(图略),设棱长为1,A 1（1,0，1)，M 错误!，D (0，0，1)，N 错误!，则错误!＝错误!，错误!＝错误!，cos〈错误!，错误!>＝错误!＝0.∴〈错误!，错误!〉＝错误!.]4．已知在正四面体A。

BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为（)A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!B［作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y 轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0，0,0),A错误!，C错误!，E错误!，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!,∴cos<错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!。