2018届高考数学二轮九 三角恒等变换与解三角形专题卷(全国通用)

限时训练九 三角恒等变换与解三角形限时

40分钟，实际用时

分值80分，实际得分

一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )

A ．－34

B ．－310

C ．－43

D.43

解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2，得2(sin α＋cos α)＝sin α

－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－3

10，故选B.

解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝1

4，即

4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－3

10，故选B.

2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34 B ．－1

4 C.34

D.14

解析：选B.∵a ⊥b ，

∴a·b ＝4sin ⎝

⎛

⎭

⎪⎫α＋π6＋4cos α－3

＝23sin α＋6cos α－3 ＝43sin ⎝

⎛

⎭

⎪⎫α＋π3－3＝0，

∴sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋π3＝14.

∴sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫α＋π3＝－1

4.

3．在△ABC 中，若3cos 2A －B

2＋5sin

2A ＋B

2＝4，则tan A ·

tan B ＝( )

A ．4 B.1

4 C ．－4

D ．－14

解析：选 B.由条件得3×

cos (A －B )＋12＋5×cos C ＋1

2

＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sin B ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝1

4.

4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.7

9 B.13 C ．－13

D ．－79

解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1 ＝2sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫π

6－α－1＝2×19－1＝－7

9. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，

若A ＝π

3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )

A.32

B.34

C.36

D.38

解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π

3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝3

4.

6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋3

2c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )

A.π4

B.π6

C.π3

D.π12

解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋3

2·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以3

2sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π

6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，

联立⎩⎪⎨⎪⎧

1＝b 2＋c 2

－3bc ，3c －2b ＝1，

解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，

得sin B ＝b sin A a ＝1×1

2

1＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π

6，故选B.

二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π

3，则b ＝________.

解析：由题意可得S ＝1

2ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2

＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.

答案：7

8．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x

2－sin x －1

sin x ＋cos x ＝________.

解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2. 所以2cos 2x

2－sin x －1

sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan x

tan x ＋1＝－3.

答案：－3

9．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3

5，则sin α＋cos α的值为________．

解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π

2， ⎩⎪⎨⎪⎧

－3π4＜－β＜－π2π

2＜α＜3π

4

⇒⎩⎨⎧

－π4

＜α－β＜π

4α－β＞0

⇒0＜α－β＜π

4.

根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－4

5，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×12

13＋

⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513

＝－5665，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为

π2