幂的运算法则逆用九类
初中数学《幂的乘方》教案3
《幂的乘方》教案3★新课标要求（一）知识与技能1．了解幂的乘方的运算性质，会进行幂的乘方运算；2．能利用幂的乘方的性质解决一些实际问题．（二）过程与方法1．学生通过阅读教材理解并掌握概念和法则，提高自主学习能力．2．通过学生思考、练习、讨论等过程，提高学生分析问题，解决问题及综合运用知识能力．（三）情感、态度与价值观1．学生在阅读概念及探究和运用法则过程中，培养勇于探索的精神，树立积极思考，克服困难的信心．2．加强学生团队及合作精神．★学情介绍1．学生已经学习了同底数幂的乘法，而且能够做出和课本上难度类似的题目，所以本节课的内容完全可以通过上一节的内容和有理数乘方的意义得到；2．作为现在的学生依靠计算机的比较多，导致计算能力较为薄弱，但本节课的内容简单的计算学生能够通过课堂练习和课后的复习掌握，因此要求学生对于幂的乘方的运算性质语言描述和字母表示能熟练说出，并会应用幂的乘方的运算性质解决简单的问题★教学重点了解幂的乘方的运算性质，会进行幂的乘方．★教学难点幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质区别，发展推理能力和有条理的表达能力．★教学方法教师适当引导；学生自主学习，通过阅读教材、与同学讨论、交流获取知识．★教学过程（一）回忆时光问题1 a2表示什么？a表示什么？2表示什么？a n表示什么意义？问题2 大家能叙述同底数幂乘法运算性质问题1并用字母表示吗？问题3 我们能用同底数幂乘法的运算性质解决这个a2·a5·a n题目吗？问题4 若已知正方体的棱长为a，那么正方体的体积如何求？若正方体的棱长为102，你能计算它的体积吗？【设计意图】以上几个问题中幂的意义在本节中仍旧是法则推导的主要依据，其地位不可小觑，而同底数幂的乘法的推导过程，其中包含的算理知识在本节中仍是精神主旨，因而复习要细致．同时问题4是为了引入本节课．（二）新课导航1．（62）4=__·__·__·__ =6—+—+—+—=6—×—=6—我们大家能仿照上面的题目完成下面的计算吗？来试一下吧①a2）3②（a m）2 ③（a m）n问题5 我们能说出幂的乘方的运算性质吗？【设计意图】本环节的引入是从问题情境开始的，能够引起学生兴趣、好奇心、激发求知欲．在探索的过程中学生将逐步地体会幂的乘方运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，鼓励学生根据米的意义，独立来完成这几个问题，应用前几个问题的目的，是夯实用幂的意义来处理这类问题的方法，让每个学生都能体会这种计算方法的实质．而计算（４）题时，先让学生进行猜想，然后再来验证这样的一个字母表达的过程．探索的方式从特殊到一般，符合学生的认知规律，进而总结出幂的乘方法则，这是本节课的重点．（三）知识亮点幂的乘方的运算性质，即（a m）n=a mn（m、n都是正整数）辨析法则判断下面计算是否正确？若有误请改正（１）（x3）3=x6（２）a6·a4=a24注意1．公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式．例如[（y-x）2]n2．幂的乘方中指数相乘，而同底幂的乘法中是指数相加【设计意图】让学生把幂的乘方和同底幂的乘法一块区别记忆，从而加深对幂的乘方的认识．学习记忆的方法有几种，单纯的记忆学生遗忘的可能性比较大，但通过学生自己探索的过程和对比同底幂的乘法过程，相信学生能够在自己的脑海中留下深刻的印象．（四）你争我抢例1计算（1）（102）3（2）（b5）5（3）（a n）3（4）-（x2）m（5）（y2）3·y（6）2（a2）6-（a3）4【设计意图】学生刚刚接触到新的运算法则时，往往会感到十分的生疏，或者说对它的感觉仍停留在“雾里看花”状态，怎样拔开迷雾见真相？这就需要一个过程，也就是对新知识从熟悉到熟练的过程，要达到这个目的一定要精选基本习题，所以在处理例题与随堂练习时，一定要“精心”，无论是基本习题，还是变化的习题，都要以透彻本节课的学习目标是否达成为最终目标．（五）应用提高例2 若甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的多少倍？（六）联系拓广（1）a12=（a3）（）=（a2）（）=a3·a（）=（）3=（）4（2）a2m=（a2）（）=（a m）（）=a2·a（）【设计意图】学生在学习幂的乘方之后，应对同底数幂相乘和幂的乘方之间的关系进一步掌握．对个别学生可能有难度，但本题也是为了学生了解幂的乘方的逆向运算，培养学生的逆向思维能力而专门设计的．在解决以后的问题中，逆用幂的乘方和同底数幂的乘法的运算性质也很常见．（七）课堂小结谈一下你的收获，总结自己在课上出错的原因（八）样题检测计算（1）-[（x2）]3（2）（a）2·（a2）2 （3）x·x4-x2·x3（九）课后反思本节课的设计意图是让学生以“观察―归纳―概括”为主要线索，在自主探索与合作交流中获得知识，使不同层次的学生都能有所收获与发展．从本节课的教学反馈来看，创设的问题情境激发了学生浓厚的学习兴趣，在老师的引导下，学生时而轻松愉快，时而在观察、计算、思考、交流、总结，思维能力和有条理的语言表达能力得到培养．在亲身体验和探索中认识数学、解决问题，在小结中找出两者的区别，从本质上理解幂的乘方，合作精神得以培养，较好地完成了本节课的学习目标．让学生探究幂的乘方的性质时，发现有少部分学生不能进行必要的推理，而是直接使用教材的结论[幂的乘方，底数不变，指数相乘；用字母表示：（a m）n＝a mn]来解决本节课的内容练习．直接借用结论来使用的学习怕有这样几种情形：（1）学生懒得动脑，做一个实足的“拿来主义”更为合算，这种情况日久会养成一个不愿动脑的习惯，习以为常，学生的推理能力会得到“退化”．（2）学生的数学基础比较差，不知从何入手，也不知如何进行推理——说理为什么？．这种情况的学生应得到数学基础较好的学生或老师必要的帮助或指导．我在指导学生学习幂的乘方时，对学生易混淆的式子或错误从各种性质的本质入手进行必要的区别，从而明确错误的原因何在．学生练习时，并没有鼓励学生直接套用公式（法则）进行解题，而是让他们说明每一步的理由．这样做的目的是让学生进一步体会乘方的意义和幂的意义．。
中考数学因式分解的九种方法
中考数学因式分解的九种方法2020中考数学因式分解的九种方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项;②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同;③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。
初一数学下册知识点总结(可编辑打印思维导图)
（1）代数式化简。
4、代数式求值的一般步骤：
（2）代入计算
（3）对于某些特殊的代数式，可采用“ 整体代入”进行计算。
五、同底数幂的乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作 an，读作a的n次方（幂），其中a为底数
，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂 相乘，底数不变，指数相加。即： am﹒an=am+n。
第四章 三角形
一、三角形概念 二、三角形中三边的关系
第一章：整式的运算
一、单项式 二、多项式 三、整式 四、整式的加减 五、同底数幂的乘法 六、幂的乘方 七、积的乘方 八、三种“幂的运算法则”异同点 九、同底数幂的除法 十、零指数幂 十一、负指数幂 十二、整式的乘法 十三、平方差公式 十四、完全平方公式 十五、整式的除法
的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号 。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的 概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做 这个多项式的次数。
三、整式
1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。 4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式；
七、积的乘方
1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 。
2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于 把积中的每个因式分别乘方，然后把所
得的幂相乘。即（ab）n=anbn。
3、此法则也可以逆用，即：anbn =（ab ）n。
八、三种“幂的运算法则”异同点
1、共同点： 2、不同点：
第十四章整式的乘法与因式分解-题型
第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法题型一：整式乘法与整式加减的综合例1：计算：（1）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）（2）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）变式训练：（1）（x+3）（x+4）-x（x+2）-5 （2）（3a-2b）（b-3a）-（2a-b）（3a+b）题型二：整式乘法与方程的综合例2：解方程（3x-2）（2x-3）=（6x+5）（x-1）变式训练：解方程2x（x-1）-（x+1）（2x-5）=12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例3：解不等式（3x+4）（3x-4）＞9（x-2）（x+3）变式训练：解不等式（2x-1）÷（2x-1）＞（2x+5）（2x-5）-2题型四：整式的化简求值例4：先化简，再求值（-2a4x2+4a3x3 -a2x4）÷（-a2x3）,其中a=，x=-4.。
变式训练：已知2x-y=10，求代数式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷4y的值。
题型五：整式乘法的实际应用例5：西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为a cm，宽为 a cm的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。
在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为b cm的小正方形（2b＜a），然后沿虚线折起即可，如图14-1所示，现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸，小花任务至少需要彩色纸花的面积实际就是小盒子外部的表面积，可以用以下两种方法求得：①直接法，小盒子外部表面的面积=四个侧面的面积+底面的面积=2［（a-2b）b+（a-2b）b］+（a-2b）（a-2b）；②间接法，小盒子外部表面的面积=原长方形的面积-四个小正方形的面积=a·a-4b2 。
请你就是一下这两种方法的结果是否一样。
变式训练：如图所示，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，若干要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，那么需要C类卡片多少张？题型六：逆用幂的运算法则例6：已知2x=m，2y=n，2z=mn，求证x+y=z变式训练：已知10m=5,10n=6，求102m+3n的值。
整式的乘法与因式分解-题型
第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法题型一：整式乘法与整式加减的综合例1：计算：（1）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）（2）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）变式训练：（1）（x+3）（x+4）-x（x+2）-5 （2）（3a-2b）（b-3a）-（2a-b）（3a+b）题型二：整式乘法与方程的综合例2：解方程（3x-2）（2x-3）=（6x+5）（x-1）变式训练：解方程2x（x-1）-（x+1）（2x-5）=12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例3：解不等式（3x+4）（3x-4）＞9（x-2）（x+3）变式训练：解不等式（2x-1）÷（2x-1）＞（2x+5）（2x-5）-2题型四：整式的化简求值例4：先化简，再求值（-2a4x2+4a3x3 -a2x4）÷（-a2x3）,其中a=，x=-4.。
变式训练：已知2x-y=10，求代数式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷4y的值。
题型五：整式乘法的实际应用例5：西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为a cm，宽为a cm的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。
在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为b cm的小正方形（2b＜a），然后沿虚线折起即可，如图14-1所示，现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸，小花任务至少需要彩色纸花的面积实际就是小盒子外部的表面积，可以用以下两种方法求得：①直接法，小盒子外部表面的面积=四个侧面的面积+底面的面积=2［（a-2b）b+（a-2b）b］+（a-2b）（a-2b）；②间接法，小盒子外部表面的面积=原长方形的面积-四个小正方形的面积=a·a-4b2 。
请你就是一下这两种方法的结果是否一样。
变式训练：如图所示，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，若干要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，那么需要C类卡片多少张？题型六：逆用幂的运算法则例6：已知2x=m，2y=n，2z=mn，求证x+y=z变式训练：已知10m=5,10n=6，求102m+3n的值。
最新人教版八年级数学上册 专题复习：整式的运算
专题 整式的运算☞2年中考【2015年题组】 1．（2015北海）下列运算正确的是（ ）A ．3412a b a +=B ．326()ab ab = C ．222(5)(42)3a ab a ab a ab --+=- D ．1262x x x ÷=【答案】C ． 【解析】试题分析：A ．3a 与4b 不是同类项，不能合并，故错误；B ．3226()ab a b =，故错误； C ．正确；D ．1266x x x ÷=，故错误；故选C ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．同底数幂的除法． 2．（2015南宁）下列运算正确的是（ ）A ．ab a ab 224=÷B ．6329)3(x x =C ．743a a a =•D ．236=÷【答案】C ．考点：1．整式的除法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．二次根式的乘除法． 3．（2015厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）A ．22xy -B ．23xC ．32xyD ．32x【答案】D ． 【解析】试题分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．A ．22xy -系数是﹣2，错误；B ．23x 系数是3，错误；C ．32xy 次数是4，错误；D ．32x 符合系数是2，次数是3，正确； 故选D ．考点：单项式．4．（2015厦门）32-可以表示为（ ）A ．2522÷ B ．5222÷ C ．2522⨯ D ．(2)(2)(2)-⨯-⨯-【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．2522÷=252-=2522÷，故正确；B ．5222÷=32，故错误； C ．2522⨯=72，故错误；D ．(2)(2)(2)-⨯-⨯-=3(2)-，故错误；故选A ．考点：1．负整数指数幂；2．有理数的乘方；3．同底数幂的乘法；4．同底数幂的除法． 5．（2015镇江）计算3(2)4(2)x y x y --+-的结果是（ ） A ．2x y - B ．2x y + C ．2x y -- D ．2x y -+ 【答案】A ．考点：整式的加减． 6．（2015广元）下列运算正确的是（ ）A ．23222()()ab ab ab -÷=-B ．2325a a a +=C ．22(2)(2)2a b a b a b +-=-D ．222(2)4a b a b +=+【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．23222()()ab ab ab -÷=-，正确；B ．325a a a +=，故错误；C ．22(2)(2)4a b a b a b +-=-，股错误； D ．222(2)44a b a b ab +=++，故错误． 故选A ．考点：1．平方差公式；2．合并同类项；3．同底数幂的除法；4．完全平方公式．7．（2015十堰）当x=1时，1ax b ++的值为－2，则()()11a b a b +---的值为的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ．16 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵当x=1时，1ax b ++的值为﹣2，∴12a b ++=-，∴3a b +=-，∴()()11a b a b +---=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．故选A ．考点：整式的混合运算—化简求值． 8．（2015黄冈）下列结论正确的是（ ）A ．2232a b a b -= B ．单项式2x -的系数是1-C ．使式子2+x 有意义的x 的取值范围是2x >-D ．若分式112+-a a 的值等于0，则1a =±【答案】B ．考点：1．合并同类项；2．单项式；3．分式的值为零的条件；4．二次根式有意义的条件．9．（2015佛山）若n mx x x x ++=-+2)1()2(，则m n +=（ ） A ．1 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．2【答案】C ． 【解析】试题分析：∵(2)(1)x x +-=2+2x x -=2x mx n ++，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选C ．考点：多项式乘多项式． 10．（2015天水）定义运算：a ⊗b=a （1﹣b ）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a ⊗b=b ⊗a ，③若a+b=0，则（a ⊗a ）+（b ⊗b ）=2ab ，④若a ⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④ 【答案】A ．考点：1．整式的混合运算；2．有理数的混合运算；3．新定义． 11．（2015邵阳）已知3a b +=，2ab =，则22a b +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵3a b +=，2ab =，∴22a b +=2()2a b ab +-=9﹣2×2=5，故选C ．考点：完全平方公式．12．（2015临沂）观察下列关于x 的单项式，探究其规律： x ，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2015个单项式是（ ）A ．2015x2015B ．4029x2014C ．4029x2015D ．4031x2015 【答案】C ． 【解析】 试题解析：系数的规律：第n 个对应的系数是2n ﹣1．指数的规律：第n 个对应的指数是n ．故第2015个单项式是4029x2015．故选C ． 考点：1．单项式；2．规律型． 13．（2015日照）观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++； 33223()33a b a a b ab b +=+++； 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是（ ）A ．36B ．45C ．55D ．66【答案】B ．考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．14．（2015连云港）已知m n mn +=，则(1)(1)m n --= ． 【答案】1． 【解析】试题分析：(1)(1)m n --=mn ﹣（m+n ）+1，∵m+n=mn ，∴（m ﹣1）（n ﹣1）=mn ﹣（m+n ）+1=1，故答案为：1．考点：整式的混合运算—化简求值．15．（2015珠海）填空：2+10x x + =2(_____)x +．【答案】25；5． 【解析】试题分析：∵10x=2×5x ，∴2+1025x x +=2(5)x +．故答案为：25；5．考点：完全平方式． 16．（2015郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为 ．【答案】12．考点：1．列表法与树状图法；2．完全平方式．17．（2015大庆）若若52=n a ，162=n b ，则()nab = ． 【答案】45±． 【解析】试题分析：∵52=n a ，162=n b ，∴2280n na b ⋅=，∴2()80nab =，∴()n ab =45±，故答案为：45±．考点：幂的乘方与积的乘方．18．（2015牡丹江）一列单项式：2x -，33x ，45x -，57x ，…，按此规律排列，则第7个单项式为 ． 【答案】213x -．【解析】试题分析：第7个单项式的系数为﹣（2×7﹣1）=﹣13，x 的指数为8，所以，第7个单项式为213x -．故答案为：213x -．考点：1．单项式；2．规律型．19．（2015安顺）计算：201320111(3)()3-⋅-= ．【答案】9．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的乘法．20．（2015铜仁）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则6()a b += ．【答案】654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++． 【解析】试题分析：6()a b +=654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．故本题答案为：654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．考点：1．完全平方公式；2．规律型：数字的变化类；3．综合题． 21．（2015南宁）先化简，再求值：(1)(1)(2)1x x x x +-++-，其中12x =．【答案】2x ，1． 【解析】试题分析：先利用乘法公式展开，再合并得到答案，然后把12x =代入计算即可．试题解析：原式=22121x x x -++-=2x ，当12x =时，原式=2×12=1．考点：整式的混合运算—化简求值． 22．（2015无锡）计算： （1）02(5)3)3--+-；（2）2(1)2(2)x x +--． 【答案】（1）1；（2）25x +．考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂．23．（2015内江）填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ； 3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 【答案】（1） 22a b -，33a b -，44a b -；（2） n na b -；（3）342． 【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -； 3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；（2）由（1）的规律可得：原式=nna b -，故答案为：nna b -；（3）令98732222...222S =-+-+-+，∴987321222...2221S -=-+-+-+-=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．24．（2015咸宁）（1）计算：0 128(2)-++-；（2）化简：2232(2)()a b ab b b a b--÷--．【答案】（1）32；（2）22b-．考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂．25．（2015随州）先化简，再求值：5322(2)(2)(5)3()a a a ab a b a b+-+-+÷-，其中12ab=-．【答案】42ab-，5．【解析】试题分析：利用平方差公式、单项式乘以多项式法则、单项式除法运算，合并得到最简结果，把ab的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=22453a a ab ab-+-+=42ab-，当12ab=-时，原式=4+1=5．考点：整式的混合运算—化简求值．26．（2015北京市）已知22360a a+-=．求代数式3(21)(21)(21)a a a a+-+-的值．【答案】7．【解析】试题分析：利用单项式乘以多项式法则、平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．试题解析：∵22360a a+-=，即2236a a+=，∴原式=226341a a a+-+=2231a a++=6+1=7．考点：整式的混合运算—化简求值．27．（2015茂名）设y ax=，若代数式()(2)3()x y x y y x y+-++化简的结果为2x，请你求出满足条件的a 值． 【答案】a=﹣2或0． 【解析】试题分析：因式分解得到原式=2()x y +，再把当y ax =代入得到原式=22(1)a x +，所以当2(1)1a +=满足条件，然后解关于a 的方程即可．试题解析：原式=2()x y +，当y ax =时，代入原式得222(1)a x x +=，即2(1)1a +=，解得：a=﹣2或0．考点：1．整式的混合运算；2．平方根． 28．（2015河北省）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：（1）求所捂的二次三项式； （2）若16+=x ，求所捂二次三项式的值．【答案】（1）221x x -+；（2）6．考点：整式的混合运算—化简求值．【2014年题组】 1．（2014年百色中考） 下列式子正确的是（ ） A ．（a ﹣b ）2=a2﹣2ab+b2 B ． （a ﹣b ）2=a2﹣b2 C ．（a ﹣b ）2=a2+2ab+b2 D ．（a ﹣b ）2=a2﹣ab+b2 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．（a ﹣b ）2=a2﹣2ab+b2，故A 选项正确；B ．（a ﹣b ）2≠a2﹣b2，故B 选项错误；C ．（a ﹣b ）2≠a2+2ab+b2，故C 选项错误；D ．（a ﹣b ）2≠a2﹣ab+b2，故D 选项错误；故选A ．考点：完全平方公式．A.()339x x = B.()332x 6x -=- C.22x x x -= D.632x x x ÷=【答案】A ．考点：1.幂的乘方和积的乘方；2.合并同类项；3.同底幂乘除法． 3.（2014年常州中考）下列运算正确的是（ ） A. 33a a a⋅= B.()33ab a b= C.()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C ．【解析】试题分析：根据同底幂乘法，同底幂乘除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A. 31343a a aa a+⋅==≠，选项错误； B.()3333ab a b a b=≠，选项错误；C.()23326a a a ⨯==，选项正确； D. 848442a a aa a -÷==≠，选项错误.故选C ．考点：1.同底幂乘法；2.同底幂乘除法；3.幂的乘方和积的乘方． 4.（2014年抚顺中考）下列运算正确的是（ ） A ．-2（a-1）=-2a-1B ．（-2a ）2=-2a2C ．（2a+b ）2=4a2+b2 D ． 3x2-2x2=x2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：A 、-2（a-1）=-2a+2，故A 选项错误；B 、（-2a ）2=4a2，故B 选项错误；C 、（2a+b ）2=4a2+4ab+b2，故C 选项错误；D 、3x2-2x2=x2，故D 选项正确． 故选D ．考点：1.完全平方公式；2.合并同类项；3.去括号与添括号；4.幂的乘方与积的乘方． 5.（2014年眉山中考）下列计算正确的是（ ）A ．235x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236()x x =D ．632x x x ÷=【答案】C ．考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方．A．a3+a4=a7 B． 2a3•a4=2a7 C．（2a4）3=8a7 D． a8÷a2=a4【答案】B．【解析】试题分析：A、a3和a4不能合并，故A错误；B、2a3•a4=2a7，故B正确；C、（2a4）3=8a12，故C错误；D、a8÷a2=a6，故D错误；故选B．考点：整式的运算．7.（2014年镇江中考）化简：()()x1x11+-+=．【答案】2x．【解析】试题分析：第一项利用平方差公式展开，去括号合并即可得到结果：()()22x1x11x11x+-+=-+=．考点：整式的混合运算．8.（2014年吉林中考）先化简，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中x=+1．【答案】x﹣1；2．【解析】试题分析：先利用整式的乘法和完全平方公式计算，再进一步合并化简，最后代入数值即可．试题解析：原式=x2+3x﹣x2﹣2x﹣1=x﹣1，当x=2+1时，原式=2+1﹣1=2．考点：1．整式的运算；2．化简求值．9.（2014年绍兴中考）先化简，再求值：()()()2a a3b a b a a b-++--，其中1a1b2 ==-，．【答案】a2+b2,5 4．考点：整式的混合运算—化简求值．10.（2014年杭州中考）设y kx=，是否存在实数k，使得代数式2222222(x y )(4x y )3x (4x y )--+-能化简为4x ？若能，请求出所有满足条件的k 值，若不能，请说明理由． 【答案】能． 【解析】试题分析：化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k 的方程求解即可 试题解析：∵y kx =，∴222222222222222(x y )(4x y )3x (4x y )(4x y )(x y 3x )(4x y )--+-=--+=- ()2222242(4x k x )x 4k =-=-．∴要使代数式22222224(x y )(4x y )3x (4x y )x --+-=，只要()224k1-=．∴24k 1-=±，解得k=±3或k=±5．考点：1. 代数式的化简；2. 代数式恒等的条件；3.解高次方程．☞考点归纳归纳 1：整式的有关概念 基础知识归纳：整式：单项式与多项式统称整式． （1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项．2. 同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.基本方法归纳：要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同． 注意问题归纳：1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；2、多项式的次数是指次数最高的项的次数．3、同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同． 【例1】下列式子中与3m2n 是同类项的是（ ） A.3mn B.3nm2 C.4m D.5n 【答案】B ．考点：同类项． 归纳 2：幂的运算 基础知识归纳：（1）同底数幂相乘：am ·an ＝am ＋n （m ，n 都是整数，a ≠0） （2）幂的乘方：（am ）n ＝amn （m ，n 都是整数，a ≠0）（3）积的乘方：（ab ）n ＝an ·bn （n 是整数，a ≠0，b ≠0） （4）同底数幂相除：am ÷an ＝am －n （m ，n 都是整数，a ≠0） 注意问题归纳：（1）幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；（2）在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理． 【例2】下列运算正确的是（ ） A. 33a a a⋅= B.()33ab a b= C.()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C ．考点：幂的运算．归纳 3：整式的运算 基础知识归纳：1.整式的加减法:，实质上就是合并同类项 1.整式乘法①单项式乘多项式：m （a ＋b ）＝ma+mb ； ②多项式乘多项式：（a ＋b ）（c ＋d ）＝ac+ad+bc+bd ③乘法公式：平方差公式:（a+b ）（a-b ）=a2-b2；完全平方公式：（a ±b ）2=a2±2ab+b2． 3.整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．注意问题归纳：注意整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．【例3】下列计算正确的是（ ） A ．2x －x ＝x B ．a3·a2＝a6 C ．（a －b ）2＝a2－b2 D ．（a ＋b ）（a －b ）＝a2＋b2 【答案】A ．【解析】A 、原式=x ，正确；B 、原式=x5，错误；C 、原式=a2-2ab+b2，错误；D 、原式=a2-b2，故选A ．考点：整式的运算．【例4】先化简，再求值：()()()22a b a b b a b b +-++-，其中1a =、2b =-．【答案】-1．【解析】原式222222a b ab b b a ab =-++-=+；当1a =、2b =-时，原式()2112121=+⨯-=-=-．考点：整式的混合运算—化简求值．【例5】计算21()(21)(41)2x x x +-÷-【答案】12．【解析】原式=12（2x+1）（2x ﹣1）÷[（2x ﹣1）（2x+1）]=12．考点：整式的混合运算． ☞1年模拟 1、（2015届云南省剑川县九上第三次统一模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．6a ÷2a ＝3aB ．22532a a a -=C ．235()a a a -⋅=D ．527a b ab +=【答案】C ．考点：整式的运算． 2．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）．A ．623a a a =⋅ B ．6223)(b a ab = C ．222)(b a b a -=- D ．235=-a a【答案】B ． 【解析】试题分析：因为32235a a a a +⋅==，所以A 错误；因为6223)(b a ab =，所以B 正确；因为222()2a b a ab b -=-+，所以C 错误；因为532a a a -=，所以D 错误；故选B ．考点：1.幂的运算；2.整式的加减． 3．（2015届重庆市合川区清平中学等九年级模拟联考数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．23a a ⋅＝6aB ．33()y y x x = C ．55a a a ÷= D ．326()a a =【答案】D ．考点：1．同底数幂的除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．同底数幂的乘法． 4．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．642a a a =+ B ．523)(a a =C ．2328=+D ．222))((b ab a b a b a ---=---【答案】C ．【解析】试题分析：A ．2a 和4a 不能合并，故错误；B ．3265()a a a =≠，故错误；C 8222232==D ．2222()()()a b a b a b a b ---=--=-+，故错误；故选C ．考点：1．二次根式的混合运算；2．整式的混合运算． 5．（2015届山东省日照市中考一模）观察下列各式及其展开式： （a+b ）2=a2+2ab+b2（a+b ）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b ）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b ）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …请你猜想（a+b ）10的展开式第三项的系数是（ ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66 【答案】B ．考点：完全平方公式．6．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）若3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算，则21m +=_________________；【答案】－1或9．【解析】试题分析：∵3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算，∴2258m m m -=+，即：2340m m --=，解得：1m =-或4m =，①当1m =-时，21m +=－1，②当4m =时，21m +=9．故答案为：－1或9．考点：1、同类项；2、解一元二次方程-因式分解法；3、分类讨论．7．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）已知a2-2a-3=0，求代数式2a （a-1）-（a+2）（a-2）的值． 【答案】7．考点：整式的混合运算—化简求值．。
北师大初一数学知识点总结6篇
北师大初一数学知识点总结6篇北师大初一数学学问点总结篇11、单项式：数字与字母的积，叫做单项式。
2、多项式：几个单项式的和，叫做多项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
4、单项式的次数：单项式中全部字母的指数的和叫单项式的次数。
5、多项式的次数：多项式中次数的项的次数，就是这个多项式的次数。
6、余角：两个角的和为90度，这两个角叫做互为余角。
7、补角：两个角的和为180度，这两个角叫做互为补角。
8、对顶角：两个角有一个公共顶点，其中一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。
这两个角就是对顶角。
9、同位角：在“三线八角”中，位置一样的角，就是同位角。
10、内错角：在“三线八角”中，夹在两直线内，位置错开的角，就是内错角。
11、同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线内，在第三条直线同旁的角，就是同旁内角。
12、有效数字：一个近似数，从左边第一个不为0的数开头，到准确的那位止，全部的数字都是有效数字。
13、概率：一个大事发生的可能性的大小，就是这个大事发生的概率。
14、三角形：由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
15、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
16、三角形的中线：在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
17、全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。
18、变量：变化的数量，就叫变量。
19、自变量：在变化的量中主动发生变化的，变叫自变量。
20、因变量：随着自变量变化而被动发生变化的量，叫因变量。
21、轴对称图形：假如一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的局部能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
22、对称轴：轴对称图形中对折的直线叫做对称轴。
北师大初一数学学问点总结篇21、做好预习：单元预习时粗读，了解近阶段的学习内容，课时预习时细读，注意学问的形成过程，对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录，以便带着问题听课。
高考数学 第九节 幂函数教材
第九节 幂函数教 材 面 面 观1．一般地，函数________叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．注意 幂函数中底数是自变量，幂指数是常数，这与指数函数是不同的，指数函数中底数是常数，幂指数是自变量． 答案 y ＝xα2．5函数 y ＝x y ＝x2 y ＝x3 y ＝x 12y ＝1x 定义域 值域 奇偶性 单调性 图象 过定点函数 y ＝x y ＝x2 y ＝x3 y ＝x 12y ＝1x 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 在R 上递增在(－∞，0) 上递减，在(0，＋∞)上递增在R 上递增在(0，＋∞)在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减图象过定点(1,1)考 点 串 串 讲 1．幂函数的图象幂函数y ＝xα，当α＝13，12，1,2,3时的图象见图(1)所示；当α＝－2，－1，－12时的图象见图(2)所示；2．幂函数的性质(1)α＞0时；①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数．(2)α＜0时；①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数．③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．3．比较大小利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下：(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，从而确定两个幂值的大小；(4)比较多个幂值的大小一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.典例对对碰题型一幂函数定义例1若幂函数y＝(m2＋3m－17)x4m－m2的图象不过原点，求实数m的取值范围．解析 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m2＋3m －17＝14m －m2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－6或m ＝3，m ＜0或m ＞4. 所以m ＝－6.点评 问题切入点幂函数的形式是y ＝x2.因此m2＋3m －17＝1，另一方面图象不过原点，必有4m －m2＜0，从而求出m.熟练掌握并理解幂函数定义及性质是解题的关键.变式迁移1函数f(x)＝(m2－m －1)xm2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 由题知m2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，再验证m2－2m －3＜0，得m ＝2.故选A.题型二 定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)y=x 35；(2)y=x14；(3)y=x23－；(4)y=x34－.解析 把分数指数幂化为根式(1)y=x 35＝5x3，其定义域为R ；(2)y=x 14＝4x ，其定义域为[0，＋∞)；(3)y=x23－＝13x2，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；(4)y=x34－＝14x3，其定义域为(0，＋∞)．点评 注意：①分母不能为0；②偶次根号下必须为非负实数；③零的零次方没有意义；④奇次根号下不作限制. 变式迁移2设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝xα的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．答案 1,3解析 定义域为R 说明幂指数是正数且幂指数不等于12，是奇函数说明α＝1,3.题型三 幂函数的图象例3已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x 为何值时，有(1)f(x)＞g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)＜g(x)．分析 首先要理解幂函数是形式定义，y ＝xα，然后根据函数图象可以解决．解析 设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)a ，解得a ＝2，∴f(x)＝x2；设g(x)＝xb ，∵点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，将点(－2，14)代入g(x)＝xb 中，得14＝(－2)b ，解得b ＝－2，∴g(x)＝x －2.在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x －2的图象如图所示．由图象可知：(1)当x ＞1，或x ＜－1时，f(x)＞g(x)； (2)当x ＝1，或x ＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1＜x ＜1，且x≠0时，f(x)＜g(x)．点评 (1)幂函数的一般形式是y ＝xα(α为常数)，要求幂函数只要解出α即可；(2)函数的图象在解方程和不等式时有着重要的作用；(3)本题注意g(x)＝x －2的定义域是{x|x≠0}，即求幂函数的解析式问题的关键是掌握幂函数的定义特征.变式迁移3如图所示为幂函数y ＝xαi(i ＝1,2,3,4)在第一象限内的图象，则α1，α2，α3，α4按由小到大的顺序排列为________．答案 α3＜α2＜α4＜α1解析 首先根据图象特点和幂函数的单调性，得α1＞0，α4＞0，α2＜0，α3＜0，令x ＝a 且a ＞1，根据函数图象特点可知aα3＜aα2＜aα4＜aα1，由于指数函数y ＝ax(a ＞1)是单调递增函数，故α3＜α2＜α4＜α1.题型四 比较大小问题例4已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，求m 的取值范围． 解析 根据幂函数y ＝x1.3知0＜0.71.3＜1，由幂函数y ＝x0.7知，1.30.7＞1,0.71.3＜1.30.7，对于函数y ＝xm ，∵(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，∴m ＞0. 点评 恰当地构造函数是解决本题的关键．变式迁移4设12＜(12)b ＜(12)a ＜1，则下列不等关系成立的是( ) A ．aa ＜ab ＜ba B ．aa ＜ba ＜ab C ．ab ＜aa ＜ba D ．ab ＜ba ＜aa 答案 C解析 12＜(12)b ＜(12)a ＜1⇒1＞b ＞a ＞0，在A 和B 中，y ＝ax(0＜a ＜1)在定义域内是单调递减的，则aa ＞ab ，所以结论不成立；在C 中，y ＝xn(n ＞0)在(0，＋∞)内是单调递增的，又a ＜b ⇒aa ＜ba ，即ab ＜aa ＜ba.故选C.题型五 幂函数的性质例5讨论函数y=x23的定义域、奇偶性，作出图象，并由图象指出函数的单调性．解析 函数y=x23＝3x2，定义域为实数集R.∵f(－x)＝(x)23－＝[(x)2]13－＝(x2)13＝x23＝f(x)．∴函数y=x23为偶函数，其图象关于y 轴对称．下面用列表法作出函数y ＝x 23在(0，＋∞)上的图象．列表：x 0 1 2 3 4 … y11.592.082.52…描点：连线：画出y 轴右边部分，再由对称性画出y 轴左侧部分如图所示．由图象可以看出，函数y ＝x 23在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数．点评 描点法先要求出函数的定义域.变式迁移5给出关于幂函数的以下命题： ①幂函数的图象都经过点(1,1)； ②幂函数的图象都经过点(0,0)；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数； ④幂函数的图象不可能经过第四象限； ⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是增函数，其中正确的命题有________． 答案 ①④⑤解析 命题①显然正确；只有当α＞0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α＜0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；幂函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，所以命题③错误；由于在y ＝xα(α∈R)中，只要x ＞0，必有y ＞0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故④正确；命题⑤也正确；幂函数y ＝x3在(－∞，0)上是增函数，故命题⑥错误．因此正确的命题有①④⑤.题型六 幂函数的综合应用例6已知幂函数f(x)＝xm2－2m －3(m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (1)求f(x)；(2)讨论F(x)＝a f x －bxf x的奇偶性．解析 (1)()m m f x x 223－－＝＝xm(m －2)－3由题意知m(m －2)为奇数且m2－2m －3<0，又m ∈Z ，∴m ＝1，∴f(x)＝x －4(2)F(x)＝a x －4－bx·x －4＝a·x －2－b·x3∵y ＝x －2是偶函数，y ＝x3为奇函数，∴讨论如下：①a≠0且b≠0时，F(x)是非奇非偶函数；②a ＝0且b≠0时，F(x)是奇函数；③a≠0且b ＝0时，F(x)是偶函数；④a ＝b ＝0时，F(x)既是奇函数，又是偶函数. 变式迁移6函数y ＝(mx2＋4x ＋m ＋2)－14＋(x2－mx ＋1)的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A ．(5－1,2)B ．(5－1，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－1－5，－1＋5) 答案 B解析 函数y ＝(mx2＋4x ＋m ＋2)－14＋(x2－mx ＋1)有意义的条件是mx2＋4x ＋m ＋2＞0.因此，要使函数y ＝(mx2＋4x ＋m ＋2)－14＋(x2－mx ＋1)的定义域为全体实数，需满足mx2＋4x ＋m ＋2＞0对一切实数都成立．即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＝42－4mm ＋2＜0，解得m ＞5－1.【教师备课资源】 题型七 幂函数的判定例7下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x3 D ．y ＝x3－1分析 幂函数的定义是形式上的，即只有形如y ＝xα(α是常数)的函数才是幂函数，本例中其余选项中的函数只是幂函数类函数．解析 形如y ＝xα(α是常数)的函数叫做幂函数，选B. 答案 B变式迁移7给出下列函数：①y ＝1x3；②y ＝3x －2；③y ＝x4＋x2；④y ＝3x2，其中是幂函数的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B 解析 可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的四个函数中，只有y ＝1x3＝x －3和y ＝3x2＝x 23符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数．所以选B.题型八 数形结合题例8当k ∈(0，12)时，试研究方程|1－x|＝kx 的解的个数．分析 令y ＝|1－x|，y ＝kx ，通过两曲线交点个数来判断方程解的个数． 解析 令y1＝|1－x|，y2＝kx. 在同一直角坐标系下．先作过y1＝|1－x|的图象，如图所示．再研究当k ∈(0，12)时，直线y2＝kx 与上述图象交点的个数，显然该直线与曲线x ＜1的部分必有一交点，对于x ＞1的部分，将y ＝kx 代入y2＝1－x(y ＞0)，得k2x2－x ＋1＝0，Δ＝1－4k2，当k ∈(0，12)时，Δ＞0，所以y ＝kx 与曲线y2＝x －1(x ＞1)有两交点．所以直线与曲线只有三个交点．点评 数形结合思想的恰当引入使判断方程根的个数转化为检验曲线交点个数问题，直观形象，易于理解．数形结合思想是高考考查的热点之一，本题将方程问题转化为函数问题，化繁为简，化难为易，深刻体现了数学基本思想在解题中的重要地位.变式迁移8已知幂函数f(x)的图象经过点(18，24)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③f x1x1＞f x2x2；④f x1x1＜f x2x2.其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③ 答案 D解析 依题意，设f(x)＝xα，则有(18)α＝24，即(18)α＝()1218，所以α ＝12，于是f(x)=x12.由于函数f(x)=x12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f(x1)＜f(x2)，从而有x1f(x1)＜x2f(x2)，故②正确；又因为f x1x1，f x2x2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f x1x1＞f x2x2，所以③正确．故选D.方 法 路 路 通1．幂函数y ＝xα随α的不同，其定义域、值域、单调性、奇偶性等都有较大的差异． 2．掌握幂函数的图象和性质，要在掌握幂函数的定义域、奇偶性和它在第一象限内的情况等三个方面多下工夫，要强化对幂函数图象的记忆，并了解：①任何幂函数的图象与坐标轴最多有一个交点(原点)；②任何幂函数的图象都不通过第四象限；③任何两个幂函数的图象最多有三个交点．3．当α＞0时，y ＝xα在第一象限是增函数，当α＜0时，y ＝xα在第一象限是减函数.正 误 题 题 辨例若(a ＋1)－2＞(3－2a)－2，则a 的取值范围是________．错解 由y ＝x －2在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数， ∴0＞a ＋1＞3－2a 或0＜a ＋1＜3－2a ， 解之得：－1＜a ＜23，∴a 的取值范围是(－1，23)．点击 上述解法只考虑到a ＋1,3－2a 在同一单调区间的情形，不全面．正解 解法一：由y ＝x －2的图象关于y 轴对称知，函数y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 有4种情况 (1)⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0a ＋1＞03－2a ＞a ＋1(2)⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＜0a ＋1＜03－2a ＜a ＋1(3)⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0a ＋1＜03－2a ＞－a ＋1(4)⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＜0a ＋1＞0－3－2a ＞a ＋1分别解得(1)－1＜a ＜23，(2)无解，(3)a ＜－1，(4)a ＞4.因此a 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，23)∪(4，＋∞)．解法二：由(a ＋1)－2＞(3－2a)－2 得|a ＋1|－2＞|3－2a|－2由y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋1|＜|3－2a|，|a ＋1|＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＜3－2a 2a≠－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a2－14a ＋8＞0a≠－1， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4或a ＜23a≠－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，23)∪(4，＋∞)．答案 (－∞，－1)∪(－1，23)∪(4，＋∞)知 能 层 层 练针对考点勤钻研 金榜题名不畏难1．在下列函数中，定义域、值域不同的是( ) A ．y ＝x 13 B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D解析 y ＝x 13＝3x ，定义域、值域都是R ；y ＝x 12＝x ，定义域、值域都是[0，＋∞)；y ＝x 53＝3x5，x ∈R ，y ∈R ；y ＝x 23＝3x2，定义域为R ，值域为[0，＋∞)． 2．已知点(33，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 A解析 设f(x)＝xα，则(33)α＝3，即3－12α＝312，故α＝－1，因此f(x)＝x －1，故f(x)是奇函数．故选A.3．若－1＜a ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．2a ＞(12)a ＞0.2a B ．0.2a ＞(12)a ＞2a C ．(12)a ＞0.2a ＞2a D ．2a ＞0.2a ＞(12)a 答案 B解析 ∵y ＝xa(－1＜a ＜0)在(0，＋∞)上是减函数，且0.2＜0.5＜2，∴0.2a ＞0.5a ＞2a.4．已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m －1为幂函数，则m ＝________.答案 －1±2解析 当m2＋2m ＝1，即m ＝－1±2时，f(x)是幂函数．5．已知函数f(x)＝2x －xm 且f(4)＝－72. (1)求m 的值；(2)求f(x)的单调区间．解析 (1)f(4)＝24－4m ＝－72，∴4m ＝4. ∴m ＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2·x －1－x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，又y ＝x －1，y ＝－x 均为减函数，故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f(x)均为减函数．∴f(x)的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．。
高等数学各章重要公式及知识点归总
第一章 函数类1. y=x 1，x ≠0 →y=□1，□≠0 （-∞，0）∪（0，+∞）类2.y=2n x ，x ≥0 →y=2n □，□≥0 [0,+∞）2. 若f （x ）过（a ，b ），f -1（x ）过（b ，a ）3. f （x ）和f -1（x ）的图像关于y=x 对称4.Sinx sin[arcsinx]=x →arcsinx arcsin[sinx]=xEg.f[f-1(3)]=3基本初等函数幂函数：y=x u，u取任意的实数共同点（1，1）偶函数：图像关于y轴对称y=x2指数函数（变化最快）：y=a x，a＞0且a≠12共同点（0，1）共同点（1，0）y=e x反函数是y=log e x=lnxsinx ：ππ单调增区间：z k k π2πk π2π-∈++），（cotx:→1.奇函数：sinx，tanx，cotx原点对称偶函数：cosx y=x对称2.有界函数：sinx，cosx 有界是根据值域定的3.周期函数：sinx，cosx→T=2πtanx，cotx→T=πtanx·cotx=1 sin0=0Sin2x=2sinxcosxCos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x2.特殊角度→函数值反三角函数：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx arcsinx:arccox:arctanx：arccotx:arctanx，arccotx 2234πarctan3=3π定义域： -1≤x≤1复合函数：y=f（u),u=g（x）， y=f[g(x)] Z⊂D 复合1.y=u2，u=sinx→y=sin2x2.y=u3，u=cosv，v=2x+3→y=cos3（2x+3）条件：3.y=arccosu，u=x2+3→y=arccos（x2+3）×初等函数：由基本的初等函数经过有限次的四则运算及复合得到的函数 复合函数的分解：1.由内到外，分解的每一步必须为基本初等型 2.遇到四则运算或基本初等型则停止 x 的最大整数称为x 的整数部分，记作：[x] [e]=2 [π]=3x-1＜[x]≤x x=t 2+2→y 与xy=3t引入参数，导致y 与x 有联系幂指函数：y=u （x ）v （x ）→1.lny=lnu （x ）v （x ）=v （x ）lnu （x ）2.）（）（）（）（x lnu x v x lnu e ey x v ==，恒等变形函数的性质：必须在所给的定义域内单调性，有界性，周期性，奇偶性1.常见的有界函数：sinx，cosx，arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx2.有界函数的运算：有界+有界=有界有界-有界=有界有界×有界=有界无穷大量±有界一定＞0+∞+有界=+∞－∞+有界=-∞周期函数：sinx→T=2πcosx→T=2πtanx→T=πcotx→T=π奇偶性：1.偶函数：图像关于y轴对称，f（x0）=f（-x0）2.奇函数：图像关于原点对称，f（x0）=-f（-x0）常见的奇函数：sinx，tanx，cotx，arcsinx，arctanx，x n（n为奇数）常见的偶函数：cosx，x n（n为偶数），|x|常熟C C,C≠0→偶函数0，可奇可偶奇偶运算规则：偶偶：+ - ×÷是偶函数→x2，1-x2，x2（1-x）2，1+x2，，cosx1=secx奇奇：+ - 是奇函数x+x3×÷是偶函数x×x=x2x·sinx sin4x=sinx·sinx·sinx·sinx 1+x21+x2 1-x2奇偶：×÷是奇函数x×x2=x3+ - 可奇，可偶，非奇非偶极限等差数列： 1，2，3，4，……，n ，…… 公差d=1，通项x n =n=1+（n-1）×1通项x n =x 1+（n-1）d →等差数列：首项x 1，公差d前n 项和，（求和公式）：2nxn +x1）（等比数列：2，22，23，24，……，2n 公比q=2，x n =2n =2·2n-1 1k =4.1k z =∞k 3=13+23+33+……+n 3=]2n 1n [）（+ 2 5.1n 1-n 131-2121-111n n 12?11?11k k 1z n 1k ++⋯⋯++=++⋯⋯++=+=）（）（=1n 1-1+ =1n n + 数列极限的定义：若不存在常数a ，则极限不存在，或x n 发散几何含义：当n>N 时，所有的点x n 都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N 个）在其外数列的性质：极限存在的充要条件：左极限=右极限1.唯一性2.有界性：|x n -a|＜ξ3.保号性：∀ξ＞0，∃n ＞N ，使得|x n -a|＜ξ 若a ＞0，n ＞N 时，x n ＞0 若a ＜0，n ＞N 时，x n ＜0 去心领域：只考虑点a 邻近的点，不考虑点a ，即考虑点集（a-δ，a ）∪（a ，a+δ），称这个点集为点a 的去心邻域函数的极限性质：1.函数极限的唯一性：若A =∞→→）（x f lim x x0x ，则极限必唯一2.函数极限的局部有界性3.函数极限的局部保号性：若A =→）（x f lim x0xA ＞0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＞0A ＜0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＜0无穷小（无穷小量）与无穷大常数的极限永远是本身关系：1.∞=→）（x f lim x0x →0x f 1limx0x =→）（互为倒数关系2.0x f 0x f lim x0x ≠=→）（且）（→∞=→）（x f 1limx0x01=∞ ∞=01总结：极限不存在的三种情形 1.limf （x ）=∞ 2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→方法一：000=⨯=⨯有界）无穷小量（即无穷小量有界函数 方法二:四则运算：（极限存在，则可以拆） 1.lim[f （x ）±g （x ）]=limf （x ）±limg （x ）=A ±B 2.lim[f （x ）·g （x ）]=limf （x ）·limg （x ）=A ·B 3.）（）（）（）（）（0x lim g x lim f x g x f lim≠==B BA 4.limC ·f （x ）=C ·limf （x ）=C ·A C 是常数 5.lim[f(x)]n =limf （x ）·limf （x ）……=A n总结：x →x 0时，x 0在初等函数定义域内，可直接将值代入求极限 方法三：消0因子法（0）方法四：抓大头思想（∞∞） 方法五：利用分子有理化求极限 方法六：先求和再求极限 方法七：先求积再求极限方法八：利用夹逼准则求极限（找两边） 极限存在准则：1.夹逼准则（1）x n ≤y n ≤z n ，且a zn lim a xn lim n n ==∞→∞→，→a yn lim n =∞→→ 2.□→00·∞→∞⨯=⨯→001000 →01⨯∞=∞⨯∞→∞∞②e x 1limx1x =+→）（ ①∞1 e x11limxx =+∞→）（ ②1+形式→e □1lim 0□□1=+→时）（e n 11lim nn =+∞→）（ ③互为倒数总结：若今后遇到∞1型①若)()](1[lim x g x f + 为∞1，则原式=）（）（x g x limf e②若）（x g )]([lim x f 为∞1，则原式=）（x g ]1)([lim e ⨯-x f方法十：利用等价无穷小求极限 → 无穷小的比较→型→0，∞，c （c ≠0）注意1.因子：只有乘除关系，等价必须是因子 2.非0因子直接代入方法十一：利用左右极限求极限左极限：0-0x x x x x f lim -0＜），（→ 右极限：+→+00x x x x x f lim 0＜），（极限存在的充要条件：若A A =→→=+→→→）（）（）（x f lim x f lim x f lim 0-0x x x x x x左极限=右极限极限不存在：1.limf （x ）=∞2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→注意：分段函数分界点要分左右极限连续与间断→极限的应用设f （x ）在x 0的邻域内又定义，如果）（）（0x x x f x f lim 0=→，则称f （x ）在x 0处连续。
15.2.3整数指数幂教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整数指数幂相关的实际问题，如计算细胞的分裂次数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际计算，演示整数指数幂的基本原理。
（2）掌握整数指数幂的计算法则：熟练运用正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的计算法则；
举例：计算a^3、a^0、a^(-3)的值，以及解决涉及整数指数幂的运算题目。
（3）运用整数指数幂解决实际问题：将整数指数幂应用于实际情境，解决生活中的数学问题；
举例：计算银行存款复利、物体的体积与表面积等。
2.教学难点
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了整数指数幂的概念和运算。我发现学生们对于这一章节的内容充满了好奇，但也存在一些理解上的难点。首先，对于整数指数幂的定义，大部分学生能够接受并理解正整数指数幂的含义，但在零指数幂和负整数指数幂的概念上，他们感到有些困惑。我通过举例和图示的方式，尽量让学生们直观地感受到负指数幂的实际意义，希望这样的方法能够帮助他们更好地消化这一部分内容。
学生小组讨论的环节，我尝试作为一个引导者，提出一些开放性的问题，引导学生思考。我发现，这样的方式能够激发学生们的思维，促使他们更深入地探讨问题。但在讨论过程中，我也发现有些学生容易偏离主题，这可能是因为他们对讨论的方向不够明确。为了提高讨论的效率，我计划在下次的讨论中，提供更明确的讨论指南，帮助学生聚焦关键问题。
（3）整数指数幂在实际问题中的应用：学生难以将数学知识与实际问题相结合，需要引导学生发现生活中的整数指数幂现象，培养学生的数学应用意识；
幂的运算法则逆用九类
幂的运算法则逆用九类a m·a n=a m+na m÷a n=a m-n(a≠0，m、n为正整数)，(a m)n=a mn，(ab)n=a n b n是有关幂的运算的四条运算法则，逆用幂的这四条法则是一种常见的数学思想．巧用这种数学思想解决有关幂的问题，常可使问题得到简捷解决．下面通过举例说明其在九个方面的应用．一、求整数的位数例1：求n=212×58是几位整数．析解：可逆用上述幂的运算法则第1、4条，把n写成科学记数法a×10n形式：n=24×28×58=16×(2×5)8=1.6×109，∴ n是10位整数．二、用于实数计算例2：计算：(1)(-4)1995×0.251994=(-4)×(-4)1994×0.251994=(-4)×(-4×0.25)1994=-4×(-1)1994=-4．三、寻找除数例3：已知250-4能被60—70之间的两个整数整除，求这两个整数．析解逆用幂的运算法则第一条将原数进行分解，就可找到解决此题的途径．250-4=22·248-4=4×248-4=4(248-1)=4(224+1)(212+1)(26-1)(26-1)=4(224+1)(212+1)×65×63∴这两个数是65、63．四、判断数的整除性例4：若3n+m能被10整除，你能说明，3n+4+m也能被10整除．析解：若将3n+4+m变形成3n+m与10的整数倍的和的形式，此题就可迎刃而解．逆用幂的运算法则，有3n+4+m=34×3n+m=81×3n+m=80×3n+(3n+m)，结论已明．五、判定数的正、负=(2m)2-2m+n+1+(2n)2=(2m)2-2×2m×2n+(2n)2=(2m-2n)2≥0，(逆用了第3、1条)∴原数是非负的．六、确定幂的末尾数字例6：求7100-1的末尾数字．析解：先逆用幂的运算法则第三条，确定7100的末尾数字．∴ 7100-1=(72)50-1=4950-1=(492)25-1=(2401)25-1，而(2401)25的个位数字是1，∴ 7100-1的末尾数字是0．七、比较实数的大小例7：比较750与4825的大小．析解：750=(72)25=4925，可知前者大．八、求代数式的值例8：已知10m=4，10n=5．求103m-2n+1的值．析解：逆用幂的运算法则．103m-2n+1=103m×10-2n×10=(10m)3×(10n)-2×10九、求参数例9：已知：2.54×210×0.1÷(5×106)=m×10n(1≤m＜10)．求m、n的值．分解：逆用幂的运算法则，把等式的左边也转化成科学记数法的形式，便可求出m、n 的值．原式=2.54×(22)5×10-1÷(5×106)=2.54×44×4×10-1÷5×10-6=(2.5×4)4×4×10-1÷5×10-6=8×10-4=m×10n．由科学记数法定义得m=8，n=-4．综上所述可知，逆用幂的四条运算法则后，都在不同程度上降低了题目的难度，甚至使那看似束手无策的题目(如例3、例4)，前景也变得柳暗花明了。
《整式的加减》知识点
3）.合并同类项步骤：
a．准确的找出同类项。
b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不
变。
c．写出合并后的结果。
4）.在掌握合并同类项时注意：
a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为 0.
b.不要漏掉不能合并的项。
c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
叫做多项式。其中
叫做多项式的项，不含字母的项叫做
项。例
如：在多项式 2x-3 中，2x 和-3 是它的项，其中-3 是常数项。
7. 多项式的次数：多项式里
次数，叫做这个多项式的次数。例如：在多项
式 2x-3 中，次数最高的项是一次项 2x，这个多项式的次数是 1；在多项式 x 2 +2x+18
中，次数最高的项是二次项 x 2 ，这个多项式的次数是 2。
n 为指数，an 的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am﹒an=am+n。 4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂
再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n 表示 n 个 am 相乘。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =amn。 3、此法则也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂
例题：多项式 3x 2 y 2xy 4x 1 是
中职数学基础模块上册《实数指数幂及其运算法则》word教案
中职数学基础模块上册《实数指数幂及其运算法则》Word教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及其运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生合作交流、积极探索的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 情境创设：通过生活实例引入实数指数幂的概念；2. 自主探究：引导学生观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则；3. 合作交流：分组讨论，共同解决问题；4. 巩固练习：设计相关练习题，巩固所学知识。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关知识点，如幂的定义；（2）通过生活实例引入实数指数幂的概念。
2. 自主探究：（1）观察实数指数幂的运算法则；（2）分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 合作交流：（1）分组讨论，共同解决问题；（2）分享各自的学习心得和方法。
4. 巩固练习：（1）设计相关练习题；（2）学生独立完成，教师点评、讲解。
5. 课堂小结：（2）强调实数指数幂在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习实数指数幂的概念和运算法则；2. 完成课后练习题；六、教学策略1. 实例引导：通过具体的实例，让学生理解实数指数幂的实际意义和应用。
2. 问题驱动：提出问题，激发学生的思考，引导学生主动探究实数指数幂的运算法则。
3. 互助合作：鼓励学生之间的合作，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
4. 实践操作：让学生通过实际操作，加深对实数指数幂及其运算法则的理解。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对实数指数幂及其运算法则的掌握程度。
数学知识点学习资料
数学知识点学习资料学习从来无捷径。
每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为主科之一，和语文英语一样，也是要记、要背、要讲练的。
下面是作者给大家整理的一些数学知识点学习资料，期望对大家有所帮助。
初一下册数学知识点总结北师大版多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单唯一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一样步骤：(1)列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
(2)按去括号法则去括号。
(3)合并同类项。
4、代数式求值的一样步骤：(1)代数式化简。
(2)代入运算(3)对于某些特别的代数式，可采取“整体代入”进行运算。
人教版-幂的乘方教学设计2024-2025学年八年级上册数学
《幂的乘方》教学设计一、课题名称幂的乘方二、课程课时1课时三、教材内容分析本节课是人教版八年级上册数学第十五章《整式的乘除与因式分解》中的内容。
幂的乘方是在学习了同底数幂的乘法之后，对幂的运算的进一步拓展。
教材通过具体的例子引导学生观察、分析、归纳出幂的乘方的运算法则，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法。
四、课标目标1.理解幂的乘方的运算法则。
2.能运用幂的乘方的运算法则进行计算。
五、教学重点、难点1.教学重点幂的乘方运算法则的推导过程。
运用幂的乘方运算法则进行计算。
2.教学难点对幂的乘方运算法则的理解。
法则中指数的运算。
六、课的类型及主要教学方法1.课的类型：新授课。
2.主要教学方法：讲授法、探究法、练习法。
七、教学过程1.导入新课教学环节：复习旧知。
教师活动：同学们，我们上节课学习了同底数幂的乘法，谁能来说一下同底数幂的乘法法则是什么？学生活动：学生回答同底数幂的乘法法则：aᵐ×aⁿ=aᵐ+ⁿ（m、n都是正整数）。
设计意图：通过复习旧知，为学习幂的乘方做铺垫。
目标达成预测：学生能够准确回答同底数幂的乘法法则。
2.讲授新课探索幂的乘方运算法则教学环节：计算式子。
教师活动：现在我们来计算一下（a²）³和（a³）²，看看结果是多少？并观察式子的特点。
学生活动：学生进行计算，（a²）³=a²×a²×a²=a ²+²+²=a⁶，（a³）²=a³×a³=a³+³=a⁶。
并发现式子是幂的乘方形式。
设计意图：通过具体的计算，让学生初步感受幂的乘方的特点。
目标达成预测：学生能够正确计算式子的结果，并观察到式子的特点。
教学环节：引导归纳。
教师活动：同学们，我们再来计算一下（a⁴）³、（a ⁵）²等式子，看看它们有什么规律？学生活动：学生进行计算，（a⁴）³=a⁴×a⁴×a⁴=a ⁴+⁴+⁴=a¹²，（a⁵）²=a⁵×a⁵=a⁵+⁵=a¹⁰。
九年级数学上册知识点
【导语】学会整合知识点。
把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡⽚，会让你的⼤脑、思维条理清醒，⽅便记忆、温习、掌握。
同时，要学会把新知识和已学知识联系起来，不断糅合、完善你的知识体系。
这样能够促进理解，加深记忆。
下⾯是为您整理的《九年级数学上册知识点》，仅供⼤家参考。
1.九年级数学上册知识点 1、数的分类及概念数系表： 说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)；2)有标准。
2、⾮负数：正实数与零的统称。
(表为：x0) 性质：若⼲个⾮负数的和为0，则每个⾮负数均为0。
3、倒数：①定义及表⽰法 ②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.0 4、相反数：①定义及表⽰法 ②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5、数轴：①定义(三要素) ②作⽤：A.直观地⽐较实数的⼤⼩;B.明确体现绝对值意义;C.建⽴点与实数的⼀⼀对应关系。
6、奇数、偶数、质数、合数(正整数⾃然数) 定义及表⽰： 奇数：2n-1 偶数：2n(n为⾃然数) 7、绝对值：①定义(两种)： 代数定义： ⼏何定义：数a的绝对值顶的⼏何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是⾮负数的标志;③数a的绝对值只有⼀个;④处理任何类型的题⽬，只要其中有││出现，其关键⼀步是去掉││符号。
2.九年级数学上册知识点 ⼀、圆的定义 1、以定点为圆⼼，定长为半径的点组成的图形。
2、在同⼀平⾯内，到⼀个定点的距离都相等的点组成的图形。
⼆、圆的各元素 1、半径：圆上⼀点与圆⼼的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆⼼的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：⼩于半圆周的弧。
(2)优弧：⼤于半圆周的弧。
5、圆⼼⾓：以圆⼼为顶点，半径为⾓的边。
6、圆周⾓：顶点在圆周上，圆周⾓的两边是弦。
7、弦⼼距：圆⼼到弦的垂线段的长。
有理数与整式知识点总结
有理数与整式知识点总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（有理数与整式知识点总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为有理数与整式知识点总结的全部内容。
第一部分：有理数有理数知识点总结正数：大于0的数叫做正数。
1。
概念负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线,是整数,一、正数和负数自然数，有理数。
（不是带“-"号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。
)2.意义:在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
有理数：整数和分数统称有理数。
1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数,负整数和零统称为非正整数。
2。
分类：两种二、有理数⑴按正、负性质分类: ⑵按整数、分数分类:正有理数正整数正整数有理数正分数整数 0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数3.数集内容了解1。
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2。
对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的.三、数轴比较大小:在数轴上,右边的数总比左边的数大。
3。
应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）代数:只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）1.概念几何:在数轴上,离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2。
性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b;反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
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幂的运算法则逆用九类
a m·a n=a m+n
a m÷a n=a m-n(a≠0，m、n为正整数)，
(a m)n=a mn，(a b)n=a n b n
是有关幂的运算的四条运算法则，逆用幂的这四条法则是一种常见的数学思想．巧用这种数学思想解决有关幂的问题，常可使问题得到简捷解决．下面通过举例说明其在九个方面的应用．
一、求整数的位数
例1 求n=212×58是几位整数．
析解可逆用上述幂的运算法则第1、4条，把n写成科学记数法a×10n形式：
n=24×28×58=16×(2×5)8=1.6×109，
∴n是10位整数．
二、用于实数计算
例2 计算：
(1)(-4)1995×0.251994
=(-4)×(-4)1994×0.251994
=(-4)×(-4×0.25)1994
=-4×(-1)1994=-4．
三、寻找除数
例3 已知250-4能被60—70之间的两个整数整除，求这两个整数．
析解逆用幂的运算法则第一条将原数进行分解，就可找到解决此题的途径．250-4=22·248-4
=4×248-4
=4(248-1)
=4(224+1)(212+1)(26-1)(26-1)
=4(224+1)(212+1)×65×63
∴这两个数是65、63．
四、判断数的整除性
例4 若3n+m能被10整除，你能说明，3n+4+m也能被10整除．
析解若将3n+4+m变形成3n+m与10的整数倍的和的形式，此题就可迎刃而解．逆用幂的运算法则，有
3n+4+m=34×3n+m=81×3n+m
=80×3n+(3n+m)，结论已明．
五、判定数的正、负
=(2m)2-2m+n+1+(2n)2
=(2m)2-2×2m×2n+(2n)2
=(2m-2n)2≥0，(逆用了第3、1条)
∴原数是非负的．
六、确定幂的末尾数字
例6求7100-1的末尾数字．
析解先逆用幂的运算法则第三条，确定7100的末尾数字．
∴7100-1=(72)50-1=4950-1
=(492)25-1=(2401)25-1，
而(2401)25的个位数字是1，
∴7100-1的末尾数字是0．
七、比较实数的大小
例7 比较750与4825的大小．
析解750=(72)25=4925，可知前者大．
八、求代数式的值
例8 已知10m=4，10n=5．求103m-2n+1的值．
析解逆用幂的运算法则．
103m-2n+1=103m×10-2n×10
=(10m)3×(10n)-2×10
九、求参数
例9已知：2.54×210×0.1÷(5×106)=m×10n(1≤m＜10)．求m、n的值．分解逆用幂的运算法则，把等式的左边也转化成科学记数法的形式，便可求出m、n的值．
原式=2.54×(22)5×10-1÷(5×106)
=2.54×44×4×10-1÷5×10-6
=(2.5×4)4×4×10-1÷5×10-6
=8×10-4=m×10n．
由科学记数法定义得m=8，n=-4．
综上所述可知，逆用幂的四条运算法则后，都在不同程度上降低了题目的难度，甚至使那看似束手无策的题目(如例3、例4)，前景也变得柳暗花明了．。