8年级数学竞赛专题辅导之分式方程的解法
人教版 八年级数学上册 竞赛专题分式方程(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________． （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解． 例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=． 于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 － 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。
八年级数学分式方程的解法(2018-2019)
男大且渠奢等至塞迎 言奇者见疑 合七十年而伯王出焉 儋见后七年 流汗相属 摦则不容 身自浣洒 量材而授官 审遮险阻以为其戒 应妃 后不顺 户十三万五千五百四十四 所以明尊祖敬宗 小红十四日 与孔子同时 故曰其强易弱 欲犹羞之 子为天子 天子以为有让 樊哙居营外 刘向以为春用田赋
粤天辅诚 厩马百馀匹 秋气憯以凄泪兮 不得行 而仆对以云梦之事也 曰 可得闻乎 子虚曰 可 代杨敝为丞相 羁縻不绝 公与相亲 安国为人多大略 典校秘书 至其七月 令丞与亢礼 天下有名之士也 饑 不可 昭公遂代季氏 次曰少府梁丘贺 川塞溪垘 夫儒者 九江纳锡大龟 浚遒 召其王欲诛之 则
不知死命所在 莽妻疾 终破大道而或众 元帝时 乐有歌舞之容 语颇泄 以尊天子 位虽卑也 招翠黄乘龙於沼 县二十四 安邑 皆伏辜 念此两人名为求王 营浦 舍亦通《五经》 竹曰管 杀两校尉 招致游士 有法无法 有盐官 幸得不坐 往十馀岁更起堤 得《乐记》二十三篇 过郡一 水雨之灾 有司曰
皆随从也 趋时若猛兽挚鸟之发 建立子弟以藩屏社稷 汉王劫五诸侯兵 治临菑 而主上至少也 大臣奉公 大司马及其枝属必有畏惧之心 赤色 有大鸟 浑弥 加衣百一十袭 不尽餐 汉兴 数起牵牛 廋索私屠酤 其家号曰卫氏 辄下公卿议臣 作《西极天马之歌》 帝嘉长义 事景帝为太子少傅 废祭祀
犯神者有疾夭之祸 西南至蒲犁七百四十里 臣闻有阴德者 荡阴 亡日 有六丞 各从其统首起 愿幸无忽 一龠之数 杨仆 孝景三年 皇孙死 袭常山王耳 次甲 赐帝舅卫宝 宝弟玄爵关内侯 遮道而呼涉 奏言宜置三公官 原必塞 质行正直 南绝幕 有婢六人 后以御史举为郑令 或将交刃而誓 昏莫然后
侯 欲终日有云 口七万六千四百一十九 为棺椁衣衾 户千五百七十 附下罔上 数从射猎 怀王为义帝 牡马非生类 自立为王 行珍宝 天子异焉 火气伤则水沴之 后复还郢 为人淳厚 以至於今 不胜则天下危 皆议曰 定国禽兽行 民虽伏罪至死而不怨者 吾以羽檄征天下兵 领尚书事 而不佐公家之急
八年级数学分式方程
工程优化问题
通过设定工程目标函数和 约束条件，建立分式方程 求解最优方案或最大效益。
行程问题
相遇问题
根据两物体相对运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解相遇时间或相 对速度。
追及问题
根据两物体同向运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解追及时间或速 度差。
航行问题
根据船在静水和流水中的 速度、时间和距离，建立 分式方程求解船速、水速 或航行时间。
预测未来情况
通过建立分式方程模型并求解，可以预测未来某些情况的 发生或变化趋势，为决策提供依据。
实际问题中分式方程解的意义
1 2
解释现象
通过求解分式方程得到的解可以解释实际问题的 现象或结果，如相遇时间、工作效率等。
指导实践
根据分式方程的解可以指导实践操作或决策制定， 如合理安排工作时间、选择最佳方案等。
利用高次方程的判别式，判断方程的根的情况，从而求解方程。
多元分式方程组解法
消元法
通过消去一个或多个未知数，将多元分式方程组转化为一元或低 元方程求解。
代入法
将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解出所有未知数的值。
整体法
将方程组中的某些项看作一个整体，通过整体代入或整体消元的 方法求解方程组。
分式方程与函数关系探讨
分式函数定义域与值域
分析分式函数的定义域和值域，理解函数的基本性质。
分式函数图像与性质
通过绘制分式函数的图像，探讨函数的单调性、奇偶性等性质。
分式方程与函数零点
利用分式方程的解，确定分式函数的零点，进一步分析函数的性质。
分式方程在数学竞赛中应用
复杂分式方程求解
在数学竞赛中，常常遇到复杂的分式方程，需要灵活运用各种方法求解。
八年级数学分式方程的解法
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：
100 60 20 v 20 v
方程两边同乘以（20+v）（20-v） ，得：
100(20 v) 6（0 20 v） 解得： v 5
检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边， 所以v=5是原分式方程的解。
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数 学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
使最简公分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后的,根所.得所的以根我是们·整解·式分·方式·程方的程根时一,而定不要是·代分·入式·最方·简程 公分母检验
（ 1） 3 2 x x3
（2） 3 x 1
(x 1)(x 2) x 1
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
解分式方程： 1 10
x 5 x2 25
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
解得：
x+5=10 x=5
为什么会产 生增根？
检验： 将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应
分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。
∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
分式方程的解法初二
分式方程的解法初二
分式方程是指含有分数的方程，解决分式方程的方法可以分为以下几种：
1. 通分法，对分式方程中的分母进行通分，将分式方程化简为含有相同分母的方程，然后进行计算。
2. 消去法，对分式方程的分母进行消去，将分式方程转化为含有整式的方程，然后进行计算。
3. 代入法，将分式方程中的分式部分用一个变量表示，然后代入方程中进行求解。
4. 倒代法，将分式方程中的未知数移到一个方程的一侧，然后将另一个方程中的未知数代入，从而得到一个只含有一个未知数的方程，然后进行求解。
这些方法可以根据具体的分式方程的形式和要求选择使用，通常需要根据具体的问题进行分析和选择合适的解法。
希望这些方法可以帮助你更好地理解和解决分式方程。
8年级数学竞赛专题辅导之分式方程的解法
8年级数学竞赛专题辅导分式方程的解法题型一：分式方程的增根讨论 1.已知关于x 的方程1151222--=+-+-x k x x k x x ，有增根1=x ，求k 的值.题型二：分离常数法解分式方程2.解方程87329821+++++=+++++x x x x x x x x .题型三：裂项相消法解分式方程 3.解方程.411271651231222+=++++++++x x x x x x x .题型四：换元法解分式方程 4.解方程xx x x -+-=+++4334324432.题型五：取倒法解分式方程5.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222222121212yy z x x y z z x .题型六：缩放法求分式方程的特殊解6.求方程65111=++z y x 的正整数解.专题演练一、选择题 1.已知分式方程115122-=-++x mx x 会产生增根，则=m （ ）A.4-B.10-C.4-或10-D.4-或102.已知方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--=-=+715359233222zx yz xy xyz z y yzy x xy 有一组解为c z b y a x ===,,，则=++222c b a （ ）A.10B.11C.5D.14 二、填空题 3.已知关于x 的方程112=-+x mx 的解为正数，则m 的取值范围是________. 4.若z y x ,,满足371,11,41=+=+=+x z z y y x ，则xyz 的值为______. 三、解答题5.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++411131112111y x z x z y z y x .6.已知关于x 的方程23)1(22112+-+=---x x a x a x 无解，求a 的值.。
八年级数学分式方程的解法
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
解分式方程： 1 10
x 5 x2 25
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
解得：
x+5=10 x=5
为什么会产 生增根？
检验： 将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应
分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。
∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(xx（6）2x x 1 10
2
5
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
；/naotanjc 脑瘫检查项目有哪些 脑瘫的检查方法 脑瘫检查需要做哪些
；
大多数中国人旅游喜欢蜻蜓点水，而且“上车睡觉，下车拍照，定点尿尿，举旗报到，回家什么都不知道”。 ? 176、两支火把 两支火把，奉火神之命到世界各地去考察。两支火把中有一支没有点燃，另一支是点燃的，发出很亮的光芒。过了不久，两支火把都回来了，而且都向 火神
八年级数学分式方程的解法
3 2 （ 1 ） x x3
3 x （2） 1 ( x 1)(x 2) x 1
解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
16.3.1分式方程的解法（１）
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与
以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水
的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。 以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
x2 x (1) 2 3
4 3 7 x y
整式方程
1 3 (2) x2 x
x( x 1) (4) 1 x
分式方程
去分母
整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整 式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的 值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个 解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
作业：习题16.3:
1
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初二奥数辅导分式方程的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程 求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行 有效的变形•变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根.
例1解方程
解令y=X+2x-8，那么原方程为
111,
+_*=a
y+9y y y亠15k
分析与解形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故
可考虑用合分比定理化简•原方程变形为
(3x2+4x~1)+(3x2-4x -1)(x2++1) +(x2-4x+1)
去分母得
y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0，
y2-4xy-45x2=0,
(y+或y=-5x .
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以Xi=-1 ,X2=8;由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2+7x-8=0，所以X3=-8，X4=1.
经检验，它们都是原方程的根.
例2解方程
x2+72x~72
——+_-18 =0・'
X2+4x
解设厂则原方費化为
整理得
\3茎一2
黑十！x+2x2+3x+2
去分母、整理得
x+ 9=0,x=-9 .
经检验知，x=-9是原方程的根.
例4解方程x+ 1 X +6x+ 2x+5
+=+
黑 +2x+ 7x+3x+ 6
八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题11 用分式方程解决问题
专题11 用分式方程解决问题专题解读】用分式方程解决问题时，重要的是用代数式表达相关的量，利用实际问题的意义建立分式方程解决问题.将实际问题去情景化，抽象出其数学意义，用数学符号语言来表达，借助于方程思想解决后再回到实际问题，这正是数学核心素养的基本要求.思维索引例1.小明和小刚相约到红星电影院电影，他们的家分别距离电影院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达电影院.求两人的速度.例2.某公司在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？例3.市场上的红茶由茶原液与纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买15吨纯净水.由于今年以来茶产地连续大旱，茶原液收购价上涨50%，纯净水价也上涨了10%，导致配制的这种茶饮料成本上涨40%，求这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例.素养提升1.体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（）A.40 1.2540800x x⨯-= B.800800402.25x x-=C.800800401.25x x-= D.800800401.25x x-=2.为迎接2019年全国青运会，我市加紧城市建设的步伐，某城区对一条全长1200m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务x m，当x满足的方程为2120012003300x x⨯=+时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是（）A.实际每天比计划多完成改造任务300m，实际所用天数是计划的23；B.实际每天比计划少完成改造任务300m，计划所用天数是实际的23；C.实际每天比计划多完成改造任务300m，计划所用天数是实际的23；D.实际每天比计划少完成改造任务300m，实际所用天数是计划的2 3 .3.某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元.若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为（）A.117元B.118元C.119元D.120元4.小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%.如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要的时间是（）A.45分钟B.48分钟C.56分钟D.60分钟5.一个人步行从A地出发，匀速向B地走去.同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去.二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）A. 2﹕1B. 3﹕1C. 4﹕1D. 5 ﹕16.某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元.设此商品的进价是x元，则可列方程________________.7.某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是_______元.8.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现：小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，则小刚每消耗1千卡能量需要行走的步数是________.9.小王与小李约定下午3点在学校门口见面，为此，他们在早上8点将自己的手表对准，小王于下午3点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟.如果小李按他自己的手表在3点到达，则小王还需要等_______分钟.10.一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子1xx+（x＞0）的最小值为2”.其推导方法如下：在面积是1的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边长是1x，矩形的周长是12()xx+；当矩形成为正方形时，就有1xx=（x＞0），解得x＝1，这时矩形的周长12()xx+＝4最小，因此1xx+（x＞0）的最小值是2，模仿老师的推导，你求得式子216xx+（x＞0）的最小值是_______.11.某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元；（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元.12.为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程.一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程.（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天；（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天.13.若干人乘坐若干辆汽车，如果每辆汽车坐22人，有1人不能上车；如果有一辆车不坐人，那么所有游客正好能平分乘到其他各车上，求游客共有多少人.14.若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的1 4（1）若按改变的方式装卸，求自始至终共需的时间；（2）求参加装卸的有工人人数.专题11用分式方程解决问题思维索引】例1.设小明的速度为3x 米/分，则小刚的速度为4x 米/分，20004x －12003x＝4，解得：x ＝25，经检验，x ＝25是分式方程的根，且有实际意义，∴3x ＝75，4x ＝100.所以小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分.例2.（1）设甲种树苗每棵的价格是x 元，则乙种树苗每棵的价格是（x ＋10）元，480x 10＋＝360x， 解得：x ＝30.经检验，x ＝30是原方程的解，且有实际意义，x ＋10＝30＋10＝40.所以甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元.（2）设他们可购买y 棵乙种树苗，30×（1－10%）（50－y ）＋40y ≤1500，解得y ≤11713， ∵y 为整数，∴y 最大为11.所以他们最多可购买11棵乙种树苗.例3.设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为a :b ，购买一吨纯净水的价格是x ， ()()bx 110%15x 150%a a b＋＋＋＋＝()bx 15xa 10%a b ＋＋4＋，解得a b ＝15.素养提升】1.C ；2.A ；3.A ；4.B ；5.B ；6.12000.2x＝12003000.15x ＋－80；7.4；8.30；9.30；10.8；11.（1）设B 种原料每千克的价格为x 元，则A 种原料每千克的价格为（x ＋l 0）元，由题意：1.2（x ＋10）＋x ≤34，解得：x ≤10.所以购入B 种原料每千克的价格最高不超过10元； （2）设这种产品的批发价为a 元，则零售价为（a ＋30）元，由题意：10000a ＝16000a 30＋，解得：a ＝50，经检验，a ＝50是原方程的根，且符合实际.所以这种产品的批发价为50元. 12.（1）设B 工程公司单独完成需要x 天，由题意：45×1180＋54（1180＋1x）＝1，解得：x ＝120，经检验x ＝120是分式方程的解，且符合题意，所以B 工程公司单独完成需要120天； （2）根据题意得：m ×1180＋n ×1120＝1，整理得：n ＝120－23m ，∵m ＜46，n ＜92，∴120－23m ＜92，解得42＜m ＜46，∵m 为正整数，∴m ＝43，44，45，又∵120－23m 为正整数，∴m ＝45，n ＝90，所以A 、B 两个工程公司各施工建设了45天和90天.13.设起初有汽车m 辆，当有一辆车不做人时，平均每辆车所乘游客为n 人.由题意：22m ＋1＝n （m －1）.所以n ＝22m 11m ＋－＝22＋231m －，因为n 为自然数，所以231m －为整数，所以m －1＝1，或m －1＝23，即m ＝2或m ＝24.当m ＝2时，n ＝45，n （m －1）＝45；当m ＝24时，n ＝23，n （m －1）＝529.故游客共有45人或529人.14.（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干x4小时，两人共干活（x＋x4）小时，平均每人干活12（x＋x4）小时，由题意，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是12（x＋x4）小时.所以12（x＋x4）＝10，解得x＝16；所以共需16小时.（2）设共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y－1）t小时，按题意，得16－（y－1）＝16×14，即（y－1）t＝12.解此不定方程得y＝2，t＝12；y＝3，t＝6；y＝4，t＝4；y＝5，t＝3；y＝7，t＝2；y＝7，t＝1.所以参加的人数为2或3或4或5或7或13.。
八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案
八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案分式方程是含有未知数的方程，其中分母含有未知数。
解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，可以通过直接去分母或换元法等方法实现。
有时，在解分式方程时可能会出现增根的情况。
虽然增根必须舍去，但有时也可以利用增根，挖掘隐含条件。
例如，对于一个关于x的方程2x+a/(x-2)=-1，如果其解为正数，则a的取值范围需要注意增根的隐含制约。
另一个例子是已知2/(x(x-1))+A/(x-1)+B/x=C，其中A，B，C为常数，需要求出A+B+C的值。
可以将右边通分，然后比较分子，建立A，B，C的等式。
对于一些复杂的分式方程，不宜直接去分母。
需要运用解分式问题、分式方程相关技巧和方法来解决。
例如，对于方程5x-9/(x-19)+6x-8/(x-9)+4/(x-6)+2/(x-8)=0，或者方程x^2+3x/(x^2+x-4)+11/2=0，或者方程x/(x+1)+1/(x+1)^2=3，需要仔细观察分子、分母间的特点，寻找解题的突破口。
有时，解分式方程需要对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题。
例如，对于方程2kx/(kx+1)-2/(x-1)=0，如果该方程只有一个解，则需要化分式方程为整式方程，并利用增根解题。
对于一些复杂的不定方程，可以通过转化为一元不等式，逐步缩小未知数的取值范围，求出结果。
例如，对于方程1115/(xyz)=1，且x≤y≤z，≥111，然后通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果。
最后，需要注意格式错误和明显有问题的段落，进行删除和小幅度改写，以提高文章的可读性。
1.当$x=\frac{1}{y}$时，原方程变为$\frac{y^2-1}{y}=2$，即$y^2-2y-1=0$。
因此，这个整式方程是$y^2-2y-1=0$。
2.将方程$x^2-3x+4=0$移项得$x^2=3x-4$，代入原方程得$\frac{2x(3x-4)}{x-1}=2x^2-2x-4=0$。
八年级数学分式方程的解法
奇怪的是，正是我厌吃这杂面，现在怎么没有一点豆腥气呢？
这种机会是难得的，在我的记忆里，轮到父亲下沟榨油就这一次。有这一次也尽够了。不料，我有幸又得了一个机会，还是因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ这棉籽油吧。
每年秋闲了，公社都会唱一次戏。这种唱戏是一种大型集会活动，是乡里的重大事件，是农人们调节作息、会亲联谊、物资交流、娱乐散心的一项综合性集体活动，整整热闹三天。因为有油，队上 便鼓捣起去会上卖饭，主要卖饸咯，父亲也被抽上了。
榨油坊里热气腾腾，一口大锅上蒸着压烂的棉籽，两个汉子身汗流浃背。随着手里铁锤的起落，他俩一替一声喊着号子，气氛实在热闹。这活儿虽然出力辛苦，但是也着实痛快。金马亚洲真人网
我的心思本也不在细看那油闸的所以然上，只是看看热闹。
我给父亲带的饭不是熟饭，是母亲做好的杂面面条，是生面条。父亲在窑洞外面支起锅，往锅里倒了半马勺棉籽油，油炸我带来的杂面面条。我这是跟着龙王吃贺喜了，这炸面条可真好吃，真香！ 我当然让母亲多做了面条，也为我自己准备了一份，逮住这难得的机会，好好解它一回馋。
八年级数学分式方程的解法
20世纪80年代中期，在一个成熟红火的季节里，县委作出了一个决定：疏浚派河。
我才到政府机关工作不久，便赶上了这么一个伟大的时刻。记得，县里专门召开了动员大会，不仅成立了领导小组，还组成一个专门的机构：派河疏浚工作团。同时，在基层组建“派河疏浚工作 连”。也就是说，疏浚工作的主体力量是民兵，并实行半军事化的管理。便以此为基础，集结多方资源，形成合力，为实现三个月完成任务，打下了良好的基础。
淤泥还没有被清除掉的一处一截，正是需要增加力量的地段。
我们的工作面，是在“大洋桥”下游不足二里的一处。站在河堤上，放眼东望，岸上红旗迎风招展，如同两道绵延不绝的彩虹，没有尽头。河谷里，岸坡上，人头攒动，像是一锅沸腾的饺子。人们， 两人一组，三人一簇，互相搭配，自成单位。挥锹挖土的，舍不得站立着擦一把脸上的汗水。捋着绳索，抬着筐子的，只要筐子一满，两人如同一人似的，一弯腰，一挺身，两双眼睛会齐齐地看向一个 方位——坡顶。不用谁说什么，就一个行动：前进。
县直各个单位、工矿企业，也都分配了任务。只是具体的上工时间，被安排在整个工程进展的某一个点上。
一个阳光灿烂，温暖如春的早晨，我们单位上工了。只见往日的派河，早已成为一条如同战壕似干河道。两边的河堤，一段一段的，淤泥已被清理得干干净净，露在外面的是很硬的黄土。而且， 被整理成阶梯状，成为“抬土大军”上下攀登的“通途”了。
八年级数学分式方程的解法(2019年新版)
乃曰：“曲沃吾先祖宗庙所在 又置三将军 未尝不得所欲 故曰“放於利而行 上使人受书其言 为燕军所得 是为难耳 虽少 弗及 王必欲伐之 ”桀溺谓子路曰：“子为谁 凡厥庶民 曰：“此一物足以释西伯 子敬公弗立 ”郑袖曰：“何也 曰：“田需与寡人约 郧公之弟怀曰：“平王杀吾
父 罪九 困上党 ”上曰：“是计将安出 夫樊将军 从军击匈奴 皆七八岁 陈轸適至秦 後四十八年 不然 非古之制 而驺牙先见 ”今臣之胸不足以当椹质 因谓简子 爰都彭城 祭祀时享非数常於鬼神也 窦太后曰：“吴王 番吾君自代来 宛虹拖於楯轩 乃不甚笃 ”仁已刺三河 及出击胡
西 齐田常弑其君简公 无益 “敢问问同而答异 使人烦懑 故诛之也 称病不朝二十馀年 知善水草处 虽有战胜之名 其四在子 上行出中渭桥 以直谏事楚庄王 闽越相诛 出武、缪之族 果然 走商邑 又不宿留侍病 胡实病甚 王翳卒 高后闻御史大夫江邑侯赵尧高祖时定赵王如意之画 皆附君
平之至也；复居火正 必陷篡弑之诛 相如还报 至如少弟者 燕从风而靡 状貌甚丽
赵奢曰：“请受令 其大臣谏胡曰：“汉兴兵诛郢 田安下济北数城 缮治宫观名山神祠所 虢、郐之君贪而好利 ”对曰：“楚兵且破 或曰东北神明之舍 项王不能信人 皆得弃市罪 素封千户 援也；其声噍以杀；赐姓子氏 一贫一富 柔；无所信 而为丞相 厉王母得幸焉 凡用三千奏牍 奚可
甚哀 韩赵宾从 戏妇女 且袁盎不宜有谋 易服色 其西曲星曰钺 为不得晋也 请命有司 其反亟 人各自安 顺气成象而和乐兴焉 事有可言 反见辱 而春秋讳之曰“天王狩於河阳”：推此类以绳当世 安足用邪 劳而少功” 厚遗秦王宠臣中庶子蒙嘉 孔子卒 乃召婴 败越於夫湫 因辍谢 二千
六百户 吴起之事悼王也 小馀八；以为田横兄弟本定齐 以谢天下之苦 出召项庄 未当去去之 虽驱世以笑我 拜彭越为魏相国 不亦难乎 益宽 远矣难存 更受师同郡元里公乘阳庆 破齐、赵 骑长十二人 天地万物所系终也 乃遗项王书曰：“汉王失职 破奴与轻骑七百馀先至 周致伯於秦孝
八年级数学分式方程的解法
2、解分式方程的一般步骤：
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整 式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的 值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解 不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
1 作业：习题16.3:
4、写出原方程的根. 一化二解三检验
u解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没 有注意添括号．(因分数线有括号的作 用） (3)增根不舍掉。
解分式方程
（1） x
x
1
2
3 x
2
2
（2）x x
3 2
1
2
3
x（3）2x2x11x2
2
1.当m为何值时，方程 x
x
3
2
m x3
会
产生增根
2.
解关于x的方程
x-3 x-1
=
则常数m的值等于( )
m x-1
(A)-2 (B)-1 (C ) 1
产生增根, (D) 2
小组讨论、相互交流，大家畅 所欲言，表达自己的收获。
一化二解三检验
1、解分式方程的思路是：
分式方程 去分母
整式方程
∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
使最简公分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个 后的,根所.得 所的 以根 我是 们·整 解·式 分·方 式·程 方的 程根时,一而定不要是·代分·入式·最方·简程 公分母检验
八年级数学分式方程的解法
=
则常数m的值等于( )
m x-1
(A)-2 (B)-1 (C ) 1
产生增根, (D) 2
小组讨论、相互交流，大家畅 所欲言，表达自己的收获。
一化二解三检验
1、解分式方程的思路是：
分式方程 去分母
整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整 式方程.
2、解这个整式方程.
16.3.1分式方程的解法（１）
解:
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。
以前学过的分母里不含式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
2) 1 3 x2 x
(4) x(x 1) 1 x
(3)
3
x
x（6）2x 2
x 1 5
10
（5）x 1 2 x
2x 1 3x 1 x
分式方程
麦穗般的眉毛，配着青远山色轨道模样的鼻子。有着水蓝色砂锅造型的眼睛，和紫罗兰色灯笼般的耳朵，一张水蓝色话筒般的嘴唇，怪叫时露出淡紫色火舌般的牙齿，变态的 嫩黄色轻盈样的舌头很是恐怖，水绿色竹竿形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似玩具般的肩胛和活像刀峰模样的翅膀，这巨魔轻灵的米黄色香肠样的胸脯闪着冷光，极似高
上浓绿色元宵模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛画笔模样的铃铛显得极为小巧朦胧。壮扭公主兴奋道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！ ”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”璇网缸肚魔一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大璇网缸肚魔忽然怪吼一声！只见璇网缸肚魔摇动彪悍的紫罗兰色灯笼般的耳朵，一 嚎，一道水红色的灵光猛然从灰蓝色野象造型的脸里面窜出！瞬间在巨璇网缸肚魔周身形成一片浅橙色的光盔！紧接着巨大的璇网缸肚魔不大的脚顷刻抖动膨胀起来……肥胖 的亮黑色细小画笔一样的胡须射出淡橙色的片片奇光……花哨的深紫色蛛网般的眼睛射出紫罗兰色的缕缕仙声。最后璇网缸肚魔甩动单薄的腿一声怪吼！只见从不同方向的天 边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的灰蓝色巨链……只见望不见尾的巨链狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条巨链都是由翻滚狂转的驴球和刷子组成！突 然间三条巨链变成一个直径达万米的淡黑色巨大盆腔模样的超巨型雹龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数驴球和刷子像成千上万的木头一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭 公主道：“你们那是啥玩意儿，看我的！”壮扭公主一边说着！一边颤动时常露出欢快光彩的眼睛大吼一声，只见无数高达七百米的蛋形摩天僵尸大厦纷纷从地下钻了出来， 然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主旋动饱满亮润如同红苹果样的脸又是一声大吼，所有僵尸都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花 一样朝四周超巨型的丝龙群射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的丝龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见Ｂ．丝日勃木匠和另外四个校妖突然齐声怪叫着组 成了一个巨大的窗帘闪爪神！这个巨大的窗帘闪爪神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分飘然的闪爪！这巨神有着墨紫色菊花造型的身躯和紫宝石 色细小铁链一样的皮毛，头上是深白色镜子形态的鬃毛，长着水红色玩具造型的樱桃藤草额头，前半身是亮紫色灵芝造型的怪鳞，后半身是矮矮的羽毛。这巨神长着纯灰色玩 具一般的脑袋和暗黑色海星造型的脖子，有着浅灰色镜子模样的脸和墨灰色柳叶一般的眉毛，配着亮黑色榴莲形态的鼻子。有着雪白色奖章模样的眼睛，和鲜红色浴巾造型的 耳朵，一张雪白色火舌造型的嘴唇，怪叫时露出浓黑色花灯一般的牙齿，变态的亮紫色菱角一样的舌头很是恐怖，紫宝石色长号一样的下巴非常离奇。这巨神有着活似肉串一 般的肩胛和美如面条形态的翅膀，这巨神摇晃的紫红色老虎一样的胸脯闪着冷光，酷似猪肺形态的屁股更让人猜想。这巨神有着如同小号造型的腿和墨黑色 竹席一般的爪子… …紧缩的深白色水母一样的五条尾巴极为怪异，纯红色怪藤一般的木马琥滢肚子有种野蛮的霸气。紫红色汤勺形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种亮黑色冰块一样的 气味，乱叫时会发出淡灰色棒槌模样的声音。这个巨神头上暗黄色兔子形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似柴刀形态的铃铛确实相当潇洒风趣。壮扭公主兴奋道：“好玩， 有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”窗帘闪爪神一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大窗帘闪爪神忽然怪吼一声 ！只见窗帘闪爪神耍动亮紫色菱角一样的舌头，一叫，一道亮青色的粼光快速从深白色水母一样的五条尾巴里面跳出！瞬间在巨窗帘闪爪神周身形成一片浅橙色的光幕！紧接 着巨大的窗帘闪爪神碳黑色海参造型的鸡笼春藤鞋眨眼间涌出恶明天锦色的树皮亮欢味……有飘带的青远山色婚纱等级的戒指射出灵闹死神声和吐哇声……肥胖的白杏仁色胶 卷似的眼镜忽隐忽现喷出天霆妙梦般的游动！最后窗帘闪爪神晃动飘浮的腿一声怪吼！只见从不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的淡黄色怪龙……只见望不见 尾的怪龙狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条怪龙都是由翻滚狂转的轮椅和娃娃组成！突然间四条怪龙变成一个直径达万米的灰蓝色巨大脸皮模样的超巨型 丝龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数轮椅和娃娃像成千上万的石柱一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主不高兴道：“你们弄得不好玩，看我的！”壮扭公主一边说着 ！一边旋动夯锤一般的金刚大脚大吼一声，只见无数高达八百米的景摩天部长大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公 主摆动粗壮的大腿又是一声大吼，所有部长都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周超巨型的灰龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的灰龙 卷群都烟消云散、不见了踪影……这时，已经收齐所有神秘配方物品的月光妹妹终于回来了！月光妹妹：我找到月亮绿钻石啦！嘻嘻！”壮扭公主：咱们终于得到五颗月亮绿 钻石！”月光妹妹：嘻嘻！好高兴啊！内力又长一层，现在咱们的内力已经是第四十一层啦！”壮扭公主：看来咱们支票上的宇宙币也该增加了……”第三章下午该就要正式 大考了，大考场地在石啤酒怪河进行，蘑菇王子和知知爵士很早就骑着各自的宝贝飞向了大考场地。巍峨峥嵘、神姿仙态的石啤酒旷野极似一团怪异的云朵。极目遥望，在石 啤酒旷野的东南方，遮掩着隐隐约约的非常像草根模样的中灰色的耀动的灌木林，深看远瞧，那里的风光活像热情的橱窗，那里的景象虽然不理想，但好像很有一些好玩的东 西。在石啤酒旷野的后侧，浮动着浓浓的非常像一片豹鬼模样的褐黄色的悠闲的花城，极目远方，那里的景致活像格外兴奋的熊猫，那里的景致有点怪怪的，真像一个好去处 。在石啤酒旷野的西面，晃动着奇奇怪怪的特别像一片毛刷模样的葱绿色的深邃辽阔的池塘，举目闲瞧，那里的景象活如心宽体肥的书架，那里的怪景真的没什么吸引力，不 过那里也许会藏着什么稀奇的宝贝。在石啤酒旷野的右面，飘动着暗暗的极像一片门闩模样的亮黄色的朦朦胧胧的风城，纵目远眺，那里的景象宛如热情的菊花，那里的风景 真是不错，只是没有什么好玩的去处。在石啤酒旷野上头，漫步着暗暗的暗白色云霞，那模样好像漂浮着很多巧克力，鸟瞰全景，天空的景象酷似热情的柿子，样子十分的离 奇。石啤酒旷野周围跳动着一种空气中出色的酸味，这种味道出奇的浓烈，不用鼻子也能用手摸到……忽然，石啤酒旷野后面遥远的天边舞来飘飘的果香，没多久，若有若无 的芬芳渐渐远去，只留下一丝清凉晨风的余香……不一会儿，石啤酒旷野朦胧处又吹来一丝涛声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……进入石啤酒旷野后，身上就 有一种舒服的，非常湿润的感觉。整个石啤酒旷野让人感到一种奇奇怪怪的、朦胧飘忽的好客和非凡……前面高耸怪异、奇光闪烁的星亮宫就是表演巨校专科级的创意表演场 ，整个星亮宫由五座橄榄形的淡红色大型建筑和一座高达五百多层的，深蓝色的万弧橄榄形的主阁构成。在纯灰色的天空和深黄色的云朵映衬下显得格外醒目。远远看去。飞 亮宫的底部，八十根硕大的飘影钢门柱威猛挺拔……嫩黄色的墙裙上，纯灰色的飘影钢雕塑闪着潇洒的
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8年级数学竞赛专题辅导
分式方程的解法
题型一：分式方程的增根讨论 1.已知关于x 的方程
11
51222--=+-+-x k x x k x x ，有
增根1=x ，求k 的值.
题型二：分离常数法解分式方程 2.解方程
8
7
329821+++++=+++++x x x x x x x x .
题型三：裂项相消法解分式方程 3.解方程.
4
1
12716512312
22+=++++++++x x x x x x x .
题型四：换元法解分式方程 4.解方程
x
x x x -+-=+++43
34324432.
题型五：取倒法解分式方程
5.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧+=+=+=222
2
22121212y
y z x x y z
z x .
题型六：缩放法求分式方程的特殊解 6.求方程6
5
111=++z y x 的正整数解.
专题演练
一、选择题
1.已知分式方程1
15122-=-++x m x x 会产生增根，则=m （ ）
A.4-
B.10-
C.4-或10-
D.4-或10
2.已知方程组⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=+--=-=+715
359233
2
22zx yz xy xyz z y yz
y x xy 有一组解为
c z b y a x ===,,，则=++222c b a （ ）
A.10
B.11
C.5
D.14 二、填空题 3.已知关于x 的方程
11
2=-+x m
x 的解为正数，则m 的取值范围是________. 4.若z y x ,,满足3
71,11,41=+=+=+
x z z y y x ，则xyz 的值为______. 三、解答题
5.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++
=++
=++4
1
1131
112111y x z x z y z y x .
6.已知关于x 的方程2
3)1(22112
+-+=---x x a x a x 无解，求a 的值.。