高二第十三讲分类加法计数原理与分步乘法(教师)

第十三讲分类加法计数原理与分步乘法（教师）

一-基本原理

1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．

2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m1×m2×…×m n种不同的方法．

3. 分类和分步区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，分步后要将种数相乘．

二.基础训练

1.某班级有男生5人，女生4人，从中任选一人去领奖，有________种不同的选法．

答案：9解析：不同选法种数共有N＝5＋4＝9种．

2.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书与语文书各一本，有________种不同的取法．

答案：30解析：共有5×6＝30种不同取法．

3. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．

答案：32解析：每位同学有2种不同的报名方法，故5位同学有25＝32种不同的报名方法．

4.从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．则从甲地到丙地共有________种不同的走法．答案：14解析：共有2×3＋4×2＝14种不同的走法．

5. 如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________．

答案：84解析：分两类：A、C种同种花有4×3×3＝36种不同的种法；A、C种不同种花有4×3×2×2＝48种不同的种法．故共有36＋48＝84种不同的种法．

三.典例分析

题型1分类计数原理

例1满足A∪B＝{1，2}的集合A、B共有多少组？

解：集合A、B均是{1，2}的子集：Æ，{1}，{2}，{1，2}，但不是随便两个子集搭配都行，本题尤如含A、B两元素的不定方程，其全部解分为四类：

①当A＝Æ时，只有B＝{1，2}，得1组解；

②当A＝{1}时，B＝{2}或B＝{1，2}，得2组解；

③当A＝{2}时，B＝{1}或B＝{1，2}，得2组解；

④当A＝{1，2}时，B＝Æ或{1}或{2}或{1，2}，得4组解．

根据分类计数原理，共有1＋2＋2＋4＝9组解．

变式训练

如下图，共有多少个不同的三角形？

解：所有不同的三角形可分为三类：

第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有5个；

第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有5×4＝20个；

第三类：没有一条边是原五边形的边，即由五条对角线围成的三角形，共有5＋5＝10个．由分类计数原理得，不同的三角形共有5＋20＋10＝35个．

题型2分步计数原理

例2用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．

(1) 共有多少种不同的涂色方法？

(2) 若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么有多少种不同的涂色方法？

解：(1) 每一个区域都有5种不同的涂色的方法，所以涂完四个区域共有5×5×5×5＝625种不同的涂色方法．

(2) 若2号，4号区域同色，有5×4×3＝60种涂法；若2号，4号区域异色，有5×4×3×2＝120种涂法．所以共有60＋120＝180种涂法．

变式训练

用三种不同的颜色填涂下图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法共有________种．

分析：将9个区域顺次标号，利用分步计数原理求解．

答案：12

解析：可将9个区域标号如图：

用三种不同颜色为93×2×1＝6种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有2×1＝2种方法；剩余区域只有一种涂法．综上由分步计数原理可知共有6×2＝12种涂法．题型3两个基本原理的联系

例3某同学有12本课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆去阅读．

(1) 若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？

(2) 若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？

(3) 若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？

解：(1) 完成的事情是带一本书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都已经完成，从而应用加法原理，结果为5＋4＋3＝12种．

(2) 完成的事情是带三本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理中各选一本后，才能完成这件事，因此应用乘法原理，结果为5×4×3＝60种．

(3) 要完成的这件事是带2本不同的书，先乘法原理，再用加法原理，结果为5×4＋5×3＋3×4＝47种选法．

变式训练

三边长均为整数，且最大边长为7的三角形的个数为_______．

答案：16

解析：另两边长用x、y表示，且不妨设1≤x≤y≤7，要构成三角形，必须有x＋y≥8.

当y取值7时，x＝1，2，3，…，7，可有7个三角形；当y取值6时，x＝2，3，4，5，6，可有5个三角形；当y取值5时，x＝3，4，5，可有3个三角形；当y取值4时，x＝4，可有1个三角形，所求三角形的个数合计为16个．

巩固与练习

1. 用0，1，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．

答案：252

解析：组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C19A29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.

2. 满足a、b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，

b)的个数为________．

答案：13

解析：方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，分析讨论．①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时b可以取4个值．故有4种有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．∵ (a，

b)共有16种实数对，故答案应为16－3＝13.

3. 将字母a、a、b、b、c、c，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．

答案：12

解析：第一步先排第一列有A33＝6，再排第二列，当第一列确定时，第二列有2种方法，如图

，所以共有6×2＝12种．

4. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga