专题限时集训(5)[理数通用][2012全品二轮作业手册]

专题限时集训(五)
[第5讲 三角恒等变换与三角函数]
(时间：10分钟＋35分钟)
1．sin15°＋cos165°的值为( )
A.22 B ．－22 C.62 D ．－62
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )
A ．－45
B ．－35
C.35
D.45
3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3
个单位长度后，所得的图象与
原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.1
3
B ．3
C ．6
D ．9
4．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π
6
个单位后的图象如图5－1所示，则平移后的
图象所对应函数的解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3
D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3
1．若sin θ＋cos θ＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π
3的值是( ) A ．2－ 3 B ．－2－ 3
C ．2＋ 3
D ．－2＋ 3
2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图5－2所示，则ω，φ的值分别为( )
A.12，π3 B ．2，π3 C.12，π6 D ．2，π6
3．设函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫
π2x －π3，若对于∀x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )
A ．4
B ．2
C ．1 D.1
2
4．将函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )的图象向左平移π
4
个单位后，得到函数y ＝g (x )的
图象，则y ＝g (x )的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于点⎝⎛⎭⎫－π8，0对称
D ．关于直线x ＝π
8
对称 5．若f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
4(ab ≠0)是偶函数，则实数a ，b 满足的关系是____________．
6．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3
5
，则sin α＋cos α的值________．
7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图5－3所示． (1)求ω，φ的值；
(2)设g (x )＝22f ⎝⎛⎭⎫x 2f ⎝⎛⎭⎫x 2－π8－1，当x ∈⎡⎦
⎤0，π
时，求函数g (x )的值域．
8．已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；
(2)求函数f (x )的单调区间及其图象的对称轴方程．
专题限时集训(五)
【基础演练】
1．B 【解析】 方法1：sin 15°＋cos 165°＝sin 15°－cos 15°＝2
()sin 15°cos 45°－cos 15°sin 45°＝
2sin (－30°)＝－
2
2
. 方法2：显然sin 15°－cos 15°<0，
(sin 15°－cos 15°)2＝1－sin 30°＝12，故sin 15°－cos 15°＝－22
.
2．B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a ≠0)，则r 2＝|OP|2＝a 2＋(2a)2
＝5a 2，
∴cos 2
θ＝a 25a 2＝15，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－3
5
.
解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ
＝－3
5.
3．C 【解析】 方法1：将y ＝f(x)的图象向右平移π
3后得到的函数是y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3ω，因为该函数的图象与原图象重合，所以－π
3ω＝2k π(k ∈Z )，得ω＝－6k ，k ∈Z ，ω的最小值
等于6.
方法2：π3是函数f (x )的最小正周期2πω的整数倍，即2πωk ＝π
3(k ∈Z )，即ω＝6k (k ∈Z )，又
ω>0，所以ω的最小值等于6.
4．C 【解析】 平移后不改变函数的周期，即不改变ω的值，根据图中数据可以列出关于ω的方程．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π
6个单位后得到的函数解析式为y ＝
sin ωx ＋π
6，由图象知ω⎝⎛⎭⎫7π12＋π6＝3π2，所以ω＝2，所以平移后的图象所对应函数的解析式是y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3. 【提升训练】
1．B 【解析】 由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π
3＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3.
2．B 【解析】 最小正周期2πω＝5π
6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，解得ω＝2， 令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，得φ＝π
3
. 3．B 【解析】 对于∀x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)等价于函数f (x 1)是函数f (x )的最小值、f (x 2)是函数f (x )的最大值．函数f (x )的最小正周期为4，故|x 1－x 2|≥1
2
T ＝2.
4．A 【解析】 y ＝－cos2x ，故平移后得g (x )＝－cos2x ＋π
4＝sin2x ，这个函数是奇函
数，故其图象关于原点对称．
5．a ＋b ＝0 【解析】 f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝a 22sin x ＋22cos x ＋b ⎝⎛
⎭⎫22sin x －22cos x
＝2
2
[(a ＋b )sin x ＋(a －b )cos x ]，因为f (x )是偶函数，所以对任意x ，f (－x )＝f (x )， 即
22[(a ＋b )sin(－x )＋(a －b )cos(－x )]＝2
2
[(a ＋b )sin x ＋(a －b )cos x ]，即(a ＋b )sin x ＝0对任意x 恒成立，即a ＋b ＝0.
6.36565 【解析】 根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45， 所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－56
65
. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965.因为π2<α<3π
4，所以sin α＋cos α>0，所以sin α
＋cos α＝365
65
.
7．【解答】 (1)由图象知T ＝4⎝⎛⎭⎫π2－π4＝π，则ω＝2πT ＝2. 由f (0)＝－1得sin φ＝－1，即φ＝2k π－π
2(k ∈Z )，
∵|φ|<π，∴φ＝－π
2
.
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
2＝－cos2x ， ∴g (x )＝22f ⎝⎛⎭⎫x 2f ⎝⎛⎭⎫
x 2－π8－1
＝22(－cos x )⎣⎡⎦
⎤－cos ⎝⎛⎫x －π4－1 ＝22cos x ⎣⎡
⎦
⎤22(cos x ＋sin x )－1＝2cos 2
x ＋2sin x cos x －1 ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π
4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦
⎤－2
2，1， ∴g (x )的值域为[－1，2]． 8．【分析】 (1)利用降幂、辅助角公式先化为 f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1
2，再求解． (2)结合正弦函数的单调区间、对称轴方程求解．
【解答】 (1)f (x )＝12(1＋cos2ωx )＋3
2sin2ωx
＝1
2
＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以2π
2ω＝π，解得ω＝1.
所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 所以f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－1
2
. (2)分别由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，可得k π－
π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3
(k ∈Z )．
所以，函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π
6(k ∈Z )； 函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z )． 由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k 2π＋π
6(k ∈Z )．
所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k 2π＋π
6(k ∈Z )．。