理论力学动力学部分3动量矩定理

FrR(e)
=
r Fox
+
r Foy
+
Fr
=
0
F
这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定 轴转动时的运动。
三 动量矩定理
3
1 质点的动量矩定理
（1）质点M 的动量对于O点的矩，定
义为H质O 点=对Mr于OO(点m的vr动) =量矩 rr ´，m即vr
A mv
B
r MrO(mvr)
动量矩是矢量，称为动量矩矢。
)
´
mvr
=0
d dt
( mvr
)
=
Fr
三 动量矩定理
5
d dt
mr O(mv
)
=
rr
´
Fr
=
mr O (
F
)
其投影式为：
d dt
M
x
(mv)
=
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv)
=
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv)
=
M
z
(F
)
三 动量矩定理
6
（3） 质点动量矩定理的守恒形式
全局守恒：
r MO(F) = 0
则: Mr O (mvr) = rr ´ (mvr) = 常矢量
F
的一阶导数等于作用于质点上 的力对同一点的力矩矢。
mrO (mv) = rr ´ mvr
mO (F)
O
rA
d
z
y
xy
d dt
mr O
(
mv
)
=
d dt
(
rr
´
mvr
)
=
drr dt
´
(
mvr
)
+
rr
x ´
d dt
(
mvr
)
d dt
mr O
( mv )
=
rr ´
Fr
=ddrtrmr´Om(vrF=
vr
中只需考虑主动力的矩.
（1）外力矩Mz越大，刚体转动的角加速度也越大。当Mz=0 时，角加速度e = 0，刚体作匀速转动或保持静止。
（2）在同样的外力矩作用下，刚体的转动惯量Jz 越大，角加 速度e 越小。Jz反映了刚体保持其匀速转动状态能力的大小， 转动惯量是刚体转动时的惯性度量。
三 动量矩定理
15
2l
2
(C)
HO
=
7M
+ 27m 48
wl
2
,
T
=
7M
+ 27 96
m
w
2l
2
(D)
HO
=
7
M
+ 27m 16
wl
2
,
T
=
M
+ 9m 32
w
2l
2
分析：可直接根据转动惯量的定义求出。
J O1
=
1 12
Ml 2
+
M
( l )2 4
=
7 48
Ml 2 ,
JO2
=
m(3l )2 4
=
9 16
ml 2
三 动量矩定理
局部守恒： M x (F ) = 0 则: M x (mv) = 常量
1
三 动量矩定理
7
2 质点系的动量矩定理
（1）质点系对固定点的动量矩
设质点系有n个质点组成，其中第i 个质点的动量为mivi，对某
固定点的动量矩为ri×mivi，则质点系对该固定点的动量矩矢量
为：
r HO
=
å
mrO (mivi )
和外力 Fii ， Fie ，有
å å d
dt
r HO
=
Mr O (Fie ) =
n
rri
´
r Fi
(e)
=
Mr
e O
i=1
质点系动量矩定理: 质点系对于某固定点O 的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用于质点系上所有外力对 同一点的力矩的矢量和。
内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系
的外力才能使质系的动量矩发生变化。
三 动量矩定理
26
6 刚体的平面运动微分方程
刚体的平面运动分解为跟随质心的平动和相对质
心的转动。
刚体在相对运 动中对质心的 动量矩定理
r dHC dt

r M
e C
JC
d 2j dt 2

MC
应用质心运动定理和相 对质心动量矩定理得刚 体平面运动微分方程
Mx&&C Fix
M&y&C Fiy
dt
=
Mr
C
(
Fri e
)
=
Mr
e C
4
三 动量矩定理
25
讨讨 论论
Ø如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质 心的运动，则可分别用质心运动定理和相对质心动 量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。 Ø质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有 关，而与内力无关。 Ø当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心 的动量矩守恒。
= =
Hx Hy
= =
Smx Smy
((mmvv))üïïý
[ HO ]z
=
Hz
=
Smz
(mv)
ï ïþ
质点系对某定轴的动 量矩对时间的一阶导 数，等于作用于质点 系上的外力对该轴之 矩的代数和。
三 动量矩定理
12
动量矩定理的守恒形式
在特殊情况下外力系对O点的主矩为零，则质系对 O点的动量矩为一常矢量。
17
[例] 图中等截面的均质细长杆AB长为l，质量为m，试求该杆对 于：（1）通过质心O且与杆垂直的y轴的转动惯量；（2）与y轴
相平行的y¢轴的转动惯量。
解：设坐标系Oxy的x 轴沿着杆的
轴线。该杆线密度（单位长度的
质量）r =m/l，则单元体dx的质
量dm = r dx，于是
ò ò J y =
1
2 1
d 2
ö2 ÷ø
+
M2
æ çè
l
+
d 2
ö2 ÷ø
=
M
2
æ çè
3 8
d
2
+
l2
+
ld
ö ÷ø
JO
=
JO杆
+
J O盘
=
1 3
M
1l
2
+
M
2
æ çè
3 8
d
2
+ l2
+ ld
ö ÷ø
三 动量矩定理
23
5 相对于质心的动量矩定理
以上动量矩定理是在惯性系下的结论，其中的矩心、矩 轴必须为固定点和固定直线。
x2
rdx
=
-2
1 2 1 -2
x2
m l
dx
=
1 12
ml 2
ò ò J y¢ =
l (x¢)2 r dx¢ =
0
l 0
( x¢) 2
m l
dx¢
=
1 3
ml 2
三 动量矩定理
18
[例] 图中厚度相等的均质薄圆板的半径为R，质量为m，求圆
板对其直径轴的转动惯量。
解：设板的密度为ρ。将圆板分成无数
同心的单元圆环，则单元圆环的质量
J Czj&&

M
e
C

三 动量矩定理
27
质点系的动量矩定理总结如下表所示：
三 动量矩定理
28
【习题4-45】如图所示，均质杆OA，重为P，长为2l，绕过O端
的水平轴在铅直面内转动，转到φ角时，有角速度ω和角加速度 ε，则此时铰链O处的约束力T和N为( C )。
( A)
T
=
P(cosj
=
å
rri
´ mivri
即：质点系对任一固定点O的动量矩矢量为质点系 中各质点对固定点动量矩的矢量和。
三 动量矩定理
8
特别地：平动刚体的动量矩
z Mi vi
设平动刚体的质量为 m，质心
的速度为 vC。其上任一点Mi的质量 为m，i 速度为 vi ，则 vi = vC。任选
O
x
C
vC
y
一固定点HrOO=，å则rri 有´mivri = 由于 å mirri = mrrC ，所以
动力学部分
1
本部分主要内容 一、质点运动微分方程 二、动量定理 三、动量矩定理 四、动能定理 五、达朗伯原理 六、单自由度系统的振动
三 动量矩定理
2
均质轮受外力作用而绕 e 其质心O作定轴转动，它有
角速度和角加速度，但对于 w
F oy
o
Fox A
轮的动量为：
r P
=
mvrC
=
mvr O
=
0
外力的矢量和为：
-
l g
e ),
N
=
P(sin j
+
l g
w2)
(B)
T
=
-P(cosj
-
l g
e ),
N
=
-P(sin j
+
l g
w2)
(C )
T
=
P(cosj
-
l g
e ),
N
=
-P(sin j
+
l g
w2)
(D)
T
=
- P(cos j
-
l g
e ),
N
=
P(cosj
+
l g
w2)
分析：可直接根据刚体定轴转动的微分方程或达朗伯原理求。
三 动量矩定理
11
动量矩定理的投影形式
质系对于 x ，y，z 轴的动 量矩等于质系中各质点动 量对于 x ，y，z 轴动量矩 的代数和。
d
å ( ) dt
Hx
=
M
e x
=
d
å ( ) dt
Hy
=
M
e y
=
mx
Fi e
ü ï
ï
my
Fi e
ï ý
ï
å ( ) d
dt
Hz
=
M
e z
=
mz
Fi e
ï ïþ
[ HO ]x [HO ]y
30
【习题4-47】如图所示，均质圆盘重为W，半径为R：绳子绕过 圆盘，两端各挂重为Q和P的物块，绳与盘之间无相对滑动，且 不计绳重，则圆盘的角加速度为( D )。
( A)
e
=
2 g(Q RW
P)
(B)
e
=
2
g(Q + RW
P)
(C)
e
=
2g(Q + P) R(W + 2Q + 2P)
(D)
e
=
2g(Q - P) R(W + 2Q + 2P)
对z 轴的转动惯量
刚体对转动轴的动量矩等于刚体对
该轴的转动惯量与角速度的乘积。
( ) d
dt
(
J
zw
)
=
Smz
Fi(e)
J ze = M z
三 动量矩定理
14
Jz
d 2j dt 2
=
Mz
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程
说明：内力的影响为零，只需考虑外力矩
在所有外力中，由于约束力对z 轴的力矩为零，所以方程
方向垂直于矢径 r 与动量 mv 所形成的平
d
面，指向按右手法则确定，其大小为
Mr O (mvr) = mv r sin(r, mv) = mvd = 2DOAB 在国际单位制中，动量矩的单位是kg×m2×s-1。
三 动量矩定理
4
（2）质点动量矩定理
质点对固定点的动量矩对时间
z
mO (mv)
mv B
对一般的动点、动轴，定理有较为复杂的形式，上述结 论不适用。
但对一些特殊的动点和动轴，诸如质心、加速度瞬心等 动量矩定理依然具有类似惯性系下的简洁形式。
三 动量矩定理
24
质系相对质心的动量矩定理：在相
对随质心平动坐标系的运动中，质
系对质心的动量矩对于时间的一阶
导数，等于外力系对质心的主矩。
å dHr C
三 动量矩定理
29
【习题4-46】如图所示，均质杆AB，质量为M，长为l，A端连接
一质量为m的小球，并一起以角速度ω绕O轴转动，则此系统对
O轴的动量矩HO和动能T为( C )
( A)
HO
=
M
+ 9m 16
wl
2
,
T
=
7M
+ 27 96
m
w
2l
2
(B)
HO
=
M
+ 9m 16
wl
2
,
T
=
M
+9 32
m
w
三 动量矩定理
20
当物体由几个简单几何形状的物体组成时， 计算整体对某轴的转动惯量，可先分别计算每 一简单几何形体对同一轴的转动惯量（通常要 使用平行移轴定理），然后求和即可。如果物 体有空心部分，可把这部分的质量视为负值来 处理。
三 动量矩定理
21
例 钟摆简化模型如图。已知均质细杆和
均质圆盘的质量分别为M1和M2，杆长为 l ，圆盘直径为d ，求摆对于通过悬挂点O 的水平轴的转动惯量JO
(Hår Omi=rri )rr´C
vrC ´
mvrC
即：平动刚体对任一固定点的动量矩等于视刚体为
质量集中于质心的质点对该固定点的动量矩。
三 动量矩定理
9
（2）质点系对固定轴的动量矩
以固定点为原点，建立直角坐标系。将上式向各轴投影，
则有：
[ ] H x = [ ] H y = [ ] Hz =
å mrO (mivi ) å mrO (mivi ) å mrO (mivi )
4 转动惯量 （1）转动惯量的积分计算
ò J z = å miri2
Jz = r2dm
对于质量连续分布的刚体， 上式可写成积分形式
转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；同一 刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量 却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的 转动惯量。
全方位守恒 Smr（O Fie）= 0
特别地
Smr（O Fie）¹ Sm（x Fie）=
0üï
0
ý ïþ
r
HO Hx
¹ =
C C
üï ý ïþ
局部守恒
r HO = C
mO (mv) = r ´ mv
d
2
三 动量矩定理
13
3 刚体的定轴转动微分方程
Hz = Jzw
ò 其中： J z = Smiri2 = r 2dm
在国际单位制中，转动惯量的单位是：kgm2。
三 动量矩定理
16
在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为
ρz =
Jz m
JZ = mρ2
称为刚体对 z 轴的回转半径。显然ρ具有长度的单位。
回转半径的力学意义是：假想地将刚体的质量集中到一点处，该 点到转动轴的距离恒等于回转半径ρ的长度。
三 动量矩定理
解：摆对于水平轴的转动惯量即细长
杆的转动惯量和圆盘的转动惯量
JO = JO杆 + JO盘
应用平行轴定理，有
J O杆
=
J C杆
+
M1
æ çè
1 2
2
ö ÷ø
三 动量矩定理
22
J O杆
=
l 12
M
1l
2
+
M1
l2 4
=
1 3
M1l
2
JO盘
=
JC盘
+
M2
æ çè
l
+
d 2
ö2 ÷ø
\
J O盘
=
1 2
M2
æ çè
dm = ρ × 2πrdr
单元圆环对于中 心的转动惯量是
r2dm
ò ò J0 =
R r2dm =
0
R 0
r
2p
r 3dr
=
1 2
rp
R4
r
=
m p R2
Þ
JO
=
1 mR2 2
Jx
=
Jy
=
1 2
JO
=
1 mR2 4
3
三 动量矩定理
19
（2）平行移轴定理
J z' = J zC + Ml 2
刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质 量与此两轴间距离平方的乘积。
x = å mx (mivi ) y = å my (mivi ) z = å mz (mivi )
上式即定义为质点系对固定坐标轴的动量矩。 质点系对轴的动量矩为代数量
由此：质点系对任一固定轴的动量矩定义为质点 系中各质点对该固定轴动量矩的代数和。
三 动量矩定理
10
（3）质点系动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用在第i个质Βιβλιοθήκη Baidu上的力有内力