高中数学3-1-1倾斜角与斜率课件新人教A版必修

根据题意，画出图形，如图所示：
因为0° ≤α<180° ，显然A，B，C未分类讨论，均不全 面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0° ≤α<135° ，l1的倾斜角为α＋45° ； 当135° ≤α<180° 时，l1的倾斜角为45° ＋α－180° ＝α－ 135° . 故选D.
规律总结：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键 是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨 论．
[答案]
A
－3－5 k＝ ＝2. －1－3
[解析]
4．下列各组中的三点共线的是( A．(1,4)，(－1,2)，(3,5) B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3) 1 C．(1,0)，(0，－3)，(7,2) D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)
[错因分析]
当问题所给的对象不能进行统一研究时，就
需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出 每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第 一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、 负．也可以分为 m＝1，m>1，m<1 三种情况进行讨论．
[正解] 当 m＝1 时， 直线斜率不存在， 此时直线倾斜角为 α＝90° . 3－2 1 当 m≠1 时，由斜率公式可得 k＝ ＝ . m－1 m－1 1 ①当 m>1 时，k＝ >0，所以直线倾斜角的取值范围是 m－1 0° <α<90° . 1 ②当 m<1 时，k＝ <0，所以直线倾斜角的取值范围是 m－1 90° <α<180° .
升高量 坡度＝ ＝tanα. 前进量
3．α为锐角时 tan(180° －α)＝ －tanα . 4．几个特殊角的三角函数值： 3 tan30° ＝ 3 ；tan45° ＝ 1 ；tan60° ＝
3 ；tan120° ＝
3 － － 3 ；tan135° 3 . ＝ －1 ；tan150° ＝
5． 两 点确定一条直线．
A．α＋45° B．α－135° C．135° －α D．当0° ≤α<135° 时，倾斜角为α＋45° ；当 135° ≤α<180° 时，倾斜角为α－135°
[分析]
画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范
围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜 角在[0° ，180° )内．
[解析]
命题方向
已知两点坐标求倾斜角和斜率
[例2] 其倾斜角．
求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出
(1)(－3,0)，(－2， 3)； (2)(1，－2)，(5，－2)； (3)(3,4)，(－2,9)； (4)(3,0)，(3， 3)．
[解]
3－0 (1)直线的斜率k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
[例5] 求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出 倾斜角α的取值范围． 3－2 1 [错解] 由斜率公式可得直线AB的斜率k＝ ＝ . m－1 m－1 1 ①当m>1时，k＝ >0，所以直线的倾斜角的取值范围 m－1 是0° <α<90° ； 1 ②当m<1时，k＝ <0，所以直线的倾斜角的取值范围 m－1 是90° <α<180° .
下列四个命题中，正确的命题共有(
)
①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率； ②直线的倾斜角的取值范围是[0° ，180° ]； ③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α； ④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[答案]
A
[解析] 序号 ①、④ ② ③ 正误 × × × 理由 倾斜角为 90° 时，斜率不存在，故①、④不 正确 倾斜角的范围是[0° ，180° )，故②不正确 虽然直线的斜率为 tanα，但只有当 α∈[0° ， 180° )时，α 才是直线的倾斜角，故③不正确
阅读教材P82－86，回答下列问题． 1．倾斜角 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x 轴正向与直线l向 上 方向之间所成的角叫做 定义 直线l的倾斜角． 规 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线 定 的倾斜角为 0° .
记法
α
图示
范围
0° ≤α<180°
(1) 作用 (2)
用倾斜角表示平面直角坐标系内一条 直线的 倾斜程度 确定平面直角坐标系中一条直线位置 的几何要素是：直线上的一个定点以 及它的 倾斜角 ，二者缺一不可
[破疑点]理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴 正向；②直线向上的方向；③小于180° 的非负角．
给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；② 一条直线的倾斜角可以为－30° ；③倾斜角为0° 的直线只有一 条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合 {α|0° ≤α<180° }与直线集合建立了一一映射关系．其中正确命 题的个数是( A．1
总结评述：充分挖掘题目中条件的相互联系，是正确解 题的前提条件．
(1)直线l1的倾斜角α1＝30° ，若直线l2的倾斜角与直线l1的 倾斜角相等，则直线l2的斜率为________． (2)直线l1的倾斜角α1＝30° ，若直线l2的倾斜角与直线l1的 倾斜角互补，则直线l2的斜率为________．
又P1，P2，P3都在此直线上， 1－y1 1－5 故kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得x2＝7，y1 3－2 3－x2 ＝0.
(2011－2012· 九江高一检测)若点A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)三 点共线，求a的值．
[解析]
∵A、B、C三点共线，
5－1 7－1 ∴kAB＝kAC，∴ ＝ 3－1 a－1 ∴a＝4.
[答案] B
一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角 为α(0° <α<90° )，则其倾斜角为( A．α C．180° －α或90° －α
[答案] D
)
B．180° －α D．90° ＋α或90° －α
[解析]
如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角
为90° ＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90° －α. 故选D.
1．如下图，直线l的倾斜角为(
)
A．45° C．0°
[答案] B
B．135° D．不存在
2．已知直线l的倾斜角α＝30° ，则其斜率k的值为( A．0 C．1
[答案] B
3 k＝tanα＝tan30° ＝3.
)
3 B. 3 D. 3
[解析]
3．已知P1(3,5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k等于 ( ) A．2 B．1 1 C. 2 D．不存在
[答案] A
) B．2 C．3 D．4
[解析] 序号 正误 ① ② ③ √ × × 理由 任何直线都有唯一的倾斜角，故①正确 倾斜角的范围是[0° ，180° )，故②错误 所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角 都是0° ，故③错误 倾斜角相同的直线有无数条，不是一一 映射关系，故④错误
④
×
2.斜率(倾斜角为α) 定 义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这 条直线的斜率
命题方向
三点共线问题
[例3]
已知某直线l的倾斜角α＝45° ，又P1(2，y1)，
P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． [分析] 题中直线的倾斜角已知，且三点在同一条直线
上，故可考虑根据点与斜率及其倾斜角之间的关系求解．
[解析]
∵α＝45° ，∴直线l的斜率k＝tan45° ＝1，
[例4]
如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30° ，直线l1与l2
垂直，求l1、l2的斜率．
[解析]
3 直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30° ＝3.
∵直线l2的倾斜角α2＝90° ＋30° ＝120° ， ∴直线l2的斜率 k2＝tan120° ＝tan(180° －60° )＝－tan60° ＝－ 3.
新课引入
解析几何学的奠基人笛卡尔曾在拿破仑军中服役，当时 笛卡尔是一名炮兵，他当时非常想解决一个问题，即如何将 炮打得更准一些．通过研究发现，炮弹的飞行轨迹与炮筒的 仰角有很大关系，但是如何进行计算呢？或者说如果把炮筒 看成直线，那么这种仰角应如何表示呢？这就是我们本节将 要研究的解析几何第一节——直线的倾斜角与斜率．
来自百度文库
规律总结：已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求倾斜角 和斜率的步骤：(1)当x1＝x2时，倾斜角α＝90° ，斜率不存在； y1－y2 y2－y1 (2)当x1≠x2时，先求斜率k＝ ＝ ，再根据k的值确定 x1－x2 x2－x1 倾斜角α的大小．
已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2， 3＋1)． (1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角． (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化 范围．
α＝90° 斜率不存在 记法 范围 k，即k＝ tanα
R
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直 公
y2－y1 式 线的斜率公式为k＝ x2－x1
作 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 用 倾斜程度
[破疑点]①当倾斜角是90° 时，直线的斜率不存在，并不 是直线不存在，此时，直线垂直于x轴； ②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜 率； ③直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程 度．当0° ≤α<90° 时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当 90° <α<180° 时，斜率越大，倾斜角也越大； ④k>0⇔0° <α<90° ；k＝0⇔α＝0° ；k<0⇔90° <α<180° ；k不 存在⇔α＝90° .
第三章
3． 1 直线的倾斜角与斜率
课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
y 1．在直角三角形中，当内角α为锐角时，sinα＝ r ，cosα＝ y x r ，tanα＝ x ，其中x、y分别为角α的邻边、对边，r为斜边．
温故知新
2．日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表 示倾斜面的“坡度”(倾斜程度)，如图，即
规律总结：(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条 件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重 合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0 逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－ ∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定 量求解斜率和倾斜角的取值范围.
[答案]
3 (1) 3
3 (2)－ 3
[解析]
3 (1)k2＝k1＝tan30° ＝3
3 (2)k2＝tan(180° －30° )＝－ 3 .
易错点 注意90° 倾斜角 直线的斜率是指其倾斜角α的正切值，当α＝90° 时，其正 切值tanα是没有意义的，这时，我们认为直线的斜率不存在， 在解题时，切莫忽视这一点．
此直线的斜率为 3，倾斜角为60° . －2＋2 (2)直线的斜率k＝ ＝0，此直线的斜率为0，倾斜角 5－1 为0° . 9－4 (3)直线的斜率k＝ ＝－1＝tan135° ， －2－3 此直线的斜率为－1，倾斜角为135° . (4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为 90° .
tan60° ＝ 3， ∴BC的倾斜角为60° . 3 tan30° ＝3， ∴AC的倾斜角为30° .
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线 CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即 D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为 3 [ 3 ， 3]．
如果过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，那么m 的值为( A．1 C．1或3
[答案] A
4－m 由斜率公式k＝ ＝1，∴m＝1. m＋2
) B．4 D．1或4
[解析]
命题方向
直线的倾斜角的理解
[例1]
设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l
绕坐标原点按逆时针方向旋转45° ，得到直线l1，那么l1的倾 斜角为( )
[分析]
y2－y1 (1)利用k＝ 及k＝tanα求解； x2－x1
(2)先求出AC、BC斜率，进而求出k的范围．
[解析]
(1)由斜率公式得
1－1 3＋1－1 kAB＝ ＝0.kBC＝ ＝ 3. 1－－1 2－1 3＋1－1 3 kAC＝ ＝3. 2－－1 倾斜角的取值范围是0° ≤α<180° . 又∵tan0° ＝0， ∴AB的倾斜角为0° .