华师大版-数学-八年级上册-数形结合理解整式的乘法

合集下载

华师大版-数学-八年级上册-整式的乘法课标解读

初中-数学-打印版整式的乘法课标解读一、课标要求整式的乘法是在学生学习了有理数的乘法和整式的加减知识基础上，学习的“式”的一种运算，是对数的运算的一种延伸．整式的乘法是初中数学的重要内容，整式的乘法有三种类型：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，其中多项式的乘法要转化为单项式的乘法，单项式的乘法要转化为幂的运算，而幂的运算以同底数幂的乘法为基础．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“整式的乘法”一节提出的教学要求是：能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）．二、课标解读1．单项式的乘法法则是建立在幂的运算性质的基础上，借助有理数的乘法法则及乘法的运算律，通过类比数的运算而得到的，同时它又是后面学习多项式的乘法的基础，所以单项式的乘法在这一节内容中起着承上启下的作用．2．对于单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，教材都是通过几何图形的面积问题引入课题，然后分别转化，将单项式乘以多项式的问题转化为单项式乘以单项式的问题，将多项式乘以多项式的问题转化为单项式乘以多项式的问题，从而将整式的乘法最终统一为一个问题：单项式乘以单项式，化解知识的学习难度．3．整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分，是今后学习因式分解、整数指数幂、分式运算等内容的基础，由于《义务教育数学课程标准（2011年版）》没有单独的相关说明，教材是在学习整式的乘法后，从逆运算角度介绍的除法的相关内容，主要包括同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式等．4．本节内容，转化思想、类比思想、整体思想等数学思想都得到了非常突出的体现，从特殊到一般、从一般到特殊的研究问题的数学方法也贯穿整节内容的始终，教学过程中应引导学生充分体会蕴含的这些思想方法，提高学生的探索能力和学习能力．5．本节内容是在数的运算基础上学习式的有关运算，学生经历了从数到字母的抽象过程，在学习过程中，应让学生充分认识到数式通性的特点，化解学生的学习难度．初中-数学-打印版。

(完整版)数形结合理解整式的乘法公式

数形结合理解整式的乘法我们已经学习了整式的乘法和乘法公式，并且都知道了字母表示的法则，那么你能了解这些法则的几何意义吗？会验证这些法则吗？为了帮助同学们能熟练掌握，现逐一验证如下，供参考：一、单项式乘以多项式如图1，大长方形的面积从整体看为S=m （a +b +c ），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S ＝S 1+S 2+S 3＝ma +mb +mc ；于是有m （a +b +c ）＝ma +mb +mc 。

从而验证了单项式与多项式相的法则。

二、多项式乘以多项式如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b ）（m+n ），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S ＝S 1+S 2+S 3+S 4＝ma +mb +na +nb ；于是有（a+b ）（m+n ）＝ma +mb +na +nb .从而验证了多项式与多项式相乘的法则。

三、平方差公式如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2；若把小长方形S 4旋转到小长方形S 3的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S 1+S 2+ S 3＝(a +b )(a －b )。

从而验证了平方差公式(a +b )(a －b )＝a 2－b 2。

如图5：将边长为b 的小正方形放到边长为a 的正方形的一角，空白部分的面积从整体计算为a 2－b 2；而如果从局部考试，其面积可以看作为两个梯形S 1+S 2之和，其面积为()()()()))((22b a b a b a b a b a b a -+=-++-+。

从而也验证了平方差公式(a +b )(a －b )＝a 2－b 2。

四、完全平方公式如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a +b )2，从局部可以表示为也可以表示为S ＝S 1+ S 2+ S 3+S 4，同时S ＝a 2+ab +ab +b 2＝a 2+2ab +b 2，从而验证了完全平方公式(a +b )2＝a 2+2ab +b 2。

华师大版八年级数学上册《整式的乘法》知识点归纳-精选文档

华师大版八年级数学上册《整式的乘法》知识点归纳查字典数学网为大家整理了整式的乘法知识点归纳，供大家参考和学习，希望对大家的学习和成绩的提高有所帮助。

整式的乘除知识点归纳：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如：?2abc的系数为?2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：a?2ab?x?1，项有a、?2ab、x、1，二次项为a、?2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升(降)幂排列：如：x3?2x2y2?xy?2y3?1按x的升幂排列：?1?2y3?xy?2x2y2?x3按x的降幂排列：x?2xy?xy?2y?15、同底数幂的乘法法则：a?a?amnm?n22223223(m,n都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：(a?b)?(a?b)?(a?b)6、幂的乘方法则：(a)?amnmn235(m,n都是正整数)5210幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：(?3)?3幂的乘方法则可以逆用：即amn?(am)n?(an)mab62332如：4?(4)?(4) 已知：2?3，32?6，求23a?10b的值;7、积的乘方法则：(ab)?ab(n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：(?2xyz)=(?2)?(x)?(y)?z??32xyz32553525515105nnn看了上文为大家整理的整式的乘法知识点归纳是不是感觉轻松了许多呢?一起与同学们分享吧.。

华东师大版数学八年级上册12.2《整式的乘法》主要知识点解读

《整式的乘法》主要知识点解读1．单项式乘以单项式：法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

解读：（1）单项式的乘法可分为三步：①把它们的系数相乘，包括符号的计算；②同底数幂相乘；③单独字母的处理。

三部分的乘积作为计算的结果。

（2）积的系数等于各系数的积，这部分是有理数的乘法运算，应先确定符号再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按法则进行计算；注意不要把只在一个单项式中含有的字母去掉。

（3）单项式与单项式相乘其结果仍是单项式。

2．单项式乘以多项式：法则：单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加。

即()(,,,)m a b c am bm cm m a b c ++=++都是单项式。

解读：（1）单项式与多项式相乘，实质上是将单项式看成一个整体对多项式运用乘法分配律。

（2）单项式乘以多项式，结果是一个多项式，其项数与多项式的项数相同，计算时要注意符号问题，多项式中的每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

3．多项式乘以多项式：法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

解读：（1）运用多项式乘法法则，必须做到不重不漏，为此相乘时，要按一定的顺序进行，例如)m+⋅+，可先用第一个多项式中的每一项去乘第n+)(c(ba二个多项式，得)abn++(c⋅，再用单项式乘多项式的法则展开（实b⋅与)a(c+m+际上是转化成单项式乘多项式）。

（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并之前，积的项数应该是两个多项式项数之和。

（3）整式的乘法运算的结果一定注意要合并同类项。

八年级数学上册 12.2 整式的乘法数形结合理解整式的乘法素材 (新版)华东师大版

数形结合理解整式的乘法
我们已经学习了整式的乘法和乘法公式，并且都知道了字母表示的法则，那么你能了解这些法则的几何意义吗？会验证这些法则吗？为了帮助同学们能熟练掌握，现逐一验证如下，供参考：
一、单项式乘以多项式
如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc；于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。

从而验证了单项式与多项式相的法则。

二、多项式乘以多项式
如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb；于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb.从而验证了多项式与多项式相乘的法则。

华东师大初中数学八年级上册整式的乘法(基础)知识讲解[精品]

整式的乘法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】【高清课堂 397531 整式的乘法知识要点】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘【高清课堂397531 整式的乘法例1】1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭；（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭；（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．【答案与解析】解：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦442a b c =-．（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭ 121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅- 232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅- 22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦ 3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉．举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）．【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3）=2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭；（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭；【答案与解析】解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232221233a b a b ab =-+-．（2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ 2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42332444235a b a b a b =--+．【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．举一反三：【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【答案】解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭ 26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-．【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+= 因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-；（2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+- 322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2016春•长春校级期末）若（x +a ）（x +2）=x 2﹣5x +b ，则a +b 的值是多少？【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可．【答案与解析】解：（x +a ）（x +2）=x 2+（a +2）x +2a ，则a +2=﹣5，2a=b ，解得，a=﹣7，b=﹣14，则a +b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．解：22912689(6)x x x x x -+->+-， 229689954x x x x -->+-，229699854x x x x --->-，1546x ->-，4615x <． ∴ x 取非负整数为0，1，2，3．。

华东师大初中数学八年级上册《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

《整式的乘除》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.22()()a b a b a b +-=-要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=- 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项考虑完全平方；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、计算下列各题：（1）2334(310)(10)⨯⨯- （2）2332[3()][2()]m n m n +-+（3）26243(2)(3)xy x y -+- （4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+- 【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.【答案与解析】解：（1）2334(310)(10)⨯⨯-323343(10)(10)=⨯⨯18192710 2.710=⨯=⨯．（2）2332[3()][2()]m n m n +-+36263()(2)()m n m n =⋅+⋅-⋅+ 661227()4()108()m n m n m n =+⋅+=+．（3）26243(2)(3)xy x y -+- 6661233612(1)2(1)3x y x y =-⋅⋅+-⋅612612612642737x y x y x y =-=．（4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-6662232366(1)2(1)3()(1)(2)a a a =-⋅--⋅⋅+-⋅6666649649a a a a =--=-．【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．举一反三：【变式】当41=a ，b ＝4时，求代数式32233)21()(ab b a -+-的值．【答案】解：333223363636611771()()45628884a b ab a b a b a b ⎛⎫-+-=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭. 类型二、整式的乘除法运算2、（2016春•保山期末）计算：（2a ﹣b ）2﹣（8a 3b ﹣4a 2b 2）÷2ab ．【思路点拨】先计算完全平方式和多项式除以单项式，再去括号、合并同类项即可得．【答案与解析】解：原式=4a 2﹣4ab +b 2﹣（4a 2﹣2ab ）=4a 2﹣4ab +b 2﹣4a 2+2ab=b 2﹣2ab ．【总结升华】本题主要考查完全平方式和整式的除法，熟记完全平方公式和多项式除以单项式的法则是关键．3、已知312326834m n ax y x y x y ÷=，求(2)n m n a +-的值．【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到m n a 、、的值即可代入求值．【答案与解析】解：由已知312326834m n ax y x y x y ÷=，得31268329284312m n n ax y x y x y x y +=⋅=，即12a =，39m =，2812n +=，解得12a =，3m =，2n =．所以22(2)(23212)(4)16n m n a +-=⨯+-=-=．【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到m n a 、、的值. 举一反三：【变式】（1）已知1227327m m -÷=，求m 的值．（2）已知1020a =，1105b =，求293a b ÷的值．（3）已知23m =，24n =，求322m n -的值．【答案】解：（1）由题意，知312(3)327m m -÷=．∴ 3(1)2333m m --=．∴ 3323m m --=，解得6m =．（2）由已知1020a =，得22(10)20a =，即210400a =．由已知1105b =，得211025b =． ∴ 221101040025a b ÷=÷，即2241010a b -=．∴ 224a b -= ∴ 22222493333381a b a b a b -÷=÷===．（3）由已知23m =，得3227m =．由已知24n =，得2216n =． ∴ 32322722216m n m n -=÷=．类型三、乘法公式4、对任意整数n ，整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数？为什么？【答案与解析】解：∵(31)(31)(3)(3)n n n n +---+22222(3)1(3)919n n n n =---=--+22101010(1)n n =-=-，210(1)n -是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．【总结升华】要判断整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．举一反三：【变式】解下列方程(组)：22(2)(4)()()32x y x y x y x y ⎧+-+=+-⎨-=-⎩【答案】解：原方程组化简得2332x y x y -=⎧⎨-=-⎩，解得135x y =⎧⎨=⎩．5、已知3a b +=，4ab =-，求： (1)22a b +；(2)33a b +【思路点拨】在公式()2222a b a ab b +=++中能找到22,,a b ab a b ++的关系. 【答案与解析】解：(1) 222222a b a ab b ab +=++- ()22a b ab =+-∵3a b +=，4ab =-，∴()22232417a b +=-⨯-=(2)333223a b a a b a b b +=+-+ ()()()2a a b b a b a b =+-+-()()22a b a ab b =+-+()()2[3]a b a b ab =++-∵3a b +=，4ab =-，∴()332333463a b ⎡⎤+=-⨯-=⎣⎦. 【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.类型四、因式分解6、分解因式：（1）2(1)(1)a b a -+- （2）22(33)(35)1x x x x +++++．【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的方法，通过观察发现：将相同的部分23x x +作为一个整体，展开后再进行分解就容易了．【答案与解析】解：（1）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-．（2）22(33)(35)1x x x x +++++22[(3)3][(3)5]1x x x x =+++++ 222(3)8(3)16x x x x =++++22(34)x x =++．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．举一反三：【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1．【答案】解：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）=（a+b）2（a﹣b）2；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1 =（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2．。

华师大版八年级上册数学第十二章整式的乘除与因式分解复习课件

7、平方差公式:
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即: (a+b)(a−b)= a2−b2
例8 用平方差公式计算:（x+2y)(x-2y) 解：原式＝ x2 - (2y)2
＝x2 - 4y2 练习：运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y)；（4）2007×2013.
1 3
m 2n（4）30a5
4a 4
6a 3
例6 先化简再求值:
x2 (x2 x 1) x(x3 x2 x 5)，其中x 1 .
x5 答案：化简得：
1 值为：5
25
6、多项式与多项式相乘的法则:
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
例7 计算： (1)(3x+1)(x+2)
推广：(abc)n = anbncn(n为正整数)
逆用： anbncn = (abc)n
4、单项式与单项式相乘的法则:
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4 计算：(1) (-5a2b)(-3a); (2) (2x)3(-5xy2).
例9 化简：(x y)( x y)( x2 y2 )(x4+y4 )
8、完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍.即：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
例9、运用完全平方公式计算：

华师大版八年级数学上册第12章整式的乘除整合【新版】

专训一：整体思想在整式乘除运算中的应用名师点金：解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．幂的运算中的整体思想1．已知2x ＋5y －3＝0，求4x ·32y 的值．乘法公式运算中的整体思想类型1 化繁为简整体代入2．已知a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，求式子a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值．类型2 变形后整体代入3．已知x ＋y ＝4，xy ＝1，求式子(x 2＋1)(y 2＋1)的值．4．已知a －b ＝b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，求ab ＋bc ＋ca 的值．5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 016的值．6．已知(2 016－a)(2 014－a)＝2 015，求(2 016－a)2＋(2 014－a)2的值．多项式乘法运算中的整体思想类型1大数中的换元7．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小．类型2多项式中的换元8．计算：(a1＋a2＋…＋a n－1)(a2＋a3＋…＋a n－1＋a n)－(a2＋a3＋…＋a n－1)(a1＋a2＋…＋a n)(n≥3，且n为正整数)．专训二：因式分解的七种常见用途名师点金：因式分解是整式恒等变形中的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．用于简便计算1．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142·…·(1－1102)·(1－1112)．用于化简求值3．已知2x －3＝0，求式子x(x 2－x)＋x 2(5－x)－9的值．用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，比较A与B的大小．用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长大96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积大960 cm2，请你分别求出这两个正方形的边长．用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．专训三：整式的乘除中的几种热门考点名师点金：本章的主要内容有幂的运算，整式的乘除法，乘法公式，以及利用提公因式法和公式法分解因式等，在考试中，常常与数的运算、式子的化简求值、几何等知识综合在一起考查．中考中一般以基础题为主．幂的运算1．(2015·临沂)下列计算正确的是()A．a2＋a2＝2a4B．(－a2b)3＝－a6b3C．a2·a3＝a6D．a8÷a2＝a42．计算：(1)(－a2b)2＝________；(2)42 016×(－0.25)2 017＝________．3．已知：3x＋5y＝8，求8x·32y的值．整式的乘除运算4．下列计算结果是x2－6x＋5的是()A．(x－2)(x－3) B．(x－6)(x＋1)C．(x－1)(x－5) D．(x＋6)(x－1)5．若(－2x2)(3x2－ax－6)－3x3＋x2的结果中不含x的三次项，则a＝________．6．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘(x－2y)错抄成除以(x －2y)，结果得到3x，则第一个多项式是什么？正确的结果应该是什么？7．先化简，再求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x－52y)，其中x＝－1，y＝2.乘法公式的运用8．下列计算正确的是()A．(－x－y)(x＋y)＝x2－y2B．(x－y)2＝x2－y2C．(x＋3y)(x－3y)＝x2－3y2D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y29．运用乘法公式计算：(1)(m－2n＋3)(m＋2n－3)；(2)(a－3b＋2)2.10．(2014·绍兴)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.11．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求下列各式的值：(1)x 2＋y 2； (2)x 2－xy ＋y 2； (3)(x －y)2.利用提公因式法和公式法分解因式12．将下列各式分解因式：(1)2a 3b 2c ＋4ab 3c －abc ；(2)x 2＋4x ＋4；(3)(2a ＋b)(2a －b)＋b(4a ＋2b)；(4)x2(x－y)＋(y－x)；(5)3ax2－6axy＋3ay2.整式乘除的应用13．已知(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，求3xy－1的值．14．已知n是整数，试说明(2n＋1)2－1能被8整除．(第15题)15．(2014·青海)如图，长和宽分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．16．△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．17．一天，小明在纸上写了一个算式：4x 2＋8x ＋11，并对小刚说：“无论x 取何值，这个式子的值都是正值，不信你试一试！”小刚动笔演算许多次，结果正如小明所说．小刚很困惑，你能运用所学的知识说明一下其中的道理吗？数学思想方法的应用a ．转化思想18．若2x ＝3，4y ＝5，则2x －2y 的值是( )A .35B ．－2C .355D .65b ．整体思想19．若m ＋n ＝3，则2m 2＋4mn ＋2n 2－6的值为( )A ．12B ．6C ．3D ．0c ．换元思想20．计算：2 0153－2 014×2 015×2 016.答案专训一1．解：4x ·32y ＝(22)x ·(25)y ＝22x ·25y ＝22x ＋5y .因为2x ＋5y －3＝0，所以2x ＋5y ＝3，所以原式＝23＝8.点拨：本题运用了整体思想和转化思想．2．解：由a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，可得a －b ＝－2，b －c ＝－2，c －a ＝4.从而a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]＝12×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝12×24＝12.3．解：(x 2＋1)(y 2＋1)＝x 2y 2＋x 2＋y 2＋1＝(xy)2＋(x ＋y)2－2xy ＋1.把x ＋y ＝4，xy ＝1整体代入，原式＝12＋42－2×1＋1＝16.4．解：由a －b ＝b －c ＝35，可以得到a －c ＝65.由(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca)，得到ab ＋bc ＋ca ＝(a 2＋b 2＋c 2)－12[(a －b)2＋(b－c)2＋(a －c)2]．将a 2＋b 2＋c 2，a －b ，b －c 及a －c 的值整体代入，可得ab ＋bc＋ca ＝1－12×[(35)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652]＝1－12×5425＝－225. 5．解：因为a 2＋a －1＝0①，所以将等式两边都乘a ，可得a 3＋a 2－a ＝0②.将①②相加，得a 3＋2a 2－1＝0，即a 3＋2a 2＝1.所以a 3＋2a 2＋2 016＝1＋2 016＝2 017.6．解：(2 016－a)2＋(2 014－a)2＝[(2 016－a)－(2 014－a)]2＋2(2 016－a)(2 014－a)＝22＋2×2 015＝4＋4 030＝4 034.点拨：本题运用乘法公式的变形x 2＋y 2＝(x －y)2＋2xy ，结合整体思想求解，使计算简便．7．解：设123 456 788＝a ，则123 456 789＝a ＋1，123 456 786＝a －2，123 456 787＝a －1.从而M ＝(a ＋1)(a －2)＝a 2－a －2，N ＝a(a －1)＝a 2－a.所以M －N ＝(a 2－a －2)－(a 2－a)＝－2＜0，所以M ＜N.8．解：设a 2＋a 3＋…＋a n －1＝M ，则原式＝(a 1＋M)(M ＋a n )－M(a 1＋M ＋a n )＝a 1M ＋a 1a n ＋M 2＋a n M －a 1M －M 2－a n M ＝a 1a n .点拨：本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如此题，在观察时能发现a 2＋a 3＋…＋a n －1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M ，问题就简化了，体现了整体思想的运用．专训二1．解：2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.2．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12(1＋13)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13(1＋14)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14·…·(1＋110)(1－110)(1＋111)(1－111)＝32×12×43×23×54×34×…×1110×910×1211×1011＝12×1211＝611.3．解：原式＝x 3－x 2＋5x 2－x 3－9＝4x 2－9＝(2x ＋3)(2x －3)．当2x －3＝0时，(2x ＋3)(2x －3)＝0.4．解：所得的差一定能被9整除．理由：设该两位数个位上的数字是b ，十位上的数字是a ，且a ≠b ，则这个两位数是10a ＋b.将十位数字与个位数字对调后的数是10b ＋a ，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是|10a ＋b －(10b ＋a)|＝9|a －b|，所以所得的差一定能被9整除．5．解：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0.即a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0.∴(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0.又∵(a －b)2≥0，(b －c)2≥0，(a －c)2≥0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，即a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．6．解：B －A ＝a 2＋a －7－a －2＝a 2－9＝(a ＋3)(a －3)．因为a ＞2，所以a ＋3＞0，从而当2＜a ＜3时，a －3＜0，所以A ＞B ；当a ＝3时，a －3＝0，所以A ＝B ；当a ＞3时，a －3＞0，所以A ＜B.7．解：设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960.②由①得x －y ＝24，③由②得(x ＋y)(x －y)＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40.⑤由③⑤得方程组⎩⎨⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝8.答：大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm .点拨：根据目前我们所学的知识，还无法解方程组⎩⎨⎧4x －4y ＝96，x 2－y 2＝960，但是我们可以利用因式分解，把这个问题转化为解关于x ，y 的二元一次方程组的问题．8．解：规律：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.理由如下：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n(n ＋1)]2＋2n(n ＋1)＋1＝[n(n ＋1)＋1]2＝(n 2＋n ＋1)2.专训三1．B2．(1)a 4b 2 (2)－0.253．解：8x ·32y ＝23x ·25y ＝23x ＋5y ＝28＝256.4．C 5.326．解：第一个多项式是3x(x －2y)＝3x 2－6xy.正确的结果是(3x 2－6xy)(x －2y)＝3x 3－12x 2y ＋12xy 2.7．解：原式＝2(4x 2－1)＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝8x 2－2＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝－3x 2－25xy －2.当x ＝－1，y ＝2时，原式＝－3×(－1)2－25×(－1)×2－2＝45.8．D9．解：(1)原式＝[m －(2n －3)][m ＋(2n －3)]＝m 2－(2n －3)2＝m 2－(4n 2－12n ＋9)＝m 2－4n 2＋12n －9.(2)原式＝[(a －3b)＋2]2＝(a －3b)2＋4(a －3b)＋4＝a 2－6ab ＋9b 2＋4a －12b ＋4.10．解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2.当a＝1，b＝－12时，原式＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＝54.11．解：(1)x2＋y2＝x2＋2xy＋y2－2xy＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23.(2)x2－xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－3xy＝(x＋y)2－3xy＝32－3×(－7)＝30.(3)(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－4xy＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7)＝37.12．解：(1)原式＝abc(2a2b＋4b2－1)．(2)原式＝(x＋2)2.(3)原式＝(2a＋b)(2a－b)＋2b(2a＋b)＝(2a＋b)(2a－b＋2b)＝(2a＋b)2.(4)原式＝x2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x2－1)＝(x－y)(x＋1)(x－1)．(5)原式＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2.13．解：由(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，可得x2＋2xy＋y2＝5①，x2－2xy＋y2＝3②.①－②得4xy＝2，∴xy＝1 2.∴3xy－1＝3×12－1＝12.14．解：(2n＋1)2－1＝[(2n＋1)＋1][(2n＋1)－1]＝2(n＋1)·2n＝4n·(n＋1)．因为n是整数，所以n与n＋1是两个连续的整数，而两个连续的整数中必有一个偶数，所以n·(n＋1)能被2整除，所以4n·(n＋1)能被8整除．故(2n＋1)2－1能被8整除．点拨：要说明(2n＋1)2－1能被8整除，只要将此式因式分解，说明各因式的积能被8整除即可．15．7516．解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(a－c)(1＋2b)＝0.∵1＋2b＞0，∴a＝c.∴△ABC为等腰三角形．17．解：∵4x2＋8x＋11＝4(x2＋2x＋1)＋7＝4(x＋1)2＋7，且(x＋1)2≥0，∴4(x ＋1)2＋7≥7.即无论x取何值，4x2＋8x＋11的值都是正值．18．A19.A20．解：设2 015＝a，则原式＝a3－(a－1)·a·(a＋1) ＝a3－a(a2－1)＝a3－a3＋a＝a＝2 015.。

华师大版数学八年级上册12.2《整式的乘法》教学设计

华师大版数学八年级上册12.2《整式的乘法》教学设计一. 教材分析《整式的乘法》是华师大版数学八年级上册第12章第2节的内容。

本节内容主要介绍了整式乘法的基本概念和运算法则，包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等。

通过本节的学习，学生能够掌握整式乘法的基本运算方法，并为后续的因式分解、方程求解等知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了整数、分数和小数的四则运算，具备了一定的代数基础。

但是，对于整式乘法这种抽象的运算，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生从具体的事物中抽象出整式乘法的概念，并通过大量的练习来巩固和提高。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握整式乘法的基本概念和运算法则，能够熟练地进行整式乘法的运算。

2.过程与方法：通过实例演示和练习，让学生体会从具体到抽象的过程，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的决心。

四. 教学重难点1.重点：整式乘法的基本概念和运算法则。

2.难点：整式乘法的运算过程和技巧。

五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，通过引导学生提出问题、分析问题、解决问题的过程，让学生主动参与到学习中来。

同时，运用“小组合作”的教学方法，让学生在小组内进行讨论和交流，共同完成学习任务。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，内容包括整式乘法的概念、运算法则、实例演示等。

2.练习题：准备一些整式乘法的练习题，包括不同类型的题目，以便学生在课堂上进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际生活中的例子，如面积计算、体积计算等，引导学生提出问题：如何计算这些图形的面积或体积？通过问题的提出，让学生思考和感受整式乘法的实际意义。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现整式乘法的概念和运算法则，通过简洁的语言和生动的例子，让学生理解和掌握整式乘法的运算方法。

华师大版八年级数学上册《整式的乘法》知识点归纳

华师大版八年级数学上册《整式的乘法》知识点归纳整式的乘除知识点归纳：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如：#61485;2abc的系数为#61485;2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：a#61485;2ab#61483;x#61483;1，项有a、#61485;2ab、x、1，二次项为a、#61485;2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升(降)幂排列：如：x3#61485;2x2y2#61483;xy#61485;2y3#61485;1按x的升幂排列：#61485;1#61485;2y3#61483;xy#61485;2x2y2#61483;x3 按x的降幂排列：x#61485;2xy#61483;xy#61485;2y#61485;15、同底数幂的乘法法则：a#61623;a#61501;amnm#61483;n22223223(m,n都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：(a#61483;b)#61623;(a#61483;b)#61501;(a#61483;b)6、幂的乘方法则：(a)#61501;amnmn235(m,n都是正整数)5210幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：(#61485;3)#61501;3幂的乘方法则可以逆用：即amn#61501;(am)n#61501;(an)mab62332如：4#61501;(4)#61501;(4) 已知：2#61501;3，32#61501;6，求23a#61483;10b的值;7、积的乘方法则：(ab)#61501;ab(n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。

华师大版八年级数学上册《整式的乘法》评课稿

华师大版八年级数学上册《整式的乘法》评课稿一、前言《整式的乘法》是华师大版八年级数学上册中的一个重要章节，该章节主要介绍了整式的乘法原则及运算方法。

通过学习这一章节，学生能够掌握整式的乘法运算技巧，进一步提高他们的数学运算能力和逻辑思维能力。

本评课稿旨在对该章节的教学进行全面评价，从教学目标、教学设计、教学方法、学情分析和教学效果等方面进行详细分析和总结。

二、教学目标1. 知识与技能目标•理解整式的乘法规则，掌握整式的乘法运算法则；•能够运用整式的乘法法则解决实际问题；•掌握简化整式的乘法结果的方法；•理解整式的性质及应用。

2. 过程与方法目标•培养学生分析问题和解决问题的能力；•培养学生的合作学习和自主学习意识；•促进学生的探究精神和创新思维。

3. 情感态度价值观目标•培养学生对数学学科的兴趣和学习动力；•培养学生的逻辑思维和数学思维能力；•培养学生的细致观察和耐心分析问题的能力。

三、教学设计1. 教学内容本章教学内容包括：•整式的乘法原则及运算法则；•整式的乘法应用；•整式的性质及应用。

2. 教学步骤步骤一：导入新知识通过一个与学生生活相关的情境案例，引导学生思考什么是整式、整式的乘法规则是什么，并激发学生对整式的乘法的兴趣。

步骤二：引入整式的乘法规则通过示例演示和学生参与，引入整式的乘法法则，重点讲解同底数乘法、同底数幂相乘、同底数乘积的乘方等规则，解释乘法规则的意义和应用。

步骤三：练习与巩固设计一些练习题，让学生分组完成，加深对整式乘法法则的理解和掌握程度，并鼓励学生解释答案背后的原理。

同时，教师要及时给予肯定和指导，纠正学生的错误。

步骤四：整式的乘法应用通过实际问题的引入，设计一些情景题，让学生应用整式的乘法法则解决问题。

引导学生进行思维拓展，培养他们的实际问题解决能力。

步骤五：梳理知识点对本节课的知识点进行总结，让学生复述整式的乘法规则及应用。

并提供简化整式的乘法结果的方法和技巧。

3. 教学手段•教师讲解；•学生参与互动；•分组讨论；•板书等。

华东师大版八年级上册数学课件1整式的乘法(第2课时)单项式与多项式相乘

=-6a3b2+10a3b3.
随堂即练
1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的_每__一__项___, 再把所得的积_相__加_____.
2.4（a-b+1)=_____4_a_-_4_b_+_4_____. 3.3x（2x-y2)=______6_x_2-_3_x_y_2 _____.
4.（2x-5y+6z)(-3x) =__-6_x_2_+_1_5_x_y_-_1_8_xz___.
12.2 整式的乘法
第2课时单项式与多项式相乘九江一中数学组
单项式与多项式相乘
a
b
c
p
p
p
把它们看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为__p_a__、__p_b__、__p_c__.
a p
b
c
p
p
a
b
c
3;_b_+_c_)_，面积可表示为_p_(a_+__b_+_c_) _.
7.先化简，再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2. 解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)
=6a3-12a2+9a-6a3-8a2 =-20a2+9a. 当a=-2时，原式=-20×（-2）2+9×（-2）=-98.
8.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，
a
b
c
p
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示
为__p_a__、__p_b__、__p_c__.
如果把它看成一个大长方形，那么它的面积可表示为
__p_(_a_+_b_+_c_).

华师大版八年级数学上册优秀教学案例：12.2整式的乘法(4课时)

四、教学内容与过程
（一）导入新课
导入新课是激发学生学习兴趣和动机的重要环节。我将以一个有趣的生活实例来导入新课。例如，我会提出一个问题：“如果一个长方形的长是10cm，宽是5cm，那么它的面积是多少？”学生可以通过计算得出答案。然后，我会提出一个更有挑战性的问题：“如果我们要计算一个长方形的面积，其中一边是未知数，我们该怎么办？”这个问题将引导学生思考和探索整式乘法的知识。通过这样的导入，学生能够更好地理解和掌握整式乘法的知识。
华师大版八年级数学上册优秀教学案例：12.2整式的乘整式的乘法”是学生掌握基础数学知识的重要部分，也是进一步学习更复杂数学概念的基础。本节课的内容包括整式乘法的基本概念、法则以及具体的运算方法，对于培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力具有重要意义。
在整式的乘法教学中，我以“探究-发现-应用”的教学模式为主线，通过设计丰富的教学活动，引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣和积极性。在教学过程中，我注重让学生经历从具体到抽象的思维过程，培养他们的抽象思维能力。
此外，小组合作还能够促进学生之间的交流和分享，让学生从同伴的解题方法和思路中得到启发和借鉴，从而提高他们的学习效果。
（四）反思与评价
反思与评价是学习过程中的重要环节。在教学过程中，我会引导学生进行自我反思和评价，帮助他们发现自己的学习优点和不足之处，并找到改进的方法。例如，我可以让学生在课后进行自我反思，思考自己在整式乘法学习中的收获和不足，以及如何改进和提高。同时，我还会组织定期的学习评价，让学生通过考试、测试等方式，检验自己的学习成果，并及时给予反馈和指导。通过这种方式，学生能够更好地巩固和加深对整式乘法的理解，提高他们的学习效果。
（二）问题导向
问题导向的教学策略能够激发学生的思考和探究能力。在教学过程中，我会提出一系列与整式乘法相关的问题，引导学生进行思考和探究。例如，我可以通过提问的方式，引导学生思考整式乘法的实质是什么，整式乘法的法则有哪些，以及如何运用整式乘法解决实际问题等。通过这些问题，学生能够更深入地理解和掌握整式乘法的知识。

华东师大版数学八年级上册12.2.2整式的乘法-单项式与多项式相乘

华东师大版八年级（上册）
第12章整式的乘除
12.2 整式的乘法（第2课时）
单项式与单项式相乘
复习巩固
系数乘以系数相同字母的幂相乘只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式
计算：4a 2 x5 3a3bx2
相同字母的指数的和作
解： 4a2x5 3a3bx2
为积里这个字母的指数
= 4 3 a2a3 x5 x2 b = 12 a5 x7 b
各因式系数的积作为积的系数
只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作
为积的一个因式
什么叫多项式?
复习巩固
几个单项式的和叫做多项式. 如： 2x2-x-1，它的项是：2x2，-x，-1.
你记得乘法分配律吗? x(a+b) = ?
4ab[2a2b 3ab2 3ab3 ]
8a3b212a2b3 12a2b4.
1、单项式与多项式相乘的依据是：乘法对加法的分配律。
2、单项式与多项式相乘，其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，注意不要漏乘项。
3、积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号来决定，注意去括号法则。
4. 求值问题，方法不是唯一的，可以直接把字母的值代入原式，但计算烦琐易出错，应先化简，再代入求值，就显得非常简捷。
作业教材P30习题 3 4
补充：
化简并求值
(1) 2a2 ( 1 ab b2 ) 5a (a2b ab2 );其中a=-1,b=1
(2) x( x 2
2
3)
x2
(x
例2 计算（－3a2）• （2ab2－4ab3）
解: （－3a2）•（2ab2－4ab3）＝（－3a2）• 2ab2+（－3a2）•（－4ab3）

华东师大版八年级：整式的乘法

整式的乘法1、探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则2、会进行简单的整式的乘法运算一、单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．二、单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，用数学符号表示为az ay ax z y x a ++=++)(。

三、多项式与多项式相乘多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用数学式子表示为：bn bm an am n m b a +++=++))(( 四、乘法公式1. 两数和乘以这两数的差平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，用字母表示为22))((b a b a b a -=-+ 2. 两数和(差)的平方完全平方公式：(1)两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍．用字母表示为：2222)(b ab a b a ++=+； (2)两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍．用字母表示为：2222)(b ab a b a +-=-教学目标学习内容知识梳理例题讲解【单项式与单项式相乘】 1. 单项式与单项式相乘例1．计算2323x x ⋅的结果是( B )A ．55xB ．65xC ．66xD ．69x 例2．2)2(3a a -＝( C )A ．－123aB ．－62aC ．123aD ．62a 例3．下列计算正确的是( B )A ．1243632x x x =⋅B ．5321234a a a =⋅ C ．3331553m m m =⋅ D ．7238)2(4y y y =⋅例4．计算)4)(2()21(42x x x --⋅-的结果为( B )A ．－46xB ．－47xC ．48xD ．－48x 例5．计算：(1))6)(31(232bc a ab -＝________；－2a 4b 3c 2(2))34)(3(42y x y x -＝________；－4x 6y 2(3))3()2(332xy x -⋅＝________；－24x 7y 3(4)2233)()2(ab c a ab ⋅-⋅-＝________. 24a 6b 5c2．单项式乘法的应用例6．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×104纳米，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是( C )A ．106纳米B ．107纳米C ．108纳米D ．109纳米例7．一个长方形的宽是1.5×102 cm ，长是宽的6倍，则这个长方形的面积(用科学记数法表示)是( B ) A ．13.5×104 cm 2 B ．1.35×105 cm 2C ．1.35×104 cm 2D ．1.35×103 cm 2例8．992213)()(y x yx y x n n m m =⋅++-，则n m 34-＝( C ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．无法确定例9．计算：(1))32()43(5335c ab b a ab -⋅-； 25a 5b 9c(2)222222)(21)2(xyz z xy yz x -⋅⋅- 2x 7y 6z 9(3)322232])(2[)()(ab ab b a -⋅-⋅-； 8a 14b 17(4)52323])[(21)(3])[(2y x x y y x -⋅-⋅- －3(x －y)19例10．已知A ＝32x ，B ＝－22xy ，C ＝－22y x ，求A·B 2·C 的值．－12x 6y 6 【单项式与多项式相乘】 1．单项式与多项式相乘例1．计算)13(22+x x ，正确的结果是( C )A ．53x ＋2xB ．63x ＋1C ．63x ＋2xD ．62x ＋2x 例2．单项式乘以多项式依据的运算律是( D )A ．加法结合律B ．加法交换律C ．乘法结合律D ．乘法分配律例3．下列各式的计算正确的是( D )A ．ab a b a a 186)3)(6(2--=--B ．3234322333)1(y x y x y x x --=⋅--C ．13)19()31(232+=+-⋅-y x xy y xD ．2232231)21()232(b a b a ab ab ab +-=-⋅- 例4．计算)()()(y x z x z y z y x -+---，结果正确的是( A )A ．2xy －2yzB ．－2yzC ．xy －2yzD ．2xy －xz例5．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：－y x xy x y xy 22612)124(3+-=--＋□，□的地方被墨水弄污了，你认为□内上应填写( A )A ．3xyB ．－3xyC ．－1D ．1 例6．计算：(1))3)(2(2y x xy --； (2))153(222+-b a a ；－2x 3y ＋6xy 2 6a 4－10a 2b ＋2a 2(3))4)(652143(2322xy y xy y x ---－3x 3y 3＋2x 2y 4＋310xy 52. 单项式与多项式相乘的应用例7．若三角形的底边为2a ＋1，高为2a ，则此三角形的面积为( C )A ．a a 242+B ．142+aC ．a a +22D ．a a 2122+ 例8．不等式)2(3-x x －)23(+x x ＞x ＋5的解集为( D )A ．x ＞－5B ．x ＜2C ．x ＞－2D ．x ＜－95 例9．如图所示是一个L 形钢条的截面，它的面积为( B ) A ．ac ＋bc B ．ac ＋c c b )(- C ．c c b c c a )()(-+- D ．)()(2c b c a c b a -+-+++例10．计算：)3()43(822--+-m m m m m ＝________________. 7m 3－21m 2＋32m例11．先化简，再求值：5543232))(34()()2(y x y x x y x xy xy +-----，其中x ＝－1，y ＝3.原式＝x 5y 5－3x 4y 4＝－486 【多项式与多项式相乘】 1. 多项式与多项式相乘例1．计算)12)(1(+-a a 的结果为( A )A ．122--a aB ．122-+a aC ．122-aD ．a a +22 例2．下列各式计算结果等于51762++x x 的是( B )A ．(3x －1)(2x ＋5)B ．(3x ＋1)(2x ＋5)C ．(3x ＋1)(2x －5)D ．(3x －1)(2x －5) 例3．若(x －1)(x ＋3)＝n mx x ++2，那么m ，n 的值分别是( C ) A ．m ＝－2，n ＝－3 B ．m ＝4，n ＝3 C ．m ＝2，n ＝－3 D ．m ＝－2，n ＝3例4．M 是关于x 的三次多项式，N 是关于x 的五次多项式，下列说法中正确的是( C ) A ．M ＋N 是八次多项式 B ．M －N 是二次多项式 C ．M·N 是八次多项式 D ．M·N 是十五次多项式例5．若b a -＝1，ab ＝2，则(a ＋1)(b －1)＝____0____.例6．若b x x x a x +-=++5)2)((2，则a ＝_____-7___，b ＝____-14____.例7．计算：(1))2)(3(b a b a -+； (2))23)(52(y x y x -+． 2a 2＋5ab －3b 2 6x 2＋11xy －10y 2 2. 多项式与多项式相乘的应用例8．若)2)(1(2-+-x mx x 的乘积中不含2x 项，则m 的值是( C )A ．1B ．－1C ．－2D ．2 例9．方程20)5)(4(2-=-+x x x 的解是( A )A ．x ＝0B ．x ＝－4C ．x ＝5D ．x ＝40 例10．若15196))((2+-=++x x d cx b ax ，那么bd ac +等于( D )A ．36B ．15C ．19D ．21 例11．三个连续的奇数，若中间一个为a ，则它们的积为( A )A ．a a 43-B ．a a 63-C ．a a -34D ．a a 643- 例12．先化简，再求值：5543232))(34()()2(y x y x x y x xy xy +-----，其中x ＝－1，y ＝3.原式＝x 5y 5－3x 4y 4＝－486例13．某同学在计算一个多项式乘以－32x 时，因抄错运算符号，算成了加上－32x ，得到的结果是2x －4x ＋1，那么正确的计算结果是多少？这个多项式是(x 2－4x ＋1)－(－3x 2)＝4x 2－4x ＋1，正确的计算结果是：(4x 2－4x ＋1)(－3x 2)＝－12x 4＋12x 3－3x 2 【乘法公式】 1．平方差公式例1．计算(2a ＋3)(2a －3)的结果是( A )A ．42a －9B ．9－42aC ．22a －9D ．9－22a 例2．下列各式，能用平方差公式计算的是( C )A ．(x ＋2y)(2x －y)B ．(x ＋y)(x －2y)C ．(x ＋2y)(2y －x)D ．(x －2y)(2y －x) 例3．计算：(1)(3y －2)(3y ＋2)＝________； 9y 2－4 (2)(6x －5y )(6x ＋y 5)＝___________； 36x 2－25y 2 (3)(7ab ＋4)(7ab －4)＝____________； 49a 2b 2－16 (4)(－9m ＋2)(9m ＋2)＝________. 4－81m 2 例4．若4122=-b a ，21=-b a ，则b a +的值为( B ) A ．－21 B. 21 C ．1 D ．2例5．若|x ＋y －5|＋(x －y －3)2＝0，则22y x -的值为( C )A ．2B ．8C ．15D ．无法确定例6．计算20152－2014×2016等于( B )A ．2016B ．1C ．2014D ．－1 例7．用简便方法计算：(1)2015＋20152－20162；解：原式＝2015＋(2015＋2016)(2015－2016)＝2015－(2015＋2016)＝－2016(2)1002×998－9992.原式＝(1000＋2)(1000－2)－9992＝10002－4－9992＝(1000＋999)(1000－999)－4＝1999－4＝1995 例8．先化简，再求值．)2)(2()2)(2(x y y x x y y x -+-+-，其中x ＝1，y ＝2.原式＝5x 2－5y 2＝－15 2. 两数和的平方例9．2)32(y x +等于( C )A ．22964y xy x ++B ．229184y xy x ++ C ．229124y xy x ++ D ．229244y xy x ++例10．如果4)2(22+-=+kx x x ，那么k 的值是( C )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 例11．下列等式能成立的是( C )A ．222)(n m n m +=+ B ．22224)2(b ab a b a ++=+C ．1816)14(22++=+x x xD ．9)3(22+=+x x例12．计算))((b a b a --+的结果是( D )A ．22b a -B ．－22b a - C ．222b ab a +- D ．－222b ab a --例13．计算：(1)2)43(y x +＝________________；9x 2＋24xy ＋16y 2 (2)2)215(m +＝________________；25＋5m ＋41m 2 (3)22)32(b a +＝________________.94a 2b 2＋34ab 2＋b 43. 两数差的平方例14．下列各式计算与542+-a a 相同的是( A ) A ．(a －2)2＋1 B ．(a ＋2)2＋1 C ．(a ＋2)2－1 D ．(a －2)2－1 例15．下列用完全平方公式计算，错误的是( D ) A ．41)21(22+-=-x x xB ．2222)(b ab a b a +-=+-C ．2242269)3(b b a a b a +-=-D ．22224)2(y xy x y x +-=-一、填空题1、(－a )2·(－a )3＝，(－x )·x 2·(－x 4)＝，(xy 2)2＝ .2、(－2×105)2×1021＝，(－3xy 2)2·(－2x 2y )＝ .3、计算：(－8)2004 (－0.125)2003＝，22005－22004＝ .4、计算：(n m -)3·(n m -)2·(n －m )＝，(3＋a )(1－a )＝，(a ＋2)(a －2)(4＋a 2)＝，(m ＋n －1)(n m -－1)＝ .5、n x ＝5，n y ＝3，则nxy 2)(＝，若x 2＝m ，y 2＝n ，则y x +8＝ .6、若A ＝3x －2，B ＝1－2x ，C ＝－5x ，则A·B ＋A·C ＝ .7、不等式(x ＋16)(x ＋4)＞(x ＋12)2的解集是 .综合题库8、比较25180，64120，8190的大小用“＜”号联 . 9、把下列各式分解因式： (1) n a 2－212-n a ＝； (2)1412+-x x ＝；(3) 5m m -＝；(4) (1－x )＋(x －1)3＝ .10、在多项式16a 2＋4上加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，该单项式是 .11、四个连续自然数中，已知两个大数的积与其余两个数的积的差等于58，则这四个数的和是 .二、选择题12、下列各式中，正确的是（） A 、632m m m =⋅B 、22))((b a a b b a -=-+-C 、)25)(25(22522b a b a b a -+=-D 、y x y xy x y x -=++-322))((13、与)1)(1(2-++x x x 的积等于6x －1的多项式是（）A 、2x －1B 、3x －1C 、2x ＋1D 、3x ＋114、已知x 5＝3，y 5＝4，则y x +25的结果为（）A 、144B 、24C 、25D 、4915、x 为正整数，且满足112323++⋅-⋅x x x x ＝66，则x ＝（）A 、2B 、3C 、6D 、1216、把多项式c bx x ++22分解因式后得)1)(3(2+-x x ，则b 、c 的值为（）A 、b ＝3，c ＝－1B 、b ＝－6，c ＝2C 、b ＝－6，c ＝－4D 、b ＝－4，c ＝－617、如果xy ≠0，且333)(y x y x +=+，那么x 、y 的关系为（）A 、x ＝yB 、x ＋y ＝0C 、x 、y 异号D 、x 、y 同号18、不等式)1(3)1)(1()1(2++-+--x x x x ＞0的正整数解为（）A 、1, 2B 、1, 2, 3C 、1, 2, 3, 4D 、任意正整数19、若二次三项式))((22112c x a c x a c bx ax ++=++，则当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，1c ，2c 的符号为（）A 、1c ＞0,2c ＞0B 、1c ＜0,2c ＜0C 、1c ＞0,2c ＜0D 、1c ,2c 异号 20、若12-+m m ＝0，则3223++m m ＝（）A 、2B 、4C 、－2D 、－421、已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数是（）A 、3个B 、4个C 、6个D 、8个三、解答题 22、计算： (1) ])3()2[()4()2(2223223y y y y -⋅---+-；(2)2222)23()23()23()23(-⋅++--+x x x x ；(3) 3.76542＋0.4692×3.7654＋0.23462.23、化简求值： (1)))(()2()3)(3(22x y y x x x x x x ---+---+，其中x ＝3，y ＝－2； (2) 已知x x 32-＋1＝0，求下列各式的值，①221x x+；①441x x+. 四、应用题24、如图大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，求阴影部分的面积。

八年级数学上册12.2整式的乘法如何学好整式的乘法素材华东师大版(new)

如何学好整式的乘法整式的乘法既是以幂的乘法运算为背景，又是整式运算的基础，因此学好整式的乘法至关重要。

那么如何才能学好这部分内容呢?笔者以为应注意掌握以下几个问题：一、正确理解单项式乘以单项式的运算法则观察图1可知,大长方形是由9个形状、大小相同的小长方形组成，其面积为3a ×3b ＝9ab ，可见两个单项式3a 与3b 相乘，只要把这两个单项式的系数3与3相乘，再把这两个单项式的字母a 与b 相乘。

由此运用乘法的交换律和结合律，我们可以得到单项式乘以单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.这一法则告诉我们单项式乘以单项式实际分为三点:①系数相乘——有理数的乘法；②相同字母相乘—-同底数幂的乘法；③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式。

值得注意的是不论几个单项式相乘，都可以用这个法则.另外单项式相乘的结果仍是单项式。

例1 计算：(1)（－5a 2b 3)(－3a ）； (2）（2x ）3（－5x 2y )；（3)（－3ab ）（－a 2c ）2·6ab (c 2）3。

解 (1) (－5a 2b 3）（－3a ）＝［(－5）（－3）］(a 2·a )·b 3＝15a 3b 3.（2） (2x )3（－5x 2y ）＝8x 3·(－5x 2y ）＝[8×(－5)］（x 3·x 2)·y ＝－40x 5y .（3） (－3ab )（－a 2c ）2·6ab （c 2）3＝(－3ab ）·a 4c 2·6abc 6＝[(－3)×6]a 6b 2c 8＝－18a 6b 2c 8。

图2c d ab 图1 a b图3 d c二、正确理解单项式乘以多项式的运算法则观察图2可知，大长方形是由三个小长方形组成，其长是b+c+d，宽是a，那么其面积为a（b+c+d），又这三个小长方形的面积和是ab+ac+ad,则有a（b+c+d）＝ab+ac+ad,可见这个结果是运用乘法的分配律即可得到.由此我们可以得到单项式乘以多项式的法则:单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。