阅读理解题--勾股定理的面积证法
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练试题(含详细解析)
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，则斜边边长为（）A．10B．C．15D．10或2、如图，在△ABC中，BC＝C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（）A．2B C D．5 23、小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．18m4、已知直角三角形的斜边长为5cm ，周长为12cm ，则这个三角形的面积（ ）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．212cm5、下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．52，6，132 C 2 D ．9，12，156、如图，数轴上点A 所表示的数是（ ）A B C D 17、如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，AD 为∠BAC 的平分线，将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．15 cm9、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A ．2、3、4 BC ．5、12、13D ．30、50、6010、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A ：∠B ：∠C ＝5：12：13B ．a ：b ：c ＝3：4：5C ．∠C ＝∠A ﹣∠BD ．b 2＝a 2﹣c 2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么_____．2、△ABC 的三条边长a 、b 、c 满足8c =60b -=，则△ABC ____直角三角形（填“是”或“不是”）3、已知：点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为()1,1-，那么点A 和点B 两点间的距离是______．4、如图，已知△ABO 为等腰三角形，且OA ＝AB ＝5，B （﹣6，0），则点A 的坐标为_____．5、如图，△ABC 是边长为12的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 的运动过程中，当DF 的长度最小时，CE 的长度为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为()2a b +，也可表示为2142c ab +⨯，即()22142a b c ab +=+⨯=，所以222+=a b c ． （尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中BCA ADE △△≌，90C D ∠=∠=︒，根据拼图证明勾股定理．（定理应用）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：222244a c a b c b +=-．2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC 的面积和周长．3、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝5，点D 是边AB 上的一个动点，连接CD ，过C 点在上方作CE ⊥CD ，且CE ＝CD ，点P 是DE 的中点．（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．4、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做“格点”，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图①中画出一个钝角三角形，使它的面积为4，并求出该三角形的三边长；（2）在图②中画出一个面积为10的正方形．5、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1（2）此三角形的面积是．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】已知两直角边边长分别为6和8，利用勾股定理求斜边即可．【详解】解： ∵一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，斜边边长，∴斜边边长为10．故选A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论．2、B【分析】作BE ⊥AC 于E ，根据等腰三角形三线合一性质可得AE =DE ，根据∠C ＝45°，得出∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，可得BE =CE ，利用勾股定理求出CE =BE =2，根据D 是AC 的三等分点得出AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，求出CD =1，利用勾股定理AB 【详解】解：作BE ⊥AC 于E ，∵AB ＝BD ，∴AE =DE ，∵∠C ＝45°，∴∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，∴BE =CE ，在Rt △BEC 中，∴(22222+2BE CE CE BC ===，∴CE =BE =2，∵D 是AC 的三等分点，∴CD =13AC ，AD =AC -CD =1233AC AC AC -=，∴AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，∴CE =CD +DE =2CD =2，∴CD =1，∴AE =1，在Rt △ABE 中，根据勾股定理AB故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键．3、C【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC＝8m，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，故AB＝15m，即旗杆的高为15m．故选：C．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4、C【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab 的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．【详解】解:设该直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，根据题意可得：22251257a b a b ⎧+=⎨+=-=⎩①② 将②两边平方－①，得224ab =∴12ab = ∴该直角三角形的面积为2126ab cm = 故选:C【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．5、D【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A 、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；B 、不是勾股数，因为52，132不是正整数，故此选项不符合题意；CD 、是勾股数，因为222912=15+，故此选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．6、D【分析】先根据勾股定理计算出BC BA＝BC AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，∴BC∴BA＝BC∴AD2，∴OA＝21，∴点A1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．7、B【分析】在Rt ABC∆中利用勾股定理求出AC长，利用折叠性质：得到ADE ADC∆∆≌，求出对应相等的边，设DE＝x，在Rt BDE∆中利用勾股定理，列出关于x的方程，求解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC2222BC，6810∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，≌，∴∆∆ADE ADC∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，∵BD2+BE2＝DE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴DE＝5，故选：B．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．8、B【分析】立体图形展开后，利用勾股定理求解．【详解】解：将长方体沿着AB边侧面展开，并连接'AB，如下图所示：由题意及图可知：'13138AB cm=，=+++=，''6AA cm两点之间，线段最短，故'AB的长即是细线最短的长度，''∆中，由勾股定理可知：'10Rt AAB===，AB cm故所用细线最短需要10cm．故选：B．【点睛】本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键．9、C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【详解】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、2+22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、302+502≠602，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．10、A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∴∠C＝180°×1325＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D、∵b2＝a2﹣c2，∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．二、填空题1、222+=a b c【分析】利用勾股定理：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方和，即可得到答案．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可知：222+=a b c ．故答案为：222+=a b c ．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容，注意区分好直角边和斜边，这是解决该类问题的关键．2、不是【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出,a b 的值，运用勾股定理逆定理验证即可．【详解】60b -=，∴40a -=，60b -=，∴4,6a b ==，则22246528+=≠，∴222a b c +≠，∴△ABC 不是直角三角形，故答案为：不是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出,a b 的值是解本题的关键．3、5【分析】根据两点间距离公式求解即可．【详解】∵点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为(1,1)-，∴点A 和点B 5=．故答案为：5．【点睛】本题考查两点间距离，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则两点间的距离是AB 距离公式是解题的关键．4、（﹣3，4）【分析】过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，根据AB ＝AO ，AC ⊥BO ，得OC ＝132OB =，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC ＝4，即可求出点A 的坐标．【详解】解：如图，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，∵B（﹣6，0），∴OB＝6，∵AB＝AO，AC⊥BO，∴OC＝132OB=，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC4=，∴A（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD CG=以及FCD ECG，由旋转的性质可得出EC FC=，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出ΔΔFCD ECG≅，进而即可得出DF GE=，再根据点G为AC的中点，求出AD和DE的长，由勾股定理可得出答案．【详解】取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．ABC ∆为等边三角形，且AD 为ABC ∆的对称轴，162CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒， 60ECF =︒∠，FCD ECG ．在ΔFCD 和ECG ∆中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ΔΔ()FCD ECG SAS ∴≅，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，此时E 为AD 的中点，12AB BC ==，6DC =，AD ∴==12DE AD ∴==CE ∴==故答案为【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．三、解答题1、尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析【分析】尝试探究：根据全等三角形性质，得BAC AED ∠=∠，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得90BAE ∠=︒；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明222+=a b c ；定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成222244a c a b c b +=-证明．【详解】尝试探究：∵BCA ADE △△≌，∴BAC AED ∠=∠．∵90D ∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒．∴90DAE BAC ∠+∠=︒．∵180BAC AED BAE ∠+∠+∠=︒．∴90BAE ∠=︒． ∵直角梯形的面积可以表示为()212a b +，也可以表示为211222ab c ⨯+， ∴()221112222a b ab c +=⨯+， 整理，得222+=a b c ．定理应用：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∴222+=a b c ；∵2222a c a b +()222a c b =+．44c b -()()()2222222c b c b a c b =+-=+∴222244a c a b c b +=-．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．2、面积是7【分析】利用面积和差和勾股定理求解即可．【详解】解：△ABC 的面积=111441432247222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；由勾股定理得：ABBC =AC ==所以△ABC【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．3、（1）AP ＝12DE ，理由见解析；（2）BD ＝56或4514【分析】（1）连接AE ，首先根据∠ACB ＝∠ECD ＝90°，得到∠ECA ＝∠DCB ，然后证明△BCD ≌△ACE （SAS ），根据全等三角形对应角相等得到∠EAC ＝∠B ＝45°，进一步得出∠EAD ＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AP ＝12DE ；（2）分两种情况讨论：当Q 在线段AB 上时和当Q 在线段BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，根据题意得出CQ 垂直平分DE ，进而根据垂直平分线的性质得到EQ ＝DQ ，设BD ＝AE ＝x ，在Rt △AEQ 中根据勾股定理列方程求解即可；【详解】解：（1）AP ＝12DE ，理由：连接AE ，如图，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°．∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECA ＝∠DCB ．在△BCD 和△ACE 中，CE CD ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCD ≌△ACE （SAS ）．∴∠EAC ＝∠B ＝45°．∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．又∵P为DE中点，∴AP＝12DE．（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，由（1）知：∠EAB＝90°，∴EA2+AQ2＝EQ2．∴x2+22＝（3﹣x）2，解得x＝56，即BD＝56；情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，解得x＝45 14．综上：BD＝56或4514．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．4、 (1)三角形如图①所示，三边长分别为2、（2）正方形如图②所示．【分析】（1）画一个底边长是2，高为4的钝角三角形即可，然后利用勾股定理可以求出各边长．（2【详解】（1）如图①所示：很明显，12442EMFS=⨯⨯=，且FM=2，又由题意可得：EM=，EF=（2）如图②所示，由题意可得：AB=BC=CD=DA【点睛】本题考查的是勾股定理的综合应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．5、（1）画图见解析；（2）5.5【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定2222223110,2313,1417,AB AC BC再顺次连接,,A B C即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可. 【详解】解：（1）如图，ABC即为所求作的三角形，其中：2222223110,2313,1417, AB AC BC（2）11134132314 5.5,222ABCS故答案为：5.5【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.。
验证勾股定理-知识点+例题+习题
第2节验证并应用勾股定理导课：上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.一、勾股定理的验证做一做：为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后得到图2、图3.图1 图2 图3（1）将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来；（2）图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？1.常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．2．用拼图法验证勾股定理的思路：(1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导结论．议一议：观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.例1 如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)说明勾股定理的正确性．总结：勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．例2 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是()A．c2＝a2＋b2B．c2＝a2＋2ab＋b2C．c2＝a2－2ab＋b2D．c2＝(a＋b)2例3 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图的图形，其中两个全等直角三角形的边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是()A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDEC．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD二、勾股定理的应用例4 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？1.勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角三角形)与数量关系(三边关系)有机结合起来；在几何及日常生活中都有着广泛的应用．2．运用勾股定理进行计算分三步：第一步：注意应用的前提，即看是不是直角三角形；第二步：分清求解的对象，即看是求直角边长，还是斜边长或者两种均有可能；第三步：运用勾股定理进行计算．例5 〈实际应用题〉两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？例6 如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚() A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m例7 (中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行()A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．它一般都经过以下几个步骤：拼出图形→写出图形面积的表达式→找出相等关系→恒等变形→导出勾股定理．三、课堂小测。
勾股定理专题复习及题型讲解
勾股定理复习一、要点精练 （一）勾股定理1、(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。
2、(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
3、 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,64、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A ）22d S d + （B 2d S d - （C ）222d S d + （D ）22d S d + 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+. 所以22a b d S +=+所以a b c ++=222d S d ++. 故选（C ）5、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()222a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b . 因为只有81是3的倍数.故选（C ）6、在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.7、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91（二）勾股定理的验证及其验证过程的相关应用1、下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2. ④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2、（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72 3、如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.解:根据题意，有123S S S +=，即222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.整理,得222a b c +=.故此三角形为直角三角形.4、如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =． 5．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______. 解： AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已知，图55,25AD BE ==，所以222240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加，得()225654x y +=，所以2252213.AB x y =+==（三）勾股定理的应用1、在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125-=，所以这个直角三角形的面积为1125302⨯⨯=.2、如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得 22222.50.7 2.4AC AB BC =-=-= 由12.4,0.4AC AA ==,得11 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中, 由勾股定理,得222211112.52 1.5B C A B AC =-=-= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=故选(C)3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解：由勾股定理，知最短距离为()()222288210BD AC AB CD =+-=+-=.4、（四）直角三角形的判别图11、下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是A 、a=2，b=3,c=4B 、a=7,b=24,c=25C 、a=6,b=8,c=10D 、a=3,b=4,c=52、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是ο30，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定 3、4、如图，在等腰直角ABC ∆的斜边上取异于C B ,的两点F E ,,使,45ο=∠EAF 求证：以CF BE EF ,,为边的三角形是直角三角形。
2022年中考数学真题分类汇编：阅读材料题(含答案)
2021-2022年中考数学真题分类汇编阅读材料题1.(2022·湖南省)阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA =bsinB．证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD=asinB在Rt△ACD中，CD=bsinA∴asinB=bsinA∴asinA=bsinB根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB =csinC；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)2.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．【拓展迁移】(2)如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．3.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)．(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点(1,1)，求c的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x1<0<x2、|x1|>|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦⋅韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba ，x1x2=ca”.此关系通常被称为“韦达定理”．4. (2022·内蒙古自治区赤峰市)阅读下列材料 定义运算：min|a ，b|，当a ≥b 时，min|a ，b|=b ；当a <b 时，min|a ，b|=a ． 例如：min|−1，3|=−1；min|−1，−2|=−2． 完成下列任务(1)①min|(−3)0，2|=______； ②min|−√14，−4|=______．(2)如图，已知反比例函数y 1=kx 和一次函数y 2=−2x +b 的图象交于A 、B 两点．当−2<x <0时，min|kx，−2x +b|=(x +1)(x −3)−x 2，求这两个函数的解析式．5. (2022·湖南省永州市)已知关于x 的函数y =ax 2+bx +c ． (1)若a =1，函数的图象经过点(1,−4)和点(2,1)，求该函数的表达式和最小值； (2)若a =1，b =−2，c =m +1时，函数的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围． (3)阅读下面材料：设a >0，函数图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A ，B 两点均在原点左侧，探究系数a ，b ，c 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与x 轴有两个不同的交点，所以Δ=b 2−4ac >0；②因为A ，B 两点在原点左侧，所以x =0对应图象上的点在x 轴上方，即c >0； ③上述两个条件还不能确保A ，B 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需−b2a <0． 综上所述，系数a ，b ，c 应满足的条件可归纳为：{a >0Δ=b 2−4ac >0c >0−b 2a<0请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y=ax2−2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．6.(2022·浙江省金华市)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1.作直径AF．2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3.连结AM，MN，NA．(1)求∠ABC的度数．(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．7.(2022·吉林省)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1//l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．∴S△ABC=S△DBC．【探究】(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ′，则S△ABCS△DBC=ℎℎ′．证明：∵S△ABC=______．(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC =AMDM．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°．∴AE//______．∴△AEM∽______．∴AEDF =AMDM．由【探究】(1)可知S△ABCS△DBC=______，∴S△ABCS△DBC =AMDM．(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E.若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则S△ABCS△DBC的值为______．8.(2022·四川省凉山彝族自治州)阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=______.x1x2=______．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1 s −1t的值．9.(2022·山西省)阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(−b2a ,4ac−b24a)和一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，分别分a>0和a<0两种情况进行分析：(1)a>0时，抛物线开口向上．①当Δ=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a<0．∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图1)．②当Δ=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a=0．∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图2)．∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．③当Δ=b2−4ac<0时，……(2)a<0时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______(从下面选项中选出两个即可)；A.数形结合B.统计思想C.分类讨论D.转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为______．10.(2021·四川省凉山彝族自治州)阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550−1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707−1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log39可以转化为指数式32=9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a(M⋅N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴M⋅N=a m⋅a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a(M⋅N)．又∵m+n=log a M+log a N，∴log a(M⋅N)=log a M+log a N.根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(1)填空：①log232=______ ，②log327=______ ，③log71=______ ；(2)求证：log a MN=log a M−log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)；(3)拓展运用：计算log5125+log56−log530．11.(2021·宁夏)阅读理解：如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF//BC，可以得到以下结论：AHAD =EFBC．拓展应用：(1)如图2，在△ABC中，BC=3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度(单位：厘米)随着排数(单位：排)的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘160______ ______ ______ …米若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？12.(2021·贵州省安顺市)(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12，BC=5，求EF的值；(3)拓展探究如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．已知∠1=∠2=∠3=α，当角α(0°<α<90°)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．13.(2021·湖北省鄂州市)数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现由5+5=2√5×5=10；13+13=2√13×13=23；0.4+0.4=2√0.4×0.4=0.8；15+5>2√15×5=2；0.2+3.2>2√0.2×3.2=1.6；12+18>2√12×18=12．猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2√ab(当且仅当a=b时等号成立)．猜想证明∵(√a−√b)2≥0，∴①当且仅当√a−√b=0，即a=b时，a−2√ab+b=0，∴a+b=2√ab；②当√a−√b≠0，即a≠b时，a−2√ab+b>0，∴a+b>2√ab．综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2√ab成立(当且仅当a=b时等号成立)．猜想运用对于函数y=x+1x(x>0)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？变式探究对于函数y=1x−3+x(x>3)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的面积为S(米 2).问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？14.(2021·内蒙古自治区赤峰市)阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”.如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．(1)已知点A的坐标为(2,0)．①若点B的坐标为(4,4)，则点A、B的“相关矩形”的周长为______ ；②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；(2)已知点P的坐标为(3,−4)，点Q的坐标为(6,−2)若使函数y=kx的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．15.(2021·山西省)(1)计算：(−1)4×|−8|+(−2)3×(12)2．(2)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2x−1 3>3x−22−1．解：2(2x−1)>3(3x−2)−6……第一步4x−2>9x−6−6……第二步4x−9x>−6−6+2……第三步−5x>−10……第四步x>2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______ (运算律)进行变形的；②第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．16.(2021·湖南省张家界市)阅读下面的材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，(1)若x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)是增函数；(2)若x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)=x2(x>0)是增函数．证明：任取x1<x2，且x1>0，x2>0．则f(x1)−f(x2)=x12−x22=(x1+x2)(x1−x2).∵x1<x2且x1>0，x2>0，∴x1+x2>0，x1−x2<0．∴(x1+x2)(x1−x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0，f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=x2(x>0)是增函数．根据以上材料解答下列问题：(1)函数f(x)=1x (x>0)，f(1)=11=1，f(2)=12，f(3)=______ ，f(4)=______ ；(2)猜想f(x)=1x(x>0)是______ 函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想．17.(2021·山东省济宁市)研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．(1)阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体ABCD−A′B′C′D′(图1)，因为在平面AA′C′C中，CC′//AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．解决问题如图1，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．(2)如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是______ ；②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．18.(2021·山西省)阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线(或曲线)，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F =95C +32得出，当C =10时，F =50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式1R =1R 1+1R 2求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1R =1R 1+1R 2计算：当R 1=7.5，R 2=5时，R 的值为多少； ②如图，在△AOB 中，∠AOB =120°，OC 是△AOB 的角平分线，OA =7.5，OB =5，用你所学的几何知识求线段OC 的长．19. (2021·安徽省)【阅读理解】我们知道，1+2+3+⋯+n =n(n+1)2，那么12+22+32+⋯+n 2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n 个n n+n+⋯+n ⏟ ，即n 2，这样，该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+⋯+n 2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n−1行的第一个圆圈中的数分别为n−1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______ ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+⋯+n2)=______ ，因此，12+22+32+⋯+ n2=______ ．【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+32+⋯+201721+2+3+⋯+2017的结果为______ ．20.(2021·广西壮族自治区南宁市)【阅读理解】如图①，l1//l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等.在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF=∠DFC=90°，∴AE//DF．∵l1//l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE=DF．又S△ABC=12BC⋅AE，S△DBC=12BC⋅DF．∴S△ABC=S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．21.(2021·河南省)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______ (填序号)．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．(3)如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=√3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长．1.(1)证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD=csinB，在Rt△ACD中，AD=bsinC，∴csinB=bsinC，∴bsinB =csinC；(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠BAC=67°，∠B=53°，∴∠C=60°，在Rt△ACE中，AE=AC⋅sin60°=80×√32=40√3(m)，又∵ACsinB =BCsin∠BAC，即800.8=BC0.9，∴BC=90m，∴S△ABC=12×90×40√3=180√3(m2).2.(1)证明：如图1，连接DC，∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BC，∠ABC=∠DBE=∠E=∠BDE=60°，∴∠ABC−∠ABD=∠DBE−∠ABD，即∠CBD=∠ABE，∴△CBD≌△ABE(SAS)，∴CD=AE，∠BDC=∠E=60°，∴∠ADC=∠BDE+∠BDC=120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(2)解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图2，连接CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴AB=CB，BE=BG，∠ABC=∠BCD=∠EBG=∠BGF= 90°，∠EGB=∠GEB=45°，∴∠ABC−∠ABG=∠EBG−∠ABG，即∠CBG=∠ABE，∴△CBG≌△ABE(SAS)，∴CG=AE，∠CGB=∠AEB=45°，∴∠AGC=∠EGB+∠CGB=45°+45°=90°，∴△ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；②由①可知，CG=AE，∠AGC=90°，∴CG2+AG2=AC2，∴AE2+AG2=AC2，∵AE2+AG2=10，∴AC2=10，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2=10，∴AB2=5，∴S正方形ABCD=AB2=5．3.解：(1)当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=−3；(2)①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−√b2−4ac2a ，x2=−b+√b2−4ac2a，∴AB=x2−x1=√b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：(−b2a ,4ac−b24a)，∴AE=b2−4ac4a ，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB =34，∴b2−4ac4a ÷√b2−4aca=34，∴b2−4ac=9；②∵b2−4ac=9，∴x 2=−b+32a ，∵OP//MN ，∴NP BP=OM OB ， ∴b 2a ：−b+32a=2， ∴b =2，∴22−4ac =9，∴c =−54a ，∴T =1a 2+165c =1a 2−54a ⋅165=1a 2−4a =(1a −2)2+4， ∴当1a =2时，T 最小=4，即a =12时，T 最小=4．4.1 −45.解：(1)根据题意得{1+b +c =44+2b +c =1a =1，解得{a =1b =2c =1，∴y =x 2−2x +1=(x −1)2，∴该函数的表达式为y =x 2−2x +1或y =(x −1)2， 当x =1时，y 的最小值为0；(2)根据题意得y =x 2−2x +m +1， ∵函数的图象与x 轴有交点，∴Δ=b 2−4ac =(−2)2−4(m +1)≥0， 解得：m ≤0；(3)根据题意得到y =ax 2−2x +3的图象如图所示， 如图1，{ a <0(−2)2−12a >0−−22a <1a −2+3>0，即{ a <0a <13a >1a >−1， ∴a 的值不存在； 如图2，{ a <0(−2)2−12a >0−−22a >1a −2+3>0，即{ a <0a <13a <1a >−1， ∴a 的取值范围为−1<a ≤0， 如图3，{ a <0(−2)2−12a =0−−22a >1a −2+3<0，即{ a <0a =13a <1a <−1， ∴a 的值不存在；如图4，{ a >0(−2)2−12a >0−−22a >1a −2+3<0，即{ a >0a <13a <1a <−1∴a 的值不存在； 如图5，{ a >0(−2)2−12a =0−−22a >1a −2+3>0，即{ a >0a =13a <1a >−1， ∴a 的值为13； 如图6，当a =0时，函数解析式为y =−2x +3，函数与x 轴的交点为(1.5,0)， ∴a =0成立；综上所述，a 的取值范围为−1<a ≤0或a =13．6.解：(1)∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =(5−2)×18025=108°，即∠ABC =108°； (2)△AMN 是正三角形， 理由：连接ON ，NF ， 由题意可得：FN =ON =OF ， ∴△FON 是等边三角形， ∴∠NFA =60°， ∴NMA =60°，同理可得：∠ANM =60°， ∴∠MAN =60°， ∴△MAN 是正三角形； (3)∵∠AMN =60°， ∴∠AON =120°， ∵∠AOD =360°5×2=144°，∴∠NOD =∠AOD −∠AON =144°−120°=24°， ∵360°÷24°=15， ∴n 的值是15．7.12BC ⋅ℎ DF △DFM AE DF 738.解：(1)∵一元二次方程2x 2−3x −1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−−32=32，x 1x 2=−12=−12，故答案为：32，−12；(2)∵一元二次方程2x 2−3x −1=0的两根分别为m 、n ， ∴m +n =32，mn =−12，∴n m +m n=n 2+m 2mn =(m +n)2−2mnmn =(32)2−2×(−12)−12=−132；(3)∵实数s 、t 满足2s 2−3s −1=0，2t 2−3t −1=0， ∴s 与t 看作是方程2x 2−3x −1=0的两个实数根， ∴s +t =32，st =−12，∴(s −t)2=(s +t)2−4st ， (s −t)2=(32)2−4×(−12)， (s −t)2=174，∴s −t =±√172， ∴1s −1t =t −s st =−(s −t)st=±√172−12=±√17．9.AC 可用函数观点认识二元一次方程组的解(答案不唯一) 10.(1)5 ，3，0(2)设log a M =m ，log a N =n ，则M =a m ，N =a n ， ∴M N=a m a n=a m−n ，由对数的定义得m −n =log a MN ，又∵m −n =log a M −log a N ，∴log a MN =log a M −log a N(a >0,a ≠1,M >0,N >0)； (3)原式=log 5(125×6÷30)=log 525=2．11.400332038012.解：(1)a 2+b 2=c 2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)，证明如下：∵如图①是由直角边长分别为a ，b 的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(b −a)的小正方形拼成的一个边长为c 的大正方形，∴4△ADE 的面积+正方形EFGH 的面积=正方形ABCD 是面积， 即4×12ab +(b −a)2=c 2， 整理得：a 2+b 2=c 2；(2)由题意得：正方形ACDE 被分成4个全等的四边形， 设EF =a ，FD =b ， ∴a +b =12①，∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成，∴E′F′=EF ，KF′=FD ，E′K =BC =5， ∵E′F′−KF′=E′K ， ∴a −b =5②，由①②得：{a +b =12a −b =5，解得：a =172，∴EF =172；(3)c +b =n ，理由如下： 如图③所示：设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ， ∵∠1=∠2=∠3=α，∠PMQ =∠D′OE′=∠B′C′A′=90°，∴△PMQ ∽△D′OE′∽△B′C′A′， ∴OE′C′A′=D′E′B′A′，PMB′C′=PQB′A′， 即ce =en ，bf =fn ， ∴e 2=cn ，f 2=bn ，在Rt △A′B′C′中，由勾股定理得：e 2+f 2=n 2， ∴cn +bn =n 2， ∴c +b =n ．13.解：猜想运用：∵x >0，∴x +1x ≥2√x ⋅1x ， ∴y ≥2，∴当x =1x 时，y min =2， 此时x 2=1， 只取x =1，即x =1时，函数y 的最小值为2．变式探究：∵x >3， ∴x −3>0， ∴y =1x−3+x =1x−3+(x −3)+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3≥5，∴当1x−3=x −3时，y min =5， 此时(x −3)2=1， ∴x 1=4，x 2=2(舍去) 即x =4时，函数y 的最小值为5．拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，由题意得：9x +12y =63， 即：3x +4y =21， ∵3x >0，4y >0 ∴3x +4y ≥2√3x ⋅4y ， 即：21≥2√12xy ， 整理得：xy ≤14716，即：S ≤14716，∴当3x =4y ，时S max =14716此时x =72，y =218即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为14716．14.(1)①12；②∵若点C 在直线x =4上，且点A 、C 的“相关矩形”为正方形，∴C(4,2)或(4,−2)，设直线AC的关系式为：y=kx+b将(2,0)、(4,2)代入解得：k=1，b=−2，∴y=x−2，将(2,0)、(4,−2)代入解得：k=−1，b=2，∴y=−x+2，∴直线AC的解析式为：y=x−2或y=−x+2；(2)∵点P的坐标为(3,−4)，点Q的坐标为(6,−2)，设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M(3,−2)，N(6,−4)，的图象过M时，k=−6，当函数y=kx的图象过N时，k=−24，当函数y=kx若使函数y =kx 的图象与点P 、Q 的“相关矩形”有两个公共点，则−24<k <−6．15.解：(1)(−1)4×|−8|+(−2)3×(12)2=1×8−8×14=8−2=6； (2)任务一： ①乘法分配律②五；化系数为1用到性质3，即变不等号方向，其它都不会改变不等号方向； 任务二：x <216.(1)13；14(2)减；证明：任取x 1<x 2，x 1>0，x 2>0，则f(x 1)−f(x 2)=1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2，∵x 1<x 2且x 1>0，x 2>0， ∴x 2−x 1>0，x 1x 2>0， ∴x 2−x 1x 1x 2>0，即f(x 1)−f(x 2)>0，∴函数f(x)=1x (x >0)是减函数．17.解：(1)如图1中，连接BC′．∵A′B=BC′=A′C′，∴△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′=60°，∵AC//A′C′，∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，∴两直线BA′与AC所成角为60°．(2)①丙②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．由题意在Rt△MKJ中，∠MJK=90°，MJ=5+3=8，JK=8−(4−2)=6，∴MK=√MJ2+JK2=√82+62=10，∴PM+PN的最小值为10．18.解：(1)图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；(答案不唯一)．(2)①当R1=7.5，R2=5时，1 R =1R1+1R2=17.5+15=5+7.57.5×5=13，∴R=3．②过点A作AM//CO，交BO的延长线于点M，如图，∵OC 是∠AOB 的角平分线，∴∠COB =∠COA =12∠AOB =12×120°=60°．∵AM//CO ，∴∠MAO =∠AOC =60°，∠M =∠COB =60°． ∴∠MAO =∠M =60°． ∴OA =OM ．∴△OAM 为等边三角形． ∴OM =OA =AM =7.5． ∵AM//CO ， ∴△BCO ∽△BAM ． ∴OCAM =BOBM ． ∴OC 7.5=57.5+5．∴OC =3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．19.【规律探究】2n +1；n(n+1)(2n+1)2；n(n+1)(2n+1)6；【解决问题】 1345．20.解：【类比探究】过点E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD =CD =4，∠ADC =90°， ∵DE =CE ，EF ⊥CD ，∴DF =CF =12CD =2，∠ADC =∠EFD =90°， ∴AD//EF ， ∴S △ADE =S △ADF ，∴S△ADE=12×AD×DF=12×4×2=4；【拓展应用】如图③，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC=45°，∠GCF=45°，∴∠BDC=∠GCF，∴BD//CF，∴S△BDF=S△BCD，∴S△BDF=12BC×BC=8．21.解：(1)如图1，由作图得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，∴∠PGO=∠PHO=90°，∵OE−OC=OF−OD，∴CE=DF，∵CG=12CE，DH=12DF，∴CG=DH，∴OC+CG=OD+DH，∴OG=OH，∵OP=OP，∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，故答案为：⑤．(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：如图2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，∴△OPE≌△OPF(SAS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴OP是∠AOB的平分线．(3)如图3，OC<OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PME=90°，由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，∵∠AOB=60°，∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∵∠CPE=30°，∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，∴∠OCP=∠OPC=12(180°−∠POE)=12×(180°−30°)=75°，∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，∴∠OPM=90°−30°=60°，∴∠MPE=105°−60°=45°，∴∠MEP=90°−45°=45°，∴MP=ME，设MP=ME=m，则OM=MP⋅tan60°=√3m，由OE=√3+1，得m+√3m=√3+1，解得m=1，∴MP=ME=1，∴OP=2MP=2，∴OC=OP=2；如图4，OC>OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PMC=90°，同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°，∠MPC=∠MCP=45°，∴OE=OP=√3+1，∵MC=MP=12OP=12OE=√3+12，∴OM=MP⋅tan60°=√3+12×√3=3+√32，∴OC=OM+MC=3+√32+√3+12=2+√3．综上所述，OC的长为2或2+√3．。
初中数学中考八大题型点拨导练复习(五)阅读理解问题
点拨复习（五）——阅读理解问题【专题点拨】阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容，思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题，对于这类题求解步骤是“阅读—分析—理解—创新应用”，其关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材，因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力。
【典例赏析】【例题1】（2017•乐山）对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为且．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【专题】23 ：新定义．【分析】根据新定义得到y′=x3+（m﹣1）x2+m2=x2﹣2（m﹣1）x+m2，（1）由判别式等于0，解方程即可；（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．【解答】解：根据题意得y′=x2﹣2（m﹣1）x+m2，（1）∵方程x2﹣2（m﹣1）x+m2=0有两个相等实数根，∴△=[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=，故答案为：；（2）y′=m﹣，即x2+2（m﹣1）x+m2=m﹣，化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+=0，∵方程有两个正数根，∴，解得：且．故答案为：且．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．【例题2】（2017湖北随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．下面是两位学生有代表性的证明思路：思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到==1，所以DM=EM；（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC=a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；（4）由于==+=k，则=，然后表示出==•+1，再把=代入计算即可．【解答】解：（1）如图1，证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即点M是DE的中点；证法二：∵四边形ABCD为菱形，∴DH=BH，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE，∵HM∥BE，∴==1，∴DM=EM，即点M是DE的中点；（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，设AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠NAF=45°，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=AD=a，∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF为等腰直角三角形，∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴===；（4）∵==+=k，∴=k﹣，∴=，∴==•+1=•+1=．【例题3】（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON 的长，可求得N点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x 轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．【能力检测】1.．（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D2.（2017•温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM 较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）求该班的人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；（4）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．【分析】（1）根据参加生态环保的人数以及百分比，即可解决问题；（2）社区服务的人数，画出折线图即可；（3）根据圆心角=360°×百分比，计算即可；（4）用列表法即可解决问题；【解答】解：（1）该班全部人数：12÷25%=48人．（2）48×50%=24，折线统计如图所示：（3）×360°=45°．（4）分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：则所有可能有16种，其中他们参加同一活动有4种，所以他们参加同一服务活动的概率P==．【点评】本题考查折线图、扇形统计图、列表法等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．4.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC ≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为113°或92°．5.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．。
用面积法证明勾股定理
用面积法证明勾股定理勾股定理是数学中的一个重要定理，它是关于直角三角形的边与斜边之间的关系。
用面积法证明勾股定理是一种经典的证明方法，下面我将简要介绍这个证明过程。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
我们将这个三角形放在一个长为a、宽为b的矩形内，如下图所示：```---------------| || ||-------------|```首先，我们计算矩形的面积，它等于长乘以宽，即为ab。
接下来，我们将直角三角形内部的直角边分别作为底边和高，可以得到两个矩形，这两个矩形的面积分别为a²和b²，如下图所示：```---------------| a || △ ||-------------|| b |```因此，整个直角三角形的面积等于两个矩形的面积之和，即ab = a² + b²。
进一步，我们观察到斜边c正好可以作为两个矩形的对角线，如下图所示：```---------------| a || △ ||-------------|| b || || ||-------------|```我们知道对角线的长度等于矩形两边长度的平方和开根号，即c = √(a² + b²)。
因此，我们通过面积法证明了勾股定理，即在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
这是一个简单而直观的证明方法，通过将直角三角形转化为矩形和计算面积的过程，我们得到了勾股定理的几何解释。
不仅能加深对勾股定理的理解，同时也能让我们以不同的方式思考数学问题。
勾股定理 例题含答案
勾股定理经典例题含答案11页勾股定理是一个基本的初等几何定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;如果直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2,若a、b、c都是正整数,a,b,c叫做勾股数组;勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一;勾股定理是人类发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是的纽带之一;“勾三,股四,弦五”是勾股定理的一个最着名的;远在公元前约三千年的人就知道和应用勾股定理,还知道许多勾股数组;古埃及人也应用过勾股定理;在中国,西周的提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例;在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和;类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=90°1已知a=6, c=10,求b, 2已知a=40,b=9,求c；3已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用;解析：1 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=2 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=3 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=举一反三变式:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少答案∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思路点拨：由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.解析：作于D,则因,∴的两个锐角互余∴在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.根据勾股定理,在中,.根据勾股定理,在中,.∴.举一反三变式1如图,已知：,,于P. 求证：.解析：连结BM,根据勾股定理,在中,.而在中,则根据勾股定理有.∴又∵已知,∴.在中,根据勾股定理有,∴.变式2已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2;求：四边形ABCD的面积;分析：如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单;解析：延长AD、BC交于E;∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°;∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==;∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==;∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点;1求A、C两点之间的距离;2确定目的地C在营地A的什么方向;解析：1过B点作BE500m500m1000m2.5米1.6米0.8米1米0.8米０.６米＋２.３＝２.９米＞２.５米．因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门．二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图1、图2中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝3图3中,在Rt△ABC中同理∴图3中的路线长为图4中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞>∴图4的连接线路最短,即图4的架设方案最省电线．举一反三变式如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm, 根据勾股定理得提问：勾股定理∴AC＝＝＝≈１０．７７cm勾股定理．答：最短路程约为１０．７７cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段;思路点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作;作法：如图所示1作直角边为1单位长的等腰直角△ACB,使AB为斜边；2以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角;斜边为；3顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是、、、;举一反三变式在数轴上表示的点;解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1;作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为;类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．正确2．原命题：对顶角相等正确3．原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．正确4．原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等．正确思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系;解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．•正确4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上．正确总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备;7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状;思路点拨：要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题;解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴a-32+b-42+c-52=0;∵a-32≥0, b-42≥0, c-52≥0;∴a=3,b=4,c=5;∵32+42=52,∴a2+b2=c2;由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形;总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到;举一反三变式1四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;答案：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理变式2已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2m,n为正整数,且m＞n,判断△ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以△ABC是直角三角形.变式3如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB;请问FE与DE是否垂直请说明;答案答：DE⊥EF;证明：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2;连接DF如图DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2;∴DF2=EF2+DE2,∴FE⊥DE;经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积;思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积;解析：设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得：3x2+4x2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96总结升华：直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程组求解;举一反三变式1等边三角形的边长为2,求它的面积;答案如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D则：BD＝BC等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合∵AB＝AC＝BC＝2等边三角形各边都相等∴BD＝1在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a;变式2直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积;答案设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得：由1得：x+y＝7,x+y2＝49,x2+2xy+y2＝49 33－2,得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6cm2变式3若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n;思路点拨：首先要确定斜边最长的边长n+3,然后利用勾股定理列方程求解;解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：n+12+n+22＝n+32化简得：n2＝4∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边;变式4以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝c－ac+a来判断;例如：对于选择D,∵82≠40+39×40－39,∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形;同理可以判断其它选项; 答案：A变式5四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;解：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m;假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒思路点拨：1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度;2要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程;因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校;解析：作AB⊥MN,垂足为B;在RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴AB＝AP＝80; 在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响;如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC＝100m,由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60;同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD＝100m,BD＝60m,∴CD＝120m;拖拉机行驶的速度为: 18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s;答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒;总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理;举一反三变式1如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”;他们仅仅少走了__________步路假设2步为1m,却踩伤了花草;解析：他们原来走的路为3+4＝7m设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2m又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路;答案4变式2如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形;1直接写出单位正三角形的高与面积;2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少3求出图中线段AC的长可作辅助线;答案1单位正三角形的高为,面积是;2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积;3过A作AK⊥BC于点K如图所示,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长;思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD．解：连接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFDASA．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,根据勾股定理得：,所以EF=13;总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识;通过此题,我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解;二方程的思想方法4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值;思路点拨：由,再找出、的关系即可求出和的值;解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,则,由勾股定理,得;因为,所以,,,;总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半;举一反三：变式如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长; 解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF;因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,在Rt△ABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以; 所以;设,则;在Rt△ECF中,,即,解得;即EF的长为5cm;。
勾股定理证明方法及习题全解
做8个全等的宜角三角形.设它们的两条直角边长分別为」b ・斜边长为c ・ 再做三个边长分别为黑b. c的正方形.把它们像上图那样拼成衲个正方形. 从图上可以石到・这两个正方形的边K 都是a * b.所以向积相等•即 a 2 +/>' +4x —aZ> = c* +4x —<//> » >2 2 •整理得 a l ^b^u 2.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为左角边.以c 为料边做四个金等的逍角三角形.则每个£1角三介 —cib形的血枳等丁• 2 •把这四个直角三角形拼成如图所示形状•便A 、E. B 三点在一条去线上，B. F 、C 三点在一条直线上.•: Rt A HAE 仝 Rt A EBF, ••• ZAHE= ZBEF. •: ZAEH+ ZAHE = 90°f :.ZAEH+ ZBEF = 90°.••• ZHEF= 180°-90°^ 90°・•••四边形EF(iH 是一个边长为c 的正方形•它的面积等于上【证法1］（课本的证明〉aba bC. G 、D 三点在一条直线上.C b abEAb•: Rt A GDH 也RlAHAE,••• ZHGD= ZEHA.V ZHGD+ ZGHD = 90u,:.ZEIIA 4- ZGHD-90u.乂••• ZGHE = 90M t••• ZDHA=90°+90°= 180u.••• ABCD是-个边长为a + b的止力•形，它的血枳等丁（" +疔・【证法3】（赵爽证明）以a、b为◎角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的立角三角形，则每个n角丄血三角形的而积筲于宁'•把这以|个也角三角形拼成如图所示形状.•・・ Rt A DAH 竺Rt A ABE,・•・ ZHDA= ZEAB.•・• ZHAD+ ZHAD = 9（T,:.ZEAB+ ZHAD = 90°,・•・A BCD是一个边氏为c的正方形,•・・ EF = FG=GH=HE = b-a, ZHEF =90°・••• EFGH是一个边长为b-a的正方形.它的面积等于仏厂【证法4] （1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的百角三角形.则每个W角三角它的面积等于討XV ZDAE = 90°r ZEBC = 90°, ••• AD〃BC.4x-ab + (h-a)2 = c2* • 2它的Iftl积等于&形的血枳等丁d"在-条］I线上.V Rt A EAD・•・ZADE=•: ZAED +:.ZAED +•把这两个直角三角形拼成如图所示形状.使A、E、CB三点D參RtACRE,ZBEC.ZADE = 90°,ZBEC = 90°.••• ZDEC= 180°-90°= 90°.••• A DEC是一个等三角形.bA B它的面积等于2【证法5】（梅文鼎证明）做叫个金筲的宜允三角形・设它们的两条F［角边氏分别为;K b •斜边K为 c.把它们拼成如图那样的一个£边形.便6 E. F在一条宜壮・过C作AC 的延长线交DF于点P.V IX E. F在一条EL线上ILR2GEF Q k 'EIHX:.ZEGF= ZBED.I ZEGF > ZGEF・9(r • :.ZBED+ ZGEF"(T • :.ZBEG=lW a-90°=90D.又丁AB = BE = EG = GA = c.:.AREG是-个边Sc的正方形.:.ZABC+ ZCBE = 90°.V Ri A ABC 耳Rt AEBD, :.ZABC= ZEBD.:.ZEBD+ ZCBE 90°.即ZCBD=90\乂I NBDE=*)J ZBCP= W ・BC-BDr：• BDPC是一个边长为a的正方形.同理• HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBF的血积为S•则a2十“’ «S+2x—：• ABCD是一个直角梯形,FA c B【证法6】（项明达证明）做两个全等的直用三九形・设它们的两条应用边长分別为3、b（b*> •斜边长为G再做一个边长为c的疋方形.把它们拼瑕如图侨示的名边形•使E.A.F 作FN 丄PQ ・垂足为N ・•/ ZBCA=90°, QP 〃BC ・:.ZMPC = 90°. V BM1PQ, :.ZBMP-W.:.BCPM 是一个矩形.B|IZMBC=9(r.•/ NQBM4 ZMBA- ZQBA • 90°. NABC+ZMBA= NMBC=90\:.ZQBM - ZABC.乂 I 上BMP 二 90° ・・BCA二 90°. BQ 二 BA 二“ 【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为狙b. c 的正方形.把它们拼应如闺所示形状.便lh C 、 H 三点在一条自线上・连结BF. CD.过 C 作CL 丄DE. 交AB T 点M 交DE 于点 LI AF= AC. AR = AD. ZEAB= NGAD.AFAB 丝 A GAD . 丄/••• A FAB 的面积等于2 • A GAD 的面积等弓矩形ADIA1 風理町证.矩形MLEB 的面枳」・・•正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面枳+矩形MLEB 的面枳【证法«］（利用相似三介形性质证明） 如图,在R2ABC 中.设直角边AC 、 K 为c ・过戍C 作CD 丄AB.碼足足D. 在^ADC 和dACB 屮・V NADC= ZACB = W. ZCAD- ZBAC.A ADC s AACB ・AD : AC =AC : AR ・ 即 AC 1 =肋•肋.同理可证.ACDB 5 AACB.从而冇BC‘ = BD ・AB. :.4阳=(初肿2 .即宀V的面职的-半.:.矩形ADLM 的面积一几 BC 的出ft 分別为3、b-斜边AB 泊【证法9】(杨作玫证明)做两个全等的直和三角形.设它们的两条•育加边长分别为叭b<br 儿斜边 K 为c.再做一•个边K 为c 的辰方形.把它们折成如阳所示的多边形.过A 作AF 丄AC, AF 交GT J : F, AF 史2)T 」R.过B 作BP 丄AF ・爭足为P.过D 作DE 与CB 的if 长饯■</[•乘足为E. D 巨交AF 于H.•: ZBAD ■刈• ZPAC - 90".■； ZDAH= ZB AC. XV ZDHA= W°. ZBCA=90°. AD = AB = c. •； Rt »DHA 旦 Rt&BC 人.7 DH = BC=a. AH = AC = b. 山作法wJllh PBCA 是一个矩形. 蔺以 Rt A APB 也 Rt A BC A •即 PB = CA = b ・ AP= a ・从而 PH = b~a.V Rl'DGT £ Rl^BCA. Rt ADHA W Rt ABC A・•: R( XDGT 也 Rl 'DHA.•； DH = DG=a ・ ZGDT= ZHDA. 乂T ZDGT-90仁 ZDHF-9T.ZGDH - ZGDT+ ZTDH = ZHDA-b ZTDH = 90°. •: DGFH 衆一个边K 为Q 的正力形.•: GF=FH = a ・TF 丄AF ・ TF= GT-GF= b-a .••• TFPB<一个直角梯形,上底TF-b-a.下底BP ・b,高FP-a+- (b-a). 用数字表示面积的编号(如图人則以c 为边长的正方形的丙积为员 + S] + / =丄[/>+(/> +(厶 _ t/)] I ，_丄皿•: 2 = 2C - = Sg + aVj + — S| — S” + 4 Sy=b' +52 + 5^ =沪A= S M + Sy把②代入①.得【证法汕】（李俛证明）设点角三角形两直角边的长分别为a. b （bi 斜边的长为C•做三个边长分别为a.b. c的正方形.祀1它们拼成如图所示形状.使A. E、G三点在一条fl线上.用数字衣示而积的编号（如图》•••• ZTBE・ ZABI19V%:.ZTBH= ZABE. 乂丁ZBTII- ZBEA二90°.BT = BE = b ・:.RtAHBT 也ABE.:.HT = AE = x:.GH =GT-HT = b-a. 又I ZGHF+ ZBHT = 90° .ZDBC+ ZBHT= ZTBH+ ZBHT«90°,ZGHF= ZDBC.I DB = EB—ED = b-a.ZHGF= ZBDC = 90°.过Q作QM丄AG・爭足是M・由ZBAQ= ZBEA =90° .町知ZABE ZQAM ・而AB-AQ-c.所以RlAABE 幻R( A QAM .又Rf MfBT 也Rt A ABE.所以RtAHBT 幻Rt A QAM •即几話.tb Rt A ABE 9 Rt A QAM. 乂得QM = AE = a. ZAQM= ZBAE.I ZAQM + ZFQM ■ 90° • ZBAE 卜ZCAR ■ 9tT • ZAQM - ZBAE • :.ZFQM» ZCAR.乂I ZQMF- ZARC-900・ QM・AR・a ・:.RtAQMF 也RtA ARC.即山■久.• •= /]丰丰4-d* = S、+ h' = 5>| + S7 + SjX V 4=6, S* =5$, S_, = S°,•:宀2RA ：• R2HGF 经R( a BDC. W=S] ♦ S. + 十S? +5^即f［证祛11］（利用切别线定理证明）在RtAABC ttn/fl边RC二a・ AC=b.料边AR二c•如图.以R 为岡心a为半径作回・交AB及AB的延K线分别】L＞、E・则BD = BE = BL = a. W 为ZBCA = 9a1.点C在OB匕•所以AC是OR的切线•由切割线定理.科AC2 +E・ AD丄 B + BE'HB-BD）=/-/,|I|I b2“‘ +6’ = c2.【证法12】（利用多列米定理证明）衣RtAABC中・设11角边BC=a・ AC = b •斜边AR = c （jfllffl）.过点人作AD〃CP・过点B作BD〃CA・则ACBD为处形.矩彤ACBD内按J；个圆. 根抵形列米定理•岡内按叫边形对角线的乘积等J两对边乘积z和.刊加• DC—肚+ /（>〃〃•V AB-DC-Cw AD-BC-a.AC = BD = b・A AH Z BC2 AC Z. up C2 =a2 +/>2.••• d2 ^b2 ^c2・【证法13】（作直角三角形的内切圆证明》K Rt A ABC .设『I角边B€=a. AC=b.斜边AB=c・作R—'ABC的内切呦（DO・切点分别为D、E・V设®O^t径为匕•/ AE=AF. BF=RD・ CD = CE・:.JC+5C-JB=（JE + CE） +（BD + CD）-（dF+ IfF）■ CE + CD =「十］• ■ 2r,HP•: a 4- 6 = 2r 4- c e.・.（a + ^）J =（2r + c）\即a"十十2cib = 4（r2 + rc）+...九“詁血，.：2必工4几杖，c* . c , c -cr^-ar + 丄〃尸丄（&+〃 + <?》■又T 九ac h*咖4 4»心・=2 2 2 = 2i（2r + c*c>=2 = r + rc\,...4（宀小侶w.二 4（r3 4-rr）= lab ..；a •+* 2cb = 2a/>+c'. :. a* -4-/>2 = f* t【证法14］（利用反证法证明）如国，在Rt AABC中.KtHHl边AC、RC的f度分别为乩b•斜边AR的长为c.过点C作CD丄AB.垂足是D.假设/十胪丸即假设AC2 ± BC2 AB2•则由AB' = AB • AB = ** BD）二加"Q 十肋• BDnjill •或者BC・ tAB ・ BDL!|I AD< AC^ACi AB.或冇BD BC/BC：人B・在A ADC和A ACB中.V ZA= ZA.:.若ADt AC^AC： AB・则ZADC^ZACB.右.ACDB 和 * ACB 'I1.V ZB - ZB.:.若BC^BC： AB.则ZCDB^ZACB ・乂T ZACBf.这与作法CD丄AB «•所以，AC^BC^AB^｝假设不能成立.•:十b‘ =c\设直角三角形两宜角边的长分别为叭b・斜边的长为C.作边长是hb的正方形ABCD.把止方形ABCD划分成上方左图所■的几个部分.则正方形ABCD的血积为（"+盯二把止方形ABCD划分成上方右图所加的儿个（<;+ &尸=4 x 丄a厶+ F =部分.则正方彤ABCD的仙积为 2 二2MW.•: a2 +/)2 + lab = lub + v2f.*. a：+b：=c[【证法16】（陈杰证明）设貴角工饬形曲肖的边的K分别为氛b <b>a>.斜边的长为c・做购个边长分别为s b的正方形（b>“ 把它们拼成如图所示形状.使E. H、M三点在・条直线上.用数字表示而积的编号cinra, •在£H=b上餒取ED = a・逹鉛DA. DC・则AD =GV EM=EH +HM=b+a. ED = a・:.DM = EM-ED = (/> + </)-a = b.乂T ZCMD « 90°. CM-a.ZAED = 90® . AE-b.:.RtAAED 也lit A DMC.:.ZEAD= ZMDC・ DC = AD = c.V ZADE+ ZADC4- ZMDC =1^0°.BZADE+ ZMDC- ZADE+ ^EAD ■剜.:.ZADC = <M \:.ft AB//TX：. CBZ/DA-则AECD母一个边也为匚时正方彫V ZBAF+ 2 EAD = ZDAE +NFAD=9『T；■ZHAF=^DAE<迷结FE*在九ABF和％ADE中，■/ AB -AD = c，必匚=AF = b. ZTJA^ZDA^,A ABF 旦A ADE,:、ZAFB- DF-DE-x:.点B・F、G. H痉一条自钱上.存Rl X ABF 和Rl \ BCG 中*T AU - UC -c，UF-CG- a.:.Rt A ABF «Rt A BCG・•・十兄十①十肌* =J,+^ + ^f/ =跃十畀叭5 =5, = 5j = 5（, + S7■曇•西+科*（几佔）■屍+ A1+ A勾股定理练习题—、基础达标：1. 下列说法正确的是（）A. 若a、b、c是厶ABC的三边，贝卩a2+ b2= c2;B. 若a、b、c 是Rt△ ABC的三边，则a2+ b2= c2;C. 若a、b、c 是Rt△ ABC的三边，.A no，贝卩a2+ b2= c2;D. 若a、b、c 是Rt△ ABC的三边，.c no，贝S a2+ b2= c2.2. Rt △ ABC的三条边长分别是a、b、c,则下列各式成立的是（）A . a b = c B. a b c C. a b ： c D. a2b2= c23. 如果Rt△的两直角边长分别为k2-1, 2k （k >1 ）,那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1 C k2-1 D k2+14. 已知a, b, c ABC三边，且满足（a2—b2）（a 2+b2-c2）=0,则它的形状为（）A.直角三角形C.等腰直角三角形5. 直角三角形中一直角边的长为 三角形的周长为（） A . 121 B .1206. △ ABC 中,AB= 15,AC= 13,高 AD= 12,则厶ABC 的周长为（ A . 42 B . 32 7. ※直角三角形的面积为 长为（）（A ） d 2 S 2d （C ） 2 ,d 2S 2d8在平面直角坐标系中， A : 3 B : 49.若厶 ABC 中, AB=25cmAC=26cr 高 AD=24,则 BC 的长为()A . 17B.3C.17或3 D.以上都不对10. 已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足（a-6）2+V^8+|c -10 | =0则三角形的形状是（ ）A :底与边不相等的等腰三角形B:等边三角形 C:钝角三角形 D:直角三角形11. 斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是 ______ .12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为 ______ . 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为 200,则斜边长为 _________ 14. ______________________________________________ 一个三角形三边之比是10:8:6，则按角分类它是 ____________________ 三角形. 15. 一个三角形的三边之比为5 ： 12 ： 13,它的周长为60,则它的面B.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 9,另两边为连续自然数，则直角D.不能确定）C . 42 或 32D . 37 或 33 S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周(B ) . d 2 _S _d(D ) 2.d 2 S d已知点P 的坐标是(3,4),则OP 勺长为(积是_____ .16. 在Rt △ ABC中，斜边AB=4 贝卩AU+BC+ AC二 .17. ____________________________________ 若三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则这个三角形三个角度数分别是___________________________________ ，另外一边的平方是 _____ .18. 如图，已知• ABC 中，/ C = 90 , BA = 15, BAC=12，以直角边BC为直径作半圆，贝S 厂、、这个半圆的面积是I19. 一长方形的一边长为3cm，面积为12cm2, C A那么它的一条对角线长是________ .二、综合发展：1. 如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长.2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cr现将直角边AC沿/ CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？CD ”3. 一个三角形三条边的长分别为15cm , 20cm , 25cm，这个三角形最长边上的高是多少？4.如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m棚宽a=4m棚的长为12m 现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m处, 过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为5o m这辆小汽车小汽车小汽车超速了吗?答案：一、基础达标1.解析：利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案:D.2.解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理答案：B.3.解析：设另一条直角边为x，则斜边为（x+1 ）利用勾股定理可得方程，可以求出x.然后再求它的周长.答案：C.4.解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5.解析： 2 2 2勾股定理得到：17一8二15,另一条直角边是15,1 215 8= 60cm22所求直角三角形面积为2.答案:6.解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立.7. & 答案：a2・b 2二c 2, C ,直角，斜，直角.解析:本题由边长之比是 10:8:6可知满足勾股定理，即是直角三角形.答案：直角. 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数 ，断定是直角三角形.答案：30、60、90 , 3.2解析：由勾股定理知道：BC 为直径的半圆面积为 10.125 n 10. 解析：长方形面积长X 宽，即 答案：5cm . 二、综合发展11. 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案：5m . 12解析：因为152 202= 252，所以这三角形是直角三角形，设最长边(斜边)上的高为1 1xcm，由直角三角形面积关系，可得-15 20 =丄25 x ，二x =12 .答案：12cm 2 213•解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少， 勾股定理求出•答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为2所以矩形塑料薄膜的面积是： 5X 20=100(m).14. 解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解 • 答案：6.5s .15. 解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是 2s ，可得速度是 20m/s=72km/h > 70 km/h . 答案：这辆小汽车超速了.9. = AB 2 _AC 2 =152 _122 = 92，所以以直角边 BC = 9 .答案：10.125 n .12长X 3,长=4，所以一条对角线长为 5.可以借助5m,13m ,也就是两树树。
面积证明勾股定理
面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
C B AD EF1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5AB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3B．4 CD ．56．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ．求AC 的长．7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。
勾股定理最全题型完整答案
勾股定理最全题型完整答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 2．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA 22212=+=，12S =；OA 322213=+=，22S =；OA 422214=+=，32S =… （1）（直接写出答案）OA 10＝ ，并用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变规律：OA n 2＝ ；S n ＝ ．（23的点．4．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是多少？5．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC 中，A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(－2，0)，C 点坐标为(0，－1)． （1）求AC 的长； （2）求证：AC ⊥BC ．6．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C()1如图①，已知12,13BC AB ==，求AC 的长；()2如图②，CD AB ⊥，垂足为点D ，已知6,8BC AC ==，求CD 的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，∠BDC=45°，AB=13，BC=5．（1）求BD的长；（2）求AD的长．8．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab＋(a－b)2，所以4×12ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC 的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a －2b )2=a 2－4ab ＋4b 2，画在上面的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．9．如图，在四边形ABCD 中，90,90,3,4,12BAD DBC AD AB BC ︒∠=︒∠====，求CD ．10．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15/km h 的速度移动，已知城市A 到BC 的距离100AD km =． （1）台风中心经过多长时间从B 移动到D 点？（2）已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D 的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？11．请在方格内画△ABC ，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，，求①△ABC 的面积；②最长边上的高．12．如图，某位老师在讲“实数”时，画了一个图，即“以数轴的单位长线段为边作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A ”，作这样的图用来说明：13．阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法.先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b ，斜边为c ，然后按图1的方法将它们摆成正方形. 由图1可以得到221()42a b ab c +=⨯+， 整理，得22222a ab b ab c ++=+． 所以222+=a b c ．（1）如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形， 请你参照上述证明勾股定理的方法，用图2证明勾股定理.（2）图2中若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值. 14．在平面直角坐标系中（1）在图中描出A （﹣2，﹣2），B （﹣8，6），C （2，1） （2）连接AB 、BC 、AC ，试判断△ABC 的形状．15．如图在四边形ABCD 中， AD=1,AB=BC=2,DC=3,AD ⊥AB,求ABCD S 四边形16．任选一题作答，只计一题的成绩：一、如图，某工厂C 和一条笔直的公路AB ，原有两条路AC ，BC 可以C 到达AB ，经测量600m AC =，800m BC =，1000m AB =，现需要修建一条新公路，使C 到AB 的距离最短．请你帮C 设计一种方案，并求新建公路的长．二、如图，90ADC ∠=︒，4=AD m ，3CD =m ， 13AB =m ，12BC =m ． （1）试判断以点A ，B ，C 为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积．17．阅读：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．解：因为a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，①所以c 2（a 2﹣b 2）＝（a 2﹣b 2）（a 2+b 2）．② 所以c 2＝a 2+b 2．③所以△ABC 是直角三角形．④ 请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第 步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为 ； （2）请你将正确的解答过程写下来．18．已知：a 、b 、c 是ABC ∆的三边，()215170b c -+-=，ABC ∆面积等于______.19．（1）特例求解：在△ABC 中，若三角形的三边为6、8、10，则这个三角形的面积 为 ．（2）一般化探究：在三角形ABC 中，若AB=13，AC=14，BC=15，求△ABC 的面积． （3）模型建立：在图1三角形中，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABDE 和正方形BCFG ，试说明S △ABC =S △BDG ．(温馨提示：作DP ⊥BG ，AH ⊥BC)（4）模型应用：分别以图1中三角形的三边为边向外作正方形ABDE 、正方形BCFG 和正方形AMNC ，如图3，利用（3）中的结论求多边形DEMNFG 的面积，直接写出结论．20．如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高6BC cm =，P 是BC 上一点且23PC BC =.一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的侧面爬行到点P ，求爬行的最短路程是多少．21．如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，BC 10cm =，8AB cm =.（1）求BF 的长；（2）求EC 的长.22．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x 2+y 2＝z 2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x ，y ，z ）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数．（1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n 表示大于1的整数，x ＝2n ，y ＝n 2﹣1，z ＝n 2+1，那么，以x ，y ，z 为三边的三角形为直角三角形（即x ，y ，z 为勾股数），请你加以证明；（2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，直接写出第6个数组．23．如图所示，已知ABC ∆中，8AB cm =，6AC cm =，BC 10cm =.分别以三边,AB AC 及BC 为直径向外作半圆，求阴影部分的面积.24．如图，在ABC V 中，90B ∠=︒，25AC cm =，15BC cm =，P ，Q 分别是ABC V 边AB ，BC 上的两个动点，其中点P 以每秒2个单位的速度由点A 向点B 运动；点Q 以每秒3个单位的速度由点B 到点C 再到点A 运动；它们同时出发，当一个点到达终点停止，另一个点继续运动到终点也停止，设运动时间为t 秒。
介绍勾股定理的面积证法
介绍勾股定理的面积证法
勾股定理是一个著名的数学定理，它最早由古希腊数学家达伽马提出，强调在直角三角形中，两条直角边的平方和等于另一条直角边的平方，即a2+b2=c2。
今天，我们将介绍勾股定理的面积证明方法。
以下为证明过程：
1. 我们首先将直角三角形分割成两个直角三角形。
2. 由勾股定理，我们知道对角线长度为其两直角边的平方和的开根号，即c2=a2+b2。
3. 两个直角三角形的面积之和等于等腰三角形的面积。
4. 根据勾股定理，等腰三角形的面积等于等腰三角形的半周长乘以直角三角形的对角线，即面积A=0.5×c×(a+b)。
因此，我们可以得出结论：直角三角形的面积A=0.5×√(a2+b2)×(a+b)，即勾股定理的面积证明。
由此可见，勾股定理的面积证明的推导过程极为简单，但含义深刻。
它是老师在教科书中所熟悉的定理，但我们也可以从中找到科学性和实用性，真正体现出数学的真正魅力。
用面积证明勾股定理的原理
用面积证明勾股定理的原理面积证明勾股定理是一种通过对三角形各边的长度进行计算，来验证三条边符合勾股定理的方法。
该方法基于平行四边形面积的性质，可以通过计算三角形各边构成的平行四边形的面积关系，进而推导出勾股定理的原理。
为了证明勾股定理，我们先要了解平行四边形面积的性质。
平行四边形有两条对等的边与一条夹角，我们将这两条对等的边分别称为底边和高。
平行四边形的面积可以通过底边与高的乘积来计算，即S = 底边×高。
我们选取任意一个直角三角形ABC，假设直角边分别为a，b，斜边为c，且直角为C。
首先，我们以c为底边，构造一个平行于直角边a的线段DE，使它与直角边b和斜边c分别交于点D和点E，形成平行四边形ABED。
在这个平行四边形中，线段DE是底边，直角边a是高。
根据平行四边形的面积性质，我们可以计算平行四边形面积S' = DE ×a。
接下来，我们以直角边b为底边，构造一个线段FG，使它与直角边a和斜边c 分别交于点F和点G，形成平行四边形ACGF。
在这个平行四边形中，线段FG 是底边，直角边b是高。
同样地，根据平行四边形的面积性质，我们可以计算平行四边形面积S" = FG ×b。
由于ABED和ACGF是共用一对对等边的平行四边形，它们的面积应该相等，即S' = S"。
因此，我们可以得到以下等式：DE ×a = FG ×b我们将等式两边除以2，得到：(a ×DE) / 2 = (b ×FG) / 2由于直角三角形ABC的面积可以通过斜边c的一半和直角边a与b的乘积来计算，即S = (c ×a ×b) / 2，我们可以将等式转化为：S = S'将S'代入等式，我们可以得到：S = (a ×DE) / 2进一步地，我们可以将DE的长度用斜边c减去GF的长度得到，即DE = c - GF：S = (a ×(c - GF)) / 2通过化简，我们得到：2S = a ×(c - GF)进一步化简为：2S = ac - aGF由于GF的长度等于b，我们可以将等式转化为：2S = ac - ab经过重新排列，我们得到：2S + ab = ac进一步化简为：a²+ b²= c²这正是勾股定理的表达式。
怎么用面积证明勾股定理
(° + 鸟)(金+3) = 2x-ab+-c 22 2用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1所示的正方形方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）— 1和（3）— 2所示的两个形状相同 的正方形。
在（3）— 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）， 在（3）— 2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积） 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：】一「.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形图（1）中图（2）中‘如阿二F 3 - 口）2 + 4x ：必(1)4(4)练习题（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决.49、如图所示，△ ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、 AC 边上的点，且 DE 丄DF ，若BE=12，CF=5.求线段EF 的长。
50如图，在等腰厶ABC 中，/ ACB=90 °，D 、E 为斜边AB 上的点，且/ DCE=45° 求证：DE 2=AD 2+BE 2。
51如图，在△ A BC 中,52如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4,将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部 分厶AFC 的面积是 。
53在厶ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高A D=12，试求BC 边的长.BCCACAB=13,BC=14,A C=15，则 BC 边上的高 A D=54在厶A BC中,D是BC所在直线上一点，若AB=IO,BD=6,AD=8,AC=17 ，求△ ABC的面积。
55. 若厶ABC三边a b、c满足a2+ b2+ c2+ 338=10a+24b+26c △ ABC是直角三角形吗？为什么？56. 在厶ABC中，BC=1997, AC=1998, AB2=1997+1998，则△ ABC是否为直角三角形？为什么? 注意BC、AC、AB的大小关系。
勾股定理证明
【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)，整理得到：a^2+b^2=c^2。
【证法2】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c^2.∵RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2.∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。
此主题相关图片如下：【证法3】以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2.∵EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2.∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2，∴ a^2+b^2=c^2。
勾股定理的证明的方法
个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形•从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等•即a2 +b2 +4x — ab = c2 +4x — ah 1°72 2 ,整理得cr+lr=c\【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于护•把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上, B、F. C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.••• Rt A HAE £ R tAEBF；••• ZAHE= ZBEF. ••• ZAEH+ ZAHE = 90°,・・・ ZAEH + ZBEF = 90°・・•・ ZHEF= 180°-90°=90°.・・・四边形EFGH是一个边长为（:的正方形.它的面积等于c2.I RtAGDH £ RtAHAE,・・・ ZHGD= ZEHA.•・• ZHGD+ ZGHD = 90°,・・・ ZEHA+ ZGHD = 90°・又・・• ZGHE = 90°,・・・ ZDHA = 90°+90°= 180°・・・・ABCD是一个边长为a+ b的正方形，它的面积等于@ +疔.a1 +b2 =c2【证法3】(赵爽证明)以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于5'"・把这四个直角三角形拼成如图所示形状. DI Rt A DAH 空RtAABE, A ZHDA= ZEAB.•・• ZHAD+ ZHAD = 90°,.・.ZEAB + ZHAD = 90°,・・・ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.I EF = FG =GH =HE = b-a ,ZHEF = 90°.・・・EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于0-叭B...4冷如（_疔"...宀宀己以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形, 则每个直角三角形的面积—uh等于2 •把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、••• Rt A EAD 竺RtACBE, A ZADE = ZBEC.•・• ZAED+ ZADE = 90°, A ZAED + ZBEC = 90° ・・•・ ZDEC = 180°-90°= 90°・・・・A DEC是一个等腰直角三角形，丄2它的面积等于㊁'•又••• ZDAE = 90°, ZEBC = 90°••• AD〃BC.・・・ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于刖“"【证法5】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边长分别为a 、b （b>a ）,斜边长为c.再 做一个边长c 的正方形.把它们拼成如图所示多边形,过点Q 作QP 〃BC,交AC 于点P ・过点B 作BM1PQ,垂足为M ；再过点F 作FN 丄PQ,垂足为N.•・• ZBCA = 90°, QP 〃BC, ZMPC = 90°,I BM 丄 PQ,・•・ ZBMP = 90°,・•・BCPM 是一个矩形，即ZMBC = 90°・•・• ZQBM+ ZMBA= ZQBA = 90°,ZABC + ZMBA= ZMBC = 90° A ZQBM = ZABC, 又・・•ZBMP = 90°, ZBCA = 90°, BQ= BA = c, /. Rt A BMQ 竺 RtA BCA.同理可证 Rt A QNF £ Rt A AEF【证法6】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长 分别为a 、b ,斜边长为c ・把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P.••• D 、E 、F 在一条直线上，RtAGEF ◎ RtAEBD, ・・・ ZEGF= ZBED,•・• ZEGF+ ZGEF = 90° ZBED + ZGEF = 90°・・・ ZBEG =180°-90°= 90° ・又T AB = BE = EG = GA = c,••• ABEG 是一个边长为c 的正方形.••• ZABC + ZCBE = 90°> ••• Rt A ABC 竺 RtAEBD,A ZABC = ZEBD. ・•・ ZEBD+ ZCBE = 90° ・即 ZCBD= 90°.又・・• ZBDE = 90% ZBCP = 90°, BC = BD = a ・••• BDPC 是一个边长为a 的正方形•同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S,则"+h =S + 2x 2Uh ' C =S + 2x 2ah :./ +b 2 =c 2.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在 一条直线上，连结 G =2xl^4-±c 2 .FBF、CD.过 C 作CL丄DE,交AB于点M，交DE于点L.••• AF = AC, AB=AD,ZFAB = ZGAD,・•・ AFAB A GAD,j_ 2•・・A FAB的面积等于㊁"，A GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，・・・矩形ADLM的面积=/・同理可证，矩形MLEB的面积•••正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积c2 =a2 +b2 ,即a2 +h2 =c\【证法8】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为c•做三个边长分別为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A. E、G三点在一条直线上.用数字表示而积的编号（如图）. V ZTBE = ZABH = 90° , :. ZTBH = ZABE.又I ZBTH = ZBEA = 90° . BT = BE = b,••• Rt A HBT 9 Rt A ABE. A HT = AE = a・••• GH = GT-HT = b-a ・又••• ZGHF+ ZBHT = 90° , ZDBC+ ZBHT 二ZTBH + ZBHT = 90°, ••• ZGHF= ZDBC.V DB 二EB — ED 二b—a, ZHGF = ZBDC = 90%••• Rt A HGF 9 Rt △ BDC.即"=S—过Q作QM丄AG,垂足是M.由ZBAQ= ZBEA = 90°,可知ZABE二ZQAM,而AB = AQ=c,所以Rt A ABE 9 Rt AQAM 又RtA HBT 仝Rt AABE.所以RtAHBT £ RtAQAM •即比=比. 由Rt A ABE仝RtAQAM,又得QM 二AE 二a, ZAQM = ZBAE.V ZAQM+ ZFQM = 90° , ZBAE + ZCAR = 90°, ZAQM = ZBAE,••• ZFQM= ZCAR.又V ZQMF = ZARC = 90° , QM=AR = aA Rt A QMF 仝Rt A ARC 即S^=S^...c2 =S} +S2 +S3+S4+S5 9 a2 =S{+S69 b2 =S3+S1+S^又•/ Sf = S?, S JJ = ,S4 = S6 f•+ = S[ + S§ + S3+S7 + S&.S] + S4 + S3 + S? + S5一即a2 +b2 =c2.【证法9】（辛卜松证明）片b a °ab a2Ir abB 6 a C设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的而积为S+ =小+，+ 2db ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，(a + b)2 =4x — ab + c27则正方形ABCD的而积为 2 = 2ab + L .:. a2 +b2 + 2ab = lab + c2f:. a2 +b2 =c2.【证法10】（杨作玫证明）’做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a. b（b>a）,斜边长为c・再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC, AF交GT于F, AF交DT于R・过B作BP丄AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E, DE交AF于H・•・• ZBAD = 90°, ZPAC = 90°,・•・ ZDAH = ZB AC ・XV ZDHA = 90° , ZBCA = 90°,AD = AB = c,・•・ Rt A DHA RtA BCA./. DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以Rt A APB£ Rt A BCA.即PB 二CA = b, AP= a,从而PH =b—a.I Rt A DGT 幻Rt A BCA , Rt A DHA RtA BCA.••• Rt A DGT 竺Rt A DHA • ••• DH = DG = a, ZGDT= ZHDA.又・・• ZDGT = 90°, ZDHF = 90°,ZGDH= ZGDT+ ZTDH = ZHDA+ ZTDH = 90°, ••• DGFH是一个边长为a的正方形.••• GF = FH = a • TF丄AF, TF = GT-GF = b-a .••• TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b-a).用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为c~ = S] + S2 + S3 + S4 + S5 ①+ S4 =—[/? + (/?- a)]• \ci + (b- a)] b~ - — ab• 2 = 2 ,S5 =Ss +S<»,S\ + $4 = —— ab — S $ 12 f f:.3 4 2 s= b . ②把②代入①，得c2 =s}+s2 +沪-S] -s8+s8+s9=+S2 +S9 - h1+a‘.•••/ +b2 =c2.【证法11】(陈杰证明)设直角三角形两直角边的长分别为a、b (b>a),斜边的长为c・做两个边长分别为a、b的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图)•在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC, 则AD =c.*/ EM = EH + HM = b + a , ED = a,・・・ DM = EM-ED = © + ")—a 二b.乂・・• ZCMD = 90°, CM = a,ZAED = 90°, AE = b,・・・ Rt A AED 9 Rt A DMC ・・・・ ZEAD = ZMDC, DC = AD = c・•・• ZADE + ZADC+ ZMDC =180°,ZADE+ ZMDC = ZADE + ZEAD = 90°,・•・ZADC = 90°・・•・作AB〃DC, CB〃DA,则ABCD是一个边长为c的正方形.I ZBAF+ ZFAD = ZDAE + ZFAD = 90°,・・・ ZBAF=ZDAE.连结FB,在AABF和AADE中，T AB =AD = c, AE = AF = b, ZBAF=ZDAE,・•・ A ABF 9 A ADE.・・・ ZAFB = ZAED = 90° , BF = DE = a・・••点B、F、G、H在一条直线上.在Rt A ABF 和Rt A BCG 中，*.* AB = BC = c, BF = CG = a,・•・ Rt A ABF 今RtABCG.a2 =53 +S7・.・ c2 = S2 + S3 + S4 + S5, b2 =S X+S2+S6= S5 = S4 = S6+ S7• a~ ++ S? + S] + S, + S（、=$2 +S3 +S] +（S6 + 57）=S 2 +S3 + S4 + S5a2 +b2 =c2.。
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阅读理解题
1.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一些含根号的式子的平方，如3+2错误！未找到引用源。
=(1+错误！未找到引用源。
)2，善于思考的小明进行了如下探索：
设a+b错误！未找到引用源。
=(m+n错误！未找到引用源。
)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a+b错误！未找到引用源。
=m2+2mn错误！未找到引用源。
+2n2.
∴a=m2+2n2，b=2mn.
这样，小明找到了把部分a+b错误！未找到引用源。
的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a+b错误！未找到引用源。
=(m+n 错误！未找到引用源。
)2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a= ，b= .
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：+ 错误！未找到引用源。
=( + 错误！未找到引用源。
)2.
(3)若a+4错误！未找到引用源。
=(m+n错误！未找到引用源。
)2且a，b，m，n均为正整数，求a的值.
【解析】(1)m2+3n22mn
(2)12，6，3，1等(答案不唯一)
(3)由b=2mn得4=2mn，mn=2，a，m，n均为正整数，
mn=1×2或mn=2×1，即m=1，n=2或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=m2+3n2=12+3×22=13.
当m=2，n=1时，a=m2+3n2=22+3×12=7.
勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明.
下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2.
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=错误！未找到引用源。
b2+错误！未找到引用源。
ab，
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=错误！未找到引用源。
c2+错误！未找到引用源。
a(b-a)，
∴错误！未找到引用源。
b2+错误！未找到引用源。
ab=错误！未找到引用源。
c2+错误！未找到引用源。
a(b-a)，
∴a2+b2=c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°.求证：a2+b2=c2.
证明：连接，∵S多边形ACBED= ，
又∵S多边形ACBED= ，∴.
【解析】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a.
∵S五边形ACBED=S△ACB+ S△ABE+ S△AED=错误！未找到引用源。
ab+错误！未找到引用源。
b2+错误！未找到引用源。
ab，
又∵S五边形ACBED= S△ACB+ S△ABD+ S△BDE
=错误！未找到引用源。
ab+错误！未找到引用源。
c2+错误！未找到引用源。
a(b-a)，
∴错误！未找到引用源。
ab+错误！未找到引用源。
b2+错误！未找到引用源。
ab=错误！未找到引用源。
ab+错误！未找到引用源。
c2+错误！未找到引用源。
a(b-a).
∴a2+b2=c2.
【一题多解】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a.
∵S五边形ACBED=S梯形ACBE+S△AED=错误！未找到引用源。
b(a+b)+错误！未找
到引用源。
ab，
又∵S五边形ACBED= S△ACB+ S△ABD+ S△BDE=错误！未找到引用源。
ab+错误！未找到引用源。
c2+错误！未找到引用源。
a(b-a)，
∴错误！未找到引用源。
b(a+b)+错误！未找到引用源。
ab=错误！未找到引用源。
ab+错误！未找到引用源。
c2+错误！未找到引用源。
a(b-a).
∴a2+b2=c2.。