人教A版高中数学选修4-2 第一讲 一 线性变换与二阶矩阵 课件(共43张PPT)

按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是 30°的旋转变换.
(1)求点A（1，0）在这个旋转变换下的像A′;
(2)y写出这个旋转变化的表y达式.
A′
30°
O
x
A(1,0)
图1
P′(x′, y′).
30° P (x,y)
α
O
x
图2
解：如图1,点A′的横坐标和纵坐标为
x = OA cos 30°
3 = 1× =
解:由矩阵定义:
3+ x = q, p = 3, －2 y = p + q,
x =－2， y =－2, p = 3,
x =－2.
q = 1.
课堂小结
1.几种特殊的线性变换:旋转变换、反射变 换、伸缩变换、投影变换、切变变换 (要求：理解并掌握各变换所对应的坐标 变换公
表示P′的坐标(x′, y′)?
如图,在直角坐标系xoy内,点 y
P(x,y)绕原点O按逆时针方向旋转
P
180°,变成点 P′(x′, y′).
180°
得到：
x’=－x,
①
y’=－y.
O
x P′
①称为旋转角为180°的旋转变换的表达式
P’是P在这个旋转变换的像.
例1 在直角坐标系xoy内,将每个点绕原点O
重点
1.二阶矩阵的概念 2.线性变换及其对应的二阶矩阵
难点
线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系
（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵
旋转变换 反射变换 伸缩变换 投影变换 切变变换
1.旋转变换
探究
将直角坐标系所有点绕原 点沿逆时针方向旋转一个角度α. 设平面内点P(x,y)经过旋转后变
成点 P′(x′, y′)
由两角和的三角函数公式得:
x′= x cos 30°－y sin 30°,
y′= x sin 30°+ y cos 30°,
No x′= 3 x－1 y
Image 即:
22
y′= 1 x +
3② y
22
即得到正方形数表:
3 －1 22 13
22
在平面直角坐标系xOy中,很多平面变 换（平面内有点构成的集合）到它自身的 映射都具有下列形式 x′= ax + by
一般地,在线性变换下,是否仍然 由平面上的直线变成直线,三角形变 成三角形呢?
教学目标
知识与能力
了解矩阵的概念
掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵
过程与方法
用代数方法表示几何变换,进而就可以 从代数的角度研究几何变换
情感态度和价值观
体验在直角坐标系中线性变换与二阶 矩阵之间的一一对应关系
教学重难点
单位矩阵: 1 0 01
记为: E
2.反射变换
平面上的任意一点P变成它关于直线l的 对称点P’的线性变换叫做关于直线l的反射.
例:在直角坐标系xOy内,任意点P(x,y)关于 直线y=x的对称点为P’(x’,y’).则相应 的坐标变换公式是: x’=y,
y’=x.
对应的二阶矩阵是 0 1 10
3.伸缩变换
定义
在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标 变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2 ,其中 k1 ,k2均为非零常数,称这样的几何变换为伸 缩变换.
伸缩变换的坐标变换公式为:
x’=k1x, y’=k2y.
No
Image 对应的二阶矩阵:
k1 0
0 k2
4.投影变换
设l是一条给定的直线.对平面内任意 一点P作直线l的垂线,垂足为P’,称点P’为 点P在直线l上的投影.
2
3 2
y = OA sin 30°
11 = 1× =
22
点A(1,0)在这个旋转变换下的像为A′(
31 ,)
22
(2) 如图2,分别连接OP,OP’,设OP = OP′=r, 记θ是以x轴的正半轴为始边,以OP为终边的角.
No ∴ x = rcosθ y = rsinθ Image x′= r cos(θ + 30°) y′= r sin(θ + 30°)
y
P(x,y) P’(x+ky,y)
O
x
平行与x轴的切变变换的坐标变换公式为: x’=x+ky, y’=y.
1k
对应的二阶矩阵:
01
抢答
平行于y轴的切变变换的坐标公式? x’=x, y’=kx+y.
对应的二阶矩阵: 1 0
k1
（二）变换、矩阵的相等
旋转角为 3π 的旋转变换的坐标变换公式 2
No x′= x cos 3π－y sin 3π
2.变换和矩阵的相等
2
2
Image y′=
3π x sin
+
3π y cos
2
2
x’=x, 即:
y’=－x.
对应的二阶矩阵:
3π cos
－sin 3π
2
2
3π
3π
sin cos
2
2
01 即: －1 0
旋转角为－π 的旋转变换的坐标变换公式 2
x′= x cos（－π）－y sin（－π）
2
2
y′= x sin（－π）+ y cos（－π）
2
2
即:
x’=x,
y’=－x.
对应的二阶矩阵:
cos（－π） －sin（－π）
2
2
sin（－π） cos（－π）
2
2
01 即: －1 0
观察
1.旋转变换的坐标变换公式 2.对应的二阶矩阵
1.旋转角度
定义
设σ,ρ是同一直角坐标平面内的两个线 性变换.若对平面内任意点P,都有σ（P）= ρ(P),则这两个线性变换相等,记为σ=ρ.
P
l α P’
定义
平面上每一点P变成 它在直线l上的投影P’,这个 变换称为关与直线l的投影 变换.
在直角坐标系xOy内,任意点P关于x轴的 投影变换的坐标变换公式为: x’=x,
y’=0.
对应的二阶矩阵: 1 0
00
5.切变变换
定义 如图,在直角坐标系xOy内,将每一点P(x,y)沿 与x轴平行的方向平移ky各单位变成P’,其中k为常 数,称这类变换为平行于x轴的切变变换.
定义
设σ,ρ所对应的二阶矩阵分别为
a1 b1 A= c1 d1 ,B=
a2 b2 .若σ=ρ, c2 d2
则a1=a2,b1=b2,c1=c2,d1=d2.这时我们称二阶 矩阵A与二阶矩阵B相等.
课堂练习
例：设A
=
3+ －2
x y
3
qp
,B =
x
p+q
－2 ,
且A = B，求p,q , x , y.
y′= cx + dy ③
其中系数a,b,c,d均为常数，则称③的 几何变换为线性变换. ③式叫做这个线性 变换的坐标变换公式.
线性变换③与a b 一一对应 cd
定义 由4个数a,b,c,d排成的正方形
数表 a b 称为二阶矩阵 cd
No 数a,b,c,d称为矩阵的元素.
Image 零矩阵: 0 0 记为: 0 00