学习k12精品专题03 特例法-2019年高考数学(文)30分钟拿下选择、填空题

方法探究

特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果.

特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.

常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.

特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但使用时一定要注意：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、填空题的最佳策略.

近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！ 经典示例

【例1】（利用特殊值）若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是

A ．22

a b >

B ．a b a b +<+

C ．2a b ab +>

D ．()2

0a b c -≥

【答案】D

【解析】对于A ，当1,2a b ==-时，不成立，所以是错误的； 对于B ，取2,1a b ==时，不成立，所以是错误的； 对于C ，取1,2a b =-=-时，不成立，所以是错误的；

对于D ，由2

0,0a b c ->≥，所以()2

0a b c -≥是正确的，故选D ．

【名师点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断. 【备考警示】本题在选取a ，b 的值时，一定要满足条件a b >，才可以正确求解. 【例2】（利用特殊函数）下列有关函数单调性的说法，不正确的是 A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数 【答案】C

方法二：

设任意实数12x x <，根据()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()12f x f x <，12()()g x g x >，设

()()()h x f x g x =+，当12x x <时，()()()()][()()212211h x h x f x g x f x g x ⎡⎤-=+-+=⎣⎦()2[f x - ()()()121][]f x g x g x +-，由于()()210f x f x ->，()()210g x g x -<，所以()()21h x h x -的符号不确

定，即()()()h x f x g x =+的单调性不确定，故选C ．

【方法点睛】根据函数单调性定义，可以进行证明并得到下面结论：在公共的定义域内，增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数.在解选择题、填空题时我们可以根据此结论直接对常见函数进行单调性的判断. 【备考警示】很明显，方法一要比方法二更简洁，比利用结论更直观.

【例3】（利用特殊数列）已知数列{}n a 是等比数列，其公比为q ，则“1q >”是“数列{}n a 为单调递增数列“的”

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】D

【名师点睛】一般地，等比数列{}n a 为单调递增数列的充要条件是10,1a q >>或10,01a q <<<．等差数列{}n b 为单调递增数列的充要条件是公差0d >．

【备考警示】等比数列的通项公式为1

1n n a a q -=，故其单调性不仅取决于1a 的符号，还要考虑()0,1q ∈还

是()1,q ∈+∞．所以本题直接求解比较困难，而选取特殊值，构造特殊数列会简单快捷得多.

【例4】（利用特殊位置）在三棱锥A BCD -中，底面为直角三角形，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________． 【答案】

4

3

【解析】如图所示，

由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则4AB =， 设AD x =，则2

16BD x =-，又BD 边上的高1CH =， 当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，此时2421111616326

V x x x x =

⨯⋅⋅-=-+，易知当2

8x =时，体积V 最大，且最大值为

4

3

. 【名师点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示成关于x 的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的