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2020年高考数学(理)一轮刷题练习：第5章 数列 5-2a

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2020高考数学一轮复习第五章数列课时训练-精装版

2020高考数学一轮复习第五章数列课时训练-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习第五章数列课时训练-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第五章数列课时训练第1课时 数列的概念及其简单表示法一、 填空题1. 数列，－，，－，…的第10项是________．2021答案：－ 解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把符号、分母、分子每一部分进行分解，就很容易归纳出数列{an}的通项公式为an ＝(－1)n ＋1·，故a10＝－.2. 已知数列{an}满足an ＋2＝an ＋1－an ，且a1＝2，a2＝3，则a2 016的值为________．答案：－1解析：由题意，得a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴ 数列{an}是周期为6的周期数列．而2 016＝6×336，∴ a2 016＝a6＝－1.3. 数列7，9，11，…，2n －1的项数是_________.答案：n －3解析：易知a1＝7，d ＝2，设项数为m ，则2n －1＝7＋(m －1)×2，m ＝n －3.4. 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且an ≠0(n ∈N*)，又anan＋1＝Sn ，则a3－a1＝________．答案：1解析：因为anan ＋1＝Sn ，所以令n ＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1.令n ＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.5. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2＋2n ＋1，则{an}的通项公式为__________．⎩⎨⎧4（n ＝1），2n ＋1（n≥2）＝an 答案： 解析：当n ＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1，∴ an＝6. 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝2an －1(n ∈N*)，则a5＝__________．答案：16解析：当n ＝1时，S1＝2a1－1，∴ a1＝1；当n≥2时，Sn ＝2an －1，Sn －1＝2an －1－1，则有 an ＝2an －2an －1，∴ an＝2an －1.∴ {an}是等比数列，且a1＝1，q ＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.7. 若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________．答案：(－2)n－1解析：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，则＝－2，得an＝(－2)n－1.8. 设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝－2,an＋1)(n∈N*)．若数列{an}是常数列，则a＝________.答案：－2解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝－2,a1＋1)＝，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2.9. 数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝________．n2答案：（n－1）2解析：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.10. 数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有an＋m＝an＋am＋nm，则a100＝________．答案：5 050解析：令m＝1，则an＋1＝an＋1＋n⇒an＋1－an＝n＋1⇒a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝100＋99＋…＋2＋1＝5 050.二、解答题11. 数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1) 这个数列的第4项是多少？(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3) 该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1) 当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6. (2) 令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是数列的第16项．(3) 令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)，∴ 从第7项起各项都是正数．12. 已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn.设cn＝T2n＋1－Tn.(1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 判断数列{cn}的增减性．解：(1) a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，⎩⎪⎨⎪⎧23（n ＝1），1n （n≥2）.＝bn ∴ (2) ∵ cn＝bn ＋1＋bn ＋2＋…＋b2n ＋1＝＋＋…＋，1n ＋1＝＋－cn －1＋cn ∴ ＝－＝<0，∴ cn ＋1<cn.∴ 数列{cn}为递减数列．13. 已知数列{an}中，an ＝1＋(n ∈N*，a ∈R ，且a ≠0)． (1) 若a ＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2) 若对任意的n ∈N*，都有an ≤a6成立，求a 的取值范围．解：(1) ∵ an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a ＝－7，∴ an＝1＋(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*)， ∴ 数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2) an ＝1＋＝1＋，对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知5<<6，即－10<a<－8，即a 的取值范围是(－10，－8)．第2课时 等 差 数 列一、 填空题1. 在等差数列{an}中，a5＝33，公差d ＝3，则201是该数列的第________项．答案：61解析：∵ an＝a5＋(n －5)d ，∴ 201＝33＋3(n －5)，n ＝61.2. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________．答案：1解析：∵ a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，解得a3＝35，同理a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33.∵ d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴ a20＝a4＋(20－4)d ＝33＋16×(－2)＝1.3. 在等差数列{an}中，已知a2＋a8＝11，则3a3＋a11的值为__________．答案：22解析：3a3＋a11＝a3＋a3＋a3＋a11＝a3＋a2＋a4＋a11＝a3＋a2＋a7＋a8＝2(a2＋a8)＝11×2＝22.4. 若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a4＝3，则a7＝________．答案：－3解析：S5＝25⇒＝25⇒a3＝5，所以d ＝a4－a3＝－2，a7＝a4＋(7－4)d ＝3－6＝－3.5. 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d ，前n 项和为Sn ，当且仅当n ＝8时，Sn 取最大值，则d 的取值范围是________．78－1<d<答案：－ 解析：由题意得，a8>0，a9<0，所以7＋7d>0，7＋8d<0，即－1<d<－.6. 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n 项和最大．答案：8解析：由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8，a8＞0，又a7＋a10＜0，所以a8＋a9＜0，所以a9＜0，所以S8＞S7，S8＞S9，故数列{an}的前8项和最大．7. 若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项．答案：13解析：a1＋a2＋a3＋an －2＋an －1＋an ＝34＋146＝180，所以3(a1＋an)＝180，即a1＋an ＝60.由Sn ＝390，知＝390，所以＝390，解得n ＝13.8. 记等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝2，且数列{}也为等差数列，则a13的值为________．答案：50解析：数列{}为等差数列，得＋＝2，即＋＝2，则d ＝4，a13＝a1＋12d ＝50.9. 已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若＝，则＝________．310答案： 解析： 由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d ，且d≠0，所以＝＝＝.10. 在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列的前n 项和为Sn ，若S2n ＋1－Sn ≤对n ∈N*恒成立，则正整数m 的最小值为________．答案：5解析：由a2＝5，a6＝21易得等差数列{an}的通项公式为an＝4n－3，所以＝.故S2n＋1－Sn＝＋＋＋…＋＋.设Tn＝S2n＋1－Sn，则Tn＋1＝S2(n＋1)＋1－Sn＋1＝S2n＋3－Sn＋1，所以Tn＋1－Tn＝(S2n＋3－Sn＋1)－(S2n＋1－Sn)＝(S2n＋3－S2n＋1)－(Sn＋1－Sn)1＝＋－＝＋－4（n＋1）－3＝＋－<＋－＝－＝0.所以Tn＋1－Tn<0，即Tn＋1<Tn.故Tn＝S2n＋1－Sn随n的增大而减小，所以若S2n＋1－Sn≤对n∈N*恒成立，即(S2n＋1－Sn)max＝S3－S1＝＋＝＋＝≤.由≤得m≥，所以正整数m的最小值为5.二、解答题11. 在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2) 由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7. 12. 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1) 若S5＝5，求S6及a1；(2) 求d的取值范围．解：(1) 由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以解得因此S6＝－3，a1＝7.(2) 因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围是d≤－2或d≥2.13. 在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1) 求数列{an}的通项公式．(2) 令bn ＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c ，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题设，知{an}是等差数列，且公差d ＞0，⎩⎨⎧a1＝1，d ＝4.则由得解得∴ an ＝4n －3(n ∈N*)．(2) 由bn ＝＝＝.∵ c ≠0，∴ 可令c ＝－，得到bn ＝2n.∵ bn ＋1－bn ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N*)，∴ 数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－，使数列{bn}也为等差数列．第3课时 等 比 数 列一、 填空题1. 等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________．答案：4解析：由a5－a1＝15，a4－a2＝6(q>1)，得q ＝2，a1＝1，则a3＝4.2. 设等比数列{an}的公比q ＝，前n 项和为Sn ，则＝________．答案：15解析：S4＝，a4＝a1q3，所以＝＝15.3. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若log2a2＋log2a8＝1，则a3a7＝________．答案：2解析：由log2a2＋log2a8＝1得log2(a2a8)＝1，所以a2a8＝2，由等比数列性质可得a3a7＝a2a8＝2.4. 已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且4a1，2a2，a3依次成等差数列，若a1＝1，则S5＝________ .答案：31解析：因为4a1，2a2，a3依次成等差数列，4a2＝4a1＋a3，所以4a1q ＝4a1＋a1q2，所以q ＝2.又a1＝1，所以S5＝＝31.5. 设Sn 是等比数列{an}的前n 项和，若a5＋2a10＝0，则的值是________．54答案：解析：当q ＝1时，a5＝a10＝0不合题意，∴ 公比q ≠1.∴ q5＝＝－，因而＝＝1＋q10＝1＋＝.6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．答案：3解析：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：＝381，解得x＝3，即塔的顶层共有灯3盏．7. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a7＋a8＋a9＝__________．答案：448解析：由S3＝7，S6＝63，得a1＋a2＋a3＝7，7＋a4＋a5＋a6＝63，则a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)q3＝56，q3＝8，a7＋a8＋a9＝(a4＋a5＋a6)q3＝56×8＝448.8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为________．答案：2解析：∵ S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，∴ a1＝a1q＋3，a1(1＋q)＝a1q2＋3，∴ q2－2q＝0，q≠0，则公比q＝2.9. 在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8，设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列{a}的前n 项和．若S3n＝tTn，则实数t的值为________．答案：7解析：∵a4＝a1q3＝q3＝8，∴ q＝2，S3n＝＝8n－1.由题意知，数列{a}是首项为1，公比为8的等比数列，∴Tn＝＝(8n－1)．由S3n＝tTn，得t＝7.10. 在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________．答案：48解析：设a2＋a1＝x，等比数列的公比为q，则a4＋a3 ＝xq2，a5＋a6 ＝xq4.再由a4＋a3－2a2－2a1＝6，得 xq2＝6＋2x，∴ x ＝＞0，q＞1.∴ a5＋a6 ＝xq4 ＝＝6≥6×(4＋4)＝48，当且仅当q2－2＝2时，等号成立，故a5＋a6的最小值为48.二、解答题11. 已知{an}是首项为a1，公比q为正数(q≠1)的等比数列，其前n项和为Sn，且5S2＝4S4.(1) 求q的值．(2) 设bn＝q＋Sn，请判断数列{bn}能否为等比数列？若能，请求出a1的值；若不能，请说明理由．解：(1) 由题意知，5S2＝4S4，∴＝.∵ a1≠0，q>0，且q≠1，∴ 4q4－5q2＋1＝0，解得q＝.(2) ∵ Sn＝＝2a1－a1，∴ bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1.∴当且仅当＋2a1＝0，即a1＝－时，bn＝为等比数列，∴ {bn}能为等比数列，此时a1＝－. 12. 已知等差数列{an}的公差d不为0，且ak1，ak2，…，akn，…(k1＜k2＜…＜kn＜…)成等比数列，公比为q.(1) 若k1＝1，k2＝3，k3＝8，求的值；(2) 当为何值时，数列{kn}为等比数列．解：(1) 由已知可得a1，a3，a8成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋7d)，整理可得，4d2＝3a1d.因为d≠0，所以＝.(2) 设数列{kn}为等比数列，则k＝k1k3.又ak1，ak2，ak3成等比数列，所以[a1＋(k1－1)d][a1＋(k3－1)d]＝[a1＋(k2－1)d]2.整理，得a1(2k2－k1－k3)＝d(k1k3－k－k1－k3＋2k2)．因为k＝k1k3，所以a1(2k2－k1－k3)＝d(2k2－k1－k3)．因为2k2≠k1＋k3，所以a1＝d，即＝1.当＝1时，an＝a1＋(n－1)d＝nd，所以akn＝knd.因为akn＝ak1qn－1＝k1dqn－1，所以kn＝k1qn－1.所以＝＝q，数列{kn}为等比数列．综上，当＝1时，数列{kn}为等比数列．13. (20xx·苏州期中)已知等比数列{an}的公比q>1，且满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最小值．解：(1) ∵ a3＋2是a2，a4的等差中项，∴ 2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8，∴ a2＋a4＝20，∴解得或∵ q>1，∴∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2) ∵ bn＝anlogan＝2nlog2n＝－n·2n，∴ Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n) ①，2Sn ＝－(1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1) ②，②－①得，Sn ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－n·2n＋1＝2n ＋1－2－n·2n＋1.∵ Sn ＋n ·2n ＋1>62，∴ 2n ＋1－2>62，∴ n ＋1>6，n>5，∴ 使Sn ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值为6.第4课时 数列的求和一、 填空题1. 在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n ∈N*有2an ＋1＝1＋2an ，则数列{an}前10项的和为________． 52答案： 解析：由2an ＋1＝1＋2an 得an ＋1－an ＝，所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋×＝.2. 已知数列{an}的通项公式是an ＝，其前n 项和Sn ＝，则项数n ＝________．答案：6解析：∵ an＝1－，∴ Sn＝＋＋＋…＋＝n －(＋＋＋…＋)＝n －＝n －1＋.由Sn ＝＝n －1＋，可得出n ＝6.3. 数列1，3，5，7，…，(2n －1)＋，…的前n 项和Sn ＝________．12n－1＋n2答案： 解析：该数列的通项公式为an ＝(2n －1)＋，则Sn ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(＋＋…＋)＝n2＋1－.4. 已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．100101答案：解析：∵ a5＝5，S5＝15，∴ ＝15，则a1＝1，∴ d ＝＝1，∴ an ＝n ，∴ ＝＝－.设数列的前n 项和为Tn ，则T100＝＋＋…＋＝1－＝.5. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－6n ，则{|an|}的前n 项和Tn ＝__________．⎩⎨⎧6n －n2（1≤n≤3），n2－6n ＋18（n>3）答案：解析：由Sn ＝n2－6n 得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴ an＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴ 当n≤3时，an<0；当⎩⎨⎧6n －n2（1≤n≤3），n2－6n ＋18（n>3）.＝∴ Tn ，an>0时，n>3 6. 数列{an}的前n 项和为Sn ，已知Sn ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S17＝________．答案：9解析：S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.7. 已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，….若bn＝，那么数列{bn}的前n 项和Sn ＝________．4n n ＋1答案： 解析：∵ an＝＝，∴ bn ＝＝＝4，∴ Sn ＝4[＋＋…＋]＝4＝.8. 已知数列{an}满足an ＋2＝－an(n ∈N ＋)，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的前2 014项的和为________．答案：3解析：∵ an＋2＝－an ＝－(－an －2)，n ＞2，∴ 数列{an}是以4为周期的周期数列．S2 014＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＋a2 014＝503(a1＋a2－a1－a2)＋a503×4＋1＋a503×4＋2＝a1＋a2＝3.9. 设数列{an}满足a1＝1，且an ＋1－an ＝n ＋1(n ∈N*)，则数列前10项的和为________． 2011答案： 解析：∵ a1＝1，an ＋1－an ＝n ＋1，∴ a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an －an －1＝n.将以上n －1个式子相加得an －a1＝2＋3＋…＋n ＝，即an ＝.令bn ＝，故bn ＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2×(1－＋－＋…＋－)＝.二、 解答题10. 已知数列{an}的通项an ＝求其前n 项和Sn.解：奇数项组成以a1＝1为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以a2＝4为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，∴ Sn＝＋＝＋；当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，∴ Sn ＝＋＝＋，⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋1）（3n －2）2＋4（2n －1－1）3（n 为奇数），n （3n －2）2＋4（2n －1）3（n 为偶数）.＝Sn ∴ 11. 设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S3＝2S2＋4，a5＝36.(1) 求an ，Sn ；(2) 设bn ＝Sn －1(n∈N*)，Tn ＝＋＋＋…＋，求Tn.解：(1) 因为S3＝2S2＋4，所以a1－d ＝－4.因为a5＝36，所以a1＋4d ＝36，解得d ＝8，a1＝4，所以an ＝4＋8(n －1)＝8n －4，Sn ＝＝4n2.(2) 因为bn ＝4n2－1＝(2n －1)(2n ＋1)，所以＝＝，1bn＝＋＋＋…＋Tn ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋112＝ ＝＝.12. 已知数列{an}是首项为a1＝，公比为q ＝的等比数列，设bn ＋2＝3logan(n ∈N*)，数列{cn}满足cn ＝an ·bn.(1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 求数列{cn}的前n 项和Sn.解：(1) 由题意，知an ＝(n∈N*)．又bn ＝3logan －2，故bn ＝3n －2(n∈N*)．(2) 由(1)知an ＝，bn ＝3n －2(n∈N*)，所以cn ＝(3n －2)×(n∈N*)，所以Sn ＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n －5)×＋(3n －2)×，于是Sn ＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n －5)×＋(3n －2)×()n＋1，两式相减，得 34＋()n ×2)＋(3n ×＝－2)－(3n －()n]＋…＋()3＋3[()2＝＋Sn 1， 所以Sn ＝－×(n∈N*)．13. 在等差数列{an}中，已知公差d ＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 设bn ＝a ，记Tn ＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn ，求Tn.解：(1) 由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an ＝2n.(2) 由题意知bn ＝a ＝n(n ＋1)，则bn ＋1－bn ＝2(n ＋1)，所以Tn ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．当n 为偶数时，Tn ＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn －1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n ＝＝，当n 为奇数时，Tn ＝Tn －1＋(－bn)＝－n(n ＋1)＝－，所以Tn ＝第5课时 数列的综合应用一、 填空题1. 在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1＞0，Sn 是数列{an}的前n 项和，若Sn 取得最大值，则n ＝________．答案：9解析：设公差d ，由题设知3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，得d ＝－a1＜0，解不等式an ＞0，即a1＋(n －1)＞0，解得n ＜，则n≤9时，an ＞0，同理可得n≥10时，an ＜0，故当n ＝9时，Sn 取得最大值．2. 在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________．22＋3答案： 解析：∵ a1，a3，2a2成等差数列，∴ 2×a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2.设等比数列{an}的公比为q 且q ＞0，则a3＝a1q2，a2＝a1q ，∴ a1q2＝a1＋2a1q ，∴ q2＝1＋2q ，解得q ＝1＋或1－(舍)，∴＝＝q2＝(＋1)2＝3＋2.3. 在数列{an}中，Sn 是其前n 项和，且Sn ＝2an ＋1，则数列的通项公式an ＝________．答案：an ＝－2n －1解析：依题意得Sn ＋1＝2an ＋1＋1，Sn ＝2an ＋1，两式相减得Sn ＋1－Sn ＝2an ＋1－2an ，即an ＋1＝2an.又S1＝2a1＋1＝a1，所以a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，所以an ＝－2n －1.4. 等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为________．答案：－24解析：设等差数列的公差为d ，由a2，a3，a6成等比数列可得a ＝a2a6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，整理可得d2＋2d ＝0.因为公差不为0，所以d＝－2，数列的前6项和为S6＝6a1＋d＝6×1＋×(－2)＝－24.5. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8的值为________．答案：2解析：∵ 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，∴ q≠1，解得a1q＝8，q3＝－，∴ a8＝a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×＝2.6. 在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，公差d＞0.若a1＋a2≤60，a2＋a3≤100，则5a1＋a5的最大值为________．答案：200解析：由a1＋a2≤60，a2＋a3≤100得2a1＋d≤60，2a1＋3d≤100，a1＞0，d＞0.由线性规划的知识得5a1＋a5＝6a1＋4d，过点(20，20)时，取最大值为200.7. 设正项数列{an}的前n项和是Sn，{an}和{}都是等差数列，则的最小值是____________．答案：21解析：由题设知Sn＝n＋n2.又为等差数列，从而a1＝，从而an＝a1＋(n－1)d＝d，Sn＝n2，∴ ＝＝＝.令2n－1＝t(t≥1)，原式＝＝·≥·＝21，从而当t＝21，即n＝11时，原式取到最小值21.8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了________里．答案：36解析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为a1，则有＝378，解得a1＝192，所以a4＝192×＝24，a5＝24×＝12，a4＋a5＝24＋12＝36，所以此人第4天和第5天共走了36里．9. 已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有＝，则＝________．答案：9解析：设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，∵ ＝，∴当n＝1时，a1＝b1.当n＝2时，＝.当n＝3时，＝7，∴2q－5q′＝3，7q′2＋7q′－q2－q＋6＝0，解得q＝9，q′＝3，∴＝＝9.10. 现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________．答案：16解析：设每节竹竿的长度对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an.由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，∴ (a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，∴an －1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.二、解答题11. 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1) 求a1，a2的值；(2) 求证：数列{an＋2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．(1) 解：由已知，得2a1＝a2－3 ①，2(a1＋a2)＝a3－7 ②，又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2a2＋10 ③，解①②③，得a1＝1，a2＝5. (2) 证明：由已知，n∈N*时，2(Sn＋1－Sn)＝an＋2－an＋1－2n＋2＋2n＋1，即an＋2＝3an＋1＋2n＋1，即an＋1＝3an＋2n(n≥2)，由(1)得，a2＝3a1＋2，∴ an＋1＝3an＋2n(n∈N*)，从而有an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3an＋3×2n＝3(an＋2n)．又a1＋2＞0，∴ an＋2n＞0，∴ ＝3，∴数列{an＋2n}是等比数列，且公比为3，∴ an＋2n＝(a1＋2)×3n－1＝3n，即an＝3n－2n. 12. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定，由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于20xx年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部用于年底还建行贷款．(1) 若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2) 若公寓管理处要在2025年年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)？(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4)解：(1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800＝800 000(元)＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n－1]≥500(1＋5%)n＋1，化简得62(1.05n－1)≥25×1.05n＋1，∴ 1.05n≥1.734 3.两边取对数并整理得n≥≈≈11.28，∴当取n＝12时，即到2029年底可全部还清贷款．(2) 设每生每年的最低收费标准为x元，因到2025年底公寓共使用了8年，依题意有[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9.化简得(0.1x－18)×≥500×1.059，解得x≥992，∴每生每年的最低收费标准为992元．13. 已知数列{an}，{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．(1) 若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式；(2) 若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式；(3) 在(2)的条件下，设cn＝，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．(1) 解：因为an＝＝－2，Sn＝＝，所以bn＝＝＝.(2) 解：若bn＝n，则2Sn＝nan＋2n，所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋2(n＋1)，两式相减得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，即nan＝(n－1)an＋1＋2.当n≥2时，(n－1)an－1＝(n－2)an＋2，两式相减得(n－1)an－1＋(n－1)an＋1＝2(n－1)an，即an－1＋an＋1＝2an.由2S1＝a1＋2，得a1＝2，又a2＝3，所以数列{an}是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列，故数列{an}的通项公式是an＝n＋1. (3) 证明：由(2)得cn＝，对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，使得cn＝ck·ct，只需＝·，即1＋＝·，即＝＋＋，则t＝，取k＝n＋1，则t＝n(n＋2)，所以对数列{cn}中的任意一项cn＝，都存在cn＋1＝和cn2＋2n＝，使得cn＝cn＋1·cn2＋2n.。

2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)

2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)

5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：5-2等差数列及其前n项和含解析

2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：5-2等差数列及其前n项和含解析

课时规范练A 组 基础对点练1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( A ) A ．5 B.7 C ．9D.112．(2018·合肥质量检测)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( C ) A ．112 B.51 C ．28D.18解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋7×(7－1)2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.3．(2018·陕西省高三质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( D ) A ．27 B.36 C ．45D.54解析：因为在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，所以a 5＝6，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54.故选D.4．(2018·西安地区八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( B ) A ．S 4<S 3 B.S 4＝S 3 C ．S 4>S 1D.S 4＝S 1解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝－9，d ＝3.则S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.5．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( C ) A ．d <0 B.d >0 C ．a 1d <0D.a 1d >0解析：∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n ＋1－a n ＝d ， 又数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n ＝2a 1d <1，∴a 1d <0.故选C.6．设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( C ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 解析：∵{a n }是等差数列， ∴a 2＝a 1＋a 32.A 项中只提供a 1＋a 2＞0，并不能判断a 2＋a 3＞0，即A 错误． 同理B 也是错误的．假设0＜a 1＜a 2，则a 1＞0，公差d ＞0， ∴a 3＞0， ∴a 1＋a 32＞a 1a 3，∴a 2＞a 1a 3. 即C 正确．D 项中无法判断公差d 的正负，故(a 2－a 1)(a 2－a 3)无法判断正负，即D 错误．故选C.7．(2016·高考北京卷)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝__6__. 8．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为__5__.9．(2016·高考江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是__20__.解析：设等数差数{a n }的公差为d ，则由a 1＋a 22＝－3，S 5＝10， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5(5－1)2d ＝10，解得d ＝3，a 1＝－4，所以a 9＝a 1＋8d ＝20.10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，则数列{a n }的公差为__2__. 解析：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝5a 4－10， ∴5a 3＝5a 4－10，∴5(a 4－a 3)＝5d ＝10，解得d ＝2.11．(2016·高考全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4，所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)设b n ＝12(S n －n )，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎨⎧a 2＝3，a 7－S 3＋1＝0，又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，解得⎩⎨⎧a 2＝3，a 7＝8，即⎩⎨⎧ a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝1，∴a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2. (2)∵b n ＝12(S n －n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. B 组 能力提升练1．(2018·广州综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n ，若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( A ) A ．4n ＋2 B.4n C ．2n ＋1D.2n解析：因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( B ) A ．7 B.8 C ．9D.10解析：根据等差数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30构成等差数列，所以(S 20－S 10)＋(S 30－S 20)＝S 10＋(S 40－S 30)，即S 30－S 10＝S 40－S 30＋S 10，所以S 40＝2S 30－2S 10＝8.故选B.3．(2018·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A ) A ．55 B.11 C ．50D.60解析：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，所以a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，解得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.4．设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( A ) A ．9B.10C ．11 D.12解析：由题意可得{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，所以S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 62·11<0，故选A. 5．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( B ) A ．10 B.20 C ．30D.40解析：∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n ＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列． ∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20(x 1＋x 20)2， ∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16， ∴x 5＋x 16＝20.故选B.6．(2018·贵阳适应试题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱(“钱”是古代的一种重量单位)，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”在这个问题中，丙所得为( D ) A.76钱 B.56钱 C.23钱D.1钱解析：法一 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，公差为d ，则由题意， 得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，即⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，2a 1＋d ＝3a 1＋9d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，所以a 3＝a 1＋2d ＝1.故选D.法二 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，因为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，所以5a 3＝5，则a 3＝1，所以丙所得为1钱．故选D. 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝32，则a 2＋2a 5＋a 6＝__16__. 解析：∵S 8＝32， ∴8(a 1＋a 8)2＝32，可得a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝8. 则a 2＋2a 5＋a 6＝2(a 4＋a 5)＝2×8＝16.8．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n 的最大值是__121__.解析：设数列{a n }的公差为d ， 由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12. 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12为单调递减数列，所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121. 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__－49__. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，所以nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49.10．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.11．(2018·郑州质量预测)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n ，求{b n }的前n 项和S n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，因为2a 1，a 3,3a 2成等差数列，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q . 所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)， 所以a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛ 1n －⎭⎪⎫1n ＋2， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).。

2020学年高考数学理一轮复习精选新题和好题归纳总结讲义：第5章 数列 第2讲 Word版含解析

2020学年高考数学理一轮复习精选新题和好题归纳总结讲义：第5章 数列 第2讲 Word版含解析

第2讲 等差数列及其前n 项和[考纲解读] 1.理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点) 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2020年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n 项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n 项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型.1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从□01第2项起，每一项与它前一项的□02差等于□03同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的□04公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为□05a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是□06A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的□07等差中项．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝□01a 1＋(n －1)d ，可推广为a n ＝□02a m ＋(n －m )d .(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .3．等差数列的相关性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a 1＋a n ＝□01a 2＋a n －1＝□02a 3＋a n －2＝…＝□03a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，□04a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则□052a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为□06md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为□07n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的□0812. 4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，它是关于n 的二次函数，数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最□01大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最□02小值．1．概念辨析(1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 答案 B解析 由题意得，新数列{a n ＋a n ＋3}是公差为2d 的等差数列，理由：(a n ＋1＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋3)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋4－a n ＋3)＝d ＋d ＝2d .(2)在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 B解析由题意可得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，7a 1＋7×62d ＝56，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3.(3)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝6n －3(n ∈N *)解析 由已知，设{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋5d ＝36， 又a 1＝3，所以d ＝6，所以{a n }的通项公式为 a n ＝3＋6(n －1)＝6n －3(n ∈N *)．(4)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析 由等差数列的性质可得 a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，又因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，所以5a 5＝450，a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.题型 一 等差数列基本量的运算1．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案 B解析 设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10，故选B.2．(2018·碑林区期末)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a 1＝________.答案 2解析 由题可知3a 2＝12，① (a 2－d )a 2(a 2＋d )＝48，② 将①代入②得(4－d )(4＋d )＝12， 解得d ＝2或d ＝－2(舍)， ∴a 1＝a 2－d ＝4－2＝2.3．(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1000项和．解 (1)设{a n }的公差为d ，据题意有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1000，3，n ＝1000，所以数列{b n }的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.1．等差数列基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．如举例说明1.2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d )．见举例说明2.1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎨⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2. (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4，所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ， 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.题型 二 等差数列的判断与证明已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 解 (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1， 当n ＝4时，a n 取得最大值3.条件探究1 举例说明中，若将条件变为“a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)”，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列， ∴a n n ＝35＋(n －1)×1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n .条件探究2 把举例说明条件改为“a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1”，求数列{a n }的通项公式．解 因为a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，1－a na n －1＝a n a n ＋1－1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＋1a n －1a n ＝2， a n ＝2a n －1a n ＋1a n ＋1＋a n －1， 所以1a n ＝12a n －1＋12a n ＋1，即2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列．其首项1a 1＝12，公差d ＝1a 2－1a 1＝12.所以1a n＝12＋(n －1)·12＝n 2，所以a n ＝2n .判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．见举例说明． (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．1．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.答案19解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.2．已知数列{a n }满足a 1＝－23，a n ＋1＝－2a n －33a n ＋4(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)证明：因为1a n ＋1＋1＝1－2a n －33a n ＋4＋1＝3a n ＋4a n ＋1＝3＋1a n ＋1， 所以1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝3.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为3，公差为3的等差数列． (2)由(1)知1a n ＋1＝3n .所以a n ＝13n －1. 题型 三 等差数列的性质及前n 项和的最值角度1 等差数列的性质的应用1．(1)在等差数列{a n }中，已知a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，则{a n }的前10项和等于( )A ．－18B ．9C ．18D ．20(2)(2019·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案 (1)D (2)－32解析 (1)因为a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点， 由韦达定理可知，a 4＋a 7＝4，S 10＝a 1＋a 102×10＝a 4＋a 72×10＝20，故选D.(2)若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32.角度2 等差数列前n 项和的性质的应用2．等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．解 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.角度3 等差数列前n 项和的最值问题3．(1)(2018·吉林长春一模)等差数列{a n }中，已知a 6＋a 11＝0，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17 答案 (1)C (2)A解析 (1)解法一：因为a 6＋a 11＝0， 所以a 1＋5d ＋a 1＋10d ＝0，解得a 1＝－152d ， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－152d ·n ＋n (n －1)2d＝d 2(n 2－16n )＝d2[(n －8)2－64]．因为d >0，所以当n ＝8时，其前n 项和取最小值． 解法二：由等差数列的性质可得a 8＋a 9＝a 6＋a 11＝0. 由公差d >0得等差数列{a n }是递增数列，所以a 8<0，a 9>0， 故当1≤n ≤8时，a n <0；n ≥9时，a n >0，所以当n ＝8时，其前n 项和取最小值．(2)∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．1．应用等差数列的性质解题的两个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等． (3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．见巩固迁移3.2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋b 2a 2－b 24a ，求“二次函数”最值．如举例说明3(1)解法一．(2)邻项变号法①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .如举例说明3(1)解法二．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13答案 C解析 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n >6)，则数列{a n }的项数为________．答案 18解析 由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 3．(2018·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .解 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.。

(教师用书)2020届高考数学第一轮复习 第五篇 数列细致讲解练 理 新人教A版

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第五篇 数 列第1讲 数列的概念与简单表示法[最新考纲]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.知 识 梳 理1．数列的概念 (1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)数列的前n 项和在数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和． 2．数列的表示方法 (1)表示方法列表法 列表格表达n 与f (n )的对应关系 图象法把点(n ，f (n ))画在平面直角坐标系中 公 式 法通项公式把数列的通项使用通项公式表达的方法递推 公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表达数列的方法域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n }的函数a n ＝f (n ))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值． *3．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限单 调 性递增数列 a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性∀n ∈N *，存在正整数常数k ，a n ＋k ＝a n4.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.辨 析 感 悟1．对数列概念的认识(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．(×) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) 2．对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是a n ＝1＋－1n ＋12.(×)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (5)(2013·开封模拟改编)已知S n ＝3n＋1，则a n ＝2·3n －1.(×)[感悟·提升]1．一个区别 “数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)．2．三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)．二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，0，n 为偶数.三是已知S n 求a n 时，一定要验证n ＝1的特殊情形，如(5).学生用书第79页考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n －12n ＋1.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (2)32，1，710，917，…. 解 (1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n·2n－32n .(2)将数列统一为32，55，7，10，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n【例2】 (2013·广东卷节选)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4；(2)由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n －na n ＋1＝－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.规律方法 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【训练2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，∴a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.学生用书第80页考点三 由递推公式求数列的通项公式【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________； (2)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.审题路线 (1)变形为a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒用累加法，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)⇒得出a n .(2)变形为a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)⇒再变形为a n ＋1＋1a n ＋1＝13⇒用累乘法或迭代法可求a n . 解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n n ＋12＋1.又a 1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式， 因此a n ＝n n ＋12＋1.(2)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 法一 a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n.因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故a n ＝2×3n －1－1.法二 由a n ＋1＋1a n ＋1＝3，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 当n ≥2时，a n ＋1＝3(a n －1＋1)，∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)＝32(a n －2＋1)＝33(a n －3＋1)＝…＝3n －1(a 1＋1)＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1；当n ＝1时，a 1＝1＝2×31－1－1也满足．∴a n ＝2×3n －1－1. 答案 (1)n n ＋12＋1 (2)2×3n －1－1规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．【训练3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∴a n ＝1n.答案 1n1．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．由S n 求a n 时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式．3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．思想方法4——用函数的思想解决数列问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 解析 由题意及等差数列的性质， 知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减，得a 15－a 10＝103＝5d ，所以d ＝23，a 1＝－3.所以nS n ＝n ·[na 1＋n n －12d ]＝n 3－10n 23.令f (x )＝x 3－10x 23，x ＞0，则f ′(x )＝13x (3x －20)，由函数的单调性，可知函数f (x )在x ＝203时取得最小值，检验n＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49. 答案 －49[反思感悟] (1)本题求出的nS n 的表达式可以看做是一个定义在正整数集N *上的三次函数，因此可以采用导数法求解．(2)易错分析：由于n 为正整数，因而不能将203代入求最值，这是考生容易忽略而产生错误的地方． 【自主体验】1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )．A.163B.133C ．4D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.答案 D2．已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析 设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数，故只需满足－λ2＜32，即λ＞－3.答案 (－3，＋∞)对应学生用书P285基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·深圳中学模拟)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )．A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2n －12n －1(n ∈N *) D ．a n＝2n 2n ＋1(n ∈N *) 解析 将0写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n －1)，n ∈N *；分母为奇数列，可表示为2n －1，n ∈N *，故选C. 答案 C2．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )． A.56 B.65 C.130 D ．30 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1nn ＋1，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30. 答案 D3．(2014·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝( )． A ．－10 B ．6 C ．10 D ．14解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案 C4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )． A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析 法一 (构造法)由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列． 且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . 法二 (累乘法)：n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2. …a 3a 2＝32，a 2a 1＝21， 两边分别相乘得a na 1＝n ，又因为a 1＝1，∴a n ＝n . 答案 D5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )． A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －1解析 ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)， 又a 2＝12，∴a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，∴S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 B 二、填空题6．(2013·蚌埠模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．解析 易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大． 答案 10或117．(2014·广州模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则数列{a n }的通项公式为________．解析 ∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式左右两边分别相减得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n (n ≥2)．由题意知，a 1＝13，符合上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)． 答案 a n ＝13n8．(2013·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．解析 每行的第二个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得 a n －a 2＝2n －3＋3×n －22＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，所以a 9＝92－2×9＋3＝66. 答案 66 三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．10．在数列{a n }中，a 1＝1，S n 为其前n 项和，且a n ＋1＝2S n ＋n 2－n ＋1. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵a n ＋1＝2S n ＋n 2－n ＋1，∴a n ＝2S n －1＋(n －1)2－(n －1)＋1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝2a n ＋2n －2(n ≥2)． 由已知可得a 2＝3， ∴n ＝1时上式也成立．∴a n ＋1－3a n ＝2n －2(n ∈N *)，a n －3a n －1＝2(n －1)－2(n ≥2)． 两式相减，得(a n ＋1－a n )－3(a n －a n －1)＝2(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－a n ， ∴b n －3b n －1＝2(n ≥2)，b n ＋1＝3(b n －1＋1)(n ≥2)．∵b 1＋1＝3≠0，∴{b n ＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列， ∴b n ＋1＝3×3n －1＝3n，∴b n ＝3n－1.∴T n ＝31＋32＋ (3)－n ＝12·3n ＋1－n －32.(2)由(1)知，a n ＋1－a n ＝3n－1，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝30＋31＋32＋…＋3n －1－(n －1)＝12(3n＋1)－n .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n ，则满足a n ＋1＜a n 的n 的取值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由a n ＋1＜a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n ＝89－2n 11－2n ＜0，解得92＜n ＜112，又n ∈N *，∴n ＝5. 答案 C2．(2014·湖州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C ．(1,3) D ．(2,3)解析 ∵数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 8>f 7⇒2<a <3.答案 D 二、填空题3．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案 28 三、解答题4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n， 由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n}是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋a －32n －2，n ≥2.a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞).学生用书第81页 第2讲 等差数列及其前n 项和[最新考纲]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知 识 梳 理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 若等差数列{a n }的第m 项为a m ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .(其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.(2)若{a n }为等差数列，当m ＋n ＝p ＋q ，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－2n ，当d ≠0时，它是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．辨 析 感 悟1．对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)(3)(教材习题改编)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) 2．等差数列的通项公式与前n 项和(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×) 3．等差数列性质的活用(7)(2013·广东卷改编)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.(√)(8)(2013·辽宁卷改编)已知关于d ＞0的等差数列{a n }，则数列{a n }，{na n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ，{a n ＋3nd }都是递增数列．(×) [感悟·提升]一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)． 等差数列与函数的区别 一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n＝1＋1n是递减数列；设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋m ，则a n ＋3nd ＝4dn ＋m 是递增数列.学生用书第82页考点一 等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或－5.又k ∈N *，故k ＝7为所求．规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(2013·浙江五校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )．A ．85B ．135C ．95D ．23(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝4，2a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∴S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95.(2)法一 ∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n n －12，得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋mm －12＝0， ①m －1a 1＋m －1m －22＝－2， ②由①得a 1＝1－m 2，代入②可得m ＝5.法二 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5.经检验为原方程的解．故选C. 答案 (1)C (2)C考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (2014·梅州调研改编)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．审题路线 (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为关于S n 与S n －1的式子⇒同除S n ·S n －1⇒利用定义证明⇒得出结论．(2)由(1)求1S n⇒再求S n ⇒再代入条件a n ＝－2S n S n －1，求a n ⇒验证n ＝1的情况⇒得出结论．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n 2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练2】 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n.证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1，∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0.∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n＋2n.学生用书第83页考点三 等差数列的性质及应用【例3】 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2(2)在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________． 解析 (1)S 8＝4a 3⇒8a 1＋a 82＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210. 答案 (1)A (2)210规律方法 巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【训练3】 (1)在等差数列{a n }中．若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和S n ＝286，则n ＝________.(2)已知等差数列{a n }中，S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________. 解析 (1)依题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67.由等差数列的性质知a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22. 又S n ＝n a 1＋a n2，即286＝n ×222，∴n ＝26.(2)∵{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列， ∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)． ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6 ＝2(S 6－S 3)－S 3 ＝2(36－9)－9＝45. 答案 (1)26 (2)451．等差数列的判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．方法优化4——整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】 (1)(2012·辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )．A ．58B ．88C ．143D ．176(2)(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.[一般解法] (1)设数列{a n }的公差为d ，则a 4＋a 8＝16，即a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝16，即a 1＝8－5d ，所以S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(8－5d )＋55d ＝88－55d ＋55d ＝88.(2)由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 1＋q 2＝20，a 1q 21＋q 2＝40，解得q ＝2，a 1＝2，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.[优美解法] (1)由a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝11×162＝88.(2)由已知，得a 3＋a 5a 2＋a 4＝q a 2＋a 4a 2＋a 4＝q ＝2， 又a 1＝2，所以S n ＝a 11－q n 1－q＝2n ＋1－2.[反思感悟] 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征． 【自主体验】在等差数列{a n }中，已知S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝________. 解析 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝na 1＋n n －12d ＝m ，S m＝ma 1＋mm －12d ＝n .①②②－①得(m －n )a 1＋m －nm ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋nm ＋n －12d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．答案 －(m ＋n )对应学生用书P287基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·温州二模)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )．A.12 B ．2 C ．3 D ．4 解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．(2014·潍坊期末考试)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )．A ．21B ．30C ．35D ．40解析 由题意得3a 6＝15，a 6＝5.所以a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 6＝7×5＝35. 答案 C3．(2013·揭阳二模)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )． A ．37 B ．36 C ．20 D ．19解析 由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37. 答案 A4．(2014·郑州模拟){a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝( )． A ．40 B ．35 C ．30 D ．28解析 设公差为d ，则由已知得S 7＝7a 1＋a 72，即21＝7a 1＋52，解得a 1＝1，所以a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.答案 A5．(2013·淄博二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1＝( )． A ．－14 B ．－13 C ．－12 D ．－11 解析 在等差数列中，S 13＝13a 1＋a 132＝13，所以a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11. 答案 D 二、填空题6．(2013·肇庆二模)在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析 a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 997．(2014·成都模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则{a n }的通项a n ＝________.解析 由a 1＝1，S 3＝9，得a 1＋a 2＋a 3＝9，即3a 1＋3d ＝9，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案 2n －18．(2013·浙江五校联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________.解析S 3S 5＝3a 1＋a 35a 1＋a 5＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案 3∶2 三、解答题9．已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．解 (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或2.(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，所以5a 1＋10＞a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2.故a 1的取值范围是(－5,2)．10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2(n －1)(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并求a n 与S n .(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 015？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．证明 (1)由a n ＝S n n＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1)(n ∈N *)． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)， 即a n －a n －1＝4，故数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． 于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n2＝2n 2－n (n ∈N *)．(2)由(1)，得S n n＝2n －1(n ∈N *)，又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 015，得n ＝1 008， 即存在满足条件的自然数n ＝1 008.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18 解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.答案 B2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析 法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大． 法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．法三 根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．答案 C 二、填空题3．(2014·九江一模)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析 因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝3n －2，n ≥1. 所以a 7＝3×7－2＝19. 答案19三、解答题4．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， 所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c.法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二 由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列.学生用书第84页第3讲 等比数列及其前n 项和[最新考纲]1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 3．了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2)，q 为常数． (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1qn －1；若等比数列{a n }的第m 项为a m ，公比是q ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m q n －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.3．等比数列及前n 项和的性质(1)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．辨 析 感 悟1．对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×) (3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq，a ，aq .(√) 2．通项公式与前n 项和的关系(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.(×)(5)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝3－2a n .(√)3．等比数列性质的活用(6)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．(×)(7)(2014·兰州模拟改编)在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝25.(√) (8)(2013·江西卷改编)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于－2或0.(×) [感悟·提升]1．一个区别 等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b 2＝ac ，则不能推出a ，b ，c 成等比数列，因为a ，b ，c 为0时，不成立．2．两个防范 一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)． 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当a n ＋1a n＝q ＜0时，ln a n ＋1－ln a n ＝ln q 无意义.学生用书第85页考点一等比数列的判定与证明【例1】(2013·济宁测试)设数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n＝2a n －3n，设b n＝a n＋3.求证：数列{b n}是等比数列，并求a n.证明由S n＝2a n－3n对于任意的正整数都成立，得S n＋1＝2a n＋1－3(n＋1)，两式相减，得S n＋1－S n＝2a n＋1－3(n＋1)－2a n＋3n，所以a n＋1＝2a n＋1－2a n－3，即a n＋1＝2a n＋3，所以a n＋1＋3＝2(a n＋3)，即b n＋1b n＝a n＋1＋3a n＋3＝2对一切正整数都成立，所以数列{b n}是等比数列．由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，所以b1＝a1＋3＝6，即b n＝6·2n－1.故a n＝6·2n－1－3＝3·2n－3.规律方法证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a na n－1＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a2n＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】(2013·陕西卷)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．解(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． ∴假设不成立，∴{a n ＋1}不是等比数列．考点二 等比数列基本量的求解【例2】 (2013·湖北卷)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．审题路线 (1)建立关于a 1与q 的方程组可求解．(2)分两种情况，由a n ⇒1a n⇒再用等比数列求和求∑n ＝1m1a n⇒得到结论．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m1a n ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1.若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1k ∈N *，0，m ＝2k k ∈N *，故∑n ＝1m1a n<1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥1成立．规律方法 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．【训练2】 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________. 解析 (1)显然公比q ≠1，由题意可知91－q 31－q＝1－q61－q ，解得q ＝2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和T 5＝3116.(2)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第5章 数列5-2含答案

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第5章 数列5-2含答案

（时间:40分钟）1．已知等差数列｛a n｝中,a4＋a5＝a3，a7＝－2，则a9＝（）A．－8 B．－6 C．－4 D．－2答案B解析解法一：由已知可得错误!解得a1＝10，d＝－2，所以a9＝10＋（－2)×8＝－6，选B.解法二：因为a4＋a5＝a3,所以a3＋a6＝a3，a6＝0,又a7＝－2，所以d＝－2，a9＝－2＋（－2)×2＝－6,选B.2．{a n}为等差数列,S n为其前n项和，a7＝5，S7＝21,则S10＝( ）A．40 B．35 C．30 D．28答案A解析由S7＝错误!＝21，所以a1＝1，又a7＝a1＋6d.所以d＝错误!，故S10＝10a1＋错误!×错误!＝40.选A。

3．在单调递增的等差数列｛a n｝中，若a3＝1，a2a4＝错误!，则a1＝( ）A．－1 B．0 C.14D.错误!答案B解析由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝错误!,数列{a n｝单调递增，∴a2＝12，a4＝32,∴公差d＝错误!＝错误!，∴a1＝a2－d＝0.4．设S n为等差数列｛a n｝的前n项和,若a1＝1,公差d＝2，S n＋2－S n＝36，则n＝( ）A．5 B．6 C．7 D．8答案D解析解法一：由题知S n＝na1＋n n－12d＝n＋n(n－1)＝n2，S n＋2＝（n＋2）2,由S n＋2－S n＝36，得（n＋2）2－n2＝4n＋4＝36,所以n＝8。

解法二：S n＋2－S n＝a n＋1＋a n＋2＝2a1＋（2n＋1）d＝2＋2（2n＋1）＝36，解得n＝8.5．设等差数列{a n}的前n项和为S n。

若a1＝－11，a4＋a6＝－6,则当S n取最小值时，n等于( ）A．6 B．7 C．8 D．9答案A解析设等差数列｛a n｝的公差为d，∵a4＋a6＝－6,∴a5＝－3，∴d＝错误!＝2,∴a6＝－1〈0,a7＝1>0，故当等差数列｛a n}的前n项和S n取得最小值时，n等于6.6．在等差数列{a n｝中，a9＝错误!a12＋6,则数列{a n}的前11项和S11等于________．答案132解析S11＝11a1＋a112＝11a6,设公差为d，由a9＝错误!a12＋6，得a6＋3d＝12（a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.7．已知等差数列{a n}中，a n≠0，若n≥2且a n－1＋a n＋1－a错误!＝0，S2n－1＝38，则n等于________．答案10解析∵2a n＝a n－1＋a n＋1，又a n－1＋a n＋1－a错误!＝0,∴2a n－a错误!＝0，即a n（2－a n）＝0.∵a n≠0，∴a n＝2。

2020年高考数学(理)一轮刷题练习：第5章 数列 5-4a

2020年高考数学(理)一轮刷题练习：第5章 数列 5-4a

[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎨⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 B解析 由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n Tn＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A.23 B.278 C ．7 D.214答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ．2018 答案 C解析 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2018项的和S 2018＝1009×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C.6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1 D.14(3n－1)答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n－1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A.20142015B.20152016 C.20162017 D.20172018答案 D解析 直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018.故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析 设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>0答案 C解析 等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2017＝a 1q 2016>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2017>0，当q ≠1时，S 2017＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 2017同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．在数列{a n }中，a n >0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100答案 C解析 由题意，可得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ⇒1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n－1n ＋1，∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝100101.故选C.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋11…1n 个＝________. 答案 10n ＋1－9n －1081 解析 ∵a n ＝19(10n －1)， ∴S n ＝1＋11＋111＋…＋11…1n 个＝19[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)] ＝19[(10＋102＋…＋10n )－n ]＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤10(10n －1)9－n ＝10n ＋1－9n －1081. 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 201723＋13×42018解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ， 则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018.13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 3 2解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________.答案 6720解析 当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝2016，∴S 2016＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n)1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1， 所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2.17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n}满足a n2＝log2b n(n∈N*)，求数列{(an＋6)·b n}的前n项和．解(1)由已知得，a m＝S m－S m－1＝4，且a m＋1＋a m＋2＝S m＋2－S m＝14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m＋3d＝14，∴d＝2.由S m＝0，得ma1＋m(m－1)2×2＝0，即a1＝1－m，∴a m＝a1＋(m－1)×2＝m－1＝4，∴m＝5.(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴a n＝2n－6，∴n－3＝log2b n，得b n＝2n－3，∴(a n＋6)·b n＝2n·2n－3＝n·2n－2.设数列{(a n＋6)·b n}的前n项和为T n，则T n＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，①2T n＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，②①－②，得－T n＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1＝2－1(1－2n)1－2－n×2n－1＝2n－1－12－n×2n－1，∴T n＝(n－1)×2n－1＋12(n∈N*)．18．在等比数列{a n}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．解(1)设数列{a n}的公比为q，由题意可得a3＝16，a3－a2＝8，则a2＝8，q＝2，a1＝4，所以a n＝2n＋1.(2)b n＝log42n＋1＝n＋1 2，S n＝b1＋b2＋…＋b n＝n(n＋3)4.1S n＝4n(n＋3)＝43⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋3，所以1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n－1n＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3＝43×116－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＝229－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3.当n＝1时，1S1＝1<2<229；当n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n＝229－43⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3<229<3.故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<3.。

2023年高考数学一轮复习讲义(新高考)第5章§5-2平面向量基本定理及坐标表示

2023年高考数学一轮复习讲义(新高考)第5章§5-2平面向量基本定理及坐标表示

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　×　)(2)设{a ，b }是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.(　×　)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)教材改编题1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2,3)，e 2＝(12，－34)答案　BD2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)答案　A解析　设P (x ，y )，由题意知P 1P —→ ＝13P 1P 2—→，∴(x －1，y －3)＝13(4－1,0－3)＝(1，－1)，即Error!∴Error!3．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(2，x －1)，若(2a －b )∥a ，则x 为________．答案　2或－1解析　2a －b ＝(2x －2,3－x )，∵(2a －b )∥a ，∴2x －2＝x (3－x )，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1.题型一　平面向量基本定理的应用例1　(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( )A.34AB → －14AC →B.14AB → －34AC →C.34AB → ＋14AC →D.14AB → ＋34AC →答案　A(2)如图，已知平面内有三个向量OA → ，OB → ，OC → ，其中OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，且|OA → |＝|OB → |＝1，|OC → |＝23.若OC → ＝λOA → ＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝______.答案　6解析　方法一　如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC → ＝OB 1—→ ＋OA 1—→，因为OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23，所以|OB 1—→ |＝2，|B 1C —→|＝4，所以|OA 1—→ |＝|B 1C —→|＝4，所以OC → ＝4OA → ＋2OB → ，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二　以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B (－12，32)，C (3，3)．由OC → ＝λOA → ＋μOB → ，得Error!解得Error!所以λ＋μ＝6.教师备选1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB → ＝a ，AC → ＝b ，则向量AD →等于( )A ．a ＋b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a ＋23b答案　C解析　设圆的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，所以∠BAC ＝π3，∠ACB ＝π6，又∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，所以∠ACB ＝∠BAD ＝∠CAD ＝π6，则根据圆的性质得BD ＝AB ，又因为在Rt △ABC 中，AB ＝12AC ＝r ＝OD ，所以四边形ABDO 为菱形，所以AD → ＝AB → ＋AO →＝a ＋12b .2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG → ＝λCD → ＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案　12解析　由题图可设CG → ＝xCE →(0<x <1)，则CG → ＝x (CB → ＋BE → )＝x (CB → ＋12CD →)＝x 2CD →＋xCB → .因为CG → ＝λCD → ＋μCB → ，CD → 与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.思维升华　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．跟踪训练1　(1)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE → ＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1 D.516答案　A解析　DE → ＝12DA → ＋12DO→＝12DA → ＋14DB →＝12DA → ＋14(DA → ＋AB → )＝14AB → －34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.(2)如图，以向量OA → ＝a ，OB → ＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM → ＝13BC → ，CN → ＝13CD → ，则MN →＝________.(用a ，b 表示)答案　12a －16b解析　∵BA → ＝OA → －OB →＝a －b ，BM → ＝16BA → ＝16a －16b ，∴OM → ＝OB → ＋BM →＝b ＋(16a －16b )＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON → ＝OC → ＋13CD → ＝12OD → ＋16OD → ＝23OD → ＝23a ＋23b .∴MN → ＝ON → －OM → ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .题型二　平面向量的坐标运算例2　(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.(133，83) B.(－133，－83)C.(133，43)D.(－133，－43)答案　D解析　∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )．∵a －2b ＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c ＝－13(a －2b )＝(－133，－43).(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE → ＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85 C ．2 D.83答案　B解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，∴C (2,0)，A (0,2)，B (1,2)，E (0,1)，∴CA → ＝(－2,2)，CE → ＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA → ＝λCE → ＋μDB → ，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴Error!解得Error!故λ＋μ＝85.教师备选已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.(2，72)B.(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)答案　A解析　设D (x ，y )，则AD → ＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC → ＝2AD →，所以Error!解得Error!所以顶点D 的坐标为(2，72).思维升华　向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体．跟踪训练2　(1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　D解析　以向量a 和b 的交点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO → ＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则Error!解得Error!∴λμ＝－2－12＝4.(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP → ＝2PC → ，点Q 是AC 的中点，若PA → ＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则AQ → ＝________，BC →＝________.答案　(－3,2)　(－6,21)解析　AQ → ＝PQ → －PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC → ＝PA → ＋AC → ＝PA → ＋2AQ →＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，BC → ＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．题型三　向量共线的坐标表示例3　(1)已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，若(a －b )∥c ，则锐角x 等于( )A ．15° B ．30°C ．45° D ．60°答案　C(2)已知在平面直角坐标系Oxy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3—→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则λ等于( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1答案　D解析　设OP 3—→＝(x ，y )，则由OP 3—→∥a 知x ＋y ＝0，所以OP 3—→＝(x ，－x )．若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即Error!所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.教师备选1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案　12解析　由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.2．已知O 为坐标原点，点A (6,3)，若点P 在直线OA 上，且|OP → |＝12|PA →|，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为________________________．答案　(4,2)或(－12，－6)解析　∵点P 在直线OA 上，∴OP → ∥PA →，又∵|OP → |＝12|PA → |，∴OP →＝±12PA → ，设点P (m ，n )，则OP → ＝(m ，n )，PA →＝(6－m ,3－n )．①若OP → ＝12PA →，则(m ，n )＝12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (2,1)，∵P 是OB 的中点，∴B (4,2)．②若OP →＝－12PA →，则(m ，n )＝－12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (－6，－3)，∵P 是OB 的中点，∴B (－12，－6)．综上所述，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3　平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．解　(1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c|＝5，∴Error!解得Error!或Error!∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．课时精练1．(2022·泉州模拟)若向量AB → ＝(2,3)，AC → ＝(4,7)，则BC →等于( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案　B2．(2022·TOP300尖子生联考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC → ＋AB →＝0，则点C 的坐标为( )A.(12，12) B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)答案　D3．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是( )A ．a ＝(1,2)，b ＝(0,0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3,5)C ．a ＝(3,2)，b ＝(9,6)D ．a ＝(－34，12)，b ＝(3，－2)答案　B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　D解析　由m ∥n ，得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，所以sin 2B ＝sin 2A ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形；反之，△ABC 是等腰三角形，若a ＝c ≠b ，则不能得到m ∥n ，所以“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．5．(多选)(2022·聊城一中模拟)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD的中点，AC 与BD 交于点M ，设AB → ＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A.AC → ＝12a ＋b B.BC → ＝－12a ＋b C.BM → ＝－13a ＋23b D.EF → ＝－14a ＋b 答案　ABD解析　AC → ＝AD → ＋DC → ＝AD → ＋12AB → ＝12a ＋b ，故A 正确；BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝－12a ＋b ，故B 正确；BM → ＝BA → ＋AM → ＝－AB → ＋23AC → ＝－23a ＋23b ，故C 错误；EF → ＝EA → ＋AD → ＋DF → ＝－12AB → ＋AD → ＋14AB → ＝－14a ＋b ，故D 正确．6．(多选)已知向量OA → ＝(1，－3)，OB → ＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2 B.12C ．1D ．－1答案　ABD解析　各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB → ＝OB → －OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC → ＝OC → －OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，A ，B ，C 三点就可构成三角形．7．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，若点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案　(2,4)解析　∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC → ＝2AB →，设点D 的坐标为(x ，y )，则DC → ＝(4－x ,2－y )，又AB →＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即Error!∴Error!∴点D 的坐标为(2,4)．8．(2022·开封模拟)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．若(2m ＋n )∥(m －2n )，则λ＝________.答案　0解析　由题意得，2m ＋n ＝(3λ＋4,4)，m －2n ＝(－λ－3，－3)，∵(2m ＋n )∥(m －2n )，∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA → ＝c ，且CM → ＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解　由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一　∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴Error!解得Error!方法二　∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，又a ＝m b ＋n c ，∴m b ＋n c ＝－b －c ，∴Error!(3)设O 为坐标原点，∵CM → ＝OM → －OC →＝3c ，∴OM → ＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN → ＝ON → －OC →＝－2b ，∴ON → ＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB → ＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解　(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，解得k ＝－12.(2)方法一　∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴Error!解得m ＝32.方法二　AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.11．(2022·金华模拟)已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n ＝(sin C ，a ＋b )，且m ∥n ，则B 的大小是( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3答案　B解析　因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )．由正弦定理得(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32.又0<B <π，所以B ＝5π6.12．(多选)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP →＝xOA → ＋yOB → (x ，y ∈R )，则下列结论中正确的是( )A ．当x ＝0时，y ∈[2,3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．当P 在C 点时，x ＝1，y ＝2答案　BC解析　当OP → ＝y OB →时，点P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故A 中结论错误；当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12(EB →＋BC → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋AB → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋OB → －OA → )＝－12OA → ＋52OB →，故B 中结论正确；当x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是一条线段，故C 中结论正确；因为OB → ＝12(OC →＋OA → )，所以OC → ＝2OB → －OA →，则OP → ＝－OA → ＋2OB →，所以x ＝－1，y ＝2，D 错误．13．已知|OA → |＝1，|OB → |＝3，OA → ·OB → ＝0，点C 在∠AOB 内，且OC → 与OA → 的夹角为30°，设OC →＝mOA → ＋nOB → (m ，n ∈R )，则m n的值为______．答案　3解析　∵OA → ·OB →＝0，∴OA → ⊥OB →，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则OA → ＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA → ＋nOB → ＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3nm ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3.14．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM → ＝34AB → ＋14AC →.则△ABM 与△ABC 的面积之比为________；若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO → ＝xBM → ＋yBN →，则x ＋y ＝________.答案　1∶4　107解析　由AM → ＝34AB → ＋14AC →，可知点M ，B ，C 三点共线，令BM → ＝λBC →(λ∈R )，则AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋λBC → ＝AB → ＋λ(AC → －AB → )＝(1－λ)AB → ＋λAC →，所以λ＝14，即点M 在边BC 上，如图所示，所以S△ABM S △ABC ＝BM BC ＝14.由BO → ＝xBM → ＋yBN →，得BO → ＝xBM → ＋y 2BA →，BO → ＝x 4BC →＋yBN → ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线得Error!解得Error!所以x ＋y ＝107.15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a 在基底{p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a 在基底{m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)}下的坐标为______．答案　(0,2)解析　因为a 在基底{p ，q }下的坐标为(－2,2)，所以a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以Error!即Error!所以a 在基底{m ，n }下的坐标为(0,2)．16．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG → ＝λPQ → ，将OG → 用λ，OP → ，OQ →表示；(2)设OP → ＝xOA → ，OQ → ＝yOB → ，求证：1x ＋1y是定值．(1)解　OG → ＝OP → ＋PG →＝OP → ＋λPQ →＝OP → ＋λ(OQ → －OP →)＝(1－λ)OP → ＋λOQ →.(2)证明　由(1)得OG → ＝(1－λ)OP → ＋λOQ →＝(1－λ)xOA → ＋λy OB →，因为G 是△OAB 的重心，所以OG → ＝23OM → ＝23×12(OA →＋OB → )＝13OA → ＋13OB → .又OA → ，OB →不共线，所以Error!解得Error!所以1x ＋1y ＝3，即1x ＋1y 为定值．。

2020高考数学理科大一轮复习导学案：第五章+数列5.2+Word版含答案【KS5U+高考】

2020高考数学理科大一轮复习导学案：第五章+数列5.2+Word版含答案【KS5U+高考】

第二节等差数列知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*)，d为常数．1．判断正误(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)2．若等差数列{a n}的公差为d，则数列{a2n－1}是(B)A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为nd的等差数列D．非等差数列解析：数列{a2n－1}其实就是a1，a3，a5，a7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差2d.知识点二等差数列的通项公式与前n项和公式1．若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n －1)d.若等差数列{a n}的第m项为a m，则其第n项a n可以表示为a n＝a m＋(n －m)d.2．等差数列的前n项和公式S n＝n(a1＋a n)2＝na1＋n(n－1)2d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，a n为第n项)3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(B)A．－12 B．－10C．10 D．12解析：解法1：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.解法2：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d ，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为820.解析：设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20(a 1＋a 20)2＝20(22＋60)2＝820.1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列．3．等差数列{a n}的单调性：当d>0时，{a n}是递增数列；当d<0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.考向一等差数列基本量的运算【例1】(1)(2018·北京卷)设{a n}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{a n}的通项公式为________．(2)(2018·全国卷Ⅱ)设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{a n}的通项公式；②求S n，并求S n的最小值．【解析】(1)设等差数列的公差为d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d ＝36，∴d＝6，∴a n＝3＋(n－1)·6＝6n－3.(2)①设{a n}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{a n}的通项公式为a n＝2n－9.②由①得S n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，S n取得最小值，最小值为－16.【答案】(1)6n－3(2)见解析等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.(1)(2019·沈阳市质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A )A ．55B ．11C ．50D ．60(2)(2019·河南信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱( C )A.53 B.32 C.43D.54解析：(1)解法1：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.解法2：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.(2)设甲、乙、丙、丁、戊分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ， 联立解得a ＝1，d ＝－16.∴这个问题中，甲所得为1－2×(－16)＝43(钱)． 故选C.考向二 等差数列的判定与证明【例2】 (2019·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .(1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．【解】 (1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－(n ＋1)a nn (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以a n ＝2n 2－n .用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解.比如，对于满足a n －a n －1＝1(n ≥3)的数列{a n }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a 2－a 1是否等于1.(2019·福建漳州二模)已知数列{a n }满足na n －(n ＋1)a n －1＝2n 2＋2n (n ＝2,3,4，…)，a 1＝6.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <512.证明：(1)由na n －(n ＋1)a n －1＝2n 2＋2n (n ＝2,3,4，…)，a 1＝6，可得a nn ＋1－a n －1n ＝2，a 11＋1＝3，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是首项为3，公差为2的等差数列，可得a n n ＋1＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，则a n ＝(n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)． (2)由1(n ＋1)(2n ＋1)<12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n≤16＋12×12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋1212－1n ＋1<16＋14＝512，即S n <512.考向三等差数列的性质及应用方向1 等差数列项的性质【例3】 (1)(2019·湖南衡阳一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( )A ．6B ．12C ．24D ．48(2)(2019·山西太原一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( )A．3 B．9C．18 D．27【解析】(1)∵在等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，∴由等差数列的性质可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.故选D.(2)设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＋a3＋a10＝9，∴3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，∴a5＝3，∴S9＝9(a1＋a9)2＝9a5＝27，故选D.【答案】(1)D(2)D方向2等差数列前n项和的性质【例4】(1)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S672＝2，S1 344＝12，则S2 016＝()A．22 B．26C．30 D．34(2)(2019·西安八校联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6>S7>S5，则满足S n S n＋1<0的正整数n的值为()A．10 B．11C．12 D．13【解析】(1)由等差数列的性质知，S672，S1 344－S672，S2 016－S1 344成等差数列，则2(S1 344－S672)＝S672＋S2 016－S1 344，即2×(12－2)＝2＋S2 016－12，解得S2 016＝30.故选C.(2)由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.【答案】 (1)C (2)C方向3 等差数列前n 项和的最值【例5】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【解】 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53.解法1：由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0. 即当n ≤12时，a n >0，当n ≥14时，a n <0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎪⎫－53＝130.解法2：S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法3：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或n＝13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.1.等差数列的性质,(1)项的性质：在等差数列{a n}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；②S2n－1＝(2n－1)a n.③S n，S2n－S n，S3n－S2n，…成等差数列.2.等差数列前n项和的最值,可以从两个方面考虑：①通项公式法：利用通项公式划分项的正、负；②前n项和法：利用二次函数配方法.1．(方向1)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝21.解析：因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.2．(方向2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014， S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝6_054.解析：由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． 设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0182 018＝S 11＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3，∴S 2 018＝3×2 018＝6 054.3．(方向3)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－15d2，则a8＝－d2<0，a9＝d2>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.。

2020学年高考数学理一轮复习精选新题和好题归纳总结讲义：第5章 数列 第1讲 Word版含解析

2020学年高考数学理一轮复习精选新题和好题归纳总结讲义：第5章 数列 第1讲 Word版含解析

第五章数列第1讲数列的概念与简单表示法[考纲解读] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2.掌握数列求通项的几种常用方法：利用S n与a n的关系求通项；利用递推关系求通项．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2020年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：①由S n求a n；②由递推关系求a n；③根据a n＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.1．数列的有关概念2．数列的分类3．数列{a n}的a n与S n的关系(1)数列{a n}的前n项和：S n＝a1＋a2＋…＋a n.特别提醒：若当n≥2时求出的a n也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示a n，否则分段表示．1．概念辨析(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．()(4)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)已知数列{a n}的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a n}的项的是()A．21 B．33 C．152 D．153答案 C解析代n值进行验证，n＝1时，A满足；n＝2时，B满足；n＝12时，D满足．故选C.(2)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A解析 a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.(3)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D解析 a 2＝1＋1a 1＝1＋1＝2，a 3＝1＋－1a 2＝1－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝1＋2＝3，a 5＝1＋－1a 4＝1－13＝23.(4)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________. 答案 (－1)nn (n ＋1)(n ∈N *)解析 观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式a n ＝(－1)n n (n ＋1)(n ∈N *)．题型 一 知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)1,0，13，0，15，0，17，0，…； (4)32，1，710，917，….解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…， ∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为a n ＝1＋(－1)n ＋12n 或a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，所以可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明(4)．⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．如举例说明(1)．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)23，415，635，863，1099，…； (2)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5555，….解 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(2)数列可以改为－－12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则分母为2n ，分子为2n －3，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n2n －32n .(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．题型 二 由a n 与S n 的关系求通项公式1．已知S n ＝3n ＋2n ＋1，则a n ＝________. 答案 ⎩⎨⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2解析 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2， 由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 答案 －1n解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 两边同时除以S n S n ＋1得1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又∵1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，即S n ＝－1n . 条件探究1 把举例说明2中的条件“a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1”改为“S n ＝2a n ＋1”，求a n .解 依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n . 又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项，2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1. 条件探究2 把举例说明2中的条件“a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1”改为“S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1”．求a n .解 因为a n ＋1＝2S n ＋1，① 所以a 2＝2S 1＋1，即a 2＝2a 1＋1.又因为a 1＋a 2＝S 2＝4，所以a 1＝1，a 2＝3. 当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，故数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，因此a n＝3n－1(n∈N*)．1．已知S n求a n的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．如举例说明1.2．S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式．如举例说明2.(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．如举例说明2的条件探究1,2.1．(2017·全国卷Ⅲ改编)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，则a n ＝________.答案22n－1(n∈N*)解析因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)a n－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n＝22n－1(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1(n ∈N *)．2．若数列{a n }的前n 项和为S n 首项a 1>0且2S n ＝a 2n ＋a n (n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．解 当n ＝1时，2S 1＝a 21＋a 1，则a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2n ＋a n 2－a 2n －1＋a n －12，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0⇒a n ＝－a n －1或a n ＝a n －1＋1， ∴a n ＝(－1)n －1或a n ＝n .题型 三 由递推关系求通项公式角度1 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求通项公式a n .解 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n －a n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2 ＝2＋ln n (n ≥2)． 又a 1＝2适合上式， 故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．角度2 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .解 ∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .角度3 形如a n ＋1＝pa n ＋q ，求a n3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求通项公式a n .解 递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1bn ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.1．叠加法求通项公式的四步骤2．叠乘法求通项公式的四步骤3．构造法求通项公式的三步骤1．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝2n ，则通项公式a n ＝________. 答案 ⎩⎨⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数(n ∈N *)解析 a n ＋1＋a n ＝2n ，∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，故a n ＋2－a n ＝2. 即数列{a n }是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列． 当n 为偶数时，a 2＝1， 故a n ＝a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1＝n －1.当n 为奇数时，∵a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋1＝n (n ＋1为偶数)，故a n ＝n . 综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数(n ∈N *)．2．在数列{a n }中，a 1＝3，(3n ＋2)a n ＋1＝(3n －1)a n (n ≥1)，则a n ＝________. 答案63n －1解析 ∵(3n ＋2)a n＋1＝(3n －1)a n ，∴a n＋1＝3n －13n ＋2a n ，∴a n ＝3(n －1)－13(n －1)＋2·3(n －2)－13(n －2)＋2·…·3×2－13×2＋2·3－13＋2·a 1＝3n －43n －1×3n －73n －4×…×58×25×3＝63n －1. 3．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.答案 1n解析 因为(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0， 所以(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0， 所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，n ∈N *.所以a 2a 1＝12，a 3a 2＝23，a 4a 3＝34，…，a n a n －1＝n －1n ，以上各式相乘得 a n a 1＝12·23·34·…·n －1n ＝1n .又a 1＝1，所以a n ＝1n . 题型 四 数列的性质及应用1．已知a n ＝n ＋0.99n －0.99，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 A解析 a n ＝n ＋0.99n －0.99＝n －0.99＋1.98n －0.99＝1＋ 1.98n －0.99，因为函数y ＝1＋1.98x －0.99在(0.99，＋∞)上是减函数，所以数列{a n }是递减数列．2．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________.答案 4或5解析 因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫67n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6(n ＋3)7－(n ＋2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ·4－n 7.当n <4时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝4时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >4时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以该数列中最大项为第4项和第5项． 3．(2019·大兴一中模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1，a 1＝35，则数列的第2019项为________．答案 25解析 ∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15. ∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝45.∴a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，…. ∴该数列的周期为4.∴a 2019＝a 3＝25.1．判断数列单调性的两种方法(1)作差比较法：a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．(2)作商比较法①当a n >0时，a n ＋1a n>1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．②当a n <0时，a n ＋1a n>1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．2．求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．1．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2019＝( )A.32 B ．2 C.12 D.23 答案 A解析 因为a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，所以a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝323＝12，a 5＝a 4a 3＝1232＝13，a 6＝a 5a 4＝1312＝23，a 7＝a 6a 5＝2313＝2＝a 1，a 8＝a 7a 6＝223＝3＝a 2，所以{a n }的周期T ＝6，所以a 2019＝a 6×336＋3＝a 3＝32.2．已知数列{a n }的通项为a n ＝nn 2＋58，则数列{a n }的最大项的值为( )A.1258B.7107C.461 不存在 答案 C解析 a n ＝n n 2＋58＝1n ＋58n，函数y ＝x ＋58x 在(0，58)上单调递减，在(58，＋∞)上单调递增． 且7<58<8.当n ＝7时，n ＋58n ＝7＋587＝1527， 当n ＝8时，n ＋58n ＝8＋588＝1514<1527， 所以n ＋58n 的最小值为1514.所以n ＝8时，数列{a n }的最大项的值为461.。

2020版高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列学案理(含解析)新人教A版

2020版高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列学案理(含解析)新人教A版

第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。

(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。

2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。

(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。

3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。

(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。

(8)若项数n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若项数n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。

2020版高考数学人教版理科一轮复习 第五章数列 (4)

2020版高考数学人教版理科一轮复习 第五章数列 (4)

|AB| |AC|
∴|A→B|＝|A→C|；由
→ AB →
→ AC ·→
＝12，知
cosA＝12，∴A＝60°，∴△ABC
|AB| |AC|
为等边三角形．
考向二 平面向量与三角函数的综合应用 【例 2】 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 满足( 2a－c)B→A·B→C＝cC→B·C→A. (1)求角 B 的大小； (2)若|B→A－B→C|＝ 6，求△ABC 面积的最大值．
(2)因为|B→A－B→C|＝ 6，所以|C→A|＝ 6，
即 b＝ 6，根据余弦定理及基本不等式得 6＝a2＋c2－ 2
ac≥2ac－ 2ac＝(2－ 2)ac(当且仅当 a＝c 时取等号)，即 ac≤3(2
＋ 2)．
故△ABC 的面积 S＝12acsinB≤3 22＋1，
因此△ABC 的面积的最大值为3
解法 2：∵向量 a，b 为单位向量，且 a·b＝－12，∴向量 a，
b 的夹角为 120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量 a＝(1,0)，b
＝(－12， 23)，则 a＋b＝(12， 23)，∵向量 c 与 a＋b 共线，∴可
设
c
＝
t(
1 2
，
3 2
)(t
∈
R)
，
∴
a
＋
c
＝
(1
＋
t 2
，
3 2
平面向量与几何综合问题的求解方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就 可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使 问题得到解决． (2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向 量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．

2020版高考数学人教版理科一轮复习 第五章数列 (2)

2020版高考数学人教版理科一轮复习 第五章数列 (2)

4．已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C＝( A )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
解析：根据题意得A→B＝(3,1)，
∴B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选 A.
5．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，
温馨 提 示
请 做：课时作业 27
PPT文稿 （点击进入）
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已 知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
(1)若向量 a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝0，52，则 c 可用向量 a，b 表
示为( A )
那么 n 等于( C )
A.12
B.23
3
4
C.4
D.5
解析：因为A→B＝2A→C，所以 C 为 AB 中点，故O→C＝12O→A＋12O→B ＝2O→P，所以O→P＝14O→A＋14O→B.由O→M＝mO→B，O→N＝nO→A，所以O→B ＝m1 O→M，O→A＝1nO→N，所以O→P＝41mO→M＋41nO→N，因为 M，P，N 三点共线，故41m＋41n＝1，当 m＝38时，n＝34.故选 C.
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个
向量都可用这组基底唯一表示．( √ )
2．已知|O→A|＝1，|O→B|＝ 3，O→A⊥O→B，点 C 在线段 AB 上，∠AOC
＝30°.设O→C＝mO→A＋nO→B(m，n∈R)，则mn 等于( B )

2020版高考数学一轮复习第5章数列第2讲课后作业理含解析

2020版高考数学一轮复习第5章数列第2讲课后作业理含解析

第5章 数列 第2讲A 组 基础关1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D解析 ∵a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴S n ＋2－S n ＝36⇒a n ＋2＋a n ＋1＝36⇒2n ＋3＋2n ＋1＝36⇒n ＝8，故选D.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝49，则a 2，a 6的等差中项是( ) A.492 B ．7 C ．±7 D.72 答案 B解析 由已知得S 7＝7a 1＋a 72＝7a 4＝49，所以a 4＝7.所以a 2，a 6的等差中项为a 2＋a 62＝a 4＝7.3．(2018·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a ·a ＋1<0，则正整数＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24 答案 C解析 因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是等差数列，首项a 1＝15，公差为－23.所以a n ＝15－23(n －1)＝47－2n3.因为a ·a ＋1<0，所以47－2k 3·47－2k ＋13<0.可化为(2－45)(2－47)<0， 解得452<<472，又∈N *，所以＝23.4．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤答案 B解析 由题意可知，数列为等差数列，公差为d ＝17，n ＝8，S 8＝996，以第一个儿子分到的绵数a 1为首项，∴8a 1＋88－12×17＝996，解得a 1＝65，所以第8个儿子分到的绵数a 8＝a 1＋(n －1)d ＝65＋7×17＝184.故选B.5．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135 D ．80 答案 B解析 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n ＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21 答案 D解析 由题意得S 9＝9a 5＝18，解得a 5＝2，根据等差数列的性质得S n ＝n a 1＋a n2＝n a 5＋a n －42＝n2×(2＋30)＝336，解得n ＝21.7．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43 答案 A解析 由题意得，a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13a 1＋a 13213b 1＋b 132＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.8．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．9．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.答案 10解析 因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2014，S 20142014－S 20082008＝6，则S 2018＝________.答案 6054解析 由等差数列的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ， 则S 20142014－S 20082008＝6d ＝6， ∴d ＝1. 故S 20182018＝S 11＋2017d ＝－2014＋2017＝3， ∴S 2018＝3×2018＝6054.B 组 能力关1．设{a n }是等差数列，则以下三个命题： ①若a 2016＋a 2017<0，则a 2017＋a 2018<0； ②若a 2016＋a 2018>0，则a 2016＋a 2017>0； ③若0<a 2016<a 2017，则a 2017>a 2016a 2018. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由①②不能判断数列{a n }是递增数列还是递减数列，所以命题①②错误；由0<a 2016<a 2017，可知数列{a n }为递增数列，所以a 2018>0，由等差数列的性质和均值不等式可知a 2017＝a 2016＋a 20182>2a 2016a 20182＝a 2016a 2018.故选B.2．(2018·银川模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＝7，a 6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________．答案 148解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，a n ＝7＋(n －3)d ＝3n －2.第10行从左到右第5个数是等差数列{a n }中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即a 50＝3×50－2＝148.3．(2019·合肥三模)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列，则a n ＝________.答案 －1或12n －54解析 由题意得，S n ＝na 1＋d2n (n －1)＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . S n ＋n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2＋1n .因为数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列． 所以设S n ＋n ＝dn ＋B .于是d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2＋1n ＝(dn ＋B )2(n ∈N *)．因此⎩⎪⎨⎪⎧d2＝d 2，B 2＝0，a 1－d 2＋1＝2dB ，解得⎩⎨⎧d ＝0，B ＝0，a 1＝－1.或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝12，B ＝0，a 1＝－34，所以a n ＝－1或a n ＝12n －54.4．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解 (1)证明：由题设，得a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 6．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)解法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3， 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3， 解得d ＝2，a 1＝－12.解法二：在等差数列{a n }中， 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4， ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12.(2)由题意知，①当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2，n 为偶数.。

2020版高考数学(理科)复习 作业答案-第五单元 数列

2020版高考数学(理科)复习 作业答案-第五单元 数列

全品一线高考总复习 数学（理科）课时作业(二十七)1.C [解析] 方法一:特例淘汰法.令n=1,淘汰D 选项,令n=2,淘汰A ,B 选项.方法二:数列变形为01,23,45,67,…,分子、分母都是等差数列,分子为2(n-1),分母为2n-1.故选C .2.C [解析] 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-3,当n=1时,a 1=S 1=-1,适合上式,所以a n =2n-3,所以a 2+a 18=34.故选C .3.B [解析] 因为a n +a n+1=12,a 2=2,所以a n ={-32,n 为正奇数,2,n 为正偶数,所以S 21=11×-32+10×2=72.故选B .4.10 [解析] 令n -2n 2=0.08,得2n 2-25n+50=0,即(2n-5)(n-10)=0,解得n=10或n=52(舍去),即0.08是该数列的第10项.5.3 [解析] 由已知得a 3=a2a 1=32,a 4=a3a 2=12, a 5=a4a 3=13,a 6=a5a 4=23,a 7=a6a 5=2,a 8=a7a 6=3,∴数列{a n }具有周期性,且周期T=6,∴a 2018=a 336×6+2=a 2=3.6.C [解析] 因为数列{a n }是递增数列,所以a n+1-a n =2n+1-b>0(n ∈N *),所以b<2n+1(n ∈N *),所以b<(2n+1)min =3,即b<3.7.A [解析] ∵数列{a n }满足对任意m ,n ∈N *,都有a n ·a m =a n+m ,且a 1=12,∴a 2=a 1·a 1=14,a 3=a 1·a 2=18,∴a 5=a 3·a 2=132.8.B [解析] ∵√a 1+√a 2+…+√a n =n(n+1)2,∴√a 1+√a 2+…+√a n -1=n(n -1)2(n ≥2),两式相减得√a n =n(n+1)2-n(n -1)2=n (n ≥2),∴a n =n 2(n ≥2).又当n=1时,√a 1=1×22=1,得a 1=1,适合上式,∴a n =n 2.故选B .9.C [解析] 由a n+1=11-a n可得a n+2=11-11-a n=1-a n -a n,故a n+3=11-1-a n -a n=-an -1=a n ,因此{a n }是周期数列且周期为3,又a 11=a 2=11-12=2 ,故f (a 11)=f (a 2)=f (2)=-f (-2)=6,故选C .10.D [解析] ∵a n =INT27×10n ,b 1=a 1,b n =a n -10a n-1(n ∈N *,且n ≥2),∴a 1=2=b 1,a 2=28,b 2=28-10×2=8,同理可得b 3=5,b 4=7,b 5=1,b 6=4,b 7=2,b 8=8,…,∴b n+6=b n ,即数列{b n }的周期为6,∴b 2018=b 336×6+2=b 2=8.故选D .11.a n =2n-1 [解析] 当n=1时,4S 1=(a 1+1)2,解得a 1=1;当n ≥2时,由4S n =(a n +1)2=a n 2+2a n +1,得4S n-1=a n -12+2a n-1+1,两式相减得4S n -4S n-1=a n 2-a n -12+2a n -2a n-1=4a n ,整理得(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0,因为a n >0,所以a n -a n-1-2=0,即a n -a n-1=2.又a 1=1,故数列{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,所以a n =1+2(n-1)=2n-1. 12.4 [解析] 设数列为{a n },则a n+1-a n =(n+1)(n+5)·23n+1-n (n+4)·23n =23n23(n 2+6n+5)-n 2-4n=2n3n+1(10-n 2).当n ≤3时,a n+1>a n ;当n ≥4时,a n+1<a n .因此,a 1<a 2<a 3<a 4,a 4>a 5>a 6>…,故a 4最大,所以k=4. 13.2n n+1[解析] 由题意知a na n -1=n 2n 2-1=n 2(n -1)(n+1),所以a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n -1=1×2222-1×3232-1×…×n 2n 2-1=22×32×42×…×n 2(2-1)×(2+1)×(3-1)×(3+1)×(4-1)×(4+1)×…×(n -1)×(n+1)=22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×(n -1)×(n+1)=2nn+1.14.C [解析] 由已知条件可知,当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=33+2+4+…+2(n-1)=n 2-n+33,又当n=1时,a 1=33满足上式,所以a n n =n+33n -1.令f (n )=a nn =n+33n -1,由对勾函数的性质知,当n 取1,2,3,4,5时,f (n )的值减小,当n ≥6,且n ∈N *时,f (n )的值增大.又f (5)=535,f (6)=212,则f (5)>f (6),故f (n )=an n的最小值为212.15.C [解析] 由题知a n+1a n是首项为1,公差为2的等差数列,则a n+1a n=2n-1,所以a n =an a n -1×an -1a n -2×…×a2a 1×a 1=(2n-3)×(2n-5)×…×1.所以a 2015a 2013=(2×2015-3)×(2×2015-5)×…×1(2×2013-3)×(2×2013-5)×…×1=4027×4025=(4026+1)×(4026-1)=40262-1=4×20132-1.专题集训(三)1.B [解析] ∵a 1=1,a n =2a n-1+1(n ≥2),∴a 2=2a 1+1=3,a 3=2a 2+1=7,a 4=2a 3+1=15,a 5=2a 4+1=31.2.C [解析] 由已知得a 4=a 2+a 2=-12,a 8=a 4+a 4=-24,a 10=a 8+a 2=-30.3.A [解析] ∵a 1=1,∴S 1=1.∵S n +S m =S n+m ,令m=1,可得S n+1=S n +1,∴S n+1-S n =1,即当n ≥1时,a n+1=1,∴a 10=1.4.18 [解析] 由a n+1a n=2n+12n -1,得a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1=2×31×53×…×2n -12n -3=4n-2,则a 5=18.5.255 [解析] 数列{a n }中,a n+1=a n1+3a n,两边取倒数得1an+1=3+1a n⇒1an+1-1a n=3,又1a 1=12,∴1a n=3n-52,∴a 10=255.6.C [解析] 由题意得a n+1n+1-a n n =ln (n+1)-ln n ,运用累加法得a n n -a 11=ln n-ln 1=ln n ,即ann =2+lnn ,∴a n =2n+n ln n ,故选C .7.D [解析] ∵a 1=-14,a n =1-1a n -1(n ≥2),∴a 2=1-1-14=5,a 3=1-15=45,a 4=1-145=-14,∴数列{a n }是周期数列,且周期为3,∴a 2018=a 672×3+2=a 2=5,故选D .8.C [解析] ∵b 1=2,b 2=5,且a n (b n+1-b n )=a n+1,∴a 1(b 2-b 1)=a 2,即a 2=3a 1,又数列{a n }为等比数列,∴数列{a n }的公比q=3,∴b n+1-b n =a n+1a n=3,∴数列{b n }是首项为2,公差为3的等差数列,∴数列{b n }的前n 项和S n =2n+n(n -1)2×3=3n 2+n 2.故选C .9.D [解析] ∵a 1=1,a n+1·a n =12n ,∴a n+1=12n ·1a n ,∴a 2=12×1=12,a 3=122×2=12,a 4=123×2=122,a 5=124×22=122,a 6=125×22=123,a 7=126×23=123,a 8=127×23=124,a 9=128×24=124,…,以此类推,∵2017=1+1008×2,∴a 2017=121008.故选D .10.n ·2n2n -1 [解析] 由递推关系可得a n a n-1+(n-1)a n =2na n-1(n ≥2),则na n=12×n -1a n -1+12,即na n-1=12×n -1a n -1-1(n ≥2),据此可得,数列n a n-1是首项为1a 1-1=-12,公比为12的等比数列,故n a n-1=-12×12n-1=-12n,则n a n=1-12n =2n -12n,据此可得,数列{a n }的通项公式为a n =n ·2n2n -1.11.n ·2n [解析] S n =2a n -2n =2(S n -S n-1)-2n ,整理得S n -2S n-1=2n ,等式两边同时除以2n ,有S n 2n -S n -12n -1=1,又S 1=2a 1-2=a 1,可得a 1=S 1=2,所以数列{Sn 2n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以Sn2n =n ,所以S n =n ·2n .12.解:(1)由3S n =(n+2)a n 得3S n-1=(n+1)a n-1(n ≥2), 两式相减得3a n =(n+2)a n -(n+1)a n-1,∴a n a n -1=n+1n -1(n ≥2),∴a n -1a n -2=n n -2,…,a 3a 2=42,a 2a 1=31,累乘得a n a 1=(n+1)n 2,又a 1=2,∴a n =n (n+1).(2)由(1)知1a n=1n(n+1)=1n -1n+1,∴T n =1-12+12-13+13-14+…+1n -1n+1=nn+1,则|T n -1|=n n+1-1=1n+1.由|T n -1|<110得1n+1<110,解得n>9,故满足条件的集合M 存在,且集合M={n|n>9,n ∈N *}.13.A [解析] 由2a n -a n-1=3·2n-1(n ≥2),得a n2n =14·a n -12n -1+34,∴an2n -1=14a n -12n -1-1,由2a n -a n-1=3·2n-1(n ≥2),可得2a 2-a 1=6,又3a 1=2a 2,∴2a 1=6,解得a 1=3.∴数列a n 2n-1是以12为首项,14为公比的等比数列,则a n2n -1=12·14n-1=122n-1,∴a n =2n (21-2n +1)=21-n +2n ,∴S n =1+12+…+12n -1+(2+22+23+…+2n )=1-(12) n 1-12+2(1-2n )1-2= 2·2n -21-n ,∴1an +S n=121-n +2n +2·2n -21-n =13·2n ,∴T n =1312+122+…+12n =131-12n <13.∵对任意n ∈N *,T n <m ,∴m 的最小值为13.14.(12,32) [解析] 由S n +S n+1=n 2+2n+p 可得S n-1+S n =(n-1)2+2(n-1)+p (n ≥2),两式相减得a n +a n+1=2n+1(n ≥2),∴a n-1+a n =2n-1(n ≥3),两式相减可得a n+1-a n-1=2(n ≥3),∴数列a 2,a 4,a 6,…是以2为公差的等差数列,数列a 3,a 5,a 7,…,是以2为公差的等差数列.将n=1代入S n +S n+1=n 2+2n+p 结合a 1=1可得a 2=1+p ,将n=2代入a n +a n+1=2n+1(n ≥2)可得a 3=4-p ,∴a 4=a 2+2=3+p.要使对任意n ∈N *,a n <a n+1恒成立,只需要a 1<a 2<a 3<a 4即可,即1<1+p<4-p<3+p ,解得12<p<32,则实数p 的取值范围是(12,32).课时作业(二十八)1.B [解析] 因为数列{a n }是等差数列,a 2=4,a 4=2,所以2a 4=a 2+a 6=4,所以a 6=0.故选B .2.B [解析] 设新数列a 1+a 4,a 2+a 5,a 3+a 6,…的第n 项是b n ,则b n =a n +a n+3=2a 1+(n-1)d+(n+2)d=2a 1+(2n+1)d ,∴b n+1-b n =2d ,∴新数列是以2d 为公差的等差数列.故选B .3.C [解析] 数列{a n }为等差数列,设公差为d ,则a 4=a 2+2d ,∴a 2=3(a 2+2d )-6,∴2a 2+6d-6=0,∴a 2+3d=3,即a 5=3,则S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=27.故选C .4.10 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得{a 1+a 3=2a 1+2d =0,a 5=a 1+4d =6,解得{a 1=-2,d =2,∴a 7=a 1+6d=-2+6×2=10. 5.4036 [解析] 令m=1,可得a 1+a n =a n+1,则a n+1-a n =2,∴{a n }为等差数列,首项和公差均为2,∴a n =2+2(n-1)=2n ,∴a 2018=4036.6.B [解析] 由已知,得a 3+a 13=2a 8=20,∴a 8=10,又a 2=-2,∴公差d=2,∴a 15=a 2+13d=-2+13×2=24.7.D [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,由a 10=15,S 2=S 7,可得{a 1+9d =15,2a 1+d =7a 1+21d,解得{a 1=-12,d =3,∴a 8=a 1+7d=-12+21=9.故选D .8.D [解析] ∵等差数列{a n }中,a 4,a 7是函数f (x )=x 2-4x+3的两个零点,∴a 4+a 7=4,∴{a n }的前10项和S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 4+a 7)2=5×4=20.故选D .9.C [解析] 依题意知a 1008+a 1009=2017>0,a 1008a 1009=-2018<0,又数列{a n }的首项为正数,∴a 1008>0,a 1009<0,∴S 2016=(a 1+a 2016)×20162=(a 1008+a 1009)×20162>0,S 2017=(a 1+a 2017)×20172=2017a 1009<0,∴使S n >0成立的正整数n 的最大值是2016,故选C .10.D [解析] S n =n 2,S n-1=(n-1)2(n ≥2),两式作差得到a n =2n-1(n ≥2),当n=1时,a 1=S 1=1,也符合上式,故a n =2n-1,则a 2=3,a m =2m-1,∴b 1=a 1a 1+t =11+t,b 2=a 2a 2+t =33+t,b m =2m -1t+2m -1.由b 1,b 2,b m 成等差数列,得b 1+b m =2b 2,即6t+3=11+t +2m -1t+2m -1,整理得m=3+4t -1,∵t ,m ∈N *,∴当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.∴t m 的最大值为54.故选D .11.60 [解析] ∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20构成等差数列,且S 10=10,S 20=30,S 20-S 10=20,∴S 30-30=10+2×(20-10)=30,∴S 30=60. 12.9 [解析] 设良马与驽马第n 天跑的路程分别为a n ,b n ,由题意有a n =103+(n-1)×13=13n+90,b n =97+(n-1)×-12=-12n+9712,令c n =a n +b n =18712+1212n ,当满足题意时,数列{c n }的前n 项和S n =1125×2=2250,由等差数列前n 项和公式可得(18712+1212)+(18712+1212n)2×n=2250,得n=9,即需9日相逢.13.a n =3n-72 [解析] 由S n =pn 2-2n 可知,当n=1时,a 1=p-2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2pn-p-2,a 1=p-2符合上式,所以对任意的n ∈N *均有a n =2pn-p-2,则a n+1-a n =2p ,所以数列{a n }是公差为2p 的等差数列,所以a 2=3p-2.b 1=a 1=p-2,b 2=a 1+2a 21+2=7p -63,则b 2-b 1=7p -63-(p-2)=2,得p=32,所以a 1=-12,所以数列{a n }的通项公式为a n =-12+(n-1)×2×32=3n-72.14.解:(1)根据题意,有{√2=2λ+μ,2√2=6λ+μ,解得{λ=√24,μ=√22,故S n =18(a n +2)2,当n ≥2时,有S n-1=18(a n-1+2)2, 两式相减得(a n +a n-1)(a n -a n-1) =4(a n +a n-1)(n ≥2),又a n >0恒成立,所以a n -a n-1=4(n ≥2),所以数列{a n }是以2为首项,4为公差的等差数列,故a n =4n-2. (2)证明:根据题意,有{a 1=(λa 1+μ)2①,a 1+a 2=(λa 2+μ)2①,a 1+a 2+a 3=(λa 3+μ)2①,因为a 1+a 3=2a 2,所以可设a 3-a 2=a 2-a 1=d , ②-①得a 2=(λa 1+λa 2+2μ)·λd④, ③-②得a 3=(λa 2+λa 3+2μ)·λd⑤,⑤-④得d=2λ2d 2,当d=0时a 2=0,不满足题意,故舍去,则有λ2=12d ,代入④式得4λμ=1,易知λ≠0, 结合①式得a 1=d2.所以S n =λ2a n 2+2λμa n +μ2 =12d a n 2+12a n +d8,当n ≥2时有S n-1=12da n -12+12a n-1+d8,两式相减得a n =12d (a n 2-a n -12)+12(a n -a n-1),整理得(a n +a n-1)(a n -a n-1-d )=0(n ≥2).又a n >0恒成立,所以a n -a n-1=d (n ≥2),所以{a n }是d2为首项,d 为公差的等差数列. 15.解:(1)因为4S n =(a n +1)2,所以当n=1时,4a 1=(a 1+1)2,解得a 1=1,当n=2时,4(1+a 2)=(a 2+1)2,解得a 2=-1或a 2=3, 因为{a n }是各项均为正数的等差数列,所以a 2=3, 所以{a n }的公差d=a 2-a 1=2,所以{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)d=2n-1. (2)因为4S n =(a n +1)2,所以S n =(2n -1+1)24=n 2,所以S n -72a n =n 2-72(2n-1)=n 2-7n+72=n-722-354,又n ∈N *,所以当n=3或n=4时, S n -72a n 取得最小值-172.16.5 [解析] ∵数列{a n }为等差数列,且前n 项和为S n ,∴数列S n n也为等差数列,∴S m -1m -1+S m+1m+1=2S mm(m ≥2),即-2m -1+3m+1=0,解得m=5.17.121 [解析] 设数列{a n }的公差为d ,由题意得2√S 2=√S 1+√S 3,所以2√2a 1+d =√a 1+√3a 1+3d ,化简可得d=2a 1=2,所以a n =1+(n-1)×2=2n-1,S n =n+n(n -1)2×2=n 2,所以S n+10a n2=(n+10)2(2n -1)2=n+102n -12=[12(2n -1)+2122n -1]2=141+212n -12.又易知数列1+212n -12为递减数列,所以S n+10a n2≤S 11a 12=112=121.课时作业(二十九)1.C [解析] 两个等比数列的和不一定是等比数列,两个等比数列的积一定是等比数列.2.B [解析] 在等比数列{a n }中,a 2a 4=a 32=1,又a 2+a 4=52,数列{a n }为递减数列,所以a 2=2,a 4=12,设公比为q ,则q=a 3a 2=12,所以a 1=a2q =4.3.B [解析] 由等比数列的性质可知,数列S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列,即数列4,8,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列,因此S 9-S 6=16,S 6=12,S 12-S 9=32,所以S 12=32+16+12=60.4.3×2n-3 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,则{a 3=a 1q 2=3①,a 10=a 1q 9=384②,②÷①得q 7=128,即q=2,把q=2代入①,得a 1=34,所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1q n-1=34×2n-1=3×2n-3.5.531 [解析] 由题知,该女子每天织布的尺数构成公比为2的等比数列,设第一天织布的尺数为a 1,则由题知a 1(1-25)1-2=5,得a 1=531,故答案为531.6.D [解析] S 100=a 1+a 2+…+a 100=90,设S=a 1+a 3+…+a 99,则2S=a 2+a 4+…+a 100,∵S+2S=90,∴2S=60.故选D .7.C [解析] ∵正项等比数列{a n }满足lo g 12(a 1a 2a 3a 4a 5)=0,∴a 1a 2a 3a 4a 5=1,即a 35=1,∴a 3=1,又a 6=18,∴a 1=4,公比q=12,∴S 9=a 1(1-q 9)1-q=4×[1-(12) 9]1-12= 76364.故选C .8.D [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,所以q=a 2+a4a 1+a 3=12,所以a 1+a 3=a 1(1+q 2)=a 11+14=52,解得a 1=2,所以a n =2×12n-1=12n-2,S n =2(1-12n )1-12=41-12n ,所以S n a n=4(1-12n )(12) n -2=2n -1.故选D .9.A [解析] 设{a n }的公比为q ,由3a 2+2a 1=5,得2a 32+3a 3a 4-20a 4a 3=2a 3+3a 4-20q=q 2(3a 2+2a 1)-20q=5q 2-20q=5(q-2)2-20≥-20,因为q>0,所以当q=2时,上式取得最小值-20,故选A .10.D [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,由a 1=1,a 4=8,可得q 3=a4a 1=8,即q=2,所以a n-1=12a n (n≥2),所以A 中等式不成立;易知数列1a n是以1为首项,12为公比的等比数列,所以b n+1=a n+1+1an+1=2a n +12·1a n≠2a n +2·1a n=2b n ,所以B 中等式不成立;又T n =(a 1+a 2+…+a n )+1a 1+1a 2+…+1an=1×(1-2n )1-2+1×[1-(12) n]1-12=2n -1+2-12n -1=2n -12n -1+1,a n 2-1a n+1=2n-2-12n -1+1,所以T n ≠a n 2-1a n+1,所以C 中等式不成立;由b n =a n +1a n,得b n+1-b n =2n +12n -2n-1-12n -1=2n-1-12n >0,所以b n+1>b n ,所以D中不等式恒成立.故选D .11.B [解析] 令S 3=2, S 6=1,则S 6-S 3=-1,由等比数列的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6是等比数列,则S 9-S 6=12,所以S 9=1+12=32,所以S 9S 3=34.12.√3 [解析] 因为{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 2a 3a 4=a 2+a 3+a 4,所以a 33-a 3=a 2+a 4,则a 33-a 3=a 2+a 4≥2√a 2a 4=2a 3,当且仅当a 2=a 4时等号成立,即(a 32-3)a 3≥0,即a 32≥3,所以a 3≥√3,即a 3的最小值为√3.13.8 [解析] 在等比数列{a n }中,根据等比数列的性质,可得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4构成等比数列,所以(S 4-S 2)2=S 2·(S 6-S 4),因为a n >0,所以S 2>0,所以S 6-S 4=(S 4-S 2)2S 2.又因为S 4-2S 2=2,即S 4-S 2=S 2+2,所以S 6-S 4=(S 2+2)2S 2=S 22+4S 2+4S 2=S 2+4S 2+4≥2√S 2·4S 2+4=8,当且仅当S 2=4S 2时,等号成立,所以S 6-S 4的最小值为8.14.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题意有{a 1=1,(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d),解得d=1或d=0(舍去), ∴a n =1+(n-1)=n. (2)由(1)知a n =n ,∴b n =2n ,∴b n+1b n=2,∴{b n }是首项为2,公比为2的等比数列, ∴T n =2(1-2n )1-2=2n+1-2.15.解:(1)设{a n }的前n 项和为S n , 当q=1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1;当q ≠1时,S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1①, qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n ②, ①-②得(1-q )S n =a 1-a 1q n ,∴S n =a 1(1-q n )1-q.∴S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q,q ≠1.(2)证明:假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *, 都有(a k+1+1)2=(a k +1)(a k+2+1),即a k+12+2a k+1+1=a k a k+2+a k +a k+2+1, 即a 12q 2k +2a 1q k =a 1q k-1·a 1q k+1+a 1q k-1+a 1q k+1.∵a 1≠0,∴2q k =q k-1+q k+1,∵q ≠0,∴q 2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾. 故数列{a n +1}不是等比数列.16.C [解析] ∵{a n }是各项均为正数的等比数列,a 2a 4=a 3,∴a 32=a 3,∴a 3=1.又公比q>1,∴a 1<a 2<1,a n >1(n>3),∴T n >T n-1(n ≥4),又T 1<1,T 2=a 1·a 2<1,T 3=a 1·a 2·a 3=a 1a 2=T 2<1,T 4=a 1·a 2·a 3·a 4=a 1<1,T 5=a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=a 35=1,T 6=T5·a 6=a 6>1,∴满足T n >1的n 的最小值为6,故选C .17.D [解析] 依题意得,当n ≥2时,a n =a 1a 2a 3…a na1a 2a 3…a n -1=2n22(n -1)2=2n2-(n -1)2=22n-1,又a 1=21=22×1-1,所以a n =22n-1,所以1a n=122n -1,所以数列1a n是以12为首项,14为公比的等比数列,等比数列1a n的前n项和为12(1-14n )1-14=231-14n <23,因此实数t 的取值范围是23,+∞.课时作业(三十)1.A [解析] 由题知,该数列的前n 项和S n =[1+3+5+…+(2n-1)]+12+122+…+12n =n[1+(2n -1)]2+12(1-12n )1-12=n 2+1-12n .2.B [解析] S 100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.3.B [解析] 由已知a n+1+(-1)n a n =2n-1,得a n+2+(-1)n+1·a n+1=2n+1,得a n+2+a n =(-1)n (2n-1)+(2n+1),分别取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S 12=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 11+a 12=78.故选B .4.100 [解析] 设{a n }的前100项和为S 100.因为a n+1+(-1)n+1a n =2,令n=2m-1,得a 2m +a 2m-1=2,所以S 100=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 99+a 100)=2×50=100.5.n (n+1) [解析] 依题意得a n+1=a n +a 1,即有a n+1-a n =a 1=2,所以数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列,a n =2+2(n-1)=2n ,所以S n =n(2+2n)2=n (n+1).6.C [解析] 根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,S 6=5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S 16=2S 6+S 4=2×0+7=7.7.C [解析] 由递推公式可得,当n 为奇数时,a n+2-a n =4,所以数列{a 2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,当n 为偶数时,a n+2-a n =0,所以数列{a 2n }是首项为2,公差为0的等差数列.S 2017=(a 1+a 3+…+a 2017)+(a 2+a 4+…+a 2016)=1009+12×1009×1008×4+1008×2=2017×1010-1.故选C .8.A [解析] ∵a n+1-a n =n+1,a n -a n-1=n-1+1,…,a 2-a 1=1+1,累加可得a n+1-a 1=(1+n)n 2+n ,即a n =n(n -1)2+n=n(n+1)2,∴1a n=21n -1n+1,∴1a 1+1a 2+…+1a2017=2×1-12+12-13+…+12017-12018=2×1-12018=20171009.故选A .9.B [解析] 由题意,得a 1+a 2+a 3+…+a 100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.故选B . 10.C [解析] 依题意有n a 1+a 2+…+a n=12n+1,即前n 项和S n =n (2n+1)=2n 2+n.当n=1时,a 1=S 1=3,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-1,a 1=3满足该式,所以a n =4n-1,b n =a n +14=n.因为1bn b n+1=1n(n+1)=1n -1n+1,所以1b1b 2+1b2b 3+…+1b10b 11=1-12+12-13+…+110-111=1011.11.5 [解析] 由题,S n =1×21+2×22+…+n ·2n ,2S n =1×22+2×23+…+n ·2n+1,两式相减得-S n =2+22+…+2n -n ·2n+1=2(1-2n )1-2-n ·2n+1,故S n =2+(n-1)2n+1.又a n+1=2n+1,所以由S n -na n+1+50=2+(n-1)2n+1-n ·2n+1+50=52-2n+1<0,n ∈N *,得n ≥5且n ∈N *,故n 的最小值为5.12.410083-112 [解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1(a 1≠0),公比为q.∵a 2·a 3=2a 1,∴a 1·q 3=2,即a 4=2.∵a 4与2a 7的等差中项为17,∴a 4+2a 7=34,即a 7=16,∴a 1=14,q=2,∴a n =14·2n-1=2n-3.∵b n =(-1)n a n ,∴数列{b n }的前2018项和S 2018=-(a 1+a 3+…+a 2017)+(a 2+a 4+…+a 2018)=-(2-2+20+22+…+22014)+(2-1+21+23+…+22015)=-14×(1-41009)1-4+12×(1-41009)1-4=410083-112.13.10 [解析] 设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q.∵a 2=5,b 1=1,b 3+S 3=19,a 7-2b 22=a 3,∴{b 1=1,a 1+d =5,b 1q 2+3(a 1+d)=19,a 1+6d -2b 12q 2=a 1+2d,解得{a 1=3,b 1=1,d =2,q =2,∴a n =2n+1,b n =2n-1,∴a n b n =(2n+1)12n-1.T n =3×120+5×121+…+(2n+1)12n-1,12T n =3×121+5×122+7×123+…+(2n-1)12n-1+(2n+1)12n ,两式相减,得12T n =3+212+122+…+12n -1-(2n+1)12n =3+2×12(1-12n -1)1-12-(2n+1)12n,∴T n =6+41-12n -1-2(2n+1)12n =10-2n+52n -1<10,∵对任意n ∈N *,T n <P 恒成立,∴P ≥10,即P 的最小值为10.14.解:(1)当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n ;当n=1时,a 1=S 1=1,符合上式.综上可得a n =n.(2)由(1)知b n =n ·3n ,则T n =1×31+2×32+3×33+…+n ·3n , 3T n =1×32+2×33+3×34+…+n ·3n+1, 两式相减,得-2T n =3+32+33+…+3n -n ·3n+1=3(1-3n )1-3-n ·3n+1,∴T n =34+n 2-14·3n+1.15.解:(1)设{a n }的公差为d.依题意a 1a 10=a 3a 4,即a 1(a 1+9d )=(a 1+2d )(a 1+3d ),即a 12+9a 1d=a 12+5a 1d+6d 2,因为d ≠0,所以2a 1=3d.又a 1+a 2+a 3=15,即a 1+d=5,故a 1=3,d=2. 故数列{a n }的通项公式为a n =2n+1. (2)依题意,b n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3, 则S n =12×13-15+12×15-17+12×17-19+…+1212n+1-12n+3=1213-12n+3=16-12(2n+3)<16,所以m ≥16,所以实数m 的最小值为16.16.C [解析] 由已知,a n +(-1)n =[3+(-1)1]·2n-1=2n ,∴a n =2n -(-1)n .当n 为偶数时,a 1+a 2+…+a n =(2+22+…+2n )-(-1+1-…+1)=2n+1-2,a n+1=2n+1-(-1)n+1=2n+1+1,由a 1+a 2+…+a n ≥λa n+1对任意n ∈N *恒成立,得λ≤2n+1-22n+1+1=1-32n+1+1对任意n ∈N *恒成立,∴λ≤1-322+1+1=23;当n 为奇数时,a 1+a 2+…+a n =(2+22+…+2n )-(-1+1-…+1-1)=2n+1-1,a n+1=2n+1-(-1)n+1=2n+1-1,由a 1+a 2+…+a n ≥λa n+1对任意n ∈N *恒成立,得λ≤2n+1-12n+1-1=1对任意n ∈N *恒成立.综上可知λ≤23.17.解:(1)当n=1时,由题意得a 2=4. 当n ≥2时,4S n =a n ·a n+1,4S n-1=a n-1·a n , 两式相减,得4a n =a n (a n+1-a n-1).∵a n ≠0,∴a n+1-a n-1=4,∴{a n }的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列.当n=2k-1,k ∈N *时,a n =a 2k-1=2+4(k-1)=4k-2=2n ;当n=2k ,k ∈N *时,a n =a 2k =4+4(k-1)=4k=2n. ∴a n =2n (n ∈N *). (2)由已知得1b n+1=n+1nb n-1n ,即1(n+1)bn+1=1nb n-1n(n+1),∴当n ≥2时,1nb n-1(n -1)b n -1=-1n -1-1n ,1(n -1)bn -1-1(n -2)b n -2=-1n -2-1n -1,…,12b 2-1b 1=-1-12,累加可得1nb n=3n+1n(n ≥2).∴b n =13n+1(n ≥2),当n=1时,b 1=14也适合上式,∴b n =13n+1(n ∈N *),又c n =a n213b n +23,∴c n =n2n .∴T n =121+222+…+n -12n -1+n2n ①,12T n =122+223+…+n -12n +n2n+1②, ①-②得12T n =12+122+…+12n -n2n+1=12(1-12n )1-12-n 2n+1=1-12n -n 2n+1=1-n+22n+1,∴T n =2-n+22n .专题集训(四)1.C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d.∵a 8=1,∴2|a 9|+|a 10|=2|1+d|+|1+2d|={-3-4d,d <-1,1,-1≤d ≤-12,3+4d,d >-12,由分段函数的性质可得2|a 9|+|a 10|的最小值为1,故选C . 2.A [解析] 由题意知,a=12,b=516,c=316,故a+b+c=1,故选A .3.B [解析] 设由前12项构成的等差数列的公差为d ,从第11项起构成的等比数列的公比为q.由a 13=a 122a 11=(-2+4d)2-2+3d=4,解得d=1或d=34,又数列{a n }的各项均为整数,所以d=1,所以q=a13a 12=2,所以a n ={n -10,n ≤12,2n -11,n ≥13,故a 15=24=16,故选B .4.52 [解析] 依题意可知a 1+a 2=1+4=5,b 22=1×4=4,1·b 2=b 12>0,所以b 2=2,所以a 1+a 2b 2=52.5.89 [解析] 由题意得a n =F(n,2)F(2,n)=2nn 2且a k =(a n )min ,∴a n+1a n=2n 2(n+1)2.∵2n 2-(n+1)2=(n-1)2-2,当n ≥3时,(n-1)2-2>0,即2n 2>(n+1)2,∴当n ≥3时,a n+1>a n ,同理当n<3时,a n+1<a n .∴a n >a n-1>…>a 4>a 3<a 2<a 1,∴(a n )min =a 3=89,则a k =89. 6.D [解析] 由题意得{0<a <1,1-3a <0,(1-3a)×6+10a >a 7-7,解得13<a<58.7.D [解析] 因为数列2,24,27,…,23n+10,…是一个首项为2,公比为23的等比数列,设23n+10是第k 项,则23n+10=2×(23)k-1=23k-2,所以3n+10=3k-2,则k=n+4,所以f (n )是该等比数列的前n+4项的和,于是f (n )=2[1-(23)n+4]1-23=27(8n+4-1).故选D .8.B [解析] 由题意,可知从早晨6时30分开始,接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项,2为公比的等比数列,出来的人数构成以1为首项,1为公差的等差数列.记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ,第n 个30分钟内出来的人数为b n ,则a n =4×2n-1,b n =n ,因为从早晨6时30分至上午11时30分共有10个30分钟,所以上午11时30分公园内的人数S=2+4(1-210)1-2-10×(1+10)2=212-57.9.D [解析] 由题意,a n =[log 2n ].当n=1时,a 1=0,S 1=0;当21≤n<22时,a 2=a 3=1,共2项,S 3=2;当22≤n<23时,a 4=a 5=a 6=a 7=2,共4项,S 7=2×4+S 3=10;当23≤n<24时,a 8=a 9=…=a 15=3,共8项,S 15=3×8+S 7=34;当24≤n<25时,a 16=a 17=…=a 31=4,共16项,S 31=4×16+S 15=98;当25≤n<26时,a 32=a 33=…=a 63=5,共32项,S 63=5×32+S 31=258;当26≤n<27时,a 64=a 65=…=a 127=6,共64项,S 127=6×64+S 63=642;当27≤n<28时,a 128=a 129=…=a 255=7,共128项,S 255=7×128+S 127=1538;当28≤n<29时,a 256=a 257=…=a 511=8,共256项,S 511=8×256+S 255=3586>2018.∴当S n =2018时,n=255+2018-15388=315,∴满足S n >2018的正整数n 的最小值为316.故选D .10.C [解析] 在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S n 满足S n 2=a n (S n -1),∴当n ≥2时,S n 2=(S n -S n-1)·(S n -1),化为1S n -1S n -1=1.∴数列1S n 是等差数列,且首项为1,公差为1,∴1S n=1+(n-1)=n ,∴S n =1n.∴b n =log 2S n S n+2=log 2n+2n,数列{b n }的前n 项和T n =log 231+log 242+log 253+…+log 2n+1n -1+log 2n+2n=log 231×42×53×…×n+1n -1×n+2n=log 2(n+1)(n+2)2.由T n ≥6,即log 2(n+1)(n+2)2≥6,得(n+1)(n+2)≥27.令f (x )=x 2+3x-126=x+322-128-14,可得f (x )在[1,+∞)上单调递增.而f (9)=-18<0,f (10)=4>0,若x ∈N *,则当x ≥10时,f (x )≥0,∴满足T n ≥6的正整数n 的最小值是10.11.58[解析] 公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=-18,所以a 23=-18,解得a 2=-12.设公比为q ,则a 3=-12q ,a 4=-12q 2,因为a 2,a 4,a 3成等差数列,所以2a 4=a 2+a 3,即2×(-12q 2)=-12-12q ,解得q=-12或q=1(舍去),所以a 1=1,由{a n }的前n 项和S n =a 1(1-q n )1-q,可得S 4=58.12.154,5∪(5,15)∪(15,+∞) [解析] 因为后三个数成等差数列且和为15,故可依次设后三个数为5-d ,5,5+d (d ≠0且d ≠5),又前三个数构成等比数列,则第一个数为(5-d)25,即(5-d)25+5-d+5=k ,化简得d 2-15d+75-5k=0,因为满足条件的数列的个数大于1,所以Δ>0,所以k>154.又由d ≠0且d ≠5,得k ≠5且k ≠15,故k 的取值范围为154,5∪(5,15)∪(15,+∞).13.-14,34[解析] 因为S n +S n+1=2n 2+n ,所以S n-1+S n =2(n-1)2+n-1(n ≥2),两式相减得a n +a n+1=4n-1,n ≥2,所以a n-1+a n =4n-5,n ≥3,两式再相减得a n+1-a n-1=4,n ≥3,可得数列{a n }的偶数项是以4为公差的等差数列,从a 3起奇数项也是以4为公差的等差数列. 若对任意n ∈N *,a n <a n+1恒成立,则a 1<a 2<a 3<a 4.又a 1+S 2=3,所以a 2=3-2a 1,同理a 3=7-a 2=4+2a 1,a 4=11-a 3=7-2a 1,所以a 1<3-2a 1<4+2a 1<7-2a 1,解得-14<a 1<34,即首项a 1的取值范围是-14,34.14.证明:(1)由于a n+1-a n =-a n2n(n+1)≤0,所以a n+1≤a n .若a n+1=a n ,则a n =0,与a 1=12矛盾,从而a n+1<a n ,a 1=12>a 2>a 3>…>a n .又a n+1a n=1-a nn(n+1)≥1-12n(n+1)>0,所以a n+1与a n 同号,又a 1=12>0,所以a n+1>0,即0<a n+1<a n .(2)由于0<a n+1<a n ,所以a n+1=a n -a n2n(n+1)<a n -a n a n+1n(n+1),即1a n-1an+1<-1n(n+1)=1n+1-1n ,即1an+1-1a n>1n -1n+1.当n ≥2时,1a n =1a n-1an -1+1a n -1-1an -2+…+1a 2-1a 1+1a 1>1n -1-1n +1n -2-1n -1+…+1-12+1a 1=3-1n =3n -1n>0,从而a n <n 3n -1;当n=1时,a 1=12=13-1. 综上可得a n ≤n3n -1. (3)a n+1a n=1-a n n(n+1)≥1-a 1n(n+1)=1-121n -1n+1, 所以S n =a 2a 1+a3a 2+…+a n+1a n≥n-121-12+12-13+…+1n -1n+1=n-121-1n+1>n-12.15.解:(1)f (x )=x2+sin x ,令f'(x )=12+cos x=0,得x=2k π±2π3(k ∈Z ). 由f'(x )>0,得2k π-2π3<x<2k π+2π3(k ∈Z ), 由f'(x )<0,得2k π+2π3<x<2k π+4π3(k ∈Z ),所以当x=2k π-2π3(k ∈Z )时,f (x )取得极小值, 所以x n =2n π-2π3(n ∈N *).(2)证明:因为b n =x n2π=n-13=3n -13,所以1b n ·b n+1=33n -1·33n+2=313n -1-13n+2,所以S n =312-15+15-18+…+13n -1-13n+2=312-13n+2=32-33n+2,又n ∈N *,所以S n <32.16.4 [解析] 当n ≥2时,2a n =2S n -2S n-1=a n a n+1-a n-1a n ,∵a n ≠0,∴a n+1-a n-1=2;当n=1时,a 1a 2=2a 1,解得a 2=2.∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为2,且a 1=1,a 2=2,∴数列{a n }为等差数列,其首项为1,公差为1,∴a n =1+n-1=n.∵数列{b n }满足b 1=15,b n+1-b n =2n ,∴当n ≥2时,b n =2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+15=2×(n -1)n 2+15=n (n-1)+15,当n=1时,上式也成立,∴b n =n (n-1)+15,∴bn a n=n-1+15n ≥2√15-1(当且仅当n=√15时取等号),又n ∈N *,且b4a 4=3+154,b3a 3=7,则数列{bn a n}中第4项最小.17.[2,3] [解析] 由题设可得S n =4n+1-(-12) n1-(-12)=4n+23-23×-12n ,则S n -4n=23-23×-12n ,不等式1≤x (S n -4n )≤3可化为1≤x23-23×-12n≤3,即32×11-(-12) n≤x ≤92×11-(-12) n,则问题转化为求-12n的最大值和最小值.由于n ∈N *,所以-12n 的最大值和最小值分别为14和-12,则32×11-14≤x ≤92×11-(-12),即2≤x ≤3,所以实数x 的取值范围是[2,3].。

2020年高考数学一轮总复习第五章数列5-5数列的综合应用课时规范练理(含解析)

2020年高考数学一轮总复习第五章数列5-5数列的综合应用课时规范练理(含解析)

5—5 数列的综合应用课时规范练(授课提示:对应学生用书第275页)A组基础对点练1．（2018·龙泉驿区期末）等差数列{a n｝的公差为1，且a1，a3，a7成等比数列，则{a n}的前20项和为（ A )A．230 B．－230C．210 D．－2102．在等比数列{a n｝中,S n是它的前n项和，若q＝2,且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝( A )A．62 B．－62C．32 D．－323．已知数列｛a n｝，定直线l：y＝错误!x－错误!，若（n，a n）在直线l 上,则数列{a n｝的前13项和为（ C ）A．10 B．21C．39 D．784．等差数列{a n}中的a4，a2 016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点,则log错误!a1 010＝( D ）A。

错误!B．2C．－2 D．－错误!5．(2018·柳林县期末)已知x＞0，y＞0,x，a，b，y成等差数列,x,c,d，y成等比数列，则错误!的最小值是( C )A．0 B．1C．2 D．4解析：由x＞0，y＞0,x,a,b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，可得a＋b＝x＋y,xy＝cd，则错误!＝错误!≥错误!＝2，当且仅当x＝y时，等号成立，则错误!的最小值是2。

6．已知在等差数列{a n｝中，a1＝120，公差d＝－4，若S n≤a n(n≥2)，其中S n为该数列的前n项和，则n的最小值为( B ）A．60 B．62C．70 D．727．等差数列{a n｝的首项为1,公差不为0。

若a2,a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为( A )A．－24 B．－3C．3 D．88．设S n为等比数列{a n｝的前n项和．若a1＝1,且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n＝3n－1。

解析：由3S1,2S2，S3成等差数列,得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以a n＝a1q n－1＝3n－1. 9．(2017·江西师大附中检测）已知正项等比数列｛a n}的前n项和为S n，且S1，S3，S4成等差数列,则数列｛a n｝的公比为错误!。

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[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则a10等于()A．18 B．20 C．16 D．22答案 B解析由题意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1 B．0 C．1 D．3答案 B解析{a n}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)⇒S2＝0.故选B.3．(2018·郑州质检)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18 B．20 C．21 D．25答案 C解析织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n}，a1＝5，前30项和为390，于是30(5＋a30)2＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．故选C.4．已知等差数列{a n}的前10项和为30，a6＝8，则a100＝() A．100 B．958 C．948 D．18答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C. 5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A.a 2a 3＝2B.a 2a 3＝32C.a 2a 3＝23D.a 2a 3＝13 答案 C解析 由已知可得S n ＝n ＋12a n ，则S n －1＝n 2a n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋12a n －n 2a n －1(n ≥2)，化简得a n －1a n＝n －1n (n ≥2)，当n ＝3时，可得a 2a 3＝23.故选C. 6．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50答案 B解析 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选B. 7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033答案 C解析 因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032＝4032(a 1＋a 4032)2＝4032(a 2016＋a 2017)2＞0，S 4033＝4033(a 1＋a 4033)2＝4033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸答案 C解析 设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0，a 13＝14.8，得130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C.9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7] 答案 A解析 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n＋a －1，因为b n ＝1＋a n a n，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1＜0，9＋a －1＞0， 解得－8＜a ＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案 －32解析 若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32. 13．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案 b n ＝2n －1解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．答案 9解析 a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝ (2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.因为λa n≤n ＋8n ，所以λ≤(n ＋8)(2n －1)n ， 即λ≤2n －8n ＋15.易知y ＝2x －8x (x >0)为增函数，所以2n －8n ＋15≥2×1－81＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．解 (1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得1sin A＝332，得sin A ＝12，又0＜A ＜B ，∴A ＝π6，则C ＝π－π3－π6＝π2. ∴sin C ＝1.(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2， 又b 2＝a 2＋c 2－ac ，得4a 2＋4c 2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2，得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，又A ＋C ＝2π3，∴A ＝C ＝B ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m 20成立，求正整数m 的最大值．解 (1)因为a n ＋1＝12－a n， 所以1a n ＋1－1＝112－a n－1＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以1a n－1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝n n ＋1. (2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ， 所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13(n ＋1)－1n ＋1－…－13n ＝－1n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋1＝13n ＋2－23n ＋3＋13n ＋1>23n ＋3－23n ＋3＝0， ∴C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又∵n ≥2，∴(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13＋14＋15＋16＝1920，m 20<1920，m <19.又m ∈N *，所以m 的最大值为18.。

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