江苏专用2018高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第32课复数课时分层训练

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高考数学一轮复习第六章平面向量与复数答案

第六章平面向量与复数第29讲平面向量的概念与线性运算链教材·夯基固本激活思维 1.ABD【解析】对于A ，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故A 不正确；对于B ，由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向，故B 不正确；对于C ，因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件可得a ＝b ，故C 正确；对于D ，若向量a 与向量b 中有一个是零向量，则其方向不确定，故D 不正确．故选ABD.2. ACD 【解析】对于A ，AB→＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0，故A 正确；对于B ，OA →＋OC→＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝CA →－CB →＝BA→，故B 错误；对于C ，AB →－AC →＋BD →－CD →＝CB →＋BC →＝0，故C 正确；对于D ，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0，故D 正确．故选ACD. 3. C 【解析】 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB→.故选C.4.B【解析】由于c 与d 反向共线，则存在实数k ，使得c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.5. 12 【解析】如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝23－16＝12.(第5题)知识聚焦3. b ＝λa4. 12(OA →＋OB →)研题型·融会贯通分类解析【答案】 BC 【解析】 A 错误，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．B 正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→.又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此AB→＝DC→.C 正确，因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同，所以a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .D 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件．故选BC.【答案】 CD 【解析】因为向量AB→与BA →互为相反向量，所以它们的长度相等，所以A 正确；由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，所以B 正确；由共线向量定义知C 错误；因为零向量不能看作是有向线段，所以D 错误．故选CD.(1) 【答案】 A【解析】在平行四边形ABCD 中，若CE →＝4ED →，则CE →＝45CD →，则BE→＝BC →＋CE →＝AD →＋45CD →＝－45AB →＋AD →.(2) 【答案】 B【解析】因为DE →＝AE →－AD →＝23AC →－AB →－BD →＝23AC →－AB →－12BC →＝23AC →－AB →－12(AC →－AB →)＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →，所以x ＝－12，y ＝16，所以x ＋y ＝－12＋16＝－13.(1) 【答案】 C【解析】在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为CF→＝2FB →，所以CF →＝23CB →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD→，故选C.(2) 【答案】 C【解析】如图，BP→＝BD →＋DP →＝BD →－PD →，AB→＝AD →＋DB →＝－BD →＋2PD →， AC→＝AD →＋DC →＝BD →＋2PD →，则BP →＝λAB →＋μAC →＝(μ－λ)BD →＋(2λ＋2μ)PD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，2λ＋2μ＝－1，则λ＋μ＝－12.(变式(2))(1) 【答案】 AD 【解析】(1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，可得λa ＝b (λ∈R )，即2λ＝k ，－λ＝1，解得k ＝－2，所以A 正确，B 错误．若e 1与e 2共线，则e 1＝m e 2(m∈R )，a ＝2e 1－e 2＝(2m －1)e 2，b ＝k e 1＋e 2＝(km ＋1)e 2，可得a 与b 共线，所以C 错误，D 正确．(2) 【答案】 43【解析】由题知AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2，因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ，使得AC→＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得k ＝43.【解答】(1)AE→＝AB→＋BE→＝2e 1＋e 2＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2，因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE→＝k EC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＋(1＋λ－k )e 2＝0.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，1＋λ－k ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2) 因为A ，B ，C ，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD→＝(2－x,4－y )，因为BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(6,3)＋(1，－1)＝(7,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝7，4－y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝2，所以点A 的坐标为(－5,2)．课堂评价 1. C 2. ACD 3. BCD【解析】分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA→是相反向量的共有18个，故A 错误；由|OA→－OB →|＝10，即|BA→|＝10，知格点B 共有3个，故B 正确；因为存在格点B ，C ，使得四边形OBAC 是以OA 为对角线的平行四边形，故存在格点B ，C ，使得OA→＝OB →＋OC →；不妨设O (0,0)，则A (1,2)，设B (x 0，y 0)，由OA→·OB →＝1，即x 0＋2y 0＝1，格点B (x 0，y 0)在一次函数y ＝－12x ＋12上，该直线正好经过图中4个格点，故选项D 正确．4. 13【解析】设线段BC 的中点为M ，则OB→＋OC →＝2OM →.因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋1t AD →＝14AB →＋14t AD →.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.5.54【解析】如图，取AB 的中点F ，连接CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF∥AD ，且CF ＝AD .因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12，所以λ＋μ＝54.(第5题)第30讲平面向量的基本定理及坐标表示链教材·夯基固本激活思维1. A 【解析】由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB→＋13AC →＝13a ＋13b .故选A. 2. B【解析】－3a －2b ＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－9,3)＋(2，－4)＝(－7，－1)．故选B. 3.D【解析】由a∥b ，知1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，即b ＝(－2，－4)，所以|b |＝(－2)2＋(－4)2＝25，故选D.4.C【解析】以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设AD ＝2，则B (4,0)，D (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，23，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，23，AB →＝(4,0)，AD →＝(0,2)，所以BF →＝－12AB →＋13AD →.(第4题)知识聚焦1. a ＝λ1e 1＋λ2e 22. (1) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) (2) ②(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)23. x 1y 2＝x 2y 1 研题型·融会贯通分类解析【解答】 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2) 由题意，设EC→＝x DC →，因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.【题组·高频强化】1. A 【解析】依题意得AE→＝AB →＋BE →，AE →＝AD →＋DC →＋CE →，所以2AE →＝AB →＋AD →＋DC →＝AB →＋AD →＋12AB →＝32AB →＋AD →，所以AE →＝34AB →＋12AD →.2.A【解析】由OC→＝2OP→，AB→＝2AC →，知C 是AB 的中点，P 是OC 的中点，所以OC →＝12(OA →＋OB →)，则OP →＝14(OA→＋OB →)．又OM →＝38OB →，ON →＝n OA →，所以MN →＝ON →－OM →＝n OA →－38OB →，MP→＝OP →－OM→＝14(OA→＋OB→)－38OB→＝14OA→－18OB →.又M ，P ，N 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λMP →成立，即n OA →－38OB→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14OA →－18OB →.又OA →，OB →不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧n ＝14λ，－38＝－18λ，解得n ＝34.3. B 【解析】如图，设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →，又DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a ，DH→＝μDE→＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12b ，所以μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a .由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ，解得λ＝45，μ＝25，故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .(第3题)4. 【解答】设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB→＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e1，①x －12y ＝e2，②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，所以x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，即BC →＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝CD →＝－43e 1＋23e 2.【解答】(1)假设存在常数t 使得OA→＋tOB→＝OC →，则(3t －1,4t ＋2)＝(2,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧3t －1＝2，4t ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t ＝－14，因此，不存在实数t ，使得OA →＋t OB →＝OC →.(2) 设点D (x ，y )，由题意得AB→＝2DC→，即(4,2)＝2(2－x,1－y )，可得⎩⎪⎨⎪⎧2×(2－x )＝4，2×(1－y )＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，因此点D 的坐标为(0,0)．(3) 设点E 的坐标为(a ，b )，BC→＝(－1，－3)，AE →＝(a ＋1，b －2)，由⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪AE →＝1，AE→·BC →＝1，可得⎩⎨⎧(a ＋1)2＋(b －2)2＝1，－(a ＋1)－3(b －2)＝1，整理得⎩⎨⎧(a ＋1)2＋(b －2)2＝1，a ＋3b －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝75，因此，点E 的坐标为(－2,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，75.【解答】 (1) AB→＝(－4,2)，AC →＝(2，－3)，由AB →＋AC →＝(－2，－1)，得⎪⎪⎪⎪AB →＋AC →＝5，由AB→－AC →＝(－6,5)，得|AB →－AC →|＝61. 故以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为5，61. (2) 假设存在实数t 满足条件．因为OB →＝(－5,4)，由向量AC →－t OB →与向量OB →垂直，得(AC →－t OB →)·OB →＝0，又因为AC→－t OB →＝(2，－3)－t (－5,4)＝(2＋5t ，－3－4t )，所以(2＋5t )×(－5)＋(－3－4t )×4＝0，解得t ＝－2241.所以存在t ＝－2241，使得向量AC→－t OB →与向量OB →垂直．【解答】(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．又因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，所以k ＝－12.(2)由题知AB→＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB→∥BC →，所以8m －3(2m ＋1)＝0，所以m ＝32.(1) 【答案】 C (2) 【答案】 C 【解析】由题意知a －λb ＝(1＋λ，1－3λ)，因为(a －λb )∥c ，所以2(1－3λ)＝1＋λ，解得λ＝17.课堂评价 1.CD【解析】对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝k －2<0，－k ≠2，解得k <2且k ≠－2，A 选项中的命题正确；对于B 选项，|a |＝k2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b|，即与b 共线的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，22，C 选项中的命题错误；对于D 选项，因为|a |＝2|b |＝22，即k2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项中的命题错误．2. B3. D 【解析】因为AB→＋AC →＝2AD →，所以D 是BC 的中点．又因为AE →＋DE →＝0，所以E 是AD 的中点，所以BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋12AD →＝－AB →＋12×12(AB→＋AC →)＝－34AB →＋14AC →，因此x ＝－34，y ＝14，即x ＝－3y .故选D.4. A5. A 【解析】因为DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB→－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A. 第31讲平面向量数量积的应用链教材·夯基固本激活思维 1.ABD【解析】对于A 选项，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a|·|b |cosθ＝|a |·|b |，则cos θ＝1，所以θ＝0，则a 与b 同向，所以a ∥b ，A 选项正确；对于B 选项，由于a ，b ，c 是三个非零向量，且a ∥b ，b∥c ，则存在非零实数λ，μ，使得a ＝λb ，b ＝μc ，所以a ＝λb ＝λ(μc )＝(λμ)c ，所以a∥c ，B 选项正确；对于C 选项，若a ·c ＝b ·c ，则a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ＝0，即(a －b )⊥c ，所以a 与b 在c 方向上的投影相等，C 选项错误；对于D 选项，在等式|a ＋b|＝|a －b|两边平方得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，整理得a ·b ＝0，则a ⊥b ，D 选项正确．2. D 【解析】依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a2＋6a ·b ＋b2＝18＋12＋4＝34. 3.D【解析】因为a ＋b ＝(x －3，－3)，(a ＋b )⊥a ，所以－3(x －3)＋1×(－3)＝0，解得x ＝2.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－22，又θ∈[0，π]，所以θ＝3π4.4. B 【解析】因为△ABC 是边长为1的等边三角形，且BD ＝2DC ，所以BD →＝23BC →，所以AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋23AB →·BC →＝1＋23×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝23.故选B.5. A【解析】如图，AN →·MN →＝(AB →＋BN →)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12DC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →－13BC →＝12AB →2－29BC →2＝12×2－29×3＝13.(第5题)知识聚焦1. [0，π] 3. (3) －|a ||b | (5) |a ||b | 5. (1) x 1x 2＋y 1y 2 (2) x 1x 2＋y 1y 2＝0 (3) x21＋y21 (4) x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22研题型·融会贯通分类解析(1) 【答案】 24【解析】 (1) 因为a －λb 与b 垂直，所以(a －λb )·b ＝0，所以a ·b －λb 2＝0，所以1×2×cos π4－4λ＝0，所以λ＝24.(2) 【答案】 A 【解析】因为|a |＝3|b |，cos 〈a ，b 〉＝13，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝9|b |2－|b |2＝8|b |2＝16，所以|b |＝2.【解案】 (1) a ·b ＝|a||b |cos 120°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－6.(2) |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a2＋2a ·b ＋b2＝13. (3) 因为(2a －b )⊥(a ＋k b )，所以(2a －b )·(a ＋k b )＝0，即2a 2＋2k a ·b －a ·b －k b 2＝0，18－6(2k －1)－16k ＝24－28k ＝0，解得k ＝67.(1) 【答案】 π3【解析】因为向量a ，b 的夹角是2π3，a 是单位向量，|b |＝2，所以a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3＝1×2×cos 2π3＝－1.因为c ＝2a ＋b ，所以|c |＝(2a ＋b )2＝4a2＋4a ·b ＋b2＝4－4＋4＝2，所以c ·b ＝(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝－2＋4＝2.设向量c 与b 的夹角为θ，其中θ∈[0，π]，则cos θ＝c ·b|c|·|b|＝22×2＝12，得θ＝π3.(2) 【答案】 23 【解析】因为|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1，则|a ＋2b |＝4＋4＋4＝23.(1) 【答案】 C 【解析】由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，由|a ＋b |＝2|a |，得|b |＝3|a |.设a ＋b 与a 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b |·|a |＝12，所以θ＝π3.(2) 【答案】 6 【解析】由题意知，向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，所以(3a －2b )2＝9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9×22－12×2×3cos 60°＋4×32＝36，所以|3a －2b |＝6.【解答】 (1) 因为DB →＝2AD →，所以AD →＝13AB →，所以CD →＝AD →－AC →＝13AB→－AC →，因为AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，所以AB →·AC →＝⎪⎪⎪⎪AB →·⎪⎪⎪⎪AC →cos60°＝2×3×12＝3.所以CD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →－AC →2＝19AB →2－23AB →·AC →＋AC →2＝19×22－23×3＋32＝679，故CD ＝673.(2) 因为CE →＝2EB →，所以BE →＝13BC →，所以DE →＝DB →＋BE →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC→－AB →)＝13AB →＋13AC →，所以AB →·DE →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋13AC →＝13AB →2＋13AB →·AC →＝13×22＋13×3＝73.【题组·高频强化】1. D 【解析】由已知得AM →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，所以AM →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝72.2. B 【解析】由AD →＝2DC →，得BD →＝23BC →＋13BA →，CA →＝BA →－BC →，所以BD →·CA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC →＋13BA →·(BA →－BC →)＝－6. 3. B 【解析】根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1.在△ADC 中，又AC ＝2，∠BAC ＝60°，则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3，即DC ＝3，则CD ⊥AB ，BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝－23AB →2＝－6.4.A【解析】以BD 的中点O 为坐标原点，以BD 所在的直线为x 轴，以CA 所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1，0)，C (0，－3)，所以直线BC 的方程为y ＝－3x －3.设点M (x ，－3x －3)(－1≤x ≤0)，则OM →＝(x ，－3x －3)，CM→＝(x ，－3x )，所以OM →·CM →＝x 2＋3x 2＋3x ＝4x 2＋3x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋382－916，当x ＝－38时，OM →·CM →取到最小值－916.(第4题)课堂评价 1. A【解析】根据题意，|a －b |＝3＋2＝5，则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝5－2a·b ＝5，得a·b ＝0，所以(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a·b ＝4＋4＝8，则|2a －b |＝22，故选A.2. B3.D【解析】因为向量a ＝(1，k )，|b |＝2，a 与b 的夹角为5π6，所以a ·b ＝|a |·|b |cos5π6＝－3·1＋k2.又(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝1＋k 2－3·1＋k2＝0，所以1＋k2·(1＋k2－3)＝0，由1＋k2＞0，解得k ＝±2.4.22【解析】因为AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCD →，所以AE →·BF →＝(AB →＋λBC →)·(BC →＋λCD →)＝AB →·BC →＋λAB →·CD →＋λBC →2＋λ2BC →·CD →＝|AB→||BC→|cos 120°－λAB→2＋λBC→2＋λ2|BC→||CD→|cos60°＝2λ2－2＝－1，解得λ＝±22.因为点E ，F 分别在边BC ，DC 上，所以λ>0，所以λ＝22.5. 13【解析】如图，以B 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (1,0)，C (0，2)，所以AC→＝(－1,2)．因为D 为BC 的中点，所以D (0,1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，43，所以DE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13·(－1,2)＝－13＋23＝13.(第5题) 第32讲复数链教材·夯基固本激活思维1. B 【解析】由z ＝1＋i ，得z －＝1－i ，则z z －－z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.故选B.2. D 【解析】由已知得(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.3.D【解析】由题意可得z 2＝(1＋i)2＝2i ，则z 2－2z ＝2i －2(1＋i)＝－2，故|z 2－2z |＝|－2|＝2.4. D5.B【解析】因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，所以z 2＝1－i ，所以z 1z 2＝(1＋i)·(1－i)＝2.故选B.知识聚焦1. (1) a b (2) a ＝c 且b ＝d 3. (3) a2＋b2研题型·融会贯通分类解析(1) 【答案】 C (2) 【答案】 C【解析】由z (1＋i )i 32－i ＝1－i ，得z ＝(1－i )(2－i )(1＋i )i 3＝1－3i －i (1＋i )＝1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－i ，所以z －＝2＋i ，所以复数z －的虚部为1.(3) 【答案】 C【解析】由题意得z ＝－3i 1＋3i＝－3i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－3－3i4＝－34－34i ，所以z －＝－34＋34i ，所以|z －|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342＝32. (1) 【答案】 3 (2) 【答案】 A 【解析】i(x ＋y i)＝－y ＋x i ，5i 2－i＝5i (2＋i )5＝－1＋2i ，根据两复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，即x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为x －y i ＝2－i.(1) 【答案】 D【解析】因为z －＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，所以z ＝i.(2) 【答案】 D(1) 【答案】 C 【解析】由题得1＋i (1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ＝a ＋b i ，所以a ＝12，b ＝12，所以a b＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1212＝22.(2) 【答案】 A 【解析】因为z ·i 3＋2i＝1－i ，所以z ·i ＝(1－i)·(3＋2i)＝5－i ，所以z ＝－1－5i ，所以z ＋3＝2－5i ，所以|z ＋3|＝29.(1) 【答案】 B【解析】z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题知3m －2＜0且m －1＜0，解得m ＜23.故选B.(2) 【答案】 4【解析】若复数z 满足条件|z |＝1，则z 所对应的点的轨迹是单位圆．因为|z ＋22＋i|表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离，所以|z ＋22＋i|的最大值是4.【答案】 C 【解析】由已知条件，可设z ＝x ＋y i(x ，y∈R )．因为|z －i|＝1，所以|x ＋y i －i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1.故选C.课堂评价1. C 【解析】由题知z ＝－i (a ＋i )－i·2i ＝1－ai2，所以a ＝－1.2. A 【解析】由题知z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )1－i 2＝2＋2i ，对应的点为(2,2)，在第一象限．3. B 【解析】由题得z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以|z |＝12＋(－1)2＝2，故选B.4.BC【解析】复数不能比较大小，故A 错误；若a 2－4＋(a ＋2)i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－4＝0，a ＋2≠0，解得a ＝2，故B 正确；z ＝(1＋i)2(1＋2i)＝－4＋2i ，所以z－＝－4－2i ，为第三象限内的点，故C 正确；z ＝1＋i 2＋i＝(1＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝3＋i 5，其虚部为15，故D 错误．故选BC.5. 5【解析】由题意可得z ＝1＋3i 1＋i ＝(1＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4＋2i 2＝2＋i ，所以z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝9＋16＝5.。

近年高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算教师用书(20

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第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算[最新考纲]内容要求A B C平面向量的概念√平面向量的加法、减法及数乘运算√1．向量的有关概念(1）向量：既有大小又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．（2）零向量:长度为0的向量，其方向是任意的．（3)单位向量：长度等于1个单位的向量．（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6）相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1）交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－a－b＝a＋（－b)b的和的运算叫作a与b的差三角形法则数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）｜λa｜＝｜λ｜｜a|；（2）当λ〉0时，λa与a方向相同；当λ<0时,λa与a方向相反；当a＝0时,λa＝0，当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b)＝λa＋λb3向量a(a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．（思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×")(1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )（3）a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．（)(4)△ABC中，D是BC的中点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!)．（)［答案］（1）×(2）×（3)×(4）√2．(教材改编）已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，错误!＝b，则错误!＝________，BC，→＝________。

2025年高考数学一轮复习-第六章-平面向量、复数【课件】

(5)能用向量方法解决平面几何中平行、垂直、夹角、线段长度等问题. (6)掌握余弦定理、正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理可以解答的基本题型,能借助两个定理的变形进行边角互化. (7)能用余弦定理、正弦定理解答三角形边、角、面积的复杂计算问题和实际问题.
3.重视思想方法的应用 (1)数形结合思想:向量的几何表示,三角形法则,平行四边形法则使向量具备 “形”的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又让向量具备“数”的特征.因此,运用数形结合思想,可以将许多复杂的向量问题简单化. (2)化归与转化思想:用基底表示有关向量,将平面向量间的运算转化为基向量间的运算;用余弦定理、正弦定理进行边角互化.
定理;
新高考Ⅱ卷·T18
2.能用余弦定理、正弦定理解决简单
2021年:新高考Ⅰ卷·T19
的实际问题.
新高考Ⅱ卷·T18
角度
考题统计
考查内容
课程标准
高考真题
复数
2023年:新高考Ⅰ卷·T2
1.通过方程的解,认识复数;
新高考Ⅱ卷·T1
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理 2022年:新高考Ⅰ卷·T2
概念的理解. (2)熟练掌握向量线性运算(加法、减法、数乘),数量积运算,并理解其几何意
义.
(3)理解向量共线的充要条件、平面向量基本定理,在此基础上体会向量坐标表示的来龙去脉.
(4)了解向量方法推导余弦定理、正弦定理的过程,掌握两个定理及其常见变形形式.
2.熟练掌握解决以下问题的方法规律 (1)从以下两个角度全面掌握平面向量的运算: ①几何角度:利用基底表示有关向量,转化为基向量的运算. ②坐标角度:建立平面直角坐标系,用坐标表示向量,转化为向量的坐标运算. (2)重视向量运算几何意义的理解和应用. (3)能用平面向量的线性运算解决用基底表示平面内任意向量、向量共线等问题. (4)能用平面向量的数量积运算解决向量垂直、夹角、模等问题.

高考数学一轮复习第六章平面向量与复数答案 (2)

第六章平面向量与复数第29讲平面向量的概念与线性运算1. B【解析】由A ，B ，C 三点共线，得OA→＝t OB →＋(1－t )OC →＝(1＋t )a ＋(t －2)b ，因为a ，b 是不共线的向量，所以λ＝t ＋1，μ＝t －2，所以λ＝μ＋3，故选B.2.C【解析】由已知可得点M 是靠近点B 的三等分点，且点N 是AC 的中点，所以MN →＝MC →＋CN →＝23BC →＋12CA →＝23(AC →－AB →)－12AC →＝16AC →－23AB →.故选C.3. B 【解析】如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC→.故选B.(第3题)4. A【解析】如图，由题意可得DE →＝23DC →＝23×12AB →＝13a ，由向量加法的三角形法则可得BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋13a ＝－23a ＋b .(第4题)5.C【解析】如图，已知D ，P 分别为BC ，AD 的中点，由向量的加减法运算，得BP→＝BD →＋DP →＝BD →－PD→，AB →＝AD →＋DB →＝－BD →＋2PD →，AC →＝AD →＋DC →＝BD →＋2PD →，又因为BP →＝λAB →＋μAC→＝(μ－λ)BD →＋(2λ＋2μ)PD →，则⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，2λ＋2μ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－34，μ＝14，故λ＋μ＝－12.(第5题)6. AB7. ABD8. ACD 【解析】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确；对于B 选项，若a 与b 共线，可能a ＝0，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b ＝λa ，所以B 选项错误；根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确．9. ABD 【解析】对于A ，因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB→＋AD→，所以A 正确；对于B ，因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB→＋AD →，代入可得，AF →＝13AB →＋13AD →，所以B 正确；对于C ，因为BF →＝AF →－AB →，而AF →＝13AB →＋13AD →，所以BF →＝－23AB →＋13AD→，所以C 不正确；对于D ，因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得，CF →＝－16AB →－23AD →，所以D 正确．10. －23【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB→＝k AC→，所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.11. 1 【解析】由平面向量的运算可知BD→＝AD →－AB →，而AD →＝2AE →，AB →＝AH →＋HB→＝2AF →－AE →，所以BD →＝AD →－AB →＝2AE →－(2AF →－AE →)＝3AE →－2AF→.由题图知AE →，AF →不共线，且BD →＝x AE →＋y AF →，所以x ＝3，y ＝－2，所以x ＋y ＝1. 12. 43 【解析】因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，所以AE →＝12(AD →＋AC →)，AF→＝12(AB →＋AC →)，两式相加得2AE →＋2AF →＝AB →＋AD →＋2AC →＝3AC →，所以AC →＝23AE →＋23AF →，即λ＝μ＝23，λ＋μ＝43.13. 【解答】 (1) 因为AB→＝OB →－OA →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB→，所以AB →与BC →共线．因为AB →与BC →有公共端点B ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )＝λk a ＋2λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝8，k ＝2λ，解得λ＝±2，故k ＝2λ＝±4.14. 【解答】 (1) 因为BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →，因为E 为线段AD 的中点，所以AE →＝12AD →＝12(AC →＋CD →)＝12AC →＋16BC →.因为BC →＝AC →－AB →，所以AE →＝12AC →＋16(AC →－AB →)＝23AC →－16AB →.因为AE →＝x AB →＋y AC →，所以y ＝23，x ＝－16，所以x ＋y ＝－16＋23＝12.(2) 由题图可知x ，y 均为正数，设AD→＝m AB →＋n AC →，AE →＝λAB →＋μAC →，因为B ，D ，E ，C 四点共线，所以m ＋n ＝1，λ＋μ＝1. 因为AD→＋AE →＝x AB →＋y AC →＝(m ＋λ)AB →＋(n ＋μ)AC →，所以x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，故1x ＋4y 的最小值为92. 15. 【解答】 (1) 因为AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →，所以x ＝34，y ＝14，因此，x －y ＝34－14＝12.(2) 设AP →＝λAM →＝34λAB →＋14λAC →，再设NP→＝k NC →，则AP →－AN →＝k (AC →－AN →)，即AP →＝(1－k )AN →＋k AC →＝1－k 2AB →＋k AC→，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 34λ＝1－k 2，14λ＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47，k ＝17，所以AP →＝37AB →＋17AC →，因此，AP →·BC →＝17(3AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝17(AC →2＋2AB →·AC →－3AB →2)＝17×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋2×4×3×12－3×42＝－277. 第30讲平面向量的基本定理及坐标表示1. D2. D3.B【解析】以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)．设a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.4. A 【解析】因为向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，a －λb ＝(3－λ，1－3λ)，所以|a －λb|＝(a －λb )2＝(3－λ)2＋(1－3λ)2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ－322＋14≥1.当且仅当λ＝32时，|a －λb |有最小值1.5. C 【解析】因为AC→＝AB →＋AD →，所以AM →＝2λAB →－3μAC →＝2λAB →－3μ(AB →＋AD→)＝(2λ－3μ)AB →－3μAD →.因为BE →＝4EA →，AF →＝3FD →，所以AM →＝5(2λ－3μ)AE →－4μAF →.因为E ，F ，M 三点共线，所以5(2λ－3μ)－4μ＝1,10λ－19μ＝1，所以5λ－192μ＝12. 6. D 【解析】由题可得A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－332.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－32μ＝－32，μ2＝－332，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝－33，所以μλ＝3.7.ABC【解析】设A (5,7)，B (－3,5)，C (3,4)，第四个顶点坐标为D (x ，y )，分以下三种情况讨论：①若四边形ABDC 为平行四边形，则AC→＝BD→，即(－2，－3)＝(x ＋3，y －5)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝－2，y －5＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝2，此时点D 的坐标为(－5,2)．②若四边形ABCD 是平行四边形，则AD→＝BC→，则(x －5，y －7)＝(6，－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝6，y －7＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝6，此时点D 的坐标为(11,6)．③若四边形ACBD 为平行四边形，则AD→＝CB→，即(x －5，y －7)＝(－6,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－6，y －7＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，此时点D 的坐标为(－1,8)．综上所述，第四个顶点的坐标为(11,6)或(－5,2)或(－1,8)．8. ACD 【解析】 A 中，AM →＝12AB →＋12AC →⇒12AM →－12AB →＝12AC →－12AM →，即BM →＝MC →，则M 是BC 的中点，A 正确． B 中，AM→＝2AB →－AC →⇒AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB→，则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误． C 中，如图，设BC 中点为D ，则AM →＝－BM →－CM →＝MB →＋MC →＝2MD→，由重心性质可知C 正确． D 中，AM →＝x AB →＋y AC →且x ＋y ＝12⇒2AM→＝2x AB →＋2y AC →，2x ＋2y ＝1.设AD →＝2AM→，所以AD →＝2x AB →＋2y AC →，2x ＋2y ＝1，可知B ，C ，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 面积的12，D 正确．(第8题)9.AB【解析】设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数t∈(0,1)，使得(1)ON→＝t OA →＋(1－t )OB →，且存在实数r >1，使得OM →＝r ON →，从而OM →＝rt OA →＋r (1－t )OB →，且rt ＋r (1－t )＝r ＞1.又由于0<t <1，故r (1－t )>0.对于A ，rt ＝1，r (1－t )＝2，解得r ＝3，t ＝13，满足r >1，也满足r (1－t )>0，故A 满足条件；对于B ，rt ＝34，r (1－t )＝13，解得r ＝1312，t ＝913，满足r >1，也满足r (1－t )>0，故B满足条件；对于C ，rt ＝12，r (1－t )＝13，解得r ＝56，t ＝35，不满足r >1，故C 不满足条件；对于D ，rt ＝34，r (1－t )＝15，解得r ＝1920，t ＝1519，不满足r >1，故D 不满足条件．10. 35 11.23(2d －c )23(2c －d )【解析】设AB→＝a ，AD→＝b .因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a .又⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，所以⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．12.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，322 (1,3]【解析】过点D 作x ，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，过点C 作x ，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，如图所示，则∠OBA ＝∠DAE ＝∠BCN ＝θ，设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＝CN ＝cos θ，y 1＝OB ＋BN ＝2cos θ＋sin θ，x 2＝OA ＋AE ＝2sin θ＋cos θ，y 2＝DE ＝sin θ.当θ＝π4时，x 1＝cos π4＝22，y 1＝2cos π4＋sin π4＝322，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，322. 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，C (cos θ，2cos θ＋sin θ)，D (2sin θ＋cos θ，sin θ)，则OC →·OD →＝cos θ(2sin θ＋cos θ)＋(2cos θ＋sin θ)sin θ＝1＋4sin θcos θ＝1＋2sin 2θ∈(1,3]，因此，OC →·OD→的取值范围是(1,3]．(第12题)13. 【解答】 (1) 因为3a ＋b －c ＝(9,6)＋(－1,2)－(4,1)＝(4,7)，所以|3a ＋b －c |＝16＋49＝65.(2) 因为m b ＋n c ＝(－m,2m )＋(4n ，n )＝(4n －m,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4n －m ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3) 因为a ＋b ＝(2,4)且(d －c )∥(a ＋b )，所以d －c ＝λ(a ＋b )＝(2λ，4λ)，λ∈R ，所以|d －c |＝4λ2＋16λ2＝1，解得λ＝±510.当λ＝510时，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，255＋(4,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4＋55，255＋1；当λ＝－510时，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，－255＋(4,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－55，1－255. 14. 【解答】 (1) 因为A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，所以AB→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，2AB →＋AC →＝(－1,7)，因此，|2AB→＋AC →|＝(－1)2＋72＝52.(2) 由(1)知，AB→＝(－1,1)，AC →＝(1,5)，所以cos θ＝AB→·AC →|AB →|·|AC →|＝(－1，1)·(1，5)(－1)2＋12×12＋52＝42×26＝21313.15. 【解答】 (1) 由A ，M ，D 三点共线，可设OM→＝m OA →＋(1－m )OD →＝m a ＋1－m2b .由B ，M ，C 三点共线，可设OM →＝n OC →＋(1－n )OB → ＝n4a ＋(1－n )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ，1－m2＝1－n ，解得m ＝17，n ＝47，所以OM →＝17a ＋37b .(2) 因为E ，M ，F 三点共线，所以设OM →＝k OE →＋(1－k )·OF → ＝kλa ＋(1－k )μb ，由(1)知kλ＝17，(1－k )μ＝37，所以1λ＝7k ，3μ＝7－7k ，所以1λ＋3μ＝7，为定值．第31讲平面向量数量积的应用1.D【解析】由|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，得⎩⎨⎧(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝1＋a ·b ＝0，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2a ·b ＋b 2＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝－1，b2＝2.所以|a －b|＝(a －b )2＝a2－2a ·b ＋b2＝1＋2＋2＝5.2. C 【解析】因为OA→＋OB →＋OC →＝0，所以O 为△ABC 的重心，所以△OBC 的面积是△ABC 面积的13.因为AB →·AC →＝23，所以|AB →|·|AC→|cos ∠BAC ＝23.因为∠BAC ＝60°，所以|AB →|·|AC →|＝43，所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为1.故选C.3. D 【解析】因为|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，所以a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19.又|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a2＋2a ·b ＋b2＝25－2×6＋36＝7，所以cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935. 4. A【解析】如图，根据正六边形的特征，可以得到AP→在AB →方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP→在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB→的取值范围是(－2,6)．(第4题)5. C 【解析】由题得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，BF →＝BC →＋CF →＝AD→＋23CD →＝AD →－23AB →，则AE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →·AD →－23AB →2＋12AD →2. 因为AB ＝2AD ＝23，所以AD ＝3，所以AE →·BF →＝23×23×3×cos ∠DAB －23×(23)2＋12×(3)2＝－172，解得cos ∠DAB ＝－12，所以∠DAB ＝120°.6. B 【解析】依题意可知AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos 135°＝－2，MC →＝AC →－AM →＝AB →＋AD →－12(AE →＋AF→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μAD →，所以|MC →|＝MC→2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λ2－4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μ2.因为4λ＋μ＝1，μ＝1－4λ，所以|MC→|＝412λ2－λ＋1，根据二次函数的性质可知，Δ<0，当λ＝－－12×412＝141时，|MC →|取得最小值，此时μ＝1－4λ＝3741，所以μλ＝37.7.BC【解析】如图，连接AB ，过点C 作CD⊥AB 交AB 于点D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AD →|＝12|AB→|2，故AB →·AC→的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关，故选BC.(第7题)8.ABC【解析】设BC＝DE ＝m ，因为∠A ＝30°，且B ，C ，D 三点共线，则CD ＝AB ＝3m ，AC ＝EC ＝2m ，所以∠ACB ＝∠CED ＝60°，∠ACE ＝90°，所以CD→＝3 BC→，CA →·CE →＝0，AB →∥DE →，故A ，B ，C 成立；而CA →·CB →＝2m ·m ·cos 60°＝m 2，CE →·CD →＝2m ·3m ·cos 30°＝3m 2，即CA →·CB →＝CE →·CD→不成立． 9.AD【解析】当a ，b 共线时，ab ＝|a －b|＝|b －a|＝ba ，当a ，b 不共线时，ab ＝a·b ＝b·a ＝ba，故A 正确．当λ＝0，b ≠0时，λ(a b )＝0，(λa )b ＝|0－b |≠0，故B 错误．当a ＋b 与c共线时，存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )c ＝|a ＋b －c|，ac ＋bc ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c|≠a·c ＋b·c ，故C 错误．当e 与a 不共线时，|ae|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1；当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|ae|＝|a －e|＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1＝|a |＋1，故D 正确．10. 511. 18 【解析】由图可知，∠FAD ＝30°，∠FCA ＝60°，所以AF→⊥FC →.又FC →∥GD →∥HI →，AF →⊥IH →，即AF →·IH→＝0，又AC →＋CF →＝AF →，AF →·AP1→＝AF →·(AI →＋IP1→)＝AF →·AI →＝|AF →|·|AI →|cos 30°＝3×4×32＝6.同理，AF →·AP2→＝AF →·AP3→＝6，所以(AC →＋CF →)·(AP1→＋AP2→＋AP3→)＝AF →·AP1→＋AF →·AP2→＋AF →·AP3→＝18. 12. 16132【解析】因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，所以∠BAD ＝180°－∠B ＝120°，所以AB →·AD →＝λBC →·AB →＝λ|BC →|·|AB →|cos 120°＝λ×6×3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－9λ＝－32，解得λ＝16.以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (6,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，332. 因为AD →＝16BC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，332. 设M (x,0)，则N (x ＋1,0)(其中0≤x ≤5)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －52，－332，DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32，－332，所以DM →·DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －52⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3322＝x 2－4x ＋212＝(x －2)2＋132，所以当x ＝2时，DM →·DN →取得最小值132.(第12题)13. 【解答】 (1) 因为m ＝3，n ＝－1，所以a ＝(1,3)，b ＝(2，－1)，所以a ＋λb ＝(1＋2λ，3－λ)．又a ⊥(a ＋λb )，所以1＋2λ＋3(3－λ)＝0，解得λ＝10.(2) 因为a ＝(1，m )，b ＝(2，n )，所以a ＋b ＝(3，m ＋n )．又|a ＋b |＝5，所以9＋(m ＋n )2＝25，即(m ＋n )2＝16，所以a·b ＝2＋mn ≤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝2＋4＝6，当且仅当m ＝n 时取等号，即a·b 的最大值为6.14. 【解答】 (1) 由于D 是BC 的中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)，由于AE→＝2EB →，AF →＝12FC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →·EF →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AC →－23AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23AB →2－13AB →·AC →＋13AC →2＝－13AB →2－16AB →·AC →＋16AC →2＝－13×62－16×6×3×12＋16×32＝－12.(2) 因为DE →＝AE →－AD →＝23AB →－12(AB →＋AC →)＝16AB →－12AC →，DF →＝AF →－AD →＝13AC→－12(AB →＋AC →)＝－12AB →－16AC →，所以DE →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16AB →－12AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12AB →－16AC →＝－112AB →2＋112AC →2＋29AB →·AC →＝－3＋34＋29AB →·AC →＝0，解得AB →·AC →＝818.15. 【解答】 (1) 在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AB ＝ 2CD ，所以AO ＝2OC ，所以AM →·BD →＝(AO →＋OM →)·BD →＝AO →·BD →＋OM →·BD →＝AO →·BD →＝23AC →·BD →＝23(AD→＋DC →)·(AD →－AB →)＝23(AD →2－DC →·AB →)＝23(4－2×4)＝－83.(2) 令AM →＝λAB →， AM →·BD →＝λAB →·BD →＝λAB →·(AD→－AB →)＝－λAB →2＝－16λ＝－83，则λ＝16，即AM →＝16AB →，所以AN →·MN →＝AN →·(AN →－AM →)＝AN →2－AN →·AM→＝AN →2－|AN →|×|AM →|×cos45°＝AN →2－16×|AN →|×|AB →|×cos 45°＝|AN →|2－23|AN →|.令|AN →|＝t ，则 0≤t ≤22 ，AN →·MN→＝t 2－23t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －262－118，所以当|AN →|＝26时， AN →·MN →取最小值－118.第32讲复数1. C2. A3. A4. A【解析】因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1－2i ，所以z 2＝－1－2i ，所以z1z2＝1－2i－1－2i ＝－(1－2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝4i ＋35＝35＋45i.5. A 【解析】若复数z 满足z (1－i)＝|2＋2i|，则z ＝|2＋2i|1－i ＝22(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋2i ，即复数z 的虚部为2.6. D【解析】因为1＋i1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，又i 4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2020＝i 2020＝(i 4)505＝1. 7.ABC【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b∈R )，因为z ＋1z＝i ，所以a ＋b i ＋1＝(a ＋b i)i ＝a i ＋b i 2＝－b ＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－b ，b ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－12，所以z ＝－12－12i ，所以|z |＝22.故选ABC.8. AD 【解析】因为z ＝3＋2i 2－i ＝(3＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝45＋75i ，所以z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，75，在第一象限，故A 正确；z 的虚部是75，故B 不正确；|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫752＝655，故C 不正确；设z 1＝x ＋y i ，x ，y∈R ，由|z 1－z |＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －752＝1，即点(x ，y )在以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，75为圆心，以1为半径的圆上，则(x ，y )到(0,0)的距离的最大值为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫752＝1＋655，即|z 1|的最大值为1＋655，故D 正确．9. ABC10. 3－2i 11. －7 12.y24＋x23＝1【解析】设复数z 对应的点为Z ，则|z －i|表示点Z 到点A (0,1)的距离，|z ＋i|表示点Z 到点B (0，－1)的距离，又AB ＝2，由|z ＋i|＋|z －i|＝4知点Z 到点A ，B 的距离和大于AB ，知z 在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a ＝2，c ＝1，则b ＝3，椭圆的焦点就是A ，B ，所以z 在复平面内对应的点的轨迹方程是y24＋x23＝1.13. 【解答】 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i.因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.14.【解答】 (1)设向量OB→对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．因为A (2,1)，所以由对称性可知a ＝2，b ＝－1，所以OB →对应的复数为z 1＝2－i. (2) 设点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则点C 对应的坐标为(c ，d )．由(1)知B (2，－1)，则由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1，故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.15. 【解答】 (1) 设z 1＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则c2＋d2＝1＋i ＋c ＋d i ＝(1＋c )＋(1＋d )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝0，c2＋d2＝1＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，d ＝－1，所以z 1＝－i.(2) 由(1)得z 2＝a 2－1－(a －1)i(a ∈R )，由z 2是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a2－1＝0，a －1≠0，所以a ＝－1.。

(江苏专用)届高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数检测评估【含答案】.docx

第六章平面向量与复数第 33 课平面向量的概念与线性运算一、填空题1. (2014 ·广东联考改编 ) 在△ ABC 中 , AB =a, AC=b,D 是 BC 的中点 , 则 AD = .( 用 a, b表示 )2. 已知向量 a 表示“向东航行 1 km ”, 向量 b 表示“向北航行3km ”, 则向量 a+b 表示的实际意义为.3. 如图 , 四边形 ABCD 是平行四边形 ,O 是对角线的交点 , 则DO +AO= .(第3题)4. 在△ ABC 中 ,AC=a,BC=b, 则 BA = .( 用 a, b 表示 )·广州模拟 ) 在△ ABC 中 , 已知 D 是 AB 边上的一点 , 若AD1CA5. (2014 =2 DB , CD = 3+λ CB , 则λ= .6. 若 O,A,B 是平面上不共线的任意三点 , 则以下各式中成立的是 .( 填序号 )① AB =OA +OB ; ② AB =OB - OA ; ③ AB =- OB + OA ;④ AB =- OB - OA .7. 已知 O 是△ ABC 所在平面内一点 ,D 为 BC 边的中点 , 且 2 OA + OB +OC =0, 则下列关系中正确的是.(填序号)① AO=2OD;② AO=OD;③AO=3OD;④2AO=OD.m8. 在△ ABC中 ,D 在线段 BC上, BD =2 DC, AD =m AB +nAC, 则n=.二、解答题19. 已知凸四边形ABCD的边 AD,BC的中点分别为E,F, 求证 : EF = 2( AB + DC).(第9题)10.已知 e1 , e2是平面内两个不共线的向量 , a=3e1-2 e2, b=-2 e1+e2, c=7e1-4 e2, 试用 a, b表示 c.11.如图 , 在△ ABC中 , 设AB =a, AC =b,AP的中点为 Q,BQ的中点为 R,CR的中点为 P, 若AP =ma+nb, 求m和 n的值 .( 第11题)第六章平面向量与复数第 33课平面向量的概念与线性运算111.2a+2b解1BC11111析: AD=AB +BD =AB +2+ 2(AC -AB)= 2AB AC= AB+ 2= 2 a+ 2 b.2.向北偏东30°方向航行 2 km解析:如图,由向量加法的平行四边形法则可得.(第2题)3.DC(或AB)4.b- a212CB5. 3解析 :因为AD=2DB,即CDCA+ 3-CA =2(CB -CD ), 解得CD =3, 所以λ2= 3 .6.②7.②解析:因为D为BC边的中点,所以由2OA+OB+OC=0, 得OB+OC=-2 OA=2 AO, 即2OD=2 AO, 所以AO=OD.12( BA 1AB2AC12m1.8. 2解析: AD =AB +BD =AB +3+AC )= 3+ 3, 所以 m=3,n= 3, 则 n= 29. 过点 C 在平面内作CG=AB, 则四边形 ABGC 是平行四边形 , 故 F 为AG 的中点 ,(第9题)所以 EF 是△ ADG 的中位线 ,11DG . 所以 EF=2 DG,所以 EF = 2 因为 DG =DC +CG= DC+ AB,1所以 EF =2( AB+ DC).10. 因为 a=3e 1-2 e 2, b=-2 e 1+e 2, 所以 a, b 不共线 .设c=xa+yb, 则 c=x(3 e 1-2 e 2)+y(-2 e 1+e 2 )=(3x-2y) e 1+(-2x+y) e 2=7e 1-4 e 2.因为 e 1, e 2是两个不共线的向量,3x-2 y 7, x 1, 所以 -2x y -4,解得y-2.所以 c=a-2 b .1CR11.AP=AC +CP =AC +21 CB1BQ= AC+2211( AQ- AB)+2AB- AC= AC2,11 AB 1AQAC= 2+ 4 + 4.1AP又AQ=2,2 4 2 4 所以= 7 a+ 777 .AP。

江苏专版2018高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数36平面向量的数量积课件文

所以e1·e2＝2×1×cos 60°＝1，所以2t×22＋(2t2＋7)＋7t<0，
1 即 2t ＋15t＋7<0，解得－7<t<－ . 2
2
2t 7 又当 2te1＋7e2 与 e1＋te2 共线时，＝， 1 t 14 解得 t＝－ (正根舍去)， 2 所以实数 t
的取值范围是－7，－ 14 1 14 ∪ . －，－ 2 2 2
2 － a －4 1 2 b)· a＝0，即 a ＋a· b＝0.因为 cos θ＝＝＝－，所以 θ 2 |a||b| 2×4
2π ＝ . 3
知识梳理
1. 两个向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos 向量b在a方向上的投影 θ，其中|b|·cos θ称为______________________ ．规定：零向量
【思维引导】模长和夹角是数量积的两个要素，解题时要充分关注它们之间的转化．【精要点评】第(1)题利用向量的数量积公式和向量夹角的
范围求得；第 (2) 题一定要关注共线时的情况，因为 (2te1 ＋
7e2)·(e1＋te2)<0反映的是夹角为钝角或平角．
变式
为60°，若向量2te1＋ 7e2 与向量 e1 ＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．【解答】(2) 由题意知(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
2 2 所以 2te2 ＋ (2 t ＋ 7) e · e ＋ 7 t e 1 1 2 2<0.
又因为|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，
【解析】因为 a· b＝10，所以 x＋8＝10，x＝2，所以 a－ b＝(－1，－2)，所以|a－b|＝ 5.

江苏专用2020版高考数学专题复习专题5平面向量第32练平面向量的数量积练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题5平面向量第32练平面向量的数量积练习理A为 _______ .2.（2016 •淄IW期中）已知矩形個8中，AB=d BC=1,则走•亦= _______________・3・（2016 •镇江模拟）在△磁中，ZBAC=9Q<> , Q是庞的中点，J5=4, AC=3,则延•反4.（2017 •吉林东北师大附中三校联考）如图，已知外接圆的圆心为0, AB=2© AC=2^2,月为钝角，"是證边的中点，则弼•无= _______________ .5.已知向量尸（cos 0, sin “），向量/>=（&, -1）,则2a-b的最大值与最小值的和为 _______ •6.（2015 •安徽改编）△磁是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足乔=2a，AC=2a + £>，则下列正确结论的个数为________ .①［b =1;②&丄2>;③a・b=l;④（4a+5）丄貶7.（2015 •福建改编）已知為丄花，AB\ =k AC\ = t,若点尸是△磁所在平面内的一点，AD 4 AC 且乔=二^+二T，则扇•元的最大值等于・\AB\\AC\8.（2016 •吉林长春质检）已知向量a=（l,、/5）, 6=（0, t=+l）,则当心一© 2］时，a-亡的取值范围是_____________ .9.已知菱形的边长为2, Z54P=120°，点匕尸分别在边万G DC上,BE= “C、DF2 =PDC•若鱼AF=1,庄•芜一才，贝lj人+"= _ ・r r t r10.（2016 •浙江余姚中学期中）已知页与亦的夹角为60° ,鬲|=2,屈|=2&, OP= A0A+ P0B.若久+£“=2,贝lj乔的最小值为 _________________ ・11.（2016 •开封冲刺模拟）若等边△磁的边长为2,平面内一点於满足3f=^CB+^CA,则MA • MB= _______12.（2016 •盐城模拟）设0是△個7的三边中垂线的交点，且AC-2AC+Aff=0,则反•庞的取值范围是 ___________ .13・（2016 •徐州质检）如图，半径为2的扇形的圆心角为120。

江苏专版2018高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数33平面向量的概念与线性运算课件文

0 b∥c，则a∥c.其中正确的个数是________ ．【解析】对于①，a与b的长度可能不相同，故①错；对于
②，a与b的模相等，但方向不一定相同，故②错；对于③，向量不能比较大小，故③错；对于④，若b＝0，则a与c不一定平行，故④错．
3. ( 必修 4P57 习题 2 改编 ) 对于非零向量 a ， b ，“ a∥b”是必要不充分 “a＋b＝0”成立的_________________( 从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个 ) 条件．
【备考策略】 1. 高考中以考查向量的概念与运算为主，其中共线向量、垂直向量的充要条件，向量的模与夹角的计算尤为重要．解答题会以向量为背景，与直线、圆、三角函数、不等式甚至与数列交汇出现综合题．应突出向量的工具性． 2. 复数的考查以复数的基本概念、四则运算为主，一般以小题形式出现，都为基础题．
变式
→ → → → → →＝ →＋ →＋ →＋ → .. 所以所以 2 2CD CD ＝CA CA ＋CB CB ＋AD AD ＋BD BD → → →＝ →，又因为又因为AD AD ＝2 2DB DB ，
2. 几个特殊的向量 (1) 零向量： ________________ 长度为零的向量，记作 0 ，其方向是任意的．
长度等于1个单位长度的向量． (2) 单位向量：__________________________
方向相同或相反的非零向量 (3) 平行向量：____________________________ ，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线．
长度相等且方向相同的向量． (4) 相等向量：____________________________

高考复习数学(江苏版)第6章第32课复数

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高三一轮总复习
2．复数的几何意义
复数 z＝a＋bi 量__O→_Z_＝__(_a_，__b_)_．
复平面内的点_Z_(_a_，__b_)_
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝_(_a_±__c_)＋__(_b_±__d_)_i . z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(a_c_－__b_d_)_＋__(_b_c＋__a_d_)_i_.
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
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[变式训练 3] 定义运算ac，，db＝ad－bc，则符合条件z－，i，1＋2ii＝0 的复数 z 对应的点在第________象限．
－1－i.
(2)原式＝11－＋ii8＋1－2i21 009 ＝i8＋－22i1 009＝i8＋i1 009 ＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]
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复数的几何意义
(1)(2016·全国卷Ⅱ改编)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的
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2.(教材改编)如图 32-2，在复平面内，点 A 表示复数 z，则
图中表示 z 的共轭复数的点是________．
B [共轭复数对应的点关于实轴对称．]
图 32-2
3．(2016·江苏高考)复数 z＝(1＋2i)(3－i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部

近年高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第32课复数课时分层训练(2021年最新整理)

（江苏专用）2018高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第32课复数课时分层训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第32课复数课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第六章平面向量与复数第32课复数课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟）1．(2017·苏州模拟)设复数z i＝1＋2i（i是虚数单位）,则z＝________。

2－i ［由z i＝1＋2i得z＝错误!＝错误!＝错误!＝2－i.]2．（2017·苏锡常镇二模）已知（a－i)2＝2i,其中i是虚数单位,那么实数a＝________。

【导学号：62172173】－1[由(a－i）2＝2i得a2－1－2a i＝2i，故错误!即a＝－1.］3．(2017·无锡模拟)若复数z满足（2－i）z＝4＋3i（i为虚数单位),则｜z｜＝________。

5［由(2－i）z＝4＋3i，得|(2－i）z｜＝|4＋3i｜,即错误!|z|＝5,∴|z｜＝错误!.]4．（2016·全国卷Ⅰ改编)设(1＋2i)(a＋i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________。

－3 ［(1＋2i）(a＋i）＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3。

] 5．(2016·全国卷Ⅰ改编）设(1＋i)x＝1＋y i，其中x,y是实数，则｜x＋y i｜＝________.2 [∵（1＋i）x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i。

近年高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数练习文(2021年整理)

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（江苏专版）2018高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数练习文第六章平面向量与复数第33课平面向量的概念与线性运算A 应知应会1.给出下列四个命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a,b之一方向相同;②在△ABC中，必有++=0;③若++=0，则A,B，C为三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量,则｜a+b｜与｜a|+|b｜一定相等。

其中假命题是。

(填序号)2.若向量a，b不共线，且a+mb与-（b-2a）共线,则实数m的值为。

3。

在△ABC中,M为边BC上一点，N为AM的中点。

若=λ+μ,则λ+μ=.4.在△ABC中，点M，N满足=3，=.若=x+y,则x+y= .5.已知向量a=2e1—3e2，b=2e1+3e2，c=2e1—9e2,其中e1，e2不共线,问：是否存在这样的实数λ,μ，使得向量d=λa+μb与c共线?6.如图,四边形ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M，N分别是DC，AB的中点.设=a,=b，=c,试用a,b,c表示，,+.(第6题)B 巩固提升1.已知向量e1，e2不共线，=3（e1+e2),=e2-e1，=2e1+e2。

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题5 平面向量第32练含解析

AC DBAD BCAM AOAB ACBC训练目标(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；解题策略(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cosθ＞0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.1．(2017·玉溪月考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为________．2．(2016·淄博期中)已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，则→·→＝________. 3．(2016·镇江模拟)在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AB＝4，AC＝3，则→·→＝________.4．(2017·吉林东北师大附中三校联考)如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M是BC边的中点，则→·→＝________.5．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．6．(2015·安徽改编)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足→＝2a，→＝2a＋b，则下列正确结论的个数为________．①|b|＝1；②a⊥b；③a·b＝1；④(4a＋b)⊥→.7．(2015·福建改编)已知→⊥→，|→|＝，|→|＝t，若点P是△ABC所在平面t→＝AB＋4AC，则→·→的最大值等于________．→→|b|＝λBC，DF＝μDC.若→·→＝1，→·→＝－，则λ＋μ＝________.11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足→＝→＋CA，则→·→＝________.1→OA OB OA OB→→→OPBC AOAM AN14．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，当2x＋y＝t(t＞0)时，|xAB＋yAC|≥→PB PC1AB AC AB AC→→内的一点，且AP PB PC|AB||AC|8．(2016·吉林长春质检)已知向量a＝(1，3)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈－3，2]时，|a－tb|的取值范围是________．9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE2AE AF CE CF310．(2016·浙江余姚中学期中)已知→与→的夹角为60°，|→|＝2，|→|＝23，OP＝λOA＋μOB，若λ＋3μ＝2，则|→|的最小值为________．1CM CB3MA MB212．(2016·盐城模拟)设O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2－2AC＋AB2＝0，则→·→的取值范围是____________．13．(2016·徐州质检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为弧PQ上任意一点，则→·→的取值范围是________．→→22t恒成立，则△ABC的面积为____，在上述条件下，对于△ABC内一点P，PA·(→＋→)的最小值是________．1.3π 42＝2cos θ＋，＝π8－BC AC A B建立如图所示的平面直角坐标系，则 B ，0 ，C (0，t )，→＝tt AB 4→AC 1 4AC ＝(0，t )，AP ＝＋＝t ，0 ＋ (0，t )＝(1,4)，→| |AC→|t t∴P (1,4)，→·→＝－1，－4 ·(－1，t －4) tBC BC＝17－＋4t ≤17－2 答案精析72.13.－4.55．4解析由题意可得 a·b ＝ 3cos θ－sin θπ 6则|2a －b|＝ (2a －b)2＝ 4|a|2＋|b|2－4a·b6∈0,4]，所以|2a －b|的最大值与最小值的和为 4.6．1解析如图，在△ABC 中，由→＝→－→＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b|＝2.又|a|＝1，所以 a·b ＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a ＋b)·→＝(4a ＋b)·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b)⊥→，故正确结论只有④.7．13解析1AB1，0 ，→ → →|AB1PB PC1t1 t·4t ＝13，当且仅当＝4t ，即 t ＝时取等号．解析由题意， b 即|a －t b9.5BE → DF →CE ·→＝(λ－1， 3(λ－1))·(μ－1， 3(1－μ))＝－2，②AE AF1 1t 28．1， 13]b |b| ＝(0,1)，∴|a －t |b||＝|(1， 3)－t (0,1)|＝|(1， 3－t )|＝ 1＋( 3－t )2＝ (t － 3)2＋1.∵t ∈－ 3，2]，∴ (t － 3)2＋1∈1， 13]，|b||的取值范围是 1， 13]．6解析建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (－1,0)，B (0，－ 3)，C (1,0)，D (0， 3)．设 E (x ，y )，11F (x ，y )．由→＝λBC ，得(x ，y ＋ 3)＝λ(1， 3)，解得22 1 1x ＝λ，1 y ＝ 3(λ－1)，1即点 E (λ， 3(λ－1))．由→＝μDC ，得(x ，y － 3)＝μ(1，－ 3)，22解得x ＝μ，2 y ＝ 3(1－μ).2即点 F (μ， 3(1－μ))．又→·→＝(λ＋1， 3(λ－1))·(μ＋1， 3(1－μ))＝1，①35OA OB OP → → OP → → → →→ OBOPOP 9 解析由于→＝→－→＝－ →＋ →，→＝→－→＝ →－ →，故→·→＝－ →＋ → · →－ → ＝－ →2－ →2＋ →·→＝－ ×22－ ×22＋ ×2×2 9 4 BC AO AD DOBC AD BC＝ (→＋→)·(－→＋→) ＝ (|→|2－|→|2)．设|AC |＝b ，|AB |＝c ，则 b 2－2b ＋c 2＝0，所以→·→＝ (b 2＋b 2－2b )＝b 2－b .所以→·→∈－，2)．2 210．2 3解析由题意得→·→＝2 3.因为→＝λOA ＋μOB ，所以→2＝(λOA ＋μOB )2＝λ2OA 2＋μ2OB 2＋2λμOA ·→＝4λ2＋12μ2＋4 3λμ.又因为 λ＋ 3μ＝2，所以 λ＝2－ 3μ，所以→2＝4(2－ 3μ)2＋12μ2＋4 3(2－ 3μ)μ＝4( 3μ－1)2＋12，所以当 3μ－1＝0，即 μ＝33 时，|→| ＝2 3. min811．－1 12 1 MA CA CM CB CA MB CB CM CB CA MA MB3 2 3 21 12 1 2 1 1 2 1 1 CB CA CB CA CB CA CB CA3 2 3 2 94 2 9 4 28 ×cos60°＝－ .112．－，2)解析如图．设 BC 的中点为 D ，则→·→＝(→＋→)·→＝→·→1AB AC AB AC 21AC AB2→→1 BC AO 2又 b 2－2b ＝－c 2＜0，所以 0＜b ＜2.1BC AO 43 513．， ]由已知得 M (－， 3 则→＝(－－2cos θ， 3 2 －2sin θ)，所以→·→＝(－－2cos θ)(1－2cos θ)＋( 32 －2sin θ)·(－2sin θ)＝－故 ≤sin(θ＋30°)≤1，所以 ≤→·→≤ . 14．1－5解析因为|xAB ＋yAC | ＝ x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→AC AB AC ＝ 4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥ 2得 x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→≥ t 2， → 则 cos A (cos A －1)≤0，则 cos A ≥0，A 的最大值为π→解析建立如图所示的平面直角坐标系，连结 AO ，设∠AOQ ＝θ，则 A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)．12 2 )，N (1,0)，1AM 2AN ＝(1－2cos θ，－2sin θ)，17AM AN 222sin(θ＋30°)，因为 0°≤θ≤120°，所以 30°≤θ＋30°≤150°，123 5AM AN2 28→ →→2 t 恒成立，则由两边平方，1 AB AC AC2又 t ＝2x ＋y ，则 4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0，则 Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，2 .当 cos A ＝0 时，|xAB ＋yAC |＝ 4x 2＋y 2≥ 当 A ，P ，D 三点共线时，→·→＜0，又此时 AD ＝ BC ＝，即有 2→·→＝－2|→PA →|≥－2× |PA |＋|PD | 2＝－5，即有最小值为－5.||PD2PB PC PD PA PB PC PA PD1 2·AB ·AC ＝1； → →2 2(2x ＋y )满足题意，所以此时 △S ABC ＝在 Rt △ABC 中，取 BC 的中点 D ，连结 PD ，则→＋→＝2→，即→·(→＋→)＝2→·→，1 5 PA PD PA PD2 2→ →88。

2018高考江苏版(文)数学一轮复习讲义：第6章第31课平面向量的数量积与平面向量应用第32课

第31课平面向量的数量积与平面向量应用[最新考纲]1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )(2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( ) (3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝c .( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 3．(2016·全国卷Ⅲ改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.30° [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.]4．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝________. 1 [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________.。

(江苏专用)高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算教师用

第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算[最新考纲]内容要求A B C平面向量的概念√平面向量的加法、减法及数乘运算√1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘某某数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当a＝0时，λa ＝0，当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示)b －a －a －b [如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .]3．设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋PA →＝________. 0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.] 4．(2017·某某模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →可用AB →，AC →表示为________．AD →＝－13AB →＋43AC → [AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.]5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. －13[由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.]平面向量的有关概念给出下列六个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥ [①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形； ③不正确．两向量不能比较大小；④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线；⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0；⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．] [规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a 为非零向量，则a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[变式训练1] 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的是________．(填序号)①②③ [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．]平面向量的线性运算(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝________.(2)(2016·某某某某模拟)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则mn＝________. 【导学号：62172156】(1)AD → (2)－3 [(1)如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. (2)如图，过D 作DE ∥AB ，CD →＝mBA →＋nBC →＝CE →＋ED →＝－13BC →＋BA →，所以n ＝－13，m ＝1，所以mn＝－3.][规律方法] 向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2] (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝λOM →，则λ＝________.(2)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．(1)4 (2)－2 [(1)因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.(2)因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由PA →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.]共线向量定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. 【导学号：62172157】 [解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. [规律方法] 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3] (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则下列说法正确的是________．(填序号)①A ，B ，C 三点共线； ②A ，B ，D 三点共线； ③A ，C ，D 三点共线； ④B ，C ，D 三点共线．(2)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. (1)② (2)12 [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选②.(2)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.][思想与方法]1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.[易错与防X]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．课时分层训练(二十九)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)1．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝________.(用a ，b 表示) 12a －b [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .] 2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________. 【导学号：62172158】A ，B ，D [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．]3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于________．23[∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是________．(填序号)①a ＝－b ；②a ∥b ；③a ＝2b ；④a ∥b 且|a |＝|b |.③ [a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.②④中a 和b 可能反向．①中λ<0，不符合λ>0.]5．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB→＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________.【导学号：62172159】平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]6．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)52e 1＋32e 2 [在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．]7．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________． 60° [∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，又O 为△ABC 的外心，∴△ABC 为等边三角形， ∴A ＝60°.]8．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则有关点P 与△ABC 的位置关系判断正确的是________．(填序号) 【导学号：62172160】①点P 在线段AB 上；②点P 在线段BC 上；③点P 在线段AC 上；④点P 在△ABC 外部． ③ [∵PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →， ∴2PA →＋PC →＝0. 即A ，P ，C 三点共线．]9．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.2 [由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知AB →⊥AC →.∴△ABC 为直角三角形．又M 为BC 的中点，∴|AM →|＝12|BC →|＝12×4＝2.]10．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.12 －16 [∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.]11．如图291，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________(用a ，b 表示)．图29112a ＋b [∵C ，D 为半圆弧的三等分点，连结CD ，OD ，易知∠ADO ＝∠DAO ＝30°，且四边形ACDO 为平行四边形． ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .]12．如图292，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.图29223[因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB→＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.]B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．4 [因为D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，所以OD →＝－OC →，所以O 为CD 的中点．又因为D 为AB 的中点，所以S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.] 2．(2017·某某模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 [设CO→＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.] 3．如图293，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．图2933 [连结OG ，设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，word11 / 11 即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3.] 4．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为________．π3[∵G 是△ABC 的重心， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.∴GA →＝－GB →－GC →，由sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得sin A ·(－GB →－GC →)＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，即(sin B －sin A )·GB →＋(sin C －sin A )·GC →＝0.又GB →与GC →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧ sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，所以sin A ＝sin B ＝sin C ，∴A ＝B ＝C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝B ＝C ＝π3.]。

高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数复习策略

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数复习策略
【考情分析】
年份
试题
考点
备注
2012
第3,9,15题
复Hale Waihona Puke 的计算,向量的数量积,向量的数量积
熟记公式
2013
第10题
平面向量基本定理,平面向量的数量积
运算求解
2014
第2,12题
复数的运算,向量的线性运算与数量积
向量的加、减、乘法
【备考策略】
高考中以考查向量的概念与运算为主,其中共线向量、垂直向量的充要条件,向量的模与夹角的计算尤为重要.解答题会以向量为背景,与直线、圆、三角函数、不等式甚至与数列交汇出现综合题.应突出向量的工具性.
复数的考查以复数的基本概念、四则运算为主,一般以小题形式出现,都为基础题.

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