指派问题

-2 -4 -9 -7
0 13 11 6 0 10 0 5 7 0 1 4
-4
2 11 4 2
-2
x14 1, x22 1, x31 1, x43 1
其余全为0。
步骤2：用圈0法确定 C1 中的独立0元素。若独立零元素个 素有n个，则已得最优解。若 独立零元素的个数 < n, 则转
min Z 4x11 8x12 10x54 6x55
5 xij 1 i 1,2, 5 j5 1 s.t. xij 1 j 1,2, 5 i 1 xij 0 或1
B1
B2
B3
B4
B5
C
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
入步骤3。
在只有一个0元素的行（或列）加圈，表示此人只能做该事
（或此事只能由该人来做），每圈一个“0”，同时把位于同 列（或同行）的其他零元素划去。表示此时已不能再由他
人来做（或此人已不能做其它事）。如此反复，直到矩阵
中所有零元素都被圈去或划去为至。
在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中
注：指派问题是一种特殊的LP问题，是一种特殊的运输问题。 下用目前认为最简洁的方法—匈牙利法求解 (The Hungarian
Method of Assignment )。
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成
营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑
公司 Ai (i 1,2,,5) 对新商店 B j ( j 1,2,,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j 1,2,,5) ，见下矩阵。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
已知效率矩阵
5 2 C 0 4 2 0 6 0 0 7 0 3
0 3 5 8
2 0 6 0
0 7 0 3
5 2 C 0 4
0 3 5 8
（1）怎么办？如何判断效率中
独立零元素个数？ （2）个数 n，如何添加？
-1 -3
✓
0 0 C1 0 0 0
3 0 11 8 1 7 7 3 ✓ 2 3 2 1 ✓ 0 5 0 4 2 3 4 0
当 Ai 承建 B j 时 当 Ai 不承建 B j 时
B1 B2 B3 B4 B5
A1 4 A2 7 C A3 6 A4 6 A5 6 则问题的数学模型为
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
一个加圈，然后划去同行、同列其他未被标记的零元素。
例
5 2 C 0 0
0 3 0 8
2 0 6 0
0 0 7 0
步骤3： 若矩阵已不存在未被标记的零元素，但圈零的个 数m < n ，作最少直线覆盖当前零元素。 已知例12中的系数矩阵为 ⒈变换系数矩阵
4 7 C 6 6 6
B2
B3
B4
B5
C
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
-4
8 7 15 12 0 1 1 9 5 9 17 14 7 3 2 11 8 0 9 12 6 10 2 2 6 0 3 7 14 8 10 2 0 8 2 3 2 2 0 4 1 9 6 10 8
推论
若将指派问题的效率矩阵每一行及每一列分别减去各
行各列的最小元素，则得到的新的指派问题与原指派问题有 相同的最优解。
注：当 cij 0 时，从第i行看，它表示第i人去干第j项工作效
率（相对）最好，而从第j列来看，它表示第j项工作让第i人 来干效率（相对）最高。
问题是：能否找到位于不同行、不同列的n个0元素？
整数规划
整数规划
在许多线性规划问题中,要求最优解必须取整数.例如
所求的解是机器的台数、人数车辆船只数等.如果所得的解
中决策变量为分数或小数则不符合实际问题的要求. 对于一个规划问题,如果要求全部决策变量都取整数, 称为纯(或全)整数规划;如果仅要求部分决策变量取整数, 称为混合整数规划问题.有的问题要求决策变量仅取0或l两
求解该指派问题。
步骤1：变换系数矩阵，使得每行及每列至少产生一个零元 素。
2 15 13 4 10 4 14 15 C 9 14 16 13 7 8 11 9 0 13 7 0 6 0 6 9 C1 0 5 3 2 0 1 0 0
公司 Ai (i 1,2,,5) 对新商店B j ( j 1,2,,5) 的建造
报价（万元）为 cij (i, j 1,2,,5) , 见矩阵C。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
B1 B2 B3 B4 B5
C
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
-7 -6 -6 -7
1 0 X * 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
从而导出匈牙利解法的思想：
二. 匈牙利解法
匈牙利法是1955年由库恩（W. W. Kuhn）根据匈牙利 数学家狄· 考尼格（d. konig)关于矩阵中独立零元素的定理 发明的。 匈牙利法的基本原理： 定理1 将效率矩阵的某一行（或某一列）的各个元素都减去 同一个常数c (c可正可负），得到新的矩阵，则以新矩阵为 效率矩阵的指派问题与原指派问题的最优解相同。但其最 优值比原最优值减少c 。
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
1 0 X * 0 0 0
若单说让谁建，不让谁建。
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
B1
分别称为独立零元素。
5 2 C 0 4 5 2 C 0 4
0 3 5 8
2 0 6 0
0 0 7 0 0 0 7 0
也是一个独立零元素组。
0 3 5 8
2 0 6 0
不是一个独立零元素组。
但有的效率矩阵独立零元素的个数不到n, 很难找到最优 指派方案。
作）。由于每人的知识、能力、经验等不同，故各人完成不同 任务所需的时间（或其它资源）不同。问应指派哪个人完成何 项工作所消耗的总资源最少？
§4 指派问题
一. 指派问题的数学模型
引进0-1变量
1 表示按排第i个人完成第j项工作 xij 0 表示不安排第i个人完成第j项工作
则决策变量矩阵可表示为：
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
指派问题是整数规划的一类重要问题。也是在实际生活中经常
遇到的一种问题：由n项不同的工作或任务
需要n个人
w1 , w2 ,, wn，
m1 , m2 ,, mn
去完成（每人只能完成一项工
5 2 C 0 4
0 3 5 8
2 0 6 0
0 7 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
2 15 13 4 10 4 14 15 C 9 14 16 13 7 8 11 9
个值,称为0-l规划问题.
整数规划(integer programming)简称为IP问题.这里主要 讨论的是整数线性规划问题,简为ILP问题.
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(or min) z c j x j n aij x j (or , )bi , i 1, 2, , m s.t j 1 x j 0, x j 中部分或全部为整数， 1, 2, , n j
定义 在效率矩阵C中，有一组处于不同行、不同列的零元素，
称为独立零元素组，此时其中每个元素称为独立零元素。
例 已知
5 2 C 0 4
则
0 3 5 8
2 0 6 0
0 0 7 0
{c12 , c24 , c31 , c43} 是一个独立零元素组.
c12 0, c24 0, c31 0, c43 0
定理 效率矩阵C中独立零元素的个数 能覆盖所有零元 素的最少直线数。 本定理由匈牙利数学家狄· 考尼格证明的。证明的内容已超出 所学的范围。 下面通过例子说明上述定理的内容 例 已知矩阵
最多有3个独立0元素！
5 2 C 0 4
0 3 5 8
2 0 6 0
0 0 7 0
1）可以用最少直线将效率矩阵C中独立零元素覆盖住。 例 已知矩阵
5 2 C 0 4
0 3 5 8
2 0 6 0
0 0 7 0
5 2 C 0 4
0 3 5 8
2 0 6 0
0 7 0 3
2）最少直线数与独立零元素的关系？ 3）这样的最少直线如何找？
w1 w2 wn
m1 x11 m2 x21 X mn xn1 x12 x22 x1n x2 n xnn
xn 2
用 cij表示第i个人完成第j项工作所需的资源数，称之为效率 系数（或价值系数）。表示为
w1 w2 wn
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
-4 -7 -6 -6 -6
0 0 0 0 0
4 3 11 8 2 10 7 3 3 6 2 1 1 8 0 4 3 6 4 0
B1 B2 B3 B4 B5
C
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij 0
m1 c11 m2 c21 C mn cn1 c12 c22 c1n c2 n cnn
cn 2
w1 w2 wn
m1 x11 m2 x21 X mn xn1 x12 x22 x1n x2 n xnn
j 1
n
整数线性规划类型
1.纯整数线性规划：
人员安排问题
x j中全部取整数
2.混合整数线性规划： 物资运输问题
x j中部分取整数
3.0－1型整数线性规划： 投资组合问题
x j只能取值0或1
§4 指派问题（Assignment problem )
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成 营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑
w1 w2 wn
m1 c11 m2 c21 C mn cn1 c12 c22 c1n c2 n cnn
xn 2
cn 2
则指派问题的数学模型为 min Z
n
c x
i 1 j 1
n
n
ij ij
xij 1 i 1,2, n jn 1 s.t. xij 1 j 1,2, n i 1 xij 0 或1