人教A版选修1-1,选修2-2生活中的优化问题举例(共2课时)

从 最而 省？h
V
R 2
23
V
2
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 ：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比 大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
问题1：上节课我们学习过的海报板面设计问题、利润, 问通常采取什么方法解决这一类问题呢？ 问题2：这些问题的共同点是什么？ 问题3：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与 哪部分数学知识有关？ 问题4：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工 具？ 问题5：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？
令S
'
(x)
2
512 x2
0
解得：x 16，x 1（6 舍）
于是宽为：128 128 8 x 16
当x0,16时，s' x 0； 当x16,时，s' x 0.
x
(0,16) 16 (16, )
S(x)
0
S(x)
极小值
因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以， 当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
本课采用例题与变式结合的方法巩固新知，例1是磁盘的最 大储存量问题；例2是成本最省问题。通过学习使利润最大、 用料最省、效率最高等优化问题，尝试数学建模的方法和导数 在解决实际问题中的作用，体会导数的工具性．通过对生活中 优化问题的探究过程，培养学生善于发现问题、解决问题的自 觉性，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣．
当q
b 2a
21 1
4
84时，L的值最大
2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定 断面尺寸时，希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时， 使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流阻力小， 渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
A h
B b
ED
600 C
解：由梯形面积公式，得 S= 1 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC，
磁盘的最大存储量问题
问题： （1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ （2）你知道磁盘的结构吗？ （3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？ 下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题．
【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上．磁盘是带有磁性介质的 圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所 构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的 定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit）．
其中0<x<l, 则两个正方形面积和为
S
s1
s2
( x)2 4
(l
x)2 4
1 16
(2x2
2lx l 2 )
S 1 (4x 2l) 1 (2x l) 令S 0,得x l
16
8
2
由问题的实际意义可知：
当x l 时, S取最小值. 最小值为 l 2 .
2
32
例2:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高
2.在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一 个极值点x0 ，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最 大值或最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
练习1.一条长为 l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，
要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
的最大半径为6cm， （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
r
(0，2)
2
(2，6]
f '(r)
-
0
+
f (r)
减函数↘ -1.07 增函数↗
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让 你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面 积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm， 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
与底半径,使得所用材料最省?
解 :设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R) 2Rh 2R2
h
又
V
R2(h
定值),
则h
V
R2
.
R
S(R)
2R
V
R
2
2R2
2V R
2R2.
由 变 它式 的S(： 高R与当) 底圆面柱2RV半形2 径金4应属R怎饮样料0选罐. 解取的得 表 ，R面 才积 能3为 使2V定 所 值 用. 材S时料，
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 m ，每比特 所占用的磁道长度不得小于 n ．为了数据检索便利，磁盘格式化时
价格（元）
5.1
4.5
2.5
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的 曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：
（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
饮料的利润与饮料瓶的成本恰 好相等;当r 3时,利润才为正值.
当r 0,2时,fr是减函数,你能
解释它的实际意义吗?
y
23
o
r
图1.4-4
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。
1 q2 21q 100 8
L ' 1 q 21,令L ' 0, 求得q 84 4
当L ' 0时,q 84,当L ' 0时,q 84,
当产量q为84时，利润L最大
另解：利润L pq C (25 1 q)q (100 4q) 8
1 q2 21q 100 8
解决优化问题的一般步骤：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论， 找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数 学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的 判断，确定其答案。
x
图3.4-1
分析：已知版心的面 积，你会如何建立函数 关系表示海报四周的面 积呢？
解: 设版心的高为xdm,则版心的宽为128 dm,此时四周空白面积为
x
S(x) (x 4)(128 2) 128 2x 512 8, x 0
x
x
你还有其他方法
求导数,得S
'
(
x)
2
512 x2
求这个最值吗？
选修2-2 1.4 生活中的优化问
题举例（2）
选修1-1 3.4 生活中的优化问
题举例（2）
生活中的优化问题举例 内容：生活中的优化问题 应用: 1.磁盘的最大储存量问题 2.成本最省问题
本课主要学习生活中的优化问题。以复习上节课内容引入新 课。通过合作交流，使学生发现如何使磁盘的储存量最大、成 本最省问题，感受生活中的数学问题。本课给出2个例题和变 式，通过解决这些问题，使学生熟悉利用导数解决生活中最优 化问题的一般方法。突破将实际问题转化为数学问题，根据实 际利用导数解决生活中的优化问题这一难点。
h3
3 h3
h
l′=
3
S h2
=0,∴h= 4
S 3
,
当 h<
4
S 3
时，l′<0,h>
4
S 3
时，l′>0.
∴h= S 时，l 取最小值，此时 b= 24 3 S .
43
3
3. A 、 B 两村距输电线（直线）分别为 1km 和 1.5km（如
图），CD 长 3km. . 现两村合用一台变压器供电. 问变压器 设在何处,输电线总长 AE BE 最小.
解 设 x 如图，并设输电线总长为 L(x) . 则有 L(x) AE EB x2 1 (3 x)2 1.52 , 0≤ x ≤3.
L( x) x (3 x)2 1.52 (3 x) x2 1 0 , (3 x)2 1.52 x2 1
x (3 x)2 1.52 (3 x) x2 1 , 1.25x2 6x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6(舍去). 答： ……
版心
问题2：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品， 若它们的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
生活中经常遇到求 利润最大、用料最 省、效率最高等问 题，这些问题通常 称为优化问题.
运用什么知 识解决优化 问题
规格（L）
2
1.25
0.6
分析:
法一:这是一个几何最 值问题,本题可用对称 性技巧获得解决.