2020版高考数学总复习第六章数列第4节数列求和教案文(含解析)北师大版

第4节 数列求和

最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.

知 识 梳 理

1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式：

S n ＝n （a 1＋a n ）2

＝na 1＋n （n －1）2

d .

(2)等比数列的前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q

＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1Ｗ.

2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前

n 项和可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. [微点提醒]

1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）

2.

2.12

＋22

＋…＋n 2

＝

n （n ＋1）（2n ＋1）

6

.

3.裂项求和常用的三种变形

(1)

1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

.

(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.

(3)

1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1

1－q

.( ) (2)当n ≥2时，

1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1

).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2

＋3a 3

＋…＋na n

时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )

(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n

－1

2

.( )

解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2.(必修5P38A9引申改编)数列{a n }中，a n ＝

1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 019

2 020

，则项数

n 为( )

A.2 018

B.2 019

C.2 020

D.2 021

解析 a n ＝

1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

，

S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 019

2 020，所以n ＝2019.

答案 B

3.(必修5P28练习1T1改编)等比数列{a n }中，若a 1＝27，a 9＝1

243，q >0，S n 是其前n 项和，

则S 6＝________.

解析 由a 1＝27，a 9＝1243知，1243＝27·q 8

，

又由q >0，解得q ＝1

3

，

所以S 6＝27⎣⎢⎡⎦⎥

⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1361－13

＝364

9.

答案

3649

4.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9

B.15

C.18

D.30

解析 由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案 C

5.(2019·榆林调研)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n

＋1，且S n ＋

T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________________.

解析 由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1

－2，

又S n ＋T n ＝2

n ＋1

＋n 2

－2，

所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2

＋n (n ＋1)－4.

答案 2

n ＋2

＋n (n ＋1)－4

6.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N +)，则数列{a n }的通项公式为________.

解析 由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫n －1n ＝4，

所以2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝4(n ＋1)，即a n

＝2(n ＋1). 答案 a n ＝2(n ＋

1)

考点一 分组转化法求和

【例1】 (2019·郴州质检)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N +)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2

＋2n

的大小.