2017_2018学年高中数学 第二章数列课时作业6数列的递推公式选学 新人教B版 必修5
高中数学课时达标训练六数列的性质和递推公式含解析新人教A版必修5090428
高中数学课时达标训练六数列的性质和递推公式含解析新人教A 版必修5090428课时达标训练(六) 数列的性质和递推公式[即时达标对点练]题组1 数列的函数性质1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：选A 法一：∵a n ＋1＝2（n ＋1）n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2（n ＋1）n ＋2－2n n ＋1＝2（n ＋1）2－2n （n ＋2）（n ＋1）（n ＋2）＝2（n ＋1）（n ＋2）>0， ∴{a n }是递增数列．法二：∵数列{a n }各项均为正，又a n ＋1＝2（n ＋1）n ＋2， ∴a n ＋1a n ＝2（n ＋1）n ＋22n n ＋1＝2（n ＋1）22n （n ＋2）＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n>1， ∴{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝13(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．解析：由已知a 1>0，a n ＋1＝13a n (n ∈N *)， 得a n >0(n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝13a n －a n ＝－23a n <0， 所以{a n }是递减数列．答案：递减3.如果数列{a n }为递增数列，且a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，则实数λ的取值范围为________．解析：因为{a n }为递增数列，所以a n ＋1>a n .即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn .∴λ>－2n －1.即λ>－3，故实数λ>－3.答案：(－3，＋∞)题组2 数列的最大(小)项4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．103B ．10818C ．10318D ．108 解析：选D 根据题意结合二次函数的性质可得， a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n 2－292n ＋3 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋29×298. 所以n ＝7时，a n ＝108为最大值．5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________． 解析：令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则0<n ≤11.∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴m ＝10或11.答案：10或11题组3 由递推公式求数列中的项6．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2解析：选B 逐项验证可知B 选项合适．7．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＋1＝0，则a 2 019＝( )A ．2 B.13 C ．－12D ．－3 解析：选C 由a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＋1＝0得a n ＋1＝a n －1a n ＋1， 由a 1＝2得a 2＝2－12＋1＝13，a 3＝13－113＋1＝－12，a 4＝－12－1－12＋1＝－3，a 5＝－3－1－3＋1＝2，…， ∴{a n }是周期为4的数列，而2 019＝504×4＋3，∴a 2 019＝a 3＝－12.故选C. 8．已知数列{a n }的第1项是2，以后的各项由公式a n ＝a n －11－a n －1(n ＝2，3，4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{a n }的通项公式．解：可依次代入项数进行求值．a 1＝2，a 2＝21－2＝－2，a 3＝－21－（－2）＝－23，a 4＝－231－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－25，a 5＝－251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝－27.即数列{a n }的前5项为2，－2，－23，－25，－27.也可写为－2－1，－21，－23，－25，－27.即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以a n ＝－22n －3(n ∈N *)．题组4 由递推公式求数列的通项公式9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3n ＋2B ．a n ＝3n －2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n ＋1解析：选C 因为a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，所以a n －a n －1＝3，a n －1－a n －2＝3，a n －2－a n －1＝3，…a 2－a 1＝3，以上各式相加，则有a n －a 1＝(n －1)×3，所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2ana n＋2(n ∈N *)，试探究数列{a n }的通项公式．解：法一：将n ＝1,2,3,4依次代入递推公式得a 2＝23，a 3＝24，a 4＝25. 又a 1＝22，∴可猜想a n ＝2n ＋1. 则有a n ＋1＝2n ＋2，将其代入递推关系式验证成立． ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 法二：∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴a n ＋1a n ＝2a n －2a n ＋1. 两边同除以2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n ＝12. ∴1a 2－1a 1＝12，1a 3－1a 2＝12，…，1a n －1a n －1＝12. 把以上各式累加得1a n －1a 1＝n －12. 又a 1＝1，∴a n ＝2n ＋1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [能力提升综合练]1．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A ．－163 B.163 C ．－83 D.83解析：选B 对n 依次取2，3，4，5得a 2＝(－1)2·2×13＝23，a 3＝－43，a 4＝－83，a 5＝163. 2．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于( )A ．2n B.n （n ＋1）2 C ．2n －1 D ．2n －1解析：选C 由a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)， 得a n －1＝a 0＋a 1＋…＋a n －2(n ≥2)，两式相减得，a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2(n ≥2)， 则a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·2n －1，又a 1＝a 0＝1，∴a n ＝2n －1(n ≥2)．又∵a 1＝1也适合，∴a n ＝2n －1.3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，则a 10＝( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21解析：选C ∵a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴a 4＝2a 2＝－12，a 8＝2a 4＝－24，a 10＝a 2＋a 8＝－30.4．已知a n ＝n － 2 017n － 2 016(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 100B ．a 100，a 44C ．a 45，a 44D ．a 44，a 45 解析：选C a n ＝n － 2 017n － 2 016＝n － 2 016＋ 2 016－ 2 017n － 2 016＝1＋ 2 016－ 2 017n － 2 016(n ∈N *)． 当n ≤44时，数列{a n }单调递增，且a n >1；当n ≥45时，数列{a n }单调递增，且a n <1.∴数列{a n }的前100项中最小项和最大项分别是a 45，a 44.故选C.5．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋m ，4＝a 2＋m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，m ＝3， ∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.答案：26．数列{a n }中，a 1＝7，a 9＝8，且(n －1)a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥3)，则a 2等于________． 解析：由(n －1)a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥3)， 得na n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ，两式相减，得na n ＋1－(n －1)a n ＝a n .∴n ≥3时，na n ＋1＝na n ，即a n ＋1＝a n .又a 9＝8，∴a 3＝8.又2a 3＝a 1＋a 2，a 1＝7，∴a 2＝2a 3－a 1＝9.答案：97．设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，又知数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)试判断数列{a n }的增减性．解：(1)∵f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2a n )＝2n ， ∴log 22a n －log 2a n 4＝2n ，由换底公式，得log 22a n －log 24log 22a n＝2n ， 即a n －2a n＝2n ， ∴a 2n －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±n 2＋2.①由0<x <1，有0<2a n <1，∴a n <0.②由①②得a n ＝n －n 2＋2，此即为数列{a n }的通项公式． (2)a n ＋1a n ＝（n ＋1）－（n ＋1）2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2（n ＋1）＋（n ＋1）2＋2<1， ∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是单调递增数列．8．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，a ＝－7， ∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4；a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，并结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，∴5<2－a2<6，∴－10<a<－8，即a的取值范围为(－10，－8)．。
高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项公式与递推公式优化练习新人教A版必
2017-2018学年高中数学第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项公式与递推公式优化练习新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项公式与递推公式优化练习新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时 数列的通项公式与递推公式[课时作业][A 组 基础巩固]1．数列{a n }的通项公式为a n ＝错误!则a 2a 3等于( ）A ．70B ．28C ．20D ．8答案：C2．数列1,3,6，10,15，…的递推公式是( )A.错误!B.⎩⎨⎧ a 1＝1，a n ＝a n －1＋n n ≥2，n ∈N *C 。
错误!D 。
错误!解析:将数值代入选项验证即可．答案：B3．已知数列{a n }满足a 1＝2,a n ＝na n －1(n ≥2),则a 5等于（ ）A ．240B ．120C ．60D ．30解析：逐项代入可求．答案:A4．若数列{a n ｝中，a 1＝1,a n ＋1＝错误!，则数列{a n }的第4项是（) A 。
错误! B 。
错误!C.110D.125解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝错误!，∴a 2＝错误!＝错误!＝错误!,a 3＝错误!＝错误!＝错误!，a 4＝错误!＝错误!＝错误!,故选C.答案：C5．数列｛a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝2a n －1(n ∈N ＊)，则a 1 000＝( ）A．1 B．1 999C．1 000 D．－1解析：a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1(n∈N*)，∴a1 000＝1。
2017-2018学年高中数学 课时作业6 数列的性质和递推公式 新人教A版必修5
课时作业6数列的性质和递推公式
＝
－1
n＋n－
<0，
，则数列{a n}中的最大项的值是(
，a n≤
－n－2－n－－8，n2－－n＋2－n＋－8 3≤n≤4，
n＝3或n＝4时，a3＝a4是数列中的最小项，且最小项a3＝a4＝－20.
，a n－
是单调递增数列．
a1<时，数列{a n}也是单调递增的，此时－2
的取值范围为{λ|≥－2}∪{λ|－3<λ
的取值范围是(－3，＋∞)．
＝n－2 2
－
＝1－3
2n
.
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2017_2018学年高中数学第二章数列课时作业6数列的递推公式(选学)新人教B版必修5
an a1
)Байду номын сангаас
B．an＝2
n－1
1n－1 C．an＝ 2
1，„，
1n D．an＝1＋ 2
1 2 3
解析：方法一：由已知 a1＝1＝2 －1，a2＝2×1＋1＝3＝2 －1，a3＝2×3＋1＝7＝2 －
由此归纳得 an＝2 －1. 方法二：∵an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴
*
(限时：30 分钟) 1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)．则 a6 等于( )
1
A．7 C．16 D．17
B．11
解析：由题可知 a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝1＋1＋2 ＋3＋4＋5＝16. 答案：C 2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－ 1 1 A．－ B. 2 2 C．2 D．－2 解析：∵an＋2＝－ ∴a2 013＝a1＝2. 答案：C 3．数列{an}中，a1＝1，对所有的 n≥2，都有 a1a2a3·„·an＝n ，则 a3＋a5 等于( A. C. 25 9 25 B. 16
且 ＝ ＝1，∴an＝n. n 1 方法二：累乘法：n≥2 时，
an a1
an n ＝ ， an－1 n－1
an－1 n－1 ＝ an－2 n－2
2
„
a3 3 ＝ a2 2 a2 2 ＝ a1 1
两边分别相乘得 ＝n. 又∵a1＝1，∴an＝n. 答案：D 5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为( A．an＝2 －1
an－1 (n≥2)， an－2
a2 a3 a4 1 a5 1 a6 ∴a3＝ ＝2，a4＝ ＝1，a5＝ ＝ ，a6＝ ＝ ，a7＝ ＝1，„. a1 a2 a3 2 a4 2 a5
高中数学数列的递推公式及推导过程
高中数学数列的递推公式及推导过程数列是高中数学中的重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成。
在数列中，递推公式是一种常见的描述数列规律的方式。
本文将详细介绍数列的递推公式及其推导过程，并通过具体题目的分析，帮助读者理解数列的考点和解题技巧。
一、等差数列的递推公式及推导过程等差数列是最常见的数列之一，它的每一项与前一项之差都相等。
对于等差数列，我们可以通过递推公式来描述其规律。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
例如，考虑等差数列1，4，7，10，13，...，其中首项a₁=1，公差d=3。
我们可以使用递推公式来求解该数列的任意一项。
例如，我们要求第10项a₁₀的值，根据递推公式可以得到：a₁₀ = a₁ + (10-1)×3 = 1 + 9×3 = 28通过递推公式，我们可以很方便地求解等差数列中任意一项的值。
二、等比数列的递推公式及推导过程等比数列是另一种常见的数列，它的每一项与前一项之比都相等。
对于等比数列，我们同样可以使用递推公式来描述其规律。
假设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的递推公式为：aₙ = a₁ × q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n为项数。
例如，考虑等比数列2，6，18，54，162，...，其中首项a₁=2，公比q=3。
我们可以使用递推公式来求解该数列的任意一项。
例如，我们要求第6项a₆的值，根据递推公式可以得到：a₆ = a₁ × 3^(6-1) = 2 × 3^5 = 486通过递推公式，我们可以轻松地求解等比数列中任意一项的值。
三、斐波那契数列的递推公式及推导过程斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的递推公式可以通过观察数列的规律得到。
假设斐波那契数列的第n项为Fₙ，则斐波那契数列的递推公式为：Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂其中，F₀=0，F₁=1。
【配套K12】[学习]2018版高中数学 第2章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)学案 新人
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2.1.2 数列的递推公式(选学)1.理解递推公式的含义重点2.掌握递推公式的应用难点3.会求数列中的最大小项易错点[基础·初探]教材整理数列的递推公式阅读教材P29～P30，完成下列问题.1.数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.2.数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n与它的前一项a n－1(或前几项)之间的关系表示a n与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式1.下列说法中正确的有________.(填序号)①根据通项公式可以求出数列的任意一项；②有些数列可能不存在最大项；③递推公式是表示数列的一种方法；④所有的数列都有递推公式.【解析】①正确.只需将项数n代入即可求得任意项.②正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式.【答案】①②③2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5＝________.【解析】 因为a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，所以a 5＝2a 4＋1＝31.【答案】 313.已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝nn －1·a n －1(n >1)，则a 4＝________.【解析】 依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4.【答案】 44.已知数列{a n }中，a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 5＝______________.【解析】 因为a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，所以a 2＝1－1a 1＝1＋2＝3，a 3＝1－13＝23，a 4＝1－32＝－12，a 5＝1＋2＝3.【答案】 3[小组合作型]n n n ＋1n ＋1＋ 2 016 2 015等于( )A.－13B.13C.－12D.12(2)已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，则a 5＝________. 【精彩点拨】 结合已知项逐步代入递推公式求解. 【自主解答】 (1)由a n a n ＋1＝1－a n ＋1，得a n ＋1＝1a n ＋1， 又∵a 2 016＝2， ∴a 2 015＝－12，故选C.(2)由题知a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5， ∴a 5＝a 4＋a 3＝8. 【答案】 (1)C (2)8由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n ＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.[再练一题]1.已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项.【导学号：18082018】【解】 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫11n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.【精彩点拨】【自主解答】 法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项， 即a 9＝a 10＝1010119.法二：设a k 是数列{a n }的最大项.则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1， a k ≥a k ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k －1，k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011kk ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋10≥11k ，11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为a 9＝a 10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立，解不等式组即可.[再练一题]2.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？【导学号：18082019】(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. 【解】 (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数.(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋n ＋2－n ＋＋4，n 2－5n ＋n －2－n －＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2,3.∴a 2＝a 3且最小. ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.[探究共研型]na 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？【提示】 由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22，a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N ＋，n ≤30). 探究2 在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n＝2， 照此递推关系，你能写出{a n }任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘你能得到什么结论？【提示】 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2. 则a n a 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N ＋).探究3 在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1－a n ＝2，照此递推关系试写出前n 项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？【提示】 由a n ＋1－a n ＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝2，…，a n －a n －1＝2(n ≥2，n ∈N ＋)，将这些式子两边分别相加得：a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＝2(n －1)，即a n －a 1＝2(n －1)，所以有a n ＝2(n －1)＋a 1＝2n ＋1，(n ∈N ＋).设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1＝nn ＋1a n (n ∈N ＋)，求数列的通项公式.【精彩点拨】 由递推公式，分别令n ＝1,2,3，得a 2，a 3，a 4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用a n ＋1＝nn ＋1a n 反复迭代；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形为a n ＋1a n ＝nn ＋1进行累乘；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形式n ＋a n ＋1na n＝1，构造数列{na n }为常数列.【自主解答】 因为a n ＋1＝nn ＋1a n . 法一：(归纳猜想法)a 1＝1，a 2＝12×1＝12，a 3＝23×12＝13，a 4＝34×13＝14…猜想a n ＝1n.法二：(迭代法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ， 所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·…·12a 1，从而a n ＝1n. 法三：(累乘法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1， 则a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1＝n －1n .n －2n －1.. (12)， 所以a n ＝1n. 法四：(转化法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1， 所以n ＋a n ＋1na n＝1，故数列{na n }是常数列，na n ＝a 1＝1，∴a n ＝1n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1求通项公式.(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式.[再练一题]3.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N ＋)，写出这个数列的前5项，猜想a n 并加以证明.【解】 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5， a 3＝a 2＋3＝8， a 4＝a 3＋3＝11， a 5＝a 4＋3＝14，猜想：a n ＝3n －1.证明如下：由a n ＋1＝a n ＋3得a 2＝a 1＋3， a 3＝a 2＋3， a 4＝a 3＋3，…，a n ＝a n －1＋3.将上面的(n －1)个式子相加，得a n －a 1＝3(n －1)，∴a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( ) A.a n ＝2n B.a n ＝12nC.a n ＝12n －1D.a n ＝1n2【解析】 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.【答案】 C2.符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A.1,2,3,4，… B.1, 2，2,22，… C.2，2, 2，2，…D.0, 2，2,22，…【解析】 由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的2倍为后一项，所以只有B 符合.【答案】 B3.若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________________ 【解析】 由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＝12(a n ＋1＋1)，∴a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.【答案】1944.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n中的最大项是第k 项，则k ＝________. 【导学号：18082020】【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23kk －k －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k －1，kk ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 kk ＋k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k ＋1，化简得又因为k ∈N ＋，所以k ＝4. 【答案】 45.已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2. 【解】 (1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)， ∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2. (2)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25，a 5＝2a 42＋a 4＝13. ∴它的前5项依次是1，23，12，25，13.它的前5项又可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1， 故它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1.。
2018版高中数学(人教B版)必修五学案：第二章 2.1.2 数列的递推公式(选学)
2.1.2 数列的递推公式(选学)[学习目标] 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案 (1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案 数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一 由递推公式写出数列的项例1 已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝.2anan ＋2解 (1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝，2an2＋an ∴a 2＝＝，a 3＝＝，2a 12＋a 1232a 22＋a 212a 4＝＝，a 5＝＝，2a 32＋a 3252a 42＋a 413∴它的前5项依次是1，，，，.23122513它的前5项又可写成，，，，，21＋122＋123＋124＋125＋1故它的一个通项公式为a n ＝.2n ＋1规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1 设数列{a n }满足Error!写出这个数列的前5项．解 由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋＝1＋＝2，1a 111a 3＝1＋＝1＋＝，a 4＝1＋＝1＋＝，1a 212321a 32353a 5＝1＋＝1＋＝.1a 43585要点二 由递推公式求通项例2 已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？11 000解 (1)a n ＝··…···a 1anan －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1＝()n －1·()n －2·…·()2·()1·112121212＝()1＋2＋…＋(n －1)＝，1221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴a n ＝.21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)∵b n ＝＝(n －)2－，(n －1)n 2121218∴n ∈N ＋时，b n 递增，即{a n }为递减数列，∴当n ≤4时，≤6，a n ＝≥，(n －1)n221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛164当n ≥5时，≥10，a n ＝≤.(n －1)n 221)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 024∴从第5项开始各项均小于.11 000规律方法 由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n .(3)当＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝··…···a 1来求a n .an an －1an an －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1跟踪演练2 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋(n ≥2)给出．1n (n －1)(1)写出数列{a n }的前5项；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋＝；a 3＝a 2＋＝；12×13213×253a 4＝a 3＋＝；a 5＝a 4＋＝.14×37415×495(2)由a n ＝a n －1＋得a n －a n －1＝(n ≥2)，1n (n －1)1n (n －1)∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝＋＋…＋＋＋11n (n －1)1(n －1)(n －2)13×212×1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋11n －11n 1n －21n －1121312＝－＋1＋1＝2－＝(n ∈N ＋)．1n 1n 2n －1n 要点三 数列与函数的综合应用例3 f (x )＝log 2x －(0<x <1)，且数列{a n }满足f ()＝2n (n ∈N ＋)．2log2x n a 2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．解 (1)∵f (x )＝log 2x －，又∵f ()＝2nm ，2log2x n a 2∴log 2－＝2n ，即a n －＝2n .n a 22log22an 整理得a －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±.2n n 2＋2又0<x <1，故0<<1，于是a n <0，n a2∴a n ＝n －(n ∈N ＋)．n 2＋2(2)＝an ＋1an (n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝<1.n ＋n 2＋2(n ＋1)＋(n ＋1)2＋2∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．规律方法 数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{a n }的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3 函数f (n )＝Error!数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n )(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝4n －1)．解 (1)a 1＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1)＝2.a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)，a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )，＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n －1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)，∴a n ＝a n －1＋4n －1(n ≥2).1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a nnn ＋1(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝×1＝，a 3＝×＝，a 4＝×＝，a 5＝×＝.11＋11221＋2121331＋3131441＋41415(2)猜想：a n ＝.1n 1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋).。
2018版高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)同步精选测试 新人教B版必修5
同步精选测试 数列的递推公式(选学)(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4等于( )A.45B.14C.－14D.15【解析】 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14.【答案】 C2.数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)【解析】 由条件可发现，n ＞2时，a n －a n －1＝2，即a n ＝a n －1＋2，又a 1＝2，所以C 正确.【答案】 C3.设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C.4D.0 【解析】 ∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫n －1562＋34，由二次函数性质得，当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.【答案】 D4.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )【导学号：18082078】A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n【解析】 由题意可知：a n ＋1＝a n ＋lnn ＋1n，∴a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝[ln n －ln(n －1)]＋[ln(n －1)－ln(n －2)]＋…＋(ln 2－ln 1)＋2＝2＋ln n .【答案】 A5.已知在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 016＝( )【导学号：18082079】A.3B.－3C.6D.－6【解析】 由题意知：a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3， a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6， a 9＝a 8－a 7＝3，a 10＝a 9－a 8＝－3，…故知{a n }是周期为6的数列， ∴a 2 016＝a 6＝－3. 【答案】 B 二、填空题6.数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n ＝0，则a 2 016－a 2 015＝_____________. 【解析】 由已知得a 2 016－a 2 015－2 015＝0， ∴a 2 016－a 2 015＝2 015. 【答案】 2 0157.数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3，且a 1＝0，则此数列的第5项是________. 【解析】 因为a n ＝4a n －1＋3，所以a 2＝4×0＋3＝3，a 3＝4×3＋3＝15，a 4＝4×15＋3＝63，a 5＝4×63＋3＝255.【答案】 2558.在数列{a n }中，对任意n ∈N ＋，有a n ＋1＝a n1＋a n.若a 1＝1，则a 10＝________. 【解析】 法一：由已知，得a 2＝a 11＋a 1＝11＋1＝12，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14，…，a 10＝191＋19＝110. 法二：由a n ＋1＝a n1＋a n，得1a n ＋1＝1a n＋1，所以1a 2＝1a 1＋1，1a 3＝1a 2＋1，1a 4＝1a 3＋1，…，1a 10＝1a 9＋1，所以1a 10－1a 1＝9.又因为a 1＝1，所以1a 10＝10，所以a 10＝110.【答案】110三、解答题9.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a na n ＋3(n ∈N ＋)，求通项a n . 【导学号：18082080】【解】 将a n ＋1＝3a na n ＋3两边同时取倒数得： 1a n ＋1＝a n ＋33a n， 则1a n ＋1＝1a n ＋13，即1a n ＋1－1a n ＝13， ∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13， 把以上这(n －1)个式子累加， 得1a n －1a 1＝n －13. ∵a 1＝1，∴a n ＝3n ＋2(n ∈N ＋). 10.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，试求数列{a n }的最大项. 【导学号：18082081】【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67 n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67 nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67 n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.[能力提升]1.已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N ＋满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A.－165 B.－33 C.－30D.－21【解析】 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3. ∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2) ＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30. 【答案】 C2.已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n＜12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n＜1.若a 1＝67，则a 2 014的值为( )A.67B.57C.37D.17【解析】 由题意得，a 1＝67，a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又2014＝671×3＋1，∴a 2 014＝a 1＝67.【答案】 A3.对于数列{a n }，若存在实数M ，对任意的n ∈N ＋，都有a n ＞M ，则称M 为数列{a n }的一个下界，数列{a n }的最大下界称为下确界.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1n，按此定义，则数列{a n }的下确界是________.【解析】 由题意，a n ＝n ＋1n ＝1＋1n .∵1n＞0，∴对任意n ∈N ＋，都有a n ＞1，易知1是数列{a n }的最大下界，故数列{a n }的下确界是1.【答案】 14.已知数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n n －(n ≥2)，求数列的通项公式.【导学号：18082082】【解】 法一：由a n －a n －1＝1n n －＝1n －1－1n(n ≥2)， 则a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1， …a 3－a 2＝12－13， a 2－a 1＝1－12.将上式相加得a n －a 1＝1－1n(n ≥2)，又a 1＝1，∴a n ＝2－1n.a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n(n ∈N ＋).法二：由已知得a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， 则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1n －1－1n ＋1n －2－1n －1＋1n －3－1n －2＋…＋1－12＋1＝2－1n(n ≥2). a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n(n ∈N ＋).。
2018版高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)学案 新人教B版必修5
2.1.2 数列的递推公式(选学)学习目标 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．知识点一 递推公式思考 下图形象地用小正方形个数给出数列{a n }的前4项：那么a 2＝a 1＋______，a 3＝a 2＋______，a 4＝a 3＋____.由此猜想a n ＝a n －1＋______.梳理 思考中的数列{a n }可由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ，n ≥2完全确定．一般地，如果已知数列的__________(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的______________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．知识点二 递推公式与通项公式的比较思考 (1)已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋，求a 4；(2)已知a n ＝2n ，求a 4.梳理 通项公式和递推公式都是给出数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项．类型一 由数列前若干项归纳递推公式例1 已知数列{a n }的前4项依次是：13,31,49,67，试猜想a n ＋1与a n 的关系．反思与感悟 递推公式是反映数列相邻两项(或几项)间的关系的，所以寻找数列的递推关系，也常从数列相邻项有何变化着手，常考虑的变化有：数列是递增不是递减，若递增，增幅有什么规律．跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，试猜想{a n }的递推公式．类型二 数列的递推公式的应用命题角度1 由递推公式求前若干项例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1n >1，n ∈N ＋写出这个数列的前5项．引申探究数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，求a 2 016.反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．命题角度2 由递推公式求通项例3 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n ；(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n(n ≥2，n ∈N ＋)，求通项a n .反思与感悟 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)求通项公式；形如a n ＋1a n＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)求通项公式．跟踪训练3 已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 016项？1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A．a n＋1＝a n＋n，n∈N＋B．a n＝a n－1＋n，n∈N＋，n≥2C．a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N＋D．a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥22．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项a n等于( )A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．1．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.答案精析问题导学 知识点一 思考 2 3 4 n 梳理 第1项 前一项a n －1 知识点二思考 (1)a 2＝a 1＋2＝4，a 3＝a 2＋2＝6，a 4＝a 3＋2＝8.(2)a 4＝2×4＝8. 题型探究 类型一例1 解 由a 2－a 1＝31－13＝18，a 3－a 2＝49－31＝18， a 4－a 3＝67－49＝18，猜想a n ＋1－a n ＝18，即a n ＋1＝a n ＋18. 跟踪训练1 解 由a 2－a 1＝3－1 ＝2＝21，a 3－a 2＝7－3＝4＝22， a 4－a 3＝15－7＝8＝23，猜想a n ＋1－a n ＝2n，n ∈N ＋. 或a 2＝2×a 1＋1，a 3＝2×a 2＋1， a 4＝2×a 3＋1.∴猜想a n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N ＋. 类型二 命题角度1例2 解 由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.引申探究解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12， a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1.故{a n }是周期为4的数列． ∴a 2 016＝a 4×503＋4＝a 4＝13.跟踪训练2 解 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33.命题角度2例3 解 (1)n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋2＋…＋2n －个2＝2(n －1)＋1＝2n －1.a 1＝1也适合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1. (2)n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1·12·23·…·n －1n ＝1n.a 1＝1也适合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n.跟踪训练3 解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6. 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n＋3＝a n＋2－a n＋1＝(a n＋1－a n)－a n＋1＝－a n.∴a n＋6＝－a n＋3＝－(－a n)＝a n.∴数列{a n}是周期数列，且T＝6. ∴a2 016＝a335×6＋6＝a6＝－1.当堂训练1．B 2.D 3.a n＝2n＋1，n∈N＋.。
2018高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式选学课件新人教b版必修2
=
1 1 1 1 1 ,a3=1- =1- 1 =-1,a4=1- =1- =2, 2 ������2 ������3 -1
2
a5=1-������ =1-2 = 2.可以看到从第 4 项开始,数列中的项呈周期性 4 1 地出现 2, ,-1 这三个数,也就是说 a1=a4,a2=a5,…,an=an+3,….
2.1.2 数列的递推公式(选学)
课 标 阐 释 思 1.逐步体会递推公式是数列的一 种表示方法. 2.理解递推公式的概念及含义,能 够根据递推公式写出数列的前几 项. 3.掌握由一些简单的递推公式求 数列的通项公式.
维 脉 络
一
二
一、数列的递推公式 【问题思考】 1.填空: 如果已知数列的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始 的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式 来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 2.所有的数列都有递推公式吗? 提示:递推公式也是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的 数列都有递推公式.例如 2 精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似 值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式. 3.做一做:已知数列{an}的首项a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),则a4为 ( ) A.13 B.15 C.30 D.40 答案:D
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
������������ (2)解法一:(累乘法)由已知得 =2(n≥2), ������������-1 ������2 ������3 ������4 ������������ ∴������ =2,������ =2,������ =2,…,������ =2, 1 2 3 ������-1
新人教版高中数学选择性必修第二册数列的递推公式
第2课时数列的递推公式学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和S n求数列的通项公式．导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.一、数列通项公式的简单应用例1(教材P5例3改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{a n}中的项，3是否为数列{a n}中的项．解(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{a n}的前3项分别为1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{a n}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝32，故3不是数列{a n}中的项．反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练1已知数列{a n}的通项公式为a n＝q n，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，a n＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，a n＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为a n ，你能发现a n 与a n ＋1之间的关系吗？提示其实把n ＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n 个金属片移到2号位，需要a n 步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n 个金属片移到3号位，需要a n 步，故a n ＋1＝2a n ＋1.知识梳理如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．注意点：(1)通项公式反映的是a n 与n 之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．例2若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，n ∈N *，求a 2021.解a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1，…∴{a n }是周期为4的数列，∴a 2021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．跟踪训练2已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n，则此数列的第3项是()A ．1 B.12 C.34 D.58答案C解析a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n 等于()A.1nB.2n －1nC.n －1nD.12n答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a 1＝1，a 2＝1＋1－12＝2－12＝32，a 3＝32＋12－13＝2－13＝53，a 4＝53＋13－14＝2－14＝74，a 5＝74＋14－15＝2－15＝95，又a 1＝1，由此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n －1n .方法二(迭代法)a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－13，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n (n ≥2)，则a n ＝a 1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝2－1n ＝2n －1n (n ≥2)．又a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n (n ∈N *)．方法三(累加法)a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，a 1＝1，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)，以上各项相加得a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n.所以a n ＝2n －1n(n ≥2)．因为a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n(n ∈N *)．(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，则a n 等于()A ．n ＋1B ．nC.1n ＋1D.1n 答案D解析由题意，因为数列{a n }满足a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×23×12×1＝1n .反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①a n ＋1－a n ＝常数，或a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②a n ＋1＝pa n (p 为非零常数)，或a n ＋1＝f (n )a n (f (n )是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，求a n .解因为a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，所以a n －a n －1＝n ＋1－n .所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n＋1－n)＋(n－n－1)＋…＋(3－2)＋1＝n＋1－2＋1.又a1＝1也符合上式，所以a n＝n＋1－2＋1，n∈N*.(2)已知数列{a n}满足a1＝1，ln a n－ln a n－1＝1(n≥2)，求a n.解因为ln a n－ln a n－1＝1，所以lna na n－1＝1，即a na n－1＝e(n≥2)．所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝e·e·…·e·1(n－1)个＝e n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以a n＝e n－1，n∈N*.四、a n与S n的关系问题2如果已知某数列的前n项和S n＝n2＋n，如何求a4?提示a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8.知识梳理1．把数列{a n}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a n}的前n项和，记作S n，即S n ＝a1＋a2＋…＋a n.2．a n注意点：(1)注意等式成立的条件；(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项．例4设S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2n2－30n.求a1及a n.解因为S n＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以a n＝4n－32，n∈N*.延伸探究将本例的条件“S n＝2n2－30n”改为“S n＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求a n.解因为S n ＝2n 2－30n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－30×1＋1＝－27，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1]＝4n －32.当n ＝1时不符合上式．所以a n 27，n ＝1，n －32，n ≥2.反思感悟由S n 求通项公式a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；否则数列{a n }的通项公式要分段表示为a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.跟踪训练4已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n .(1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；(2)S n ＝3n －1.解(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ，n ＝1，n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1＝2适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．1．知识清单：(1)数列的递推公式．(2)数列的前n 项和S n 与a n 的关系．2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由S n 求a n 时忽略验证n ＝1时的情况．1．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案D解析因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，所以a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3，a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5，a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于()A ．36B ．35C ．34D ．33答案C解析a 2＝S 2－S 1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a 2＋a 18＝34.3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，则a 2021的值为()A ．2B ．1 C.12 D.14答案C解析a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2，由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1，由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是一个周期为6的周期数列，所以a 2021＝a 336×6＋5＝a 5＝12.4．323是数列{n (n ＋2)}的第________项．答案17解析由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．课时对点练1．已知数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，则此数列的第5项是()A ．15B ．255C ．16D ．63答案B 解析由递推公式，得a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255.2．数列12，－14，18，－116，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1的关系是()A ．a n ＋1＝2a nB ．a n ＋1＝－2a nC ．a n ＋1＝12a n D ．a n ＋1＝－12a n 答案D3．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2021等于()A.12B ．－1C ．2D ．3答案B解析当n ＝1时，a 2＝1－1a 1＝－1；当n ＝2时，a 3＝1－1a 2＝2；当n ＝3时，a 4＝1－1a 3＝12＝a 1；a 5＝1－1a 4＝－1＝a 2；a 6＝2；…所以数列{a n }是一个周期为3的周期数列，故a 2021＝a 3×673＋2＝a 2＝－1.4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项公式a n 等于()A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n 答案D 解析∵a n ＋1－a n ＝－1.∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式a n＝3－n(n∈N*)．5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A．a n＋1＝a n＋n，n∈N*B．a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2C．a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案B解析结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2.6．(多选)已知数列{a n}的前n项和满足S n＝2n＋1－1，则下列说法正确的是()A．a1＝3B．a n＝2n(n≥2)C．a n＝2n D．a n＝2n(n≥2)答案AD解析S n＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故a n ，n＝1，n，n≥2.7．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋n(n∈N*)，则a4＝________.答案7解析当n＝1时，a2＝a1＋1＝2，当n＝2时，a3＝a2＋2＝2＋2＝4，当n＝3时，a4＝a3＋3＝4＋3＝7.8．已知在数列{a n}中，a1a2…a n＝n2(n∈N*)，则a9＝______.答案81 64解析a1a2…a8＝82，①a1a2…a9＝92，②②÷①得，a9＝9282＝8164.9．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想a n(不用证明)．解(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25.(2)猜想：a n ＝2n ＋1.10．已知各项均不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0，∴1a n －1a n －1＝1.∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋…＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是()A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在答案A 解析因为a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，所以a n >0，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1<1，所以a n ＋1<a n ，所以此数列为递减数列，故最大项为a 1.12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，那么1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020等于()A ．a 2021B ．a 2022C ．a 2023D ．a 2024答案A 解析由于a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，则1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 3＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 5＋a 6＋…＋a 2020＝a 2019＋a 2020＝a 2021.13．已知a n ＝n 2－21n 2，则数列{a n }中相等的连续两项是()A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项答案B 解析假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.答案1n 解析方法一(累乘法)把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n＝1n (n ≥2)，∴a n a 1＝1n.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝1n，n ∈N *.方法二(迭代法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n.方法三(构造特殊数列法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n(n ∈N *)．15．在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.答案28解析依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.16．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1a n 为偶数，＋1，a n 为奇数.若a 4＝4，求m 所有可能的取值．解若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)，若a 1为偶数，a 12＝2，a 1＝4；若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5，若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32.故m 所有可能的取值为4,5,32.。
18学年高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)学案新人教B版必修5
2.1.2 数列的递推公式(选学)[学习目标] 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一由递推公式写出数列的项例1 已知数列{a n}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)；(2)a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2.解(1)∵a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)，∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n＝(n－1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25，a 5＝2a 42＋a 4＝13， ∴它的前5项依次是1，23，12，25，13.它的前5项又可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1，故它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1. 规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 n ＝1 ，a n ＝1＋1a n －1 n ≥2 .写出这个数列的前5项．解 由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝1＋11＝2，a 3＝1＋1a 2＝1＋12＝32，a 4＝1＋1a 3＝1＋23＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85. 要点二 由递推公式求通项 例2 已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于11 000？解 (1)a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝(12)n －1·(12)n －2·…·(12)2·(12)1·1 ＝(12)1＋2＋…＋(n －1)＝21)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴a n ＝21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.(2)∵b n ＝ n －1 n 2＝12(n －12)2－18，∴n ∈N ＋时，b n 递增，即{a n }为递减数列， ∴当n ≤4时， n －1 n2≤6，a n ＝21)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥164， 当n ≥5时， n －1 n2≥10，a n ＝21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11 024. ∴从第5项开始各项均小于11 000. 规律方法 由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n . (3)当a n a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1来求a n . 跟踪演练2 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋1n n －1(n ≥2)给出．(1)写出数列{a n }的前5项； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32；a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74；a 5＝a 4＋15×4＝95. (2)由a n ＝a n －1＋1n n －1 得a n －a n －1＝1n n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1n n －1 ＋1 n －1 n －2 ＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1 ＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n(n ∈N ＋)．要点三 数列与函数的综合应用例3 f (x )＝log 2x －2log 2x(0<x <1)，且数列{a n }满足f (n a2)＝2n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的增减性．解 (1)∵f (x )＝log 2x －2log 2x ，又∵f (n a2)＝2nm ，∴log 2n a2－2log 2n a 2＝2n ，即a n －2a n＝2n . 整理得a 2n －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±n 2＋2. 又0<x <1，故0<n a2<1，于是a n <0， ∴a n ＝n －n 2＋2(n ∈N ＋)．(2)a n ＋1a n ＝ n ＋1 － n ＋1 2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2 n ＋1 ＋ n ＋1 2＋2<1. ∵a n <0，∴a n ＋1>a n ， ∴数列{a n }是递增数列．规律方法 数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{a n }的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3 函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ∈N ＋，n 为奇数 ，f n2n ∈N ＋，n 为偶数 .数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n)(n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝4n －1)．解 (1)a 1＝f (1)＋f (2) ＝f (1)＋f (1)＝2.a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2) ＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)，a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )，＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n－1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n) ＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)，∴a n ＝a n －1＋4n －1(n ≥2).1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2 答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n 答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n . 3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________． 答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n.1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系。
2018版高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)同步精选测试 新人教B版必修5
同步精选测试 数列的递推公式(选学)(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4等于( )A.45B.14C.－14D.15【解析】 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14.【答案】 C2.数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)【解析】 由条件可发现，n ＞2时，a n －a n －1＝2，即a n ＝a n －1＋2，又a 1＝2，所以C 正确.【答案】 C3.设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C.4D.0 【解析】 ∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫n －1562＋34，由二次函数性质得，当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.【答案】 D4.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )【导学号：18082078】A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n【解析】 由题意可知：a n ＋1＝a n ＋lnn ＋1n，∴a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝[ln n －ln(n －1)]＋[ln(n －1)－ln(n －2)]＋…＋(ln 2－ln 1)＋2＝2＋ln n .【答案】 A5.已知在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 016＝( )【导学号：18082079】A.3B.－3C.6D.－6【解析】 由题意知：a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3， a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6， a 9＝a 8－a 7＝3，a 10＝a 9－a 8＝－3，…故知{a n }是周期为6的数列， ∴a 2 016＝a 6＝－3. 【答案】 B 二、填空题6.数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n ＝0，则a 2 016－a 2 015＝_____________. 【解析】 由已知得a 2 016－a 2 015－2 015＝0， ∴a 2 016－a 2 015＝2 015. 【答案】 2 0157.数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3，且a 1＝0，则此数列的第5项是________. 【解析】 因为a n ＝4a n －1＋3，所以a 2＝4×0＋3＝3，a 3＝4×3＋3＝15，a 4＝4×15＋3＝63，a 5＝4×63＋3＝255.【答案】 2558.在数列{a n }中，对任意n ∈N ＋，有a n ＋1＝a n1＋a n.若a 1＝1，则a 10＝________. 【解析】 法一：由已知，得a 2＝a 11＋a 1＝11＋1＝12，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14，…，a 10＝191＋19＝110. 法二：由a n ＋1＝a n1＋a n，得1a n ＋1＝1a n＋1，所以1a 2＝1a 1＋1，1a 3＝1a 2＋1，1a 4＝1a 3＋1，…，1a 10＝1a 9＋1，所以1a 10－1a 1＝9.又因为a 1＝1，所以1a 10＝10，所以a 10＝110.【答案】110三、解答题9.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a na n ＋3(n ∈N ＋)，求通项a n . 【导学号：18082080】【解】 将a n ＋1＝3a na n ＋3两边同时取倒数得： 1a n ＋1＝a n ＋33a n， 则1a n ＋1＝1a n ＋13，即1a n ＋1－1a n ＝13， ∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13， 把以上这(n －1)个式子累加， 得1a n －1a 1＝n －13. ∵a 1＝1，∴a n ＝3n ＋2(n ∈N ＋). 10.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，试求数列{a n }的最大项. 【导学号：18082081】【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67 n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67 nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67 n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.[能力提升]1.已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N ＋满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A.－165 B.－33 C.－30D.－21【解析】 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3. ∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2) ＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30. 【答案】 C2.已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n＜12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n＜1.若a 1＝67，则a 2 014的值为( )A.67B.57C.37D.17【解析】 由题意得，a 1＝67，a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又2014＝671×3＋1，∴a 2 014＝a 1＝67.【答案】 A3.对于数列{a n }，若存在实数M ，对任意的n ∈N ＋，都有a n ＞M ，则称M 为数列{a n }的一个下界，数列{a n }的最大下界称为下确界.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1n，按此定义，则数列{a n }的下确界是________.【解析】 由题意，a n ＝n ＋1n ＝1＋1n .∵1n＞0，∴对任意n ∈N ＋，都有a n ＞1，易知1是数列{a n }的最大下界，故数列{a n }的下确界是1.【答案】 14.已知数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n n －(n ≥2)，求数列的通项公式.【导学号：18082082】【解】 法一：由a n －a n －1＝1n n －＝1n －1－1n(n ≥2)， 则a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1， …a 3－a 2＝12－13， a 2－a 1＝1－12.将上式相加得a n －a 1＝1－1n(n ≥2)，又a 1＝1，∴a n ＝2－1n.a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n(n ∈N ＋).法二：由已知得a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， 则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1n －1－1n ＋1n －2－1n －1＋1n －3－1n －2＋…＋1－12＋1＝2－1n(n ≥2). a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n(n ∈N ＋).本文档仅供文库使用。
(整理版)高中学习资料课时作业6
课时作业6 数列的递推公式时间：45分钟 分值：100分A 学习达标一、选择题1．已知a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，n ∈N *，则a 5等于( )A ．37B ．77C ．157D ．317解析：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，∴a 2＝7，a 3＝17，a 4＝37，a 5＝77.故选B.答案：B2．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1，则此数列的前4项和为( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：a 1＝1，a 2＝a 21－1＝0，a 3＝a 22－1＝－1，a 4＝a 23－1＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0.答案：A3．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n 2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A ．－163B.163 C ．－83 D.83解析：利用相邻两项关系求某一项．答案：B4．数列{a n }中，已知a 61＝2000，且a n ＋1＝a n ＋n ，则a 1等于( )A ．168B ．169C ．170D ．171解析：∵a n ＋1－a n ＝n ，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a 61－a 60＝60，∴a 61－a 1＝1＋2＋…＋60，∴a 1＝170.答案：C5．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n <12，2a n －1，12≤a n <1.若a 1＝67，则a 9等于( ) A.67 B.57C.37D.17解析：a 1＝67∈[12，1)，∴a 2＝2a 1－1＝57， ∴a 3＝2a 2－1＝37∈[0，12)． ∴a 4＝2a 3＝67，同理a 5＝57. a 6＝37，a 7＝67，a 8＝57，a 9＝37.故选C. 答案：C6．如图1所示是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键( )图1A ．6n 个B ．4n ＋2个C ．5n －1个D ．5n ＋1个解析：各图中的“短线”依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…于是结构第n 个图有化学键应为a n ＝5n ＋1个，故选D.答案：D二、填空题7．{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝pa n ＋q ，且a 2＝3，a 4＝15，则p ＝________，q ＝________. 解析：a 2＝pa 1＋q ，p ＋q ＝3，①，a 3＝pa 2＋q ＝3p ＋q ，a 4＝pa 3＋q ＝p (3p ＋q )＋q ＝15，②，由①②联立解方程，得p ＝2，或－3，∴q ＝1或6.答案：2或－3 1或68．已知{a n }满足a n ＝(－1)n a n －1＋1(n ≥2)，a 7＝47，则a 5＝________. 解析：a 7＝－1a 6＋1，a 6＝1a 5＋1，∴a 5＝34. 答案：349．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________. 解析：a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列为循环数列，∴a 1＝a 4＝a 7＝a 10＝a 13＝a 16＝12. 答案：12三、解答题10．数列{a n }中，a 1＝a ，a n ＋1＝2a n 1＋a n ，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝2a n 1＋a n ∴a 2＝2a 1＋a ，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a 1＋a 1＋2a 1＋a＝4a 1＋3a 同理：a 4＝8a 1＋7a观察规律：a n ＝2n －1·a 1＋(2n －1－1)a11．已知数列{a n }的首项a 1＝3，a n －a n －1＝4(n >1)，求它的通项公式． 解：由题设，可得a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝4，将上面n －1个等式相加，得a n －a 1＝4(n －1)．又a 1＝3，所以a n ＝4n －4＋3＝4n －1(n >1)．故数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1(n >1)．B 创新达标12．已知数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，求a n .解：由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n(n＋1)(n－1)(n≥2)②①－②得na n＝3n(n＋1)，∴a n＝3(n＋1)(n≥2)，当n＝1时，a1＝6适合上式，∴a n＝3(n＋1)．。
2017_2018学年高中数学课时跟踪检测五数列的递推公式选学新人教B版必修5
C．(－∞，0)D．(－∞，0]
解析：选C∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，那么a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，
10．已知函数f(x)＝x－ .数列{an}知足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
解：∵f(x)＝x－ ，∴f(an)＝an－ ，
∵f(an)＝－2n.∴an－ ＝－2n，
即a ＋2nan－1＝0.∴an＝－n± .
∵an>0，∴an＝ －n.
层级二 应试能力达标
1．假设数列{an}知足an＋1＝ (n∈N＋)，且a1＝1，那么a17＝( )
＝2＋1＋1＋…＋ ＝n＋1.
∴ ＝n＋1，∴an＝ (n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝ ，符合上式，
∴an＝ .
答案：－9
8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)，知足a1＝2，a2＝4，那么a3＝________.
解析：∵ ∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
9．依照以下条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)；
解析：选A由an＋1＝an＋lg ⇒an＋1－an＝lg ，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg
2＋lg ＋lg ＋…＋lg ＝2＋lg2× × ×…× ＝2＋lgn.
3．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，假设该数列是递减数列，那么实数λ的取值范围是( )
课时作业6：2.1.2 数列的递推公式（选学）
2.1.2数列的递推公式(选学)知识梳理1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，且从数列{a n }的第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的______公式．2．一般地，一个数列{a n }，如果从______起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从______起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列． 巩固训练 一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.584．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n6．已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18 二、填空题7．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4＝________.8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化总面积为a n ＋1.则a n ＋1用a n 表示为________．10．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1 (n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系． 能力提升13．已知数列{a n}满足a1＝－1，a n＋1＝a n＋1n n＋1，n∈N＋，则通项公式a n＝________. 14．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．参考答案知识梳理1．递推 2.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等 作业设计 1. A 2. B 3. B 4．C【解析】a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.5．A【解析】∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ． 6．B【解析】a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a ＋1＝a ，a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ， ∴{a n }为周期数列，周期为3. ∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .] 7．－148．129．a n ＋1＝45a n ＋425【解析】由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下： a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%， 即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.10．a n ＝1n ＋1【解析】∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝2＋1＋1＋…＋1n －1个1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3， a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2. 12．解：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000，A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1，B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1.由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1. 所以A n ＝0.8A n －1＋0.3×(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300. 同理，B n ＝0.2×(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200. 13．－1n【解析】∵a n ＋1－a n ＝1n n ＋1， ∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；… … a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n .14．a n ＝1n【解析】∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一a n ＋1a n ＝nn ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a n a 1＝1n. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n .。
2017_2018学年高中数学第二章数列2.1.2数列的性质和递推公式课件新人教A版必修5
数列有没有最大项？若有， 求出最大项和最大项的序号； 若没有， 请说明理由．
【解析】 方法一：∵an＋1－an 10 ＋ 10 n 1 ＝(n＋2)11 －(n＋1)11n 10 9－n n ＝11 × 11 ， 当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>9 时，an＋1－an<0，即 an＋1<an. ∴a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， ∴该数列有最大项，为第 9、10 项，且
|巩固提升| 1．已知数列{an}的首项 a1＝2，an＋1＝2an＋1(n≥1，n∈N*)， 则 a5 为( ) A．7 B．15 C．30 D．47
解析：将 a1＝2 代入关系式 an＋1＝2an＋1 得 a2＝5，将 a2＝5 再代入 an＋1＝2an＋1 可得 a3＝11，依次类推得 a5＝47，故选 D. 答案：D
方法归纳 (1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法 来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等；此时要 注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件． (2)可以利用不等式组 an－1≤an an≥an＋1 ，找到数列的最大 项；利用不等式组 an－1≥an an≤an＋1 ，找到数列的最小项．
【课标要求】 1.了解数列递推公式的概念；知道递推公式是给出数列的一 种方法. 2.能根据数列的递推公式写出数列. 3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性，会求数列中的 最大(小)项. 4.了解数列的周期性，能解决相关的简单问题．
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an a1
)
B．an＝2
n－1
1n－1 C．an＝ 2
1，„，
1n D．an＝1＋ 2
1 2 3
解析：方法一：由已知 a1＝1＝2 －1，a2＝2×1＋1＝3＝2 －1，a3＝2×3＋1＝7＝2 －
由此归纳得 an＝2 －1. 方法二：∵an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴
2 2 2 2
n－1
(n≥2)，那么 a4＝________.
x f(x)
解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
1 4
2 1
3 3
4 5
5 2
x2＝f(x1)＝f(2)＝1， x3＝f(x2)＝f(1)＝4， x4＝f(x3)＝f(4)＝5＝x0，
答案：C 4．已知 a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N )，则数列{an}的通项公式是( A．2n－1 B. C．n
2 *
)
n＋1n－1 n
D．n
解析：方法一：由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1， ∴
an an＋1 an ＝ .∴数列 是常数列． n＋1 n n
且 ＝ ＝1，∴an＝n. n 1 方法二：累乘法：n≥2 时，
an a1
an n ＝ ， an－1 n－1
an－1 n－1 ＝ an－2 n－2
„
a3 3 ＝ a2 2 a2 2 ＝ a1 1
两边分别相乘得 ＝n. 又∵a1＝1，∴an＝n. 答案：D 5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为( A．an＝2 －1
n n n n
7．数列{an}满足 an＋1
6 若 a1＝ ，则 a9 等于________． 7
6 1 解析：a1＝ ∈ ，1， 7 2 5 ∴a2＝2a1－1＝ ， 7 3 1 ∴a3＝2a2－1＝ ∈0， ， 7 2 6 ∴a4＝2a3＝ ， 7 5 3 6 5 3 同理 a5＝ ，a6＝ ，a7＝ ，a8＝ ，a9＝ . 7 7 7 7 7 3 答案： 7 8．数列{an}中 a1＝1，a2＝3，an－an－1·an＋1＝(－1) 解析：令 n＝2 得 a2－a1·a3＝－1，∴a3＝10. 令 n＝3 代入，得 a3－a2a4＝(－1) ，∴a4＝33. 答案：33 9．设函数 f(x)定义如下表，数列{xn}满足 x0＝5，且对任意的自然数均有 xn＋1＝f(xn)， 则 x2 014＝________.
课时作业(六) 数列的递推公式(选学)
A 组 (限时：10 分钟) 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则通项公式为( A．an＝1 C．an＝n D．an＝n＋1 解析：由 an＝an－1＋1 知 an－an－1＝1， ∴数列的相邻两项中后项比前项大 1.∴通项公式为 an＝n. 答案：C 2．已知数列 an<0，且 2an＋1＝an，则数列{an}是( A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法判断 1 1 解析：∵an<0，∴an＋1－an＝ an－an＝－ an>0. 2 2 ∴数列{an}是递增数列． 答案：A 3．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则 a5＝________. 解析：由题知 a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，∴a5＝a4＋a3＝8. 答案：8 4．若数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n≥3)，则 a2 014＝________. 解析：由 anan－2＝an－1，得 an＝ ) B．an＝2n－1 )
an－1 (n≥2)， an－2
a2 a3 a4 1 a5 1 a6 ∴a3＝ ＝2，a4＝ ＝1，a5＝ ＝ ，a6＝ ＝ ，a7＝ ＝1，„. a1 a2 a3 2 a4 2 a5
可知数列{an}具有周期性，周期为 6， ∴a2 014＝a6×335＋4＝a4＝1. 答案：1 5．已知数列{an}满足 a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝2an，n∈N ，则 a2 013＝________；a2 014＝ ________. 解析：a2 013＝a504×4－3＝1，a2 014＝2a1 007＝2a4×252－1＝0. 答案：1 0 B 组
2
1
an－1
(n≥2)，则 a2 013 等于(
)
1
an＋1
＝an，∴数列奇数项相同，偶数项相同，
)
61 31 D. 16 15
2
a1a2a3＝3 解析：由已知得 2 a1a2＝2 a1a2a3a4a5＝25 a1a2a3a4＝16
9 ⇒ a3＝ ， 4
25 61 ⇒ a5＝ ，∴a3＋a5＝ . 16 16
*
(限时：30 分钟) 1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)．则 a6 等于( )
A．7 C．16 D．17
B．11
解析：由题可知 a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝1＋1＋2 ＋3＋4＋5＝16. 答案：C 2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－ 1 1 A．－ B. 2 2 C．2 D．－2 解析：∵an＋2＝－ ∴a2 013＝a1＝2. 答案：C 3．数列{an}中，a1＝1，对所有的 n≥2，都有 a1a2a3·„·an＝n ，则 a3＋a5 等于( A. C. 25 9 25 B. 16
n
an＋1＋1 n ＝2，用累乘法可得 an＋1＝2 . an＋1
n
∴an＝2 －1. 答案：A 6． 下图是一系列有机物的结构简图， 图中的“小黑点”表示原子， 两黑点间的“短线” 表示化学键，按图中结构第 n 个图有化学键( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A．6n 个 B．(4n＋2)个 C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个 解析：各图中的短线依次为 6,6＋5,6＋5＋5，„，若视 6 为 5＋1，则这个数列 1＋5,1 ＋5＋5,1＋5＋5＋5，„， 于是第 n 个图的化学键个数应为 an＝5n＋1. 答案：D 1 2a ，0≤a < ， 2 ＝ 1 2a －1， ≤a <1. 2