与方位角坡角有关的解直角三角形应用课件
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利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题课件(共18张PPT)
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AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
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AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
利用方位角、坡角解直角三角形课件
第二十四章
解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 利用方位角、坡角解直角三角形
知识点❶：坡角在解直角三角形中的应用 1．如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，堤坝高 BC＝50 m，则迎水坡面 AB 的长度是( A ) A．100 m C．150 m D．200 m 2．如图，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间 的水平距离为 5 米，那么两树的坡面距离 AB＝( B ) A．5cosα 米 C．5sinα 米 5 B. 米 cosα D. 5 米 sinα B．100 3 m
解：(1)由题意，得∠BAC＝90°，∴BC＝ 402＋（8 3）2＝16 7(km)， 4 ∴轮船航行的速度为：16 7÷ ＝12 7(km/h) 3 (2)能，理由如下：作 BD
⊥l 于点 D，CE⊥l 于点 E，设直线 BC 交 l 于点 F，则 AD＝AB·cos∠ BAD＝40×cos60°＝20(km)， BD＝AB· sin∠BAD＝40×sin60°＝20 3 (km)，CE＝AC·sin∠CAE＝8 3×sin30°＝4 3(km)，AE＝AC·cos ∠CAE＝8 3×cos30°＝12(km)．∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF＝∠CEF EF＋32 DF BD ＝90°.又∵∠BFD＝∠CFE， ∴△BDF∽△CEF， ∴ ＝ ， ∴ EF CE EF ＝ 20 3 ，∴EF＝8 km.∴AF＝AE＋EF＝12＋8＝20(km)．∵AM＜AF＜ 4 3
知识点❷：方位角在解直角三角形中的应用 3．如图，小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路，测得 有一水塔(图中点 A 处)在她家北偏东 60°的 500 m 处，那么水塔所在 的位置到公路的距离 AB 是( A ) A．250 m B．250 3 m C. 500 3 m D．250 2 m 3
解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 利用方位角、坡角解直角三角形
知识点❶：坡角在解直角三角形中的应用 1．如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，堤坝高 BC＝50 m，则迎水坡面 AB 的长度是( A ) A．100 m C．150 m D．200 m 2．如图，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间 的水平距离为 5 米，那么两树的坡面距离 AB＝( B ) A．5cosα 米 C．5sinα 米 5 B. 米 cosα D. 5 米 sinα B．100 3 m
解：(1)由题意，得∠BAC＝90°，∴BC＝ 402＋（8 3）2＝16 7(km)， 4 ∴轮船航行的速度为：16 7÷ ＝12 7(km/h) 3 (2)能，理由如下：作 BD
⊥l 于点 D，CE⊥l 于点 E，设直线 BC 交 l 于点 F，则 AD＝AB·cos∠ BAD＝40×cos60°＝20(km)， BD＝AB· sin∠BAD＝40×sin60°＝20 3 (km)，CE＝AC·sin∠CAE＝8 3×sin30°＝4 3(km)，AE＝AC·cos ∠CAE＝8 3×cos30°＝12(km)．∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF＝∠CEF EF＋32 DF BD ＝90°.又∵∠BFD＝∠CFE， ∴△BDF∽△CEF， ∴ ＝ ， ∴ EF CE EF ＝ 20 3 ，∴EF＝8 km.∴AF＝AE＋EF＝12＋8＝20(km)．∵AM＜AF＜ 4 3
知识点❷：方位角在解直角三角形中的应用 3．如图，小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路，测得 有一水塔(图中点 A 处)在她家北偏东 60°的 500 m 处，那么水塔所在 的位置到公路的距离 AB 是( A ) A．250 m B．250 3 m C. 500 3 m D．250 2 m 3
湘教版九年级数学上册课件4.4.2与坡度、方向角有关的解直角三角形的实际应用
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解：(1)分别过点 E，D 作 EG⊥AB，DH⊥AB 交 AB 于点 G，H.∵四边 形 ABCD 是梯形，且 AB∥CD，∴DH 平行且等于 EG，故四边形 EGHD 是矩形，∴ED＝GH.在 Rt△ADH 中，AH＝DHtan∠DAH＝8(米)．在 Rt△FGE 中，i＝1∶2＝EFGG，∴FG＝2EG＝16(米)，∴AF＝FG＋GH－ AH＝16＋2－8＝10(米)
度越___大_____，山坡越陡．
1．(4 分)(2015·奉贤区一模)一斜坡长为 10米，高度为 1 米，那么坡度
为( A )
A．1∶3
B．1∶13
C．1∶ 10
D．1∶
10 10
2．(4 分)(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12
米，斜面坡度为 1∶2，则斜坡 AB 的长为( B )
A．4 3米 B．6 5米 C．12 5米
D．24 米
3．(4 分)如图是某水库大坝横断面示意图．其中 AB，CD 分别表示水库
上、下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC 的长是 50 m，则水库大坝的
高度 h 是( A )
A．25 3 m B．25 m
C．25 2 m
50 3 D. 3 m
4．(4 分)(2014·衡阳)如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽
(2)加宽部分的体积 V＝S 梯形 AFED×坝长＝12×(2＋10)×8×400＝19 200(立方米)．故完成这项工程需要土石 19 200 立方米．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时36分53秒00:36:5322.4.13
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解：(1)分别过点 E，D 作 EG⊥AB，DH⊥AB 交 AB 于点 G，H.∵四边 形 ABCD 是梯形，且 AB∥CD，∴DH 平行且等于 EG，故四边形 EGHD 是矩形，∴ED＝GH.在 Rt△ADH 中，AH＝DHtan∠DAH＝8(米)．在 Rt△FGE 中，i＝1∶2＝EFGG，∴FG＝2EG＝16(米)，∴AF＝FG＋GH－ AH＝16＋2－8＝10(米)
度越___大_____，山坡越陡．
1．(4 分)(2015·奉贤区一模)一斜坡长为 10米，高度为 1 米，那么坡度
为( A )
A．1∶3
B．1∶13
C．1∶ 10
D．1∶
10 10
2．(4 分)(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12
米，斜面坡度为 1∶2，则斜坡 AB 的长为( B )
A．4 3米 B．6 5米 C．12 5米
D．24 米
3．(4 分)如图是某水库大坝横断面示意图．其中 AB，CD 分别表示水库
上、下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC 的长是 50 m，则水库大坝的
高度 h 是( A )
A．25 3 m B．25 m
C．25 2 m
50 3 D. 3 m
4．(4 分)(2014·衡阳)如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽
(2)加宽部分的体积 V＝S 梯形 AFED×坝长＝12×(2＋10)×8×400＝19 200(立方米)．故完成这项工程需要土石 19 200 立方米．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时36分53秒00:36:5322.4.13
《用解直角三角形解方位角、坡角的应用》PPT课件
第四章 解直角三角形
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 用解直角三角形解方 位角、坡角的应用
1 课堂讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的 角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点 的指北方向线起， 按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变 化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线 段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直 线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 用解直角三角形解方 位角、坡角的应用
1 课堂讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的 角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点 的指北方向线起， 按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变 化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线 段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直 线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于
华东师大版数学九年级上册2解直角三角形在生活中的应用课件(共27张)
B
东
数学建模
拓展三：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
解：
北 M
A●
120
E
240 30°
B
东
数学建模
拓展三：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
解：
北
A●
150
E
240
B
东
数学建模
拓展四：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
北 M
A●
120
E
240 30°
B
东
北 M
A●
行驶 讨论
30°
B
东
数学建模 当前，全国新农村正如火如荼地进行，某村计划在建设区B的 北偏东30°方向修一条公路。小明所在的教室A在该建设区B的正北方向240m处。 如果拖拉机行驶 时，150m的范围内为受其噪音影响区域，问拖拉机经过该路时， 教室A是否受到噪音的影响？为什么？
解：
北 M
解直角三角形 在生活中的应用
知识经验
1、方位角
2、仰角 俯角
北
北偏东40 °
3、坡角 坡比
h
40°
铅 垂
） ）仰俯角角
水平线
线
东
a L
抢答：根据图中所给的条件，分别求出图中的x .
生活情景
铅 垂 线
我们构造出了 一个直角三角形
水平线
方法建构
线长可以 量
A
求 高 度
仰角可以测
Ba
C
分析裁定
A
A
A
60米
甲 30° B
解：在Rt△ABC中， ∠B = 30°AB=60米
sin B h1 AB
1.解直角三角形在坡角(坡度)及其他方面的应用课件
∴BE＝BC－EF－FC＝30－6－ 4 2 ＝(24－ 4 2 ) m． 在Rt△ABE中，tan ∠ABE＝ AE ＝ DF ＝ 4 2
BE BE 24 4 2
≈0.308 4，∴∠ABC≈17°8′23″.
新课讲授
解：(2)
S四边形ABCD＝
1 2
(AD＋BC)×DF
1
＝ 2 ×(6＋30)× 4 2
E 2m C
D 40° 5m B
新课讲授
大坝问题
如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长 CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135°. (1)求坡角∠ABC的大小; (2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石料?
(结果精确到0.01m3 )
AD
B
C
新课讲授
(1)解:如图,过点D作DE⊥BC于点E, 过点A作AF⊥BC于点F.
则EC DE DC sin 45 4 2,
AF DE 4 2, BF 30 6 4 2 24 4 2.
tan ABC AF 4 2 , BF 24 4 2
∴∠ABC≈17°8′21″. 答:坡角∠ABC约为17°8′21″.
A 6m D
┌ 135°┐ 8m
B
F 30mE C
分析：将分散的条件集中到△ ABP 中求解 .
解：（1） 30 （ 2）由题意，得∠ PBH=60°，∠ APB=60°-15°=45° .
∵∠ ABC=30°，
∴∠ ABP=90°，∴∠ BAP=45°，∴ PB=AB.
在 Rt △ PHB 中，
PB PH 30 = 30 =20 3 m .
sin PBH sin 60 3
新课讲授
BE BE 24 4 2
≈0.308 4，∴∠ABC≈17°8′23″.
新课讲授
解：(2)
S四边形ABCD＝
1 2
(AD＋BC)×DF
1
＝ 2 ×(6＋30)× 4 2
E 2m C
D 40° 5m B
新课讲授
大坝问题
如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长 CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135°. (1)求坡角∠ABC的大小; (2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石料?
(结果精确到0.01m3 )
AD
B
C
新课讲授
(1)解:如图,过点D作DE⊥BC于点E, 过点A作AF⊥BC于点F.
则EC DE DC sin 45 4 2,
AF DE 4 2, BF 30 6 4 2 24 4 2.
tan ABC AF 4 2 , BF 24 4 2
∴∠ABC≈17°8′21″. 答:坡角∠ABC约为17°8′21″.
A 6m D
┌ 135°┐ 8m
B
F 30mE C
分析：将分散的条件集中到△ ABP 中求解 .
解：（1） 30 （ 2）由题意，得∠ PBH=60°，∠ APB=60°-15°=45° .
∵∠ ABC=30°，
∴∠ ABP=90°，∴∠ BAP=45°，∴ PB=AB.
在 Rt △ PHB 中，
PB PH 30 = 30 =20 3 m .
sin PBH sin 60 3
新课讲授
用解直角三角形解方位角、坡角的应用-ppt下载
∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝ 2
3
3 3. 2
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
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2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割 为直角三角形和矩形来解决问题．
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知2－讲
导引：连接AE，在Rt△ABE中求出AE，且根据 ∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，进而 得到∠EAF的度数，最后在Rt△EAF中解 出EF即可．
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1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位 置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知 角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角 函数解决问题．
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知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝ 2
3
3 3. 2
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
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2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割 为直角三角形和矩形来解决问题．
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知2－讲
导引：连接AE，在Rt△ABE中求出AE，且根据 ∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，进而 得到∠EAF的度数，最后在Rt△EAF中解 出EF即可．
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1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位 置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知 角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角 函数解决问题．
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知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
课件：28.2.5 用解直角三角形解方位角、坡角的应用
导引：连接AE，在Rt△ABE中求出AE，且根据 ∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，进而 得到∠EAF的度数，最后在Rt△EAF中解 出EF即可．
解：如图，连接AE.
在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝ 3 ，
则AE= AB2 BE2 2 3.
∵tan ∠EAB= BE 3 , AB 3
∴∠EAB＝30°.
3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距 离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯 塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是( C ) A．2海里 B．2sin 55°海里 C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里
4 【2017·玉林】如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位 于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海 里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方 向上，此时轮船与灯塔P的距离是( B ) A．15 3 海里 B．30海里 C．45海里 D．30 3 海里
在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝ 2
3
3 3. 2
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
总结
(1)坡角是水平线与斜边的夹角，不要误解为铅垂线与 斜边的夹角；
(2)坡比是坡角的正切值．
1 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE = 6 m. 斜面坡度i= 1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度 BF的比，斜面坡度i = 1∶3是指DE与CE 的比.根据图 中数据，求： （1）坡角α 和β的度数； （2）斜坡AB的长(结果 保留小数点后一位).
5 【中考·济宁】如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比) 为1：2，AC＝3 5 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶 端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗 杆BC的高度为( A ) A．5米 B．6米 C．8米 D．(3＋ 5 )米
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与方位角坡角有关的解直角三角形应用
9
如 图 所 示 ， 某 地 下 车 库 的 入 口 处 有 斜 坡 AB ， 其 坡 比
i=1∶1.5， 则AB= 13m.
C
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
10
1.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了 （A ）
A. 200 5m B. 500m C. 500 3m
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
7
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可
以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图
表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一
小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡
长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段
山坡的高度h1=l1sina1.
l
h
α
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
北 东
A
60 0
C 与方位角坡角有关的解直角三角形应用
B
12
4.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点， 这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔 船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危 险？
北
A 60°
8
在每小段上，我们都构造出直角三角形，
利用上面的方法分别算出各段山坡的高度
h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为 整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等 数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地 位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的 内容．
i=1:3
β C
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
15
i=1:1.5 α
B
AD
6m
FE
i=1:3 β C
【解析】在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan AF i 1：1.5
BF
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tan DE i 1: 3 CE
18.4
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
l为对应水平宽度，如图所示
(2)坡角：坡面与水平面的夹角.
(3)坡度与坡角(若用α表示)的关系：i=tanα.
方向角：指南或北方向线与目标方向线所成
的小于90°的角，叫方向角（或方位角）.
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
4
【例】如图，一艘海轮位于灯
塔P的北偏东65°方向，距离
65°
A
灯塔80海里的A处，它沿正南 P
据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要
测量如图所示大坝的高度h时，只要测出坡角a和
大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我
们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单
了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度
l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡
是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
A 乙
如图,有两建筑物,建筑物的顶部D点测得条 E
幅顶端A点的仰角为45°,条幅底 B
C
端E点的俯角为30°.求甲、乙两
建筑物之间的水平距离BC
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
3
坡度(坡比)、坡角：
(1)坡度也叫坡比，用i表示.
即i=h/l，h是坡面的铅直高度，
1.5 与方位角，坡 角有关的
解直角三角形应用
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
1
1、能应用解直角三角形的知识解决与方 位角、坡度有关的实际问题；
2、培养学生分析问题、解决问题的能力；
渗透数形结合的数学思想和方法.
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
2
1.测量高度时,仰角与俯角有何区甲别?
2.解答下面的问题
C
方向航行一段时间后，到达位
34°
于灯塔P的南偏东34°方向上
的B处，这时，海轮所在的B
B
处距离灯塔P有多远？（精确
到0.01海里）
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
5
【解析】如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25° ≈80×0.91
=72.8海里
65° A P
BF
12 x
解得x=6
AF 6x 6 3 10.4 10.4 > 8没有触礁危险
A
F D
30°
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
14
5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比），根据图中数据求：坡角a和β.
AD
i=1:1.5
α B
6m FE
2.如图，一水库迎水坡AB的坡度 i 1: 3， 则该坡的坡角α=___3_0_° _.
D. 1000m
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
11
3.如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海 军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发 现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该 军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现 灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰 行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)
16
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
17
B 与方位角坡角有关的解直角D三角形应用
13
【解析】由点A作BD的垂线
北
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
设DF=x, AD=2x
60°
则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
B
在Rt△ABF中，
tan ABF AF tan 30 3x
C
在Rt△BPC中，∠B＝34°
sin B PC
34°
PB
PB PC 72.8 72.8 130.23海里
sin B sin 34 0.559
B
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方
向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
与方位角坡角有关的解直角三角形应用
6
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根