三角形的中线与角平分线

一．选择题（共10小题）1．（2016秋•阿荣旗期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．2．（2016秋•大安市校级期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线（）A．△ABE B．△ADF C．△ABC D．△ABC，△ADF【分析】根据三角形的角平分线的定义得出．【解答】解：∵∠2=∠3，∴AE是△ADF的角平分线；∵∠1=∠2=∠3=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE是△ABC的角平分线．故选D．【点评】三角形的角平分线是指三角形一个内角的平分线与对边交点连接的线段．3．（2016春•蓝田县期中）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC=6，DE=2，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6，再根据BD=BE﹣DE即可求解．【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6，∴BE=EC=6，∵DE=2，∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4．故选D．【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，准确识图并熟记中线的定义是解题的关键．4．（2017•泰州）三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．【点评】本题考查了三角形重心的定义．掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．5．（2017•诸暨市模拟）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的（）A．中心B．重心C．外心D．内心【分析】观察图发现，点P是三角形的三条中线的交点．结合选项，得出正确答案．【解答】解：A、等边三角形才有中心，故错误；B、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故正确；C、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故错误；D、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故错误．故选B．【点评】本题考查三角形的重心、外心、内心的概念，牢记并能熟练运用．6．（2017春•吉安县期末）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边高的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．【解答】解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选D．【点评】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．7．（2015秋•河东区期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定【分析】根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．【点评】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．8．（2015秋•芦溪县期末）如果所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据角平分线的定义进行判断即可．【解答】解：AD不一定平分∠BAF，①错误；AF不一定平分∠DAC，②错误；∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，③正确；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC，④正确；故选：B．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念和性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．9．（2015秋•莆田校级月考）如图，BD=DE=EF=FC，那么（）是△ABE的中线．A．AD B．AE C．AF D．以上都是【分析】根据三角形中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得答案．【解答】解：∵BD=DE，∴AD是△ABE的中线，故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形中线定义．10．（2014秋•株洲县期末）一个三角形的三条角平分线的交点在（）A．三角形内B．三角形外C．三角形的某边上 D．以上三种情形都有可能【分析】根据三角形角平分线的定义，可作出三角形的三条角平分线，并且都在三角形的内部，则交点一定在三角形的内部．【解答】解：可画出三角形的三条角平分线，都在三角形的内部，则三角形的三条角平分线的交点在三角形内，故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的角平分线、中线的交点一定在三角形的内部，而高的交点不一定在三角形的内部．二．填空题（共3小题）11．（2017春•宝安区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=50°．【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1=30°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．故答案为50°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD=10°是正确解答本题的关键．12．（2016秋•大冶市期末）如图，已知△ABC的周长为27cm，AC=9cm，BC边上中线AD=6cm，△ABD周长为19cm，AB=8cm．【分析】设AB=xcm，BD=ycm，由三角形中线的定义得到BC=2BD=2ycm，再根据△ABC的周长为27cm，△ABD周长为19cm列出关于x、y方程组，解方程组即可．【解答】解：设AB=xcm，BD=ycm，∵AD是BC边的中线，∴BC=2BD=2ycm．由题意得，解得，所以AB=8cm．故答案为8cm．【点评】本题考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由三角形的中线的定义得到BC=2BD=2ycm，再根据三角形周长的定义列出方程组，题目难度中等．13．（2012春•永泰县期中）能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是三角形的中线（填“角平分线”、“中线”或“高”）【分析】把一个任意三角形分成面积相等的两部分就是把一个任意三角形分成两个等底同高的三角形，那么只有三角形的中线．【解答】解：能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是三角形的中线．【点评】等底同高的两个三角形面积相等．三．解答题（共7小题）14．（2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．【分析】先根据△ABD周长为15cm，AB=6cm，AD=5cm，由周长的定义可求BD 的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC 长．【解答】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．【点评】考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到BC的长，题目难度中等．15．（2014春•榆树市期末）如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．【分析】（1）根据三角形的高和角平分线的性质，可求∠DAE的度数；（2）三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【解答】解：（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．【点评】考查了三角形的高和角平分线的概念和性质，能够正确找出三角形一边上的高．第（2）题难度较大．16．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．【分析】运用中线定义求DC，而CD=BD，BD=2DE．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．【点评】考查了中线的概念．能够根据中线的概念用几何式子表示相关线段的长．17．在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC 的面积．【分析】首先根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，判断出BO=2OE，进而求出S△DOE 、S△BDE的大小；然后根据点D是BC的中点，判断出S△CDE =S△BDE，进而求出S△BCE的大小；最后根据点E是AC的中点，判断出S△ABE=S△BCE ，进而求出S△ABC的大小即可．【解答】解：如图，连接DE，，∵中线AD、BE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴BO=2OE，∴S△DOE =S△BOD==，∴S△BDE=5，∵点D是BC的中点，∴BD=DC，∴S△CDE =S△BDE，∴S△BCE=，∵点E是AC的中点，∴AE=CE，∴S△ABE =S△BCE，∴S△ABC=15×2=30，即△ABC的面积是30．【点评】（1）此题主要考查了三角形的重心的判断和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．（2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个三角形的高一定时，它们面积的比等于它们底边的长度的比．18．如图，已知在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，求BC的长．【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE=2，AF=3，∴AB=2AF=2×3=6，AC=2AE=2×2=4，∵△ABC的周长为15，∴BC=15﹣6﹣4=5．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键．19．已知AD 、AE 分别是△ABC 的中线和高，△ABD 的周长比△ACD 大3cm ，且AB=7cm ．（1）求AC 的长；（2）求△ABD 与△ACD 的面积关系．【分析】（1）首先根据中线定义可得BD=CD ，再根据周长差可得AB ﹣AC=3cm ，再代入AB 的长可得答案；（2）利用三角形面积公式表示出△ABD 与△ACD 的面积，再根据BD=CD 可得答案．【解答】解：（1）∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，∵△ABD 的周长比△ACD 大3cm ，∴AB +BD +AD ﹣（AD +AC +DC ）=3cm ，AB ﹣AC=3cm ，∵AB=7cm ，∴AC=4cm ；（2）△ABD 与△ACD 的面积相等；∵S △ADB =DB•AE ，S △ADC =DC•AE ，∴S △ADB =S △ADC ．【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．20．（2016春•淮安期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．【分析】由CD⊥AB与∠B=60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A=20°，∠B=60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠B=60°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°；∵∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=100°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ACB=50°，∴∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°=70°，∠ECD=90°﹣70°=20°【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．。