第五章方差分析

1 X i。 ki
X
i 1
ki
ij
1 r ki X 。。 X ij n i 1 j 1
SST X ij X 。 。
r k i 1 j 1
2
SST X ij X .. X ij X i. X i. X ..
我们希望通过所给的试验结果来比较三种饲料在养鸡 增肥的效果上是否存在显著差异？那种饲料更好？
第五章 方差分析
第一节 方差分析原理
第四章介绍了检验两个总体平均值是否相等的方法， 但在实际工作中有时会遇到要同时检验几个总体平均 值是否相等的问题。当然，可以采用前面介绍的方法 进行两两检验，但这样太费事了，而方差分析法提供 了一种同时检验几个总体平均值是否相等的方法。
一、无交互作用的单个观察值的两因素方差分析
（2）方差分析
二、有交互作用的两因素方差分析 交互作用是指两个影响因素对观测变量的影响 不是独立影响，而是两个因素间会形成一个新的不 同于两个因素单独影响的一个影响效应，称为两因 素的交互作用。例如，药物甲对某种疾病有疗效， 药物乙对某种疾病也有疗效，但如果将二者放在一 起，就可能没有疗效甚至起到相反作用，这种影响 就称为交互影响。
平均数-18
（二）划线法
（三）标记字母法
处理 D B
苗高平均数 （cm) 29 23 a b
差异显著性
5%
A AB
1%
A
C
18
14
c
c
BC
C
方差分析的基本步骤
（1）将资料总变异的自由度和平方和分解为各变异原因的 自由度和平方和，并进而算得其均方；
（2）计算均方差，作出F测验，以证明了各变异因素的重要 程度； （3）对各平均数进行多重比较。
设施N肥为因素A，施K肥为因素B。计算结果如下表：
变异来源
DF
SS
0.0556
0.3056 0.0503 0.1833 0.5928
MS
0.0556
0.1528 0.0252 0.0153
F
3.64
1.64
F0.01
4.75
3.89
施N肥（A） 1
施K肥（B） 2 交互效应 (A×B) 误差 总变异 2 12 17
r ki 2 r ki i 1 j 1 i 1 j 1
2
X
r ki i 1 j 1
ki
ij
X X
2 r ki i. i 1 j 1
r
i.
X .. 2 X ij X i. X i. X ..
2 r ki i 1 j 1
10.01** 6.93
r ki 2 r ki 2 r ki i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
2
SS A X i。 X 。 。
r ki i 1 j 1
r ki
2
SSE X ij X i。
i 1 j 1
2
将要研究的特征指标称为因变量，因变量必须 是定量变量。 将影响因变量的条件称为因素（factor），因 素的不同状态称为水平（level）。
ki
X
r i 1 j 1
ij
X i. X i. X .. X i. X .. X ij X i. 0
i 1 j 1
SST X ij X .. X ij X i. X i. X ..
例如：研究三种饲料配方在养鸡增肥上的效果。采 取三种饲料配方各喂养10只母雏鸡，于60天后观察 它们的重量，如下表所示：
饲料种类 A B C 鸡 重
1073 1058 1071 1037 1066 1026 1053 1049 1065 1051 1016 1058 1038 1042 4020 1045 1044 1061 1034 1049 1084 1069 1106 1078 1075 1090 1079 1094 1111 1092
2
3
2.97
3.12
4.07
4.27
0.95
1.00
1.30
1.37
例，研究杨树一年的生长量与施用氮肥、钾肥的关系， 共进行了18个样本的栽培试验，测得一年生长量结果如下表。
解：提出假设，（1）原假设：N肥水平间无显著 差异；备择假设：N肥水平间有显著差异；（2） 原假设：K肥水平间无显著差异，备择假设：K肥 水平间有显著差异；（3）原假设：不同N肥水平 间×不同K肥无显著差异；备择假设：不同N肥水 平间×不同K肥有显著差异。
二、组内观察值数目不等的单因素方差分析
例，某疾病测报站，调查四种不同类型的小区28 个，每个小区的病人的密度如下表，试问不同类型小 区的得病率有否显著差异？
三、组内又分亚组的单因素方差分析
第四节
双因素方差分析
在双因素方差分析中，观测变量值的变动与单 因素方差分析相比，重要的区别在于：一是控制变 量由一个增加为两个；二是需考虑两因素间是否存 在交互作用。
r
2
2 T..
T xij i. i 1 j 1 i 1 ni MS E nr
Ti. xij
j 1
k
i 1,2,, r
T.. Ti. xij
i 1 i 1 j 1
r
r
k
第二节
多重比较
一、最小显著差数法（D法)
药剂 A B 18 20
（2）测验
（3）平均数的比较
① 各处理组合平均数的比较：肥类×土类的互作显 著，说明各处理组合的效应不是各单因素效应的简单 相加 而是肥类效应随土类而不同（或反之）；所以 宜进一步比较各处理组合的平均数。在此用新复极差 测验，求得：
P
SSR0.05
SSR0.01
LSR0.05
LSR0.01
第三节 单因素方差分析 一、组间观察值数目相等的单因素方差分析
P
SSR 0.05
SSR 0.01
LSR 0.05
LSR 0.01
2
3 4 5
3.01
3.16 3.25 3.31
4.17
4.37 4.50 4.58
3.90
4.10 4.22 4.29
5.41
5.67 5.84 5.94
可知:A与D有显著差异,且使用A、B、C与E均有极显 著差异；A与B、B与C、C和D处理间均无显著差异。
如果影响因变量的因素只有一个，称为单因素 方差分析；
如果影响因变量的因素有两个，称为双因素方 差分析；如果影响因变量的因素为多个，称为多因 素方差分析。
SST
x
r k i 1 j 1 ij
r k
2

T..2 n
MS A
n 1
2 r 2
Ti . n n i 1 i r 1
苗高观测值 21 20 24 26
13 22
总和 72 92
平均 18 23
C
D
10
28
15
27
17
29
14
32
56
116
14
29
四、多重比较Байду номын сангаас果的表示方法 （一）列梯形表法
处理 D B A C
平均数 平均数-14 29 23 18 14 15** 9** 4
差 11** 5*
异 平均数-23 6*