最新人教版八年级下册数学导学案 《18.2.2 第2课时 菱形的判定》

第十八章 平行四边形

18.2.2 菱 形

第2课时 菱形的判定

学习目标：1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理；

2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.

重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. 难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.

一、知识回顾

1.菱形的定义是什么？性质有哪些？

2.根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？ 有一组邻边_____的______________是菱形.

数学语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD ， ∴四边形ABCD 是菱形.

一、要点探究

探究点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

想一想 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？

猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.

证一证 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形.

证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形. ∴OA____OC. 又∵AC ⊥BD,

∴BD 是线段AC 的垂直平分线. ∴BA______BC.

∴四边形ABCD 是________. 要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________

是菱形.

几何语言描述：∵在□ABCD 中，AC ⊥BD,

∴ □ABCD 是菱形.

典例精析

课堂探究

自主学习

教学备注

学生在课前完成自主学习部分

配套PPT 讲授

1.情景引入 （见幻灯片3-4）

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片5-10）

例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．

针对训练

在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则

这个条件可以是（）

A．∠ABC=90°

B．AC⊥BD

C．AB=CD

D．AB∥CD

探究点2：四条边相等的四边形是菱形

活动1已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱

形的一条对角线吗？

小刚：分别以A、C为圆心,以大于1

2

AC的长为半径作弧,两条弧

分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.

想一想根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？

猜想：四条边__________的四边形是菱形.

证一证已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.

求证：四边形ABCD是菱形.

证明：∵AB=BC=CD=AD;

∴AB=CD , BC=AD.

∴四边形ABCD是___________.

又∵AB=BC,

∴四边形ABCD是__________.

要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.

几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，

∴四边形 ABCD是________.

典例精析

例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED.

求证：四边形CDEF是菱形.

例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，

得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．

教学备注

配套PPT讲授

3.探究点2新知

讲授

（见幻灯片

11-20）

方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四

边形是菱形比较方便．

例4如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.

针对训练

1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？

2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？

3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么

四边形？

教学备注

3.探究点2新

知讲授

（见幻灯片

11-20）

4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平

行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？

探究点3：菱形的性质与判定的综合运用

典例精析

例4 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得

EF＝BE，连接CF.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相

等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出

这个四边形是平行四边形．

针对训练

如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.

教学备注

4.探究点3新

知讲授

（见幻灯片

21-23）