材料力学课件第5章

M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
FN1
FN2
'=
A*
FN1
A* x1dA
M y1 dA I A*
z
M
Iz
b2h23 ) 6
2
b2 b1
23
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
y z
z
y dA
d
Wz
Iz d
d 4
64
2 d
d 3
32
2
y
Wz
Iz D
D4 (1 4 )
64
2 D
2
z
D3 (1 4 )
32
D d
24
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
M Iz
y
适用条件:
y
dA
z
y
1.平面弯曲； 2.纯弯曲；
3. p , Et = Ec；
4.等截面直梁；
5.截面形状任意.
18
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
一.横力弯曲
M — —
FQ — — 横截面翘曲 当FQ=C¸各横截面翘曲相同
结论
FQ
x
用公式 M y
IZ
二.变形协调方程-几何方程 1.实验观察
6
5.1 纯弯曲及其变形
变弯 偏转
横向线—偏转—夹角d
缩短 < 0
纵向线—弯曲 中性层 = 0
伸长 > 0
7
5.1 纯弯曲及其变形
中性层曲率—1/
中性轴—中性层与
横截面的交线(z轴)
y
y轴—纵向对称轴
纵向 对称
面
z 中性轴
中性层 8
5.1 纯弯曲及其变形
h2b23 12
16
h2
h1
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
2.圆形
z
由定义知：
y o z
y dA
d
z
IP
2 d A
A
(y2 z2)d A
A
Iz Iy
Iz
Iy
IP 2
d 4
64
D d
y
Iz
Iy
D 4
64
d 4
64
D4 (1 4 )
64
d
D
17
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
MM z
例3 可动载荷F作用于18号I钢梁，[]= 160
MPa, a,b多长时梁的强度最好？并确定许可载荷。
F
A
B
a
12m
b
M
M Fa
Fb
F（ 12 a b）
M
4
解: •画弯矩图
c No.18
z当Fa=Fb=F（ 12
4
a
b）时
Mmax最合理 得 a=b=2m
x
Mmax= 2F
x
•用 max
M max Wz
结 论 z轴（中性轴）过横截面形心。
13
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Ey
MM
yz
y
FN
dA0
A
将 E y 代入（b)
E
E
z
M y
z ydA
A
yz d A 0
A
令
Iyz
yz d A
A
dA I yz为A对y,z 轴的惯性积
显然若y,z 轴中有一个为 (a) 对称轴则 Iyz = 0
2.推理假设
z 中性轴
1）平面假设---变形前为平 面的横截面变形后仍为平 面,且垂直于变形后的轴线
γ=0 得 =0
2）纵向纤维互不挤压(纵向纤维间无)
结论
等截面直梁在纯弯时,横截面上只
产生正应力.
9
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
一.变形几何关系（应变-位移）
M m
o b m
F
m
o b
ma
求（1)实，空（2)(空- 实)/实
q
d2 D2
A l
Mq
ql 2
8
B
D1 2 8
2 103 22 8
1kN m
x 2.应力计算
实心圆截面
实max
M max Wz
32 M max
D3
159
MPa
33
q
d2 D2
A l
B
D1
空心圆截面
A空
A实 ,且
d2 D2
,
即
π 4
[D22
(3 5
D2 )2 ]
π 4
D12
得D2
5 4
D1
50 mm
空max
M max Wz
32 M max
D3(1 4 )
93.6
MPa
（ 实max 空max）/ 实max 100 % 41.2 %
空心圆截面梁更合理
34
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
一.矩形截面
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
例2 已知[t]=30MPa, [c]=160MPa, Iz=763cm4 ,
y1=52mm. 试校核梁的强度.
F1=9kN
F2=4kN
80
y2
y2 120 20
A FAy 1m
C 1m
M 2.5kN.m
B
D
FBy 1m
4kN.m
C
B
z
y
解:1. 求内力（画M 图）
M y
z d A 0
A
(b)
结论
M z
y d A M
A
(c)
My
z d A 0 自然满足。
A
14
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
M
M
将
E
y代入（c)
z
M z
y E yd A E
A
y2 d A M
A
y
Ey
M
dA
z y
令 Iz
y2 d A
A
Iz 为A 对z 轴的惯性矩
C d
M
n
o b n
x
F
y n
dx
dx
y
o b
an
(d x) bb bb bb oo
dx
bb
oo
( y)d d y
d
y
结 论 纵向纤维的线应变与它
到中性轴的距离成正比,沿y轴
线性分布。
10
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
二.物理关系( )
MM z
设 p Et=Ec=E
y2=120+2052=88mm
y
B截面
4kN.m
C
B
tmax [ t ] , cmax [ c ]
tmax
MB Iz
y1
4103 52 103 763 108
27.2MPa
cmax
M B y2 Iz
46.7 MPa
C截面:
tmax
M C y2 Iz
28.8 MPa
故此梁满足强度条件 29
FQ
纯弯曲
M
m
FQ0 m
M=m=C
3
5.1 纯弯曲及其变形
F
FQ 0
横力弯曲
M C
a
FQ F
M
Fa
F
a
F
4
5.1 纯弯曲及其变形
首先研究纯弯曲时横截面上的应力问题 已知是横截面上的正应力组成了M（切应力组 成FQ），但如何分布、大小都是未知，所以求 解应力的问题属超静定问题。
5
5.1 纯弯曲及其变形
F+G1
解：•先按F+G1选截面
q
•查表 •检验