2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第五章第三节等比数列及其前n项和理

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2015届高考数学总复习第五章第三节等比数列及其前n项和精讲课件文

(2)解析：由(1)知，q＝f(m)＝
的等比数列．
，b1＝2a1＝2，
∵bn＝f(bn－1)＝
∴
是首项为
，公差为1的等差数列．
点评：等比数列的判定方法主要有： (1)定义法：等比数列． (2) 通项公式法： an ＝ cqn(c ， q 均是不为 0 的常数， n∈N*)⇔{an}是等比数列．＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是
(2)利用求和公式求出，讨论不等式得结论．
自主解答：
解析：(1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得
故数列{an}的通项公式为an＝3(－2)n－1. (2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤ －2 012，当n为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立；
∴数列{cn}为等比数列，公比为2.
变式探究
3．(2012· 西安一中期中)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，
an＋2＝，n∈N* .
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． (1)证明：b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，bn＝an＋1－an＝
(2)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝(
)
A．22－n或2n－1
C．23－n或2n＋1
B．23－n或2n－1
D．22－n或2n＋1
(2)∵a1a2a4时，q＝2，an＝2n－1；
当a1＝4，a2＝2，a3＝1时，
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1. ∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2， ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第五章+数列第3节等比数列

(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{a1n}， {a2n}，{an·bn}，{abnn}(λ≠0)仍是等比数列.
第三页，编辑于星期五：十一点五十六分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，
错误的打“×”)
(1)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列( )
第二十一页，编辑于星期五：十一点五十六分。
变式训练 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn ＋1＝4an＋2.
(1)设 bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
第二十二页，编辑于星期五：十一点五十六分。
【解】 (1)∵Sn＋1＝4an＋2， ∴S2＝4a1＋2，即 a1＋a2＝4a1＋2， ∴a2＝3a1＋2＝5， ∴b1＝a2－2a1＝3. 又 an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an＋2－(4an－1＋2)＝4an－4an－ 1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)，即 bn＝2bn－1(n≥2)，
第十九页，编辑于星期五：十一点五十六分。
(2)由(1)知 cn＝－12×12n－1＝－12n，又 cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－12n， ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1 －12n＝12n. 又 b1＝a1＝12，适合上式，故 bn＝12n.
第十四页，编辑于星期五：十一点五十六分。
【解析】 (1)法一由题意得 a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2， a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，
∴qa31＝＝1－，2，
或q3＝－12， a1＝－8.

高考数学一轮总复习第五章第3节等比数列及其前n项和课件

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{a1n}，
{a2n}，{an·bn}，{abnn}仍是等比数列．
5．等比数列的前 n 项和公式
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，
当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq. • 6．等比数列前n项和的性质 • 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__q_n.
(2)设数列{an}的公比为 q，S9－S3＝S6－S9，显然 q≠1， ∴a4qq－6－1 1＝－a4qq－3q13－1，∴q3＝－12，
∴q＝ 3 －12，又 a2＋a5＝2am，则 a2(1＋q3)＝2a2qm－2，即12＝(－1)m－3 2·(12)m－3 5，∴m＝8. • [答案] (1)C (2)8
第五章数列
第3节等比数列及其前n项和
• 1．理解等比数列的概念． • 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． • 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有
关知识解决相应的问题．
• 4．了解等比数列与指数函数的关系.
• [要点梳理]
• 1．等比数列的定义 • 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同
[解析] 设等比数列的公比为 q，由 a2＋a4＝20，a3＋a5＝ 40.
得 20q＝40，且 a1q＋a1q3＝20，解之得 q＝2，且 a1＝2. 因此 Sn＝a111－－qqn＝2n＋1－2. [答案] 2 2n＋1－2
• 考向一等比数列基本量的计算
• 例1 (1)(2013·新课标高考全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )

高考数学一轮复习第五章数列第3节等比数列及其前n项和课件

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．等比数列 x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24
B．0
C．12
D．24
【解析】由题意可知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即 x2＋4x＋3＝0，解得 x＝－3 或 x＝－1(舍去)，所以等比数列的前 3 项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 【答案】 A
二、等比数列的性质 1．对任意的正整数 m、n、p、q，若 m＋n＝p＋q＝2k，则 am·an＝ ap·a＝q a2k. 2．通项公式的推广：an＝am qn－m(m，n∈N*)． 3．公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn ；当公比为－1 时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 不一定构成等比数列．
则数列{an}的前 n 项和等于
．
【解析】 (1)显然公比 q≠1，设首项为 a1，则由 S3＋3S2＝0，得a111－－qq3＝－3×a111－－qq2，即 q3＋3q2－4＝0，即 q3－q2＋4q2－4＝q2(q－1)＋4(q2－1)＝0，即(q－1)(q2＋4q＋4)＝0，所以 q2＋4q＋4＝(q＋2)2＝0，解得 q＝－2.
[规律总结] 1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
[变式训练]
1．在等比数列{an}中，若 a2＋a3＝2，a12＋a13＝3，则 a22＋a23 的值是( )

高考数学一轮复习配套讲义：第5篇第3讲等比数列及其前n项和

第3讲等比数列及其前n项和[最新考纲]1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：a na n－1＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；若等比数列{a n }的第m 项为a m ，公比是q ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m q n －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q. 3．等比数列及前n 项和的性质(1)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．辨析感悟1．对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×) (3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq ，a ，aq .(√) 2．通项公式与前n 项和的关系(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.(×)(5)(·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n＝3－2a n.(√)3．等比数列性质的活用(6)如果数列{a n}为等比数列，则数列{ln a n}是等差数列．(×)(7)(·兰州模拟改编)在等比数列{a n}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝25.(√)(8)(·江西卷改编)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于－2或0.(×)[感悟·提升]1．一个区别等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．2．两个防范一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当a n＋1a n＝q＜0时，ln a n＋1－ln a n＝ln q无意义.学生用书第85页考点一等比数列的判定与证明【例1】(·济宁测试)设数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n＝2a n－3n，设b n＝a n＋3.求证：数列{b n}是等比数列，并求a n.证明由S n＝2a n－3n对于任意的正整数都成立，得S n＋1＝2a n＋1－3(n＋1)，两式相减，得S n＋1－S n＝2a n＋1－3(n＋1)－2a n＋3n，所以a n＋1＝2a n＋1－2a n－3，即a n＋1＝2a n＋3，所以a n＋1＋3＝2(a n＋3)，即b n＋1b n＝a n＋1＋3a n＋3＝2对一切正整数都成立，所以数列{b n}是等比数列．由已知得：S 1＝2a 1－3，即a 1＝2a 1－3，所以a 1＝3，所以b 1＝a 1＋3＝6，即b n ＝6·2n －1. 故a n ＝6·2n －1－3＝3·2n －3.规律方法证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】 (·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． ∴假设不成立，∴{a n ＋1}不是等比数列．考点二等比数列基本量的求解【例2】 (·湖北卷)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．审题路线 (1)建立关于a 1与q 的方程组可求解．(2)分两种情况，由a n ⇒1a n ⇒再用等比数列求和求∑n ＝1m 1a n⇒得到结论．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎨⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎨⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m 1a n ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *)，故∑n ＝1m 1a n<1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m 1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥1成立．规律方法等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．【训练2】 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析 (1)显然公比q ≠1，由题意可知9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和T 5＝3116.(2)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎨⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.答案 (1)3116 (2)314考点三等比数列性质的应用【例3】 (1)(·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )．A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. 答案 (1)D (2)－12规律方法熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．【训练3】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为 ( )． A ．－3 B ．±3 C ．－3 3D ．±3 3(2)(·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )．A ．4B ．6C ．8D ．8－4 2解析(1)由等比中项知y2＝3，∴y＝±3，又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－3，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－3 3.(2)由等比数列性质，得a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案(1)C(2)C1．等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：a n＋1a n＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式：a n＝cq n－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．(3)等比中项法：a2n＋1＝a n·a n＋2(a n·a n＋1·a n＋2≠0，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，a n，S n五个量中，知三求二．3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．教你审题6——如何确定数列中的项【典例】(·山东卷)在等差数列{a n}(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*列{b m}的前m项和S m.[审题]一审条件❶：根据性质转化为先求a4，再结合a9求a1和d.二审条件❷：转化为求{b m}的通项公式，尽而再求S m.三审结构：由9m ＜a n ＜92m 得9m －1＋1≤n ≤92m －1.解 (1)由a 3＋a 4＋a 5＝84，可得3a 4＝84，即a 4＝28，而a 9＝73，则5d ＝a 9－a 4＝45，即d ＝9.又a 1＝a 4－3d ＝28－27＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×9＝9n －8，即a n ＝9n －8(n ∈N *)．(2)对任意m ∈N *,9m ＜9n －8＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8，即9m －1＋89＜n ＜92m －1＋89，而n ∈N *，所以9m －1＋1≤n ≤92m －1. 由题意，可知b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝91＋93＋…＋92m －1－(90＋91＋…＋9m －1)＝9－92m ＋11－92－1－9m 1－9＝92m ＋1－980－9m －18＝92m ＋1－10×9m ＋180，即S m ＝92m ＋1－10×9m ＋180.[反思感悟] 本题第(2)问设置了落入区间内的项构成新数列，这是对考生数学能力的挑战，由通项公式及已知区间建立不等式求项数，进而得到所求数列{b m }的通项公式是解答该问题的核心与关键．【自主体验】(·许昌模拟)已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }前2 013项中的第3项，第6项，…，第3k 项删去，求数列{a n }前2 013项中剩余项的和．解 (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x ，得a ＝2. ∴S n ＝f (n )－1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，经验证可知n ＝1时，也适合上式，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知数列{a n }为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2 013项也为等比数列，首项a 3＝23－1＝4，公比23＝8，a 2 013＝22 102＝4×8671－1为其第671项，∴此数列的和为4(1－8671)1－8＝4(22 013－1)7，又数列{a n }的前2 013项和为S 2 103＝1×(1－22 013)1－2＝22 013－1，∴所求剩余项的和为(22 013－1)－4(22 013－1)7＝3(22 013－1)7.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·六安二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2，n ∈N *，则 ( )．A ．{a n }是递增的等比数列B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列C ．{a n }是递减的等比数列D ．{a n }不是等比数列，也不单调解析 ∵S n ＝3n －2，∴S n －1＝3n －1－2，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －2－(3n －1－2)＝2×3n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1不适合上式，但a 1＜a 2＜a 3＜…. 答案 B2．(·广州模拟)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n .若S 3＝72，则S 6等于( )． A.312 B.632 C ．63D.1272解析 S 3＝a 1(1－23)1－2＝7a 1＝72，所以a 1＝12.所以S 6＝a 1(1－26)1－2＝63a 1＝632.答案 B3．(·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A.13 B ．－13 C.19D ．－19解析由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19. 答案 C4．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为 ( )． A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12解析根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21.得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12. 答案 C5．(·浙江十校联考)若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m ∶n 值为 ( )．A.14B.12 C ．2D ．4解析设方程x 2－5x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，方程x 2－10x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝m ，⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝10，x 3·x 4＝n ，由题意知x 1＝1，x 2＝4，x 3＝2，x 4＝8，∴m ＝4，n ＝16，∴m ∶n ＝14. 答案 A 二、填空题6．(·江西九校联考)实数项等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．解析首先q ≠1，因为若q ＝1，则S 10S 5＝2，当q ≠1时，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1－q 101－q 5＝(1－q 5)(1＋q 5)1－q 5＝3132，q 5＝－132，q ＝－12. 答案－127．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________. 解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240. 答案 2408．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2.答案－2 三、解答题9．在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n .(1)证明令b n ＝a n ＋1－a n ＋3，则b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n ，即b n ＋1＝2b n .由已知得a 2＝－3，于是b 1＝a 2－a 1＋3＝1≠0.所以数列{a n ＋1－a n ＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)可知b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1，即2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1， ∴a n ＝2n －1－3n ＋1(n ∈N *)，于是S n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)－3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝1－2n 1－2－3×n (n ＋1)2＋n＝2n－3n 2＋n 2－1.10．(·济南期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，a 3＋a 4＝17. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2，证明数列{b n }是等比数列并求其前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题意知⎩⎨⎧a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝17，a 2＝a 1＋d ＝4，解得a 1＝1，d ＝3， ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)证明：由题意知，b n ＝2a n ＋2＝23n (n ∈N *)， b n －1＝23(n －1)＝23n －3(n ∈N *，n ≥2)，∴b n b n －1＝23n 23n －3＝23＝8(n ∈N *，n ≥2)，又b 1＝8， ∴{b n }是以b 1＝8，公比为8的等比数列， T n ＝8(1－8n )1－8＝87(8n －1)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(·兰州模拟)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )． A ．－15 B ．－5 C ．5D.15解析由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1an ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5. 答案 B2．(·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值是( )．A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析由题意知a 4·a 14＝(22)2＝a 29，即a 9＝2 2.设公比为q (q ＞0)，所以2a 7＋a 11＝2a 9q 2＋a 9q 2＝42q 2＋22q 2≥ 242q 2×22q 2＝8，当且仅当42q2＝22q 2，即q ＝42时取等号，其最小值为8. 答案 B 二、填空题3．(·江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析由已知条件得12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)， a n ＝a 5qn －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5>，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，所以n 的最大值为12. 答案 12 三、解答题4．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤S n－1S n≤56.所以数列{T n}最大项的值为56，最小项的值为－712.。

高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和课件理

4．[ 2015·全国卷Ⅰ] 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an， Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝____6____.
解析 ∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．又∵Sn＝126，∴211－－22n＝126，∴n＝6.
2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an ＝ a1qn－1 .
3．等比中项如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等
比中项，即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列 ⇒ G2＝ab .
考点 2 等比数列的前 n 项和公式等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
2×
1 2
2＋
3×
1 2
3
＋…＋n×12n，①
12Tn＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋n×12n＋1，②
所以12Tn＝121＋122＋123＋124＋…＋12n－n×12n＋1，
4．如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn} 也是等比数列．( × )
5．如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × )
二、小题快练
1．[课本改编] 若等比数列{an}满足 a1＋a3＝20，a2＋a4
＝40，则公比 q＝(
)
A．1 B．2 C．－2 D．4
[解] (1)证明：由题意得 a1＝S1＝1＋λa1，故 λ≠1，a1
＝1－ 1 λ，a1≠0.
由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得 an＋1＝λan＋1－λan，即 an＋1(λ－1)＝λan.由 a1≠0，λ≠0 且 λ≠1，得 an≠0，所以

高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课件理

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基础自主梳理
第五页，共39页。
「基础知识填一填」 1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一(tóngyī)(常不数为零)，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比(ɡ，ōn通ɡ b常ǐ)用字母 q 表示，定义的表达式为____aa_n＋n_1_＝__q__. (2)等比中项如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇔ G_2＝ab .
第三十三页，共39页。
【解析】 (1)由等差数列的性质，得 a6＋a8＝2a7.由 a6－a27＋a8＝0，可得 a7＝2，所以 b7＝a7＝2.由等比数列的性质得 b2b8b11＝b2b7b12＝b37＝23＝8.
(2)设数列{an}的公比为 q，由已知得SS42＝1＋aa31＋＋aa42＝5，即 1＋q2＝5，所以 q2＝4， SS84＝1＋aa15＋＋aa26＋＋aa37＋＋aa48＝1＋q4＝1＋16＝17.
1－q 11－－－－121243＝119856＝56.
答案：C
第二十四页，共39页。
等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的判定与证明
[典例导引] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0. (1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝3312，求 λ.
考纲要求
考点频命题趋势
率
1.等比数列的概念及运算
2.等比数
1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式
与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识
别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第五章数列第3节等比数列及其前n项和

2009~2013年高考真题备选题库第5章数列第3节等比数列及其前n 项和考点一等比数列的通项公式1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3 ＝ a 2 ＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n 项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.答案：C2．（2013北京，5分）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力．q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2，又a 2＋a 4＝20，故a 1q ＋a 1q 3＝20，解得a 1＝2，所以S n ＝2n ＋1－2. 答案：2 2n ＋1－23.（2013湖北，12分）已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式、不等式等基础知识和基本方法，考查方程思想、分类与整合思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋)，故∑n ＝1m1a n<1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．4．（2012辽宁，5分）已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n＝2n .答案：2n5．（2010福建，4分）在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：∵在等比数列{a n }中，前3项之和等于21， ∴a 1(1－43)1－4＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1.答案：4n －16．(2011新课标全国，12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)． 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1. 考点二等比数列的前n 项和1．（2013辽宁，5分）已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，由数列是递增数列得，a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2，代入等比数列的求和公式得S 6＝63.答案：632．（2013湖北，13分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n 项和公式，也考查了分类讨论思想．(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 3．（2013陕西，12分）设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解：本题考查等比数列前n 项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法．(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．4．（2010广东，5分）已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．（2010安徽，5分）设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )解析：根据等比数列的性质：若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列，故(Y －X )2＝X (Z －Y )，整理得Y (Y －X )＝X (Z －X )，故选D. 答案：D6．（2010辽宁，5分）设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152 B.314 C.334D.172解析：显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.答案：B7．（2010天津，5分）已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：由题意可知9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝2，数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.答案：C8．(2009·辽宁，5分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．3解析：由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是，由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 答案：B考点三等比数列的性质及应用1．（2013江西，5分）等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：选A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况．由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第四项为(6x ＋6)×q ＝－24. 2．（2013江苏，5分）在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析：本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q >0)．由a 5＝12，a 6＋a 7＝3，可得12(q ＋q 2)＝3，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，所以a n ＝2n －6，数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －5－2－5，所以a 1a 2…a n ＝(a 1a n )n 2＝2n (n －11)2，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 可得2n －5－2－5>2n (n －11)2，由2n －5>2n (n －11)2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5>213不成立，所以n 的最大值为12.答案：123．（2012新课标全国，5分）已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.答案：D4．（2010北京，5分）在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11. 答案：C5．（2012浙江，4分）设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝____________.解析：∵S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3(a 4－a 2)，∴a 2(q ＋q 2)＝3a 2(q 2－1)，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32.答案：326．(2011江西，12分)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)， b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3. (1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)．即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n－1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设数列{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)，由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得 a ＝13.。

2015高考数学一轮复习精选课件：第5章第3节等比数列及其前n项和

1 an
<1.综上，对任何正整数
m，
总有
m
n 1
1 an
<1.故不存在正整数
m，使得 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ≥1
a1 a2
am
成立．
第六页，编辑于星期五：十二点十七分。
高频考点全通关——等比数列的基本运算
闯关三：总结问题类型，掌握解题策略等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略
(1)化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素 a1 和 q，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．
故 an＝53×3n－1，或 an＝－5×(－1)n－1.
第五页，编辑于星期五：十二点十七分。
高频考点全通关——等比数列的基本运算
闯关二：典题针对讲解——化基本量求通项
1
1
（2）若
an＝53×3n－1，则a1n＝35×
3
n－1，故
an
是首项为3， 5
公比为1的等比数列，从而 3
m
n1
1 an
3 5
1
1 3
m
1 1
9 10
1
1 3
m
9 10
1.
3
若
an＝(－5)×(－1)n－1，则
1 ＝－1(－ an 5
1)n－1，
1 故 an 是首项为－15，公比为－1 的等比数列，
从而
m
n1
1 an
1 , m 2k 1(k N ),
5
故
0, m 2k(k N ).
m n 1
∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于
a1≠0，故
2q2＋q＝0，又

2015年高考数学一轮总复习精品课件：第五章+数列 5.3 等比数列及其前n项和(共28张PPT)

为摆动数列 .
第五页，编辑于星期五：十一点十一分。
6
梳理自测
基础自测
1.等比数列{an}中,a4=4,则 a2·
a6 等于(
A.4
B.8
)
C.16 D.32
关闭
a2·a6=42 =16.
关闭
C
解析
解析
答案
第六页，编辑于星期五：十一点十一分。
7
梳理自测
2.已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是(
当 q=-1 时,代入①式得 a1=2,通项公式 an=2×(-1)n-1;当 q=-2 时,代入①
1
1
式得 a1= ,通项公式 an= ×(-2)n-1.
2
2
答案
答案
考点一
考点二
考点三
第十页，编辑于星期五：十一点十一分。
探究突破
方法提炼
等比数列的基本量是首项 a1 和公比 q,建立含有它们的方程组可确定
数列.
考点一
考点二
考点三
第十五页，编辑于星期五：十一点十一分。
探究突破
举一反三 2 在数列{an}中,a1=0,且对任意 k∈N*,a2k-1,a2k,a2k+1 成等差数
列,其公差为 dk.若 dk=2k,证明 a2k,a2k+1,a2k+2 成等比数列(k∈N*).
关闭
由题设知 a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*.
q>1.又 a1>0,所以数列{an}是递增数列;反之,若数列{an}是递增数列,且 a1>0,
关闭
则公比 q>1,所以 a1<a1q,即 a1<a2,所以 a1<a2 是数列{an}是递增数列的充要

2015年高考数学新一轮总复习考点突破课件：5.3等比数列及其前n项和

第三十一页，编辑于星期五：十一点四十三分。
(2)由(1)得 Sn＝1－－12n
1＋21n，＝
1－21n，
n为奇数， n为偶数.
当 n 为奇数时，Sn 随 n 的增大而减小，所以 1＜Sn≤S1＝32，故 0
＜Sn－S1n≤S1－S11＝32－23＝56.
第三十二页，编辑于星期五：十一点四十三分。
解得：a1＝12， d＝12，
∴an＝n2.
第二十三页，编辑于星期五：十一点四十三分。
(2)∵bn＝14n2＝12n， ∴bbn＋n 1＝12为常数． ∴{bn}是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴Tn＝1211－－1212n＝1－12n.
第二十四页，编辑于星期五：十一点四十三分。
• 题型三等比数列性质的应用
• (1)(2014·石家庄高三模拟)已知等比数列{an} 中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为
•( )
• A．4
B．6
• C．8
D．－9
• (2)(2014·昆明高三调研)各项均为正数的等
比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，
则S4n等于
第二十五页，编辑于星期五：十一点四十三分。
第十三页，编辑于星期五：十一点四十三分。
• 1．等比数列的特征
• 从等比数列的定义看，等比数列的非任零意项
都是非的零，公比q也是常数．
• 2．等比数列中的函数观点
• 利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指
数函数讨首项论单调性时，要特别注意比的大小．
和公
4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m ，(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an . (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a1n， {an2}，{an·bn}，abnn仍是等比数列． (4)公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n －Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn .

2015高考数学一轮复习配套课件：5-3等比数列及其前n项和

金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学理
抓住2个必备考点突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
第五章数列
第五章第3讲
第1页
第一页，编辑于星期五：十二点二十七分。
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[解析] (1)由题意知 q＝aa32＋＋aa54＝4200＝2. 由 a2＋a4＝a1q(1＋q2)＝20， ∴a1＝2.∴Sn＝211－－22n＝2n＋1－2.
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第五章第3讲
第19页
第十九页，编辑于星期五：十二点二十七分。
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第五章第3讲
第24页
第二十四页，编辑于星期五：十二点二十七分。
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解析：由已知 S4－S2＝3a4－3a2，即 a4＋a3＝3a4－3a2，即
2a4－a3－3a2＝0，两边同除以 a2 得，2q2－q－3＝0，即 q＝32或 q
na1，q＝1，及前 n 项和公式 Sn＝a111－－qqn，q≠1
中共有五个变量，已知
其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，
在求公比 q 时，要注意应用 q≠0 验证求得的结果．
第五章第3讲
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第二十一页，编辑于星期五：十二点二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学理

2015高考数学一轮复习课件：5.3 等比数列及其前n项和

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点评：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用．尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
(1)数列{Snn}是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
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解析：(1)证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋n 2Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴nS＋n＋11＝2Snn. 故数列{Snn}是等比数列．
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2．在正项等比数列{an}中，a1 和 a19 为方程 x2－10x＋16 ＝0 的两根，则 a8·a10·a12＝( )
A．32 B．64 C．±64 D．256
解析：由等比数列的性质知：a1·a19＝16＝a8·a12＝a210，∴ a10＝4，则 a8·a10·a12＝a310＝64，故选 B.
题型三等比数列的性质及应用
例 3.(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，
a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝( )
A．5 2
B．7
C．6
D．4 2
(2)已知数列{an}是等比数列，且 Sm＝10，S2m＝30，则 S3m ＝__________(m∈N*)．
(3)在等比数列{an}中，公比 q＝2，前 99 项的和 S99＝56，则 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝__________.
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2015高考数学一轮总复习课件：5.3等比数列及其前n项和

(2)等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝a1·qn
－1．
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基础知识梳理
梳理一等比数列的概念
基础知识系统化
(3)等比中项若 a，G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项
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例题精编
(2014· 长安模拟 ) 已知数 28
列{an}中，a1＝3，a2＝9.当 n≥2 时，3an ＋1＝4an－an－1(n∈N*)．
(1)证明：{an＋1－an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项．
审题视点典例精讲类题通法变式训练
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(2)若{an}为等比数列，
C．127 D．128
且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an．
2．(课本精选题)在等比数列{an}中， (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，
an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
则 a3＋a5 的值为___5_____．
(1)(2013·高考全国新课标卷)等比数列{an}
的前 n 项和为 Sn，已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，
则 a1＝( )
A.13
B．－31
C.19
D．－91
(2)(2014·荆州市高三质检)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列，且 a2＋a5＝2am，则 m＝________．
28 (1)证明：数列{an}中 a1＝3，a2＝9，当 n≥2 时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N*)． ∴当 n≥2 时，3an＋1－3an＝an－an－1，