新高考版高考数学专题复习 §6.1 数列的概念及其表示

专题六数列【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、数列的概念及其表示1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.从近几年高考情况来看,数列问题每年都考查,难度中等.考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题,近两年结合概率、统计、函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,题型新颖、方法灵活多变.1.解决等差(比)数列的基本问题时,要灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式,利用基本量法求解.2.数列的通项与求和是高考常考内容,其中求通项是求和的基础.3.重视方程、函数、分类讨论思想的应用.(1)方程思想:等差(比)数列中,由五个量a1,d(q),n,a n,S n中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,善于应用性质,减少计算量.(2)函数思想:在等差数列中,当d≠0时,a n与自变量n为一次函数关系.S n与n的关系:当d=0时,S n=na1为一次函数;当d≠0时,S n=d2n2+(a1-d2)n为二次函数.在等比数列中,通项公式a n=a1q n-1可化为a n=a1q·q n,这是指数型函数.(3)分类讨论思想:当q=1时,{a n}的前n项和S n=na1;当q≠1时,{a n}的前n项和S n=a1(1-q n)1-q=a1-a n q1-q.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是易错点.二、等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.三、等比数列1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.四、数列求和及综合应用1.掌握数列求和的几种常见方法.2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.【真题探秘】§6.1数列的概念及其表示基础篇固本夯基【基础集训】考点 数列的概念及其表示1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( ) A.n2n+1B.n 2n -1 C.n 2n -3D.n2n+3答案 B2.已知数列{a n }满足:∀m,n ∈N *,都有a n ·a m =a n+m ,且a 1=12,那么a 5=( ) A.132B.116C.14D.12答案 A3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =(n+1)a n2,则a 2 017=( )A.2 016B.2 017C.4 032D.4 034 答案 B4.在数列{a n }中,a 1=-14,a n =1-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),则a 2 018的值为( )A.-14B.5C.45D.54答案 B5.已知数列{a n }满足a n+1=a n -a n-1(n ≥2),a 1=m,a 2=n,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 017的值为( ) A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n 答案 C综合篇知能转换【综合集训】考法一 利用S n 与a n 的关系求通项公式1.(2018山东省实验中学期中,5)若数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a n =3n-2,那么这个数列的通项公式为( ) A.a n =2×3n-1B.a n =3×(12)n -1C.a n =3n-2D.a n ={1,n =12×3n -1,n ≥2答案 D2.已知数列{a n }中,a 1=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,且当n ≥2时,有2a na n S n -S n 2=1成立,则S 2 017= .答案11 009考法二 由递推关系求数列的通项公式3.(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n -2n,则a 17=( ) A.-15×216 B.15×217C.-16×216D.16×217答案 A4.(2019广东广雅中学模拟,7)在数列{a n }中,已知a 1=2,a n+1=a n 3a n +1(n ∈N *),则a n 的通项公式为( )A.a n =24n -3B.a n =26n -5C.a n =24n+3D.a n =22n-1答案 B5.(2019河南濮阳重点高中联考,9)已知数列{a n }的首项a 1=35,且满足a n -a n-1=2n-1(n ∈N *,n ≥2),则a n n的最小值为( )A.2√34B.595C.353 D.12答案 C6.(2019山西盂县一中模拟,8)设数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,且2na n =(n-1)a n-1+(n+1)a n+1(n ≥2且n ∈N *),则a 18=( ) A.259B.269C.3D.289答案 B考法三 数列的单调性和最大(小)项7.(2019河南中原名校第三次联考,18)设数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *). (1)求a 1,a 2;(2)若b n =n(2-n)(a n -1),求{b n }的最大项,并写出取最大项的项数.解析 (1)∵数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *),∴a 1=1-a 1,a 1+a 2=2-a 2,解得a 1=12,a 2=34.(2)由数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n (n ∈N *),得n ≥2时,a 1+a 2+a 3+…+a n-1=n-1-a n-1, 相减可得a n =1-a n +a n-1,可得a n -1=12(a n-1-1)(n ≥2), ∴数列{a n -1}是等比数列,公比为12,首项为-12. ∴a n -1=-(12)n (n ∈N *),∴b n =n(2-n)(a n -1)=n(n-2)×(12)n . b n+1-b n =(n+1)(n-1)×(12)n+1-n(n-2)×(12)n =-(n 2-4n+1)2n+1,令b n+1-b n >0,解得2-√3<n<2+√3.∴b 1<b 2<b 3<b 4>b 5>b 6>…>b n .∴b 4是最大项,b 4=12.【五年高考】考点 数列的概念及其表示1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 答案 -632.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案 -1n3.(2019上海,8,5分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n +a n =2,则S 5= . 答案31164.(2016浙江,13,6分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 答案 1;121教师专用题组考点 数列的概念及其表示1.(2013课标Ⅰ,14,5分)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 答案 (-2)n-12.(2015浙江,20,15分)已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1=a n -a n2(n ∈N *). (1)证明:1≤a n a n+1≤2(n ∈N *); (2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ,证明:12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)(n ∈N *). 证明 (1)由题意得a n+1-a n =-a n 2≤0,即a n+1≤a n ,故a n ≤12.由a n =(1-a n-1)a n-1得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n+1=a n a n -a n2=11-a n ∈[1,2],即1≤a na n+1≤2. (2)由题意得a n 2=a n -a n+1,所以a na n+1=1a n+1-1a n,S n =a 1-a n+1.① 由a na n+1=1a n+1-1a n 和1≤a na n+1≤2得1≤1a n+1-1a n≤2,所以n ≤1a n+1-1a 1≤2n,因此12(n+1)≤a n+1≤1n+2(n ∈N *).② 由①②得12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2018广东惠州模拟,7)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1,则S6a 6=( ) A.6332 B.3116 C.12364D.127128答案 A2.(2018广东广州一模,9)已知数列{a n }满足a 1=2,2a n a n+1=a n 2+1,设b n =a n -1a n +1,则数列{b n }是( )A.常数列B.摆动数列C.递增数列D.递减数列 答案 D3.(2018河南安阳二模,9)已知数列:11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,这个数列的第2 018项a 2 018等于( ) A.131B.163C.64D.6324.(2018河北保定一模,10)已知函数f(x)={(3-a)x -6,x ≤10,a x -9,x >10,若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,2]C.(2,3)D.[2411,3) 答案 C5.(2019福建龙岩一模,10)已知数列{a n }各项均为整数,共有7项,且满足|a k+1-a k |=1,k=1,2,…,6,其中a 1=1,a 7=a(a 为常数且a>0).若满足上述条件的不同数列共有15个,则a 的值为( ) A.1 B.3 C.5 D.7 答案 B6.(2019福建福州一模,10)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=(n+1)a n22a n 2+4na n +n2,则a 8=( )A.8964-2B.8932-2C.8916-2D.897-2答案 A7.(2020届浙江丽水四校联考,7)数列{a n }满足a 1=43,a n+1=a n 2-a n+1(n ∈N *),则m=1a 1+1a 2+…+1a 2 014的整数部分是( )A.1B.2C.3D.4 答案 B二、多项选择题(每题5分,共10分)8.(改编题)数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=1,a n+1=3S n (n ∈N *),则有( ) A.S n =4n-1B.{S n }为等比数列C.a n =3×4n-1D.a n ={1,n =13×4n -2,n ≥2答案 ABD9.(改编题)已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,数列{b n }满足b n =2log 2a n+1.记S n =b 1+b 2+…+b n ,若对任意n ∈N *,都有S n a n ≤S k a k成立,则正整数k 的值为( )A.5B.4C.2D.3 答案 CD三、填空题(每题5分,共10分)10.(2019届皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列{a n }满足:a n =1-1a n+1,且a 1=2,则a 2 019= .答案1211.(2019河南开封一模,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项和为T n .满足a 1=2,3S n =(n+m)a n (m ∈R),且a n b n =n,若存在n ∈N *,使得λ+T n ≥T 2n 成立,则实数λ的最小值为 .答案13四、解答题(共25分)12.(2018山东六校联考,17)已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n+23a n .(2)求{a n }的通项公式.解析 (1)由S 2=43a 2得3(a 1+a 2)=4a 2, 解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3得3(a 1+a 2+a 3)=5a 3, 解得a 3=32(a 1+a 2)=6.(2)由题设知,当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=n+23a n -n+13a n-1, 整理得a n a n -1=n+1n -1, 因此a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 3a 2·a 2a 1=n+1n -1·n n -2·…·42·31, 化简得a n =(n+1)n 2×1·a 1=n(n+1)2, 当n=1时,a 1=1满足上式, 所以{a n }的通项公式为a n =n(n+1)2(n ∈N *). 13.(2019 5·3原创题)已知二次函数f(x)=x 2-ax+a(a>0,x ∈R)有且只有一个零点,数列{a n }的前n 项和S n =f(n)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设c n =1-4a n(n ∈N *),定义所有满足c m ·c m+1<0的正整数m 的个数,称为这个数列{c n }的变号数,求数列{c n }的变号数.解析 (1)依题意,知Δ=a 2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x 2-4x+4.所以S n =n 2-4n+4.当n=1时,a 1=S 1=1-4+4=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-5.所以a n ={1,n =1,2n -5,n ≥2.(2)由题意得c n ={-3,n =1,1-42n -5,n ≥2.由c n =1-42n -5(n ≥2)可知,当n ≥5时,恒有c n >0.又c 1=-3,c 2=5,c 3=-3,c 4=-13,c 5=15,c 6=37,所以c 1·c 2<0,c 2·c 3<0,c 4·c 5<0,所以数列{c n }的变号数为3.。