第四章 数字特征和极限定理

求随机变量 Z = sin
π (X +Y)
2
的数学期望。
0.1 0.25 0.15 0 1 0 25 0 15 0.15 0.2 0 15 0 2 0.15 0 15
则有E ( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( xi , y j ) pij 这里设上式右边的级数绝对收敛， 若二维连续型随机变量 ( X , Y )的概率密度为：
E (Y ) = 5.216 （万元）
定理：设Z 是随机变量X , Y的函数：Z = g ( X , Y )
若二维离散型随机变量 ( X , Y )的分布律为：
P ( X = xi , Y = y j ) = pij , i, j = 1, 2,
例
设二维随机变量 ( X , Y )的联合分布律为
X 0 1 Y 0 1 2
随机变量的函数的数学期望
定理：设Y 是随机变量X 的函数: Y = g ( X )
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
设X表示一周5天内机器发生故障停工天数， X ~ b(5, 0.2) 设Y表示一周内所获利润
P (Y = 10) = P ( X = 0) = (1 − 0.2) 5 = 0.328
4. 4 E ( XY ) = ∫
∫
+∞
−∞
xyf ( x, y )dxdy = ∫
+∞ −∞ ∞
−∞
∫
+∞
−∞
xyf X ( x) fY ( y )dxdy
=∫
−∞ ∞
xf X ( x)dx ∫
yfY ( y )dy = E ( X ) E (Y )
2i E ( X i ) = 0 + 2i = i, Y = X1 X 4 − X 2 X 3 2 由独立条件，E (Y ) = E ( X 1 X 4 ) − E ( X 2 X 3 )
若级数∑ xk pk 绝对收敛 （即积分∑ xk pk 收敛）
k =1 k =1
∞
∞
则称级数∑ xk pk的值为随机变量X 的数学期望，
k =1
∞
记为E ( X ) , 即 E ( X ) = ∑ xk pk
k =1
∞
定义： 设连续型随机变量X的概率概率为f ( x ) , 若积分
如果赌注是1美元的话，每次赌博的期望值是 (-1 × 37/38 ) + (35 ×1/38 )，结果为-5.26美分。
∫
=∫
∞
-∞
x f ( x)dx
=∫
∞
-∞
1 x dx π (1 + x 2 )
∞ 0
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 成 机 求 机寿命 (以小时计)的数学期
∞
0
2x 2x 1 dx = ln(1 + x 2 ) 2 π (1 + x ) π
=∞
⎧1 − e − λ x x > 0 X k (k = 1, 2) 的分布函数F ( x) = ⎨ x≤0 ⎩0
sin xf ( x)dx = ∫
π
2
−
π
∫
+∞
−∞
xf ( x, y )dxdy + ∫
+∞ −∞ +∞
∫
+∞
例
−∞
yf ( x, y )dxdy = E ( X ) + E (Y )
+∞
设随机变量X 1 , X 2 , X 3 , X 4 相互独立，Xi ~ U (0, 2i ), 求行列式 Y= X1 X3 X2 的数学期望E (Y ). X4
可求得这100只灯泡的平均寿命为
1050 × 6 + 1100 × 20 + 1150 × 32 + 1200 × 26 + 1250 × 16 = 1163 （小时） 100 6 20 32 26 16 = 1050 × + 1100 × + 1150 × + 1200 × + 1250 × 100 100 100 100 100
• 大数定律 • 中心极限定理
∑ x ⋅ p( x )
i i i
以概率为权对随机变量的取值进行加权平均
定义： 设离散型随机变量X 的分布律为：P ( X = xk ) = pk k = 1, 2,
例 （庄家盈率问题）美国赌场中 经常用的轮盘上有38个数字，每一 经常用的轮盘上有38个数字 每 个数字被选中的几率相等。赌注一 般压在其中某 个数字上，赌中可 般压在其中某一个数字上 赌中可 得原赌注的36倍（含原赌注），若 没赌中则输掉赌注。
Y
-2 2
0
5
10
则有E (Y ) = E ( g ( X )) = ∫
若∫
+∞
−∞
g ( x) f ( x)dx 绝对收敛
+∞ −∞
g ( x) f ( x)dx
P 0.057 0.205 0.410 0.328
定 理 的 重 要 意 义 在 于 我 们 求 E (Y )时 ， 不 必 算 出 Y 的 分 布 ， 只要利用X的分布就可以了。
1 P (Y = 5) = P ( X = 1) = C 5 0.21 (1 − 0.2) 4 = 0.410
P( X = xk ) = pk , k = 1, 2,
若∑ g ( xk ) pk 绝对收敛，则有E (Y ) = E[ g ( X )] = ∑ g ( xk ) pk
k =1 k =1 ∞ ∞
串联情况下，N = min ( X 1 , X 2 ) , 故N的分布函数为： ⎧1 − e −2 λ x Fmin ( x) = 1 − (1 − F ( x)) = ⎨ ⎩0 ⎧2λ e −2 λ x ⇒ f min ( x) = ⎨ ⎩0
2
∴由定义要求绝对收敛，X 数学期望不存在。
两点说明： • • 数学期望是一个数，刻划该随机变量的平均值，并不一定包含于变量 的取值集合里。数学期望由该随机变量的分布唯一确定． 的取值集合里 数学期望由该随机变量的分布唯 确定 并非所有的随机变量都有数学期望，如果级数或积分不是绝对收敛， 则E(X)不存在。如果 个随机变量只取有限个值，则E(X)必存在。 则E(X)不存在。如果一个随机变量只取有限个值 则E(X)必存在。
E (Y ) = E (sin X ) = ∫
+∞ ∞ −∞
Y = sinX , Z = cosX
2. CX 2 E (C ) = ∫ Cxf ( x)dx = C ∫ C f d
−∞
+∞
+∞
−∞
xf ( x)dx = CE ( X ) f d C
3. E ( X + Y ) = ∫ =∫
+∞ −∞
X=1
2.设X 是一个随机变量，C是常数，则有E (CX ) = CE ( X )
3.设X , Y 是两个随机变量，则有E ( X ± Y ) = E ( X ) ± E (Y )
解：E (Y ) = ∫
+∞
−∞
∫
1
+∞
−∞
yf ( x, y )dydx = ∫
+∞
1
= 3 2
∫
+∞
1 lny |x dx = 3 +∞ 1 ∫1 x3 x
= E ( X1 ) E ( X 4 ) − E ( X 2 ) E ( X 3 ) = 1 × 4 − 2 × 3 = −2
例 （保险应用）据统计：65岁的人群在10年内，因意外死亡的概 率为0.02，保险公司开办老年人意外事故死亡保险，参保者仅需交 率为0 02 保险公司开办老年人意外事故死亡保险 参保者仅需交 纳保险费1000元。若10年内因意外事故死亡，公司赔偿a元。问： （1）如何确定赔偿额度a，才能使保险公司期望获益？ （2）若有10000人投保，公司期望总获益是多少？
xf ( x, y )dxdy yf ( x, y )dxdy
+∞
] 2 π (0 + 0) π (1 + 0) π (0 + 1) = sin × 0.1 + sin × 0.15 + sin × 0.25 2 2 2 π (1 + 1) π (0 + 2) π (1 + 2) + sin × 0.2 + sin × 0.15 + sin × 0.15 2 2 2 = 0.25
第四章 数字特征和极限定理
• 数学期望 • 方差 差 • 协方差 • 相关系数
4.1 数学期望 (Mathematical Expectation)
引例 考察一批5万只的灯泡的寿命，设每只灯泡的寿命是一个随机 变量X（单位：小时），现从中随机抽取100只，测试结果如下： 寿命（小时） 1050 灯泡数（频数） 6 频率 6 100 1100 20 20 100 1150 32 32 100 1200 26 26 100 1250 16 16 100
3 ⎧ +∞ dx ⎪∫ 1 2 x3 y2 y ⎪ +∞ ⎪ 3 考 虑 ： 先 求 fY ( y ) 得 到 fY ( y ) = ⎨ ∫ ), dx y 2 x3 y2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎩ 0 < y <1 y >1 其他 ； 则 E (Y ) =
+∞
4.设X , Y 是相互独立的随机变量，则有E ( XY ) = E ( X ) E (Y )
则有E ( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∫
+∞ −∞
∞
∞
i =1 j =1
解：E ( Z ) = E[sin