江苏省苏州实验中学2014届高三下学期周考试卷(20140517) 数学
【教师版】苏州市2014届高三调研测试数学(精)
＝ ， b 3 y y′ x′解：设 －1 a x x′＝－x＋ay， 则 (3 分 y′＝bx＋3y. ∵ 2x′－y′＝3，∴ 2(－x＋ay－(bx＋3y＝3. 即(－2－bx＋(2a－3y＝3.(6 分此直线即为 2x－y＝3，∴－2－b＝2，2a－3＝－1. 则 a＝1，b＝－4.(10 分 C．(选修 4－4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）π π 在极坐标系中，求点 M 2，6 关于直线θ＝4的对称点 N 的极坐标，并求 MN 的长．π π π 解：M 2，6 关于直线θ＝4的对称点为N 2，3 .(3 分π 故 MN＝2OMsin (6 分 12 ＝4× 6－ 2 ＝ 6－ 2.(10 分 4 D．(选修 4－5：不等式选讲（本小题满分 10 分） x y z 1 1 1 已知 x、y、z 均为正数．求证：＋＋≥ ＋＋ . yz zx xy x y z 证明：∵ x、y、z 都是为正数，∴ x y 1 x y 2 ＋＝＋≥ .(3 分 yz zx z y x z y z 2 z x 2 同理可得＋≥ ，＋≥ .(6 分 zx xy x xy yz y 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 x y z 1 1 1 ＋＋≥ ＋＋ .(10 分 yzzx xy x y z 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）如图，在空间直角坐标系 Oxyz 中，正四棱锥 PABCD （第 22 题）PM BN 1 的侧棱长与底边长都为 3 2，点 M、N 分别在 PA、BD 上，且＝＝ . PA BD 3 (1 求证：MN⊥AD； (2 求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值． (1 证明：∵正四棱锥 PABCD 的侧棱长与底边长都为 3 2，∴ OA＝3，OP＝3.(2 分则A(3，0，0，B(0，3，0，D(0，－3，0，P(0，0，3，∴ M(1，0，2，N(0，1，0．→ → 则MN＝(－1，1，－2，AD＝(－3，－3，0．(4 分→ → ∵ MN·AD＝(－1×(－3＋1×(－3＋(－2×0＝0，∴ MN⊥AD.(5 分 (2 解：设平面 PAD 的法向量 n＝(x，y，z，→ → ∵ AD＝(－3，－3，0，AP＝(－3，0，3，→ AD＝0，n· －3x－3y＝0，由 得 －3x＋3z＝0. → n·AP ＝0， 取 z＝1，得 x＝1，y＝－1. ∴ n＝(1，－1，1．(7 分→ n· MN (－1×1＋1×(－1＋(－2×1 2 2→ 则 cos〈n，MN〉＝＝＝－ .(9 分3 → 3× 6 |n|· |MN| 设 MN 与平面 PAD 所成角为θ，2 2 → 则sinθ＝|cos〈n，MN〉|＝ . 3 2 2 ∴ MN 与平面 PAD 所成角的正弦值为 .(10 分 3 23．（本小题满分 10 分）设ξ 为随机变量，从棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1 的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ 的值为四点组成的四面体的体积． (1 求概率P(ξ＝0； (2 求ξ 的分布列，并求其数学期望E(ξ．解：(1 从正方体的八个顶点中任取四个点，共有 C4 8＝70 种不同取法．其中共面的情况共有 12 种(6 个侧面，6 个对角面，则12 6 P(ξ＝0＝＝ .(3 分 70 35 (2 任取四个点，当四点不共面时，四面体的体积只有以下两种情况： 1 1 ①四点在相对面且异面的对角线上，体积为 1－4×＝，6 3 这样的取法共有 2 种．(5 分 1 ②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为 . 6 这样的取法共有 70－12－2＝56 种．(7 分∴ ξ 的分布列为ξ P (8 分 1 1 1 28 1 数学期望E(ξ＝ ×＋ ×＝ .(10 分 3 35 6 35 7 0 6 35 1 3 1 35 1 6 28 35。
2014江苏省高考数学模拟试题word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲.2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为▲.3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是▲.4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),xkb1它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是▲.6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是▲.8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是▲.9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为▲.10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是▲.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)xkb1过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是▲.12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，（第3题）100 80 90 110 /cm（第6题）PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲.13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是▲.14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥A B C P -中，D ，E ，F 分xkb1别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.（第16题）P D C EF BAxkb118.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直。
江苏省苏州实验中学2014届高三下学期周考试卷(20140517) 数学 含答案bycheng
江苏省苏州实验中学周考试卷数 学2014。
5.17一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的位置上．1．若复数2z a a ai =-+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 2．集合{|20},{|12}A x R x B x Z x =∈-≤≤=∈-≤≤，则C RA B （）＝ ▲ ． 3．下图是一个算法的伪代码,则输出的k 的值是 ▲ ．4．抛物线2()y ax a R =∈的准线方程为1y =-，则a 的值为 ▲ ．5．苏州地铁1号线,高峰时段每隔6分钟一班，进站停靠半分钟，则某同学在高峰时段到站台就可进车箱的概率为 ▲ ． 6．若幂函数21()(713)a f x a a x -=-+为其定义域上的单调递增函数，则实数a 的值为 ▲ ．7．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法， 抽取42人做问卷调查， 将840人按1, 2，…, 840随机编号， 则抽取的42人中， 编号落入区间[481， 720］的人数为 ▲ ．8．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB cm AC cm ==，， AB AC ⊥, 112AA cm =，则球O 的表面积为 ▲ 2cm ． 9．在ABC △中，90C ∠︒＝，M 是BC 的中点．若sin BAM ∠1＝3，则sin BAC ∠＝ ▲ ．10．过点）引直线l与曲线=y ,A B 两点，O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为 ▲ ． 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，12-=-m S ，0=mS ，13+=m S ,则正整数m 的值为 ▲ ．（第3题）12．已知双曲线222210,0-=>>:()x y C a b a b的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A 、B 两点,连结AF 、BF ，若｜AB ｜＝10，｜AF ｜＝6,cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝ ▲ ．13．如右图，在正六边形ABCDEF 中，2AB =，点Q 为BC 边的中点，点P 在正六边形ABCDEF 内（含边界），则AP AQ ⋅的最大值为 ▲ ．14．若,,a b c 是正实数，22=+++++c a bu a b b c a c，则u 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，点(cos )A θθ,(sin ,0)B θ，其中θ∈R . (1）当2π3θ=时，求向量AB 的坐标；（2)当π[0,]2θ∈时,求||AB 的最大值.16．（本题满分14分）如图,三棱柱111-ABC A B C 中，11=,,60,CA CB AB AA BAA =∠=︒点M 和N分别为FC（第13题）线段11A B 和1CC 上的点，且112AM MB =,//MN 平面1A BC 。
江苏省苏州中学2014届高三1月质量检测数学试题
f ( x) 1 ax 2 (a 0) 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交
于点 M、N，切曲线于点 P，设 P (t , f (t )) ． ( I)将 OMN （O 为坐标原点）的面积 S 表示成 f 的函数 S(t)； (II)若 t
， . . .点 为线段 的中点， . ， ，化简得 ，
（1） 18．
故椭圆 E 的离心率为 （2）存在满足条件的常数 ，从而 设 ， ， ， ， . .同理，点 、 、 共线， ，
ห้องสมุดไป่ตู้
，左焦点 ，
，椭圆 E 的方程为 ，则直线 的方程为
代入椭圆方程 整理得， 故点 三点
， . ，从而
.从而
，
.
从而
故 19.
2
2x
6
cos 2 x sin ) 2 2sin(2 x ) . 6 6 6
3 1 cos 2 x ) 2 2
…………5ʹ
2 k
2
，得 k
∴ f ( x) 的单调递增区间为 [ k (2) 由 f ( x) 2 2sin(2 x
（1）求函数 f ( x) 的单调递增区间； （2）求使不等式 f ( x) 2 成立的 x 的取值集合． 16．(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面为直角梯形，
AD // BC , BAD 90 ， PA 垂直于底面 ABCD ， PA AD AB 2 BC 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点． （1）求证： PB DM ； （2）求点 B 到平面 PAC 的距离．
2014江苏省高考数学试卷word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),xkb1它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数) xkb1过点)5,2(-P ，且该曲线在点P处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅，则⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出文字说明、（第3题）/cm （第6题）（第12题）证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分xkb1别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第16题）P D C E F B A如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，学科网求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.。
2013-2014第二学期高一数学期末试卷(苏州原稿)
2013～2014学年第二学期期末调研测试高一数学 201４．6注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 - 第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差∑=-=n i i x x ns 122)(1，其中∑==n i i x nx 11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．． 1. 已知集合]2,3[-=A ，]3,1[-=B ，则A B ⋂= ▲ ．2. 学校进行体质抽测，计划在高中三个年级中共抽取160人，已知高一、高二、高三学生数比例为5:5:6，则应在高一分配 ▲ 个名额． 3. 函数12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ．4. 若一组样本数据4,5,7,9,a 的平均数为6，则该组数据的方差2s = .5. 将一根长为4米的木棍锯成两段，则锯成的两段都大于1米的概率是 ▲ ．6. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是 ▲ ．7. 已知变量x ，y 满足220,220,0,x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是 ▲ ．8. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有2只白球、1只红球、1只黄球，从中一次随机取出2只球，则“恰有1只球是白球”的概率是 ▲ ．9. 已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)8f =，则a =▲ ．10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，5812=-m S ，则=m▲ ．11. 若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12. 如图，平面内有三个向量、、,其中与与OB 的夹角为120°，与的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝若OC ＝mOA uu r +nOB uuu r （,R m n ∈）,则m n +的值为 ▲ ．13．已知函数()28log ,3f x x =-若关于x 的方程()()2210f x f x +-=的实根之和为m ，则()f m 的值是 ▲ ． 14.已知0>a ，0>b ，11121=+++b b a ，则b a +的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知函数2()5f x x x a =-+．（1）当4-=a 时，求不等式2)(≥x f 的解集；（2）对任意R x ∈，若2)(-≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围．O ABC16．（本小题满分14分）已知,cos )x x m =+a ，(cos ,cos )x x m =-b ，记()f x =⋅a b ． (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 当]3,6[ππ-∈x 时, )(x f 的最小值是4- , 求此时函数)(x f 的最大值, 并求出相应的x 的值．17. （本小题满分14分）设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且()1113N 2n n n n a a *++=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若,log 22n n n a a b +=求数列{}n b 的前n 项和n S ．18. （本小题满分16分）如图，在ABC ∆中，4=AB ，1=AC ，60=∠BAC .（1）求BC 的长和ACB ∠sin 的值；（2）延长AB 到M ，延长AC 到N ，连结MN ，若四边形BMNC 的面积为33，求BM CN ⋅uuu r uuu r的最大值．19. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为M 到N 的“折线距离” ．如图所示的路径123MD D D N 与路径MEN 都是M 到N 的“折线路径”．某地有三个居民区分别位于平面xOy 内三点)1,8(-A ，)2,5(B ，)14,1(C ，现计划在这个平面上某一点(),P x y 处修建一个超市．（1）请写出点P 到居民区A 的“折线距离”d 的表达式（用,x y 表示，不要求证明）； （2）为了方便居民，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小．20. （本小题满分16分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量1(,)4n n AB S a =-uu u r ，其中*N n ∈，1(1,)2CD =-uu u r ，且满足//AB uu u r ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当M n >时，1473278n a a a a a ->L 恒成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n b 对任意的*N n ∈都有12132121212n n n n n n nb a b a b a b a b a ---+++++=--L ,求数列{}n b 的通项公式．x2013～2014学年第二学期期末调研测试高一数学参考答案及评分标准 201４．6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．]2,1[- 2．60 3．4π 4．165 ５．216．3 7．6- 8．23 9．6 10．15 11．725- 12．12 13．3 14．23二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：（1）当4-=a 时，由不等式2)(≥x f ，得2542,x x --≥即2560,x x --≥()()610,x x ∴-+≥ ………………………４分 ∴不等式2)(≥x f 的解集为}{1,6.x x x ≤-≥或 ………………………７分（2）Q 任意R x ∈， 2)(-≥x f 恒成立，∴R x ∈，不等式252x x a -+≥-恒成立， 2R,52x a x x ∴∈≥-+-恒成立． ………………………9分2251752,24x x x ⎛⎫-+-=--+ ⎪⎝⎭Q ∴当52x =时，252x x -+-的最大值为17.4 ………………………12分∴当174a ≥时，2)(-≥x f 恒成立． ………………………14分 16．解: (1) (),cos )(cos ,cos )f x x x m x x m =⋅=+⋅-a b22cos cos x x x m =+- ………………３分 (2)2221)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f -++=-++=π ……6分 ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, ∴]65,6[62πππ-∈+x , ∴]1,21[)62sin(-∈+πx , ……9分 ∴22114, 4.22m m -+-=-∴= ………………11分 ∴254211)(max -=-+=x f , 此时262x ππ+=, 6x π=. …………14分17．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为0>q ，()1113N 2n n n n a a *++=∈Q ， 1223113,2113.4a a a a ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩ 111131'21131.4a q a q q ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩…………3分 11,2a q ∴==, ………………………………………6分∴12.n n a -= ………………………………………7分（2）()141n n b n -=+-Q ……………………………………………………9分∴()()()()12110414241n n S n -⎡⎤=++++++⋅⋅⋅++-⎣⎦()()()12104441121-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n n ………………11分 ()21314n n n -+-= 21223326n n n ++--= ………………………14分18．解：（1）由余弦定理,得13cos 2222=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ，∴13=BC . ………………………3分 由正弦定理,得sin sin AB BC ACB BAC=∠∠，4sin sin AB BAC ACB BC ⋅∠∴∠=== ………………………6分 （2）343323421=+⋅⋅=+=∆∆BMNC ABC AMN S S S ， ………………………8分 设y CN x BM ==,，0,0x y >>， 则有3423)1)(4(21=++y x ，∴16)1)(4(=++y x ∴124=++y x xy ， ………10分 ∵0,0x y >>，∴xy y x xy y x 442124=⋅≥-=+， ∴0124≤-+xy xy ，∴26≤≤-xy ，∴xy 的最大值为4，当且仅当1,4==y x 时等号成立． ………………………14分 1cos 602,2BM CN xy xy ︒∴⋅==≤uuu r uuu r ∴当4,1BM CN ==时，BM CN ⋅uuu r uuu r 的最大值为2． ………………………16分19．解：（1）点P 到居民区A 的“折线距离”18-++=y x d ，R y x ∈,．………3分（2）点P 到居民区A 、B 、C 的“折线距离”之和为1412518-+-+-+-+-++=y x y x y x d ， ………6分 下面分别确定x 和y 的值，使d 最小． 令1581-+-++=x x x d ，14212-+-+-=y y y d ， Q 132,512,1585114,8132,8x x x x d x x x x x x x +>⎧⎪+<≤⎪=++-+-=⎨--<≤⎪⎪--≤-⎩ ∴当1=x 时，1d 的最小值为13. ………10分 Q 2317,1411,214121415,123171y y y y d y y y y y y y ->⎧⎪+<≤⎪=-+-+-=⎨-+<≤⎪⎪-+≤⎩ ∴当2=y 时，2d 最小值为13， ………14分答:当点P 取在)2,1(时，到三个居民区的“折线距离”之和最小为26. ………16分20．解：（1）由已知1(,)4n n AB S a =-uu u r ，1(1,)2CD =-uu u r ， Q //AB uu u r CD ，∴212-=n n a S . …………………2分 当1=n 时，211=a ． 当2≥n 时，111112(2)2222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 12n n a a -∴=（2≥n ）， ∴所以，数列{}n a 是首项为21，公比为2的等比数列，故22-=n n a ．………………5分 （2） (35)125(34)21473222n n n n a a a a --++++--⋅⋅==L L ,76782=a ，假设存在满足题意的正整数M ，使得当M n >时，1473278n a a a a a -⋅⋅>L 恒成立, 则有762)53(>-n n ， ………………8分 即0152532>--n n ，∴解得319-<n 或8>n ， N n *∈Q ,8n ∴>.∴存在满足题意的min 8M =． ………………10分（3）∵12132121212nn n n n n n b a b a b a b a b a ---⋅+⋅++++=--L …①对任意*N n ∈都成立， ∴当2≥n 时，111223322111212n n n n n n n b a b a b a b a b a -------⋅+⋅++++=--L ………②， ………………12分②式两边同乘以2，得12132231221n n n n n n b a b a b a b a b a n ----⋅+⋅++++=--L ………③①-③,得12n n b a =，∴(2)n b n n =≥， ………………15分 在①式中令1=n ，得2111=a b ，∵211=a ，∴11=b . ∴*(N )n b n n =∈． ………16分。
2014年江苏高考数学真题及答案
2014年江苏高考数学真题及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲.2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为▲.3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是▲.4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),zxxk 它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是▲.6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是▲.8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是▲.9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为▲.10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是▲.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数) zxxk 过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是▲.12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲.202>n组距13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是▲.14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分zxxk 别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第16题）PD C EFB A17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，学科网求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，学科网总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为21 ．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念，即可得到结论．解答：解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为：5．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．解答：解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．考点：三角方程；函数的零点．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．解答：解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=．∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=．故答案为：．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24 株树木的底部周长小于100cm．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．解答：解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．故答案为：24．点评：本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：立体几何．分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．解答：解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．解答：解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键．12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22 ．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．解答：解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，），且A，C关于x轴对称，∴C（，﹣），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．解答：解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a ﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：解：（1）∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m．（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e a﹣1＜a e﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而e a﹣1＞a e﹣1．点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．考点：数列的应用；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．解答：解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．点评：本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．考点：弦切角．专题：直线与圆．分析：利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．解答：证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D．点评：本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．解答：解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=点评：本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．考点：直线的参数方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．解答：解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8．点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．解答：证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．点评：本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．解答：解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kf k﹣1（x）+xf k（x）]′=kf k﹣1′（x）+f k（x）+xf k′（x）=（k+1）f k（x）+xf k+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，由①②得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nf n﹣1（）+f n（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。
江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三数学下学期教学情况调查试题 理(含解析)苏教版
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）理科数学一、填空题：1.已知集合{}1,2,3,4A=，{},4,7B m=，若{}1,4A B=，则A B=▲．2.若复数z =13i1i+-（i为虚数单位），则 | z | = ▲．3.已知双曲线2218x ym-=的离心率为3，则实数m的值为▲．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是▲．5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．【答案】2【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为▲．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为▲．9.已知2tan()5+=，1tan3=，则tan+4⎛⎫⎪⎝⎭的值为▲．10.设等差数列{}na的前n项和为n S，若13a=-，132ka+=，12kS=-，则正整数k= ▲．11.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy +的最小值为 ▲ ．12.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC=+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲ ．考点：向量共线表示13.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．【答案】27321,{0,}22e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[323,327)(327,323]++--【解析】试题分析：由题意得圆心(,2),C m 半径4 2.r =因为点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，所以223060280m m +--+-<，解得327327.m -<<+设C 到直线距离为d ,则.d CP ≤又222222112162222ABCd r d r S d AB d r d ∆+-=⋅=⋅-≤==，当且仅当222d r d =-，即216,4d d ==时取等号，因此2(3)24CP m ≥-+，即323m ≥+或32 3.m ≤-综上实数m 的取值范围为[323,327)(327,323]++--.考点：直线与圆位置关系二、解答题15.（本小题满分14分）设函数2()6cos 23sin cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．（2）由()0f B =，得π3cos(2)6B +=． B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． …………………9分 ∵4cos 5A =，(0,)A ∈，∴243sin 1()55A -． …………………10分 在△ABC 中，由正弦定理得32sin 435sin 3b A a B⨯===． …………………12分∴231343sin sin()=sin()sin 322C A B A A A +=---=+=． …………………14分考点：倍角公式，正余弦定理16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC 平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC ∠=，木梁的体积为V （单位：m3），表面积为S （单位：m2）． （1）求V 关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈，（2）3=，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2++，(0,)2∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2++++，(0,)2∈．…………………10分 设()cos 2sin 12g =++，(0,)2∈．∵2()2sin 2sin 222g =-++，∴当1sin 22=，即3=时，()g 最大． …………………12分 又由（2）知3=时，sin cos sin +取得最大值，所以3=时，木梁的表面积S 最大． …………………13分 综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 考点：利用导数求函数最值18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，32(32,)A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值. 【解析】试题分析：（1）22127272x y +=,（2）(5,1)--,（3）452.试题解析：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y+=．…………………3分19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}na的前n项和为Sn,已知11a=，且11()(1)n n n nS a S aλ+++=+对一切*n∈N都成立．（1）若λ = 1，求数列{}na的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}na是等差数列．【答案】（1）an = 2n-1（2）λ = 0. 【解析】（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ）， 所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分考点：已知n S 求na20.（本小题满分16分） 已知函数e ()ln ,()e x xf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．对于函数()y g x =在(0,e]上值域中每一个值，函数()y f x =在(0,e]上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数()y g x =在(0,e]上值域(0,1]，然后根据函数()y f x =在(0,e]上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含(0,1].由()f x 在(0,e]不单调得2e m >，由每段单调区间对应的值域都需包含(0,1]得(e)1f ≥，3e 1m -≥. 试题解析：（1）e(1)()e x x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分列表如下：x （-∞，1） 1 （1，+∞） ()g x '+ 0 - g(x)↗极大值↘附加题21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB AD=，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：CD AB AB BE=．【答案】详见解析 【解析】21.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β． 【答案】【解析】试题分析：利用矩阵特征值λ及其对应特征向量α性质：n nM αλα=进行化简.先根据矩阵M 的特征多项式求出其特征值123,1λλ==-，进而求出对应的特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α.再将17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β分解成特征向量，即1243=-βαα，最后利用性质求结果，即21.C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为22cos,()2sinxy=+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．21.D．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．22.（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲 同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．（2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，411(5)381P ⎛⎫===⎪⎝⎭．的分布表为1 2 34 5 P 23 29 227 281 181…………………8分的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分 考点：概率分布，数学期望值23.（本小题满分10分） 设01212(1)mm n nn n n mS C CCC---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=．（1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-；。
苏州2014届高三数学
高三数学2013.09正 题注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合}{|1A x x =≤，}{|0B x x =>，则A B = ___▲___. 2．设x ∈R ，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ___▲___． 3．设复数z 满足i 12i z =+（i 为虚数单位），则||z =___▲___. 4．若2x >，则12x x +-的最小值为 ▲ ． 5．样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝___▲___.6．已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ___▲___．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为___▲___.8．已知函数n my x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．9．已知实数x ，y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则2z x y =+的最大值是 ▲ ．10．已知函数2,0,()2,0x x f x x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()1f x <的x 的取值范围是___▲___．11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，T ←1 i ←3 While T <10 T ←T +i i ←i +2 End WhileEFABCDPFED 1C 1B 1BCDA 1A113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= ___▲___.12．已知P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ▲ ． 13．已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ▲ ．14．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2AB =，1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11,321,n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数,为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．F E DCBA l 2l 1公路公路19．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ，B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ． （Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程； （Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．图（1）图（2）20．（本小题满分16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2xf x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．FEy xO P DCB A FEyxO P D CBAOPB AC2014届高三暑假自主学习测试试卷数学 2013.09附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在．．相应的答题区域．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，90APB ∠=︒， PC 平分APB ∠，交⊙O 于点C ．求证：ABC ∆为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵A =2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵1-A B ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设11(,0)A x ，22(,0)A x 是x 轴上的两点1212(0,0)x x x x +≠≠，过点12,A A 分别作x 轴的垂线，与曲线C 分别交于点12,A A ''，直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ，这样就称12,x x 确定了3x ．同样，可由23,x x 确定了4x ．现已知126,2x x ==，求4x 的值．23．（本小题满分10分）设a ，b 为实数，我们称（a ，b ）为有序实数对．类似地，设A ，B ，C 为集合，我们称（A ，B ，C ）为有序三元组．如果集合A ，B ，C 满足||||||1A B B C C A === ，且A B C =∅ ，则我们称有序三元组（A ，B ，C ）为最小相交（||S 表示集合S 中的元素的个数）． （Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N 为最小相交的有序三元组的个数，求N 的值．2014届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准 2013.09正 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．(0,1] 2．23 3．5 4．4 5．3.2 6．3 7．9 8．139．425 10．(1,12)-+ 11．3212．2 13．2- 14．54 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， ………………… 2分所以cos cos2C C -=，即22cos cos 10C C +-=， ………………… 4分 故1cos 2C =或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3C π=． ………………… 7分（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⨯=． ① ………………… 9分由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，及6AB =得，12AC BC +=． ② …………………12分由①②解得6,6AC BC ==． …………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且12FG CD =． ……… 2分 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且12AE CD =． ………………… 3分 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形． ………………… 5分 所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF ∥平面PAD ． ………………… 7分 （Ⅱ）设AC DE H = ，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==， 又因为2AB =，1BC =，所以3AC =，1333AG AC ==．所以23AG AB AE AC ==，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆．所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． ……………… 10分 又DE PA ⊥，PA AC A =，所以DE ⊥平面PAC ． ……………… 12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵2(1)n n n S a a =+，①∴当2n ≥时，1112(1)n n n S a a ---=+，②以上两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-， ………………… 2分 即111()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵0n a ≠，∴当2n ≥时，有11n n a a --=． ………………… 5分 又当1n =时，由1112(1)S a a =+及10a ≠得11a =，所以数列{ a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n *()n ∈N ． ………………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11,321,n n n n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数；为偶数． ………………… 9分 所以13212(242)3(222)n n T n n -=++++++++ ………………… 10分2(14)(1)314n n n n -=++⨯+- 212222n n n +=++-． ………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得4(0tan )3MEF αα∠=≤≤，故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分sin 18060120cos cos ααα=-+ sin 28060cos αα-=-． ………… 8分 （Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中0040,tan )23πααα<=≤≤，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==． ………………… 10分 令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． ………………… 11分列表α(0,)6π6π 0(,)6πα ()f α'+ 0 - ()f α单调递增极大值单调递减F E D C B A l 2l1公路公路M所以当6πα=时有max ()3f α=-，此时有min 80603W =+．………………… 15分答：排管的最小费用为80603+万元，相应的角6πα=． ………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵PCD ∆的面积为12，∴122122a b ⨯⨯=，即6ab =．① ………………… 2分此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为20bx ay ab -+=．∴点O 到PD 的距离224abd b a =+＝65． ② …… 4分由①②解得3,2a b ==． …………… 6分∴所求椭圆方程为22194x y +=． ………… 7分（Ⅱ）如图，当k ＝2时，(,2),(,2)C a b D a b ---，设12(,0),(,0)E x F x ，由D ，E ，P 三点共线，及1(,2)DE x a b =+ ，00(,2)DP x a y b =++（说明：也可通过求直线方程做） 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+，∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+，即002()2b x a AE y b⋅+=+．…… 9分由C ，F ，P 三点共线，及2(,2)CF x a b =-， 00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-，∴0202()2b a x a x y b⋅--=+，即002()2b a x FB y b ⋅-=+．…… 11分 又2200221x y a b +=，∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++． ………………… 13分 而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分 ∴2EF AE FB =⋅，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解． （Ⅰ）当2()24()f x ax x a a =+-∈R 时，方程()()0f x f x +-=即22(4)0a x -=有解2x =±，所以()f x 为“局部奇函数”． ……………… 3分 （Ⅱ）当()2xf x m =+时，()()0f x f x +-=可化为2220x xm -++=，因为()f x 的定义域为[]1,1-，所以方程2220xxm -++=在[]1,1-上有解．………… 5分FEyxO P D CB A FEyxO P DCBA令12[,2]2x t =∈，则12m t t-=+． 设1()g t t t=+，则22211()1t g t t t -'=-=，当(0,1)t ∈时，()0g t '<，故()g t 在(0,1)上为减函数，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '>，故()g t 在(1,)+∞上为增函数． ………………… 7分所以1[,2]2t ∈时，5()[2,]2g t ∈．所以52[2,]2m -∈，即5[,1]4m ∈--． ………………… 9分（Ⅲ）当12()423xx f x m m +=-+-时，()()0f x f x +-=可化为2442(22)260x x x x m m --+-++-=． 22[2,)x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-，从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”．……… 11分 令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，由(2)0F ≤，即22440m m --≤，解得1313m -+≤≤； ……………… 13分 2° 当(2)0F >时，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于2244(28)0,2,(2)0,m m m F ⎧∆=--⎪>⎨⎪>⎩≥解得1322m +<≤． ………………… 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为1322m -≤≤． ………………… 16分附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：由90APB ∠= 得AB 为直径，所以90ACB ∠=︒． …………………… 2分由AC AC =，得APC ABC ∠=∠，同理BPC BAC ∠=∠． …………………… 4分 又因为PC 平分APB ∠，所以CPA CPB ∠=∠． …………………… 6分 所以BAC ABC ∠=∠，故BC AC =． …………………… 8分从而，ABC ∆为等腰直角三角形． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 1分 即22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 4分 故1,0,0,12a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1-A =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 7分 所以1-A B =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=112225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由225ρ=得曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． ………………… 2分由4cos ρθ=得曲线C '的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． ………………… 5分 曲线C 表示以()0,0为圆心，5为半径的圆；曲线C '表示以()2,0为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分 所以圆C 和圆C '的位置关系是内含． ………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分 ＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分 ＝2223()[()]24b a b a b -++． …………………… 6分 因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024b a b ++>，2()0a b ->， 所以2223()[()]024b a b a b -++>，即有4422a b ab a b +>+（）． …………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等， 根据抛物线定义知，曲线C 是以点1(0,)2M 为焦点，直线12y =-为准线的抛物线， 故其方程为22x y =． ……………… 4分（Ⅱ）由题意知，21111(,)2A x x '，22221(,)2A x x '，则12222121211()12()2A A x x k x x x x ''-==+-， 故12A A l ''：2221211()()22y x x x x x -=+-． ……………… 6分 令0y =，得12111x x x =+，即3121111162x x x =+=+． ……………… 8分 同理，42311111172626x x x =+=++=， ……………… 9分 于是467x =． ……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设{1,2}A =，{2,3}B =，{1,3}C =，则{2}A B = ，{3}B C = ，{1}C A = ，A B C =∅ ，且||||||1A B B C C A === ．所以（A ，B ，C ）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分（Ⅱ）令{1,2,3,4,5,6}S =，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的,,x y z S ∈，使得{}A B x = ，{}B C y = ，{}C A z = （如图），要确定,,x y z 共有654⨯⨯种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有34种确定方法． 所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数N =365447680⨯⨯⨯=．……………… 10分 C BA z yx。
2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，其中s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 A { 2 ，1，3，4} ，B { 1，2，3} ，则 A B _______ ．【答案】{ 1，3}【解析】由题意得 A B { 1,3} ．（2）【2014 年江苏，2，5 分】已知复数【答案】21 z(5 2i) (i 为虚数单位)，则z的实部为_______． 22【解析】由题意 2 2z (5 2i) 25 2 5 2i (2i) 21 20i ，其实部为21．（3）【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】 5n 的最小整数解．2n 20 整数解为n 5，因此输出的n 5 ．【解析】本题实质上就是求不等式 2 20（4）【2014 年江苏，4，5 分】从1，2 ，3，6这4个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_______．【答案】 13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取 2 个数共有 2C4 6 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和2,3 两种取法，因此所求概率为 2 1P ．6 3（5）【2014 年江苏，5，5 分】已知函数y cos x与y sin(2 x )(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cos sin(2 )3 3 ，即2 1sin( )3 2，2kk ( 1) ，(k Z ) ，因为0 ，所3 6以．6（6）【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 ．（7）【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列{ }a 中，若na8 a6 2a4 ，则a2 1 ，a的值是________．6【答案】 4【解析】设公比为q ，因为a2 1，则由a8 a6 2a4 得 6 4 2 2 4 2 2 0q q a ，q q ，解得2 2q ，所以4a6 a2q 4 ．（8）【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S ，体积分别为1 2 V ，V ，若它们的侧面积相1 2等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 、h ，r2、h2 ，则2 r1h1 2 r2 h2 ，1 1 h r1 2h r2 1，又2S r1 12S r2 294，所以r1r232，则2 2 2V r h r h r r r1 1 1 1 1 12 12 2 2V r h r h r r r2 2 2 2 2 2 1 232．（9）【2014 年江苏，9，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2 y 3 0 被圆长为________．2 2(x2) (y1) 4 截得的弦【答案】 2 555【解析】圆 2 2(x 2) (y1) 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为r 2 ，点C 到直线x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3d ，所求弦长为2 251 22 2 9 2 55l 2 r d 2 4 ．5 5（10）【2014 年江苏，10，5 分】已知函数f (x) x mx 1，若对任意x [m，m 1]，都有 f (x) 0 成立，则实2数m 的取值范围是________．【答案】 2 0，2【解析】据题意2 2f (m) m m 1 02f (m 1) (m 1) m(m 1) 1 0，解得22m 0 ．（11）【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 2 by axx( a，b 为常数)过点P(2 ，5) ，且该曲线在点P 处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是________．【答案】 3【解析】曲线y ax 2 bxb b过点P(2, 5) ，则4a 5 ①，又y'2ax 22 x，所以b 74a ②，由①②解得4 2ab11，所以 a b 2 ．（12）【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，AB 8 ，AD 5 ，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是________．【答案】22【解析】由题意，1AP AD DP AD AB ，43 3BP BC CP BC CD AD AB ，4 4所以1 3AP BP (AD AB) (AD AB)4 42 13 2AD AD AB AB ，2 16即 1 32 25 64AD AB ，解得AD AB 22 ．2 16（13）【2014 年江苏，13，5 分】已知 f (x) 是定义在R上且周期为 3 的函数，当x [0 ，3) 时， 2 1f (x) x 2x ．2 若函数y f ( x) a 在区间[ 3，4] 上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．【答案】0 1，22【解析】作出函数21f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21f(0)，当x1时，21f(x)极大，27f，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数y f(x)和图象与直线(3)2y a在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y a与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21a(0,)．2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，则cos C的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sin A2sin B2sin C及正弦定理可得a2b2c，cosC222a b c2ab2ab223a2b22ab26ab22ab62 8ab8ab4，当且仅当223a2b，即ab23时等号成立，所以cos C的最小值为624．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin55．（1）求sin的值；4（2）求cos26的值．解：（1）∵sin5，，，∴25225cos1sin5，210s i n s i n c o s c o s s i n(c o s s i n)．444210（2）∵43sin22sin cos cos2cos sin，，sin22sin cos cos2cos sin2255∴3314334 cos2cos cos2sin sin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA AC，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解：（1）∵D，E为PC，AC中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE1PA3∵E，F为AC，AB中点，∴1 4EF BC，22∴DE2EF2DF2，∴DEF90°，∴DE⊥EF，∵DE//PA，PA AC，∴DE AC，∵AC EF E，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别是椭圆1222yx a b221(0)a b的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1（1）若点C的坐标为41，，且33B F22，求椭圆的方程；（2）若F C AB，求椭圆离心率e的值．1316 1解：（1）∵ 4 1C ，，∴3 3 9 9 9a b2 2，∵ 2 2 2 2BF b c a ，∴22 ( 2) 2 2a ，∴b，2 1∴椭圆方程为 2 x y ．2 12（2）设焦点F1( c，0) ，F2 (c，0) ，C(x，y) ，∵A，C 关于x 轴对称，∴A(x ，y) ，∵B，F ，A三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y b FC AB ，∴ 1 1x c c ，即 2 0xc by c ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b c2 2∴Ca c 2bc2 2，2 2 2 2b c b cC 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21，化简得5c a ，∴c 52 2a 5, 故离心率为55．（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段O A 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点 A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan 4BCO ．3（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率 4k －tan BCO ．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB 的斜率 3k ．设点 B 的坐标为(a,b)，AB4则k BC= b 0 4a 170 3 ，k AB= 60 3ba 0 4，解得a=80，b=120．所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 ．因此新桥BC 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60．)由条件知，直线BC 的方程为 4 ( 170)y x ，即4x 3y 680 0 ，3由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d)到直线BC 的距离是r，即因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，| 3d 680 | 680 3d r ．5 5所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d ) 80≥，解得10 ≤ d ≤35 ．故当d=10 时,680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA, CB 交于点F．因为tan∠BCO = 43 ．所以sin∠FCO = 45，cos∠FCO = 35．因为OA =60,OC=170，所以OF= O C tan∠FCO =6803 ．CF=OC850cos FCO 3，4从而500AF OF OA ．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB =sin∠FCO =3 45，又因为A B⊥BC，所以BF =AFcos∠AFB == 4003，从而BC= C F－BF=150．因此新桥B C 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D，连接M D ，则MD ⊥BC，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m，OM =d m(0 ≤d≤60．) 因为O A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO = MD MD r 3MF OF OM 680 5d3所以680 3dr ．5因为O和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d )≥80，解得10 ≤ d ≤35 ，故当d=10 时，680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014 年江苏，19，16 分】已知函数( ) e ex xf x 其中e 是自然对数的底数．（1）证明： f (x) 是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf (x) ≤ e m 1在(0 ，) 上恒成立，求实数m 的取值范围；x（3）已知正数 a 满足：存在你的结论．x0 [1，) ，使得 3 ea 1 与f (x ) a( x 3x ) 成立．试比较0 0 0a e 1 的大小，并证明解：（1）x R， f ( x) e e f (x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数．x x（2）由题意，(e e ) e 1x x x m ≤，∵x (0 ，) ，∴e x e x 1 0 ，x x xm ≤m ，即(e e 1) e 1即 e 1xm ≤对x (0 ，) 恒成立．令 e ( 1)t t ，则xe e 1x x m1 t≤对任意t (1，) 恒成立．t t 12∵ 1 1 1 1t t ≥，当且仅当t 2 时等号成立，∴ 1m ≤．2 2 3t t 1 (t 1) (t 1) 1 1 3t 1 1t 1（3）f '( x) e e ，当x 1 时 f '( x) 0 ∴ f (x) 在(1，) 上单调增，令x xh(x) a( x 3x) ，h '( x) 3ax( x 1) ，33∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，) 上单调减，∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a ．30 0 0e 2 e∵ a a a a ，设m(a) (e 1)ln a a 1 ，则m '(a ) e 1 1 e 1 a e-1ln ln ln e (e 1)ln 1e 1 a 1e a aa 1，1 1a e ．当2 e 1 1e a e 1时，m '(a) 0 ，m(a) 单调增；当 a e 1 时，m '(a) 0 ，m(a ) 单调2 e减，因此m( a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时，m(a) 0 ，a e 1 e a 1 ；当1 e 1 ea 时，m(a) 0 ，2 e a e 1 e 1 ；当a e 时，m(a) 0 ，aa e 1 e a 1 ．（20）【2014 年江苏，20，16 分】设数列{ }a 的前n 项和为S．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得n n S a ，n m则称{}a 是“H 数列”．nn（1）若数列{ a } 的前n 项和S 2 (n N) ，证明：{ a } 是“H 数列”；n n n（2）设{ a } 是等差数列，其首项n a1 1，公差 d 0 ．若{a } 是“H 数列”，求d 的值；n（3）证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H数列”{b } 和{c } ，使得 a b c (n N) 成立．n n n n n n解：（1）当n ≥ 2 时，n n 1 n 1a S S 1 2 2 2 ，当n 1时，n n n a1 S1 2 ，∴n 1时，S a ，当n≥2时，1 1 S a ，∴{a } 是“H 数列”．n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n d ，对n N，m N使n 12 2S a ，即n mn(n 1)n d 1 (m 1)d ，25取n 2 得1 d (m1)d ，m 2 1d，∵d 0 ，∴m 2 ，又m N ，∴m 1，∴d 1．（3）设{}a 的公差为d，令n b a1 (n 1)a1 (2 n) a1 ，对n N ，nb b a ，n 1 n 1c (n 1)(a d) ，n 1对n N ，c c a d ，则n 1 n 1 b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c } 为等差数列．n n n n n{ b } 的前n 项和nn(n 1)T na ( a ) ，令n 1 12T (2 m)a ，则n 1n(n 3)m 2 ．2当n 1时m 1；当n 2 时m 1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3) 非负偶数，m N ．因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b } 为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c (m 1)(ad ) R ，则n 1 mmn(n 1)21∵对n N ，n(n 1) 是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立，n m 即{ }c 为“H 数列”，因此命题得证．n数学Ⅱ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前 2 题计分．第22、23 题为必答题．每小题10 分，共40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A、B、C、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D．解：因为B，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC．故∠OCB =∠B．又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB =∠D．（21-B ）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1 2 1 1A ，B ，向量1 x2 12y，x，y为实数，若Aα= Bα，求x，y的值．解：2 y 2A ，2 xy2 yBα，由Aα= Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y ．2 xy 4 y， 2（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y 2 t2y2 4x交于A，B 两点，求线段A B 的长．解：直线l：x y 3 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得x2 10x 9 0 ，∴交点 A (1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB| 8 2 ．（21-D ）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修4-5：不等式选讲）已知x 0 ，y 0 ，证明： 2 21 x y 1 x y 9xy ．解：因为x>0, y>0, 所以1+ x+y 2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥2 2 2 2 23 3 33 x y 0 ，所以(1+ x+y )( 1+x +y) ≥3 xy 3 x y =9 xy．2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥【必做】第22、23 题，每小题10 分，计20 分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．（22）【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．6（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x ，x ，随机变量X 表示1 2 3 x ，x ，x 1 2 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X ) ．解：（1）一次取 2 个球共有 2C 36 种可能情况， 2 个球颜色相同共有92 2 2C C C 10 种可能情况，4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P ．36 18（2）X 的所有可能取值为4，3，2 ，则C 14P X ；( 4) 4C 12649C C C C 133 1 3 1P( X 3) 4 5 3 6 ；C 633911P( X 2) 1 P(X 3) P(X 4) ．∴X 的概率分布列为：14X 2 3 4P 1114 13631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X ．14 63 126 9（23）【2014 年江苏，23，10 分】已知函数sin xf (x) (x 0)x ，设 f (x) 为nf x 的导数，n N．n1 ( )（1）求2f f 的值；1 22 2 2（2）证明：对任意的n N，等式 2nf f 成立．n 1 n4 4 4 2解：（1）由已知，得sin x cosx sin xf (x) f (x)1 0 2x x x，于是cosx sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f (x)2 1 2 2 3x x x x x ，所以 4 2 16f ( ) , f ( ) ，1 2 2 32 2故2 f ( ) f ( ) 1 ．1 22 2 2（2）由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得 f 0 (x) xf0 (x) cos x ，即f0 ( x) xf1 (x) cos x sin(x ) ，类似可得2 2 f (x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 233 f (x) xf (x) cos x sin( x ) ，2 32 4 f (x) xf (x) sin x sin( x 2 ) ．3 4下面用数学归纳法证明等式nnf x xf x x 对所有的nn n1 ( ) ( ) sin( )2N*都成立．（i）当n=1 时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k 时等式成立, 即kkf 1 (x) xf (x) sin( x ) ．k k2因为[kf ( x) xf (x )] kf (x) f (x) xf (x) (k 1) f (x) f ( x),k 1 k k 1 k k k k 1(k1)k k k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x ] ，所以2 2 2 2 (k 1) f ( x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] ．2所以当n=k +1 时,等式也成立．综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 ( x) xf (x) sin( x ) 对所有的nn n2 N都成立．*令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) ( nn n4 4 4 4 2N)．所以*2nf f ( nn 1 n( ) ( )4 4 4 2N)．*7。
2014年高考数学江苏卷完美解析版(精品资料)
已知函数 f ( x ) x 2 2 x 1 ，若存在实数 t ，当 x [ 1 ,m ] 时， f ( x t ) x 恒成立，则实数 m 的 （江苏苏州 陈海锋）
变式 5 若关于 x 的不等式 x2 mx m 1 0 恒成立，则实数 m ________. 【答案】2 （江苏苏州 陈海锋） 变式 6 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f ( x ) x 2 ，若对任意的 x [t , t 2] ，不等式 则实数 t 的取值范围是________. 【答案】 f ( x t ) 2 f ( x) 恒成立， 2, 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax 2 切线与直线 7 x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是 【答案】 3 【解析】曲线 y ax2 又 y 2ax
又 0 ，所以
6
. （三角函数图象的交点与
【考点】函数 y A sin( x ) 的图象与性质 (B)，三角函数的概念(B). 已知三角函数值求角）
1
2014 高考数学【江苏卷】解析版
6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木 中， 有 100cm. 【答案】24 【解析】 由题意在抽测的 60 株树木中， 底部周长 小于 100cm 的株数为(0.015+0.025) 10 60=24. 【考点】总体分布的估计 (A). （频率分布直方图） 7. 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {a n } 中 ，
1 AB 4, FE 2 PE 6 2 ， 2
2014年江苏省高考数学试卷答案与解析
2014年江苏省高考数学试卷答案与解析2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A ∩B= {﹣1，3} ．考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 根据集合的基本运算即可得到结论． 解答： 解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A ∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i ）2（i 为虚数单位），则z 的实部为 21 ．考点： 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 根据复数的有关概念，即可得到结论． 解答： 解：z=（5+2i ）2=25+20i+4i 2=25﹣4+20i=21+20i ，故z 的实部为21，故答案为：21点评： 本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 5 ．4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ．考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： 首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可． 解答： 解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个， 所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．点评： 本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx 与y=sin （2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是 ．考点： 三角方程；函数的零点． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：由于函数y=cosx 与y=sin （2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．解答： 解：∵函数y=cosx 与y=sin （2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点， ∴=． ∵0≤φ＜π，∴， ∴+φ=，解得φ=．故答案为：．点评： 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm ．考点： 频率分布直方图． 专题： 概率与统计． 分析： 根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm 的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm 的频数．解答： 解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm 的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm 的频数为60×0.4=24（株）．故答案为：24．点评： 本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则a 6的值是 4 ．考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：利用等比数列的通项公式即可得出． 解答： 解：设等比数列{a n }的公比为q ＞0，a 1＞0． ∵a 8=a 6+2a 4，∴，化为q 4﹣q 2﹣2=0，解得q 2=2．∴a 6===1×22=4．故答案为：4．点评： 本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是 ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 立体几何． 分析： 设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比． 解答： 解：设两个圆柱的底面半径分别为R ，r ；高分别为H ，h ； ∵=，∴，它们的侧面积相等， ∴，∴===．故答案为：．点评： 本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y ﹣3=0被圆（x ﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为 ．考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 求出已知圆的圆心为C （2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y ﹣3=0被圆截得的弦长．解答： 解：圆（x ﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C （2，﹣1），半径r=2，∵点C 到直线直线x+2y ﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y ﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2= 故答案为：．点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．10．（5分）（2014•江苏）已知函数f （x ）=x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m+1]，都有f （x ）＜0成立，则实数m 的取值范围是 （﹣，0） ． 考点：二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m 的范围． 解答： 解：∵二次函数f （x ）=x 2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x ∈[m ，m+1]，都有f （x ）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m ＜0，故答案为：（﹣，0）． 点评： 本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y=ax 2+（a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b 的值是 ﹣3 ． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析： 由曲线y=ax 2+（a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y ′|x=2=，解方程可得答案． 解解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，答： 曲线y=ax 2+（a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行， ∴y ′=2ax ﹣， ∴， 解得：，故a+b=﹣3， 故答案为：﹣3 点评： 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y ′|x=2=，是解答的关键．12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 ．考向量在几何中的应用；平面向量数量积的运点： 算．专题：平面向量及应用．分析： 由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案． 解答： 解：∵=3， ∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22， 故答案为：22． 点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13．（5分）（2014•江苏）已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2﹣2x+|，若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 （0，） ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析： 在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a 的图象，利用数形结合判断a 的范围即可． 解答： 解：f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2﹣2x+|，若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x ）与y=a 的图象如图：由图象可知． 故答案为：（0，）．点本题考查函数的图象以函数的零点的求评： 法，数形结合的应用．14．（5分）（2014•江苏）若△ABC 的内角满足sinA+sinB=2sinC ，则cosC 的最小值是． 考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形． 分析： 根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：由正弦定理得a+b=2c ，得c=（a+b ）， 由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC ＜1，故cosC 的最小值是．故答案为：．点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sin α=．（1）求sin （+α）的值； （2）求cos （﹣2α）的值． 考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：（1）通过已知条件求出cos α，然后利用两角和的正弦函数求sin （+α）的值； （2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos （﹣2α）的值． 解答：解：α∈（，π），sin α=．∴cos α=﹣= （1）sin （+α）=sin cos α+cos sin α==﹣；∴sin （+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sin α=．∴cos2α=1﹣2sin 2α=，sin2α=2sin αcos α=﹣ ∴cos （﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos （﹣2α）的值为：﹣．点评： 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何． 分析： （1）由D 、E 为PC 、AC 的中点，得出DE ∥PA ，从而得出PA ∥平面DEF ；（2）要证平面BDE ⊥平面ABC ，只需证DE ⊥平面ABC ，即证DE ⊥EF ，且DE ⊥AC 即可． 解答： 证明：（1）∵D 、E 为PC 、AC 的中点，∴DE ∥PA ，又∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， ∴PA ∥平面DEF ；（2）∵D 、E 为PC 、AC 的中点，∴DE=PA=3；又∵E 、F 为AC 、AB 的中点，∴EF=BC=4；∴DE 2+EF 2=DF 2， ∴∠DEF=90°， ∴DE ⊥EF ；∵DE ∥PA ，PA ⊥AC ，∴DE ⊥AC ； ∵AC ∩EF=E ，∴DE ⊥平面ABC ； ∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ． 点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ． （1）若点C 的坐标为（，），且BF 2=，求椭圆的方程；（2）若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a ，b 的值．（2）求出C 的坐标，利用F 1C ⊥AB 建立斜率之间的关系，解方程即可求出e 的值． 解答： 解：（1）∵C 的坐标为（，），∴，即，∵，∴a 2=（）2=2，即b 2=1， 则椭圆的方程为+y 2=1．（2）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， ∵B （0，b ），∴直线BF 2：y=﹣x+b ，代入椭圆方程+=1（a ＞b ＞0）得（）x 2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A （，），且A ，C 关于x 轴对称， ∴C （，﹣）， 则=﹣=，∵F 1C ⊥AB ， ∴×（）=﹣1， 由b 2=a 2﹣c 2得，即e=． 点评： 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），tan ∠BCO=． （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析： （1）在四边形AOCB 中，过B 作BE ⊥OC 于E ，过A 作AF ⊥BE 于F ，设出AF ，然后通过解直角三角形列式求解BE ，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO 交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x 的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．解：（1）如图，解答：过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x ≤35．∴当且仅当x=10时R 取到最大值． ∴OM=10m 时，保护区面积最大． 点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．19．（16分）（2014•江苏）已知函数f （x ）=e x +e﹣x，其中e 是自然对数的底数．（1）证明：f （x ）是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式mf （x ）≤e ﹣x +m ﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 满足：存在x 0∈[1，+∞），使得f （x 0）＜a （﹣x 03+3x 0）成立，试比较e a ﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析： （1）根据函数奇偶性的定义即可证明f （x ）是R 上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf （x ）≤e ﹣x +m ﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m 的取值范围； （3）构u 造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论． 解答： 解：（1）∵f （x ）=e x +e ﹣x ，∴f （﹣x ）=e ﹣x +e x =f （x ），即函数：f （x ）是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式mf （x ）≤e ﹣x +m ﹣1在（0，+∞）上恒成立， 即m （e x +e ﹣x ﹣1）≤e ﹣x ﹣1，∵x ＞0， ∴e x +e ﹣x ﹣1＞0，即m ≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x ，（t ＞1），则m ≤在（1，+∞）上恒成立， ∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m．（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e ﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e ﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x ∈（e ﹣1，e ）⊆（e ﹣1，+∞）时，h （x ）＜h （e ）=0，∴h （x ）＜0，对任意的x ∈（1，e ）成立． ①a ∈（（e+），e ）⊆（1，e ）时，h （a ）＜0，即a ﹣1＜（e ﹣1）lna ，从而e a ﹣1＜a e ﹣1，②当a=e 时，a e ﹣1=e a ﹣1，③当a ∈（e ，+∞）⊆（e ﹣1，+∞）时，当a ＞e ﹣1时，h （a ）＞h （e ）=0，即a ﹣1＞（e ﹣1）lna ，从而e a ﹣1＞a e ﹣1．点评： 本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n =a m ，则称{a n }是“H 数列”．（1）若数列{a n }的前n 项和为S n =2n （n ∈N *），证明：{a n }是“H 数列”；（2）设{a n }是等差数列，其首项a 1=1，公差d ＜0，若{a n }是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n =b n +c n （n ∈N *）成立． 考点：数列的应用；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析： （1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，当n=1时，a 1=S 1”即可得到a n ，再利用“H ”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n 项和即可得出S n ，对∀n ∈N *，∃m ∈N *使S n =a m ，取n=2和根据d ＜0即可得出；（3）设{a n }的公差为d ，构造数列：b n =a 1﹣（n ﹣1）a 1=（2﹣n ）a 1，c n =（n ﹣1）（a 1+d ），可证明{b n }和{c n }是等差数列．再利用等差数列的前n 项和公式及其通项公式、“H ”的意义即可得出． 解答： 解：（1）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2n ﹣1=2n﹣1，当n=1时，a 1=S 1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n （n ﹣3）为非负偶数，m ∈N *． 因此对∀n ∈N *，都可找到m ∈N *，使T n =b m 成立，即{b n }为H 数列． 数列{c n }的前n 项和R n =，令c m =（m ﹣1）（a 1+d ）=R n ，则m=．∵对∀n ∈N *，n （n ﹣3）为非负偶数，∴m ∈N *． 因此对∀n ∈N *，都可找到m ∈N *，使R n =c m 成立，即{c n }为H 数列． 因此命题得证． 点评： 本题考查了利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，当n=1时，a 1=S 1”求a n 、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H ”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明：∠OCB=∠D ．考点：弦切角．专题：直线与圆．分析： 利用OC=OB ，可得∠OCB=∠B ，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论． 解答： 证明：∵OC=OB ， ∴∠OCB=∠B ，∵∠B=∠D ， ∴∠OCB=∠D ． 点评： 本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x ，y 为实数，若A =B ，求x+y 的值． 考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：矩阵和变换．分析： 利用矩阵的乘法，结合A =B ，可得方程组，即可求x ，y 的值，从而求得x+y 的值． 解答：解：∵矩阵A=，B=，向量=，A =B ，∴，∴x=﹣，y=4， ∴x+y= 点评： 本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 考点：直线的参数方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析： 直线l 的参数方程化为普通方程，与抛物线y 2=4x 联立，求出A ，B 的坐标，即可求线段AB 的长． 解答：解：直线l 的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，与抛物线y 2=4x 联立，可得x 2﹣10x+9=0， ∴交点A （1，2），B （9，﹣6）， ∴|AB|==8．点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x ＞0，y ＞0，证明（1+x+y 2）（1+x 2+y ）≥9xy ． 考点：不等式的证明．专题： 证明题；不等式的解法及应用． 分析： 由均值不等式可得1+x+y 2≥3，1+x 2+y ≥，两式相乘可得结论． 解答：证明：由均值不等式可得1+x+y 2≥3，1+x 2+y ≥分别当且仅当x=y 2=1，x 2=y=1时等号成立， ∴两式相乘可得（1+x+y 2）（1+x 2+y ）≥9xy ． 点评： 本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）． 考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析： （1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X 的所有可能值为4，3，2，则P （X=4）=，P （X=3）=于是P （X=2）=1﹣P （X=3）﹣P （X=4）=，X 的概率分布列为 X 2 3 4 P故X 数学期望E （X ）=．点评： 本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题． 26．（10分）（2014•江苏）已知函数f 0（x ）=（x ＞0），设f n （x ）为f n ﹣1（x ）的导数，n ∈N *． （1）求2f 1（）+f 2（）的值；（2）证明：对任意n ∈N *，等式|nf n ﹣1（）+f n（）|=都成立． 考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算． 专函数的性质及应用；三角函数的求值．题： 分析： （1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf 0（x ）=sinx ，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f 1（x ）+xf 2（x ）=﹣sinx ，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f 0（x ）+xf 1（x ）=cosx 和2f 1（x ）+xf 2（x ）=﹣sinx ，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证． 解答： 解：（1）∵f 0（x ）=，∴xf 0（x ）=sinx ， 则两边求导，[xf 0（x ）]′=（sinx ）′，∵f n （x ）为f n ﹣1（x ）的导数，n ∈N *，∴f 0（x ）+xf 1（x ）=cosx ，两边再同时求导得，2f 1（x ）+xf 2（x ）=﹣sinx ， 将x=代入上式得，2f 1（）+f 2（）=﹣1，（2）由（1）得，f 0（x ）+xf 1（x ）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kf k﹣1（x）+xf k（x）]′=kf k﹣1′（x）+f k（x）+xf k′（x）=（k+1）f k（x）+xf k+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，41 由①②得，nf n ﹣1（x ）+xf n （x ）=sin （x+）对任意n ∈N *恒成立，令x=代入上式得，nf n ﹣1（）+f n （）=sin （+）=±cos =±，所以，对任意n ∈N *，等式|nf n ﹣1（）+f n （）|=都成立．点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。
2014年江苏高考数学卷及答案
2014年江苏高考数学卷及答案2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则B A I2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{na 中,,12=a4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 为1V ，2V 的值是 ▲ .（第39. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx xx f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xb axy +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅，则⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x xx f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是▲ .14. 若△ABC 的内角满足CB A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α. B（第12(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且（第16题）PDCEF BA22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA上 并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位 于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向 170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO . (1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？（第18题）19.(本小题满分16分)已知函数xxx f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{na 的前n 项和为nS .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{na 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n nS 2=(∈n N *),证明: }{na 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{na 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{na ，总存在两个“H 数列”}{nb 和}{nc ，使得nn n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+= （2）=12=，=2==+=+（）=16. （1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA又∵DE ⊂平面PAC ，PA ⊄平面PAC ∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF ²=EF ²+DE ²=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ⋂ EF=E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17.（1）∵BF 2 = ，将点C （，）代入椭圆22221(0)x y a b a b+=>>， ∴221611(0)99a b a b+=>>，且c ²+b ²=a ²∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为2212x y +=（2）直线BA 方程为y=x+b,与椭圆22221(0)x y a b ab+=>>联立得x ²x=0. ∴点A （，），∴点C （，），F 1（）直线CF 1 斜率k= ，又∵F 1C ⊥AB ，∴·= ∴=1，∴e=18. （1）过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点F 。
2014年江苏省苏州市中学考试数学试卷(含解析汇报)
2014年江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2014•苏州）（﹣3）×3的结果是（）A．﹣9B．0C．9D．﹣62．（3分）（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（）A．30°B．60°C．70°D．150°3．（3分）（2014•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（）A．1B．3C．4D．54．（3分）（2014•苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣4B．x≥﹣4C．x≤4D．x≥45．（3分）（2014•苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C 的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°7．（3分）（2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1）（x+2）=0D．（x﹣1）2+1=08．（3分）（2014•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．2D．59．（3分）（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km10．（3分）（2014•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB 在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•苏州）的倒数是．12．（3分）（2014•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2，数510000000用科学记数法可表示为．13．（3分）（2014•苏州）已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为．14．（3分）（2014•苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有人．15．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC= ．16．（3分）（2014•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y）的值为．17．（3分）（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．18．（3分）（2014•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是．三、解答题（共11小题，共76分）19．（5分）（2014•苏州）计算：22+|﹣1|﹣．20．（5分）（2014•苏州）解不等式组：．21．（5分）（2015•东莞）先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．22．（6分）（2014•苏州）解分式方程：+=3．23．（6分）（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．24．（7分）（2014•苏州）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．（1）求点A的坐标；（2）若OB=CD，求a的值．25．（7分）（2014•苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．26．（8分）（2014•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长．27．（8分）（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．28．（9分）（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．29．（10分）（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a ＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．2014年江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2014•苏州）（﹣3）×3的结果是（）A．﹣9B．0C．9D．﹣6【解答】解：原式=﹣3×3=﹣9，故选：A．2．（3分）（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（）A．30°B．60°C．70°D．150°【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．故选：A．3．（3分）（2014•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：这组数据中3出现的次数最多，故众数为3．故选：B4．（3分）（2014•苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣4B．x≥﹣4C．x≤4D．x≥4【解答】解：依题意知，x﹣4≥0，解得x≥4．故选：D．5．（3分）（2014•苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设圆的面积为6，∵圆被分成6个相同扇形，∴每个扇形的面积为1，∴阴影区域的面积为4，∴指针指向阴影区域的概率==．故选：D．6．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C 的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选：B．7．（3分）（2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1）（x+2）=0D．（x﹣1）2+1=0【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．8．（3分）（2014•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．2D．5【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．故选：B．9．（3分）（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选：C．10．（3分）（2014•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB 在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，），∴OC=2，AC=，由勾股定理得，OA===3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×=，BD=4×=，∴OD=OB+BD=4+=，∴点O′的坐标为（，）．故选：C．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•苏州）的倒数是．【解答】解：的倒数是，故答案为：．12．（3分）（2014•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2，数510000000用科学记数法可表示为 5.1×108．【解答】解：510 000 000=5.1×108．故答案为：5.1×108．13．（3分）（2014•苏州）已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为 4 ．【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC=，∴边长AB=÷=1，∴正方形ABCD的周长=4×1=4．故答案为：4．14．（3分）（2014•苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有240 人．【解答】解：C占样本的比例，C占总体的比例是，选修C课程的学生有1200×=240（人），故答案为：240．15．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC= ．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．16．（3分）（2014•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y）的值为20 ．【解答】解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，由题意，得，解得：．∴x+y=20．故答案为：20．17．（3分）（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为 5 ．【解答】解：如图，连接BE，则BE=BC．设AB=3x，BC=5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x﹣4x=x，∵AE•ED=，∴4x•x=，解得：x=（负数舍去），则AB=3x=，BC=5x=，∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，故答案为：5．18．（3分）（2014•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是 2 ．【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴，∵PA=x，PB=y，半径为4，∴=，∴y=x2，∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2，故答案为：2．三、解答题（共11小题，共76分）19．（5分）（2014•苏州）计算：22+|﹣1|﹣．【解答】解：原式=4+1﹣2=3．20．（5分）（2014•苏州）解不等式组：．【解答】解：，由①得：x＞3；由②得：x≤4，则不等式组的解集为3＜x≤4．21．（5分）（2015•东莞）先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．【解答】解：=÷（+）=÷=×=，把，代入原式====．22．（6分）（2014•苏州）解分式方程：+=3．【解答】解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．23．（6分）（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．24．（7分）（2014•苏州）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．（1）求点A的坐标；（2）若OB=CD，求a的值．【解答】解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B点坐标为（0，3），∵CD=OB，∴CD=3，∵PC⊥x轴，∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a）∴a﹣（﹣a+3）=3，∴a=4．25．（7分）（2014•苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．【解答】解：画树状图，如图所示：所有等可能的情况8种，其中A、C两个区域所涂颜色不相同的有4种，则P=．26．（8分）（2014•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长．【解答】解；（1）y=（x＞0）的图象经过点A（1，2），∴k=2．∵AC∥y轴，AC=1，∴点C的坐标为（1，1）．∵CD∥x轴，点D在函数图象上，∴点D的坐标为（2，1）．∴．（2）∵BE=，∴．∵BE⊥CD，点B的纵坐标=2﹣=，由反比例函数y=，点B的横坐标x=2÷=，∴点B的横坐标是，纵坐标是．∴CE=．27．（8分）（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．【解答】（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=360°﹣240°=120°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．28．（9分）（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105 °；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图位置一，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．29．（10分）（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a ＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得 a=．（2）方法一：证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得 x1=﹣m，x2=3m，则 A（﹣m，0），B（3m，0）．∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，又∵D点在抛物线上，∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．设E坐标为（x，），∴=，∴x=4m，∴E（4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即为定值．方法二：过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，∴x1=﹣m，x2=3m，则A（﹣m，0），B（3m，0），∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，∴D（2m，﹣3），∵AB平分∠DAE，∴K AD+K AE=0，∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），∴K AD==﹣，∴K AE=，∴⇒x2﹣3mx﹣4m2=0，∴x1=﹣m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），∵∠DAM=∠EAN=90°∴△ADM∽△AEN，∴，∵DM=3，EN=5，∴．（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴，∵OC=3，HF=4，OH=m，∴OG=3m．∵GF===4，AD===3，∴=．∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；wdzyzlhx；caicl；dbz1018；sjzx；CJX；gsls；星期八；HJJ；hdq123；zjx111；wkd；sks；gbl210；wd1899；sd2011；SPIDER（排名不分先后）菁优网2016年7月19日。
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)
2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，则ϕ的值是． 【答案】6π6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 【答案】255510．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是． 【答案】202⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的 值是． 【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是． 【答案】()102，14．若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是．【答案】624- 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin 5α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分.（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-()210sin sin cos cos sin (cos sin )444210αααααπππ+=+=+=-；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==∴222DE EF DF +=∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵ACEF E =∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，∵2B F A ，，三点共线，∴b y b c x +=--，即0bx cy bc --=① ∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c ⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴55c a =, 故离心率为5518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=． （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=--k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC =22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F . 因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45， 又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a aa a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2ea m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-（3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点 证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值． 【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB = D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为X 2 3 4 P111413631126故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()124442n n nf f -πππ+=成立．23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+. 下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ). 所以12()()4442n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).。
江苏省苏州市2014届高三调研测试数学(理)试题 含解析
二、解答题 （本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15。（本题满分14分）
在△ABC中,设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若 , ,求边c的大小．
………8分
（2）用余弦定理，得
16.（本题满分14分）
（2）求 的分布列，并求其数学期望E（ )．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上.)
1.已知集合A｛x|x〈2 }，B｛1,0，2，3 }，则A∩B▲．
2。已知 为虚数单位，计算 =▲．
3。若函数 （ )的图象关于直线 对称，则θ▲．
4。设Sn为等差数列{an｝的前n项和，已知S5= 5,S9= 27,则S7=▲．
在极坐标系中，求点M 关于直线 的对称点N的极坐标，并求MN的长．
21. ．选修45：不等式选讲(本小题满分10分）
已知x，y，z均为正数．求证： ．
22。（本小题满分10分)
如图,在空间直角坐标系Oxyz中，正四棱锥PABCD的侧棱长与底边长都为 ，点M,N分别
在PA，BD上，且 ．
（1）求证:MN⊥AD；
21. ．选修41:几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D,E，
求证：AB·CD=BC·DE．
21. ．选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知a，b ，若 = 所对应的变换TM把直线2xy= 3变换成自身，试求
实数a,b．
21. ．选修44:坐标系与参数方程（本小题满分10分)
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（ ）的函数，并指出这个函数的定义域;
「语文-苏州实验中学2014届高三下学期周考试卷(20140517)语文1」
苏州实验中学高三语文周练四(满分1６０分，考试时间150分钟)一、语言文字运用(15 分）1. 下列词语中加点的字,读音全都不相同的一组是(3分）（)错误!喇．叭辣．手竦．立毛骨悚．然不速．之客B．禅．宗邯郸．小惮．殚．精竭虑箪．食壶浆Ｃ. 茧．绸浑浊．蛰．伏风烛．残年风雪不蚀．Ｄ. 憧．憬瞳．孔潼．关招摇撞．骗灯影幢．幢2. 依次填入下面横线处的词语,最恰当的一组是(3分)()蔚县剪纸用色大胆浓艳，在__＿____＿__的喧嚣中，传达着对生活的感悟和独特的审美情趣。
传统的蔚县剪纸，主要有花卉和戏曲人物两大类主题,其中尤以戏曲人物____＿_____，_＿__＿＿＿_＿_了不同时代的一两百出戏剧里众多不同的人物。
错误!穷形尽相独树一帜概括 B. 浓墨重彩独树一帜囊括C. 浓墨重彩独具匠心概括D. 穷形尽相独具匠心囊括3．小张是刚上任的女秘书，公司老总让她亲自上门送三副对联,你替她想想该送给谁才合适。
（３分）(1）门前绿水声声笑屋后青山步步春(2）室有芝兰春自永人如松柏岁长新(3) 辛勤浇灌敢叫梓楠成大木呕心沥血能让枯藤发新枝（１) ___＿________ (2) _＿_＿＿_＿____＿（3) _____＿______4. 江苏有许多著名的特产,像苏州刺绣、扬州蟹黄包、镇江陈醋、盐城醉螺……请从中任选一样,参照下面示例,写一则广告词,并就广告词的特点作简要解说。
(6分)(示例)王致和臭豆腐的一则广告词——“臭名远扬，香飘万里。
”这则广告从人的切身体验入手,用对比的手法,整齐的句式,生动地表现了王致和臭豆腐闻起来臭,吃起来香的特点。
二、文言文阅读(１9分）阅读下面的文言文，完成５~８题。
食旧堂集序姚鼐丹徒王禹卿先生，少则以诗称于丹徒。
长入京师，则称于京师。
负气好奇,欲尽取天下异境以成其文。
乾隆二十一年,翰林侍读全魁使琉球,邀先生同渡海，即欣然往。
故人相聚,涕泣留，先生不听。
入海覆其舟，幸得救，不死。
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S A B C
x x 1
得
1 1 1 x sin 60 y sin 60 xy sin120 2 2 2
„„„„„„
„„„„„„ ， „„„„„„ 6 分 所 以
0 y 5,0<x 5
5 x5 4
故y
x 5 ， x 5. x 1 4
（2）设△ABC 的周长为 l,面积为 S，则结合（1）易得
江苏省苏州实验中学周考数学参考答案(2014.5.17)
一、填空题 1．1 8．169π 14． 二、解答题 2． [2, 1) (1,0) 3．5 9． 4．
1 4
5．
1 12
6．4 13
7．12 ． 9
6 3
10．
3 3
11．5
12．5
1 2 4
15． （1） 由题意， 得 AB (sin cos , 2 sin ) ， 分 当
E
D
P F Q A C
B
(第 13 题) 14．若 a, b, c 是正实数, u
c a b ,则 u 的最小值为 ▲ ． a b b 2c a 2c
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤． 15． （本题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(cos , 2 sin ) ， B(sin , 0) ，其中 R .
„„„„„„ 8 分 | AB |2 (sin cos )2 ( 2 sin )2 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 2sin π 2 2 sin(2 ) . „„„„„„10 分 4 π π π 5π ≤ 2 ≤ 因为 0 ≤ ≤ ，所以 . „„„„„„ 2 4 4 4
„„„„„„ 2
2π 2π 2π 1 3 时， ， sin cos sin cos 3 3 3 2
„„„„„„ 4
分
2 sin 2 sin
2π 6 3 2
，
所
以
1 3 6 „„„„„„ 6 分 AB ( , ). 2 2 （2）因为 AB (sin cos , 2 sin ) ，
江苏省苏州实验中学周考试卷
数
学
2014.5.17
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卷相应的位置 上． 1．若复数 z a 2 a ai （ i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 ▲ ． 2．集合 A {x R | 2 x 0}, B {x Z | 1 x 2} ，则 A ＝ ▲ ． （CR B） 3．下图是一个算法的伪代码，则输出的 k 的值是 ▲ ． k←1 While k2－5k＋4≤0 k ← k＋1 End While Print k （第 3 题） 4．抛物线 y ax2 (a R) 的准线方程为 y 1 ，则 a 的值为 ▲ ． 5．苏州地铁 1 号线，高峰时段每隔 6 分钟一班，进站停靠半分钟，则某同学在高峰时段到 站台就可进车箱的概率为 ▲ ． 6 ．若幂函数 f ( x) (a 7a 13) x
12．已知双曲线 C :
x2 y2 1(a 0,b 0) 的左焦点为 F， C 与过原点的直线相交于 A、 a 2 b2
4 B 两点， 连结 AF、 BF， 若｜AB｜＝10， ｜AF｜＝6， cos∠ABF＝5， 则 C 的离心率 e＝ ▲ ．
AB 2 ， 点 Q 为 BC 边的中点， 13． 如右图， 在正六边形 ABCDEF 中， 点 P 在正六边形 ABCDEF uu u r uuu r 内（含边界） ，则 AP AQ 的最大值为 ▲ ．
F
CN 2 ＝ ， ∴CN＝2NC1. „„„„„„ 14 分 CN+NC1 3 法二：连接 AM 交 AB1 于 F，连接 AN，交 A1C 于 G, 则平面 A1BC∩平面 AMN＝GF， MN 在平面 AMN 内. 又∵MN//平面 A1BC， ∴MN//GF. „„„ 12 分 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 中，棱 CC1//AA1,AB//A1B1, 且 CC1＝AA1,AB＝A1B1 即 ∴
0
B A E L A1 M
B1
∴ A1 E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ CE A1 E =E, ∴AB⊥面 CEA1 , 又∵ A1C 在平面 CEA1 内 ∴AB⊥ A1C .
„„„„„„
6分 （2）法一：设过 CC1 与点 M 的平面与 A1B 相交于点 L，连接 CL，LM，则 平面 MC1CL∩平面 A1BC＝CL，MN 在平面 MC1CL 内， 平面 MC1CL∩平面 AA1B1B＝ML，CN 在平面 MC1CL 内. ∵MN//平面 A1BC， ∴MN//CL. „„„„„„ 8分 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 侧棱 CC1//侧面 AA1B1B， ∴CC1//ML， 即 CN//ML. „„„ 10 分 ∴四边形 LMNC 为平行四边形， ∴CN ＝ LM ， CN//LM. „„„„„„ 12 分 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1＝BB1 且 CC1//BB1, G CN LM A1M LM ∴LM// BB1, ＝ . ∴ ＝ . CC1 BB1 A1B1 BB1 A1M 2 CN 2 又∵A1M＝2MB1, ∴ ＝ . ∴ ＝ ， A1B1 3 CC1 3
（1）若函数 ( x) f ( x)
20． （本题满分 16 分） 在无穷数列 {an } 中， a1 1 ，对于任意 n N ，都有 an N* ， an an1 . 设 m N ，
* *
记使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . （1）设数列 {an } 为 1，3，5，7， ，写出 b1 ， b2 ， b3 的值； （2）若 {bn } 为等差数列，求出所有可能的数列 {an } ； （3）设 a p q ， a1 a2 ap A ，请直接用 p, q, A 表示 b1 b2 bq 的值，不 需写推理过程．
2π 时，求向量 AB 的坐标； 3 π （2）当 [0, ] 时，求 | AB | 的最大值. 2
（1）当
16． （本题满分 14 分） M 和 N 分别为线 如图,三棱柱 ABC-A 1 , BAA 1 60, 点 1B 1C 1 中 , CA=CB, AB AA
AB AC , AA1 12cm ,则球 O 的表面积为 ▲
cm2 ．
▲ ．
1 9．在 △ABC 中， C＝ 90 ，M 是 BC 的中点．若 sin BAM＝ ，则 sin BAC＝ 3
10． 过点 引直线 l 与曲线 y 1 x 2 相交于 A, B 两点，O 为坐标原点， 当△ AOB （ 2， 0 ） 11．设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， Sm 1 2 ， Sm 0 ， Sm 1 3 ，则正整数 m 的值为 ▲ ． 的面积取最大值时，直线 l 的斜率为 ▲ ．
2 a 1
为其定义域上的单调递增函数，则实数 a 的值为
▲ ． 7． 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2,„, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 ▲ ． 8．已知三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ,若 AB 3cm，AC 4cm ,
｜PT ｜ 为定值. ｜MN ｜
x
19． （本题满分 16 分） 已知函数 f ( x) ln x, g ( x) e ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1 ，求函数 ( x) 的单调区间； x 1 （2）设直线 l 为函数 f ( x ) 的图象上一点 A( x0 , f ( x0 )) 处的切线． （1， + ） 证明：在区间 上存在唯一的 x0 ，使得直线 l 与曲线 y g ( x) 也相切．
12 分 所以当 2 时 ，
所
以
π 5π π 2 时， 即当 ) 3， | AB |2 取到最大值 | AB |2 2 2 ( 4 4 2 2 取 到 最 大 值 | AB |
.
C N C1
3
„„„„„„ 14 分 16.(1)取 AB 中点 E,连结 CE, A1 B , A1 E , ∵AB= AA1 , BAA1 = 60 ,∴ BAA1 是正三角形,
CN CN NG MF MA1 A1M ＝ ＝ CC1 AA1 GA AF AB A1B1
„„„„„„ 14
A1M 2 CN 2 CN 2 又∵A1M＝2MB1, ∴ ＝ . ∴ ＝ ， 即 ＝ ， ∴CN＝2NC1. A1B1 3 CC1 3 CN+NC1 3 分
法三：在 BB1 上取点 H，使 BH＝2HB1,连接 HN，HM, 则 HM∩MN＝M,MH 不在平面 A1BC 内. ∵A1M＝2MB1, ∴MH//A1B. ∴MH//平面 A1BC. „„„ 8 分 H 又∵MN//平面 A1BC，MN、MH 均在平面 MNH 内， ∴平面 MNH//平面 A1BC. „„„ 10 分 ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 侧面 BB1C1C∩平面 MNH＝NH， 侧面 BB1C1C∩平面 ABC＝BC， ∴NH//BC. „„„ 12 分 再结合三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 CC1//BB1，可得四边形 BHNC 为平行四边形，进而 BH＝CN. 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 CC1＝BB1, ∴HB1=NC1. ∴CN＝2NC1. „„„„„„ 14 分 17. （1） 由 SA SA B D + C D 2分 所以 x+y=xy， 所以 y 4分 又