大学物理上基本例题

(T + dT) − T = (dm)a = (η dx)a
M
F
T
dT = η adx
x
l
m、l 、
r a
r F
T = F − ηa(l − x ) T = ( M + m x) F l M+m
T0 T0′ = T0
T
T + dT
dx
x
F
对于轻绳，M<< m，则 T≈。 F 即轻绳内部张力处处相等。 轻绳内部张力处处相等。
{ N sinθ = ∆ma = ∆mxω
N cos θ − ∆mg = 0
y
2
ω
N
[解] 由上式可解得:
tgθ = ω x g
2
θ
dy tgθ = dx
ω 2 xdx ∫dy = ∫
0 0
y
x
o
∆ mg x
θ
g
ω 2 x2 y=
2g
由对称性可知,水面为旋转抛物面。 由对称性可知,水面为 。
(解毕)
o
P
ω (t )
归纳 r v2 ˆ ˆ an = ⋅ en = rω 2⋅ en r r dv ˆ ˆ aτ = ⋅ eτ = rα ⋅ eτ dt
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Chapter 1. 质点运动学
§1. 3 圆周运动
课堂练习 某质点作斜抛运动：θ = 30 ° , v 0 = 19 .6m / s 求其在 t = 1.5s 时刻的切向/法向加速度的大小。 r 解 a = −g ⋅ ˆ j g = 9 .8 m / s 2
·8·
Chapter 1. 质点运动学
§1. 3 圆周运动
gt − v0 sinθ 2g dv = aτ = g = ≈ 5.44( m / s 2 ) 2 dt 13 v0 + g 2t 2 − 2v0 gt sinθ
2 g = aτ2 + an
y
r aτ
r g
an = g 2 − aτ2
= 3g 13
大学物理基本例题
Chapter 1. 质点运动学
§1. 1 质点运动的描述
r ˆ 例 已知质点的运动方程为 r = 2ti + ( 2 − t 2 ) ˆ j
( SI )，
求质点：1）轨迹方程；2）在t =1s至t=2s内的位移及平 均速度；3）在t =1s和t =2s时的速度。 解 1）由题意可知：
(解毕)
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Chapter 2. 质点动力学
§2. 2 牛顿定律的应用
三、综合问题
已知部分力和部分运动，求力和运动问题。 质量为m 例 质量为m的物体在摩擦系数为 µ 的平面上作匀速直 线运动，问当力与水平面成 θ 角多大时最省力？ 解 受力分析，建立坐标系， 物体受力分析如图。
y
r F
{ F = ma
平均速度：
r ˆ r ∆r 2i − 3 ˆ j ˆ v= = = 2i − 3 ˆ j 2 −1 ∆t
r 2 2 大小: v = 2 + ( −3)
y
2
1
−1
o
x
1 2
≈ 3.61(m / s)
r 方向: 与该段时间内 ∆ r 同向
r3 ∆r
4
−2
·3·
r r dr ˆ v= = 2i − 2tˆ j 3）在 t 时刻的速度: dt r ˆ ∴ t =1s时：v = 2i − 2 ˆ j
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Chapter 3. 守恒定律
r r d 2r a = 2 = 6Bt ⋅ ˆ j dt
r r F = ma = 6mBt ⋅ ˆ j
{方向：+y方向 +y方向
大小：6mBt
(解毕)
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Chapter 2. 质点动力学
§2. 2 牛顿定律的应用
(2) 求绳上任意点的张力： 设线密度 η = m ，以 dx 段绳为对象，则: 段绳为对象，则: l
1
−1
r v1
1 2
o
x
4
r3 ∆r
≈ 4.48(m / s) 方向: θ 2 = arctg( − 4 ) ≈ −63°25′48′′ 2
−2
r v2
(解毕)
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Chapter 1. 质点运动学
§1. 1 质点运动的描述
归纳：
描述质点运动，即描述 t 时刻质点： r ˆ ˆ j 1. 在何处？ 位矢 : r = xi + yˆ + zk r r r 2. 如何变动？位移 : ∆r = r2 − r1 r r dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ = i+ j+ k 3. 变动快慢？速度 : v = dt dt dt dt r r r dv d 2 r ˆ ˆ 4. 速度变化率？ 加速度 : a = 2 = 2 = a x i + ay ˆ + azk j dt dt 运动状态
{ {
x = v0t cos θ
y = v0t sinθ − 1 gt2 2 v x = dx = v0 cos θ dt dy = v0 sin θ − gt vy = dt
y
r aτ
r g
r v0
o
)θ
r an
x
2 2 2 v = v x + v y = v0 − 2v0 gt sin θ + ( gt )2
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Chapter 2. 质点动力学
§2. 2 牛顿定律的应用
二、已知运动求力 r r r a r、 v
r F
r 已知质点质量为m 例 已知质点质量为m ，运动方程为 r = At ⋅ ˆ + Bt3 ⋅ ˆ ， i j
式中A 式中A、B为常数，求质点所受合外力? 为常数，求质点所受合外力? 解
− mg − kv = m dv ⋅ dx = mv dv dx dx dt
dx = − mvdv mg + kv
m ⋅ (1 − mg )dv ∫ dx = − k v∫ mg + kv 0
0
x h
v=0
r v
h 0
f = −kv mg
m2g kv 0 mv − h= ln( 1 + ) 0 2 k mg k
F
2
0
1
2
(t )
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Chapter 3. 守恒定律
§3. 1 动量及动量定理
F = I = 1.33 ≈ 0.67 ( N ) ∆t 2 − 0
I = ∆P = mv − 0
∴ v = I = 1.33 ≈ 4.0 (m/s) m 0.33
(解毕)
F
2
0.67
I ≈1.33(N⋅S)
F
(t )
r r r (r , v, a)
( The end )
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Chapter 1. 质点运动学
§1. 3 圆周运动
§1.3 园周运动 法向与切向加速度
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Chapter 1. 质点运动学
§1. 3 圆周运动
r r ☻ an 由 v 方向变化引起，指向圆心； r aτ r r aτ 由 v 大小变化引起， 当 ∆v > 0 θ r r r r an 时, aτ 与v 同方向，否则相反。 a
o
r v0
)θ
r an
x
≈ 8.16( m / s 2 )
( The end )
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Chapter 2. 质点动力学
§2. 1 牛顿运动定律
§2.1 牛顿运动定律
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Chapter 2. 质点动力学
§2. 2 牛顿定律的应用
运用牛顿定律解决问题的思路和方法
1.[定]定研究对象：几个物体连在一起需作隔离体， 定 ：几个物体连在一起需作隔离体， 将内力视为外力； 2.[画]画受力分析图：分析时可按照重力、弹力、摩 画 ：分析时可按照重力、弹力、摩 擦力等的顺序画受力图； 3.[列]列方程：建立坐标系，应用牛顿定律，列出力 列 ：建立坐标系，应用牛顿定律，列出力 学方程； 4.[解]求解结果。 解
x = 2t y = 2 −t2
y
2
1
−1
o
x
1 2
3
4
消去时间t
y = 2− x 4
2
−2
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Chapter 1. 质点运动学
§1. 1 质点运动的描述
r r ˆ + ˆ ; t =2s时： r = 4i − 2 ˆ ˆ r 2） t =1s时：1 = 2i j j 2
r r r s至t=2s内的位移： r = r − r = 2i − 3 ˆ ˆ j ∆ ∴ 在t =1 2 1
可解出: 至最高点处: 至最高点处: v = 0 , 可解出:
m ln( 1 + kv 0 ) t0 = (2) k mg 由(1)式及 v = dx 得: (1)式及 dt x t mg mg − kt / m − ]dt ∫0 dx = ∫0 [( k + v 0 ) e k
m ( mg + v )( e −kt / m − 1) − mg t x=− 0 k k k
(3) 综合类问题。
N
θ
x ∴ tgθ = µ 4.惯性系：满足牛顿第一定律的参照系为惯性参照系。 惯性系：满足牛顿第一定律的参照系为惯性参照系。 f 当 θ = arctg µ 时最省力。 5.在非惯性系中应用牛顿定律时必须额外引入 在非惯性系中应用牛顿定律时必须额外引入惯性力。
mg
(解毕)
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Chapter 2. 质点动力学