非惯性系中的动力学
惯性力
FT mw r
2
FC mw r
2
*
——离心惯性力
上式的力称为离心惯性力, 是自转轴向质点所引的矢量，与垂直。即：若质点静止于 匀速转动的非惯性系中，则作用于此物体所有相互作用力与离心惯性力的合力等于零。
F F 0 C
*
相对于惯性系作 匀速转动的参考 系也是非惯性系 。 若质点静止于匀 速转动的非惯性 参考系中，则作 用于此物体所有 相互作用力与离 心惯性力的合力 等于零。
二、离心惯性力
如图所示：圆盘以匀角速率 绕铅直轴转动，圆盘上用长为r的 线将质量为m的小球系于盘心且 相对于圆盘静止。 对于观察者1：从惯性系看： 小球受线拉力的作用下做匀速圆 周运动，符合牛顿第二定律，有
对于观察者2：从圆盘非惯 性系看：小球受到拉力的作用， 却保持静止，不符合牛顿第二定 律。 故有：相对于惯性系做匀速 转动的参考系也是非惯性系。 引入惯性力：
三、科里奥利力 若质点相对于转动的参考系运动，则质点还可能受到科 里奥利力
图一，物体相对地面沿直 线OABC运动
效应一
图二，物体相对转盘沿 曲线OA´ B´C3´ 运动
效应二
物体相对惯性系作曲线运动，表 明物体必受真实力作用. 物体所受真 实力与物体所受惯性力大小相等、方 向相反
• 图三，物体相对转盘 沿直线OA’B’C’ 运动
例
杂技演员站在沿倾斜角为α的斜面下滑的车厢 内，以速率 v0 垂直于斜面上抛红球，经过时间 t 0 后又以v0 垂直于斜面上抛一绿球。车厢与斜面无 摩擦。 问：二球何时相遇。
W=
上图为以车厢为参考系的小球受力分析图
<解 >
参考系车厢以加速度gsinα沿斜面运动，为一直线加速 非惯性系。被抛出小球受重力W=mg和惯性力，其大小为 mgsinα,方向沿斜面向上；两者合力大小为mgcosα方向与 斜面垂直向下。可见，在车厢参考系中，小球沿垂直于斜面 方向以“重力加速度”gcosα作上抛运动。以出手高度为坐 标原点建立坐标系Oy，以抛出红球时为计时起点，对红球有
第二章 非惯性系中的质点动力学
M1-28
积分可得
mgR(cos jmax 1 1) m 2 R 2 sin 2 jmax 0 2
因 sin 2 jmax 1 cos2 jmax 上式变为
mgR(cos jmax 1) 1 m 2 R 2 (1 cos 2 jmax ) 0 2
z
或
2 R cos2 jmax 2 g cos jmax 2 g 2 R 0
2. 当加速度 ae 2 g tan 时，牵连惯性力 FIe 2mg tan ，应用 相对运动动能定理，有
m v 2 0 ( F cos )l (mg sin )l Ie 2 r
整理后得
y' m
FN FIe
mg θ ae x'
m 2 vr (mg sin )l 2
力大小为 FIe m 2 R sin j ，方向如图。 经过微小角度dj 时，此惯性力作功为
z
W FIe R cos jdj m 2 R sin j cos jRdj
相对运动的动能定理，得
R
0 0 mgR(1 cos j max )
jmax
0
Байду номын сангаас
j
mg
FIe
m 2 R 2 sin j cos j dj
vr 质点相对动参考系速度
M1-20
上式两端点乘相对位移
dr
dvr m dr F dr FIe dr FIC dr dt
dr 注意到vr , 且科氏惯性力垂直于vr , 有FIC dr 0, 则 dt mvr dvr F dr FIe dr
非惯性系 惯性力
地球自转和公转产生的惯性力，使得地球上的物体受到向心力的作用， 从而解释了地球形状为椭球体的原因以及昼夜交替和四季变化的现象。
03
解释潮汐现象
月球和太阳对地球的引力作用，使得地球表面的水体产生潮汐现象。通
过引入惯性力的概念，可以解释潮汐的成因以及潮汐对地球自转速度的
影响。
分析微观粒子行为
分类
非惯性系可分为加速平动参考系和转动参考系两类。加速平动参考系中的物体 受到与加速度方向相反的惯性力作用；转动参考系中的物体则受到与转动角速 度相关的科里奥利力和向心力作用。
牛顿运动定律在非惯性系中适用性
牛顿运动定律在惯性系中成立，但在非惯性系中不再适用。 在非惯性系中，为了描述物体的真实运动状态，需要引入虚 拟的惯性力。
4. 分析实验数据，比较物体在惯性系 和非惯性系中的运动状态。
数据采集和处理方法
数据采集：使用高精度测量设备记录物 体在平台旋转过程中的位置、速度和加 速度等参数。
3. 通过统计分析方法，对实验结果的可 靠性和准确性进行评估。
2. 使用数值分析方法对物体在惯性系和 非惯性系中的运动状态进行模拟和比较 。
01
为解决工程实际问题提供理论支持。
02
研究内容
非惯性系的定义和分类。
03
研究目的和内容
1
惯性力的概念、性质及其在非惯性系中的作用。
2
非惯性系下物体的运动方程和动力学特性分析。
3
非惯性系在实际工程中的应用案例研究。
02
非惯性系基本概念
非惯性系定义及分类
定义
非惯性系是指不满足牛顿第一定律的参考系，即在其中观察到的物体运动状态 不遵循惯性定律。
洛伦兹变换是相对论中描述不同惯性参考系之间物理量转换的基本规则，适用于高速运动的物体。在 洛伦兹变换下，时间和空间是相对的，会随着参考系的改变而改变。洛伦兹变换考虑了光速不变原理 ，是更精确的描述方式。
解答非惯性参考系内动力学问题的三种思路
解答非惯性参考系内动力学问题的三种思路作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2021年第11期[摘要]解答非惯性参考系内的动力学问题，既可以重选惯性参考系，又可以根据等效原理把非惯性参考系转换为惯性参考系，还可以对物体添加平衡力使物体的不平衡状态转换为其他的不平衡状态，甚至平衡状态，再分别进行解答。
[关键词]非惯性参考系;参考系转换法;运动状态转换法[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）32-0054-03当我们站在电梯中随电梯匀速上升或者匀速下降时，感觉和人静止站立在地面上时一样，此时支持力等于重力，合外力等于零，人相对电梯的加速度也等于零，符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是惯性参考系。
当我们站在电梯中随电梯开始上升或者开始下降时，随电梯即将停止上升或者即将停止下降时，感觉和人静止站立在地面上时不一样，此时人“超重”或“失重”，支持力大于或小于重力，合外力不等于零，而人相对于电梯的加速度却等于零，不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是非惯性参考系。
参考系是惯性参考系还是非惯性参考系，是用牛顿第二定律解答动力学问题之前需要弄清楚的问题，否则就可能会判断错误。
下面结合例题进行分析探讨。
题目：（2015年高考物理海南卷第9题）如图1所示，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物块，开始时升降机做匀速运动，物块相对斜面匀速下滑。
当升降机加速上升时（）。
A.物块与斜面间的摩擦力减小B.物块与斜面间的正压力增大C.物块相对于斜面减速下滑D.物块相对于斜面匀速下滑分析：该题中升降机开始时做匀速向上的运动，升降机和斜面对在斜面上运动的物块来说是惯性参考系，物块的运动符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律。
此时在斜面上匀速下滑的物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力作用而平衡，支持力与重力沿垂直于斜面斜向下方向的分力抵消，滑动摩擦力与重力沿平行于斜面斜向下方向的分力抵消。
非惯性系中的力学(物理竞赛)
例 3.一辆质量为 m 的汽车以速度 v 在半径为 R 的水平弯道上做匀速圆周运动。汽车左右轮相距为 d，重心离地高度为 h，车轮与路面之间的摩擦因数为 μ ，求： （1） 汽车内外轮各承受多大的支持力？ （2） 汽车能安全行驶的最大速度？
F 合+F 惯=0
例 1.在火车车厢内有一长 l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度 a0 从静止开始运动时，物体自 倾角为 θ 的斜面顶部 A 点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为 μ ，求物体滑至斜面底部 B 点时， 物体相对于车厢的速度，并讨论当 a0 与 μ 一定时，倾角 θ 为多大时，物体可静止于 A 点？
F 合+F 惯=ma 相 式中, F 合为物体实际受到的合力.
二,匀速转动系中的惯性力 圆盘以角速度 ω 绕铅直轴转动,在圆盘上用长为 r 的轻线将质量为 m 的小球系于盘心且小不球 相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力 T 的作用一下作圆周运动, 符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力 T 的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第 二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律 形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力: F 惯=mω 2r.这个力叫做惯性离心力.若质点 静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方 程,就需要引入惯性力的概念.
一.直线加速系中的惯性力 设非惯性参考系的加速度为 a 参,物体相对于参考系的加速度为 a 相,物体实际的加速度为 a 绝, 则有: a 绝= a 参+a 相.那么,物体”受到”的惯性力 F 惯=－m a 参,其方向与 a 参的方向相反. 惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第 三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力. 在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为:
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点的动能定理
4、非惯性系中质点的动能定理惯性参考系中的动能定理只适用于惯性系。
在非惯性参考系中，由于质点的运动微分方程中含有惯性力，因此需要重新推导动能定理。
质点的相对运动动力学基本方程为r d d m t=++Ie IC v F F F 式中e C r2m m m =-=-=-´Ie IC F a F a ωv ，r d d tv 是对时间t 的相对导数r v 上式两端点乘相对位移d ¢r r d d d d d d m t¢¢¢¢×=×+×+×Ie IC v r F r F r F r 注意到，并且科氏惯性力垂直于相对速度，所以IC F r v d 0¢×=IC F r d d r t¢=r v 上式变为：r r d d d m ¢¢×=×+×Ie v v F r F r δW ¢Ie—表示牵连惯性力F Ie 在质点的相对位移上的元功。
δF W ¢—表示力F 在质点的相对位移上的元功。
则有：2r 1d()δδ2F mv W W ¢¢=+Ie 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
——质点相对运动动能定理（微分形式）4、非惯性系中质点的动能定理积分上式得22r r01122F mv mv W W ¢¢-=+Ie ——质点相对运动动能定理（积分形式）质点在非惯性系中相对动能的变化等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作功的和。
注意：因为在非惯性系中科式惯性力始终垂直于相对速度，因此在相对运动中科式惯性力始终不做功。
例4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，如图所示，若不计摩擦等阻力。
求: (1)平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止?(2)若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿板向上运动。
非惯性系内质点的动力学方程
t0 时 y a, y 0
y a et et ach t 2
A B a/2
0 FRx 2my
FRx 2my 2m 2ash t
0 FRz mg
FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FR 2m 2ash ti mgk
例题4 解法一
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
ma F
ma ma mat mac F
F
m
m a F mat mac
d2R dt 2
m
r
m
r
2m
v
牵连惯性力 Ft mat
科里奥利惯性力 Fc mac
惯性力合力 FI Ft Fc
ma F FI
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FN FNnen
受惯性力
md2R / dt 2 0(R 0)
m r 0( 0)
m
r
2ma
2
2m
v
2ma
en
coFsc2(veraFtet
)
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
沿圆圈切向的运动微分方程为
mat
ma
2ma
2
cos
2
sin
2
2 sin 0
可见，与大幅角单摆运动的微分方程完全相同.
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
例题3
m
受惯性力
r m 2
yj
m
d2R dt 2
0
2m
v
2my
i
m r 0
mx 0 FRx 2my my m 2 y
mz 0 FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
动力学2：非惯性系
Fc v(qv) ω(B) v(qv)
上
Fc
上
ɺ a = a'+ω ×r +ω ×(ω ×r ) + 2ω ×v'.
关键：掌握“绝对、牵连 质点作一般的“相对” 运动 a’≠0 和相对”加速度之间的关 v = v'+ω ×r. 系，从而正确计入惯性力。
aρ = lim aϕ = lim ∆vρ ∆t ∆vϕ ∆t
∆t →0
2’
= −ω2r, = 2ωv'.
径 加 度 ω(r+v’∆t) 向 速 科 加 度 氏 速
∆t →0
ac = 2ω ×v'.
牵连运动改变了相对速度v’方向，因而产生了横 向加速度ωv’；同时，相对运动又改变了牵连速 度的量值(r变为r+v’∆t)，故又产生了横向加速度 ωv’，因而科氏加速度为2ωv’.
位置
ds =v dt
R + µt(v0 +ωR) s = ln −ωRt. µ R R
练习：p516(9.6) 质量为m的质点在光滑的水平桌面上运动， 练习 桌子绕通过原点的竖直轴以匀角速转动。求质点的运动方程。 解1：以地面为参考系（惯性系），质点在桌面内受力 为零，所以 d2x d2 y
dt
2
由于ω=7.29x10-5弧度/秒，很小： 简化 ω
2 2
GMm mω Rcos φ P≈ [1− ] 2 R2 GMm/ R GMm = − mω2Rcos2 φ, R2 2 θ ≈ ω Rsin 2φ / 2g.
• 重量是引力与惯性离心力的合力； • 重量大小小于真正的引力大小； • 重量指向偏离引力指向。
力学2动力学II-非惯性系讲解
设有一质量为m的质点，在真实的外力F 的作 用下相对于某一惯性系S产生加速度 a ，
则根据牛顿第二定律，有:
F ma
假 沿设直线另运有动一。参在考S系参S考相系对中于,惯质性点系的S加以速加度速是度aa。0
则： a a a0
aAB aAC aCB
将此式代入上一式可得：
e
er
方向描述：er ：径向方向
e ：极角增加方向
O
位矢 r rer
速度
v
dr dt
d( rer dt
)
dr dt
er
r der dt
dr dt
er
r
d
dt
e
vr er
v e
r
P
X
e
r
der
d er
der der e der er d d
vr : v :
dt
参阅专业《力学》书
本地加速度
牵连横向 加速度
牵连向心 加速度
科里奥利 加速度
a a d r ( r ) 2 v
dt
a绝 a相 a牵
牵连加速度
f惯性力 ma牵
m
d
dt
r
[m
(
r
)]
2m(v )
欧拉力
对匀速转动的S'系：
非惯性系中的牛顿第二定律：
虚拟力
F ma F真实力 R
惯性力不是物体间的真实的相互作用,是一种假想的 力。它既无施力者, 也无反作用力, 不满足牛顿第三定律。
非惯性系中的动力学专题
3.2非惯性系中的动力学【基本知识】一、联接体问题在力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体，叫做联结体。
解有关联结体的问题一般要用到隔离法，适当辅以整体法。
联结体总是相联系的两个或多个物体，这种联系既表现在力上，也表现在运动上。
力的联系往往会与一些临界情况相结合，运动的联系同样视具体的情况有所不同，可能表现为位移、速度或加速度的某种关系等，这种联系也可以称之为约束。
因此，解联结体问题就是寻找约束，然后建立方程。
例如，如果两物以绳、杆相连接，那么沿绳或杆方向的速度相同。
如果两个物体直接接触，那么它们在垂直接触面（或切面）方向的速度相同。
有些联结体中各物体具有不同的加速度，可以通过它们的受力或运动关系来确定它们的加速度的关系。
例题1：如图所示,两个木块A和B,质量分别为mA和mB,质量分别为mA和mB （只要求帮做一下受力分析）紧挨着并排放在水平桌面上,A、B间的接触面垂直于图中纸面且与水平成θ角.A、B间的接触面是光滑的,但它们与水平桌面间有摩擦,静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ.开始时A、B都静止,现施一水平推力F于A,要使A、B向右加速运动且A、B间之间不发生相对滑动,则：1．μ的数值应满足什么条件?2．推力F的最大值不能超过多少?（只考虑平动,不考虑转动问题）二、质点系牛顿第二定律及质心运动问题（1）质点系的牛顿第二定律如果质点系在任意的x方向上所受的合力为Fx，质点系中n各物体在x方向的加速度分别是a1x、a2x、…、anx，那么有：Fx=m1·a1x+m2·a2x+…+mn·anx质点系动力学方程不涉及内力，所以在处理一些联结体问题时利用这个方程往往能带来很大的方便。
（2）质心和质心的运动1 求质心：在某方向上有n个质点m1、m2、…、mn，在此方向上建立坐标系的x轴，各质点在x轴上的坐标分别为x1、x2、…、xn,则质心在x坐标上的位置：=同理可以求得质心的速度：=质心的加速度：=②质心动力学方程：F=mac F 为此方向上质点系所受的合外力。
非惯性系下的动力学
非惯性系下的动力学引言：在物理学中，我们经常研究物体在惯性系下的运动规律，即不受外力作用时的运动状态。
然而，现实生活中存在许多非惯性系，例如地球的自转和公交车的加速等。
在这些非惯性系下，物体的运动会受到额外的力的影响，因此我们需要研究非惯性系下的动力学。
一、非惯性系的定义和特点非惯性系是指相对于惯性系而言，具有加速度的参考系。
在非惯性系中，物体的运动受到惯性力的影响，这是由于参考系的加速度导致的。
惯性力的大小和方向与物体的质量和加速度有关。
二、离心力的作用在非惯性系下，离心力是一种常见的惯性力。
当物体在旋转的参考系中运动时，会受到离心力的作用。
离心力的大小与物体的质量、角速度和距离旋转中心的距离有关。
离心力的方向指向旋转中心的外侧，是一种向心加速度的结果。
三、科里奥利力的效应科里奥利力是另一种非惯性系下的力。
当物体在旋转的参考系中有径向速度时，会受到科里奥利力的作用。
科里奥利力的方向垂直于物体的速度和旋转轴，并且与速度的大小和旋转角速度有关。
科里奥利力会使物体偏离其惯性轨迹，导致物体的运动轨迹呈现出曲线形状。
四、福科力的存在福科力是一种在非惯性系下的惯性力。
当物体在加速的参考系中运动时，会受到福科力的作用。
福科力的大小与物体的质量、加速度和参考系的加速度有关。
福科力的方向与参考系的加速度相反，并且与物体的质量和加速度成正比。
五、应用举例：地球自转和人体感受地球的自转是一个非惯性系，因此我们可以观察到一些非惯性系下的动力学效应。
例如，地球的自转导致了地球上的离心力，使得物体在赤道上的重力稍微减小。
此外，地球的自转也会导致科里奥利力的作用，使得气流和海洋流的运动呈现出特定的曲线形状。
在人体感受方面，非惯性系下的动力学效应也起到一定的作用。
例如，当乘坐公交车或电梯加速或减速时，我们会感受到身体向前或向后倾斜的力。
这是由于福科力的作用，使得我们的身体相对于参考系有一个相对的加速度。
结论：非惯性系下的动力学是物理学中一个重要的研究领域。
非惯性系中的动力学
在非惯性系中由于牛顿运动定律不成立, 不能直接用 牛顿运动定律处理力学问题。若仍希望能用牛顿运动定律 处理这些问题, 则必须在非惯性系中引入一种作用于物体 上的惯性力。惯性力不同于前面所说的力，因为惯性力既 没有施力物体，也不存在它的反作用力。
小车作加速运动a≠0时，单摆偏 转了一个角度，拉小球的弹簧被 拉伸，其状态不符合牛顿定律， 引入了惯性力后，就能把牛顿运 动定律应用于非惯性系。
a cos
g
sin
(m2 m1)sin m2 m1 sin2
g
m2g
二、转动参照系中的离心惯性力
m
FT
m
F*
观 察 者2
一光滑的圆盘以匀角速ω绕其铅直轴转动，将一质
量为m的小球用长为r的细线栓在轴上，并使小球在圆
盘上与圆盘一起以匀角速ω绕铅直轴转动。
如果在O则系对内于的观观察测者者1：1测F量T 到 m细a线对m小球2r的拉力为FT
§3.5 非惯性中的动力学
一、 直线加速参考系中的惯性力 二、 离心惯性力 *三、 科里奥利力
§3.5 非惯性中的动力学
一、 直线加速参考系中的惯性力
问题：如图，一单摆悬挂在小车的天花板上，另一个小
球用弹簧拉着，现均以小车为参考系来研究小球的运动
a =0
a 0
小车作匀速直线运动，即a = 0 时，单摆、小球均处于 静止状态符合牛顿定律。
小车作加速直线运动，即a≠0时，单摆偏转了一个角度，拉 小球的弹簧被拉伸，其状态不符合牛顿定律，为什么？
inertia force 1.avi
如图：O系为基本参考系，O 系为动参考系
设 O系相对O系以加速度 a 作直线加速运动,
z
质点在空间运动, 某时刻位于P点
非惯性系中动力学问题的讨论讲解
包头师范学院本科毕业论文论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论院系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：王文隆学号： 0809320007指导教师：鲁毅二〇一二年三月摘要综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。
介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。
最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。
关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律AbstractAnd under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply目录引言 (5)1非惯性系概述 (6)1.1非惯性系 (6)1.2 惯性力 (6)2 动力学方程 (7)2.1 质点动力学方程 (7)2.2 拉格朗日方程 (8)3 能量问题 (9)4 应用研究举例 (9)5 研究展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)非惯性系中动力学问题的讨论引言实际工程中有许多系统处于非惯性系内工作 ,如航空航天、天文和外星空探索等领域的许多转子系统。
简谐振动角频率wmk关系式
简谐振动角频率wmk关系式
非惯性系下的动力学方程:mar=F+Fi
ar是相对加速度，F是外力主矢，Fi为牵连惯性力。
假设以A为参考系。
则:mBar=F弹-mAa
a为A的绝对加速度。
由胡克定律可得:F弹=-kx代入得:
mBar=-kx-mAa
由牛顿第二定律得:
F弹=mAa=-kx
这里的x和上面的x是相反的所以应取正号。
即:
mAa=kx
代入得:mBar=-2kx
对比简谐运动的动力学方程:ma=-kx
相差仅仅一个系数。
由此证明了相对运动是简谐运动。
简谐运动的角频率ω=√k/m
这里的角频率ω=√2k/mB
这是B相对A的角频率。
不难分析A对B的角频率为:ω=√2k/mA
在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示，频率的2π倍叫角频率，即ω=2πf。
在国际单位制中，
角频率的单位也是弧度/秒。
频率是描述物体振动快慢的物理量，所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量。
频率、角频率和周期的关系为ω=2πf=2π/t。
"角频率"在工具书中的解释，符号为ω;单位时间内的振动次数与2π之积。
ω=2πf。
又称“圆频率”。
周期及其有关现象、光及有关电磁辐射，以及声学的量。
SI单位:rad/s。
非惯性系动力学.
非惯性系动力学 1.问题的提出a a a e r =+在惯性系S 中F ma =成立，在动系S ’中F ma r =是否成立？F ma ma ma ma e r r ==+≠∴作加速平动的参照系为非惯性系。
2.改进的牛顿定律F ma ma F ma ma F ma F F ma e r e r g e g r=+⇒+-==-⇒+=() 引入惯性力后牛顿定律仍成立。
3.讨论？为什么选择非惯性系：方便 ？惯性力与普通力的差别惯性力只是一种记号，它无施力物体，也无反作用力功和能1.第一积分直接求解运动微分方程是研究动力学问题的基本方法，但对具体问题解出微分方程有时比较困难。
实际上许多问题并不需要把微分方程完全解出。
如可建立力与速度之间的关系，则二阶微分方程可简化为一阶微分方程，相当于对加速度作了一次积分，因此将此类解法称为第一积分。
2.问题的引出考察力对空间的累积效果，有F ma F dr m dv dtdr mv dv mvdvF dr mv mv =⇒⋅=⋅=⋅=⋅⎰=-1222121212 2.功与功率1)功力对空间的累积效果dW F dr W F dr Fds =⋅⇒=⋅⎰=⎰ 1212cos θ2)功的解析式 W F dx F dy F dz x y z =++⎰123)合功为分力功之和 W F F F dr F dr F dr F dr n n =+++⋅⎰=⋅⎰+⋅++⋅⎰⎰(...) (121211221212)4)功率P dW dtF v ==⋅3.功的计算W F t r v dr =⋅⎰ (,,)12若力只是位置的函数(力场):F F r F x y z ==()(,,)，问题可加以简化。
当F r ()满足一定条件时，W 只与两端点位置有关而与路径无关，如 1)万有引力 W GMm r GMm r =----⎡⎣⎢⎤⎦⎥()()21 2)重力 W mgy mgy =--()213)弹性力 W kx kx =--()12122212保守力：做功只与两端点位置有关而与路径无关的力。
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点动力学的应用
求：套筒运动到端点A所需的时间
z'
及此时对杆的水平压力。
y'
2、非惯性系中质点动力学的应 用
解：研究套筒B相对于OA的运动.
O
选取和杆OA一起转动的坐标
系O x’y’z’为动参考系.
分析套筒受力, 其中
FIe = mw2 x¢ FIC = 2mw x&¢
套筒的相对运动动力学方程为：
m
d2r¢ dt 2
2、非惯性系中质点动力学的应 用
（1）傅科摆
在北半球，球铰链悬挂一支摆，摆锤摆动时，与 地球表面有相对速度，由于地球自转的影响，会 产生向左的科氏加速度，对应的科式惯性力向 右，因此它不会像单摆一样在一个固定平面内运 动，而会向右偏斜，轨迹如右图所示。这种现象 是傅科1851年发现的，称之为傅科摆。它证明了 地球的自转。摆绳摆动的平面在缓慢地顺时针旋 转，旋转一周的周期为：
2、非惯性系中质点动力学的应 用
例 1 如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m。其悬挂点O以加速度a0向上运动。
求：此时单摆作微振动的周期。
a0
解：在悬挂点固结一个平移坐标系O x’y’。
O
x'
小球相对于此动参考系的运动相当于悬挂点固定的单摆振动。
分析小球受力, 其中 FIe = ma0
φ
因动参考系作平移运动，所以科氏惯性力 FIC = 0
2
3) = 0.209s
m
d2r¢ dt 2
=
ห้องสมุดไป่ตู้mg
+
F1
+
F2
+
FIe
+
FIC
将相对运动动力学方程投影到y’轴上，得： F2 = FIC = 2mw x&¢
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如果在O系内的观测者1测量到细线对小球的拉力为FT
2 则对于观察者1： FT m a m r
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第三章 动量 牛顿运动定律
FT
观察者 2
m F*
flash\03.3离心 力.exe
而在圆盘上与圆盘一起转动的O`系内的观察 者2,同样可以测量到细线对小球的拉力FT,但 他却观测到小球相对于他是静止的。为了与 细线对小球的拉力平衡,这个观测者不得不假 定小球还受到一个力F* 的作用.这样,在O`系 中小球就平衡，在圆盘上O`系内的观测者看 来,这个力是离心的,因此称之为惯性离心力。 它是为了让牛顿运动定律在匀角速转动的非 惯性系中成立而引人的一个假想的力。它同 样不存在反作用力。
[解] 以车厢为参考系，小球受力见上右图.车厢以加速度
gsinα沿斜面运动，为一直线加速非惯性系。
被抛出小球受重力W=mg和惯性力m gsinα作用，两者合 力大小为mgCosα,所以小球沿垂直于斜面方向以加速度 gCosα作上抛运动。
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第三章 动量 牛顿运动定律 以出手高度为坐标原点建立坐标系Oy，以抛出红球 时为计时起点.对红球和蓝球分别有
a绝 a相 a 这是质点在O´系中的加速度 a 相 和
质点在O系中的加速度 a 绝 关系
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x
绝对速度 v
v 牵连速度
相对速度
v
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对于O系，牛顿运动定律适用
F m (a相 a )
第三章 动量 牛顿运动定律 F m a绝 真实力
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第三章 动量 牛顿运动定律 2.科里奥利力定量表述 考虑物体相对地面走的是曲线，则相对转盘走 的是直线.
Δ Δt
O C A D´ B D
径向速度u
O * FC FK F
* FC
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第三章 动量 牛顿运动定律
AB v t Δ t
Δ Δt
a0
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第三章 动量 牛顿运动定律
[例题1]（p86) 杂技演员站在沿倾角为 的斜面下滑的车厢
内，以速率v0 垂直于斜面上抛红球，经时间 t0 后又以v0 垂 直于斜面上抛一蓝球. 车厢与斜面无摩擦.问二球何时相遇. y v 0 v0 O
mg
F
*
mg sin
mg cos
F’N
FN
m1a
FN m2g
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x´
m1 g
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第三章 动量 牛顿运动定律
m 1 g sin m 1 a cos m 1 a '
F N m 1 a sin m 1 g cos 0
F N sin m 2 a
m 1 g sin cos m 2 m 1 sin
a =0
a0
小车作匀速直线运动，即a = 0 时，单摆、小球均处于 静止状态符合牛顿定律。
小车作加速直线运动，即a≠0时，单摆偏转了一个角度，拉 小球的弹簧被拉伸，其状态不符合牛顿定律，为什么？
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第三章 动量 牛顿运动定律
inertia force 1.avi
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所以 即 令
F m a m a相
* F F m a相
* F ma
叫做惯性力
这是在运动参照系O‘系内, 测量到的一个没有施力物 体的作用力，这个力称为惯性力。它是为了让牛顿运动定 律在非惯性系中成立而引入的一个假想的力。它不存在反 作用力。
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2
D D AB Δ v t ( Δ t )
* FK
设物体向右方的加速度为aK
DD 1 2 aK (Δt )
2
vt
比较以上两式，得
a K 2 v t
a K 2 v t
——科里奥利加速度
K
* 质点相对转盘走的是直线 F K ma
2 mv t
t0 2v0 g cos
即必在红球返回 y ＝ 0 之前抛出蓝球.
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第三章 动量 牛顿运动定律 [例题2] 如图所示情况中，若忽略一 切摩擦. 试求两物体的相对加速度. [解]设m1沿斜面下滑时，m2沿水平
m1 m2
方向以加速度a向右运动。在非惯性
系中，m1、m2受力分析如图
1. 定性说明
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第三章 动量 牛顿运动定律 效应二：
O A
O A´ B´
C´
B
C
物体相对转盘沿 直线OA’B’C’运动
物体相对地面沿
曲线OABC 运动
物体相对惯性系作曲线运动，表明物体必受真 实力作用. 物体所受真实力与物体所受惯性力大小相 等、方向相反。
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Байду номын сангаас
第三章 动量 牛顿运动定律
* FK * FK
vt vt
* FK
* FK
v
* 北半球 F K
落体偏东
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第三章 动量 牛顿运动定律 旋风
低压 气区
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2
FN
m1a
x´
m1 g F’N
a
( m 2 m 1 ) sin m 2 m 1 sin
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2
FN m2g
a a cos g sin
g
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二、转动参照系中的离心惯性力
m
第三章 动量 牛顿运动定律
m F*
FT
观察者 2
一光滑的圆盘以匀角速ω 绕其铅直轴转动，将一质 量为m的小球用长为r的细线栓在轴上，并使小球在圆 盘上与圆盘一起以匀角速ω 绕铅直轴转动。
第三章 动量 牛顿运动定律 在非惯性系中由于牛顿运动定律不成立, 不能直接用 牛顿运动定律处理力学问题。若仍希望能用牛顿运动定律 处理这些问题, 则必须在非惯性系中引入一种作用于物体
上的惯性力。惯性力不同于前面所说的力，因为惯性力既
没有施力物体，也不存在它的反作用力。 小车作加速运动a≠0时，单摆偏 转了一个角度，拉小球的弹簧被 拉伸，其状态不符合牛顿定律， 引入了惯性力后，就能把牛顿运 动定律应用于非惯性系。
* 考虑到方向 FK 2mvt
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——科里奥利力
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第三章 动量 牛顿运动定律 3.科里奥利力的应用 傅科摆直接证明了地球的自转
* FK
vt
摆平面转动方向
北极悬挂的单摆
摆面轨迹
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第三章 动量 牛顿运动定律 北半球的科里奥利力；
vt
y1 v 0 t 1 2 1 2 g ( t t 0 ) cos
2
gt cos
2
y v0 v 0 O
y2 v0 (t t0 )
两球相遇时 y 1 y 2 ，得相遇时间为
t 遇 ＝（ 1 2 ＋ v0 gt 0 cos ） t0
[讨论]因 t = t0 时才抛蓝球，故应 t遇 t0 .因而要求
第三章 动量 牛顿运动定律 如图：O系为基本参考系，O 系为动参考系 设 O 系相对O系以加速度 a 作直线加速运动,
z
质点在空间运动, 某时刻位于P点
r r rO
z
O
r
x
O
p
y
rO '
r
y
v 绝对 v 相对 v 牵连
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FNA
FPA
* FC A
et
en
FPB
FNB
第三章 动量 牛顿运动定律
* FCB
A
W
B
W
[解] 选大转盘为参考系，
FNA FP A W FNB FP B W
* FC A * FC B
* FC A 0 * FC B 0
* 2 * FT F m r F 0 对于观察者2： * 2 其中: F m r ——离心惯性力(离心力)
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第三章 动量 牛顿运动定律 [例题3]（p88) 北京紫竹院公园有一旋风游戏机，大意 如图所示.设大圆盘转轴OO´与铅直方向成 =18°，匀
第三章 动量 牛顿运动定律
§3.5 非惯性中的动力学
一、 直线加速参考系中的惯性力 二、 离心惯性力
*三、
科里奥利力
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第三章 动量 牛顿运动定律
§3.5 非惯性中的动力学
一、 直线加速参考系中的惯性力
问题：如图，一单摆悬挂在小车的天花板上，另一个小 球用弹簧拉着，现均以小车为参考系来研究小球的运动
速转动，角速度为0= 0.84 rad/s 。离该轴 R ＝2.0 m 处
又有与 OO´平行的PP´ ，绕 PP´ 转动的座椅与 PP´ 轴 距离为 r =1.6m.为简单起见，设转椅静止于大圆盘.设
椅座光滑，侧向力全来自扶手.又设两游客质量均为 m