高二数学二项式定理3

C
2 3
C
1 1 1 4
C 0 C1 C 2 C 3 C 4 4 4 4 4 4
4 2 C 0 C1 C 5 C 3 C 5 C 5 5 5 5 5 2 4 C 0 C1 C 6 C 3 C 6 C 5 C 6 1 6 6 6 6 6 n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cn
6
5 10 10 5
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例4：由 ( 3 2 ) 展开式所得的x的多项式中， 系数为有理数的共有多少项？
3 100
分析：考虑
( 3 2)
3
100
的展开式的通项
r
Tr 1 C ( 3x)
r 100
100 r 3
( 2)
r 100
C 3
r 100
100 r 2
2 x
2 n 1 C C C C 2 2
0 n 2 n 1 n 3 n n
0 n
2 n
1 n
3 n
特例法 赋值法
例2、已知
1 x 4 3 x
n
的展开式中只有第10项系数
最大，求第五项。
n 解：依题意，n为偶数，且 1 10, n 18, 2 4 18 4 1 4 4 3060x 4 . T5 T4 1 C18 x x3
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
( 这就是说， a b) n的展开式的各二项式系 n 数的和等于： 2
同时由于C 1，上式还可以写成：
0 n
C C C C 2 1
1 n 2 n 3 n n n n
这是组合总数公式．
赋值法
例1、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即证： C0 C 2 C1 C3 ＝２n-1 n n n n

例3.已知(1+a)n展开式里，连续三项的系数比是
3：8：14，求展开式里系数最大的项。 答案：m=3,n=10;最大项为T6=252a5
课堂练习
2 1 1.C C C _____;
1 n 2 n n n
n
C C C C C C
2. 求：
1 11 3 11 5 11 7 11 9 11
C 与C
7 15
8 15
最大。
4.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的 项的系数。 最大的系数呢？ C 5 462
11
知识探究3
(a+b)1 (a+b)2
C
0 2
0 1
C
1 2
1 1
1 1
2 2
C C C
C C
0 3 1 3
1
3 3
2 3 3
1 1 4 1 1 1
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n
11 11
2 _____ .
10
3 C0 2C1 22 C2 ... 2n C n __________ n n n n
3.设 2x 3
2
n


3
a 0 a1x a 2 x 2 a 3 x 3 .
2
求: a 0 a 2 a1 a 3 的值.
4. 求证：
0 n 1 n 2 n n n
1
n 1
C 2C 3C ... n 1 C n 2 2
[点拔]:倒序相加求和法.
课堂练习
4. 已知(1 2 x)7 a0 a1 x a2 x 2 a7 x 7 则a a a -2
6 15 20 15 6
n=1,C10+C11=2
n=2,C20+C21+C22=4
n=3,C30+C31+C32+C33=8 … n=6,C60+C61+C62+ … +C66=64
猜想： Cn0+Cn1+Cn2+ … Cnr+ … +Cnn= 2n
？
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 a b 1，则：
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二项式定理
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
(n N )

r nr r n
n n n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， r 其中 Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
r nr r n
n n n
(n N )
1.项数规律：

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展开式共有n+1个项
2.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
n n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0， 第二项b的次数由0逐次升到n.
(a b) C a C a b C a b C b
r n
f (r ) C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
当n=6时，其图象是7个孤立点
二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 nm Cn 得到．
C
m n
n 图象的对称轴： r 2
课堂练习
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系 数相等是( B ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系 数与 第五项的二项式系数相等， 则n=__________ 6 问：由上研究请问:一般地,当r满足什么范围时， 后一项Cnr比前一项Cnr-1要大?
[分析]:以上问题即Cnr > Cnr-1时，求r的范围?
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
n(n 1)( n 2) (n k 1) 由于：C k (k 1)! k 1 n k 1 Cn k n k 1 k k 1 所以C n 相对于C n 的增减情况由 决定． k
C 0 C1 C 2 C 3 C 4 4 4 4 4 4
4 2 C 0 C1 C 5 C 3 C 5 C 5 5 5 5 5 2 4 C 0 C1 C 6 C 3 C 6 C 5 C 6 6 6 6 6 6
5 10 10 5 6 15 20 15 6
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … 这个表叫做二项式系数表, 也称“杨辉三角”
n 0 n n
1 n 1 n
r nr r n
n n n
(a+b)1 (a+b)2
1 0 C 1 C1
1 1
1 1 1 1 1 4 2 3 3 6 4 1 1 1 1 1
C 0 C1 C 2 2 2 2
2 C 0 C1 C 3 C 3 3 3 3
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
证明（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ Cnran-rbr+…+Cnnbn 令a=1,b=-1得
0 n 1 n 2 n r n n n n
…
+
C C C ... (1)C ... (1) C (1 1) 0
2
C C C C
叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 _____个项.
Ca b
r n
nr r
T
r 1
C a b
r nr n
r
二项式定理
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r 12
m 12 r
(bx ) C a
n r
r 12 r 12
b x
r
m ( 12 r ) nr
令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4
故T5 为常数项，且系数最大。 T5的系数 T4的系数 T5的系数 T6的系数
4 3 C12 a 8 b 4 C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 5 b 4
r 3
100 r
C 3
50
r 2
2 x
r 3
100 r
要使 x 系数为有理数，则 r 为 6 的倍数，令 r = 6k （k∈Z），而且 0≤6k≤100，即 r = 0，6，12，…，96。 因此共有17项。
课堂小结
对称性 （1） 二项式系数的三个性质: 增减性与最大值 （2） 数学思想：函数思想。 各二项式系数的和
k n
n r 1 n 1 n 1 由 1 r 可得： r 当 时， r 2 2
二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半 部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值 先增后减
n是偶数时，中间的一项（第 n n 项）的二项式系数 2 Cn 1 2 取得最大值 ；
1 2 7
a1 a3 a5 a7 -1094 1093 a0 a2 a4 a6
6、已知a,b∈N，m,n ∈Z ，且2m + n = 0，如果二 项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是 常数项，求 a : b 的取值范围。
解：
Tr 1 C (ax )
增减性: 当
由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的。
n 1 时，二项式系数是逐渐增大的， k 2
最
值: 当n是偶数时，中间的一项
当n是奇数时，中间的两项
C n 取得最大时 ；
n 2
且同时取得最大值。
C n ，C
n 1 2
n1 2 n
相等，
二项式系数之和:
2
n
(由赋值法求得 )
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
本积
《 九 章 算 术 》 杨 辉
商实
平方 立方
三乘
四乘 五乘
《详解九章算法》中记载的表
二项式系数的函数观点
(a b) n 展开式的二项式 Cn n n 系数依次是： 0 , C1 , C 2 ,, C n n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是： 0,1,2,, n
1 1 1 4 1 1 1 2 3 3 6 4 1 1 1 1
5 10 10 5
当n是奇数时，中间的两项（第 1 6 15 20 15 6 1 n 1 n 1 1 项）的二项式 1、 2 n 1 2 n1 系数 C n2 和 C 2 相等，且同时取
n
得最大值。
课堂练习 1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为
C
5 11
5 10
；
6 11 .
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 C
C
2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ C ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
3.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数 最大，并求出其最大的二项式系数
解: 第8、9项的二项式系数 即6435最大。
Cnn
表中的每一个 数等于它肩上 的两数的和
类似上面的表,早在我 国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的