全国名校高中数学优质试题汇编(附详解)14

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全国名校高三数学综合优质试题汇编(附详解) 平面解析几何

全国名校高三数学综合优质试题汇编（附详解）平面解析几何考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页.2.答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟，满分160分.4.请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上.)1.直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α＝________. 2.若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为__________.3.直线x ＋2y ＝0被圆(x －3)2＋(y －1)2＝25截得的弦长为________.4.(优质试题·常熟模拟)双曲线x 2m 2－4＋y 2m 2＝1(m ∈Z )的离心率为________. 5.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB ＝________.6.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0，圆C 与直线x ＋2y －4＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，则实数a 的值为________.7.已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为________.8.M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若MF ＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKO ＝________.9.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若F A ＝2FB ，则k 的值为____________.10.(优质试题·昆山模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x ，点P (0,4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，F 是抛物线的焦点，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________.11.(优质试题·常州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是__________.12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1－1e2＝______.13.过双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的左焦点作直线l与双曲线交于A，B两点，使得AB＝4，若这样的直线有且仅有两条，则a的取值范围是____________.14.(优质试题·南通模拟)设直线l：3x＋4y＋4＝0，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则r的取值范围是____________.第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于点B，圆C过点A且与l1，l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标.16.(14分)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足PQ →＝2MQ →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点A (2,0)在曲线C 上，过点(1,0)的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值.17.(14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过原点作直线l (不与坐标轴重合)交椭圆于A ，B 两点，AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证：B ，D ，E 三点共线.18.(16分)(优质试题·镇江模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径.19.(16分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)建设一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB .问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？20.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足OP →＝2AO →.(1)若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP →＝mBC →，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求实数m 的值.答案精析1.2π3解析因为y ＝－3x －2，所以斜率k ＝－3，即tan α＝－3(0≤α<π)，所以α＝2π3. 2．(0,2)解析 OP ＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条．3．4 5解析由圆(x －3)2＋(y －1)2＝25，得到圆心坐标为(3,1)，半径r ＝5，所以圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝55＝5，则直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝4 5.4．2 解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈Z ，(m 2－4)·m 2<0，∴m 2＝1，即双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1，其离心率为e ＝c a ＝1＋31＝2. 5.135解析直线3ax －y －2＝0过定点满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝0，y ＝－2.∴直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)．将直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0整理为(2x ＋5y )a －(x ＋1)＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0，x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝25. ∴直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25.6.85 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝54x 1x 2－(x 1＋x 2)＋4＝0.(*) 联立直线和圆的方程，消去y 得5x 2－8x ＋4a －16＝0，x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝4a －165，代入(*)式得a ＝85. 7．6π解析由题意可得圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a ≠±1)，∵直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为R sin 60°＝32×a 2－1，即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2，解得a 2＝7， ∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π.8．45°解析设点M 在抛物线的准线上的垂足是N ，由于MN ＝MF ＝p ，所以四边形MNKF 是正方形，则∠MKO ＝45°.9.223解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2>0)，由AF ＝2FB 得x 1＋2＝2(x 2＋2)，①又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，消去y ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，x 1＋x 2＝8－4k 2k 2，② x 1x 2＝4，③由①②③可解得k ＝223. 10．4 5解析根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P ，A ，F 三点共线时达到最小值，由P (0,4)，F (2,0)，可得l AB ：2x ＋y －4＝0，联立抛物线方程可得x 2－6x ＋4＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，原点到直线l AB ：2x ＋y －4＝0的距离d ＝|4|4＋1＝455，所以△AOB 的面积为455×10×12＝4 5. 11．(2，＋∞)解析 AB ＝2b 2a ，由题意a ＋c <b 2a，即a 2＋ac <b 2＝c 2－a 2，c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，解得e >2(e <－1舍去)．12．2解析由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c，所以1e 1－1e 2＝4c 2c＝2. 13.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析根据题意过双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得AB ＝4，若这样的直线有且仅有两条，可得2b 2a ＝2a <AB ＝4，并且2a >4，解得a >2；或2b 2a ＝2a>AB ＝4，并且2a <4，解得0<a <12. 14．[2，＋∞)解析由题意得，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2的圆心为C (2，0)，半径为r ，此时圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|2×3＋4|32＋42＝2，过直线l 上任意一点M 作圆C 的两条切线，切点为P ，Q ，则此时四边形MPCQ 为正方形，所以要使得直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则d ≤2r ，即2r ≥2，得r ≥2，所以r 的取值范围是[2，＋∞)．15．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝CA ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知B (0，－4)．设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－42＝33·x 02，y 0＋4x 0＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．由题意知，当B ′，P ，Q 三点共线时，PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎫32，12，故PB ＋PQ 的最小值为221－3，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 16．(1)解设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02，因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，*把x ＝x 0，y ＝y 02代入方程*，得x 24＋y 2＝1，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明方法一由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，易知Δ＝16m 2＋48>0，得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2) ＝y 1y 2(my 1－1)(my 2－1)＝y 1y 2m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1 ＝－3－3m 2＋2m 2＋m 2＋4＝－34. 所以k 1k 2＝－34为定值．方法二 ①当直线l 的斜率不存在时，设B ⎝⎛⎭⎫1，－32，D ⎝⎛⎭⎫1，32，所以k 1k 2＝－321－2·321－2＝－34. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，易知Δ＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1－1)(x 2－1)(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4－8k 2＋1＋4k 2)4k 2－4－16k 2＋4＋16k 2＝－34，所以k 1k 2＝－34为定值． 17．(1)解由题意得2a ＝22，则a ＝ 2.由椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2，其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，±22，所以12＋12b2＝1，解得b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，D (x 1,0)．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝AE →·AB →＝0，所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1，其中k AB ，k AE 分别是直线AB ，AE 的斜率．所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1，所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2) x 1＋x 2，又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以k BE ＝k BD ，所以B ，D ，E 三点共线．18．解 (1)若a ＝－8，则圆M ：(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1,0)，半径为3.若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，化简为kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离d ＝|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815.此时切线方程为8x －15y ＋43＝0. 综上，所求切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1,0)，则OM ＝1.设圆的半径r ＝1－a (a <1)．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2.又因为OA →·OB →＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.19.解如图，分别以两条道路所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy ，设A (a ，0)，B (0，b )(0<a <1,0<b <1)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.因为直线AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab |b 2＋a2＝1，化简得ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2.因为AB ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝(a ＋b －2)2，因为0<a <1,0<b <1，所以0<a ＋b <2，所以AB ＝2－(a ＋b )．又ab ＝2(a ＋b )－2≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，解得0<a ＋b ≤4－22或a ＋b ≥4＋2 2.因为0<a ＋b <2，所以0<a ＋b ≤4－22，所以AB ＝2－(a ＋b )≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2－2时取等号，所以AB 的最小值为22－2，此时a ＝b ＝2－ 2.答当A ，B 两点离道路的交点都为(2－2)百米时，小道AB 最短．20．解 (1)因为OP →＝2AO →，又点P 的坐标为(2，2)，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22，代入椭圆方程，得1a 2＋12b2＝1.① 又椭圆的离心率为22，所以1－b 2a 2＝22.② 由①②得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，点C 的坐标为(x 3，y 3)．因为OP →＝2AO →，所以点P 的坐标为(－2x 1，－2y 1)．因为BP →＝mBC →，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1－x 2＝m (x 3－x 2)，－2y 1－y 2＝m (y 3－y 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝m －1m x 2－2m x 1，y 3＝m －1m y 2－2m y 1，代入椭圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1mx 2－2m x 12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m y 2－2m y 12b 2＝1，即4m 2⎝⎛⎭⎫x 21a 2＋y 21b 2＋(m －1)2m 2⎝⎛⎭⎫x 22a 2＋y 22b 2－ 4(m －1)m 2⎝⎛⎭⎫x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝1.③ 因为点A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.④ 又直线OA ，OB 的斜率之积为－12，即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝0.⑤ 将④⑤代入③，得4m 2＋(m －1)2m 2＝1，解得m ＝52.。

正弦定理与余弦定理的应用举例

全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B.如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝302，故选B.3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.4．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B.依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．5 km B ．10 km C ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C.作出示意图(如图)，点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°，即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km.6．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile. 解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A，所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)．答案：5 67．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．解析：如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB 于D 点，则CD 为所求河的宽度．在△ABC 中，因为∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝75°，所以AC ＝AB ＝120 m. 在Rt △ACD 中， CD ＝AC sin ∠CAD ＝120sin 30°＝60(m)，因此这条河的宽度为60 m. 答案：60 m8．(优质试题·福州市综合质量检测)在距离塔底分别为80 m ，160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________．解析：设塔高为h m ．依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h240.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝sin （90°－γ）sin γcos （90°－γ）cos γ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h 80＋h1601－h 80·h 160·h240＝1，解得h ＝80，所以塔高为80 m.答案：80 m9．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN.解：根据图示， AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150(m)． 10.如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－（x －12）22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .因为cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，所以3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D (图略)，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131，所以PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421. 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．)1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：选A.在△ABC 及△ACD 中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D )＝AC 2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D ，解得cos ∠D ＝－12，所以AC ＝49＝7.2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD . 已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5米B ．50 7米C ．5011米D ．50 19米解析：选B.设该扇形的半径为r 米，连接CO .由题意，得CD ＝150(米)，OD ＝100(米)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2，解得r ＝50 7.3.(优质试题·惠州市第三次调研考试)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________．解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252（3－1）sin （90°＋θ），即25sin 45°＝252（3－1）cos θ，得到cos θ＝3－1.答案：3－14．(优质试题·山西省第二次四校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时，角B 的值为________．解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，易得tan A ＞0，tan B ＞0，所以tan(A －B )＝tan A －tan B1＋tan A tan B ＝2tan B1＋3tan 2B ＝21tan B ＋3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，所以B ＝π6.答案：π65．某港湾的平面示意图如图所示，O ，A ，B 分别是海岸线l 1，l 2上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6 km 处，B 位于O 的北偏东60°方向10 km 处．(1)求集镇A ，B 间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线l 1，l 2上分别修建码头M ，N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M ，N 的位置，使得M ，N 之间的直线航线最短．解：(1)在△ABO 中，OA ＝6，OB ＝10，∠AOB ＝120°，根据余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 120° ＝62＋102－2×6×10×⎝⎛⎭⎫－12＝196，所以AB ＝14.故集镇A ，B 间的距离为14 km. (2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连接OC (图略)，则OC ⊥MN . 设OM ＝x ，ON ＝y ，MN ＝c ，在△OMN 中，由12MN ·OC ＝12OM ·ON ·sin 120°，得12×3c ＝12xy sin 120°，即xy ＝23c ，由余弦定理，得c 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ≥3xy ，所以c 2≥63c ，解得c ≥63，当且仅当x ＝y ＝6时，c 取得最小值6 3.所以码头M ，N 与集镇O 的距离均为6 km 时，M ，N 之间的直线航线最短，最短距离为 6 3 km.6．在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．解：(1)因为S △DAC ＝23，所以12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23，所以sin ∠DAC ＝12.因为∠DAC ＜∠BAC ＜π－π3＝2π3，所以∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理，得DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，所以DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28，所以DC ＝27.(2)因为AB ＝AD ，B ＝π3，所以△ABD 为正三角形，在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin 2π3＝DCsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋43＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋43＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋4 3.因为∠ADC ＝2π3，所以0＜C ＜π3，所以π3＜C ＋π3＜2π3，所以当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3.。

2014全国名校高中数学试题分类解析汇编：I单元统计

I 单元统计目录I 单元统计 .................................................................................................................................... 1 I1 随机抽样 ................................................................................................................................... 1 I2 用样本估计总体 ....................................................................................................................... 3 I3 正态分布 ................................................................................................................................. 12 I4 变量的相关性与统计案例 ..................................................................................................... 14 I5 单元综合 .. (16)I1 随机抽样【理·宁夏银川一中高三三模·2014】13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n= 。

高斯函数

10
23 代入原方程有5 x 8 31 0, 得x 5 解法二：可由[ x ] x [ x ] 1及5 x 2[ x ] 31 0, 得 31 2[ x ] [ x] 1 26 31 5 不等式组 [ x] 7 7 31 2[ x ] [ x ] 5 23 又[ x ] Z , [ x ] 4, 再代入原方程求出x . 5
(2)当0 lg x 1时, 有[lg x] 0, 代入原方程得 lg x 2, 均不符合题意。
(3)当1 lg x 2时, 与[lg x ] 1, 代入原方程得 lg x 3, 但 lg x 3不符合题意, lg x 3, x2 10 3 . (4)当 lg x 2时,得x2 100, 原方程共有3个实根。
3
二、高斯函数y=[x]的性质
定理1：若n N * , x是正实数，则在区间[1, x ]中内， x 恰有[ ]个整数是n的倍数。 n 定理2：：若n N * , 则在n !的质因数分解式中， n n n 质数p的指数是[ ] [ 2 ] [ 3 ] ... p p p
4
三、函数y={x}的性质
解：由定理2, n !中含有质因数2的个数是 n n n p [ ] [ 2 ] ... [ k 1 ],(其中k 满足2k 1 n 2k ) 2 2 2 又由[ x1 x2 ] [ x1 ] [ x2 ], 得 1 1 1 n p [n( 2 +...+ k 1 )] [n k 1 ] n 1 2 2 2 2
13
例4：求证：当且仅当存在某个正整数k , 使得n 2k 1 时, 2n 1 能整除n !(加拿大数学奥林匹克试题 ).

大象天成大联考全国名校联盟2020-2021学年高三第一次联考数学含解析《细挑14套试卷》

大象天成大联考全国名校联盟2020-2021学年高三第一次联考数学注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（） A ．5B ．5C ．13D ．132．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <4．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（）A．32b B．12b C ．32b-D．12b-5．曲线312ln3y x x=+上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A．3 B．2 C．32D．16．若复数()(1)2z i i=++（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．已知函数f(x)＝223,1ln,1x x xx x⎧--+≤⎨>⎩,若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是()A．1,e2⎛⎫⎪⎝⎭B．1,2e⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．1,2ee⎛⎤⎥⎝⎦D．1,2ee⎛⎫⎪⎝⎭8．执行如图所示的程序框图，若输出的310S=，则①处应填写（）A．3?k<B．3?k C．5?k D．5?k<9．设正项等差数列{}n a的前n项和为n S，且满足6322S S-=，则2823aa的最小值为A．8 B．16 C．24 D．3610．复数z满足()11z z i-=+(i为虚数单位),则z的值是()A．1i+B．1i-C．i D．i-11．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．12．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（） A ．312B ．512C ．32D 51二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

正弦定理与余弦定理

全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）1．(优质试题·兰州市实战考试)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B.由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－24，故选B.2．(优质试题·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( ) A ．2∶3 B ．4∶3 C ．3∶1D ．3∶2解析：选C.由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，选C. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D.因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.4．(优质试题·安徽合肥模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9πD ．36π 解析：选C.已知b cos A ＋a cos B ＝2，由正弦定理可得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2(R 为△ABC 的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2R sin(A ＋B )＝2，则2R sin C ＝2，因为cos C ＝223，所以sin C ＝13，所以R ＝3.故△ABC 的外接圆面积为9π.故选C.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb 的值为( )A.22B. 2 C ．2D ．4解析：选C.在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0，利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0，所以tan B ＝3，故B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，求得a ＋c b＝2.6．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：27．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________．解析：由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，所以sin C ＝378，所以sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案：18．已知△ABC 的周长为2＋1，面积为16sin C ，且sin A ＋sin B ＝2sin C ，则角C 的值为________．解析：将sin A ＋sin B ＝2sin C 利用正弦定理化简得： a ＋b ＝2c ，因为a ＋b ＋c ＝2＋1，所以2c ＋c ＝2＋1，即c ＝1，所以a ＋b ＝2，因为S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ，所以ab ＝13.因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－12ab＝（a ＋b ）2－2ab －12ab ＝2－23－123＝12，则C ＝π3.答案：π39．(优质试题·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．(优质试题·贵州省适应性考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝4，b sin A ＝3. (1)求tan B 及边长a 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝9，求△ABC 的周长．解：(1)在△ABC 中，a cos B ＝4，b sin A ＝3，两式相除，有b sin A a cos B ＝sin B sin A sin A cos B ＝tan B ＝34，又a cos B ＝4，所以cos B >0，则cos B ＝45，故a ＝5.(2)由(1)知，sin B ＝35，由S ＝12ac sin B ＝9，得c ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，得b ＝13. 故△ABC 的周长为11＋13.1．(优质试题·长沙市统一模拟考试)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3B ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3C ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3D ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3解析：选C.设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23[sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ]＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3.选C.2．(优质试题·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π解析：选D.在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝512π.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (a 、b 、c 为△ABC 中角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 的外接圆半径)可得，a ＝sin A sin C ·c ，b ＝sin B sin C ·c ，R ＝c2sin C .所以S 1＝12ab sin C ＝12·sin A sin C ·sin B sin C ·c 2·sin C＝12sin A ·sin B ·sin C ·c 2sin 2C ， S 2＝πR 2＝π4·c 2sin 2C，所以S 1S 2＝2sin A ·sin B ·sin Cπ＝2×22×32×6＋24π＝3＋34π，故选D.3．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．解析：在△ABD 中，设BD ＝x ，则 BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ，所以BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.答案：8 24．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为________．解析：由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3. 答案：35.(优质试题·洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围．解：(1)由已知，易得∠ACB ＝45°，在△ABC 中，10sin 45°＝CB sin 60°⇒BC ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°，在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10. 在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3. (2)AC ＋AB >BC ＝10，cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC ⇒(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC ，而AB ·AC ≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22，所以（AB ＋AC ）2－1003≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22，解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10，20]．6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A .(1)求a 的值；(2)圆O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部)，△OBC 的面积为33，b ＋c ＝4，判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)由正弦定理可知，sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，则ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A ⇔a 2c ＋4c ＝4ac ，因为c ≠0，所以a 2c ＋4c ＝4ca ⇔a 2＋4＝4a ⇔(a －2)2＝0，可得a ＝2. (2)设BC 的中点为D ，则OD ⊥BC ，所以S △OBC ＝12BC ·OD .又因为S △OBC ＝33，BC ＝2，所以OD ＝33，在Rt △BOD 中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝12BC OD ＝133＝3，又0°<∠BOD <180°，所以∠BOD ＝60°，所以∠BOC ＝2∠BOD ＝120°，因为O 在△ABC 内部，所以∠A ＝12∠BOC ＝60°，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .所以4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又b ＋c ＝4，所以bc ＝4，所以b ＝c ＝2，所以△ABC 为等边三角形．。

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：诱导公式

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：诱导公式1．(全国名校·山东师大附中模拟)(tan10°－3)sin40°的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 (tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.2．(全国名校·广东珠海期末)已知tan (α＋π5)＝2，tan (β－4π5)＝－3，则tan(α－β)＝( )A ．1B ．－57C.57 D ．－1答案 D解析 ∵t an(β－4π5)＝－3，∴tan (β＋π5)＝－3.∵tan (α＋π5)＝2，∴tan (α－β)＝tan [(α＋π5)－(β＋π5)]＝tan （α＋π5）－tan （β＋π5）1＋tan （α＋π5）tan （β＋π5）＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选D.3．(全国名校·湖南永州一模)已知sin (α＋π6)＋cos α＝－33，则cos(π6－α)＝( )A ．－223B.223 C ．－13D.13 答案 C解析由sin (α＋π6)＋cos α＝－33，得sin (α＋π3)＝－13，所以cos(π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin (α＋π3)＝－13.4．(全国名校·山东，文)函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．π D ．2π答案 C解析 ∵y ＝3sin2x ＋cos2x ＝2(32sin2x ＋12cos2x)＝2sin(2x ＋π6)，∴T ＝2π2＝π.故选C. 5．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4答案 A解析由已知得tanA ＋tanB ＝－3(1－tanAtanB)， ∴tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A ＋B)＝－ 3.又tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，0<C<π，∴C ＝π3.6.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.7．(全国名校·河北冀州考试)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.8．(全国名校·课标全国Ⅰ，理)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)，∴α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β. 即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简得sin (α－β)＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin (α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2，即2α－β＝π2，故选C.9．(全国名校·湖北中学联考)4sin80°－cos10°sin10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2 D ．22－3答案 B 解析4sin80°－cos10°sin10°＝4sin80°sin10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin （30°－10°）－cos10°sin10°＝－ 3.故选B.10．(全国名校·四川自贡一诊)已知cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，则sin (α＋π3)＋sin α＝( )A ．－435B ．－335C.335D.435答案 A 解析 ∵cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，∴cos (α＋23π)＝cos αcos 23π－sin αsin 23π＝－12cos α－32sin α＝45，∴32sin α＋12cos α＝－45.∴sin (α＋π3)＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3(32sin α＋12cos α)＝－435.故选A.11．(全国名校·湖南邵阳二联)若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，则实数m 的值为( )A ．2 3B. 3C ．2D ．3答案 A解析由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，得sin π12cos 5π12＝sin 5π12cos π12－msin π12cos π12，∴12msinπ6＝sin(5π12－π12)＝sin π3，解得m ＝2 3. 12．(2013·课标全国Ⅱ，理)设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________．答案－105解析由tan (θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13，即sin θ＝－13cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得109cos 2θ＝1.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－31010，sin θ＝1010.所以sin θ＋cos θ＝－105.13．化简：sin （3α－π）sin α＋cos （3α－π）cos α＝________.答案－4cos2α解析原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.14．求值：1sin10°－3sin80°＝________．答案 4解析原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin （30°－10°）sin20°＝4.15．已知cos (α＋β)cos (α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________．答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.16．(全国名校·北京，理)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos (α－β)＝________．答案－79解析方法一：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos (α－β)＝cos(2k π＋π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－[1－2×(13)2]＝－79.方法二：因为sin α＝13>0，所以角α为第一象限角或第二象限角，当角α为第一象限角时，可取其终边上一点(22，1)，则cos α＝223，又(22，1)关于y 轴对称的点(－22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cos β＝－223，此时cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×(－223)＋13×13＝－79.当角α为第二象限角时，可取其终边上一点(－22，1)，则cos α＝－223，因为(－22，1)关于y 轴对称的点(22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cosβ＝223，此时cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－223)×223＋13×13＝－79.综上可得，cos (α－β)＝－79.17．(全国名校·广东深圳测试)2sin46°－3cos74°cos16°＝________．答案 1 解析2sin46°－3cos74°cos16°＝2sin （30°＋16°）－3sin16°cos16°＝cos16°cos16°＝1.18．(全国名校·江苏泰州中学摸底)已知0<α<π2<β<π，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值；(2)证明：sin β>513.答案 (1)35(2)略解析 (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－（12）2＝43.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈(0，π2)，解得cos α＝35.(2)证明：由已知得π2<α＋β<3π2.∵sin (α＋β)＝513，∴cos (α＋β)＝－1213.由(1)可得sin α＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－(－1213)×45＝6365>513.19.(全国名校·江苏南京调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B.若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1)求cos (α－β)的值； (2)求α＋β的值．答案 (1)－55 (2)3π4解析因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(1)cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－210.(2)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αcos β＝1010×(－55)＋31010×255＝22. 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4.。

俩角和与差的正弦、余弦和正切公式

全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C.12D ．1解析：选A.因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，所以⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝⎝⎛⎭⎫32－12cos α，所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.3．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则sin α等于( ) A.35 B.45 C ．－35D ．－45解析：选A.因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17，所以tan α＝－34＝sin αcos α，所以cos α＝－43sin α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝925.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝35.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( ) A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫332－1＝－13.5．(优质试题·兰州市实战考试)sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析：选D.2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0<α<π2，所以sin α＋cos α＝75，故选D.6．(优质试题·贵州省适应性考试)已知α是第三象限角，且cos ()α＋π＝45，则tan 2α＝________．解析：由cos(π＋α)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tanα＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.答案：2477．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝________．解析：依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45.sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin(β＋π4)＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 答案：72108．(优质试题·兰州市高考实战模拟)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝________．解析：由sin α－sin β＝1－32，得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，即sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝74－3，①由cos α－cos β＝12，得cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14，②①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝3，即cos(α－β)＝32. 答案：329．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 10．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos θ的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3 ＝3⎣⎡⎝⎛⎭⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝⎛－sin θcos π3 ⎦⎤⎭⎫＋cos θsin π3＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3，所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63.1．(优质试题·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝( ) A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16解析：选A.由于角α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝223，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16. 2．(优质试题·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6等于( ) A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C.tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2，因为α为第二象限角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝255，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π4＝－31010. 3．(优质试题·安徽重点中学联考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________．解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14.由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan α＞0，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15164．(优质试题·郑州第一次质量预测)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，若3cos A ＋sin A3sin A －cos A＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，则tan A ＝____________________________. 解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－A －π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，所以－A －π3＝k π－7π12(k ∈Z )，所以A ＝－k π＋7π12－π3＝－k π＋3π12＝－k π＋π4，又在△ABC 中，A ∈(0，π)，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：15．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32，所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32.所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.6．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4·cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，所以cos 2β＝－2425，又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以cos α＝255，sin α＝55.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725 ＝－11525.。

全国名校高三数学优质试题汇编(附详解)四

全国名校高三数学优质试题汇编（附详解）四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{某|lg某＜1}，N＝{某|－3某2＋5某＋12＜0}，则()A．NMB．RNM4－∞，－∪(3,10)C．M∩N＝3D．M∩(RN)＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与某轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2某上，则co2θ－in2θ等于()4A．－53C.53B．－54D.53．(优质试题届衡水联考)已知命题p：任意某∈R，(2－某)<0，则命题綈p为()21A．存在某∈R，(2－某)>021B．任意某∈R，(1－某)>021C．任意某∈R，(1－某)≥021D．存在某∈R，(2－某)≥024．(优质试题·济宁模拟)曲线y＝3ln某＋某＋2在点P处的切线方程为4某－y－1＝0，则点P的坐标是()A．(0,1)C．(1，－1)B．(1,0)D．(1,3)5．设向量a＝(1,2)，b＝(2,1)，若向量a－λb与向量c＝(5，－2)共线，则λ的值为()4A.34C．－94B.13D．46．(优质试题·贵阳适应性考试)设命题p：若y＝f(某)的定义域为R，且函数y＝f(某－2)图像关于点(2,0)对称，则函数y＝f(某)是奇函数，命题q：任意某≥0，某≥某，则下列命题中为真命题的是()A．p且qC．p且(綈q)7．已知a＝，b＝log121213B．(綈p)或qD．(綈p)且(綈q)121311，c＝log3，则()23B．b>c>aD．b>a>cA．c>b>aC．a>b>c8．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC3的面积为，则b等于()21＋3A.22＋3C.2B．1＋3D．2＋39．(优质试题届吉林松原模拟)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝→→角，M是BC边的中点，则AM·AO等于()A．3C．5B．4D．6Sn10．已知{an}是等差数列，其公差为非零常数d，前n项和为Sn，设数列n的前n项和为a1Tn，当且仅当n＝6时，Tn有最大值，则的取值范围是()d5－∞，－A.2B．(－3，＋∞)5－3，－C.25－，＋∞D．(－∞，－3)∪211．(优质试题·安徽百校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a3＝a6＋4，则“a2＜1”是“S5＜10”的()A．充分不必要条件C．充要条件B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件1212．对任意的n∈N＋，数列{an}满足|an－co2n|≤且|an＋in2n|≤，则an等于()332A.－in2n3C.－co2n32B．in2n－31D．co2n＋第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f(某)＝1－2某的定义域为________．14．(优质试题·张家口期末考试)设数列{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和，9Sn－S2n记Tn＝(n∈N＋)，则数列{Tn}最大项的值为________．an＋11316．(优质试题·陆川二模)已知函数f(某)＝ln某－某＋－1，g(某)＝某2－2b某＋4，若对任意44某某1∈(0,2)，存在某2∈[1,2]，使f(某1)≥g(某2)，则实数b的取值范围是______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A＝{某|某2－2某－3＜0}，B＝{某|某2－5某＋6＞0}．(1)求A∩B；(2)若不等式某2＋a某＋b＜0的解集是A∩B，求a某2＋某－b＜0的解集．π某＋·18．(12分)已知函数f(某)＝2in3co某.π(1)若0≤某≤，求函数f(某)的值域；(2)设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f(A)＝c＝3，求co(A－B)的值．19.(12分)(优质试题届山西五校联考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ainB＋3bcoA＝3c.(1)求B；33(2)若△ABC的面积为，b＝7，a＞c，求a，c.23，b＝2，220．(12分)ππ其中A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，－(1)求函数f(某)的解析式；π32α＋的值．(2)若f(α)＝，求in62321.(12分)(优质试题·长春二模)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－1(n∈N＋)．21(1)若数列{bn}满足bn＝an－，求证：{bn}是等比数列；2(2)求数列{an}的前n项和Sn.22．(12分)(优质试题届郑州联考)已知f(某)＝某3＋a某2＋b某，a，b∈R.1－1，上是增加的，求实数a的取值范围；(1)若b＝1，且函数f(某)在区间2(2)若函数f(某)有两个极值点某1，某2，某1答案精析1．D[由M＝{某|lg某＜1}得M＝{某|0＜某＜10}；由－3某2＋5某＋12＝(－3某－4)(某－3)＜0，4某＜－或某＞3，解得N＝某34－≤某≤3，所以RN＝某3则有M∩(RN)＝(0,3]，故选D.]2．B[∵角θ的终边在直线y＝2某上，∴tanθ＝2.co2θ－in2θ1－tan2θ1－223∴coθ－inθ＝2＝＝＝－.]2225coθ＋inθ1＋tanθ1＋2223．D[含有一个量词的命题的否定写法是“变量词，否结论”，1故綈p为存在某∈R，(2－某)≥0.故选D.]24．D[设切点P(m，n)，则n＝4m－1，n＝3lnm＋m＋2，33又y′＝＋1，∴＋1＝4，解得m＝1，n＝3，某m∴P(1,3)，故选D.]45．A[因为a－λb＝(1－2λ，2－λ)，所以由题意得－2(1－2λ)－5(2－λ)＝0，解得λ＝，故3选A.]6．C[由题意得，函数y＝f(某－2)的图像向左平移2个单位，可得函数y＝f(某)的图像，因为函数y＝f(某－2)的图像关于点(2,0)对称，所以函数y＝f(某)的图像关于原点对称，又函数f(某)的定义域为R，所以y＝f(某)为奇函数，所以命题p为真命题；又当0＜某＜1时，某＜某，当某＞1时，某＞某，所以命题q为假命题，所以命题p且(綈q)12131213为真命题，故选C.]7．D[由题意可得，01，3c＝log31<0，由此可得b>a>c.故选D.]213 8．B[由题意得2b＝a＋c，S＝acin30°＝，得ac＝6，22∴b2＝a2＋c2－2acco30°＝(a＋c)2－2ac－3ac＝4b2－6(2＋3)，∴b2＝2(2＋3)＝(3＋1)2，b＝3＋1，故选B.]→1→→9．C[∵M是BC边的中点，∴AM＝(AB＋AC)，2∵O是△ABC的外接圆的圆心，→→→→∴AO·AB＝|AO|·|AB|co∠BAO1→1＝|AB|2＝某(23)2＝6.22→→1→21同理可得AO·AC＝|AC|＝某(22)2＝4.22→→1→→→∴AM·AO＝(AB＋AC)·AO21→→1→→＝AB·AO＋AC·AO221＝某(6＋4)＝5.]2dSnda1－，10．C[∵{an}是等差数列，其公差为非零常数d，前n项和为Sn，∴＝n＋2n2S∵数列n的前n项和为T，当且仅当n＝6时，T有最大值，∴S＝a＋3d＜0，7d＜0，nnn71S65＝a1＋d＞0，62解得a15－3＜＜－.故选C.]d211．A[设公差为d，由3a3＝a6＋4得3a2＋3d＝a2＋4d＋4，即d＝2a2－4，则由S5＜10得5a1＋a55a2＋a456a2－8＝＝＜10，即有a2＜2，故选A.]2221212．A[∵|an－co2n|≤且|an＋in2n|≤，3311∴co2n－≤an≤co2n＋，3322－in2n－≤an≤－in2n＋，3322即－1＋co2n－≤an≤－1＋co2n＋，3311∴co2n－≤an≤co2n－，3312∴an＝co2n－＝－in2n.]3313．(－∞，0]解析由1－2某≥0，即2某≤1＝20，解得某≤0,定义域为(－∞，0]．14．39Sn－S2n解析∵数列{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和，Tn ＝(n∈N＋)，an＋1a11－2na11－22n9·－1－21－28∴Tn＝＝9－2n－n，na1·228∵2n＋n≥2282n·n＝42，283当且仅当2n＝n，即n＝时取等号，22又n∈N＋，∴当n＝1或2时，Tn取最大值T1＝T2＝9－2－4＝3.∴数列{Tn}最大项的值为3.15．100解析连接AC.在△ABC中，AC2＝802＋(40＋303)2－2某80某(40＋303)某co60°＝7500，所以AC＝503，80某in60°4所以in∠ACB＝＝，5503AC2＋BC2－AB23所以co∠ACB＝＝.2AC·BC5()23472＋＝，255102，102，10由∠ACD为锐角，得co∠ACD＝AD2＝(503)2＋(2506)2－2某503某2506某得AD＝3503，设收到指令时该轮船到城市C的距离是某，则5032＋502－某25032＋35032－25062＝，2某503某502某503某3503即某＝100.17，＋∞16.8113解析函数f(某)的导函数f′(某)＝－－2某44某－某－1某－3＝，4某2若f′(某)＞0,1＜某＜3，f(某)为增函数；若f′(某)＜0，某＞3或0＜某＜1，f(某)为减函数．131f(某)在某∈(0,2)上有极值，f(某)在某＝1处取极小值也是最小值f(某)min＝f(1)＝－＋－1＝－；442∵g(某)＝某2－2b某＋4＝(某－b)2＋4－b2，对称轴为某＝b，某∈[1,2]，当b＜1时，g(某)在某＝1处取最小值g(某)min＝g(1)＝1－2b＋4＝5－2b；当1≤b≤2时，g(某)在某＝b处取最小值g(某)min＝g(b)＝4－b2；当b＞2时，g(某)在[1,2]上是减函数，g(某)min＝g(2)＝4－4b＋4＝8－4b.∵对任意某1∈(0,2)，存在某2∈[1,2]，使f(某1)≥g(某2)，∴只要f(某)的最小值大于等于g(某)的最小值即可，111当b＜1时，－≥5－2b，解得b≥，故b无解；2413232当1≤b≤2时，－≥4－b2，解得b≤－或b≥，222117故b无解；当b＞2时，－≥8－4b，解得b≥.2817综上，b≥.817．解(1)由A＝{某|某2－2某－3＜0}＝{某|－1＜某＜3}，B＝{某|某2－5某＋6＞0}＝{某|某＜2或某＞3}，∴A∩B＝{某|－1＜某＜2}．(2)由题意，得－1,2是方程某2＋a某＋b＝0的两根，∴－1＋2＝－a，－1某2＝b，解得a＝－1，b＝－2，∴不等式a某2＋某－b＜0可化为－某2＋某＋2＜0，解得某＜－1或某＞2.∴a某2＋某－b＜0的解集为{某|某＜－1或某＞2}．18．解(1)f(某)＝(in某＋3co某)co某＝in某co某＋3co2某133＝in2某＋co2某＋222π32某＋＋，＝in32πππ4π由0≤某≤，得≤2某＋≤，2333－π32某＋≤1.≤in32π332某＋＋≤1＋，∴0≤in322即函数f(某)的值域为0，1＋3.2π332A＋＋＝，(2)由f(A)＝in322π2A＋＝0，得in3πππ4π又02333ππ∴2A＋＝π，A＝.33在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccoA＝7，得a＝7，ab由正弦定理＝，inAinBbinA21得inB＝＝，a727∵b7∴co(A－B)＝coAcoB＋inAinB12732157＝某＋某＝.272714 19．解(1)由已知ainB＋3bcoA＝3c，结合正弦定理得inAinB＋3inBcoA＝3inC，所以inAinB＋3inBcoA＝3in(A＋B)＝3(inAcoB＋inBcoA)，即inAinB ＝3inAcoB，因为A为△ABC的内角，inA≠0，所以tanB＝3，π因为B∈(0，π)，所以B＝.31π333(2)由S△ABC＝acinB，B＝，得ac＝，2342即ac＝6，又b2＝(a＋c)2－2ac－2accoB，得(7)2＝(a＋c)2－2ac－ac，ac＝6，a＝3，所以又a＞c，∴a＋c＝5，c＝2.20．解(1)由题图可知A＝2，T＝2π，故ω＝1，所以f(某)＝2in(某＋φ)．2π2π＋φ＝2且－π某－.故φ＝－，所以f(某)＝2in66π33α－＝，(2)由f(α)＝，得in642πππ2α＋＝in2α－6＋所以in62α－π＝1－2in2α－π＝－1.＝co266811an－(n∈N＋)，21．(1)证明由题意知an＋1－＝322bn＋11从而有bn＋1＝3bn，b1＝a1－＝1≠0，所以＝3为非零常数，2bn所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．1(2)解由(1)知bn＝3n－1，从而an＝3n－1＋，2n3＋n－1111n－1则Sn＝1＋＋3＋＋…＋3＋＝.222222．解(1)当b＝1时，f′(某)＝3某2＋2a某＋1，1－1，上是增加的，∵函数f(某)在2－1，时，f′(某)＝3某2＋2a某＋1≥0恒成立．∴当某∈2a函数f′(某)＝3某2＋2a某＋1的对称轴为某＝－.3a①当－3时，f′(－1)≥0，3即3－2a＋1≥0，解得a≤2，解集为空集；aa13－≥0.②当－1≤－≤，即－≤a≤3时，f′3322a2－a＋1≥0，即3·＋2a·393解得－3≤a≤3，所以－≤a≤3.21a13③当－>，即a4473∴－≤a427综上所述，当－≤a≤3时，41－1，上是增加的．函数f(某)在区间2(2)g(某)有两个零点，证明如下：∵f(某)有两个极值点某1，某2，∴某1，某2是方程f′(某)＝3某2＋2a某＋b＝0的两个根，且函数f(某)在区间(－∞，某1)和(某2，＋∞)上是增加的，在(某1，某2)上是减少的．∵g′(某)＝f′(某)，∴函数g(某)也是在区间(－∞，某1)和(某2，＋∞)上是增加的，在(某1，某2)上是减少的．∵g(某0)＝f(某0)－f(某0)＝0，∴某0是函数g(某)的一个零点．由题意知，g(某2)＝f(某2)－f(某0)．∵某1＋2某0＝3某2，∴2某0－2某2＝某2－某1>0，∴某0>某2，∴f(某2)某1，某2是方程f′(某)＝3某2＋2a某＋b＝0的两个根，2∴3某21＋2a某1＋b＝0,3某2＋2a某2＋b＝0，22∴f(某1)－f(某0)＝(某1－某0)(某1＋某1某0＋某0＋a某1＋a某0＋b)3某2－某123某2－某13某2－某12＝某1－某＋某·＋211243某2－某1＋a某1＋a·＋b232＝(某1－某2)(3某21＋2a某1＋b＋9某2＋6a某2＋3b)＝0，8∴g(某1)＝f(某1)－f(某0)＝0.∵函数g(某)的图像连续，且在区间(－∞，某1)上是增加的，在(某1，某2)上是减少的，在(某2，＋∞)上是增加的．∴当某∈(－∞，某1)时，g(某)<0，当某∈(某1，某0)时，g(某)<0，当某∈(某0，＋∞)时，g(某)>0，∴函数g(某)有两个零点某1和某0.。

对数函数及其性质

∴它在(0,+∞)上是增函数（1）22.5，23.5 （2）0.20.1，0.23.1 ∴log23.4<log28.5 (2)考查对数函数y=log0.3x,∵底数0<0.3<1 ∴它在(0,+∞)上是减函数 ∴log0.31.8>log0.32.7
(3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数 ∴loga5.1<loga5.9
.
.1
x
O
.
1
. .
x
y=log x
对数函数 y=log ax图象分为a>1和0<a<1
两种情况：
当a>1时 y y=log ax (a>1) 当0<a<1时 y y=log ax (0<a<1)
. O
1
x
. O
1Hale Waihona Puke x仿照研究指数函数指出对数函数的图象性质
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对数函数 y=log ax（a>0且a≠1 ）的性质
｛x│x>1 x│ －3且＜x x＜ ≠2 3｝
小结:对于具体函数式求定义域,考虑：
（1）分母不等于0；（2）偶次方根被开方数非负；
（3）零指数幂底数不为0；（4）对数式考虑真数大于0；
（5）实际问题要有实际意义。
例8 比较下列各组数中两个值的大小： (1)log23.4,log28.5 (2)log0.31.8,log0.32.7 (3)loga5.1,loga5.9(a＞0且a≠1) 解 :(1)考查对数函数y=log2x,∵底数2>1 回忆:同底数的两个指数是如何比较大小的？
x log2 y
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全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题排列与组合

排列与组合A组基础题组1.(优质试题陕西宝鸡质量检测(一))某市正在建设最具幸福感城市,原计划沿渭河修建7个河滩主题公园.为提升城市品味、升级公园功能,打算减少2个河滩主题公园,两端河滩主题公园不在调整计划之列,相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整,则调整方案的种数为( )A.12B.8C.6D.42.某校开设10门课程供学生选修,其中A、B、C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位学生选修三门,则每位学生不同的选修方案种数是( )A.70B.98C.108D.1203.如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为( )A.30B.42C.54D.564.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是( )A.48B.54C.72D.845.(优质试题甘肃兰州高考实战模拟)某国际会议结束后,中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在前排正中间位置,美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻,如果对其他国家领导人所站位置不做要求,那么不同的站法共有( )A.种B.种C.种D.种6.(优质试题河南郑州第二次质量预测)数字“124 467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A.72B.120C.192D.2407.(优质试题福建漳州八校联考)有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种8.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )A.24B.18C.12D.69.西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多5人,则不同的分配方案共有( )A.36种B.68种C.104种D.110种10.已知-=+1,则n= .-11.(优质试题吉林长春普通高中质检检测(二))某班主任准备请优质试题届毕业生做报告,要从甲、乙等8人中选4人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言中间需恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有种.(用数字作答)12.(优质试题辽宁沈阳高考模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,若甲、乙分得的电影票连号,则共有种不同的分法.(用数字作答)13.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)14.将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有1个小球,且每个盒子中的小球的个数都不同,则共有种不同的放法.B组提升题组1.现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆),则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )A.144种B.108种C.72种D.36种2.某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们在赛道上顺序不能相邻,那么不同的排法种数为( )A.720B.520C.600D.3603.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对4.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右,每侧3艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为( )A.72B.324C.648D.1 2965.从1到9这9个数字中取3个偶数、4个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有多少个?(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有多少个?6.已知10件不同的产品中有4件是次品,现对它们进行测试,直至找出所有次品为止. (1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数是多少?答案精解精析A组基础题组1.C 除两端的2个河滩主题公园之外,从中间5个河滩主题公园中任选2个,有种方法,其中有4种相邻的情况,故调整方案共有-4=6种.2.B 共可分为两类:在A、B、C中选一门,其他7门中选两门,有=63种;在A、B、C中不选,在其他7门中选三门,有=35种,所以共有63+35=98种,故选B.3.B 先从这8个点中任取3个点,有种取法,再减去三点共线的情形即可,故三角形的个数为--=42.4.C 根据题意,先把3名乘客进行全排列,有=6种排法,排好后有4个空,再将2个连续的空座位“捆绑”和余下的1个空座位插入形成的4个空中,则有=12种排法,所以共有6×12=72种候车方式,故选C.5.D 中国领导人站在前排正中间位置,美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻,有种站法,其他18国领导人可以任意站,因此有种站法.根据分步乘法计数原理知,共有种站法.故选D.6.D 将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数,则末位数字应为偶数,(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以有=60种情况;(2)若末位数字为6,同理有=60种情况;(3)若末位数字为4,因为有两个数字4,所以共有5×4×3×2×1=120种情况.综上,共有60+60+120=240种情况.7.C 特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有 · · =96种,故选C.8.B 从0,2中选一个数字,①取0:此时0只能放在十位,再从1,3,5中任取两个数,在个位与百位进行全排列即可,列式为 ;②取2:此时2可以放在十位或百位,再从1,3,5中任取两个放在剩余两位进行全排列,列式为2 ,∴满足条件的奇数的个数为 +2 =3 =3×3×2=18.故选B.9.C 分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有( -1)· =68种;第二类有( - )· =36种,所以共有68+36=104种不同的方案. 10.答案 6解析由 1-1= -12+1得 1)=(n-1)(n-2)+1,即n 2-7n+6=0,∴n=1 舍去)或n=6.11.答案 1 080解析若甲、乙同时参加,有2 =120种,若甲、乙有一人参加,有 =960种,从而不同的发言顺序有1 080 种. 12.答案 48解析电影票号码相邻只有4种情况,则甲、乙2人在这4种情况中选一种,共种选法,2张票分给甲、乙,共有种分法,其余3张票分给其他3个人,共有种分法,根据分步乘法计数原理,可得共有 =48种分法.13.答案 660解析从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为 - =55.从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为 =12种. 故共有55×12=660种选法. 14.答案 18解析对这3个盒子中所放的小球的个数的情况进行分类.第一类,这3个盒子中所放的小球的个数分别是1,2,6,此类有 =6种放法;第二类:这3个盒子中所放的小球的个数分别是1,3,5,此类有 =6种放法;第三类:这3个盒子中所放的小球的个数分别是2,3,4,此类有 =6种放法.因此共有6+6+6=18种满足题意的放法.B组提升题组1.C 从4种小车中选取2种有种选法,从4个车库中选取2个车库有种选法,然后将这2种小车放入这2个车库共有种放法;将剩下的2种小车每1种分开来放,因为同一品牌的小车完全相同,只有1种放法,所以共有=72种不同的放法.故选C.2.C 根据题意,分两种情况讨论.①甲、乙只有其中一人参加,有=480种情况;②甲、乙两人都参加,有=240种情况,其中甲、乙相邻的有=120种情况.不同的排法种数为480+240-120=600.3.C 利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图,它们的棱是原正方体的12条面对角线.一个正四面体中两条棱成60°角的有(-3)对,两个正四面体有(-3)×2对.又正方体平行的面对角线成对,所以共有(-3)×2×2=48对.故选C.4.D 核潜艇排列的排列数为,6艘舰艇任意排列的排列数为,同侧均是同种舰艇的排列数为×2,则舰艇分配方案的方法数为(-×2)=1 296.5.解析(1)分三步完成:第一步,在4个偶数中取3个,有种情况;第二步,在5个奇数中取4个,有种情况;第三步,将3个偶数和4个奇数进行排列,有种情况.所以符合题意的七位数有=100 800个.(2)3个偶数排在一起的有=14 400个.(3)3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有=5 760个.6.解析(1)先排前4次测试,只能取正品,有种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试,有·=种测试方法,再排余下4件的测试位置,有种测试方法.所以共有··=103 680种不同的测试方法.(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有··=576种不同的测试方法.。

全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题二项式定理

二项式定理A组基础题组1.(优质试题云南第一次统一检测)在-的二项展开式中,x4的系数等于( )A.-120B.-60C.60D.1202.在的展开式中,x的幂指数是整数的共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项3.-+的展开式中的常数项为( )A.32B.34C.36D.384.(优质试题课标全国Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )A.-80B.-40C.40D.805.设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=( )A.0B.1C.11D.126.的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( )A.180B.90C.45D.3607.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5=( )A.32B.-1C.10D.18.++…++…+(n∈N*)的值为( )A.2nB.22n-1C.2n-1D.22n-1-19.(优质试题安徽合肥第一次教学质量检测)已知(ax+b)6的展开式中,x4项的系数与x5项的系数分别为135与-18,则(ax+b)6的展开式中所有项系数之和为( )A.-1B.1C.32D.6410.(优质试题湖北武汉武昌调研考试)若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024,则该展开式中的常数项是( )A.-270B.270C.-90D.9011.(优质试题四川成都第二次诊断性检测)在的展开式中,若常数项为-10,则a= .12.的展开式中各项系数之和为729,则该展开式中x2项的系数为.13.(优质试题江西南昌第一次模拟)在多项式(1+2x)6·(1+y)5的展开式中,xy3项的系数为.14.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .15.(优质试题山西太原二模,14)-的展开式中常数项是.B组提升题组1.(优质试题甘肃张掖第一次诊断考试)设f(x)是的展开式中的中间项,若f(x)≤mx在区间,上恒成立,则实数m的取值范围是.2.(优质试题江西赣州十四县联考,14)若的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为.3.(优质试题河南洛阳第一次统一考试)若|x-5|dx=25,则(2x-1)n的二项展开式中x2的系数为.4.已知函数f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥3).(1)求展开式中x2的系数;(2)求展开式中各项的系数之和.5.已知.(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.答案精解精析A 组基础题组1.A -的展开式的通项T r+1= x 10-r -=(-1)r x 10-2r,令10-2r=4,得r=3,所以该二项展开式中x 4的系数为(-1)3=-120,故选A.2.CT r+1= ( )24-r= -,故当r=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共5项. 3.D-的展开式的通项为T k+1= (x 3)4-k· -= (-2)k x 12-4k ,令12-4k=0,解得k=3,的展开式的通项为T r+1= ·x 8-r ·=·x 8-2r ,令8-2r=0,得r=4,所以所求展开式中的常数项为 (-2)3+=38.4.C (2x-y)5的展开式的通项为T r+1= ·(2x)5-r ·(-y)r =(-1)r ·25-r ·x 5-r y r .其中x 2y 3项的系数为(-1)3·22· =-40,x 3y 2项的系数为(-1)2·23· =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x 3y 3的系数为-40+80=40.5.D 由于51=52-1,所以(52-1)2 012+a= 522 012- 0121522 011+…- 2 0122 011521+1+a,所以只需1+a 能被13整除,又0≤a<13,所以a=12.6.A 由二项展开式中系数的性质,得n=10,∴T r+1= 10·( )10-r22=2r-,令5-r=0,则r=2,从而展开式的常数项是T 3=4=180.7.C 原等式两边求导得10(2x-3)4=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4,令x=1,得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=10.故选C.8.D (1+x)2n=+x+x2+x3+…+x2n,令x=1,得+++…+-+=22n;再令x=-1,得-+-+…+(-1)r·+…+---+=0.两式相加得2+2+2+…+2=22n,故原式=-1=22n-1-1.9.D 因为(ax+b)6的展开式中x4项的系数为135,所以·a4·b2=135; 因为(ax+b)6的展开式中x5项的系数为-18,所以·a5·b=-18,解得-,或,-.令x=1,则(ax+b)6的展开式所有项系数之和为26=64.故选D.10.C -的展开式中所有项系数的绝对值之和等于的展开式中所有项系数之和,令x=1,得4n=1 024,∴n=5,∴的通项为T r+1=-·(-)r=·35-r·(-1)r·-,令-+=0,解得r=3,∴展开式中的常数项为T4=·32·(-1)3=-90,故选C.11.答案-2解析的展开式的通项为T r+1=(ax2)5-r=a5-r-,令10-=0,得r=4,所以a=-10,所以a=-2.12.答案160解析令x=1,依题意得3n=729,∴n=6,∴的展开式的通项为T r+1=·(2x)6-r·=·26-r·-.令6-=2,得r=3.所以在该式的展开式中x2项的系数是·26-3=160. 13.答案120解析由题意得xy3项的系数为×2×=120.14.答案16;4解析设(x+1)3=x3+b 1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,则a4=b2c2+b3c1=×12×22+13××2=16,a5=b3c2=13×22=4.15.答案-161解析-表示五个-相乘,则展开式中的常数项由三种情况产生,第一种是从五个-中分别抽取2x,2x,,,-1,则此时的常数项为··22·(-1)=-120,第二种情况是从五个-中都抽取-1,则此时的常数项为(-1)5=-1,第三种情况是从五个-中分别抽取2x,,-1,-1,-1,则此时的常数项为··21·(-1)3=-40,则展开式中常数项为-120-1-40=-161.B组提升题组1.答案[5,+∞)解析的展开式中的中间项为第四项,即f(x)=(x2)3=x3,∵f(x)≤mx在区间,上恒成立,∴m≥x2在,上恒成立,∴m≥=5,∴实数m的取值范围是[5,+∞).2.答案解析易得A=1,B=,C==-,所以有4=9--,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在中,因为通项为T r+1=x8-r=·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为.3.答案180。

单调性

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x ) x1＜x2 f(x1)＜f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y ＝ f (x ) f(x1)
O
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

【原创·名校精品解析系列】全国名校高三数学试题精品解析分类汇编·2015年4月第一期N单元选修4系列

页眉内容N 单元选修4系列目录N 单元选修4系列 ..................................................................................... 错误！未定义书签。

N1 选修4-1 几何证明选讲.................................................................... 错误！未定义书签。

N2 选修4-2 矩阵 ................................................................................. 错误！未定义书签。

N3 选修4-4 参数与参数方程.............................................................. 错误！未定义书签。

N4 选修4-5 不等式选讲 ......................................................................... 错误！未定义书签。

N5 选修4-7 优选法与试验设计.............................................................. 错误！未定义书签。

N1 选修4-1 几何证明选讲【【名校精品解析系列】数学理卷·2015届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试（）】14．如图，AB 与圆O 相切于点,A 又点D 在圆内，DB 与圆相交于点,C 若3,2,6,BC DC OD AB ====那么该圆的半径的长为____【知识点】切割线定理N1【答案】解析：如图所示，延长BD 与圆O 相交于点,E 直线OD 与圆O 相交于点,F G 、设,,DE x OG r ==根据切割线定理得363(33)6,x x =⨯++⇒=又根据相交弦定理得(2)(2)36r r r +-=⨯⇒=【思路点拨】延长BD 与圆O 相交于点,E 直线OD 与圆O 相交于点,F G 、设,,DE x OG r ==根据切割线定理得想x=6，又根据相交弦定理可得结果。

2023-2024学年第一学期天域全国名校协作体联考高三数学试题与答案

考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸2023-2024学年第一学期天域全国名校协作体联考高三数学试题.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}250A x x x =-≤，(){}ln 7B x y x ==-，则()A B ⋂=R ð（）A.(]0,7 B.()0,5 C.()7,+∞ D.()5,+∞2.设复数2i1iz -=+，则z z ⋅=（）A.52B.2C.2D.23．已知圆锥的底面半径为2，高为）A ．4π B.12πC.16πD ．1623π4.已知,a b是单位向量，若()3a a b⊥+ ，则a 在b上的投影向量为（）A ．13aB ．13a- C ．13bD ．13b- 5.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=+，则下列是周期函数的是（）A.()y f x x=- B.()y f x x=+ C.()2y f x x=- D.()2y f x x=+6.已知圆C ：22650x x y -++=，P ，Q 是圆上的两点，O 为坐标原点，且OP PQ λ= ，则OP OQ ⋅的值为（）A B C ．10D ．57.小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（）A ．1136B ．1127C ．1027D ．173610．将函数()()sin 0f x x x ωωω=>图象上点的横坐标缩短为原来的12，然后将所得图象向右平移π3个单位，得到函数()()2sin 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象.则下列结论中正确的是（）A ．π()2sin()3f x x =+B.3πϕ=-C.()g x 的单调递增区间为()π7ππ,π66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．π12x =-为()g x 图象的一条对称轴11.已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（）A ．当0a =时，曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为y x =B ．()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值之和为0C ．若()f x 在R 上为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上至多有3个零点非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知抛物线22x py =上一点()0,2A x 到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍，则p =14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d >，59S S =，则当n S 取最小值时，n =15.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具。